北师大版 五年级数学下册第2单元 长方体(一) 单元整体备课教案
文档属性
| 名称 | 北师大版 五年级数学下册第2单元 长方体(一) 单元整体备课教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-10 11:26:01 | ||
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文档简介
第2单元 长方体(一)
本单元安排了长方体的认识、展开与折叠、长方体的表面积、露在外面的面等相关内容。前面学习了长方形、正方形等平面图形及它们的周长和面积计算方法,本单元在此基础上进一步研究长方体和正方体。长方体的认识是本单元的第一课,由平面图形拓展到立体图形,既是对所学知识的延伸,又利于培养学生的空间观念。
从研究平面图形到研究立体图形,是学生空间观念发展的一次飞跃,从直观感受到认识图形的特点也是学习上的一次深化。对常见平面图形特征及其周长、面积计算方法的探究,为进一步探索长方体、正方体这样的立体图形特征及其表面积的计算方法奠定了基础,积累了探索的经验及研究的方法。长方体和正方体是最基本的立体图形,通过学习长方体和正方体,可以使学生更好地了解周围的世界,形成初步的空间观念,是进一步学习其他立体图形的基础。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面:
1.重视观察与具体操作,经历探索长方体和正方体的外部特征,即形状特征的过程。本单元要进一步认识长方体的内部特征,即结构特征。为此,在“长方体的认识”一课的内容编写中,先认识长方体与正方体的面、棱和顶点等结构要素,再通过具体操作探索这些结构要素的特点,进而认识长方体的长、宽、高,理解正方体是特殊的长方体。“试一试”是深刻认识长方体是由6个长方形围成的立体图形,这个过程就是认识长方体区别于其他立体图形的本质特征的思维过程。“展开与折叠”的活动不仅能够深化对长方体和正方体的本质特征的认识,而且通过空间图形与平面图形的相互转化的空间想象和空间推理活动,可以发展空间观念。
2.结合解决与长方体表面积有关的实际问题,借助几何直观,发展空间想象和空间推理能力,积累解决问题的经验。
3.求“长方体的表面积”,可以不画它的展开图,但头脑里不能不想象、不呈现这张图,并根据这张图寻找计算长方体表面积的各种思路和合理、简洁的途径,体会几何直观在学习中的作用。“露在外面的面”的情景问题是求放在墙角处的纸箱露在外面的面的个数或面积;为了不重不漏,计算时可以按这些面的朝向(正面、侧面、上面)进行分类,逐类计算。探讨4个纸箱摆放在墙角有哪些不同的方式时,可以按照某个方向看到面的个数进行分类讨论,如从正面看可以看到1个面、2个面、3个面和4个面等4种情况。摆放方式不同,露在外面的面的个数随着正方体个数增加而增加的规律也不同。由此可以感悟空间形式与数量之间有着密切的联系。
1.知道长方体、正方体的特点,并据此解决一些简单的实际问题。
2.能正确计算长方体、正方体的表面积,并能解决一些简单的实际问题。
3.认识长方体、正方体的展开图。
4.理解长方体、正方体的展开图与折叠围成的立体图形的对应关系,能正确判断它们之间的对应关系。
5.综合运用所学知识,会解决有关求物体表面积问题。
经历观察、操作等探索活动,发展空间观念。
经历利用长方体、正方体表面积的计算方法解决简单的实际问题的过程。
体验数学知识的应用价值,提高学习兴趣,培养探索发现的意识。
【重点】 掌握长方体和正方体的特点、展开图及表面积计算方法。
【难点】 长方体和正方体展开与折叠之间的关系;解决有关物体表面积的问题。
学生的学习过程是一个主动建构的过程,作为教师要激活学生的先前经验,激发学生学习的热情,让学生在经历、体验和运用的过程中真正感悟知识。以引导学生自己动手为主线,有目的、有意识地安排实践活动,在动手操作过程中,启发学生用眼观察、动脑思考、用口参与讨论,用耳去辨析学生的答案,从而引导学生发现规律,通过操作平台的演示,把观察与操作、思维与语言表达结合在一起,调动学生学习的主动性。
1 长方体的认识
学生在第一学段已经认识了长方体和正方体的形状特征,会辨认长方体和正方体,本节课就在此基础上,深入到长方体与正方体的内部,进一步认识长方体、正方体各部分名称和长方体、正方体的结构特征。它是本单元的基础知识,教科书设计了三个问题和“试一试”。第一个问题是认识长方体与正方体的结构要素,即面、棱与顶点;第二个问题是探究长方体、正方体的结构特征;第三个问题是认识长方体的长、宽、高,理解正方体是特殊的长方体。“试一试”中的两个问题是进一步促进对长方体特征的理解,即长方体是由6个长方形(正方形)的面围成的立体图形。
1.通过观察、操作等活动认识长方体和正方体,让学生知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高(或棱长)的含义,掌握长方体和正方体的基本特征,理解它们之间的关系。
2.能根据长方体、正方体的特点解决简单的应用问题。
3.让学生在操作活动中经历探究的全过程,通过合作学习进一步积累探索经验,增强空间观念,发展数学思考能力。
4.让学生体会立体图形与实际生活的联系,感受其价值,增强数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
【重点】 掌握长方体、正方体的特征,以及长方体和正方体之间的关系。
【难点】 理解长方体和正方体之间的关系。
第课时 长、正方体特征的认识
1.经历观察、分类操作和讨论等活动过程,了解长、正方体各要素名称及认识长方体、正方体的特点,发展空间观念。
2.能根据长正方体的特点解决简单的应用问题。
【重点】 掌握长方体、正方体的特征,以及长方体和正方体之间的关系。
【难点】 理解长方体和正方体之间的关系。
【教师准备】 PPT课件、土豆、小棒、塑料拐角等。
【学生准备】 自备牙膏盒、化妆盒等长方体物体。
计算面积。
【参考答案】 7×3=21(平方米) 5×5=25(平方米)
方法一:创设情景,激趣导入
师:找一找,下面哪些物体的形状是长方体或正方体?(出示PPT课件)
预设 生1:第二个图形是长方体。
生2:第四个图形是长方体。
生3:第五个图形是长方体。
生4:第六个图形是正方体。
师:在生活中,你还见过哪些物体的形状是长方体或正方体?
