北师大版 五年级数学下册第1单元 分数加减法 单元整体备课教案
文档属性
| 名称 | 北师大版 五年级数学下册第1单元 分数加减法 单元整体备课教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-10 11:24:10 | ||
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文档简介
第1单元 分数加减法
本单元的主要内容有“异分母分数加减法”“分数的加减混合运算”和“分数与小数的互化”三部分。
“分数加减法”这部分教学内容在《数学课程标准》中属于“数与代数”领域的知识。在内容上,三部分知识以两条脉络展开。一条是“异分母分数加减法”与“分数的加减混合运算”构成的运算知识脉络,这是本单元的主要内容;另一条是分数与小数大小比较脉络,由此引出“分数与小数的互化”知识,它与“分数认识”和“小数认识”有着直接的联系。分数与小数互化问题的解决,既为解决分数与小数大小比较提供了方法,也为异分母分数加减法提供了一种方法。更重要的意义还在于它从运算上揭示了小数与分数这两个数概念之间的联系;有限小数和无限循环小数也反映了部分与整体的关系,实际上小学阶段所涉及的小数也是分数。这是对小数和分数认识的进一步深化。
学生是在对小数认识与分数认识的基础上学习小数与分数的互化知识的,因此“分数王国”与“小数王国”这一教学内容学生接受不是很难;异分母分数加减法的学习则涉及以前学过的同分母分数加减法、通分、约分等知识,而通分与约分的知识又涉及最大公因数与最小公倍数的知识,因此在教学中要处理好新旧知识转化问题。
1.理解异分母分数加减法及加减混合运算和分数与小数互化的依据。
2.能正确地进行异分母分数加减法及加减混合运算和分数与小数的互化及大小比较。
3.能结合不同情景,解决简单的有关分数加减法的实际问题。
1.在探讨异分母分数加减法计算方法的过程中,理解计算的道理,体会数学知识之间的内在联系。
2.在探索把异分母分数加减法转化为同分母分数加减法计算的过程中,体验直观模型与转化思想的运用。
在解决问题的过程中,发展数学应用意识,形成独立思考的习惯。
感受数学思想方法的魅力,发展主动探索精神和科学探索态度。
【重点】 掌握异分母分数加减法和分数混合运算的计算方法。
【难点】 探索并掌握分数与有限小数互相转化的方法。
1.新旧知识链接,将旧知识转化成新知识
异分母分数加减法、分数混合运算、分数与小数的互化知识是在学生已经学过分数的初步认识和同分母分数的加减法及其应用(二年级),小数的认识和加减法(四年级),倍数和因数、分数的再认识、通分、约分、分数大小比较(五年级上册)这些知识的基础上展开学习的,要做好对旧知识的复习巩固,找到新旧知识的链接点,将新知识合理转化成旧知识来进行探究学习。
2.突出对异分母分数加减法算理的理解,为后继知识的学习进行方法的铺垫
学生在五年级下册还要进行对分数乘、除法及应用知识的学习,在六年级上册还要进一步对分数的混合运算及解决相关的实际问题进行探究学习,所以这部分学习内容是对后继知识的学习进行方法的铺垫,必须对算理进行深入的探究学习,并在理解的基础上熟练掌握。
3.联系生活实际,理解分数与小数互化知识在现实生活中的意义及互化方法
在“分数王国”与“小数王国”的争论情景中,让学生理解分数与小数互化问题的实际意义,从而探究分数与小数互化的方法。
1 折 纸
异分母分数加减法是本单元的核心内容。本节课的重点是探索异分母分数加减法的计算方法。
在学习异分母分数加减法之前,学生虽能熟练运用“分母不变、分子相加减”进行同分母分数加减计算,但并未完全理解分数加减法的意义。为此,教科书设计了“折纸”活动这一情景,目的是结合具体情景和几何直观,帮助学生理解异分母加减法的计算道理。教科书提出了三个问题:第一个问题是探究异分母分数加法的算法和算理;第二个问题是探究异分母分数减法的算法和算理;第三个问题引导学生总结异分母分数加减法的计算方法,正确进行计算。
在“试一试”中,对于分母中含有相同因数的异分母分数,通分是个难点。教科书呈现了分母直接相乘和求异分母最小公倍数这样两种可能的通分方法,启发学生从多角度理解在分数加减运算中的通分方法。这一方面反映了学生在探索中可能出现的解法;另一方面也表示了在教学中对这两种方法的认同,也就是说,通分时不必苛求公分母必须是异分母的最小公倍数。
1.经历探索异分母分数加减计算方法的折纸操作与通分的活动过程,理解计算道理,体验分数直观模型和数学“转化”思想在解决问题中的运用。
2.能正确地进行异分母分数加减法计算及解决有关的实际问题。
【重点】 能正确计算异分母分数的加减法。
【难点】 理解异分母分数加减法的算理。
第课时 异分母分数加减法
1.经历异分母分数加减法计算方法的折纸操作与通分的活动过程,理解计算道理,体验分数直观模型和数学“转化”思想在解决问题中的运用。
2.能正确地进行异分母分数加减法(分母互质或分母具有倍数的关系)计算及解决有关的实际问题。
【重点】 探索异分母分数加减法的计算方法。
【难点】 理解异分母分数加减法的计算算理。
【教师准备】 多媒体课件、卡纸、硬纸板等。
【学生准备】 卡纸。
同学们假期一定过得很愉快吧?你们都做了哪些有意义的事情?(学生畅所欲言)你们是否在欢乐之余进行了学习?做到温故知新了吗?为了检查你们的知识掌握是否牢固,有几道题大家来做一做吧!
1.将下面每组数通分。
13和49 34和56
2.计算下面各题。
15+25= 37+27=
47-17= 1115-1115=
【参考答案】 1.39和49 912和1012 2.35 5737 0
方法一:创设情景,复习导入
1.口算下面各题,并说出你是怎样计算的。
(PPT课件出示练习题)
34+24 1220-620 424+624
师:谁能说一说你是怎样算的?
预设 生:(生总结算法)同分母分数相加减,分母不变,分子相加减。
2.用分数表示下面的阴影部分,并观察两个分数表示的部分是否相同。
预设 生:上图中的阴影部分分别用24和12表示,24和12表示的部分相同,但是两个分数的分母不同。
师:是的,我们把分母不相同的分数称为“异分母分数”,异分母分数加减法应该怎样计算呢?这节课我们就来探究这个问题。(板书课题:异分母分数加减法)
[设计意图] 用创设情景、复习导入的方法导入新课,使学生在轻松愉悦的心情下自然地进入主题。再加上课件的直观感知,引起学生情感上的共鸣,增强学生对知识的亲近感和求知欲,更符合五年级学生的年龄特点,更加增强学生学习的兴趣,使学生更主动地集中精力投入到学习中来,从而达到“学中乐,乐中学”的目的。
方法二:师生谈话、提出问题
师:前段时间我们都在学习(板书:分数),关于分数,我们已经学过了哪些知识?
预设 生:我们学过最简分数,比如:12,56,79……
师:现在,请你说一个自己喜欢的最简分数。如:12,25,34,57,49。
预设 生1:我最喜欢的最简分数是12。
生2:我最喜欢的最简分数是57。
……
师:如果选择两个分数(圈出两个能化成有限小数的异分母分数,如:12,25),我们可以研究它们什么?
预设 生1:比较它们的大小。
生2:求它们的和是多少。
生3:求它们的差是多少。
师:今天我们就来继续研究分数加减法。
(出示PPT课件)
12+13 79-13 517+12
师:仔细观察这些算式,跟前面刚学的有什么不同?下面,我们就来研究异分母分数加减法。(板书课题)
[设计意图] 用师生谈话的方法引入课题,不仅激发了学生的学习兴趣,还对学生进行了旧知的复习,为新课的开启起到了重要的桥梁作用。
方法三:创设情景、复习铺垫
(出示孙悟空和猪八戒卡通图片)
师:同学们看看这两个人物是谁呀?
预设 生:孙悟空和猪八戒。
师:这节课他们将陪我们一起学习,你们高兴吗?
预设 生:高兴。
师:在西天取经的路上,可以说他们历尽磨难,师父唐僧有时也会给他们出一些题目,要是全做对了就有奖励,这不师父又给他们二人出题了,想知道师父出了什么题吗?
(PPT课件出示同分母分数加减法题目)
59+89 18+78 1924-1324
1936+336 57+47 512+712
师:同学们,这几题可把孙悟空和猪八戒难住了,你们愿意帮助他们解答吗?
预设 生:愿意。
师:谁愿意帮助猪八戒解答这几道题?
59+89 18+78 1924-1324
预设 生1:139。
生2:1。
生3:14。
师:谁愿意帮助孙悟空解答?
1936+336 57+47 512+712
预设 生1:1118。
生2:97。
生3:1。
师:同学们全算对了,可是孙悟空和猪八戒还是不会算呀,谁来告诉他们计算像这样同分母分数相加减的题目的方法是什么?
预设 生:同分母分数相加减,分母不变,分子相加减,结果化成最简分数。
师:孙悟空和猪八戒按照我们的方法,也将师父出的题目全做对了,师父奖励他们每人一张同样大小的饼。
师:如果变成分母不同的分数加减法你们会算吗?
预设 生:不会。
师:今天我们就共同来研究异分母分数加减法的计算方法。(板书课题:异分母分数加减法)
[设计意图] 抓住同分母分数相加减计算方法这一知识点切入,有利于学生学习。
一、出示情景图,提出问题
师:同学们,你们喜欢折纸吗?
预设 生:喜欢。
师:谁能告诉老师情景图中的笑笑和淘气在折纸的过程中各自用了多少纸吗?
(教师利用PPT课件出示教材第2页情景图)
预设 生1:笑笑折小船用了这张纸的12。
生2:淘气用了这张纸的14。
师:他俩一共用了这张纸的几分之几呢?你们能想到好办法解决这个问题吗?
预设 生:我觉得可以用折纸的方法,先涂出笑笑用的部分,再涂出淘气用的部分,然后把涂色的两部分加起来,结果就是他们俩一共用了这张纸的几分之几。
师:他说的有没有道理呢?请同学们拿出手中的卡纸,小组内折一折。
[设计意图] 引导学生借助卡纸折一折,初步体会异分母分数相加的意义和过程。
二、动手操作探索异分母分数加法的运算算理
师:你们觉得???同学的方法有道理吗?
预设 生:有。
师:???同学很聪明,他的想法和笑笑的做法一样(教师一边重新复述过程一边出示笑笑的做法,出示PPT课件情景图,笑笑先涂出自己用去这张纸的12,再涂出淘气用去的14,看涂色部分一共占这张纸的几分之几)
师:除此之外,同学们还有其他办法解决这个问题吗?
预设 生:我们还可以把笑笑用去的12和淘气用的14加起来,求出他俩一共用去这张纸的几分之几。(师随学生的回答板书:12+14=?)
师:我们以前学过的都是同分母的分数相加减,12和14的分母并不相同,现在该怎么办呢?
预设 生:我们可以把这两个分数变成同分母分数之后再相加。
师:下面请同学们小组内合作学习,完成计算过程后,请各小组派代表回答。
预设 生1:我们小组是这样做的,先求出2和4的最小公倍数,2和4的最小公倍数是4,然后把12化成分母是4的分数,即24,原算式就变成24+14,求出他们俩一共用去这张纸的34。
(教师随学生的回答板书:24+14=34)
生2:我们小组是这样做的,先求出两个分数中分母的公分母4,然后把两个分数化成同分母分数再相加,求出结果也是等于34。
生3:我们小组是这样做的,因为分母4是分母2的倍数,所以直接把12化成24,然后再同14相加,求出结果是34。
……
三、动手操作探索异分母分数减法的运算算理
师:同学们非常棒,能够用不同的方法解决问题。那么,你们能根据这个方法求出笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几吗?
(教师边提出问题,边出示PPT课件)
笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几?算一算。
12-14=( )4-14=( )( )
答: 。?
(学生独立完成,教师巡视)
预设 生:因为12和14的公分母是4,先把12变成分母是4的分数,也就是把12变成24,24-14=14。
(教师随学生的回答板书:12-14=24-14=14)
四、归纳异分母分数加减法的计算方法
1.算一算。
师:分母不同的分数相加减到底应该怎样计算呢?请同学们独立算一算。
(教师出示PPT课件)
分母不同的分数相加减怎样计算?算一算,说一说。
34+58 56-23
(教师巡视,根据学生的做题情况适当地提问)
2.说一说。
师:谁能说一说你的计算结果?
预设 生1:我是这样计算的,把四分之三和八分之五化成同分母分数,变成八分之六加八分之五等于八分之十一。
(教师随学生的回答板书:34+58=68+58=118)
生2:我是这样做的,把六分之五和三分之二化成同分母分数,变成六分之五减六分之四等于六分之一。
(教师随学生的回答板书:56-23=56-46=16)
3.归纳计算方法。
师:那么通过计算过程,你能归纳出异分母分数相加减的计算方法吗?
预设 生:①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。②计算结果能约分的要约成最简分数。
师:这位同学说得非常好,计算分母不同的分数相加减,要先通分,将分母不同的分数化成分母相同的分数,然后再加减。计算结果能约分的要约成最简分数。
(教师边说边出示PPT课件)
①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。
②计算结果能约分的要约成最简分数。
五、借助几何图形说明异分母分数加减法算理
师:同学们能用画图方法解释上面的计算过程吗?请同学们小组内操作实践,相互交流后汇报。
(教师巡视学生的操作过程,适当地给予指导,并让学生展示所画图形)
34+58=68+58=118
56-23=56-46=16
[设计意图] 通过知识的迁移,让学生进一步加深对异分母分数加减法的算理的理解,在交流与反馈中发现问题,及时指导,明确方法。
通过学习,总结出来了异分母分数加减法的计算方法,本节课的学习任务也就完成了。你们发现了吗?数学就在我们的生活中,我们一定要学好数学,以便更好地生活。下面我们就应用我们所学的知识去解决问题。
(师出示PPT课件中的练习题)
1.填空。
(1)2个110是( ),710里面有( )个110。
(2)比35米短12米是( )米,78米比( )米长12米。
(3)分数单位是15的所有最简真分数的和是( )。
2.选择。(把正确答案的字母序号填在括号里)
(1)下面各题计算正确的是( )。
A.57+58+215=1230=25
B.2021-1011=1010=1
C.1521-1021-521=0
(2)8米的19( )1米的89。
A.大于 B.等于 C.小于
3.口算。
15+25= 58-38=
12+13= 34-12=
【参考答案】 1.(1)15 7 (2)110 38 (3)22.(1)C (2)B 3.35 14 56 14
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了异分母分数加减法的计算方法,掌握了异分母分数加减法的计算方法,并且知道计算异分母分数时,要把异分母分数变成同分母分数再相加减。能应用所学习的计算方法解决实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也能较好地巩固新知识。
作业1
教材第3页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)在括号里填上适当的数。
38+14=38+( )8=( )8
45-16=( )30-( )30=( )30
35+23=( )15+( )15=( )15
2.(重点题)计算。
1124-512 710+320
3.(重点题)解方程。
x+27=23 x-14=38
【提升培优】
4.(易错题)一根铁丝长45米,比另一根长14米,另一根铁丝多长?
【思维创新】
5.(重点题)同学们在手工课上折纸,笑笑用一张纸的13折了一只小船,大明用这张纸的14折了一架飞机。他们一共用了这张纸的几分之几?
【参考答案】
作业1:1.13+19=39+19=49 13-16=26-16=16 2.不同意。应该先统一分数单位,再相加。正确做法是:14+12=14+24=34 3.78 59 215 12
作业2:1.2 5 24 5 19 9 10 19 2.124 1720 3.x=821 x=58 4.45-14=1120(米) 5.13+14=712
异分母分数加减法
12+14=24+14=34
12-14=24-14=14
34+58=68+58=118
56-23=56-46=16
①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。
②计算结果能约分的要约成最简分数。
教师充分运用学生已有的知识经验,大胆地放手让学生进行有组织的动手操作,去猜想、去探究和发现计算过程中的规律。探讨后,学生进行汇报。对于正确的方法给予肯定,而错误的方法给予纠正。为找寻正确的思路起到了穿针引线的作用。
在引导学生探究问题的过程中,对容易出现错误的地方预设不准确,对学生出错的地方没有及时给予纠正。
在情景创设设计中,注意设计要新颖,贴近学生,贴近生活,达到激发学生学习兴趣的目的,给学生更大的讨论空间,最大程度调动学生的学习积极性,发挥好学生的主体地位。
例如:导入时,可以运用学生愿意观看的动画片或是最喜欢的节目里面的主人公形象导入新课,能起到事半功倍的效果。
小雨家10月份的支出中,房租占总支出的17,用于餐饮、水果方面的支出占总支出的14,这两项支出一共占总支出的几分之几?用于房租的支出多,还是用于餐饮、水果方面的支出多?
[名师点拨] 把总支出看成单位“1”,房租占总支出的17,餐饮、水果支出占总支出的14,两项支出一共占总支出的17+14。再比较17和14的大小,用减法计算,列式为14-17。
[解答] 17+14=428+728=1128
因为14-17=328,所以用于餐饮、水果方面的支出多。
答:这两项支出一共占总支出的1128,用于餐饮、水果方面的支出多。
【知识拓展】 在计算异分母分数加减法时,先运用分数的基本性质把两个分数通分,化成同分母分数,然后再计算。
《九章算术》中分数加减法运算法则
书中卷一第十一题的原文是:“又有四分之三,减其三分之一。问:余几何?答曰:十二分之五。减分术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。”
下面用现代的语言和符号,对原文做一些译述:
“又有四分之三,减其三分之一。问:余几何?”——34-13=?
