7.1平行线的性质与判定-2020-2021学年苏科版七年级数学下册专题复习提升训练（含答案）

专题复习提升训练卷7.1平行线的性质与判定-20-21苏科版七年级数学下册
一、填空题
1、下列说法：①同位角相等；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直；其中正确的有多少个？（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2、如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（　　）
A．∠2＞∠1+∠3 B．无法确定 C．∠3＝∠1﹣∠2 D．∠2＝∠1+∠3

(3)
3、如图，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度数是（　　）
A．65 o B．95 o C．105 o D．115 o
4、将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，
若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　）
A．19° B．18° C．17° D．16°

(5) (6)
5、一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，在点A向右拐过的度数为α，在点B向左拐过的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则在点C处需要向左拐过的度数为（　　）
A．α﹣β B．180﹣β+α C．360﹣β﹣α D．β﹣α
6、如图所示，若∠1＝50°，当∠2＝（ ）时，AB∥CD.
A．50° B．60° C．70° D．80°
7、如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2，如果∠E＝42°，则∠F＝（　　）
A．48° B．42° C．54° D．66°

(8) (9)
8、如图所示，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°.
不能判断直线l1∥l2的是( )
A．①② B．②③ C．④ D．②
9、如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：
①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB， 其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、如图，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；
④∠2与∠3互补；⑤∠2＝∠A，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

(11) (12)
11、如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F，∠MEB与∠CFE互补，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点P，与直线CD交于点G，GH∥PF交MN于点H，则下列说法中错误的是（　　）
A．AB∥CD B．∠FGE＝∠FEG C．EG⊥GH D．∠EFC＝∠EGD
12、如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
二、选择题
13、根据图形填空：

(1)∵∠1＝∠2(已知)， ∴ ∥ ；
(2)∵∠3＋∠4＝180°(已知)，∴ ∥ ；
(3)∵∠4＋∠5＝180°(已知)，∴ ∥ ；
(4)∵∠2＝∠4(已知)，∴ ∥ .
14、如图，已知∠2＝∠3，则 ．

(15) (16)
15、如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件　 　，使得AB∥CE．
16、如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝　 　°．
17、如图，在下列条件中：①∠DAC＝∠ACB；②∠BAC＝∠ACD；③∠BAD＋∠ADC＝180°；
④∠BAD＋∠ABC＝180°.其中能使直线AB∥CD成立的是 ．(填序号)

(18) (19)
18、如图，已知a∥b，∠2＝95°，∠3＝140°，则∠1的度数为　 　．
19、如图，请你写出一个能判定l1∥l2的条件：　 　．
20、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　 　．

(21) (22)
21、如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行．
22、已知：如图所示，，，，则____
三、解答题
23、在数学课本中，有这样一道题：已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC．求证：AB∥CD
请补充下面证明过程：
证明：过点E，作EF∥AB，如图2
∴∠B＝∠　 　（　 　 ）
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠　 　＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（　 　 ）
∴∠　 　 ＝∠　 　
∴EF∥　 　（　 　 ）
∵EF∥AB
∴AB∥CD．

24、完成下面的证明：已知：如图，∠ABE+∠BEC＝180°，∠1＝∠2．求证：∠F＝∠G．
证明：∠ABE+∠BEC＝180°（已知），
∴　 　 ∥　 　（　 　）．
∴∠ABE＝∠BED（　 　）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（　 　）．
即∠FBE＝∠GEB．
∴　 　∥　 　（　 　）．
∴∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．

25、已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，G是BC上一点，过点G作GF⊥AB于点F，且满足∠B＝∠ADE．求证：∠CDE＝∠BGF．
26、如图DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1＝∠2，∠CFA＝70°．
（1）说明AF∥DE．
（2）求∠DEB的度数．
27、如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．
28、如图，直线AB，CD被EF所截，∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥FG.试说明：AB∥CD.

29、如图，直线EF交直线AB，CD于点G和H，HI平分∠GHD，∠GHI比∠HGI大30°，∠GHI比∠HGI的两倍小10°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果GJ平分∠EGB，HK平分∠FHD，求证直线GJ⊥直线HK．
30、如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
31、如图，直线MN分别交直线PQ，HK于点A和点B，BC平分∠ABK，∠1比∠3大30°，∠1比∠3的两倍小10°．
（1）求证：PQ∥HK；
（2）如果AD平分∠MAQ，BE平分∠NBK，求证：直线AD⊥直线BE．
32、（1）如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　 　度．
如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　 　度．
如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　 　度．
请在图2中，证明你所填写结论的正确性．
（2）如图4，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝　 　度．
（3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝m°
（0＜m＜180），用含m的代数式表示∠BFD的度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？