预设 生1:牙膏盒是长方体。
生2:电饭煲的包装盒是正方体。
……
师:刚才大家看到的和所说的物体,大小、高矮都不一样,你们为什么说它们都是长方体或正方体呢?它们到底有什么特征呢?这节课我们就来学习有关长方体的知识。(板书课题:长、正方体特征的认识)
[设计意图] 结合学生的认知规律,从日常生活中常见的实物入手,从平面到立体,通过激活学生已有的关于长方体和正方体的直观经验,建立长方体和正方体的表象。
方法二:复习旧知、引入新课
师:同学们,低年级的时候,我们已经学过一些平面图形,如:长方形、正方形等。谁能说说长方形、正方形有哪些特点?
预设 生1:长方形相对的边平行且相等,有4个直角。
生2:正方形的4个角都是直角,4条边都相等,相对的边平行。
师:除了平面图形外,我们还认识了一些立体图形,有哪些?
预设 生:长方体、正方体、圆柱、球……
师:那你能很快找出下面图形中,哪些物体是长方体、正方体吗?(PPT课件出示主题图)
预设 生1:微波炉和洗衣机、电冰箱都是长方体。
生2:魔方、骰子都是正方体。
生3:还有牙膏盒也是长方体。
……
师:刚才同学们能准确找出长方体和正方体的物体,但是你们是根据什么判断出来的呢,它们到底各有哪些特点?这节课,我们来学习“长方体的认识”。(板书课题:长、正方体特征的认识。)
[设计意图] 利用生活中的物体和多媒体课件创设情景,激发了学生的学习兴趣和学习热情,为新课起到了穿针引线的作用。
方法三:创设情景,揭示课题
师:这是什么图形?(教师出示PPT课件)
预设 生:三角形、正方形、平行四边形、长方形。
师:这些图形都是平面图形,“平面图形是由线段围成的”。
师:这些图形还是平面图形吗?(教师继续出示PPT课件如下)
预设 生:不是。
师:这是什么图形?
预设 生:这些是长方体或正方体。
师:生活中,你见过这样的实物吗?
预设 生:见过。
师:谁能说一说生活中你见过的类似形状的物体?
预设生:液晶电视是长方体。
……
师:我们把这样的图形叫做立体图形,“立体图形是由平面围成的”。
师:今天,我们就来学习立体图形里最为常见的两种图形。(板书课题:长、正方体特征的认识)
[设计意图] 这种利用提问式导入课题的方式,既联系了实际,形成了新旧知识的比对,又使学生明确本节课的学习目标,激起了学生的求知欲,使学生带着好奇的心理投入到本节课的学习中去。
一、长方体和正方体各部分名称
1.初步认识长方体。
初步感知面、棱、顶点的含义。
师:把一个土豆切成长方体,最少要切几刀?怎样切?请同学们小组内完成后汇报。
(同组的同学相互交流一下,再指名上台给全班同学介绍自己的切法。可以学生边介绍,老师边切土豆演示)
师:(切一刀时,提问)你们有什么发现?
预设 生:有一个面。
师:(切到出现边时,提问)你们又有什么发现?
预设 生:有一条边。
师:这条边是怎样产生的呢?
预设 生:切出两个面产生的。
师:我们把两个面相交的边叫做棱。
师:(老师继续切,出现顶点时,提问)这个点是怎样产生的?
预设 生:切出三个面产生的。
师:我们把三条棱相交的点叫做顶点。
(板书:面、棱、顶点)
[设计意图] 加强数学与生活的联系,通过切、看、摸,让学生的多种感官都参与教学活动,在操作中直接感知面、棱、顶点的含义,为进一步探究长方体的特征做准备。
2.判断物体的形状。
师:生活中还有哪些物体的形状是长方体或是正方体呢?请同学们看大屏幕。
师:请同学们看老师手中的物体。(教师出示实物)
师:这是什么图形?
预设 生1:地砖的形状是长方体。
生2:魔方的形状是正方体。(教师板书:长方体、正方体)
师:生活中还有很多这样的物体,谁能说一说吗?
预设 生1:牙膏盒。
生2:电冰箱。
……
3.认识长方体的各部分名称。
师:请同学们拿出手中的长方体纸盒摸一摸,然后小组讨论一下长方体是由哪些部分组成的。
预设 生:长方体是由面、棱和顶点组成的。
师:通过摸一摸,你能说一说什么是立体图形的面吗?