“答曰:十二分之五。”——答案是:512。
“减分术曰:”——分数减法的运算法则是:
“母互乘子,以少减多,余为实。”——两个分数分子、分母交叉相乘的积,从多的里面减去少的,把余数作为差的分子。
“母相乘为法。”——两个分数分母相乘的积,作为差的分母。
按所述法则计算:34-13=3×3-4×14×3=512。
这与我们今天的分数减法运算法则基本相同。
由此可见,早在两千多年以前,我国分数四则运算法则已经如此先进,身为炎黄子孙由衷感到骄傲和自豪。
古人对分数的表示方法
古汉语分数表达形式,绝大多数出现在表示比较的语境中,结合语境来概括,有如下几种类型:(一)完型式。如“秦地,天下三分之一。”(《汉书·地理志》)“三分之一”的分数形式,从古代延续至今,已保留下来了。(二)简略式。如“盖予所至,比好游者尚不能十一。”(《游褒禅山记》)“十”为分母,“一”为分子,“十一”即十分之一。
第课时 分母中含有相同因数的异分母分数加减法
1.进一步探索分母中无相同因数和分母中含有相同因数但无倍数关系的异分母分数加减法的计算方法,理解算理。
2.能正确地进行异分母分数加减法计算及解决有关的实际问题。
【重点】 用最小公倍数作分母计算异分母分数的加减,并对计算结果进行化简。
【难点】 选取最小公倍数作分母进行计算。
【教师准备】 PPT课件、卡纸、硬纸板等。
【学生准备】 卡纸。
方法一:复习旧知,新课导入
(师出示PPT课件)
算一算,说一说。
12+38 59+23 12-38
师:说一说异分母分数加减法应该怎样计算。
预设 生:①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。②计算结果能约分的要约成最简分数。
师:今天这节课我们继续探究异分母分数加减法。(板书课题)
[设计意图] 通过复习,让学生回顾异分母分数加减法的计算方法,为进一步探究做准备。
方法二:师生谈话、提出问题
师:上一节课我们学习了什么知识?
预设 生:上一节课我们共同学习了异分母分数加减法的计算。
师:那么异分母分数加减法怎样计算呢?
预设 生:分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。计算结果能约分的要约成最简分数。
师:可是如果分母中含有相同因数的异分母分数相加减,又该怎样进行计算呢?这也是我们这节课要研究的新内容,分母中含有相同因数的异分母分数加减法。(板书课题:分母中含有相同因数的异分母分数加减法)
[设计意图] 用师生谈话的方法引入课题,不仅激发了学生的学习兴趣,还对学生进行了旧知的复习,同时又对新课的引入起到了重要的桥梁作用。
一、合作交流,探究新知
1.尝试计算,展示交流。
师:算一算710-16,并与同伴交流你的做法。
(1)学生自主尝试,师巡视。
(2)选择不同算法的学生板演。
预设 生1:
我是这样做的,先把两个分母直接相乘得出60,然后把两个分数分别变成分母是60的同分母分数:4260和1060,然后求出结果是3260,将结果约成最简分数是815。
生2:
我是这样做的,先找到分母10和分母6的最小公倍数30,也就是这两个分数的公分母,然后把这两个分数分别化成分母是30的同分母分数:2130和530,然后直接求出结果是1630,然后再约分,约成最简分数,求出最后的结果是815。
师:这两名同学的方法都计算出了正确结果,无论用其中的哪种方法都是正确的。
[设计意图] 先让学生通过小组合作计算出正确结果后指名板演,使学生自己通过计算领悟计算算理,然后教师加以订正和强调,使学生能够进一步理解计算方法。
2.思考,质疑。
师:这两种算法有什么不同?你认为哪种算法比较简便?
预设 生1:我发现这两种算法在通分的过程中所取的分母不同。
生2:我发现第二种算法是取分母10和6的最小公倍数来进行转化的。这种算法比较简便。
3.小结。
师:谁能总结一下分母中含有相同因数的异分母分数的计算方法?
预设 生:异分母分数相加减,要先通分,将分母不同的分数化成分母相同的分数,再相加减。通分可以选择两个分母的最小公倍数,这样比较简便。最后的结果能约分的要约分,化成最简分数。
二、算法交流
师:下面请同学们完成练习。(教师出示PPT课件)
预设 生1:在计算23+18时我是这样做的,先找到分母3和分母8的最小公倍数24,也就是这两个分数的公分母,然后把这两个分数分别化成分母是24的同分母分数:1624和324,最后求出结果是1924。
生2:在计算23+18时我是这样做的,先把两个分母直接相乘得出24,然后把两个分数分别变成分母是24的同分母分数:1624和324,最后求出结果是1924。
生3:在计算34-16时,我是这样做的,先找到分母4和分母6的最小公倍数12,也就是这两个分数的公分母,把这两个分数分别化成分母是12的同分母分数:912和212,求出最后的结果是712。
生4:在计算34-16时,我是这样做的,先把两个分母直接相乘得出24,然后把两个分数分别变成分母是24的同分母分数:1824和424,求出结果是1424,最后结果约成最简分数是712。
[设计意图] 通过巩固练习,加强学生对分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法的理解。
三、尝试验算。
师:通过刚才的学习我们已经掌握了异分母分数加减法的计算方法,请大家猜一猜:异分母分数加减法怎样计算比较简便?怎样对结果进行检验呢?
预设 生:把两个异分母分数化成以它们分母的最小公倍数为分母的分数进行计算。运用加减法中的加数与和、被减数和减数、差之间的关系进行验算。
师:这位同学说得非常好,我们可以运用加减法来进行验算。
(学生活动:以小组为单位,选择算式进行验算)
[设计意图] 本环节将学习的自主权交给了学生,学生经历了自主探究、合作交流、算法多样化的过程。在此过程中理解、掌握了异分母分数加减法的计算方法,同时培养了良好的验算习惯。
(师出示PPT课件)
1.填空题。
(1)计算47+59时,因为它们的分母不同,也就是( )不同,所以要先( )才能直接相加。
(2)59与13的和再减去它们的差,结果是( )。
2.判断。
(1)分数单位相同的分数才能直接相加减。 ( )
(2)1-25+35=1-1=0。 ( )
3.计算。
14-19= 56+34= 34-38=
4.完成教材第3页“练一练”第4题。
【参考答案】 1.(1)分数单位 通分 (2)23 2.(1)√ (2)? 3.536 1912 38 4.512 120 351124 23 12
[设计意图] 层次分明的练习,由浅入深,螺旋上升,不断引发学生思维的发展,在掌握新知的同时提升计算技能,发展了学生的数感。
这节课你学到了什么?你认为进行异分母分数加减法计算时要注意些什么?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法,掌握了异分母分数加减法的计算方法,在计算异分母分数加减法时,首先要把异分母分数化成同分母分数,然后再加减,结果能约分的要约成最简分数。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第3页“练一练”第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)817+617表示8个( ),加上6个( ),和是( )。
(2)计算47+59时,因为它们的分母不相同,也就是( )不相同,所以要先( )才能直接相加。
2.(重点题)算一算。
(1)我会算。
56-14 15+715 34-25
13+25 310+25 56-38
(2)解方程。
x+29=79 x-16=56
34+x=78 35-x=1-34
【提升培优】
3.(难点题)一根铁丝,第一次用去130米,第二次用去4140米。
(1)两次共用去多少米?
(2)第二次比第一次多用去多少米?
【思维创新】
4.(提高题)小李身高85米,小张比小李高120米,小王又比小张高150米,小王和小张的身高各是多少米?
【参考答案】
作业1:5.? 310-17=2170-1070=1170 ? 23+34=812+912=1712 ? 57-114=1014-114=914 6.x=13 x=910 x=524 7.雨天比晴天多占全月总天数的几分之几?13-310=130(答案不唯一) 8.
作业2:1.(1)117 117 1417 (2)分数单位 通分 2.712 23 720 1115 710 1124 (2)x=59 x=1 x=18 x=720 3.(1)130+4140=127120(米) (2)4140-130=119120(米) 4.小张:85+120=3320(米) 小王:3320+150=167100(米)
分母中含有相同因数的异分母分数加减法
分母相乘法 最小公倍数法
在本节课的教学设计中,因为学生已经掌握了异分母分数加减法的计算方法,首先要把异分母分数变成同分母分数再加减,所以在本节课的教学设计中,重点引导学生掌握分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法,引导学生从不同角度去解决问题。通过小组合作学习,找出分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法,然后教师加以补充说明,这样既分散了教学难点,同时又培养了学生自主探究的学习精神。
在解决问题的过程中,对指导学生规范解题强调不够到位。
应多给一些同学展示的机会,设计一些简单的问题,由浅入深地找不同程度的学生回答问题,激发学生的学习兴趣。指导学生选取恰当的公分母进行简便计算,并在计算过程中注意结果应为最简分数。
【练一练·3页】
1.13+19=39+19=49 13-16=26-16=162.不同意。应该先统一分数单位,再相加。正确做法是:14+12=14+24=34 3.78 59 215 124.512 120 35 1124 23 12 5.? 310-17=2170-1070=1170 ? 23+34=812+912=1712 ? 57-114=1014-114=914 6.x=13 x=910 x=5247.雨天比晴天多占全月总天数的几分之几?13-310=130(答案不唯一) 8.
56+724=( )24+( )24=( )8。
[名师点拨] 解决此问题的方法,可根据分数的基本性质和两个分数分母的最小公倍数进行判断,也就是把异分母分数化成同分母分数在进行计算,56和724的分母是6和24,把56转化成分母是24的分数,6×4=24,所以分子5也要乘4,所以第一个括号中应该填20,第二个括号中应该填7,原式就转化成2024+724,可以求出它们的结果是2724,然后再进行约分得到98,所以最后一个括号中应该填入9。
[解答]56+724=2024+724=98。
分数小故事
很久以前猫和老鼠住在同一间屋子里看守大庙。
有一天,老鼠说:“我大姐生孩子,我去一下。”猫说:“早去早回。”到了晚上,老鼠鼓着肚子就回来了,嘴边油乎乎的。猫问老鼠:“生了个什么?”老鼠说:“大胖小子!”猫又问:“叫什么名儿?”老鼠说:“三分之一!”
过了十来天,老鼠说:“我二姐生孩子,请我去吃饭。”猫说:“早点回来。”到了深夜,老鼠鼓着肚子回来了,嘴边油乎乎的。猫问:“你二姐生了个什么?”老鼠说:“大胖丫头!”“叫什么名儿?”猫问。老鼠说:“二分之一!”
又过了十来天,老鼠说:“我三姐生孩子,请我去做客。”猫说:“早点回来。”到了三更半夜,老鼠回来了,带着油味进了家门。猫问:“你三姐生了个什么?”老鼠说:“大胖小子!”猫问:“叫什么名儿?”老鼠说:“见底!”
到了冬天,猫说:“咱们家没什么吃的了,把大庙里的油拿出来吧!”老鼠不情愿地说“好吧。”老鼠走在前面,猫走在后面。到了大庙里,猫一看,油见了底。猫知道是怎么回事了。非常生气,再回头一看,老鼠早逃走了!
就这样,猫见了老鼠就抓,老鼠见了猫就逃!
异分母分数为什么要通分
同学们在做异分母分数加减法时,要先把它们转化成同分母分数才能相加减。这是为什么呢?我们知道,自然数以“1”为标准,逐次加1而组成自然数序列。也就是说,“1”是自然数的单位。“2”是由两个“1”组成的,“7”是由七个“1”组成的,“25”是由二十五个“1”组成的,等等。由于这样,所以任何两个自然数都可以直接相加减。例如:“2+5”就是两个“1”加五个“1”等于七个“1”,即等于7。但是分数就不同了。分数有没有单位?答案是肯定的。但是,不同的分数有着不同的分数单位。譬如23,实际上是由2个13组成的,所以23的分数单位是13;又如35,实际上是由3个15组成的,所以35的分数单位是15。一般地,一个最简分数nm的分数单位是1m。
同分母分数,因为它们的分数单位相同,所以能直接相加减。如35-25,就是3个15减去2个15,还剩下1个15,所以35-25=15。
异分母分数,因为它们的分数单位不同,所以不能直接相加减。如12+13,当然不能直接相加。为了使它们能够相加,就要把它们化成相同的单位,这就需要通分:12=1×32×3=36,13=1×23×2=26。12转化成36,13转化成26后,因为36和26的分数单位都是16,所以就可以相加了。用图形来示意,整个过程就是:
最后,我们再打个比喻:整数或同分母分数好比同名数,可以直接相加减。如5米+3米,就是直接把5与3相加等于8米。异分母分数好比异名数,不能直接相加减。如5米-3分米,就不能直接用5减去3,而是要把它们化成5米-0.3米(或50分米-3分米),然后才能用5减去0.3得4.7米(或50减去3得47分米)。
2 星期日的安排
日常生活中,会遇到一些需要用分数加减混合运算来解决的问题,本节内容结合“星期日的安排”提出了三个问题。第一个问题是用同分母分数的加减混合运算解决实际问题,并在解决问题的过程中体会整数加减混合运算的顺序对分数也适用;第二个问题用异分母分数加减混合运算解决实际问题。进一步在解决问题的过程中体会整数加减混合运算的顺序对分数也适用;第三个问题体会整数加法的运算律对分数也适用,并能根据运算顺序或运算律正确进行分数运算。
1.结合解决实际问题的过程,借助直观图,了解整数加减混合运算顺序与整数加法的运算律对分数也适用。
2.会根据分数加减混合运算的顺序与运算律正确进行分数的有关计算。
3.能解决简单的分数加减法的实际问题。
4.进一步体会分数加减法在生活中的价值,养成会独立思考,并善于与同伴交流想法的学习习惯。
【重点】 会根据分数加减混合运算的顺序与运算律正确进行分数的有关计算。
【难点】 能利用简便方法进行分数加减混合运算。
【教师准备】 PPT课件、硬纸板等。
【学生准备】 硬纸板。
1.口算下面各题。
34+18= 49-13=
815-25= 57-914=
2.说一说整数加减混合运算的顺序是怎样的。
【参考答案】 1.78 19 215 114 2.整数加减混合运算,有括号的先算括号里面的,没有括号的按照运算顺序进行计算。
方法一:创设情景,激趣导入
师:同学们,星期日你们都做什么?
预设 生1:星期日我和妈妈去图书馆看书。
生2:星期日我去福利院打扫卫生。
生3:星期日我去公园玩。
师:淘气调查了本班同学星期日的活动安排,你们想知道大家都在干什么吗?
预设 生:想。
(出示PPT课件:星期日的安排情景图)
淘气和笑笑分别调查了本班男、女生星期日的活动安排。
男生星期日活动安排表
女生星期日活动安排表
师:认真观察,从图上你获得了哪些信息?
预设 生1:我知道了淘气是按男女生统计的。
生2:我知道了男生户外活动人数占男生总人数的27。
生3:我知道男生去少年宫的人数占男生总人数的37。
生4:我知道了女生户外活动人数占女生总人数的38。
生5:我知道了女生去少年宫的人数占女生总人数的16。
师:根据这幅图,你能提出哪些数学问题呢?
预设 生1:我想知道男生留在家中的人数占男生总人数的几分之几。
生2:我想知道女生留在家中的人数占女生总人数的几分之几。
生3:我想知道留在家里的同学占全班总人数的几分之几。
师:要计算留在家中的同学占全班总人数的几分之几,怎么列算式呢?
预设 生1:把全班学生看作整体“1”,作为总数进行运算,减去户外活动的,再减去去少年宫的,剩下的就是留在家中的。
生2:先计算户外活动和去少年宫活动的和,再用“1”减去两项和。
师:好,这节课我们就来学习分数加减混合运算。(板书课题)
[设计意图] 用创设情景、复习导入的方法导入新课,使学生在轻松愉悦的心情下自然地进入主题。再加上课件的直观感知,引起学生情感上的共鸣,增强学生对知识的亲近感和求知欲,更符合五年级学生的年龄特点,更加增强学生学习的兴趣,使学生更主动地集中精力投入到学习中来,从而达到“学中乐,乐中学”的目的。
方法二:创设情景,导入新课
师:同学们,双休日你们都在干什么?
预设 生1:去爷爷奶奶家。
生2:去同学家。
生3:在家看书。
生4:看电视。
生5:看弟弟妹妹……
师:老师通过一次调查了解到我们班同学星期日的活动安排,你想知道大家都在干什么吗?
生:(兴趣极浓,大声回答)想知道。
师:你们想知道参加各项活动的同学人数占班级总人数的几分之几吗?
预设 生:想。
师:今天我们就来研究分数加减混合运算。(板书课题)
[设计意图] “双休日你们都在干什么?”“你想知道大家都在干什么吗?”这一话题的提出,吸引了学生的注意力,激发了学生们的表现欲望,为新知的学习做好铺垫。
方法三:创设情景、导入新课
师:今天想和同学们一起统计一下我们班同学星期日的活动,谁来说说你星期日做什么了?
预设 生1:我在家里写作业。
生2:我去叔叔家玩了。
生3:我帮妈妈洗衣服了。……
师:同学们,星期日能做各种各样的活动,我们学过统计,大家来统计一下吧!哪位同学想做一个小统计员?(找几位小统计员)
预设 生:(汇报)留在家里的同学是8人,占全班人数的十一分之四,出去玩的同学有五人,占全班人数的二十二分之三。
师:剩下的这部分同学占全班同学的几分之几呢?
预设 生:把这两部分的加在一起,再用“1”减去这部分。
师:能用全班人数去减吗?
预设 生:不能。
师:为什么用“1”呢?
预设 生:把全班人数看作单位“1”。
师:为什么把全班人数看作单位“1”呢?
预设 生:因为我们在全班同学里调查,调查出来的人数是占全班人数的几分之几,所以把全班人数看作单位“1”。
师:怎么列出算式?如何计算呢?这节课我们就继续来研究有关分数加减法的知识。
揭示课题:分数加减混合运算。
[设计意图] 单位“1”是本节课学习需要借助的以往核心知识之一,有必要引导学生进行有针对性的复习。
一、分数加减混合运算的顺序和方法
1.引导参与,探究怎样列式。
师:请同学们仔细观察大屏幕,五角星和六边形各代表什么?
(出示PPT课件)
淘气和笑笑分别调查了本班男、女生星期日的活动安排。
男生星期日活动安排表
女生星期日活动安排表
预设 生:五角星代表男生留在家中的人数占男生总数的几分之几。六边形代表女生留在家中的人数占女生总数的几分之几。
师:同学们,如果要计算出留在家中的男生人数占男生总数的几分之几,怎样列算式呢?留在家中的女生占女生总数的几分之几呢?