专题复习提升训练卷7.1平行线的性质与判定-20-21苏科版七年级数学下册（答案）
一、填空题
1、下列说法：①同位角相等；②经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；
③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直；其中正确的有多少个？（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】解：①两直线平行，同位角相等，故不符合题意；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故不符合题意；
④两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故不符合题意；
故选：A．
2、如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（　　）
A．∠2＞∠1+∠3 B．无法确定 C．∠3＝∠1﹣∠2 D．∠2＝∠1+∠3
解：过∠2的顶点，作如图所示的射线l，使l∥l1，
∵l1∥l2，l∥l1，∴l1∥l2∥l．∴∠1＝∠α，∠2＝∠β．
∵∠α+∠β＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2． 故选：D．

3、如图，已知∠1＝∠2，∠3＝65°，那么∠4的度数是（　　）
A．65 o B．95 o C．105 o D．115 o
【解析】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4+∠5＝180°，
∵∠3＝65°，∴∠5＝∠3＝65°，∴∠4＝180°﹣65°＝115°，
故选：D．
4、将一把直尺和一块含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD＝90°，∠BDC＝30°，
若∠1＝78°，则∠2的度数为（　　）
A．19° B．18° C．17° D．16°
解：∵∠CBD＝90°，∠1＝78°，∴∠DBE＝180°﹣∠CBD﹣∠1＝180°﹣90°﹣78°＝12°，
∵直尺的两边平行，即EA∥GH，∴∠BDF＝∠DBE＝12°，
∵∠BDC＝30°，∴∠2＝∠BDC﹣∠BDF＝30°﹣12°＝18°，故选：B．
5、一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，在点A向右拐过的度数为α，在点B向左拐过的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则在点C处需要向左拐过的度数为（　　）
A．α﹣β B．180﹣β+α C．360﹣β﹣α D．β﹣α
【解析】解：过B作BF∥AD，
∵CE∥AD，∴AD∥BF∥CE，∴∠ABF＝∠A＝α，∠C+∠FBC＝180°，
∵∠ABC＝β，∴∠C＝180°﹣∠FBC＝180°﹣（β﹣α）＝180°﹣β+α，
故选：B．

6、如图所示，若∠1＝50°，当∠2＝（ A ）时，AB∥CD.

A．50° B．60° C．70° D．80°
7、如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2，如果∠E＝42°，则∠F＝（　　）
A．48° B．42° C．54° D．66°
【解析】解：∵∠BAP+∠APD＝180°，∴AB∥CD，∴∠BAP＝∠APC，
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AE∥PF，∴∠E＝∠F＝42°，故选：B．
8、如图所示，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°.
不能判断直线l1∥l2的是(D )
A．①② B．②③ C．④ D．②
9、如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：
①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB， 其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】解：∵∠B＝∠AGH，∴GH∥BC，故①正确；
∴∠1＝∠HGM，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGM，∴DE∥GF，
∵GF⊥AB，∴HE⊥AB，故④正确；
∵GF∥DE，∴∠D＝∠1，
∵∠1＝∠CMF，根据已知条件不能推出∠F＝∠CMF，即不能推出∠D＝∠F，故②错误；
∵∠AHG＝∠2+∠AHE，根据已知不能推出∠2＝∠AHE，故③错误；
即正确的有2个， 故选：B．
10、如图，若AC⊥BC，CD⊥AB，∠1＝∠2，下列结论：①∠3＝∠EDB；②∠A＝∠3；③AC∥DE；
④∠2与∠3互补；⑤∠2＝∠A，其中正确的有(B )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11、如图，直线MN分别与直线AB、CD相交于点E、F，∠MEB与∠CFE互补，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点P，与直线CD交于点G，GH∥PF交MN于点H，则下列说法中错误的是（　　）
A．AB∥CD B．∠FGE＝∠FEG C．EG⊥GH D．∠EFC＝∠EGD
【解析】解：∵∠AEF＝∠BEM，∠BEM+∠EFC＝180°，∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点P，∴∠PEF∠BEF，∠PFE∠DFE，
∴∠PEF+∠PFE（∠BEF+∠DFE）＝90°，∴∠EPF＝90°，∴EG⊥PF，
∵HG∥PF，∴EG⊥HG，
∵∠FGE＝∠BEG，∠BEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，
故A，B，C正确， 故选：D．
12、如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　）
A．54° B．55° C．56° D．57°
解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC， ∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，
∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，
由折叠可知：EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，
∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH，∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°，
∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，
∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°，
∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°．
故选：C．
二、选择题
13、根据图形填空：