预设 生:面:围成立体图形的平面图形叫做立体图形的面。
师:那什么是长方体的面呢?
预设 生:围成长方体的长方形叫做长方体的面。
(教师随学生的回答板书:面:围成立体图形的平面图形叫做立体图形的面。围成长方体的长方形叫做长方体的面)
师:下面我们来看一下长方体的面。(教师出示PPT演示长方体的其中一个面)
师:那么,长方体有几个面呢?
预设 生:长方体有6个面。
师:分别是哪六个面呢?
预设 生:有上面、下面、左面、右面、前面、后面这六个面。
(教师随学生的回答分别演示这六个面的位置)
师:通过动手摸一摸,你能感受到什么是棱吗?
预设 生:立体图形中,两个面相交的线叫做棱。
(教师板书:立体图形中,两个面相交的线叫做棱)
师:长方体有多少条棱?
预设 生:长方体有12条棱。
师:我们来看一下分别是哪12条棱。(教师出示PPT课件演示12条棱)
师:什么是长方体的顶点呢?
预设 生:三条棱相交的点,叫做顶点。(教师板书:长方体三条棱相交的点叫做顶点)
师:长方体中有几个顶点?
预设 生:8个顶点。(教师随学生的回答演示8个顶点)
师:同学们能根据长方体的各部分名称,说一说正方体的各部分名称吗?
预设 生1:正方体也是由6个面围成的立体图形。6个面都是正方形。
生2:正方体也有12条棱。
生3:正方体也有8个顶点。
(教师随学生的回答演示课件:正方体的棱、面、顶点)
[设计意图] 通过让学生动手摸一摸的实践活动,让学生再现长方体的表象,有效地培养学生动手实践的能力,进一步发展学生的空间观念。
二、长方体和正方体的特点
师:通过上面的学习我们发现长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点。那么,长方体和正方体各有什么特点呢?下面我们就共同来探究这个问题。(出示PPT课件,展示情景图)
长方体和正方体各有什么特点?做一做,填一填,并与同伴交流。
1.观察长方体和正方体的各部分。
(1)观察长方体和正方体的面。
师:请同学们拿出手中的长方体和正方体模型,用自己的办法,观察长方体和正方体的面,说一说它们的个数、形状以及大小关系。
(学生小组内通过剪一剪、说一说后汇报)
预设 生1:长方体和正方体都有6个面。(教师板书)
生2:长方体每个面的形状都是长方形,相对的面的面积相等,特殊情况下,有两个相对的面是正方形。(教师板书:相对的面的面积相等)
生3:正方体每个面都是正方形,6个面的大小相等。(教师板书:6个面都相等)
(2)观察长方体和正方体的棱。
师:请同学们再摸一摸长方体和正方体的棱,再量一量,看一看它们的棱长有什么特点。
预设 生1:通过观察,我知道了长方体和正方体都有12条棱。
生2:我用量一量的方法发现,长方体相对的棱的长度相等,也就是4条相对的棱的长度相等。(教师板书:相对的棱长度相等)
生3:正方体有12条棱,12条棱的长度都相等。(教师板书:12条棱都相等)
生4:通过观察我还发现,长方体和正方体中相对的棱互相平行,相邻的棱互相垂直。有两个相对的面是正方形的长方体,其中有4条棱的长度相等,另外8条棱的长度相等。
师:这位同学真是认真,他能说出这么多我们还没发现的问题,希望同学们都能向他学习,认真观察、发现问题,好吗?
(3)长方体和正方体的顶点。
师:长方体和正方体的顶点有什么特点呢?
预设 生:长方体和正方体都有8个顶点。(教师板书)
(教师出示PPT课件总结长方体和正方体的特征)
顶点
个数
8
8
面
个数
6
6
形状
每个面都是正方形
长方形(有的有2个相对的面是正方形)
大小关系
相等
相对面的大小相等
棱
条数
12
12
长度关系
相等
相对的棱长度相等
师:通过实践操作和仔细观察,我们知道了长方体和正方体的特征,都有8个顶点和6个面,相对的面完全相同,正方体的每个面都是正方形,特殊情况下,长方体有两个相对的面也是正方形,分别都有12条棱,正方体所有的棱长都相等,长方体相对的棱长度相等。
2.长方体的长、宽、高的定义。
师:了解了长方体和正方体这么多特点,那么你们认识长方体和正方体的长、宽、高吗?
(教师出示PPT课件)
师:通常我们把相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。(教师边说边演示课件,并出示“定义:相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。”)
师:长方体的形状、大小是由它的长、宽、高决定的。
(教师出示PPT课件:作用:长方体的形状、大小是由它的长、宽、高决定的)
师:也就是说,按照长方体的特征,我们可以把长方体的长、宽、高分成3组,4个长相等、4个宽相等、4个高相等。
三、正方体和长方体的关系
1.比较长方体和正方体的异同。
师:那么长方体和正方体有什么关系呢?(出示PPT课件)
正方形是特殊的长方形,正方体是特殊的长方体吗?认一认,想一想。
师:下面请同学们观察长方体和正方体,找一找它们的相同点和不同点。
(教师出示PPT课件表格,并随着学生的回答进行填充)
师:同学们,你们能仔细观察长方体和正方体,找出它们的相同点和不同点吗?