预设 生:根据表格信息,分别列出男生留在家中的人数占男生总数和女生留在家中的人数占女生总数的几分之几的算式。
师:现在就来试一试,分别写出男生和女生的算式。
(1)学生独立思考,自主探索。
(2)在独立思考的基础上,小组交流。
师:谁来汇报一下自己的探索过程?
预设 生1:要求留在家中的男生人数占男生总数的几分之几,就是把男生总数看作单位“1”,再计算留在家中的男生人数占男生总人数的几分之几。
生2:要求留在家中的女生人数占女生总数的几分之几,是把全班女生看成一个整体,并用“1”表示,然后再计算留在家中的女生人数占女生总数的几分之几。
2.探究方法。
师:谁能说一说,你是怎样列式计算男生留在家中的人数占男生总数的几分之几的?
(1)方法一:连减法。
预设 生1:首先把全班男生看作单位“1”,用单位“1”减去户外活动的男生人数占男生总数的几分之几,即27,再减去去少年宫的男生人数占男生总数的几分之几,即37,列式为1-27-37。1-27=57,57-37=27。可以借助画图法表示,更直观。
(教师随学生的回答板书:1-27-37=57-37=27)
(2)方法二:减和法。
生2:根据题意,可求出户外活动和去少年宫的男生人数共占男生总数的几分之几,然后用全班男生人数(单位“1”)减去户外活动和去少年宫的男生人数共占全班男生总数的几分之几,便可求出留在家中的男生人数占男生总数的几分之几,列式为1-27+37。等于1-57=27。
(教师随学生的回答板书:1-27+37=1-57=27)
师:谁能说一说你是怎样计算女生留在家中的占女生总数的几分之几的?
(3)方法一:连减法。
预设 生1:首先把全班女生看作单位“1”,用单位“1”减去户外活动的女生人数占女生总数的几分之几,即38,再减去去少年宫的女生人数占女生总数的几分之几,即16,列式为1-38-16。(教师板书:1-38-16)
(2)方法二:减和法。
生2:根据题意可以求户外活动和去少年宫的女生人数共占女生总数的几分之几,然后用全班女生总数(单位“1”)减去户外活动和去少年宫的女生人数共占女生总数的几分之几,便可求出留在家中的女生人数占女生总数的几分之几,列式为1-38+16。
(教师随学生回答板书:1-38+16)
[设计意图] 给学生独立思考和解决问题的机会。本题涉及分数中的剩余问题,对它的理解比对整数要困难得多,首先把教学重点放在算式的讨论与交流上。
3.探究运算顺序。
师:现在,请同学们根据自己的爱好,任意选择一道算式,试一试如何计算。
(1)学生独立思考,自主探索。
(2)在独立思考的基础上,小组讨论。
师:谁来汇报一下自己的探索过程?
预设 生1:我选择了“1-38-16”这一道题,计算过程是:
1-38-16
=58-16
=1524-424
=1124
生2:我也选择了“1-38-16”这一道题,但计算过程与他的不同,计算过程是:
1-38-16
=2424-924-424
=1524-424
=1124
生3:我选择了“1-38+16”这一道题,计算过程是:
1-38+16
=1-924+424
=2424-1324
=1124
生4:我也选择了“1-38+16”这一道题,计算过程比他的简单,计算过程是:
1-38+16
=1-1324
=1124
……
(教师随学生的回答板书计算过程)
师:刚才有很多同学汇报了他们的探索过程,为什么同样的算式,计算过程不一样呢?是不是都正确呢?(教师出示PPT课件)
1-38-16
=58-16
=1524-424
=1124
1-38-16
=2424-924-424
=1524-424
=1124
1-38+16
=1-924+424
=2424-1324
=1124
1-38+16
=1-1324
=1124
师:请同学们小组讨论:这几种算法对吗?各有什么特点?
预设 生:这几种算法都对,它们都是加减混合运算,有的带括号,有的不带括号。
师:那么怎样区分分数加减混合运算中,带括号的和不带括号的计算方法呢?
预设 生1:在没有括号的分数加减混合运算式中,可以先把算式中的分数通分,再按照从左往右的运算顺序依次进行加减计算,也可以按照运算顺序直接从左往右依次计算。
生2:在有括号的算式里进行分数加减混合运算,要先算括号里面的,再算括号外面的。
师:通过以上的学习,我们知道计算分数加减混合运算时,主要有以下两种计算方法:(教师出示PPT课件)
分数加减混合运算时,主要有以下两种计算方法:一是先将所有的分数全部通分,再进行计算;二是根据需要进行部分的通分。
师:这两种方法哪种合适,则需要根据具体的算式特点来确定。
[设计意图] 学生通过计算、比较、讨论分数加减混合运算的运算顺序,进一步掌握计算方法。这样让学生从多种角度去学习计算方法,知道了分数加减混合运算各种计算方法的联系和区别,在轻松活泼的课堂学习过程中对分数加减混合运算的计算方法有了更深刻的认识,有利于学生理解分数加减混合运算的顺序。
二、分数加减混合运算的简便算法
师:通过前面的计算,我们已经初步掌握了分数加减混合运算的运算顺序以及计算方法。那么,你们能判断一下淘气和笑笑的做法是否正确吗?(教师出示PPT课件)
师:请同学们独立思考、解决问题,然后再小组讨论、交流一下淘气和笑笑的做法有什么不同。
预设 生1:淘气的算法是先把算式中的分数通分,再按照从左到右的顺序依次进行计算。
生2:笑笑的算法是先用加法交换律,交换49与14的位置,再用加法结合律,求出49与59的和,再与14相加得出结果。
师:大家说得很对,比较一下,淘气和笑笑的算法,哪个比较好呢?
预设 生:笑笑的算法比淘气的算法好。
师:为什么呢?
预设 生:笑笑的算法比淘气的算法简便,而且不容易出错。
师:(师小结)其实,分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同,可以先通分,然后按照运算顺序依次计算。在计算时,注意应用加法交换律、结合律进行简便计算,也可以根据减法的运算性质进行简便计算。
[设计意图] 利用淘气和笑笑的解题例子,引导学生理解整数加减法的计算法则在分数加减法中也同样适用。
三、实践运用,内化新知
师:现在我们已经掌握了分数加减混合运算的运算顺序和计算方法,下面就请同学们应用所学的知识进行计算。
(教师出示PPT课件)
计算下面各题。
(1)38+15+58 (2)1-16+13
(3)13+59-19 (4)1-27-57
(学生独立计算,教师巡视后订正)
师:谁能说一说你是怎样计算的?
预设 生1:第(1)小题我是这样做的,我利用加法交换律把15和58交换位置,变成38+58+15,然后按照运算顺序先算38+58等于1,再把1同15相加求出结果得115。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
38+15+58=38+58+15=1+15=115
生2:我第(1)小题也是得115,但我不是他这样做的。我是运用加法交换律和加法结合律把38与15交换位置,然后把38和58用小括号括起来,变成15+38+58,先算38+58,再同15相加,求出结果也是115。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
38+15+58=15+38+58=15+1=115
生3:第(2)小题我是先算小括号里面的16+13,再用“1”减去它们俩的和,求出结果得12。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
1-16+13=1-12=12
生4:第(3)小题我是先算59-19得49,再用13+49,通分计算后得出结果是79。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
13+59-19=13+59-19=39+49=79
生5:第(4)小题,我是利用减法的性质,先算27加57,再用1减去它俩的和,求出结果是0。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
1-27-57=1-27+57=1-1=0
[设计意图] 在学生掌握了分数加减混合运算的运算顺序和计算方法的基础上,进一步进行实际应用,使学生能够灵活应用所学知识简便计算分数加减法。
师:下面老师就来检查一下同学们对分数加减混合运算的掌握情况。
1.计算。
79+56-23 34-58+512 35-58-15
2.填上适当的得数。
56
78
34
3.用简便方法计算。
813+38+513+18 512+79+712
32-79-29 917+149+817+49
89+57-89 67+512-67+712
4.一根铁丝,第一次剪去这根铁丝的12,第二次剪去这根铁丝的13,还剩下这根铁丝的几分之几?
【参考答案】 1.1718 1324 740 2.34 2928 1924 181168 23 2021 3.813+38+513+18=813+513+38+18=1+12=112 512+79+712=512+712+79=1+79=179或512+79+712=79+712+512=79+1=179 32-79-29=32-79+29=32-1=12 917+149+817+49=917+817+149+49=1+2=3 89+57-89=89-89+57=0+57=57 67+512-67+712=67-67+512+712=0+1=1 4.1-12-13=16
[设计意图] 通过不同层次的练习,可以对不同学生进行针对性的训练,一方面可以激发学生的兴趣,另一方面可以对学习有困难的学生有所激励。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了加减混合运算的运算顺序和计算方法,以及应用简便方法计算加减混合运算,还知道了分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合的运算顺序相同,在计算时,注意应用加法交换律、结合律进行简算,也可以根据减法的运算性质进行计算。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第6页“练一练”第1,2,3,4,5题。
作业2
1.(基础题)根据运算定律和减法的性质填空。
(1)38+34=34+ ?
(2)19+56+16=19+( + )?
(3)1312-27-57=1312-( + )?
2.(重点题)计算。
34+56-23 712-38+23
3.(重点题)简算。
1213+49-1213 57+114+1314+27
【提升培优】
4.(易错题)小区里有一个花园,其中杜鹃花的面积占花园的13,月季花的面积占花园的25,常青藤的面积占花园的415。种花的总面积比种常青藤的面积多占花园总面积的几分之几?
5.(重点题)超市有一些苹果,上午卖了全部的14,下午又卖出全部的58,还剩下全部的几分之几?
6.(情景题)这盒1升的牛奶还剩下多少升?
【参考答案】
作业1:1.1-310-12=15 2.1-13-18-16=38 3.910 25 712 4.(1)25+12=910 (2)1-910=110 5.一样多。一瓶纯果汁,全喝完了,所以果汁共喝1瓶;水:16+13+12=1(瓶),水共喝1瓶。
作业2:1.(1)38 (2)56 16 (3)27 57 2.1112 78 3.1213+49-1213=1213-1213+49=49 57+114+1314+27=57+27+114+1314=2 4.13+25-415=715 5.1-14-58=18 6.1-15+14+14=310(升)
星期日的安排
1.创设情景,激发学习兴趣。根据学生的年龄特点和心理特征,创设了有趣的活动情景。课的一开始,通过本班学生“星期日的安排”的情景,一下子就吸引学生的注意力,调动了他们强烈的学习兴趣。
2.重视学生的情感。整个教学过程中,基本上是以学生“主动探究——解决问题”为基本模式展开的。不仅让学生在自主学习的活动中不断充分、主动、积极表现自我,同时也注意用积极的语言评价学生的学习过程,让学生获得一种积极的情感体验,树立学好数学的信心。
在教学中应多给学生时间,让学生提出自己不懂或是不是很清楚的地方,然后再通过学生的小组合作学习,找到解决问题的方法,这样学生对知识的掌握会更加深刻。
再次设计时要多注重给学生提出问题的机会,多鼓励学生提出疑难问题,然后让学生带着问题去探讨和解决。对学生的不同计算方法,让学生更自由地表达自己的理解。
【练一练·6页】
1.1-310-12=15 2.1-13-18-16=38 3.910 25 712 4. (1)25+12=910 (2)1-910=110 5.一样多。一瓶纯果汁,全喝完了,所以果汁共喝1瓶;水:16+13+12=1(瓶),水共喝1瓶。
张宇一天的13时间用于学习和工作,18的时间用于用餐,16的时间用于参加娱乐活动,剩下的时间睡觉。
(1)每天的睡觉时间约占一天时间的几分之几?
(2)用餐、娱乐、睡觉的时间一共约占一天时间的几分之几?
[名师点拨] 把一天的总时间看作单位“1”,学习和工作的时间约占总时间的13,用餐的时间约占总时间的18,参加娱乐活动的时间约占总时间的16,剩下的时间就是睡觉的时间。
[解答] (1)1-13-18-16=2424-824-324-424=924=38
答:每天的睡觉时间约占一天时间的38。
(2)18+16+38=23或1-13=23
答:用餐、娱乐、睡觉的时间一共约占一天时间的23。
【知识拓展】 整数加法的结合律、交换律及减法的性质同样适用于分数的加减运算。
运动员吃水果
运动会刚结束,热情的服务员就送来了芒果、西瓜和菠萝。现在知道全体运动员一共吃了65个水果,而且正好是2人吃一个芒果,3人吃一个西瓜,4人吃一个菠萝。请你想一想,一共有多少名运动员?芒果、西瓜、菠萝各有多少个?
2人吃一个芒果,则每人吃12个,3人吃一个西瓜,则每人吃13个,4人吃一个菠萝,则每人吃14个。
因为只知道三种水果的总数,所以我们要着眼于从总体上考虑问题。从总体上看,三种水果的总数是65个,而每个人吃了12+13+14=1112(个)。求出65里面有多少个1112,就是求65÷1112=65÷1312=65×1213=60(人)(以后会学),所以运动员的人数是60.芒果、西瓜、菠萝分别为60÷2=30(个),60÷3=20(个),60÷4=15(个)。
按照计算法则分类,这是归一还原问题,它的基本公式是:总量÷单一量=人数。
在计算这类问题时,思维要活跃一些,不能死守框框。这里的单一量不是每个人吃的一种水果的量,而是每人吃的三种水果的量之和。不突破水果品种的限制,单一量就求不出来。
奇怪的结果
两个少年在市场上卖苹果。一个少年打算两个苹果卖一元,能卖十五元;另一个少年打算三个苹果卖一元,能卖十元。两个少年加起来一共能卖二十五元。为了表示友好和便于买卖,他们商定:把两个人的苹果合起来卖,不挑不选,五个二元钱。卖完后,他们惊奇地发现:总数只卖了二十四元,比两人分开卖少了一元。
实际上,当两个少年把苹果合在一起卖的时候,已经不是按照自己的价格了。要是他们考虑到这一点,就不会感到奇怪了。让我们看看他们是怎样少了一元钱的。
要是他们各自单独卖苹果,第一个少年要两个苹果卖一元,就是一个苹果卖12元;另一个少年要三个苹果卖一元,就是一个苹果卖13元。当他们把苹果和在一起,并且按每五个苹果卖二元的时候,每个苹果的价格就变成了25元。这就是说,第一个少年的苹果不是按12元一个卖的,而是按25元一个卖的,每个苹果少卖了11012-25=110元,一共有三十个苹果,共少卖了三元钱。另一个少年的苹果也不是按13元一个卖的,同样是按25元一个卖的,每个苹果多卖了11525-13=115元,一共有三十个苹果,共多卖了二元。所以两个人合起来卖就比各自单独卖一共少了一元。
温馨的动物家庭
在一个茂密的森林里,住着许多可爱的小动物,有博士小兔聪聪,美丽的小猫美美,可爱的小狗拉拉,漂亮的小孔雀乖乖等,他们都住在一个大家庭里。
有一天,小兔聪聪和小猫美美出去散步。在散步的途中,他们看见小狗拉拉在后花园种东西。于是,小兔聪聪和小猫美美走过去,问小狗拉拉:“你在种什么呀?”小狗拉拉说:“我种的是花生。”小兔聪聪看着花生说了一个关于花生的问题:“1千克花生中约含蛋白质14千克,脂肪1225千克,碳水化合物320千克。请你们根据这段信息,提出一个数学问题并解答。”小猫美美挺聪明的,马上说出了一个问题:“花生中含脂肪和碳水化合物比蛋白质多多少千克?”小狗拉拉也不落后,急忙回答:“1225+320-14=1950(千克)。”“太对了,你们真聪明啊!”小兔聪聪说。它们都开心地笑了。
这些可爱的小动物就住在这样一个温馨的家庭中,一个数学家庭中。
3 “分数王国”与“小数王国”
本节标题中的“分数王国”和“小数王国”,既有数学味道,又有童话味道,意在引发学生的好奇心与想象力,以吸引学生主动参与学习。教科书提出三个问题。第一个问题在探索比较0.06与120大小的方法的过程中,学习小数与分数的互化。以比较0.06与120大小的问题为例,引导学生学习分数化为小数、小数化为分数的问题。教科书呈现了三种不同的方法,启发学生从多角度思考分数与小数互化的道理。这些方法都是学生在探索中可能想到的方法,同时也展开了解决分数与小数互化的常用方法;第二个问题借助直观模型——数线进行小数与分数的互化。这个问题充分体现了本节标题的童话特点,在“小数王国”里设计了小数尺,在“分数王国”里设计了分数尺,在进行数值比较时,提出:你能帮助“翻译”吗?引导学生体会在数线上的同一个点既能表示一个分数,也能表示一个小数,这个事实也让学生认识到分数与小数的互化,是同一个数的不同形式之间的转化;第三个问题在交流小数与分数互化的过程中,归纳互化的道理和方法。这是四道分数和小数互化的题目,鼓励学生在互化的实践过程中,探索和总结分数化为小数和小数化为分数的根据与方法。通过上述问题的探索,教科书从必要性、算理和运算两个方面有层次地解决了分数和小数互化的问题。
1.结合比较小数与分数大小的具体例子,探索小数与分数比较大小的方法,掌握分数与小数相互转化的方法,
2.结合表示分数或小数的直观模型,进一步体会小数与分数相互转化的方法。
3.理解分数、小数互化的必要性;能正确地将简单的分数化为有限小数;能正确地将有限小数化为分数。
4.通过探究分数与小数的互化过程,培养学生提出问题、解决问题的能力。
5.向学生渗透事物之间可以相互转化的思想,养成遇到问题积极动脑思考、想办法解决的好习惯。
【重点】 掌握分数与小数互化的方法,能正确地将简单的分数化为小数。
【难点】 能正确地进行分数与小数之间的互化。
【教师准备】 PPT课件、硬纸卡等。
【学生准备】 硬纸卡。
在10×10的方格中用阴影表示0.4。
【参考答案】
方法一:创设情景,导入新课
师:今天游乐园来了很多小朋友,他们遇到了一些关于分数和小数的数学问题,你们愿意帮助他们解决吗?