(1)∵∠1＝∠2(已知)， ∴CF ∥AD ；
(2)∵∠3＋∠4＝180°(已知)，∴CF ∥AD ；
(3)∵∠4＋∠5＝180°(已知)，∴BC ∥DE ；
(4)∵∠2＝∠4(已知)，∴BC ∥DE .
14、如图，已知∠2＝∠3，则AD∥BC ．

15、如图，点C在射线BD上，请你添加一个条件　 　，使得AB∥CE．
答案：∠B＝∠ECD或∠B+∠BCE＝180°或∠A＝∠ACE．
16、如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝　 　°．
解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，
∵EF∥AC，∴∠EFA＝∠CAP，∴∠BAP＝∠EFA，
∵∠BEF＝40°，∠BEF＝∠BAP+∠EFA，∴∠BAP＝∠EFA＝20°，即∠AFE＝20°，
故答案为：20．
17、如图，在下列条件中：①∠DAC＝∠ACB；②∠BAC＝∠ACD；③∠BAD＋∠ADC＝180°；
④∠BAD＋∠ABC＝180°.其中能使直线AB∥CD成立的是②③ ．(填序号)

18、如图，已知a∥b，∠2＝95°，∠3＝140°，则∠1的度数为　 　．
解：∵∠3＝140°，∠3+∠4＝180°，∴∠4＝40°，
∵∠2＝95°，∠2＝∠5+∠4，∴∠5＝55°，
∵a∥b，∴∠1+∠5＝180°，∴∠1＝125°，
故答案为：125°．
19、如图，请你写出一个能判定l1∥l2的条件：　 　．
答案：∠1＝∠2或∠3＝∠5或∠3+∠4＝180°
20、如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝　 　．
解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，
∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，
∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，故答案为：45°．

21、如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行．
解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°，
∵每秒旋转10°，∴时间为100°÷10°＝10秒；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角为270°+10°＝280°，
∵每秒旋转10°，∴时间为280°÷10°＝28秒；
综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行．故答案为：10或28．

22、已知：如图所示，，，，则____

【解析】如图所示，过点作的平行线，则，
∵，，∴
∴

三、解答题
23、在数学课本中，有这样一道题：
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC．求证：AB∥CD
请补充下面证明过程：
证明：过点E，作EF∥AB，如图2
∴∠B＝∠　 　（　 　 ）
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠　 　＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（　 　 ）
∴∠　 　 ＝∠　 　
∴EF∥　 　（　 　 ）
∵EF∥AB
∴AB∥CD．

【解析】证明：过点E，作EF∥AB，如图2，
∴∠B＝∠BEF（两直线平行 内错角相等），
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠FEC，
∴EF∥DC（内错角相等 两直线平行），
∵EF∥AB， ∴AB∥CD．
故答案为：BEF，两直线平行 内错角相等，FEC，等量代换，C，FEC，DC，内错角相等 两直线平行．
24、完成下面的证明：已知：如图，∠ABE+∠BEC＝180°，∠1＝∠2．求证：∠F＝∠G．
证明：∠ABE+∠BEC＝180°（已知），
∴　 　 ∥　 　（　 　）．
∴∠ABE＝∠BED（　 　）．
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（　 　）．
即∠FBE＝∠GEB．
∴　 　∥　 　（　 　）．
∴∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．

【解析】证明：∠ABE+∠BEC＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
∴∠ABE＝∠BED（两直线平行，内错角相等）．
又∠1＝∠2（已知），
∴∠ABE﹣∠1＝∠BED﹣∠2（等式的性质）．
即∠FBE＝∠GEB．
∴BF∥EG（内错角相等，两直线平行）．
∴∠F＝∠G（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：AB，CD，同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；
等式的性质；BF，EG，内错角相等，两直线平行．
25、已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，G是BC上一点，过点G作GF⊥AB于点F，且满足∠B＝∠ADE．求证：∠CDE＝∠BGF．
【解析】证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB，∴FG∥CD，∴∠FGB＝∠DCB，
∵∠B＝∠ADE，∴DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCG， ∴∠CDE＝∠BGF．
26、如图DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1＝∠2，∠CFA＝70°．
（1）说明AF∥DE．
（2）求∠DEB的度数．
【解析】（1）证明：∵DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，∴∠1＝∠FAB，∠2＝∠EDB，
∵∠1＝∠2，∴∠FAD＝∠EDB，∴AF∥DE．
（2）解：∵AF∥DE，∴∠DEC＝∠AFC＝70°，
∴∠DEB＝180°﹣∠DEC＝110°
27、如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：∠ADG＝∠C．
【解析】证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴∠3＝∠4＝90°（垂直的定义），
∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠CBD（等量代换），
∴GD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠ADG＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
28、如图，直线AB，CD被EF所截，∠3＝∠4，∠1＝∠2，EG⊥FG.试说明：AB∥CD.