长方体
正方体
相同点
不同点
预设 生1:长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点。
生2:长方体的6个面都是长方形,特殊情况下有两个相对的面是正方形,相对的面完全相同。
生3:正方体的6个面都是正方形,6个面完全相同。
生4:长方体相对的棱的长度相等,正方体12条棱的长度都相等。(根据学生的回答填写表格如下)
长方体
正方体
相同点
6个面、12条棱、8个顶点
6个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形),相对的面完全相同
6个面都是正方形,6个面完全相同
相对的棱长度相等
12条棱的长度相等
2.二者之间的关系。
师:请同学们认真观察我们填写好的长方体和正方体的相同点和不同点,这两者之间有什么关系呢?
预设 生:从上表中可以知道长方体和正方体既有相同点又有不同点。正方体具有长方体的一切特征,可以把正方体看成是长、宽、高都相等的长方体,即正方体是特殊的长方体。
3.用图表示正方体和长方体的关系。
师:说得非常好,根据长方体和正方体的相同点和不同点,我们发现正方体是特殊的长方体,如果用图表示长方体和正方体的关系就是这样的:长方体包括正方体。(教师演示PPT课件)
如图所示:
[设计意图] 利用动手实践活动,激发学生的学习兴趣,有意识地培养学生的抽象概括能力,把思考的空间留给学生,把说的机会让给学生,让学生学会观察、发现、解决问题。
师:下面老师就来检验一下,同学们对长方体和正方体的特征掌握得如何。
(教师出示PPT课件)
1.想一想,填一填。
(1)长方体有( )个面,( )条棱,( )个顶点。
(2)正方体的6个面都是( ),有( )条棱。
(3)如右图,这个长方体的长是( )cm,宽是( )cm,高是( )cm,且这个长方体有( )个面是正方形,有( )个面是长方形。
2.指出正方体的棱长是多少,并且计算出棱长总和与一个面的面积。(单位:厘米)
棱长: ?
棱长总和: ?
一个面的面积: ?
3.判断。(对的画“√”,错的画“×”)
(1)长方体可能有两个相对的面是正方形。 ( )
(2)一个长方体(非正方体)中可能有4个面是正方形。 ( )
(3)长方体(非正方体)中相邻两个面的面积相等。 ( )
(4)一个正方体的棱长是2厘米,它的棱长总和是24厘米。 ( )
4.做一个长12厘米、宽10厘米、高2分米的长方体木质框架,至少需要多少厘米的木条?
【参考答案】 1.(1)6 12 8 (2)正方形 12(3)7 5 5 2 4 2.7厘米 12×7=84(厘米) 7×7=49(平方厘米) 3.(1)√ (2)? (3)? (4)√ 4.2分米=20厘米,12×4+10×4+20×4=168(厘米)
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起认识了长方体和正方体,掌握了长方体和正方体的特征,知道了长方体和正方体的相同点和不同点,并且知道了长方体与正方体之间的关系;认识了长方体和正方体的长、宽、高,知道正方体是长、宽、高都相等的长方体。并能应用所学的知识解决简单的实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第12页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)写出下面每个长方体的长、宽、高分别是多少。
长: cm 长: cm?
宽: cm 宽: cm?
高: cm 高: cm?
2.(重点题)观察下图,长方体各面的面积分别是多少?
上面
下面
左面
右面
前面
后面
面积/cm2
3.(重点题)小明想做一个长方体铁框,长8 cm,宽6 cm,高5 cm,至少需要多少厘米铁丝?
【提升培优】
4.(易错题)判断。
(1)有6个面,12条棱,8个顶点的立体图形一定是长方体或正方体。 ( )
(2)一个正方体的一条棱长是6厘米,这个正方体的所有棱长的和是72厘米。 ( )
5.(变式题)一个正方体的棱长之和是36分米,它的每条棱长是多少分米?
6.(情景题)一栋长方体的大楼,长115米,宽50米,高40米,“十一”期间为增添节日气氛,要在建筑物的每条边上装上彩灯线(底座除外),至少需要买多少米彩灯线?
【思维创新】
7.(竞赛题)如图所示,小蚂蚁要将食物从A点运到B点,它只能顺着长方体的棱爬行,则小蚂蚁最少需要爬多远?