预设 生:愿意。
师:同学们非常乐于助人,要想帮助他们解决难题,并不是一件容易的事,必须有一定的知识基础,老师先来考考大家,敢接受吗?
预设 生:敢。
(师出示PPT课件)
1.说出下列各分数的意义。
15 38 47 512
2.填空。
(1)根据分数与除法的关系,3÷5=( )
(2)0.8表示( )分之( )。
(3)0.03表示( )分之( )。
预设 生1:15表示把单位“1”平均分成5份,取了其中的1份。
生2:38表示把单位“1”平均分成8份,取了其中的3份。
生3:47表示把单位“1”平均分成7份,取了其中的4份。
生4:512表示把单位“1”平均分成12份,取了其中的5份。
生5:根据分数与除法的关系,3÷5=35。
生6:0.8表示十分之八,0.03表示一百分之三。
师:同学们对分数和小数的这些知识掌握得真不错,怎样比较分数和小数的大小呢,下面让我们一起进入小数和分数王国共同探讨分数和小数的互化。(板书课题:“分数王国”与“小数王国”)
[设计意图] 复习旧知,为新课做铺垫。激发学生的求知欲望,从而激发学生学习新知的兴趣,并结合生活中的具体事例,让学生体会到数学就在我们身边,同时以问题入手,激发学生学习数学的好奇心和积极地探究态度。
方法二:创设情景,导入新课
师:今天,老师带着你们一起去分数王国和小数王国里玩一玩。
(PPT出示教材第7页情景图)
师:看,分数王国里都有哪些数呢?
预设 生:分数王国里有:425,34,74,120。
师:小数王国呢?
预设 生:小数王国里有:1.8,0.8,0.06,0.25。
师:分数王国的士兵和小数王国的士兵吵了起来,他们吵什么呢?
预设 生:120和0.06都说自己更大。
师:120和0.06哪个数大呢?这节课我们就来探究分数与小数的关系。(板书课题:“分数王国”与“小数王国”)
[设计意图] 利用教材中的情景图,激发学生的学习兴趣,并结合情景图提出相应的实际问题,为新课的顺利开展起到了良好的铺垫。
方法三:创设情景、导入新课
(教师出示PPT课件)
1.看图写出分数和小数。
小数表示:( ) 分数表示:( )
预设 生:用小数表示是0.23,用分数表示是23100。
2.说出下列各分数的分数单位和有几个这样的单位。
310,910
预设 生1:310的分数单位是110,有3个110。
生2:910的分数单位是110,有9个110。
3.填空:
0.3里面有( )个十分之一,它表示( )分之( )。
0.17里面有( )个百分之一,它表示( )分之( )。
0.009里面有( )个千分之一,它表示( )分之( )。
预设 生:0.3里面有3个十分之一,它表示十分之三,0.17里面有十七个百分之一,它表示一百分之十七,0.009里面有9个千分之一,它表示一千分之九。
师:这节课我们根据分数与小数的关系来学习分数与小数的互化。(板书课题:“分数王国”与“小数王国”)
[设计意图] 利用学生已经学过的知识解决相应的问题,既帮助学生复习了前面的知识,同时又为新课的顺利开展起到了良好的桥梁作用。
一、分数与小数大小的比较
师:老师相信同学们一定会用智慧解决问题,有没有信心?
预设 生:有。
师:让我们一起来看题目。(出示PPT课件)
比一比,“小数王国”里的0.06与“分数王国”里的120哪个数大?先独立思考,把方法记录下来,再和小组同学交流。
(学生按照要求探究比较120和0.06这两个数的大小的方法,教师巡视)
师:谁能说一说你们小组用的是什么方法比较出这两个数的大小的?
方法一:画图法。
预设 生:我们小组是用画图法比较的。用两个相同的正方形表示“1”时,把正方形平均分成100个小正方形,0.06就是其中的6个小正方形,120就是其中的5个小正方形,所以0.06>120。
师:这名同学说得非常好,先把两个完全一样的正方形平均分成100个同样的小正方形,然后分别取出其中的6个和5个小正方形,因为分同样多的份数,也就是单位“1”相同,取的份数多的数就大,所以0.06>120。(教师板书)
(教师在学生说完后,加以强调,并演示PPT课件)
0.06>120
师:那么0.06和120除了用画图的方法比较大小,还有没有别的方法呢?(教师板书:0.06,120)
[设计意图] 通过学生自己涂色,理解题意。并通过PPT课件的应用,激发学生的学习兴趣。
方法二:把分数化成小数来比较。
预设 生1:老师,我们小组是根据分数与除法的关系,把分数化成小数来比较的。因为120=1÷20=0.05,0.06>0.05,所以0.06>120。
(教师随学生的回答板书:根据分数与除法的关系把分数化成小数:120=0.05,所以120<0.06)
方法三:把小数化成分数来比较。
生2:我们小组是把小数化成分数来比较的。根据小数的意义可以把小数化成分数:因为0.06=6100,120=5100,6100>5100,所以0.06>120。
(教师板书:根据小数的意义可以把小数化成分数:因为0.06=6100,120=5100,6100>5100,所以0.06>120)
师:同学们非常聪明,想出了这么多办法比较分数与小数的大小。分数与小数比较大小时,可以用画图法、分数化成小数法、小数化成分数法进行比较;分数化为小数,是用分子除以分母;小数化为分数,先把小数改写成分母是10,100,1000,…的分数,再约分成最简分数。
[设计意图] 引导学生根据分数与除法的关系,以及小数的意义来比较分数的大小。
二、分数化成小数的方法
师:“分数王国”和“小数王国”里分别有相同的尺子,两位国王想请你们帮忙翻译,你们愿意帮助他们吗?
预设 生:愿意。
(教师出示PPT课件)
师:怎样帮助分数王国呢?
预设 生:根据分数与除法的关系,把分数写成除法计算。
师:真聪明!谁能说一说你的计算过程呢?
预设 生1:根据分数与除法的关系,18=1÷8=0.125。
生2:根据分数与除法的关系,48=4÷8=0.5。
生3:根据分数与除法的关系,68=6÷8=0.75。
生4:根据分数与除法的关系,78=7÷8=0.875。
(教师随学生的回答将课件中的空填上)
三、小数化成分数的方法
(教师出示PPT课件)
师:怎样帮助小数王国呢?我们怎样把小数化成分数呢?
预设 生1:一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
生2:把小数化成分数,原来有几位小数,就在1后面写几个0作分母,原来的小数去掉小数点作分子。
师:小数化成分数,把小数化成分母是10,100,1000,…的分数,能约分的要约分。大家只要运用这个规律,就能帮助小数王国。请同学们独立完成后汇报。
预设生1:0.15=15100=320。
生2:0.25=25100=14。
生3:0.4=410=25。
生4:0.45=45100=920。
(教师随学生的回答将课件中的空填上)
四、分数与小数的互化
师:同学们真聪明,你们能根据所学知识把下面分数化成小数或把小数化成分数吗?
(出示PPT课件)
把下面的小数化成分数或把分数化成小数,与同伴交流你的做法。
425= 74=
0.24= 1.8=
师:请同学们独立完成后,小组内交流做法,并汇报出你的互化方法:
预设 生1:根据分数与除法的关系,425=4÷25=0.16。
生2:74=7÷4=1.75。
生3:根据小数的意义:0.24=24100=625。
生4:1.8=1810=95。
(教师随学生的回答板书)
五、拓展延伸,丰富活力
师:同学们真了不起,学会了这么多的数学知识。接下来老师就要考考大家,看看你们是否会运用这些知识解决实际问题。
(出示PPT课件)
有三位同学进行登山比赛,从山下到山顶,甲用了34小时,乙用了0.8小时,丙用了325小时,你能比较出哪位同学登得快吗?先试着做,然后汇报。
预设 生1:我们是用把分数化成小数的方法来比较的。
因为34=0.75,325=0.12,所以0.8>34>325,由于三位同学进行的是登山比赛,也就是说,用的时间越少,登山的速度就越快,因此,丙的登山速度最快。
生2:我们是用把小数化成分数的方法来比较的。
0.8=810=45,然后把34,325,45化成同分母分数分别是75100,12100,80100,因为12100<75100<80100,所以325<34<0.8,因此也可以得出丙的速度最快。
师:大多数同学们做这道题都是用把分数化小数的方法来比较大小的。为什么不用小数化成分数的方法呢?
预设 生:小数化分数的方法比较麻烦,分母不同得先通分化成同分母分数才能比较大小。
师:当分数和小数比较大小时,一般都把分数转化为小数来比较。
[设计意图] 利用教材中的情景图,引导学生探究分数化成小数的方法、小数化成分数的方法,并利用所学习的方法进行分数与小数的互化和实际应用。
1.分别用分数和小数表示下面的阴影部分。
分数:( )( )
小数:( )
分数:( )( )
小数:( )
2.把下面的小数化成分数。
0.3= 0.25= 0.45=
1.06= 2.5= 0.375=
3.把下面的分数化成小数(不能化成有限小数的,保留两位小数)。
4.连一连。
5.在上面的方框中填上小数,在下面的方框中填上分数。
6.甲乙两人加工一批零件,甲平均每分钟加工0.8个,乙平均每分钟加工79个,谁的工作效率高些呢?
【参考答案】 1.710 0.7 12 0.5 2.310 14 920 1350 212 38 3.0.67 0.6 0.5625 0.175 0.16 0.73
4.
5.
6.甲的工作效率是0.8,乙的工作效率是79≈0.78,甲的工作效率高一些。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:这节课我们一起学习了分数与小数的互化。
生2:通过这节课的学习,我们深深地体会到数学来源于生活,应用于生活。
师:希望同学们能够运用今天所学的知识去解决生活中更多的实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识,为学生能更好地运用所学知识解决问题提供了良好的铺垫。
作业1
教材第8页“练一练”第1,2,3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)把下列小数和与它相等的分数连起来。
0.6 0.12 0.55 0.82 3.025
4150 35 3140 325 1120
2.(重点题)把下列小数化成最简分数,把分数化成小数。
0.71= 0.47= 1.07=
7.25= 0.02= 516=
3.(基础题)把下面的小数化成分数,并记住这些结果。
0.2= 0.4= 0.6=
0.8= 0.5= 0.25=
0.75= 0.125= 0.375=
0.625= 0.875= 0.05=
【提升培优】
4.(易错题)把31320,3.64··,38,72,0.376按从小到大的顺序排列起来。
5.(情景题)折同样多的纸鹤,谁快一些?
【思维创新】
6.(探究题)请在下面的式子中填写分数。
15>( )>16
15>( )>16
【参考答案】
作业1:1.> > < 说一说①19和0.1,因为0.1=110,19>110,所以19>0.1 ②110和0.09,因为110=0.1,0.1>0.09,所以110>0.09 ③1.66和53,因为53=1.666…,1.66<1.666…,所以1.66<53 2.110 310 12 35 1825 4950 0.65 0.75 0.9 1.05 3. 4.? 25=0.4 ? 0.05=120 ? 0.02=150 5.(答案不唯一)例:妈妈买的香蕉,有2.13千克重。我家衣柜里23是妈妈的衣服。
作业2:1. 2.71100 47100 107100 714 150 0.3125 3.15 25 35 45 12 14 34 18 38 58 78 120 4.38<0.376<72<3.6·4·<31320 5.1.1<65 美美快一些 6.1160 1475(答案不唯一)
“分数王国”与“小数王国”
0.06>120 0.15=15100=320
0.25=25100=14
0.4=410=25 0.45=45100=920
根据分数与除法的关系:425=4÷25=0.16 74=7÷4=1.75
根据小数的意义:0.24=24100=625 1.8=1810=95
本课时通过趣味童话情景,引导学生探索分数与小数之间的内在联系,借助于操作、交流、分享等多种活动,在求知的欲望被积极调动起来的前提下,通过多种方式、多种方法展开知识的全方位的学习。
在比较小数与分数的大小时,注重引导学生把分数化为小数、小数化为分数的方法作为重点,并引导学生在分数与小数互化的两种方法中,体会从已知到未知的推理过程,并用“因为……所以……”,以培养学生的数学表达能力。
在小数化成分数、分数化成小数的过程中,完全体现了本节标题的童话特点,利用教材中的情景图,激发学生的学习兴趣,同时也为学生更好地理解分数与小数的互化。
对学生解决问题的方法,教师有些急于给出肯定的赞誉,压缩了部分同学的思维空间。
对学生提出的解决问题的方法,可先让学生进行评价,充分听取学生对解决问题过程的表述,为学生提供更多的交流合作空间。
【练一练·8页】
1.> > < 说一说①19和0.1,因为0.1=110,19>110,所以19>0.1 ②110和0.09,因为110=0.1,0.1>0.09,所以110>0.09 ③1.66和53,因为53=1.666…,1.66<1.666…,所以1.66<53 2.110 310 12 35 1825 4950 0.65 0.75 0.9 1.053. 4.? 25=0.4 ? 0.05=120 ? 0.02=150 5.(答案不唯一)例:妈妈买的香蕉,有2.13千克重。我家衣柜里23是妈妈的衣服。
【练习一·9页】
1.910 112 1112 718 2524 1315 2.(1)12+13=56(2)读少于4本书的人数共占全班人数的几分之几?110+12+13=1415(答案不唯一) 读2本书的人数比读1本书的人数多占全班人数的几分之几?12-110=25 3.
4.
5.2 13 1715 0 6.5 4(答案不唯一) 7.? 34-18=68-18=58 ? 23+15=1315 ? 49=0.4· ? 0.06=350 8.x=1718 x=1120 x=0.4 x=1328 y=0.1 y=2320 9.(1)1-25=35 (2)25-120=720 10.12-13=16 13-14=112 14-15=120 15-16=130 19-110=190 规律:1n-1n+1=1n(n+1)
(1)把下列分数化为小数。
58 14 120
(2)把下列小数化为分数。
0.225 0.3 0.85
[名师点拨] 分数化为小数,利用分数与除法的关系,用分子除以分母。小数化为分数,先把小数改写成分母是10,100,1000,…的分数,再约分成最简分数。
[解答] (1)58=0.625 14=0.25 120=0.05
(2)0.225=940 0.3=310 0.85=1720
【知识拓展】 分数化为小数,当分母只含有因数2或5时一定能化为有限小数。
分数和小数的历史渊源
完整的分数概念是建立在整数之比基础上的,它产生于整数的除法之中。在我国很早就有合理的分数表示法,在筹算中,除法本身就已经包含了分数的表示法。我国的《九章算术》是世界上最早的系统叙述分数的著作,比欧洲要早出1400余年。大约在公元三四世纪,印度才开始出现与我国同样的分数表示法。在《九章算术》“方田章”中,就有关于“约分”“通分”“合分”(分数加法)“减分”(分数减法)“乘分”(分数乘法)“经分”(分数除法)“课分”(分数的大小比较)“平分”(求分数的平均数)等分数运算法则的记载。其中约分法与现在一样,先求最大公因数,后用最大公因数分别除分子、分母。在做除法时,将除数的分子、分母颠倒而与被除数相乘,这在当时来说是很了不起的创造。
小数与十进位
小数,即不带分母的十进分数。小数的产生有两个前提:一是十进制记数法的使用;二是分数概念的完善。小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数,使分数与整数在形式上获得了统一。我国对小数的认识在世界上也是最早的。公元3世纪,我国数学家刘徽在注释《九章算术》中处理平方根问题时就提出了十进小数。
第1单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、我会算(18分)
19-118 23+215 34+56
13+29+23 823+79-823
27+12-27+12 85-14+25
35-14+25 56-12+16
二、我会选(20分)
1.分母是10的所有最简真分数的和是( )。
A.1 B.2
C.3 D.412
2.下列算式中,结果不是13的是( )。
A.16+16 B.1-13
C.1-23 D.23-13
3.用简便方法计算133-13+16的第一步算式是( )。
A.133-13+16 B.133-13-16
C.133+13-16 D.133+13+16
4.计算39+18+69+78,运用( )可以使计算简便。
A.加法结合律
B.乘法交换律
C.加法交换律
D.加法交换律和加法结合律
5.李师傅5小时加工3个零件,平均加工每个零件所需要的时间是( )小时。
A.35 B.113 C.15 D.53
三、我会比较大小(18分)
23+14+57○1118
56+58+34○3
78-13+12○0
1+12-13○16
910-34+110○1
2○12+13+116
四、解决问题(44分)
1.
他俩一共吃了这块蛋糕的几分之几?(6分)
2.一根铁丝第一次用去35 m,第二次用去16 m,两次一共用去多少米?第一次比第二次多用多少米?(6分)
3.聪明豆做数学作业用了25小时,做语文作业用了13小时,做这两项作业相差多长时间?(6分)
4.一根竹竿垂直插入水中,入水部分长710米,露出水面部分长35米,这根竹竿长多少米?(6分)
5.爸爸带小丸子去徒步,8:00出发,8:30已经走了全程的14,9:20又走了全程的13,还要再走全程的几分之几就到达终点?(6分)
6.一块地,它的215种西瓜,112种香瓜,其余的种哈密瓜,种哈密瓜的面积占这块地总面积的几分之几?(6分)
7.一个果园里种了三种果树,梨树的种植面积占果园总面积的16,桃树的种植面积占果园总面积的14,其余的都种苹果树。(8分)
(1)请画出这个果园里三种果树种植面积的示意图。
(2)请算出苹果树的种植面积占果园总面积的几分之几。
★附加题
有一串分数排列如下:13,12,59,712,35,1118……按照此规律排列下去,第1998个分数是多少?
