6.4平面向量的应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义Word

§6.4
平面向量的应用
向量方法在平面几何中的应用
证明线段相等、平行，运用于向量加法的三角形法则、平行四边形法则。有时用到向量减法的意义
证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行，（共线）的条件，证明线段的垂直问题，.常运用向量垂直条件
证明线段的垂直问题，作用向量垂直的条件
求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式
向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形正护方形、直角三角形等,建立直角坐标系,把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算
,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译’"成几何关系，
余弦定理：三角形中任何一方的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，
索引3：向量在物理中的运用
1，力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量,它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则,求两个力的合力.
2.速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用向量求和的平行四边形法则,求两个速度的合速度.
.在
中，内角
，
，
的对边
，
，
依次成等差数列，
的周长为15，且
，则
（???
）
A.??????????????????????????B.????????????????????????C.?????????????????D.?
【答案】
B
【考点】正弦定理，余弦定理
【解析】【解答】∵
，所以
，
由正弦定理得
，
又因为
，
，
依次成等差数列，
的周长为15，即
，
由
，解得
，
。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出
，再利用已知条件结合等差中项公式和三角形周长公式，得出
，进而解方程组求出a,b,c的值，再利用余弦定理求出角B的余弦值。
精例2
骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为
，
，
，
均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，
的最大值为（???
）
A.?18?????????????????????????B.?24?????????????????????C.?36????????????????????????D.?48
【答案】
C
【考点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】骑行过程中，
相对不动，只有
点绕
点作圆周运动．
如图，以
为
轴，
为坐标原点建立平面直角坐标系，
由题意
，
，
，
圆
方程为
，设
，
则
，
，
，
易知当
时，
取得最大值36．
故答案为：C．
【分析】
根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．
练习1.一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶
到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（???
）
A.?????????????
B.?????????????
C.?????????????
D.?
练习2.设
分别是
的内角A，B，C的对边，已知D是BC边的中点，且
，则
等于（???
）
A.???????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
练习3.在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，则“
”是“
为等腰三角形”的（???
）
A.充分不必要条件?????????????
B.?必要不充分条件???????????
C.?充要条件????????????
D.?既不充分也不必要条件
练习4.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生层云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建条隧道，测量员测得些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（???
）
A.?
km????????
?B.?
km?????????
C.?
km????????
?D.?
km
练习5.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高
，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离
，且记在M处观测基站底部B的仰角为
，观测基站顶端A的仰角为
.试问当
多大时，观测基站的视角
最大?
参考数据：
，
，
，
.
练习1
【答案】
C
【考点】两角和与差的正弦公式，正弦定理
【解析】【解答】如图所示：
设A处到山顶处下方的地面C距离为
，则山高
，
在
中，
，
，
，
由正弦定理，得
，
，
所以
，
所以山高为：
，
故答案为：C。
【分析】利用实际问题的已知条件结合正弦定理，从而求出山高。
练习2
.【答案】
C
【考点】平面向量数量积的运算，余弦定理
【解析】【解答】设M是AB边上的中点，又D是BC边的中点，所以
,
,
,
，
，
故答案为：C
【分析】由数量积的运算公式整理化简得到再结合已知条件利用余弦定理即可求出代入到要求的代数式计算出结果即可。
练习3
【答案】
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，正弦定理
【解析】【解答】在
中，若
，
由正弦定理，
，
所以
，
∴
，
为等腰直角三角形；
反之，
为等腰三角形，
不一定成立
所以“
是
为等腰三角形”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先分析充分性，若
，根据正弦定理可知
，则
为等腰三角形；再分析必要性，若
为等腰三角形时，若
，则
不成立.
练习4
【答案】
A
【考点】两角和与差的余弦公式，余弦定理的应用
【解析】【解答】连接AC，
设
，
在△ACB中，AB=4，BC=5,
，所以AC=
所以
,
所以cos
=
所以
多以
.
故答案为：A.
【分析】先利用勾股定理求出AC和∠ACB的正余弦，利用余弦和差公式求出∠ACD的余弦值，进一步根据余弦定理求出AD，从而得到答案.
练习5
【答案】
（1）解：由题知
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
在
中，
，即
，
所以
，
所以山高
m.
（2）解：由题知
，
，则
在
中，
在
中，
由题知
，则
?
当且仅当
即
m时，
取得最大值，即视角最大.
【考点】基本不等式，正弦定理
【解析】【分析】
（1）根据题意由正弦定理可直接求出山高BE；
（2）由两角和差正切公式和基本不等式的应用，知∠AMD=β，∠BMD=α，∠AMB=β-α，则
代入数据结合均值不等式，可得观测基站的视角∠AMB最大．