解析几何
第1讲 直线与圆 训练案
(时间：90分钟) 满分 100分
一、填空题（每题6分）
1．(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
2．已知直线l1的方向向量a＝(1,3)，直线l2的方向向量b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2，则直线l2的方程为______________．
3．若0≤θ≤，当点(1，cos θ)到直线xsin θ＋ycos θ－1＝0的距离是时，这条直线的斜率为________．
4．(2011·辽宁)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为______________．
5．若某圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是______________．
6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A B，则实数k的取值范围是______________．
7．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是____________．
8．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝2，过原点的直线l与圆C相切，则所有切线的斜率之和为________．
9．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为________．
10．直线x＋a2y＋1＝0与直线(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，a、b∈R且ab≠0，则|ab|的最小值为________．
11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20 (m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
12．若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
二、解答题
13. （满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)判断两圆的位置关系，并求连心线的方程；
(2)求直线m的方程，使直线m被圆C1截得的弦长为4，被圆C2截得的弦长为2.
14. （满分13分）已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0.
(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
15．（满分13分）已知以点C (t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程；
(3)在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．
答 案
1．1 2. x＋3y－15＝0 3.－
4．(x－2)2＋y2＝10 5．(x－2)2＋(y－1)2＝1
6．[－，] 7. ，
8．－2 9. 10．2 11．4 12．2
13．解 (1)圆C1的圆心C1(－3,1)，半径r1＝2；
圆C2的圆心C2(4,5)，半径r2＝2.
∴C1C2＝＝>r1＋r2，
∴两圆相离，连心线所在直线方程为：
4x－7y＋19＝0.
(2)直线m的斜率显然存在．
∵直线m被圆C1截得弦长为4.
∴直线m过圆C1的圆心C1(－3,1)．
∴设直线m的方程为y－1＝k(x＋3)．
∴C2(4,5)到直线m的距离：
d＝＝，∴k＝.
∴直线方程为y－1＝(x＋3)．
14．解 (1)将圆的方程配方，
得2＋(y－3)2＝，
故有>0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，得
消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0， ①
∵直线l与圆C没有公共点，
∴方程①无解，故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.
∴m的取值范围是.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由OP⊥OQ，
得·＝0，即x1x2＋y1y2＝0， ②
由(1)及根与系数的关系，得
x1＋x2＝－2，x1·x2＝， ③
又∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1·y2＝·＝[9－3(x1＋x2)＋x1·x2]，
将③代入上式，得y1·y2＝，④
将③④代入②得x1·x2＋y1·y2＝＋＝0，解得m＝3.
代入方程①检验得Δ>0成立，∴m＝3.
15．(1)证明 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，
化简得x2－2tx＋y2－y＝0，
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
当x＝0时，y＝0或，则B，
∴S△AOB＝OA·OB＝|2t|·＝4为定值．
(2)解 ∵OM＝ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，
则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，
∴t＝2或t＝－2.
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，
由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(3)解 点B(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′ (－4，－2)，则PB＋PQ＝PB′＋PQ≥B′Q，
又B′到圆上点Q的最短距离为
B′C－r＝－＝3－＝2.
所以PB＋PQ的最小值为2，直线B′C的方程为y＝x，(共23张PPT)
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