【参考答案】
一、118 45 1912 119 79 1 1920 34 16
二、1.B 2.B 3.B 4.D 5.D
三、> < > > < =
四、1.18+19=1772 2.35+16=2330(m) 35-16=1330(m) 3.25-13=115(小时) 4.710+35=1310(米) 5.1-14-13=512 6.1-215+112=4760 7.(1)略 (2)1-16-14=712
附加题 2×1997+11998×3=39955994
本单元的主要内容有“异分母分数加减法”“分数的加减混合运算”和“分数与小数的互化”三部分。
“分数加减法”这部分教学内容在《数学课程标准》中属于“数与代数”领域的知识。在内容上,三部分知识以两条脉络展开。一条是“异分母分数加减法”与“分数的加减混合运算”构成的运算知识脉络,这是本单元的主要内容;另一条是分数与小数大小比较脉络,由此引出“分数与小数的互化”知识,它与“分数认识”和“小数认识”有着直接的联系。分数与小数互化问题的解决,既为解决分数与小数大小比较提供了方法,也为异分母分数加减法提供了一种方法。更重要的意义还在于它从运算上揭示了小数与分数这两个数概念之间的联系;有限小数和无限循环小数也反映了部分与整体的关系,实际上小学阶段所涉及的小数也是分数。这是对小数和分数认识的进一步深化。
学生是在对小数认识与分数认识的基础上学习小数与分数的互化知识的,因此“分数王国”与“小数王国”这一教学内容学生接受不是很难;异分母分数加减法的学习则涉及以前学过的同分母分数加减法、通分、约分等知识,而通分与约分的知识又涉及最大公因数与最小公倍数的知识,因此在教学中要处理好新旧知识转化问题。
1.理解异分母分数加减法及加减混合运算和分数与小数互化的依据。
2.能正确地进行异分母分数加减法及加减混合运算和分数与小数的互化及大小比较。
3.能结合不同情景,解决简单的有关分数加减法的实际问题。
1.在探讨异分母分数加减法计算方法的过程中,理解计算的道理,体会数学知识之间的内在联系。
2.在探索把异分母分数加减法转化为同分母分数加减法计算的过程中,体验直观模型与转化思想的运用。
在解决问题的过程中,发展数学应用意识,形成独立思考的习惯。
感受数学思想方法的魅力,发展主动探索精神和科学探索态度。
【重点】 掌握异分母分数加减法和分数混合运算的计算方法。
【难点】 探索并掌握分数与有限小数互相转化的方法。
1.新旧知识链接,将旧知识转化成新知识
异分母分数加减法、分数混合运算、分数与小数的互化知识是在学生已经学过分数的初步认识和同分母分数的加减法及其应用(二年级),小数的认识和加减法(四年级),倍数和因数、分数的再认识、通分、约分、分数大小比较(五年级上册)这些知识的基础上展开学习的,要做好对旧知识的复习巩固,找到新旧知识的链接点,将新知识合理转化成旧知识来进行探究学习。
2.突出对异分母分数加减法算理的理解,为后继知识的学习进行方法的铺垫
学生在五年级下册还要进行对分数乘、除法及应用知识的学习,在六年级上册还要进一步对分数的混合运算及解决相关的实际问题进行探究学习,所以这部分学习内容是对后继知识的学习进行方法的铺垫,必须对算理进行深入的探究学习,并在理解的基础上熟练掌握。
3.联系生活实际,理解分数与小数互化知识在现实生活中的意义及互化方法
在“分数王国”与“小数王国”的争论情景中,让学生理解分数与小数互化问题的实际意义,从而探究分数与小数互化的方法。
1 折 纸
异分母分数加减法是本单元的核心内容。本节课的重点是探索异分母分数加减法的计算方法。
在学习异分母分数加减法之前,学生虽能熟练运用“分母不变、分子相加减”进行同分母分数加减计算,但并未完全理解分数加减法的意义。为此,教科书设计了“折纸”活动这一情景,目的是结合具体情景和几何直观,帮助学生理解异分母加减法的计算道理。教科书提出了三个问题:第一个问题是探究异分母分数加法的算法和算理;第二个问题是探究异分母分数减法的算法和算理;第三个问题引导学生总结异分母分数加减法的计算方法,正确进行计算。
在“试一试”中,对于分母中含有相同因数的异分母分数,通分是个难点。教科书呈现了分母直接相乘和求异分母最小公倍数这样两种可能的通分方法,启发学生从多角度理解在分数加减运算中的通分方法。这一方面反映了学生在探索中可能出现的解法;另一方面也表示了在教学中对这两种方法的认同,也就是说,通分时不必苛求公分母必须是异分母的最小公倍数。
1.经历探索异分母分数加减计算方法的折纸操作与通分的活动过程,理解计算道理,体验分数直观模型和数学“转化”思想在解决问题中的运用。
2.能正确地进行异分母分数加减法计算及解决有关的实际问题。
【重点】 能正确计算异分母分数的加减法。
【难点】 理解异分母分数加减法的算理。
第课时 异分母分数加减法
1.经历异分母分数加减法计算方法的折纸操作与通分的活动过程,理解计算道理,体验分数直观模型和数学“转化”思想在解决问题中的运用。
2.能正确地进行异分母分数加减法(分母互质或分母具有倍数的关系)计算及解决有关的实际问题。
【重点】 探索异分母分数加减法的计算方法。
【难点】 理解异分母分数加减法的计算算理。
【教师准备】 多媒体课件、卡纸、硬纸板等。
【学生准备】 卡纸。
同学们假期一定过得很愉快吧?你们都做了哪些有意义的事情?(学生畅所欲言)你们是否在欢乐之余进行了学习?做到温故知新了吗?为了检查你们的知识掌握是否牢固,有几道题大家来做一做吧!
1.将下面每组数通分。
13和49 34和56
2.计算下面各题。
15+25= 37+27=
47-17= 1115-1115=
【参考答案】 1.39和49 912和1012 2.35 5737 0
方法一:创设情景,复习导入
1.口算下面各题,并说出你是怎样计算的。
(PPT课件出示练习题)
34+24 1220-620 424+624
师:谁能说一说你是怎样算的?
预设 生:(生总结算法)同分母分数相加减,分母不变,分子相加减。
2.用分数表示下面的阴影部分,并观察两个分数表示的部分是否相同。
预设 生:上图中的阴影部分分别用24和12表示,24和12表示的部分相同,但是两个分数的分母不同。
师:是的,我们把分母不相同的分数称为“异分母分数”,异分母分数加减法应该怎样计算呢?这节课我们就来探究这个问题。(板书课题:异分母分数加减法)
[设计意图] 用创设情景、复习导入的方法导入新课,使学生在轻松愉悦的心情下自然地进入主题。再加上课件的直观感知,引起学生情感上的共鸣,增强学生对知识的亲近感和求知欲,更符合五年级学生的年龄特点,更加增强学生学习的兴趣,使学生更主动地集中精力投入到学习中来,从而达到“学中乐,乐中学”的目的。
方法二:师生谈话、提出问题
师:前段时间我们都在学习(板书:分数),关于分数,我们已经学过了哪些知识?
预设 生:我们学过最简分数,比如:12,56,79……
师:现在,请你说一个自己喜欢的最简分数。如:12,25,34,57,49。
预设 生1:我最喜欢的最简分数是12。
生2:我最喜欢的最简分数是57。
……
师:如果选择两个分数(圈出两个能化成有限小数的异分母分数,如:12,25),我们可以研究它们什么?
预设 生1:比较它们的大小。
生2:求它们的和是多少。
生3:求它们的差是多少。
师:今天我们就来继续研究分数加减法。
(出示PPT课件)
12+13 79-13 517+12
师:仔细观察这些算式,跟前面刚学的有什么不同?下面,我们就来研究异分母分数加减法。(板书课题)
[设计意图] 用师生谈话的方法引入课题,不仅激发了学生的学习兴趣,还对学生进行了旧知的复习,为新课的开启起到了重要的桥梁作用。
方法三:创设情景、复习铺垫
(出示孙悟空和猪八戒卡通图片)
师:同学们看看这两个人物是谁呀?
预设 生:孙悟空和猪八戒。
师:这节课他们将陪我们一起学习,你们高兴吗?
预设 生:高兴。
师:在西天取经的路上,可以说他们历尽磨难,师父唐僧有时也会给他们出一些题目,要是全做对了就有奖励,这不师父又给他们二人出题了,想知道师父出了什么题吗?
(PPT课件出示同分母分数加减法题目)
59+89 18+78 1924-1324
1936+336 57+47 512+712
师:同学们,这几题可把孙悟空和猪八戒难住了,你们愿意帮助他们解答吗?
预设 生:愿意。
师:谁愿意帮助猪八戒解答这几道题?
59+89 18+78 1924-1324
预设 生1:139。
生2:1。
生3:14。
师:谁愿意帮助孙悟空解答?
1936+336 57+47 512+712
预设 生1:1118。
生2:97。
生3:1。
师:同学们全算对了,可是孙悟空和猪八戒还是不会算呀,谁来告诉他们计算像这样同分母分数相加减的题目的方法是什么?
预设 生:同分母分数相加减,分母不变,分子相加减,结果化成最简分数。
师:孙悟空和猪八戒按照我们的方法,也将师父出的题目全做对了,师父奖励他们每人一张同样大小的饼。
师:如果变成分母不同的分数加减法你们会算吗?
预设 生:不会。
师:今天我们就共同来研究异分母分数加减法的计算方法。(板书课题:异分母分数加减法)
[设计意图] 抓住同分母分数相加减计算方法这一知识点切入,有利于学生学习。
一、出示情景图,提出问题
师:同学们,你们喜欢折纸吗?
预设 生:喜欢。
师:谁能告诉老师情景图中的笑笑和淘气在折纸的过程中各自用了多少纸吗?
(教师利用PPT课件出示教材第2页情景图)
预设 生1:笑笑折小船用了这张纸的12。
生2:淘气用了这张纸的14。
师:他俩一共用了这张纸的几分之几呢?你们能想到好办法解决这个问题吗?
预设 生:我觉得可以用折纸的方法,先涂出笑笑用的部分,再涂出淘气用的部分,然后把涂色的两部分加起来,结果就是他们俩一共用了这张纸的几分之几。
师:他说的有没有道理呢?请同学们拿出手中的卡纸,小组内折一折。
[设计意图] 引导学生借助卡纸折一折,初步体会异分母分数相加的意义和过程。
二、动手操作探索异分母分数加法的运算算理
师:你们觉得???同学的方法有道理吗?
预设 生:有。
师:???同学很聪明,他的想法和笑笑的做法一样(教师一边重新复述过程一边出示笑笑的做法,出示PPT课件情景图,笑笑先涂出自己用去这张纸的12,再涂出淘气用去的14,看涂色部分一共占这张纸的几分之几)
师:除此之外,同学们还有其他办法解决这个问题吗?
预设 生:我们还可以把笑笑用去的12和淘气用的14加起来,求出他俩一共用去这张纸的几分之几。(师随学生的回答板书:12+14=?)
师:我们以前学过的都是同分母的分数相加减,12和14的分母并不相同,现在该怎么办呢?
预设 生:我们可以把这两个分数变成同分母分数之后再相加。
师:下面请同学们小组内合作学习,完成计算过程后,请各小组派代表回答。
预设 生1:我们小组是这样做的,先求出2和4的最小公倍数,2和4的最小公倍数是4,然后把12化成分母是4的分数,即24,原算式就变成24+14,求出他们俩一共用去这张纸的34。
(教师随学生的回答板书:24+14=34)
生2:我们小组是这样做的,先求出两个分数中分母的公分母4,然后把两个分数化成同分母分数再相加,求出结果也是等于34。
生3:我们小组是这样做的,因为分母4是分母2的倍数,所以直接把12化成24,然后再同14相加,求出结果是34。
……
三、动手操作探索异分母分数减法的运算算理
师:同学们非常棒,能够用不同的方法解决问题。那么,你们能根据这个方法求出笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几吗?
(教师边提出问题,边出示PPT课件)
笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几?算一算。
12-14=( )4-14=( )( )
答: 。?
(学生独立完成,教师巡视)
预设 生:因为12和14的公分母是4,先把12变成分母是4的分数,也就是把12变成24,24-14=14。
(教师随学生的回答板书:12-14=24-14=14)
四、归纳异分母分数加减法的计算方法
1.算一算。
师:分母不同的分数相加减到底应该怎样计算呢?请同学们独立算一算。
(教师出示PPT课件)
分母不同的分数相加减怎样计算?算一算,说一说。
34+58 56-23
(教师巡视,根据学生的做题情况适当地提问)
2.说一说。
师:谁能说一说你的计算结果?
预设 生1:我是这样计算的,把四分之三和八分之五化成同分母分数,变成八分之六加八分之五等于八分之十一。
(教师随学生的回答板书:34+58=68+58=118)
生2:我是这样做的,把六分之五和三分之二化成同分母分数,变成六分之五减六分之四等于六分之一。
(教师随学生的回答板书:56-23=56-46=16)
3.归纳计算方法。
师:那么通过计算过程,你能归纳出异分母分数相加减的计算方法吗?
预设 生:①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。②计算结果能约分的要约成最简分数。
师:这位同学说得非常好,计算分母不同的分数相加减,要先通分,将分母不同的分数化成分母相同的分数,然后再加减。计算结果能约分的要约成最简分数。
(教师边说边出示PPT课件)
①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。
②计算结果能约分的要约成最简分数。
五、借助几何图形说明异分母分数加减法算理
师:同学们能用画图方法解释上面的计算过程吗?请同学们小组内操作实践,相互交流后汇报。
(教师巡视学生的操作过程,适当地给予指导,并让学生展示所画图形)
34+58=68+58=118
56-23=56-46=16
[设计意图] 通过知识的迁移,让学生进一步加深对异分母分数加减法的算理的理解,在交流与反馈中发现问题,及时指导,明确方法。
通过学习,总结出来了异分母分数加减法的计算方法,本节课的学习任务也就完成了。你们发现了吗?数学就在我们的生活中,我们一定要学好数学,以便更好地生活。下面我们就应用我们所学的知识去解决问题。
(师出示PPT课件中的练习题)
1.填空。
(1)2个110是( ),710里面有( )个110。
(2)比35米短12米是( )米,78米比( )米长12米。
(3)分数单位是15的所有最简真分数的和是( )。
2.选择。(把正确答案的字母序号填在括号里)
(1)下面各题计算正确的是( )。
A.57+58+215=1230=25
B.2021-1011=1010=1
C.1521-1021-521=0
(2)8米的19( )1米的89。
A.大于 B.等于 C.小于
3.口算。
15+25= 58-38=
12+13= 34-12=
【参考答案】 1.(1)15 7 (2)110 38 (3)22.(1)C (2)B 3.35 14 56 14
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了异分母分数加减法的计算方法,掌握了异分母分数加减法的计算方法,并且知道计算异分母分数时,要把异分母分数变成同分母分数再相加减。能应用所学习的计算方法解决实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也能较好地巩固新知识。
作业1
教材第3页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)在括号里填上适当的数。
38+14=38+( )8=( )8
45-16=( )30-( )30=( )30
35+23=( )15+( )15=( )15
2.(重点题)计算。
1124-512 710+320
3.(重点题)解方程。
x+27=23 x-14=38
【提升培优】
4.(易错题)一根铁丝长45米,比另一根长14米,另一根铁丝多长?
【思维创新】
5.(重点题)同学们在手工课上折纸,笑笑用一张纸的13折了一只小船,大明用这张纸的14折了一架飞机。他们一共用了这张纸的几分之几?
【参考答案】
作业1:1.13+19=39+19=49 13-16=26-16=16 2.不同意。应该先统一分数单位,再相加。正确做法是:14+12=14+24=34 3.78 59 215 12
作业2:1.2 5 24 5 19 9 10 19 2.124 1720 3.x=821 x=58 4.45-14=1120(米) 5.13+14=712
异分母分数加减法
12+14=24+14=34
12-14=24-14=14
34+58=68+58=118
56-23=56-46=16
①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。
②计算结果能约分的要约成最简分数。
教师充分运用学生已有的知识经验,大胆地放手让学生进行有组织的动手操作,去猜想、去探究和发现计算过程中的规律。探讨后,学生进行汇报。对于正确的方法给予肯定,而错误的方法给予纠正。为找寻正确的思路起到了穿针引线的作用。
在引导学生探究问题的过程中,对容易出现错误的地方预设不准确,对学生出错的地方没有及时给予纠正。
在情景创设设计中,注意设计要新颖,贴近学生,贴近生活,达到激发学生学习兴趣的目的,给学生更大的讨论空间,最大程度调动学生的学习积极性,发挥好学生的主体地位。
例如:导入时,可以运用学生愿意观看的动画片或是最喜欢的节目里面的主人公形象导入新课,能起到事半功倍的效果。
小雨家10月份的支出中,房租占总支出的17,用于餐饮、水果方面的支出占总支出的14,这两项支出一共占总支出的几分之几?用于房租的支出多,还是用于餐饮、水果方面的支出多?
[名师点拨] 把总支出看成单位“1”,房租占总支出的17,餐饮、水果支出占总支出的14,两项支出一共占总支出的17+14。再比较17和14的大小,用减法计算,列式为14-17。
[解答] 17+14=428+728=1128
因为14-17=328,所以用于餐饮、水果方面的支出多。
答:这两项支出一共占总支出的1128,用于餐饮、水果方面的支出多。
【知识拓展】 在计算异分母分数加减法时,先运用分数的基本性质把两个分数通分,化成同分母分数,然后再计算。
《九章算术》中分数加减法运算法则
书中卷一第十一题的原文是:“又有四分之三,减其三分之一。问:余几何?答曰:十二分之五。减分术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。”
下面用现代的语言和符号,对原文做一些译述:
“又有四分之三,减其三分之一。问:余几何?”——34-13=?