【参考答案】
作业1:1.答案不唯一,如下图。
2.(1)上面是长方形 长是36 cm,宽是28 cm,下面与它形状、大小都相同;左侧面是长方形,长是28 cm,宽是10 cm,右侧面与它形状、大小都相同。 (2)前面和后面。3.4 2 2 2 2 5 3 3 3
作业2:1.6 2 3 2 2 7 2.80 80 48 48 60 60 3.(8+6+5)×4=76(cm) 4.(1)? (2)√ 5.36÷12=3(分米) 6.115×2+50×2+40×4=490(米) 7.10+8+6=24(cm)
长、正方体特征的认识
面:围成立体图形的平面图形叫做立体图形的面。围成长方体的长方形叫做长方体的面。
棱:立体图形中,两个面相交的线叫做棱。
顶点:三条棱相交的点,叫做顶点。
面 棱 顶点
长方体: 6个,相对的面面积相等 12条,相对的棱长度相等 8个
正方体: 6个面都相等 12条棱都相等 8个
因为本节课的重点是通过学生的动手操作及观察发现长方体和正方体的特点,所以在教学中,做了以下两方面的尝试。
1.引导学生经历教学知识“再创造”的过程。
几何图形是很抽象的,在课堂教学中通过让学生用手摸一摸,用眼观察去体验立体图形,循序渐进,最后抽象出长方体和正方体,并总结出长方体和正方体的特征。这让学生经历了“观察——思考——实践——总结”这一探索过程。整个过程,从观察思考,到讨论、操作、探索发现,使每个学生都能积极地参与到过程中来,经历探索长方体面、棱、顶点及特点的全过程。只有这样学生才能最大限度地激发创造力,迸发出创新的火花。
2.鼓励学生经历研究图形的过程。
在这一过程中,特意注重引导学生体验探究图形的方法,如一开始引导学生导出长方体的面、棱、顶点,既明确了研究方向,又帮助学生体会探究的角度。在提问学生发现了什么时,鼓励学生说一说是怎么发现的,帮助学生体会可以利用观察、数一数、比较等多种方式探究图形。
1.在创设情景的部分,从学生熟悉的生活实物入手,借助多媒体的平台,激活学生已有的关于长方体的直观感受,建立起长方体的空间表象。
2.应通过PPT课件来传达到对长方体、正方体面、棱、顶点的特征,让学生在观察的过程中,随时随地探究问题,同时把问题当堂解决,体现信息技术与数学学科相结合的思想和意识。
再设计时,利用Flash课件来传达认识长方体、正方体各部分名称及深入理解两种形体之间的关系。通过图形的转换和比较,向学生渗透事物是相互联系的辩证思想,解决本课的难点内容,还可以多准备一些习题,进行“闯关大比拼”,引起学生的竞争意识。
把下面图形各个面的面积填在表中。
前面
后面
左面
右面
上面
下面
面积/cm2
[名师点拨] 认真观察后确定前、后面面积为长×高,即80×40;左、右面面积为宽×高,即50×40;上、下面面积为长×宽,即80×50。
[解答]
前面
后面
左面
右面
上面
下面
面积/cm2
3200
3200
2000
2000
4000
4000
【知识拓展】 长方体每个面都是长方形,有时有两个相对的面是正方形,并且相对的面完全相同。
长方体和正方体有趣的故事
长方体是一个聪明的小男孩儿,他生活在一个叫做“数学之木莎耳奇”的古老部落,那里一切像世外桃源一样美,长老们都说那是因为他们的祖先得到了自然女神的宠爱,自然女神总是不定期的出现在他们的部落,每一次,她都只见一个有缘人,如果这个有缘人能够通过她的考验,她就会满足这个有缘人的一个合理的心愿。
长方体是“数学之木莎耳奇”最有灵性的男孩儿,也是最有可能成为自然女神的有缘人的一个,长方体对此却不以为然,因为他并不相信这个传说。
有一天,长方体去小河边玩,已经有一些伙伴在河边嬉戏,有三角形,正方形,圆,等等。长方体一见他们在那儿,转身就走,因为长方体不喜欢和不聪明的小孩子玩,而部落里又数他最聪明,所以他总是自己一个人玩。他刚走两步,就听到三角形喊救命,原来是平行四边形掉到河里了,水并不深,但平行四边形不会游泳,其他小孩子都吓坏了,纷纷跑到岸上,也不敢下水,长方体见他们没人敢去,担心平行四边形会有生命危险,就奋不顾身地跳进了河里,这时,他才突然想起,自己也不怎么会游泳,可是,已经晚了,长方体只好赌一把,拼死救人。
一分钟,两分钟,三分钟……十分钟,长方体和平行四边形都没有再浮出水面。
小伙伴们都以为他们死了,哭得好伤心,突然,长方体举着平行四边形冲出了水面,长方体把平行四边形救出来了。大家都很感谢长方体,长方体什么也没说,就走开了。
长方体坐在草原上看风景,自然女神出现了,她和人们说得一样美,自然女神说:“长方体,你已经通过了我的考验,告诉我,你有什么愿望吧。”
长方体说:“我不知道我通过了什么考验,我也没兴趣知道。所谓的我的愿望,我也没有兴趣告诉你。”
自然女神从没遇到过这么有个性的小孩儿。
自然女神说:“既然你不说,那我就自作主张替你做决定了。”
长方体说:“随便你,反正,我可不会感谢你。”
自然女神知道长方体一个人玩,没有伙伴,就创造了正方体,正方体和长方体一样聪明,而且,正方体和长方体还十分相似呢,有许多共同的特点。长方体很喜欢这个新伙伴。
长方体对自然女神说:“我很喜欢正方体,他有许多和我相似的地方,像我的影子,但又和我不完全一样,有自己的个性。”
自然女神说:“你喜欢就好,其实,正方体是另一个特殊的你。比你自己还要特别的你。以后,你自然会明白。”
第课时 什么样的长方形可以组成一个长方体
1.鼓励学生经历探索长方体棱长特征的过程,加深对长方体特征的认识和理解。
2.能利用长方体的棱长特征判断是否能组成长方体。
3.培养学生的动手能力。
【重点】 加深学生对长方体特征的认识和理解,并能利用长方体的棱长特征判断是否能组成长方体。
【难点】 掌握长方体棱长的特征,根据所学知识解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件、卡纸、硬纸板等。
【学生准备】 卡纸、长方体或正方体形状的包装盒。
(PPT课件出示)
1.填空题。
(1)下列图形中,( )号是长方体,( )号是正方体。在长方体与正方体中,两个面相交的边叫做( ),三条棱相交的点叫做( )。
(2)长方体有( )个面,( )条棱,( )个顶点。相对的棱的长度( ),相对的面完全( )。
2.判断。
(1)正方体的每一个面都有4条棱,正方体有6个面,所以正方体有24条棱。 ( )
(2)如果长方体有两个相对的面是正方形,那么其余的四个面的面积都相等。 ( )
【参考答案】 1.(1)④ ② 棱 顶点 (2)6 12 8 相等 相同 2.(1)? (2)√
方法一:复习旧知、导入新课
师:什么是长方体?