解：∵EG⊥FG，∴∠G＝90°.∴∠1＋∠3＝90°.
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
即∠EFD＋∠BEF＝180°. ∴AB∥CD.
29、如图，直线EF交直线AB，CD于点G和H，HI平分∠GHD，∠GHI比∠HGI大30°，∠GHI比∠HGI的两倍小10°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）如果GJ平分∠EGB，HK平分∠FHD，求证直线GJ⊥直线HK．
【解析】（1）证明：设∠HGI＝x，则GHI＝x+30°，
由题意得：x+30°＝2x﹣10°，解得：x＝40°，
∴∠HGI＝40°，∠GHI＝70°，
∵HI平分∠GHD，∴∠GHD＝2∠GHI＝140°，∴∠HGI+∠GHD＝180°，∴AB∥CD；
（2）证明：∵HI平分∠GHD，HK平分∠FHD，∴∠GHD＝2∠DHI，∠FHD＝2∠DHK，
∵∠GHD+∠FHD＝180°，∴∠DHI+∠DHK＝90°，∴HK⊥HI，
∵AB∥CD，∴∠EGB＝∠GHD，
∵GJ平分∠EGB，HI平分∠GHD，∴∠EGJ＝∠GHI，∴GJ∥HI，∴直线GJ⊥直线HK．
30、如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分∠AED，过E点作EB⊥EF，G为射线EC上一点，连结BG，且∠EBG+∠BEG＝90°．
（1）求证：∠DEF＝∠EBG；
（2）若∠EBG＝∠A，试判断AB与EF的位置关系，并说明理由．
证明：（1）∵EB⊥EF，∴∠FEB＝90°，
又∵∠DEF+∠BEG＝180°﹣90°＝90°，∠EBG+∠BEG＝90°，∴∠DEF＝∠EBG，
（2）AB∥EF，理由如下：
∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠DEF＝∠AED，
∵∠EBG＝∠A，∠DEF＝∠EBG，∴∠A＝∠DEF，
又∵∠DEF＝∠AEF，∴∠A＝∠AEF，∴AB∥EF．
31、如图，直线MN分别交直线PQ，HK于点A和点B，BC平分∠ABK，∠1比∠3大30°，∠1比∠3的两倍小10°．
（1）求证：PQ∥HK；
（2）如果AD平分∠MAQ，BE平分∠NBK，求证：直线AD⊥直线BE．
【解析】（1）证明：设∠3＝x，则∠1＝x+30°，由题意得：x+30°＝2x﹣10°，解得：x＝40°，
∴∠3＝40°，∠1＝70°，
∵BC平分∠ABK，∴∠ABK＝2∠1＝140°，∴∠3+∠ABK＝180°，∴PQ∥HK；
（2）证明：∵PQ∥HK，∴∠MAQ＝∠ABK＝140°，
∵AD平分∠MAQ，∴∠MAD∠MAQ＝70°，∴∠MAD＝∠1，∴AD∥BC，
∵BC平分∠ABK，BE平分∠NBK，∠ABK+∠NBK＝180°，∴∠CBE180°＝90°，
∴BE⊥BC，∴直线AD⊥直线BE．
32、（1）如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝　 　度．
如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝　 　度．
如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝　 　度．
请在图2中，证明你所填写结论的正确性．
（2）如图4，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝　 　度．
（3）利用上述结论解决问题：如图5，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝m°
（0＜m＜180），用含m的代数式表示∠BFD的度数，并判断∠BFD是钝角、锐角还是直角？

【解析】解：（1）①∵MA1∥NA2
∴∠A1+∠A2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
②过点A作A2B∥A1M，
∴∠MA1A2+∠A1A2B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵MA1∥NA3， ∴A2B∥NA3（平行于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠BA2A3+∠A2A3N＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠MA1A2+∠A1A2B+∠BA2A3+∠A2A3N＝180°+180°＝360° ，即∠A1+∠A2+∠A3＝360°
③分别过点A2、A3作A2B∥A1M、A3C∥A1M，
同上题可得180°+180°+180°＝540°，即∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°
故答案为180，360，540．
（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°
∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°
∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°
∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An＝（n﹣1）180°．故答案为（n﹣1）180°．
（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°
又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°
即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣m°
∴∠ABF+∠CDF＝180°m°，即∠BFD＝180°m°
又∵0＜m＜180，∴0m＜90，∴90°＜180°m°＜180°，∴∠BFD是钝角．
故答案为180°m°，∠BFD是钝角．