“答曰:十二分之五。”——答案是:512。
“减分术曰:”——分数减法的运算法则是:
“母互乘子,以少减多,余为实。”——两个分数分子、分母交叉相乘的积,从多的里面减去少的,把余数作为差的分子。
“母相乘为法。”——两个分数分母相乘的积,作为差的分母。
按所述法则计算:34-13=3×3-4×14×3=512。
这与我们今天的分数减法运算法则基本相同。
由此可见,早在两千多年以前,我国分数四则运算法则已经如此先进,身为炎黄子孙由衷感到骄傲和自豪。
古人对分数的表示方法
古汉语分数表达形式,绝大多数出现在表示比较的语境中,结合语境来概括,有如下几种类型:(一)完型式。如“秦地,天下三分之一。”(《汉书·地理志》)“三分之一”的分数形式,从古代延续至今,已保留下来了。(二)简略式。如“盖予所至,比好游者尚不能十一。”(《游褒禅山记》)“十”为分母,“一”为分子,“十一”即十分之一。
第课时 分母中含有相同因数的异分母分数加减法
1.进一步探索分母中无相同因数和分母中含有相同因数但无倍数关系的异分母分数加减法的计算方法,理解算理。
2.能正确地进行异分母分数加减法计算及解决有关的实际问题。
【重点】 用最小公倍数作分母计算异分母分数的加减,并对计算结果进行化简。
【难点】 选取最小公倍数作分母进行计算。
【教师准备】 PPT课件、卡纸、硬纸板等。
【学生准备】 卡纸。
方法一:复习旧知,新课导入
(师出示PPT课件)
算一算,说一说。
12+38 59+23 12-38
师:说一说异分母分数加减法应该怎样计算。
预设 生:①分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。②计算结果能约分的要约成最简分数。
师:今天这节课我们继续探究异分母分数加减法。(板书课题)
[设计意图] 通过复习,让学生回顾异分母分数加减法的计算方法,为进一步探究做准备。
方法二:师生谈话、提出问题
师:上一节课我们学习了什么知识?
预设 生:上一节课我们共同学习了异分母分数加减法的计算。
师:那么异分母分数加减法怎样计算呢?
预设 生:分母不同的分数相加减,要先通分,化成分母相同的分数,再相加减。计算结果能约分的要约成最简分数。
师:可是如果分母中含有相同因数的异分母分数相加减,又该怎样进行计算呢?这也是我们这节课要研究的新内容,分母中含有相同因数的异分母分数加减法。(板书课题:分母中含有相同因数的异分母分数加减法)
[设计意图] 用师生谈话的方法引入课题,不仅激发了学生的学习兴趣,还对学生进行了旧知的复习,同时又对新课的引入起到了重要的桥梁作用。
一、合作交流,探究新知
1.尝试计算,展示交流。
师:算一算710-16,并与同伴交流你的做法。
(1)学生自主尝试,师巡视。
(2)选择不同算法的学生板演。
预设 生1:
我是这样做的,先把两个分母直接相乘得出60,然后把两个分数分别变成分母是60的同分母分数:4260和1060,然后求出结果是3260,将结果约成最简分数是815。
生2:
我是这样做的,先找到分母10和分母6的最小公倍数30,也就是这两个分数的公分母,然后把这两个分数分别化成分母是30的同分母分数:2130和530,然后直接求出结果是1630,然后再约分,约成最简分数,求出最后的结果是815。
师:这两名同学的方法都计算出了正确结果,无论用其中的哪种方法都是正确的。
[设计意图] 先让学生通过小组合作计算出正确结果后指名板演,使学生自己通过计算领悟计算算理,然后教师加以订正和强调,使学生能够进一步理解计算方法。
2.思考,质疑。
师:这两种算法有什么不同?你认为哪种算法比较简便?
预设 生1:我发现这两种算法在通分的过程中所取的分母不同。
生2:我发现第二种算法是取分母10和6的最小公倍数来进行转化的。这种算法比较简便。
3.小结。
师:谁能总结一下分母中含有相同因数的异分母分数的计算方法?
预设 生:异分母分数相加减,要先通分,将分母不同的分数化成分母相同的分数,再相加减。通分可以选择两个分母的最小公倍数,这样比较简便。最后的结果能约分的要约分,化成最简分数。
二、算法交流
师:下面请同学们完成练习。(教师出示PPT课件)
预设 生1:在计算23+18时我是这样做的,先找到分母3和分母8的最小公倍数24,也就是这两个分数的公分母,然后把这两个分数分别化成分母是24的同分母分数:1624和324,最后求出结果是1924。
生2:在计算23+18时我是这样做的,先把两个分母直接相乘得出24,然后把两个分数分别变成分母是24的同分母分数:1624和324,最后求出结果是1924。
生3:在计算34-16时,我是这样做的,先找到分母4和分母6的最小公倍数12,也就是这两个分数的公分母,把这两个分数分别化成分母是12的同分母分数:912和212,求出最后的结果是712。
生4:在计算34-16时,我是这样做的,先把两个分母直接相乘得出24,然后把两个分数分别变成分母是24的同分母分数:1824和424,求出结果是1424,最后结果约成最简分数是712。
[设计意图] 通过巩固练习,加强学生对分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法的理解。
三、尝试验算。
师:通过刚才的学习我们已经掌握了异分母分数加减法的计算方法,请大家猜一猜:异分母分数加减法怎样计算比较简便?怎样对结果进行检验呢?
预设 生:把两个异分母分数化成以它们分母的最小公倍数为分母的分数进行计算。运用加减法中的加数与和、被减数和减数、差之间的关系进行验算。
师:这位同学说得非常好,我们可以运用加减法来进行验算。
(学生活动:以小组为单位,选择算式进行验算)
[设计意图] 本环节将学习的自主权交给了学生,学生经历了自主探究、合作交流、算法多样化的过程。在此过程中理解、掌握了异分母分数加减法的计算方法,同时培养了良好的验算习惯。
(师出示PPT课件)
1.填空题。
(1)计算47+59时,因为它们的分母不同,也就是( )不同,所以要先( )才能直接相加。
(2)59与13的和再减去它们的差,结果是( )。
2.判断。
(1)分数单位相同的分数才能直接相加减。 ( )
(2)1-25+35=1-1=0。 ( )
3.计算。
14-19= 56+34= 34-38=
4.完成教材第3页“练一练”第4题。
【参考答案】 1.(1)分数单位 通分 (2)23 2.(1)√ (2)? 3.536 1912 38 4.512 120 351124 23 12
[设计意图] 层次分明的练习,由浅入深,螺旋上升,不断引发学生思维的发展,在掌握新知的同时提升计算技能,发展了学生的数感。
这节课你学到了什么?你认为进行异分母分数加减法计算时要注意些什么?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法,掌握了异分母分数加减法的计算方法,在计算异分母分数加减法时,首先要把异分母分数化成同分母分数,然后再加减,结果能约分的要约成最简分数。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第3页“练一练”第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)817+617表示8个( ),加上6个( ),和是( )。
(2)计算47+59时,因为它们的分母不相同,也就是( )不相同,所以要先( )才能直接相加。
2.(重点题)算一算。
(1)我会算。
56-14 15+715 34-25
13+25 310+25 56-38
(2)解方程。
x+29=79 x-16=56
34+x=78 35-x=1-34
【提升培优】
3.(难点题)一根铁丝,第一次用去130米,第二次用去4140米。
(1)两次共用去多少米?
(2)第二次比第一次多用去多少米?
【思维创新】
4.(提高题)小李身高85米,小张比小李高120米,小王又比小张高150米,小王和小张的身高各是多少米?
【参考答案】
作业1:5.? 310-17=2170-1070=1170 ? 23+34=812+912=1712 ? 57-114=1014-114=914 6.x=13 x=910 x=524 7.雨天比晴天多占全月总天数的几分之几?13-310=130(答案不唯一) 8.
作业2:1.(1)117 117 1417 (2)分数单位 通分 2.712 23 720 1115 710 1124 (2)x=59 x=1 x=18 x=720 3.(1)130+4140=127120(米) (2)4140-130=119120(米) 4.小张:85+120=3320(米) 小王:3320+150=167100(米)
分母中含有相同因数的异分母分数加减法
分母相乘法 最小公倍数法
在本节课的教学设计中,因为学生已经掌握了异分母分数加减法的计算方法,首先要把异分母分数变成同分母分数再加减,所以在本节课的教学设计中,重点引导学生掌握分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法,引导学生从不同角度去解决问题。通过小组合作学习,找出分母中含有相同因数的异分母分数加减法的计算方法,然后教师加以补充说明,这样既分散了教学难点,同时又培养了学生自主探究的学习精神。
在解决问题的过程中,对指导学生规范解题强调不够到位。
应多给一些同学展示的机会,设计一些简单的问题,由浅入深地找不同程度的学生回答问题,激发学生的学习兴趣。指导学生选取恰当的公分母进行简便计算,并在计算过程中注意结果应为最简分数。
【练一练·3页】
1.13+19=39+19=49 13-16=26-16=162.不同意。应该先统一分数单位,再相加。正确做法是:14+12=14+24=34 3.78 59 215 124.512 120 35 1124 23 12 5.? 310-17=2170-1070=1170 ? 23+34=812+912=1712 ? 57-114=1014-114=914 6.x=13 x=910 x=5247.雨天比晴天多占全月总天数的几分之几?13-310=130(答案不唯一) 8.
56+724=( )24+( )24=( )8。
[名师点拨] 解决此问题的方法,可根据分数的基本性质和两个分数分母的最小公倍数进行判断,也就是把异分母分数化成同分母分数在进行计算,56和724的分母是6和24,把56转化成分母是24的分数,6×4=24,所以分子5也要乘4,所以第一个括号中应该填20,第二个括号中应该填7,原式就转化成2024+724,可以求出它们的结果是2724,然后再进行约分得到98,所以最后一个括号中应该填入9。
[解答]56+724=2024+724=98。
分数小故事
很久以前猫和老鼠住在同一间屋子里看守大庙。
有一天,老鼠说:“我大姐生孩子,我去一下。”猫说:“早去早回。”到了晚上,老鼠鼓着肚子就回来了,嘴边油乎乎的。猫问老鼠:“生了个什么?”老鼠说:“大胖小子!”猫又问:“叫什么名儿?”老鼠说:“三分之一!”
过了十来天,老鼠说:“我二姐生孩子,请我去吃饭。”猫说:“早点回来。”到了深夜,老鼠鼓着肚子回来了,嘴边油乎乎的。猫问:“你二姐生了个什么?”老鼠说:“大胖丫头!”“叫什么名儿?”猫问。老鼠说:“二分之一!”
又过了十来天,老鼠说:“我三姐生孩子,请我去做客。”猫说:“早点回来。”到了三更半夜,老鼠回来了,带着油味进了家门。猫问:“你三姐生了个什么?”老鼠说:“大胖小子!”猫问:“叫什么名儿?”老鼠说:“见底!”
到了冬天,猫说:“咱们家没什么吃的了,把大庙里的油拿出来吧!”老鼠不情愿地说“好吧。”老鼠走在前面,猫走在后面。到了大庙里,猫一看,油见了底。猫知道是怎么回事了。非常生气,再回头一看,老鼠早逃走了!
就这样,猫见了老鼠就抓,老鼠见了猫就逃!
异分母分数为什么要通分
同学们在做异分母分数加减法时,要先把它们转化成同分母分数才能相加减。这是为什么呢?我们知道,自然数以“1”为标准,逐次加1而组成自然数序列。也就是说,“1”是自然数的单位。“2”是由两个“1”组成的,“7”是由七个“1”组成的,“25”是由二十五个“1”组成的,等等。由于这样,所以任何两个自然数都可以直接相加减。例如:“2+5”就是两个“1”加五个“1”等于七个“1”,即等于7。但是分数就不同了。分数有没有单位?答案是肯定的。但是,不同的分数有着不同的分数单位。譬如23,实际上是由2个13组成的,所以23的分数单位是13;又如35,实际上是由3个15组成的,所以35的分数单位是15。一般地,一个最简分数nm的分数单位是1m。
同分母分数,因为它们的分数单位相同,所以能直接相加减。如35-25,就是3个15减去2个15,还剩下1个15,所以35-25=15。
异分母分数,因为它们的分数单位不同,所以不能直接相加减。如12+13,当然不能直接相加。为了使它们能够相加,就要把它们化成相同的单位,这就需要通分:12=1×32×3=36,13=1×23×2=26。12转化成36,13转化成26后,因为36和26的分数单位都是16,所以就可以相加了。用图形来示意,整个过程就是:
最后,我们再打个比喻:整数或同分母分数好比同名数,可以直接相加减。如5米+3米,就是直接把5与3相加等于8米。异分母分数好比异名数,不能直接相加减。如5米-3分米,就不能直接用5减去3,而是要把它们化成5米-0.3米(或50分米-3分米),然后才能用5减去0.3得4.7米(或50减去3得47分米)。
2 星期日的安排
日常生活中,会遇到一些需要用分数加减混合运算来解决的问题,本节内容结合“星期日的安排”提出了三个问题。第一个问题是用同分母分数的加减混合运算解决实际问题,并在解决问题的过程中体会整数加减混合运算的顺序对分数也适用;第二个问题用异分母分数加减混合运算解决实际问题。进一步在解决问题的过程中体会整数加减混合运算的顺序对分数也适用;第三个问题体会整数加法的运算律对分数也适用,并能根据运算顺序或运算律正确进行分数运算。
1.结合解决实际问题的过程,借助直观图,了解整数加减混合运算顺序与整数加法的运算律对分数也适用。
2.会根据分数加减混合运算的顺序与运算律正确进行分数的有关计算。
3.能解决简单的分数加减法的实际问题。
4.进一步体会分数加减法在生活中的价值,养成会独立思考,并善于与同伴交流想法的学习习惯。
【重点】 会根据分数加减混合运算的顺序与运算律正确进行分数的有关计算。
【难点】 能利用简便方法进行分数加减混合运算。
【教师准备】 PPT课件、硬纸板等。
【学生准备】 硬纸板。
1.口算下面各题。
34+18= 49-13=
815-25= 57-914=
2.说一说整数加减混合运算的顺序是怎样的。
【参考答案】 1.78 19 215 114 2.整数加减混合运算,有括号的先算括号里面的,没有括号的按照运算顺序进行计算。
方法一:创设情景,激趣导入
师:同学们,星期日你们都做什么?
预设 生1:星期日我和妈妈去图书馆看书。
生2:星期日我去福利院打扫卫生。
生3:星期日我去公园玩。
师:淘气调查了本班同学星期日的活动安排,你们想知道大家都在干什么吗?
预设 生:想。
(出示PPT课件:星期日的安排情景图)
淘气和笑笑分别调查了本班男、女生星期日的活动安排。
男生星期日活动安排表
女生星期日活动安排表
师:认真观察,从图上你获得了哪些信息?
预设 生1:我知道了淘气是按男女生统计的。
生2:我知道了男生户外活动人数占男生总人数的27。
生3:我知道男生去少年宫的人数占男生总人数的37。
生4:我知道了女生户外活动人数占女生总人数的38。
生5:我知道了女生去少年宫的人数占女生总人数的16。
师:根据这幅图,你能提出哪些数学问题呢?
预设 生1:我想知道男生留在家中的人数占男生总人数的几分之几。
生2:我想知道女生留在家中的人数占女生总人数的几分之几。
生3:我想知道留在家里的同学占全班总人数的几分之几。
师:要计算留在家中的同学占全班总人数的几分之几,怎么列算式呢?
预设 生1:把全班学生看作整体“1”,作为总数进行运算,减去户外活动的,再减去去少年宫的,剩下的就是留在家中的。
生2:先计算户外活动和去少年宫活动的和,再用“1”减去两项和。
师:好,这节课我们就来学习分数加减混合运算。(板书课题)
[设计意图] 用创设情景、复习导入的方法导入新课,使学生在轻松愉悦的心情下自然地进入主题。再加上课件的直观感知,引起学生情感上的共鸣,增强学生对知识的亲近感和求知欲,更符合五年级学生的年龄特点,更加增强学生学习的兴趣,使学生更主动地集中精力投入到学习中来,从而达到“学中乐,乐中学”的目的。
方法二:创设情景,导入新课
师:同学们,双休日你们都在干什么?
预设 生1:去爷爷奶奶家。
生2:去同学家。
生3:在家看书。
生4:看电视。
生5:看弟弟妹妹……
师:老师通过一次调查了解到我们班同学星期日的活动安排,你想知道大家都在干什么吗?
生:(兴趣极浓,大声回答)想知道。
师:你们想知道参加各项活动的同学人数占班级总人数的几分之几吗?
预设 生:想。
师:今天我们就来研究分数加减混合运算。(板书课题)
[设计意图] “双休日你们都在干什么?”“你想知道大家都在干什么吗?”这一话题的提出,吸引了学生的注意力,激发了学生们的表现欲望,为新知的学习做好铺垫。
方法三:创设情景、导入新课
师:今天想和同学们一起统计一下我们班同学星期日的活动,谁来说说你星期日做什么了?
预设 生1:我在家里写作业。
生2:我去叔叔家玩了。
生3:我帮妈妈洗衣服了。……
师:同学们,星期日能做各种各样的活动,我们学过统计,大家来统计一下吧!哪位同学想做一个小统计员?(找几位小统计员)
预设 生:(汇报)留在家里的同学是8人,占全班人数的十一分之四,出去玩的同学有五人,占全班人数的二十二分之三。
师:剩下的这部分同学占全班同学的几分之几呢?
预设 生:把这两部分的加在一起,再用“1”减去这部分。
师:能用全班人数去减吗?
预设 生:不能。
师:为什么用“1”呢?
预设 生:把全班人数看作单位“1”。
师:为什么把全班人数看作单位“1”呢?
预设 生:因为我们在全班同学里调查,调查出来的人数是占全班人数的几分之几,所以把全班人数看作单位“1”。
师:怎么列出算式?如何计算呢?这节课我们就继续来研究有关分数加减法的知识。
揭示课题:分数加减混合运算。
[设计意图] 单位“1”是本节课学习需要借助的以往核心知识之一,有必要引导学生进行有针对性的复习。
一、分数加减混合运算的顺序和方法
1.引导参与,探究怎样列式。
师:请同学们仔细观察大屏幕,五角星和六边形各代表什么?
(出示PPT课件)
淘气和笑笑分别调查了本班男、女生星期日的活动安排。
男生星期日活动安排表
女生星期日活动安排表
预设 生:五角星代表男生留在家中的人数占男生总数的几分之几。六边形代表女生留在家中的人数占女生总数的几分之几。
师:同学们,如果要计算出留在家中的男生人数占男生总数的几分之几,怎样列算式呢?留在家中的女生占女生总数的几分之几呢?