预设 生:长方体是由6个长方形围成的立体图形。
师:长方体有什么特征?
预设 生:长方体有6个面,12条棱,8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
师:那么,什么样的长方形才能围成一个立体图形呢?今天我们就来学习什么样的长方形可以组成一个长方体。(板书课题:什么样的长方形可以组成一个长方体)
[设计意图] 通过复习刚学过的长方体的特征,从而引出什么样的长方形能围成一个长方体,既回顾了旧知,又为新课做了铺垫。
方法二:师生谈话、提出问题
师:上一节课我们学习了什么知识?
预设 生:上一节课我们共同认识了长方体和正方体的特征。
师:那么,你能说一说长方体和正方体的特征吗?
预设 生1:长方体有6个面,12条棱,8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
生2:正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,有12条棱,8个顶点。
师:那用什么样的长方形或正方形才能围成一个长方体或正方体呢?这节课,我们就来学习什么样的长方形可以组成一个长方体。
(板书课题:什么样的长方形可以组成一个长方体)
[设计意图] 引导学生回顾长方体的特征,运用长方体的特征解决新知,这样既回顾了旧知,又对新课做到了良好的铺垫。
方法三:实物情景导入
师:(教师出示一个长方体后提问)这是一个什么图形?
预设 生:这是一个长方体。
师:长方体是怎样组成的?
预设 生:长方体是由6个长方形围成的立体图形,特殊情况下,有两个相对的面是正方形。
师:同学们,你们知道组成一个长方体的六个面需要什么条件吗?这节课我们就共同来学习什么样的长方形可以组成一个长方体。
(板书课题:什么样的长方形可以组成一个长方体)
[设计意图] 利用实物教具可以激发学生的学习兴趣,为新课的更好开展起到了穿针引线的效果。
一、探索发现
师:请同学们选择一个长方体实物量一量。
(出示PPT课件)
师:说一说,它的长是( ),宽是( ),高是( );再测量一个正方体,它的棱长是( )。
(学生小组内测量长方体的长、宽、高,或正方体的棱长,并写出答案)
预设 生1:我量的长方体的长是8厘米、宽是6厘米,高是6厘米。
生2:我量的长方体的长是10厘米,宽是8厘米,高是5厘米。
生3:我量的正方体的棱长是10厘米。
师:那同学们能分别说一说每个长方体中的各个面的长、宽或正方体每个面的边长是多少吗?
预设 生1:在长、宽、高分别为8厘米、6厘米、6厘米的长方体中,前、后面的长是8厘米,宽是6厘米;左、右面的长是6厘米,宽是6厘米;上、下面的长是8厘米,宽是6厘米。
生2:在长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米的长方体中,前、后面的长是10厘米,宽是5厘米;左、右面的长是8厘米,宽是5厘米;上、下面的长是10厘米,宽是8厘米。
生3:棱长是10厘米的正方体的每个面的边长都是10厘米。
二、实验操作、探索发现
1.实验操作。
师:那么,到底什么样的长方形才能拼成一个长方体呢?(教师出示PPT课件)
(1)下面哪几个面可以组成长方体?你是怎么想的?并与同伴交流。
(2)将你选择的每个面的序号标在下边的长方体上,并标出这个长方体的长、宽、高。
师:请同学们照样子剪几个图形,做一做,想一想。
(学生动手操作,并相互交流)
预设 生1:我们是照样子剪几个图形,再拼一拼。
生2:我们是先找两个完全一样的长方形。(师板书)
生3:我们是先比较两个面的大小,再找出相对应的面。(师板书)
……
师:那么,你们找到这个长方体所对应的各个面了吗?
预设 生1:①和⑧是前后面。
生2:⑤和⑦是上下面。
生3:④和⑥是左右面。
(教师随学生的回答出示相应的面)
2.根据长方体的特征找面。
师:除了通过动手实践操作找能拼成长方体的长方形外,还有没有别的方法能找到可以拼成长方体的长方形呢?
预设 生:能。
师:说一说你的想法。
预设 生:根据长方体的特点,长方体相对的两个面完全一样,先找出三组完全一样的面,然后再想一下哪条边和哪条边可以叠在一起围成长方体。(教师板书)
师:说得非常好,判断哪几个长方形可以围成一个长方体,可以根据长方体相对的两个面完全一样来选择三组完全一样的面,然后再想象一下哪条边和哪条边可以叠在一起围成长方体。
3.活学活用。
师:下面,我们就应用所学的方法解决问题。
(出示PPT课件)
例题1:选择哪些小棒可以搭成一个长方体框架?(单位:cm)
师:谁能说一说?
预设 生:可以选择4根8厘米的、4根5厘米的和4根3厘米的组成一个长方体框架。
(教师出示PPT课件)
例题2:看图完成下面各题。
在下面8个面中找出6个面,使它们能围成上面的长方体。这6个面的编号分别是( )。
师:谁能说一说你怎样找的?
