6.2平面向量的运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

§6.2平面向量的运算
定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法
1、三角形法则：已知非零向量，在平面内任取一点A，做=，=，则向量叫做与的和，记作，即,这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则
2、平行四边形法则：例如以同一O为起点的两个已知向量，，以，为邻边做OACB，则以O为起点的向量，（OC是OACB的对角线）就是向量与的和，我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则
规定：对于零向量与任意向量，我们规定+=+=
索引3：向量加法的运算律
交换律：a+b=
b+a
结合律：
（a+b）+c=
a+(b+c)
1.相反向量：我们规定，与向量,长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作﹣
由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此和﹣互为相反量，于是-（-）=.
2.减法的几何意义：已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则，即可以表示为从的终点指向向量的终点的向量
小结：
加法：首尾连（AB
+BC+CD=AD,起点到
终点）
减法：共起点（AB-AC==CB,连接终点，后者居前
）
化减为加：AB-AC=AB+CA=CB)
凑零向量法（相反向量和为0）
索引4：向量的数乘运算
1.根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律时成立的.
设，为实数，那么
2.向量数乘的运算律
设A,B
是实数，a,b是向量，则
（1）结合律：A（Ba）=(AB)a
（2）第一分配率：(AB)a=Aa+Ba
（3）第二分配率：A(a+b)=Aa+Ab
索引5：向量的数量积
1.概念：已知两个非零向量与，他们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积，记作
即；=
规定；零向量与任一向量的数量积为0.
2.向量数量积的运算律
对于向量a,b,c和实数A，
(1)交换律:
a
b=b
a
(2)数乘结合律
(Aa)
b=a
(Ab)
（3）分配律
（a＋b)
c＝a
c＋b
c
.已知等边三角形
的边长为6，点
满足
，则
（???
）
A.????????????????????B.???????????????????????C.????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】依题意
，
，
设
是
中点，连接
，
由于三角形
是等边三角形，所以
，
，
由于
，所以
，
所以四边形
是矩形，
所以
，
中，
，
即
。
故答案为：C
【分析】依题意知
，再利用三角形法则结合共线定理，得出
，设
是
中点，连接
，由于三角形
是等边三角形，再利用三线合一，所以
，
，由于
，所以
，再利用直角三角形中正弦函数的定义，进而求出。
所以四边形
是矩形，
精例2
下列四个结论，正确的个数是（???
）
①在
中，若
，则
；②若
，则存在唯一实数
使得
；③若
，
，则
；④在
中，若
，且
，则
为等边三角形；
A.?1????????????????????????B.?2????????????????????C.?3??????????????????D.?4
【答案】
B
【考点】向量的共线定理，正弦定理，三角形的形状判断
【解析】【解答】①在
中，若
，则
，由正弦定理可得：
，所以正确.
②若
且
，则存在唯一实数
使得
，故当
时，②不正确.
③当
时，满足
，
，但
与
不平行，故不正确.
④在
中，
为
方向的单位向量，
为
方向的单位向量，
设
中，
的角平分线交
于点
.
所以
在
的角平分线
上，由
所以
，
所以
又
，所以
，又
所以
，所以
为等边三角形，故④正确.
故答案为：B
【分析】
由角的大小即可得出边的大小再由正弦定理即可判断出①正确，由向量共线的性质即可得出由此即可判断出②错误，由特殊情况即可得出结论不成立由此判断出③错误，在三角形ABC中，由即可得出在
的角平分线
上，由此即可得出从而得到进而求出
，
即
，
从而即可判断④正确；由此即可得出答案。
精例3
下列说法中正确的是（???
）
A.?若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.?模相等的两个平行向量是相等向量
C.?若
和
都是单位向量，则
D.?零向量与其它向量都共线
【答案】
D
【考点】零向量，单位向量，相等向量与相反向量
【解析】【解答】对于A选项，因为向量是可以移动的，两个向量相等时，它们的起点和终点不一定重合，A选项错误；
对于B选项，模相等的两个平行向量，可以是相等向量，也可以是相反向量，B选项错误；
对于C选项，
和
都是单位向量，但它们的方向不一定相同，故
和
不一定相等，C选项错误；
对于D选项，零向量的方向是任意的，零向量与其它向量都共线，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】
根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
练习1对于任意两个向量
和
，下列命题正确的是（???
）
A.?若
，
满足
，且
与
同向，则
B.?
C.?
D.?
练习2.如图，在平行六面体
中，
为
与
的交点.若
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是（???
）
?????????????
?B.??????????????
C.??????????????
D.?
练习3在边长为1的菱形
中，
，
是线段
上一点，满足
，如图.设
.
（1）用
表示
；
（2）在线段
上是否存在一点
满足
？若存在，判定
点的位置，并求
；若不存在，请说明理由
练习4.已知向量
与
的夹角为
，且
，
.
（1）若
与
共线，求k；
（2）求
，
；
（3）?
求
与
的夹角的余弦值
练习1
【答案】
B
【考点】向量的模，向量的共线定理，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】A.向量不能比较大小，所以A不正确；
B.根据向量减法运算公式可知，当向量
与
不共线时，两边之和大于第三边，即
，当
与
反向时，等号成立，B符合题意；
C.
，C不正确；
D.当向量
与
不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即
，D不正确.
故答案为：B
【分析】
根据向量共线，数量积，向量的模的性质，逐一判断即可。
练习2
【答案】
B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】依题意可知
是平行四边形
对角线的交点，所以
.
故答案为：B
【分析】根据题意由四边形的性质以及向量加减法的运算性质整理即可得到结论。
练习3
【答案】
（1）解：根据题意得:
，
，
；
（2）解：结论:在线段BC上存在使得
的一点F满足
，此时
.
理由如下:
设
，则
，
，
，
在边长为1的菱形ABCD中，
，
，
，
∵
，
=0，
解得
，从而
，
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】
（1）根据向量加、减法运算法则计算即可；
（2）
设??，则??，??，
?
，?利用?，
??，计算即可。
练习4
【答案】
（1）解：若
与
共线，
则存在
，使得
即
，
又因为向量
与
不共线，
所以
，解得
，所以
.
（2）解：
，
（3）解：
.
【考点】向量的模，向量的共线定理，平面向量数量积的运算
【解析】(1)根据题意由向量共线的性质即可得到即结合已知条件即可得到关于K和的方程组求解k的值即可。
(2)利用数量积的公式代入数值计算出结果即可。
(3)由已知条件结合夹角的数量积公式代入数值计算出结果即可。