预设 生:根据表格信息,分别列出男生留在家中的人数占男生总数和女生留在家中的人数占女生总数的几分之几的算式。
师:现在就来试一试,分别写出男生和女生的算式。
(1)学生独立思考,自主探索。
(2)在独立思考的基础上,小组交流。
师:谁来汇报一下自己的探索过程?
预设 生1:要求留在家中的男生人数占男生总数的几分之几,就是把男生总数看作单位“1”,再计算留在家中的男生人数占男生总人数的几分之几。
生2:要求留在家中的女生人数占女生总数的几分之几,是把全班女生看成一个整体,并用“1”表示,然后再计算留在家中的女生人数占女生总数的几分之几。
2.探究方法。
师:谁能说一说,你是怎样列式计算男生留在家中的人数占男生总数的几分之几的?
(1)方法一:连减法。
预设 生1:首先把全班男生看作单位“1”,用单位“1”减去户外活动的男生人数占男生总数的几分之几,即27,再减去去少年宫的男生人数占男生总数的几分之几,即37,列式为1-27-37。1-27=57,57-37=27。可以借助画图法表示,更直观。
(教师随学生的回答板书:1-27-37=57-37=27)
(2)方法二:减和法。
生2:根据题意,可求出户外活动和去少年宫的男生人数共占男生总数的几分之几,然后用全班男生人数(单位“1”)减去户外活动和去少年宫的男生人数共占全班男生总数的几分之几,便可求出留在家中的男生人数占男生总数的几分之几,列式为1-27+37。等于1-57=27。
(教师随学生的回答板书:1-27+37=1-57=27)
师:谁能说一说你是怎样计算女生留在家中的占女生总数的几分之几的?
(3)方法一:连减法。
预设 生1:首先把全班女生看作单位“1”,用单位“1”减去户外活动的女生人数占女生总数的几分之几,即38,再减去去少年宫的女生人数占女生总数的几分之几,即16,列式为1-38-16。(教师板书:1-38-16)
(2)方法二:减和法。
生2:根据题意可以求户外活动和去少年宫的女生人数共占女生总数的几分之几,然后用全班女生总数(单位“1”)减去户外活动和去少年宫的女生人数共占女生总数的几分之几,便可求出留在家中的女生人数占女生总数的几分之几,列式为1-38+16。
(教师随学生回答板书:1-38+16)
[设计意图] 给学生独立思考和解决问题的机会。本题涉及分数中的剩余问题,对它的理解比对整数要困难得多,首先把教学重点放在算式的讨论与交流上。
3.探究运算顺序。
师:现在,请同学们根据自己的爱好,任意选择一道算式,试一试如何计算。
(1)学生独立思考,自主探索。
(2)在独立思考的基础上,小组讨论。
师:谁来汇报一下自己的探索过程?
预设 生1:我选择了“1-38-16”这一道题,计算过程是:
1-38-16
=58-16
=1524-424
=1124
生2:我也选择了“1-38-16”这一道题,但计算过程与他的不同,计算过程是:
1-38-16
=2424-924-424
=1524-424
=1124
生3:我选择了“1-38+16”这一道题,计算过程是:
1-38+16
=1-924+424
=2424-1324
=1124
生4:我也选择了“1-38+16”这一道题,计算过程比他的简单,计算过程是:
1-38+16
=1-1324
=1124
……
(教师随学生的回答板书计算过程)
师:刚才有很多同学汇报了他们的探索过程,为什么同样的算式,计算过程不一样呢?是不是都正确呢?(教师出示PPT课件)
1-38-16
=58-16
=1524-424
=1124
1-38-16
=2424-924-424
=1524-424
=1124
1-38+16
=1-924+424
=2424-1324
=1124
1-38+16
=1-1324
=1124
师:请同学们小组讨论:这几种算法对吗?各有什么特点?
预设 生:这几种算法都对,它们都是加减混合运算,有的带括号,有的不带括号。
师:那么怎样区分分数加减混合运算中,带括号的和不带括号的计算方法呢?
预设 生1:在没有括号的分数加减混合运算式中,可以先把算式中的分数通分,再按照从左往右的运算顺序依次进行加减计算,也可以按照运算顺序直接从左往右依次计算。
生2:在有括号的算式里进行分数加减混合运算,要先算括号里面的,再算括号外面的。
师:通过以上的学习,我们知道计算分数加减混合运算时,主要有以下两种计算方法:(教师出示PPT课件)
分数加减混合运算时,主要有以下两种计算方法:一是先将所有的分数全部通分,再进行计算;二是根据需要进行部分的通分。
师:这两种方法哪种合适,则需要根据具体的算式特点来确定。
[设计意图] 学生通过计算、比较、讨论分数加减混合运算的运算顺序,进一步掌握计算方法。这样让学生从多种角度去学习计算方法,知道了分数加减混合运算各种计算方法的联系和区别,在轻松活泼的课堂学习过程中对分数加减混合运算的计算方法有了更深刻的认识,有利于学生理解分数加减混合运算的顺序。
二、分数加减混合运算的简便算法
师:通过前面的计算,我们已经初步掌握了分数加减混合运算的运算顺序以及计算方法。那么,你们能判断一下淘气和笑笑的做法是否正确吗?(教师出示PPT课件)
师:请同学们独立思考、解决问题,然后再小组讨论、交流一下淘气和笑笑的做法有什么不同。
预设 生1:淘气的算法是先把算式中的分数通分,再按照从左到右的顺序依次进行计算。
生2:笑笑的算法是先用加法交换律,交换49与14的位置,再用加法结合律,求出49与59的和,再与14相加得出结果。
师:大家说得很对,比较一下,淘气和笑笑的算法,哪个比较好呢?
预设 生:笑笑的算法比淘气的算法好。
师:为什么呢?
预设 生:笑笑的算法比淘气的算法简便,而且不容易出错。
师:(师小结)其实,分数加减混合运算的运算顺序和整数加减混合运算的运算顺序相同,可以先通分,然后按照运算顺序依次计算。在计算时,注意应用加法交换律、结合律进行简便计算,也可以根据减法的运算性质进行简便计算。
[设计意图] 利用淘气和笑笑的解题例子,引导学生理解整数加减法的计算法则在分数加减法中也同样适用。
三、实践运用,内化新知
师:现在我们已经掌握了分数加减混合运算的运算顺序和计算方法,下面就请同学们应用所学的知识进行计算。
(教师出示PPT课件)
计算下面各题。
(1)38+15+58 (2)1-16+13
(3)13+59-19 (4)1-27-57
(学生独立计算,教师巡视后订正)
师:谁能说一说你是怎样计算的?
预设 生1:第(1)小题我是这样做的,我利用加法交换律把15和58交换位置,变成38+58+15,然后按照运算顺序先算38+58等于1,再把1同15相加求出结果得115。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
38+15+58=38+58+15=1+15=115
生2:我第(1)小题也是得115,但我不是他这样做的。我是运用加法交换律和加法结合律把38与15交换位置,然后把38和58用小括号括起来,变成15+38+58,先算38+58,再同15相加,求出结果也是115。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
38+15+58=15+38+58=15+1=115
生3:第(2)小题我是先算小括号里面的16+13,再用“1”减去它们俩的和,求出结果得12。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
1-16+13=1-12=12
生4:第(3)小题我是先算59-19得49,再用13+49,通分计算后得出结果是79。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
13+59-19=13+59-19=39+49=79
生5:第(4)小题,我是利用减法的性质,先算27加57,再用1减去它俩的和,求出结果是0。
(教师随学生的回答出示PPT课件演示计算过程)
1-27-57=1-27+57=1-1=0
[设计意图] 在学生掌握了分数加减混合运算的运算顺序和计算方法的基础上,进一步进行实际应用,使学生能够灵活应用所学知识简便计算分数加减法。
师:下面老师就来检查一下同学们对分数加减混合运算的掌握情况。
1.计算。
79+56-23 34-58+512 35-58-15
2.填上适当的得数。
56
78
34
3.用简便方法计算。
813+38+513+18 512+79+712
32-79-29 917+149+817+49
89+57-89 67+512-67+712
4.一根铁丝,第一次剪去这根铁丝的12,第二次剪去这根铁丝的13,还剩下这根铁丝的几分之几?
【参考答案】 1.1718 1324 740 2.34 2928 1924 181168 23 2021 3.813+38+513+18=813+513+38+18=1+12=112 512+79+712=512+712+79=1+79=179或512+79+712=79+712+512=79+1=179 32-79-29=32-79+29=32-1=12 917+149+817+49=917+817+149+49=1+2=3 89+57-89=89-89+57=0+57=57 67+512-67+712=67-67+512+712=0+1=1 4.1-12-13=16
[设计意图] 通过不同层次的练习,可以对不同学生进行针对性的训练,一方面可以激发学生的兴趣,另一方面可以对学习有困难的学生有所激励。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了加减混合运算的运算顺序和计算方法,以及应用简便方法计算加减混合运算,还知道了分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合的运算顺序相同,在计算时,注意应用加法交换律、结合律进行简算,也可以根据减法的运算性质进行计算。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第6页“练一练”第1,2,3,4,5题。
作业2
1.(基础题)根据运算定律和减法的性质填空。
(1)38+34=34+ ?
(2)19+56+16=19+( + )?
(3)1312-27-57=1312-( + )?
2.(重点题)计算。
34+56-23 712-38+23
3.(重点题)简算。
1213+49-1213 57+114+1314+27
【提升培优】
4.(易错题)小区里有一个花园,其中杜鹃花的面积占花园的13,月季花的面积占花园的25,常青藤的面积占花园的415。种花的总面积比种常青藤的面积多占花园总面积的几分之几?
5.(重点题)超市有一些苹果,上午卖了全部的14,下午又卖出全部的58,还剩下全部的几分之几?
6.(情景题)这盒1升的牛奶还剩下多少升?
【参考答案】
作业1:1.1-310-12=15 2.1-13-18-16=38 3.910 25 712 4.(1)25+12=910 (2)1-910=110 5.一样多。一瓶纯果汁,全喝完了,所以果汁共喝1瓶;水:16+13+12=1(瓶),水共喝1瓶。
作业2:1.(1)38 (2)56 16 (3)27 57 2.1112 78 3.1213+49-1213=1213-1213+49=49 57+114+1314+27=57+27+114+1314=2 4.13+25-415=715 5.1-14-58=18 6.1-15+14+14=310(升)
星期日的安排
1.创设情景,激发学习兴趣。根据学生的年龄特点和心理特征,创设了有趣的活动情景。课的一开始,通过本班学生“星期日的安排”的情景,一下子就吸引学生的注意力,调动了他们强烈的学习兴趣。
2.重视学生的情感。整个教学过程中,基本上是以学生“主动探究——解决问题”为基本模式展开的。不仅让学生在自主学习的活动中不断充分、主动、积极表现自我,同时也注意用积极的语言评价学生的学习过程,让学生获得一种积极的情感体验,树立学好数学的信心。
在教学中应多给学生时间,让学生提出自己不懂或是不是很清楚的地方,然后再通过学生的小组合作学习,找到解决问题的方法,这样学生对知识的掌握会更加深刻。
再次设计时要多注重给学生提出问题的机会,多鼓励学生提出疑难问题,然后让学生带着问题去探讨和解决。对学生的不同计算方法,让学生更自由地表达自己的理解。
【练一练·6页】
1.1-310-12=15 2.1-13-18-16=38 3.910 25 712 4. (1)25+12=910 (2)1-910=110 5.一样多。一瓶纯果汁,全喝完了,所以果汁共喝1瓶;水:16+13+12=1(瓶),水共喝1瓶。
张宇一天的13时间用于学习和工作,18的时间用于用餐,16的时间用于参加娱乐活动,剩下的时间睡觉。
(1)每天的睡觉时间约占一天时间的几分之几?
(2)用餐、娱乐、睡觉的时间一共约占一天时间的几分之几?
[名师点拨] 把一天的总时间看作单位“1”,学习和工作的时间约占总时间的13,用餐的时间约占总时间的18,参加娱乐活动的时间约占总时间的16,剩下的时间就是睡觉的时间。
[解答] (1)1-13-18-16=2424-824-324-424=924=38
答:每天的睡觉时间约占一天时间的38。
(2)18+16+38=23或1-13=23
答:用餐、娱乐、睡觉的时间一共约占一天时间的23。
【知识拓展】 整数加法的结合律、交换律及减法的性质同样适用于分数的加减运算。
运动员吃水果
运动会刚结束,热情的服务员就送来了芒果、西瓜和菠萝。现在知道全体运动员一共吃了65个水果,而且正好是2人吃一个芒果,3人吃一个西瓜,4人吃一个菠萝。请你想一想,一共有多少名运动员?芒果、西瓜、菠萝各有多少个?
2人吃一个芒果,则每人吃12个,3人吃一个西瓜,则每人吃13个,4人吃一个菠萝,则每人吃14个。
因为只知道三种水果的总数,所以我们要着眼于从总体上考虑问题。从总体上看,三种水果的总数是65个,而每个人吃了12+13+14=1112(个)。求出65里面有多少个1112,就是求65÷1112=65÷1312=65×1213=60(人)(以后会学),所以运动员的人数是60.芒果、西瓜、菠萝分别为60÷2=30(个),60÷3=20(个),60÷4=15(个)。
按照计算法则分类,这是归一还原问题,它的基本公式是:总量÷单一量=人数。
在计算这类问题时,思维要活跃一些,不能死守框框。这里的单一量不是每个人吃的一种水果的量,而是每人吃的三种水果的量之和。不突破水果品种的限制,单一量就求不出来。
奇怪的结果
两个少年在市场上卖苹果。一个少年打算两个苹果卖一元,能卖十五元;另一个少年打算三个苹果卖一元,能卖十元。两个少年加起来一共能卖二十五元。为了表示友好和便于买卖,他们商定:把两个人的苹果合起来卖,不挑不选,五个二元钱。卖完后,他们惊奇地发现:总数只卖了二十四元,比两人分开卖少了一元。
实际上,当两个少年把苹果合在一起卖的时候,已经不是按照自己的价格了。要是他们考虑到这一点,就不会感到奇怪了。让我们看看他们是怎样少了一元钱的。
要是他们各自单独卖苹果,第一个少年要两个苹果卖一元,就是一个苹果卖12元;另一个少年要三个苹果卖一元,就是一个苹果卖13元。当他们把苹果和在一起,并且按每五个苹果卖二元的时候,每个苹果的价格就变成了25元。这就是说,第一个少年的苹果不是按12元一个卖的,而是按25元一个卖的,每个苹果少卖了11012-25=110元,一共有三十个苹果,共少卖了三元钱。另一个少年的苹果也不是按13元一个卖的,同样是按25元一个卖的,每个苹果多卖了11525-13=115元,一共有三十个苹果,共多卖了二元。所以两个人合起来卖就比各自单独卖一共少了一元。
温馨的动物家庭
在一个茂密的森林里,住着许多可爱的小动物,有博士小兔聪聪,美丽的小猫美美,可爱的小狗拉拉,漂亮的小孔雀乖乖等,他们都住在一个大家庭里。
有一天,小兔聪聪和小猫美美出去散步。在散步的途中,他们看见小狗拉拉在后花园种东西。于是,小兔聪聪和小猫美美走过去,问小狗拉拉:“你在种什么呀?”小狗拉拉说:“我种的是花生。”小兔聪聪看着花生说了一个关于花生的问题:“1千克花生中约含蛋白质14千克,脂肪1225千克,碳水化合物320千克。请你们根据这段信息,提出一个数学问题并解答。”小猫美美挺聪明的,马上说出了一个问题:“花生中含脂肪和碳水化合物比蛋白质多多少千克?”小狗拉拉也不落后,急忙回答:“1225+320-14=1950(千克)。”“太对了,你们真聪明啊!”小兔聪聪说。它们都开心地笑了。
这些可爱的小动物就住在这样一个温馨的家庭中,一个数学家庭中。
3 “分数王国”与“小数王国”
本节标题中的“分数王国”和“小数王国”,既有数学味道,又有童话味道,意在引发学生的好奇心与想象力,以吸引学生主动参与学习。教科书提出三个问题。第一个问题在探索比较0.06与120大小的方法的过程中,学习小数与分数的互化。以比较0.06与120大小的问题为例,引导学生学习分数化为小数、小数化为分数的问题。教科书呈现了三种不同的方法,启发学生从多角度思考分数与小数互化的道理。这些方法都是学生在探索中可能想到的方法,同时也展开了解决分数与小数互化的常用方法;第二个问题借助直观模型——数线进行小数与分数的互化。这个问题充分体现了本节标题的童话特点,在“小数王国”里设计了小数尺,在“分数王国”里设计了分数尺,在进行数值比较时,提出:你能帮助“翻译”吗?引导学生体会在数线上的同一个点既能表示一个分数,也能表示一个小数,这个事实也让学生认识到分数与小数的互化,是同一个数的不同形式之间的转化;第三个问题在交流小数与分数互化的过程中,归纳互化的道理和方法。这是四道分数和小数互化的题目,鼓励学生在互化的实践过程中,探索和总结分数化为小数和小数化为分数的根据与方法。通过上述问题的探索,教科书从必要性、算理和运算两个方面有层次地解决了分数和小数互化的问题。
1.结合比较小数与分数大小的具体例子,探索小数与分数比较大小的方法,掌握分数与小数相互转化的方法,
2.结合表示分数或小数的直观模型,进一步体会小数与分数相互转化的方法。
3.理解分数、小数互化的必要性;能正确地将简单的分数化为有限小数;能正确地将有限小数化为分数。
4.通过探究分数与小数的互化过程,培养学生提出问题、解决问题的能力。
5.向学生渗透事物之间可以相互转化的思想,养成遇到问题积极动脑思考、想办法解决的好习惯。
【重点】 掌握分数与小数互化的方法,能正确地将简单的分数化为小数。
【难点】 能正确地进行分数与小数之间的互化。
【教师准备】 PPT课件、硬纸卡等。
【学生准备】 硬纸卡。
在10×10的方格中用阴影表示0.4。
【参考答案】
方法一:创设情景,导入新课
师:今天游乐园来了很多小朋友,他们遇到了一些关于分数和小数的数学问题,你们愿意帮助他们解决吗?