预设 生:我找到能组成上面长方体的六个面分别是:ACDEGH。
[设计意图] 先通过探索发现,学生对长方体的各个面的特征有一定的了解,然后引导学生通过动手操作,探索发现能组成长方体的六个面的特征,并根据探索发现的特点进行实际应用,从而引导学生能利用所学的知识解决问题。
师:通过学习,我们已经学会了找什么样的长方形可以组成一个长方体,下面老师就来检验一下同学们的掌握情况。
(师出示PPT课件中的练习题)
1.把两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是多少厘米?
2.用一根长228厘米的铁丝围成一个长方体,这个长方体的长、宽、高的和是多少厘米?如果围成长方体的长是20厘米,宽是18厘米,高是多少厘米?
3.一个长方体长6厘米,宽5厘米,高5厘米,把它的长、宽、高各增加1厘米,得到一个新的长方体,则新的长方体的棱长总和是多少?
【参考答案】 1.(1+2+1)×4=16(厘米)2.228÷4=57(厘米) 57-20-18=19(厘米)3.[(6+1)+(5+1)+(5+1)]×4=76(厘米)
[设计意图] 设计一些利用所学知识解决实际问题的应用题,这样可以锻炼学生灵活应用知识解决问题的能力。
这节课你学到了什么?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了用什么样的长方形可以拼成一个长方体,通过操作和探究发现可以实际操作或根据长方体特点来找。根据长方体的特点,长方体相对的两个面完全一样,先找出三组完全一样的面,然后再想象一下哪条边和哪条边可以重叠在一起围成长方体。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也能较好地巩固新知识。
作业1
教材第12页“练一练”第5,6,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
长方体有( )个面,( )条棱,( )个顶点,长方体两个面相交的边叫做( )。
2.(重点题)指出长方体的长、宽、高分别是多少,并且计算出指定面的面积。
长是: ,宽是: ,高是: 。?
上面: 。?
前面: 。?
左面: 。?
3.(重点题)一个长方体纸盒的长是18分米,宽是6分米,高是8分米,这个纸盒的棱长总和是多少分米?
4.(重点题)做一个长方体的灯箱框架,长7米,宽10分米,高30分米,至少需要多少米铁条?
【提升培优】
5.(难点题)一个长方体的棱长总和是80厘米,其中长是10厘米,宽是7厘米,高是多少厘米?
【思维创新】
6.(探究题)用木条钉一个长方体框架,这个长方体的底面是周长为12厘米的正方形,高是5厘米。钉这个长方体框架至少需要多少厘米的木条?(接口处忽略不计)
【参考答案】
作业1:5.32 32 40 40 20 20 6.(30+20+20)×4=280(cm) 7.制作方法一:正方体:剪6个边长为5 cm的正方形,然后拼贴在一起。长方体:剪长是7 cm,宽是5 cm;长是 7 cm,宽是3 cm,长是5 cm,宽是3 cm的长方形各2个,然后拼贴在一起。制作方法二:画出展开图,再折出正方体或长方体。
作业2:1.6 12 8 棱 2.7 cm 5 cm 3 cm 5×7=35(cm2) 3×7=21(cm2) 5×3=15(cm2) 3.(18+6+8)×4=128(分米) 4.(7+1+3)×4=44(米) 5.80÷4-10-7=3(厘米) 6.12×2=24(厘米) 5×4=20(厘米) 24+20=44(厘米)
什么样的长方形可以拼成一个长方体
先找两个完全一样的长方形。
先比较两个面的大小,再找出相对应的面。
根据长方体的特点:长方体相对的两个面完全一样,先找出三组完全一样的面,然后再想象一下哪条边和哪条边可以叠在一起围成长方体。
在本节课的教学设计中,因为知识内容在前一节的基础上有了进一步的提升,对于学生来说比较抽象,有一定的难度,所以在本节课的设计时,重点以学生的动手操作为主线,引导学生通过自己动手实践操作来发现能组成长方体的长方形的特点,这样给学生提供了一个自我展示的机会,同时也为学生解决了难点问题,在学生得出方法后,为了使学生能更好地掌握本节课的知识,能够灵活应用所学的知识,利用PPT课件出示了两道实际应用题,引导学生利用组成长方体的长方形的特点解决问题,这样,不仅使学生能更好地理解和掌握本节知识,而且进一步深化理解了知识之间的内在联系。
应多给一些同学展示的机会,设计一些简单的问题,由浅入深地找不同程度的同学回答问题,激发学生的学习兴趣。
再设计时,让学生多准备一些教具和学具,让学生多动手实践发现问题和解决问题,从而培养学生的探究能力。
【练一练·12页】
1.答案不唯一,如下图。 2.(1)上面是长方形,长是36 cm,宽是28 cm,下面和它形状、大小都相同;
左侧面是长方形,长是28 cm,宽10 cm,右侧面和它形状、大小都相同。 (2)前面和后面. 3.4 2 2
2 2 5 3 3 3 4.4 cm,6 cm,8 cm的所有小棒 5.32 32 40 40 20 20 6.(30+20+20)×4=280(cm) 7.制作方法一:正方体:剪6个边长为5 cm的正方形,然后拼贴在一起。长方体:剪长是7 cm,宽是5 cm;长是 7 cm,宽是3 cm,长是5 cm,宽是3 cm的长方形各2个,然后拼贴在一起。制作方法二:画出展开图,再折出正方体或长方体。8.(1)1 1 5 (2)2 1 4 (3)3 1 3 (4)2 2
爸爸用一根铁丝正好围一个棱长为6 cm的正方体框架,如果用它来围一个长方体框架,长是10 cm,宽是5 cm,那么高是多少厘米?
