6.1平面向量的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§6.1平面向量的概念
定义：在数学中,把既有大又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量.如年龄、身高、长度面积、体积、质量等都是数量
向量由大小与方向两个要素组成，向量的大小是代数特册征，方向是几何特征，因为方向没有大小之分，所以向量不能第像实数那样比较大小
索引3：向量的几何表示方法如下
有向线段
：(1)概念:具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作
,线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作
注意事项：
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度知道了有向线段的起点方向和长度,它的终点就唯一确定了
2.向量的表示
(1)几何表示:用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如向量
（2）.字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.
3.向量的长度的表示：
向量的长度称为向量的大小，（或称模），记作，向量的长度在数值上等于线段AB的长度，因此向量的长度是非负实数，可以比较大小
1.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；
2.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；
3.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
4.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,例如：a与b平行，记作a//b
5.共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一
条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
:
定义：在数学中,把既有大又有方向的量叫做向量
几何表示法：有向线段
表示
符号表示法：
、
、
零向量
向量
向量的
单位向量
分类
相等向量
平行向量
共线向量
.已知向量
，
，且
，则
（??
?）
A.?-4?????????????????????????????B.?1??????
????????????C.?4?????????????
????????D.?7
【答案】
C
【考点】向量的模，数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为
，
所以
，
所以
。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合向量的模的坐标公式，进而求出向量的模，再利用数量积的定义，进而求出数
量积的值。
精例2
.已知正方形ABCD的边长为1，
=a，
=b，则a+b的模等于（??
）
A.?1??????????????????B.?2???????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】C
【考点】向量的模
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，
=
，
=
，
∴
=
，
∴|
|=|
|=
=
=
．
故选：C．
【分析】推导出
=
，从而|
|=|
|，由此能求出结果．
精例3
.已知平面向量
，
，且
，则m等于（??
）
A.?4??????????????????????????????B.?3????????????????????????C.?﹣4??????????????????????D.?﹣3
【答案】C
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：∵平面向量
，
，且
，
∴
，
解得m=﹣4．
故选：C．
【分析】利用平面向量平行的性质直接求解．
练习1已知A（3，0），B（2，1），则向量
的单位向量的坐标是（??
）
A.（1，﹣1）????????????????????
B.?（﹣1，1）???????????????????
?C.?????????????????????
D.?
练习2.已知向量
=（3，1），
=（x，﹣1），若
与
共线，则x的值等于（??
）
A.?﹣3???????????????????B.?1??????????????????C.?2????????????????????D.?1或2
练习3.已知向量
是夹角为
的单位向量，
。
（1）求
；
（2）当
为何值时，
与
平行？
练习1
【答案】C
【考点】单位向量
【解析】【解答】解：∵A（3，0），B（2，1），
∴
=（﹣1，1），∴|
|=
，
∴向量
的单位向量的坐标为（
，
），即（﹣
，
）．
故选：C．
【分析】先求出
=（﹣1，1），由此能求出向量
的单位向量的坐标．
练习2
【答案】A
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【解答】解：
=（3，1），
=（x，﹣1），
故
=（3﹣x，2）
若
与
共线，
则2x=x﹣3，解得：x=﹣3，
故选：A．
【分析】求出向量
﹣
，然后利用向量与
共线，列出方程求解即可．
练习3.
【答案】
（1）解：由题意得
，
∴
,
∴
（2）解：若
∥
，
?则存在实数
使得
，
即
．
∵
不共线，
，解得
．
∴当
时，
与
平行
【考点】平行向量与共线向量
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积的性质,求向量长度．
（2）利用向量平行的共线定理求解决．