预设 生:愿意。
师:同学们非常乐于助人,要想帮助他们解决难题,并不是一件容易的事,必须有一定的知识基础,老师先来考考大家,敢接受吗?
预设 生:敢。
(师出示PPT课件)
1.说出下列各分数的意义。
15 38 47 512
2.填空。
(1)根据分数与除法的关系,3÷5=( )
(2)0.8表示( )分之( )。
(3)0.03表示( )分之( )。
预设 生1:15表示把单位“1”平均分成5份,取了其中的1份。
生2:38表示把单位“1”平均分成8份,取了其中的3份。
生3:47表示把单位“1”平均分成7份,取了其中的4份。
生4:512表示把单位“1”平均分成12份,取了其中的5份。
生5:根据分数与除法的关系,3÷5=35。
生6:0.8表示十分之八,0.03表示一百分之三。
师:同学们对分数和小数的这些知识掌握得真不错,怎样比较分数和小数的大小呢,下面让我们一起进入小数和分数王国共同探讨分数和小数的互化。(板书课题:“分数王国”与“小数王国”)
[设计意图] 复习旧知,为新课做铺垫。激发学生的求知欲望,从而激发学生学习新知的兴趣,并结合生活中的具体事例,让学生体会到数学就在我们身边,同时以问题入手,激发学生学习数学的好奇心和积极地探究态度。
方法二:创设情景,导入新课
师:今天,老师带着你们一起去分数王国和小数王国里玩一玩。
(PPT出示教材第7页情景图)
师:看,分数王国里都有哪些数呢?
预设 生:分数王国里有:425,34,74,120。
师:小数王国呢?
预设 生:小数王国里有:1.8,0.8,0.06,0.25。
师:分数王国的士兵和小数王国的士兵吵了起来,他们吵什么呢?
预设 生:120和0.06都说自己更大。
师:120和0.06哪个数大呢?这节课我们就来探究分数与小数的关系。(板书课题:“分数王国”与“小数王国”)
[设计意图] 利用教材中的情景图,激发学生的学习兴趣,并结合情景图提出相应的实际问题,为新课的顺利开展起到了良好的铺垫。
方法三:创设情景、导入新课
(教师出示PPT课件)
1.看图写出分数和小数。
小数表示:( ) 分数表示:( )
预设 生:用小数表示是0.23,用分数表示是23100。
2.说出下列各分数的分数单位和有几个这样的单位。
310,910
预设 生1:310的分数单位是110,有3个110。
生2:910的分数单位是110,有9个110。
3.填空:
0.3里面有( )个十分之一,它表示( )分之( )。
0.17里面有( )个百分之一,它表示( )分之( )。
0.009里面有( )个千分之一,它表示( )分之( )。
预设 生:0.3里面有3个十分之一,它表示十分之三,0.17里面有十七个百分之一,它表示一百分之十七,0.009里面有9个千分之一,它表示一千分之九。
师:这节课我们根据分数与小数的关系来学习分数与小数的互化。(板书课题:“分数王国”与“小数王国”)
[设计意图] 利用学生已经学过的知识解决相应的问题,既帮助学生复习了前面的知识,同时又为新课的顺利开展起到了良好的桥梁作用。
一、分数与小数大小的比较
师:老师相信同学们一定会用智慧解决问题,有没有信心?
预设 生:有。
师:让我们一起来看题目。(出示PPT课件)
比一比,“小数王国”里的0.06与“分数王国”里的120哪个数大?先独立思考,把方法记录下来,再和小组同学交流。
(学生按照要求探究比较120和0.06这两个数的大小的方法,教师巡视)
师:谁能说一说你们小组用的是什么方法比较出这两个数的大小的?
方法一:画图法。
预设 生:我们小组是用画图法比较的。用两个相同的正方形表示“1”时,把正方形平均分成100个小正方形,0.06就是其中的6个小正方形,120就是其中的5个小正方形,所以0.06>120。
师:这名同学说得非常好,先把两个完全一样的正方形平均分成100个同样的小正方形,然后分别取出其中的6个和5个小正方形,因为分同样多的份数,也就是单位“1”相同,取的份数多的数就大,所以0.06>120。(教师板书)
(教师在学生说完后,加以强调,并演示PPT课件)
0.06>120
师:那么0.06和120除了用画图的方法比较大小,还有没有别的方法呢?(教师板书:0.06,120)
[设计意图] 通过学生自己涂色,理解题意。并通过PPT课件的应用,激发学生的学习兴趣。
方法二:把分数化成小数来比较。
预设 生1:老师,我们小组是根据分数与除法的关系,把分数化成小数来比较的。因为120=1÷20=0.05,0.06>0.05,所以0.06>120。
(教师随学生的回答板书:根据分数与除法的关系把分数化成小数:120=0.05,所以120<0.06)
方法三:把小数化成分数来比较。
生2:我们小组是把小数化成分数来比较的。根据小数的意义可以把小数化成分数:因为0.06=6100,120=5100,6100>5100,所以0.06>120。
(教师板书:根据小数的意义可以把小数化成分数:因为0.06=6100,120=5100,6100>5100,所以0.06>120)
师:同学们非常聪明,想出了这么多办法比较分数与小数的大小。分数与小数比较大小时,可以用画图法、分数化成小数法、小数化成分数法进行比较;分数化为小数,是用分子除以分母;小数化为分数,先把小数改写成分母是10,100,1000,…的分数,再约分成最简分数。
[设计意图] 引导学生根据分数与除法的关系,以及小数的意义来比较分数的大小。
二、分数化成小数的方法
师:“分数王国”和“小数王国”里分别有相同的尺子,两位国王想请你们帮忙翻译,你们愿意帮助他们吗?
预设 生:愿意。
(教师出示PPT课件)
师:怎样帮助分数王国呢?
预设 生:根据分数与除法的关系,把分数写成除法计算。
师:真聪明!谁能说一说你的计算过程呢?
预设 生1:根据分数与除法的关系,18=1÷8=0.125。
生2:根据分数与除法的关系,48=4÷8=0.5。
生3:根据分数与除法的关系,68=6÷8=0.75。
生4:根据分数与除法的关系,78=7÷8=0.875。
(教师随学生的回答将课件中的空填上)
三、小数化成分数的方法
(教师出示PPT课件)
师:怎样帮助小数王国呢?我们怎样把小数化成分数呢?
预设 生1:一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
生2:把小数化成分数,原来有几位小数,就在1后面写几个0作分母,原来的小数去掉小数点作分子。
师:小数化成分数,把小数化成分母是10,100,1000,…的分数,能约分的要约分。大家只要运用这个规律,就能帮助小数王国。请同学们独立完成后汇报。
预设生1:0.15=15100=320。
生2:0.25=25100=14。
生3:0.4=410=25。
生4:0.45=45100=920。
(教师随学生的回答将课件中的空填上)
四、分数与小数的互化
师:同学们真聪明,你们能根据所学知识把下面分数化成小数或把小数化成分数吗?
(出示PPT课件)
把下面的小数化成分数或把分数化成小数,与同伴交流你的做法。
425= 74=
0.24= 1.8=
师:请同学们独立完成后,小组内交流做法,并汇报出你的互化方法:
预设 生1:根据分数与除法的关系,425=4÷25=0.16。
生2:74=7÷4=1.75。
生3:根据小数的意义:0.24=24100=625。
生4:1.8=1810=95。
(教师随学生的回答板书)
五、拓展延伸,丰富活力
师:同学们真了不起,学会了这么多的数学知识。接下来老师就要考考大家,看看你们是否会运用这些知识解决实际问题。
(出示PPT课件)
有三位同学进行登山比赛,从山下到山顶,甲用了34小时,乙用了0.8小时,丙用了325小时,你能比较出哪位同学登得快吗?先试着做,然后汇报。
预设 生1:我们是用把分数化成小数的方法来比较的。
因为34=0.75,325=0.12,所以0.8>34>325,由于三位同学进行的是登山比赛,也就是说,用的时间越少,登山的速度就越快,因此,丙的登山速度最快。
生2:我们是用把小数化成分数的方法来比较的。
0.8=810=45,然后把34,325,45化成同分母分数分别是75100,12100,80100,因为12100<75100<80100,所以325<34<0.8,因此也可以得出丙的速度最快。
师:大多数同学们做这道题都是用把分数化小数的方法来比较大小的。为什么不用小数化成分数的方法呢?
预设 生:小数化分数的方法比较麻烦,分母不同得先通分化成同分母分数才能比较大小。
师:当分数和小数比较大小时,一般都把分数转化为小数来比较。
[设计意图] 利用教材中的情景图,引导学生探究分数化成小数的方法、小数化成分数的方法,并利用所学习的方法进行分数与小数的互化和实际应用。
1.分别用分数和小数表示下面的阴影部分。
分数:( )( )
小数:( )
分数:( )( )
小数:( )
2.把下面的小数化成分数。
0.3= 0.25= 0.45=
1.06= 2.5= 0.375=
3.把下面的分数化成小数(不能化成有限小数的,保留两位小数)。
4.连一连。
5.在上面的方框中填上小数,在下面的方框中填上分数。
6.甲乙两人加工一批零件,甲平均每分钟加工0.8个,乙平均每分钟加工79个,谁的工作效率高些呢?
【参考答案】 1.710 0.7 12 0.5 2.310 14 920 1350 212 38 3.0.67 0.6 0.5625 0.175 0.16 0.73
4.
5.
6.甲的工作效率是0.8,乙的工作效率是79≈0.78,甲的工作效率高一些。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:这节课我们一起学习了分数与小数的互化。
生2:通过这节课的学习,我们深深地体会到数学来源于生活,应用于生活。
师:希望同学们能够运用今天所学的知识去解决生活中更多的实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识,为学生能更好地运用所学知识解决问题提供了良好的铺垫。
作业1
教材第8页“练一练”第1,2,3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)把下列小数和与它相等的分数连起来。
0.6 0.12 0.55 0.82 3.025
4150 35 3140 325 1120
2.(重点题)把下列小数化成最简分数,把分数化成小数。
0.71= 0.47= 1.07=
7.25= 0.02= 516=
3.(基础题)把下面的小数化成分数,并记住这些结果。
0.2= 0.4= 0.6=
0.8= 0.5= 0.25=
0.75= 0.125= 0.375=
0.625= 0.875= 0.05=
【提升培优】
4.(易错题)把31320,3.64··,38,72,0.376按从小到大的顺序排列起来。
5.(情景题)折同样多的纸鹤,谁快一些?
【思维创新】
6.(探究题)请在下面的式子中填写分数。
15>( )>16
15>( )>16
【参考答案】
作业1:1.> > < 说一说①19和0.1,因为0.1=110,19>110,所以19>0.1 ②110和0.09,因为110=0.1,0.1>0.09,所以110>0.09 ③1.66和53,因为53=1.666…,1.66<1.666…,所以1.66<53 2.110 310 12 35 1825 4950 0.65 0.75 0.9 1.05 3. 4.? 25=0.4 ? 0.05=120 ? 0.02=150 5.(答案不唯一)例:妈妈买的香蕉,有2.13千克重。我家衣柜里23是妈妈的衣服。
作业2:1. 2.71100 47100 107100 714 150 0.3125 3.15 25 35 45 12 14 34 18 38 58 78 120 4.38<0.376<72<3.6·4·<31320 5.1.1<65 美美快一些 6.1160 1475(答案不唯一)
“分数王国”与“小数王国”
0.06>120 0.15=15100=320
0.25=25100=14
0.4=410=25 0.45=45100=920
根据分数与除法的关系:425=4÷25=0.16 74=7÷4=1.75
根据小数的意义:0.24=24100=625 1.8=1810=95
本课时通过趣味童话情景,引导学生探索分数与小数之间的内在联系,借助于操作、交流、分享等多种活动,在求知的欲望被积极调动起来的前提下,通过多种方式、多种方法展开知识的全方位的学习。
在比较小数与分数的大小时,注重引导学生把分数化为小数、小数化为分数的方法作为重点,并引导学生在分数与小数互化的两种方法中,体会从已知到未知的推理过程,并用“因为……所以……”,以培养学生的数学表达能力。
在小数化成分数、分数化成小数的过程中,完全体现了本节标题的童话特点,利用教材中的情景图,激发学生的学习兴趣,同时也为学生更好地理解分数与小数的互化。
对学生解决问题的方法,教师有些急于给出肯定的赞誉,压缩了部分同学的思维空间。
对学生提出的解决问题的方法,可先让学生进行评价,充分听取学生对解决问题过程的表述,为学生提供更多的交流合作空间。
【练一练·8页】
1.> > < 说一说①19和0.1,因为0.1=110,19>110,所以19>0.1 ②110和0.09,因为110=0.1,0.1>0.09,所以110>0.09 ③1.66和53,因为53=1.666…,1.66<1.666…,所以1.66<53 2.110 310 12 35 1825 4950 0.65 0.75 0.9 1.053. 4.? 25=0.4 ? 0.05=120 ? 0.02=150 5.(答案不唯一)例:妈妈买的香蕉,有2.13千克重。我家衣柜里23是妈妈的衣服。
【练习一·9页】
1.910 112 1112 718 2524 1315 2.(1)12+13=56(2)读少于4本书的人数共占全班人数的几分之几?110+12+13=1415(答案不唯一) 读2本书的人数比读1本书的人数多占全班人数的几分之几?12-110=25 3.
4.
5.2 13 1715 0 6.5 4(答案不唯一) 7.? 34-18=68-18=58 ? 23+15=1315 ? 49=0.4· ? 0.06=350 8.x=1718 x=1120 x=0.4 x=1328 y=0.1 y=2320 9.(1)1-25=35 (2)25-120=720 10.12-13=16 13-14=112 14-15=120 15-16=130 19-110=190 规律:1n-1n+1=1n(n+1)
(1)把下列分数化为小数。
58 14 120
(2)把下列小数化为分数。
0.225 0.3 0.85
[名师点拨] 分数化为小数,利用分数与除法的关系,用分子除以分母。小数化为分数,先把小数改写成分母是10,100,1000,…的分数,再约分成最简分数。
[解答] (1)58=0.625 14=0.25 120=0.05
(2)0.225=940 0.3=310 0.85=1720
【知识拓展】 分数化为小数,当分母只含有因数2或5时一定能化为有限小数。
分数和小数的历史渊源
完整的分数概念是建立在整数之比基础上的,它产生于整数的除法之中。在我国很早就有合理的分数表示法,在筹算中,除法本身就已经包含了分数的表示法。我国的《九章算术》是世界上最早的系统叙述分数的著作,比欧洲要早出1400余年。大约在公元三四世纪,印度才开始出现与我国同样的分数表示法。在《九章算术》“方田章”中,就有关于“约分”“通分”“合分”(分数加法)“减分”(分数减法)“乘分”(分数乘法)“经分”(分数除法)“课分”(分数的大小比较)“平分”(求分数的平均数)等分数运算法则的记载。其中约分法与现在一样,先求最大公因数,后用最大公因数分别除分子、分母。在做除法时,将除数的分子、分母颠倒而与被除数相乘,这在当时来说是很了不起的创造。
小数与十进位
小数,即不带分母的十进分数。小数的产生有两个前提:一是十进制记数法的使用;二是分数概念的完善。小数的出现标志着十进制记数法从整数扩展到了分数,使分数与整数在形式上获得了统一。我国对小数的认识在世界上也是最早的。公元3世纪,我国数学家刘徽在注释《九章算术》中处理平方根问题时就提出了十进小数。
第1单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、我会算(18分)
19-118 23+215 34+56
13+29+23 823+79-823
27+12-27+12 85-14+25
35-14+25 56-12+16
二、我会选(20分)
1.分母是10的所有最简真分数的和是( )。
A.1 B.2
C.3 D.412
2.下列算式中,结果不是13的是( )。
A.16+16 B.1-13
C.1-23 D.23-13
3.用简便方法计算133-13+16的第一步算式是( )。
A.133-13+16 B.133-13-16
C.133+13-16 D.133+13+16
4.计算39+18+69+78,运用( )可以使计算简便。
A.加法结合律
B.乘法交换律
C.加法交换律
D.加法交换律和加法结合律
5.李师傅5小时加工3个零件,平均加工每个零件所需要的时间是( )小时。
A.35 B.113 C.15 D.53
三、我会比较大小(18分)
23+14+57○1118
56+58+34○3
78-13+12○0
1+12-13○16
910-34+110○1
2○12+13+116
四、解决问题(44分)
1.
他俩一共吃了这块蛋糕的几分之几?(6分)
2.一根铁丝第一次用去35 m,第二次用去16 m,两次一共用去多少米?第一次比第二次多用多少米?(6分)
3.聪明豆做数学作业用了25小时,做语文作业用了13小时,做这两项作业相差多长时间?(6分)
4.一根竹竿垂直插入水中,入水部分长710米,露出水面部分长35米,这根竹竿长多少米?(6分)
5.爸爸带小丸子去徒步,8:00出发,8:30已经走了全程的14,9:20又走了全程的13,还要再走全程的几分之几就到达终点?(6分)
6.一块地,它的215种西瓜,112种香瓜,其余的种哈密瓜,种哈密瓜的面积占这块地总面积的几分之几?(6分)
7.一个果园里种了三种果树,梨树的种植面积占果园总面积的16,桃树的种植面积占果园总面积的14,其余的都种苹果树。(8分)
(1)请画出这个果园里三种果树种植面积的示意图。
(2)请算出苹果树的种植面积占果园总面积的几分之几。
★附加题
有一串分数排列如下:13,12,59,712,35,1118……按照此规律排列下去,第1998个分数是多少?
【参考答案】
一、118 45 1912 119 79 1 1920 34 16
二、1.B 2.B 3.B 4.D 5.D
三、> < > > < =
四、1.18+19=1772 2.35+16=2330(m) 35-16=1330(m) 3.25-13=115(小时) 4.710+35=1310(米) 5.1-14-13=512 6.1-215+112=4760 7.(1)略 (2)1-16-14=712
附加题 2×1997+11998×3=39955994