6.3平面向量基本定理及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

§6.3
平面向量基本定理及坐标表示
定义：平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使，=.
若，不共线，我们把（，）叫做表示这一平面内所有向量的出一个基底.
索引2：平面向量的正交分----------------把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解
索引3：平面向量加、减运算的坐标
两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
如图6.3-12，作向量,,则
=-
=
=.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
1.平面向量数乘运算的坐标表示
已知，即
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若=,则=+，或=.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么
3.平面向量垂直的坐标表示
设=，=，则
已知
，
是不共线的向量，
，
若
三点共线，则实数
满足（???
）
???????????????????????????
?B.????????????????????????????
C.???????????????????????????
?D.?
【答案】
C
【考点】平面向量的基本定理及其意义，三点共线
【解析】由
点共线，得
，
而
，于是有
，
即
，
。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三点共线的判断方法，再结合平面向量基本定理，进而利用两向量相等得出
，
再解方程组推出实数
的关系式。
精例2
.若平面向量
与
满足：
则
与
的夹角为（???
）
A.?30°?????????????????????????????B.?45°??????????????????????C.?60°???????????????????????D.?120°
【答案】
C
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】
，解得
，
。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，进而求出两向量
与
的夹角
。
精例3
已知双曲线
的左右焦点分别为
，
过
的直线与双曲线的左右两支分别交于
，
两点，
，
，则双曲线的离心率为（???
）
A.???????????????????????????B.???????????????????????C.????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】平面向量数量积的运算，双曲线的定义，双曲线的简单性质
【解析】如图，
设
，由
，则
，
由双曲线定义知
，
，
由
知，
在
中，
，即
，解得
则在
中，
即
，
∴
，∴
故答案为：C
【分析】根据题意作出图象设出结合已知条件整理得到
，
由此得到
，
结合三角形的几何性质由勾股定理即可得出a与c的关系式，再由整体思想结合离心率的公式即可求出答案。
练习1.已知向量
，且
，则m的值为（???
）
A.?-2????????????????????????B.?2??????????????????????C.?4????????????????????????D.?-2或4
练习2向量
，
，
，若
，则实数
等于（???
）
A.?1??????????????????????????B.??????????????????????????C.?????????????????????????D.?2
练习3.已知非零向量
共面，那么“存在实数
，使得
成立”是“
”的（???
）
A.?充分而不必要条件?????????B.?必要而不充分条件
?????????C.?充分必要条件?????????D.?既不充分也不必要条件
练习4.如图，在
中，
，
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设点
在以
为圆心，
为半径的圆弧
上运动，且
，其中
.
求
的最大值.
练习5.已知向量
，
，
.
（1）求向量
与
夹角的正切值；
（2）若
，求
的值.
练习1
【答案】
D
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由题意，向量
，可得
，
又由
，可得
，解得
或
。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标运算，进而求出m的值。
练习2
【答案】
B
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知可得
，
，所以，
，解得
.
故答案为：B.
【分析】
根据题意，求出
的坐标，由向量垂直的判断方法可得
，
解可得m的值，即可得答案．
练习3
【答案】
C
【考点】相等向量与相反向量，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】假设存在实数
，使得
成立，
所以
，
，
所以
，故充分；
若
，
则
，
即
，
所以
，
因为
，
所以
或
，
所以
方向相同或相反，
所以存在实数
，使得
成立，故必要；
故答案为：C
【分析】
利用数量积为数，以及数量积的运算法则，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
练习4
【答案】
解：（Ⅰ）
.
（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则
，
.
设
，
，
由
，
得
.
所以
.
所以
，
，
?
，
因为
，
.
所以，当
，即
时，
的最大值为
.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用，平面向量数量积的运算
【解析】【分析】
（I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算．
（II）根据模长列出方程，利用基本不等式解出最大值．
练习5
【答案】
（1）解：因为
，所以
.
设向量
与
的夹角
，则
，解得
.
又
，所以
，故
（2）解：因为
，所以
，
即
，解得
【考点】数量积表示两个向量的夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由
进行运算即可求出向量??与??夹角的正切值；
（2）由
??得
，代入已知条件可得
??的值
。
?