[名师点拨] 由题可知正方体框架和长方体框架用的是同一根铁丝,即正方体的棱长总和与长方体的棱长的总和相等。求出正方体的棱长总和,列式为6×12,因为长方体12条棱分为4个长,4个宽和4个高,所以再用6×12÷4求出一组长、宽和高的和,然后减去长和宽,就是高了。
[解答] 6×12÷4=18(cm),18-10-5=3(cm)。
答:高是3 cm。
【知识拓展】 已知长方体棱长总和以及长、宽、高三项中的两项,求另外一项,用“棱长总和÷4-已知两项和”。已知正方体的棱长总和,可求棱长,棱长=棱长总和÷12。
正方体与长方体的故事
从前,有一个正方体,它梦寐以求地想要出名,可是没有任何一个人愿意帮助它。直到遇见和自己有着同样梦想的长方体,它的梦想才有了头绪。
一天,长方体正在逛商场。偶然间,长方体看见了一张招聘立体图形的广告纸,便立即将它撕了下来,准备回家好好考虑考虑。同时,它把这件事也告诉了正方体,准备和它一起参加这个招聘活动。
回到家,长方体和正方体立刻仔仔细细地研究起这份招聘书。这时,正方体大叫道:“怎么只招聘一个人!”长方体随着正方体的手指望去,看见招聘书上写道:本公司招聘立体图形一人,条件是提供同样长的铁丝做自己的框架模型,看谁做的图形各个面面积和大,面积和大者录用。
看到这里,两人就立马去找材料,终于找到了一根长96厘米的铁丝,于是每人各取一半,开始制作自己的立体模型。正方体做出的是正方体,长方体做出的是长方体。他们立即拿着自己的作品,赶去数学博士家,准备让数学博士算一算自己所做模型的6个面的面积和。到了数学博士的家后,长方体把事情的来龙去脉都说了一遍,数学博士便笑着说:“好吧!”
数学博士问长方体:“你的长是几厘米,宽是几厘米,高是几厘米?”长方体自信地答道:“它们分别是6厘米、4厘米和2厘米。”“现在可以算出你模型正面、上面和左面的面积了,只要把它们面积的总和再乘2,就可以算出你模型的6个面的面积和了。”
(6×4+6×2+4×2)×2
=(24+12+8)×2
=44×2
=88(cm2)
“正方体,你的棱长是多少厘米?”“4厘米。”正方体喃喃地说道。“那计算你模型的6个面的面积更简单了,只要棱长乘棱长算出一个面的面积,然后再乘6,就可得到你的模型6个面的面积和了。”
4×4×6
=16×6
=96(cm2)
通过计算,数学博士郑重地宣布:“正方体模型的6个面的面积和大!”正方体开心地跳了起来,最后正方体赢了。长方体想想不死心,回家用同样长的铁丝做了不同的长方体,发现6个面的面积和都比不过正方体的6个面的面积和,最后长方体发现:用同样长的材料来做长方体或正方体,最终正方体的6个面的面积和永远比长方体要大。但是它后来想想也很高兴,因为他获得了一个新知识。”
2 展开与折叠
认识长方体和正方体的展开图,是发展学生空间观念的重要内容,也是学生学习长方体、正方体表面积等知识的基础,同时也是生活中制作长方体和正方体包装盒的基础知识。为使学生了解长方体、正方体的展开图是如何生成的,教科书以最简单的正方体为例,呈现了把一个正方体盒子沿某条棱剪开后,得到展开图的过程示意图,并借此帮助学生初步感知正方体展开图之间的关系。
结合沿棱剪正方体盒子的示意图,教科书按照:“模仿——拓展——还原——比较”层次设计了学习活动,共四个问题。第一个问题是动手剪一个正方体盒子,得到其展开图;第二个问题是交流得到几种不同的展开图;第三个问题是将剪开的正方体展开图折叠成正方体盒子;第四个问题是判断长方体和正方体与展开图之间的对应关系。
1.通过动手操作,知道长方体、正方体的展开图,加深对长方体、正方体的认识。
2.在想一想、操作等活动中,经历和体验立体图形与平面图形的相互转化过程,发展空间观念。
3.在展开与折叠、展示交流与汇报活动中渗透数学的转化、对应思想。
4.激发学生对探索知识的强烈愿望和对数学学习的兴趣。
【重点】 了解长方体、正方体展开图的特点,知道长方体、正方体的展开图与长方体和正方体的关系,能正确判断图形沿虚线折叠后是否能围成长方体或正方体。
【难点】 长方体展开图与展开之前的长方体的关系。
【教师准备】 正方体和长方体教具、各种展开图。
【学生准备】 正方体和长方体的纸盒、剪刀。
计算面积。
【参考答案】 8×3=24(平方米) 4×4=16(平方米)
方法一:创设情景,激趣导入
师:大家都见过包装盒吗?
预设 生:见过。
师:大多是什么形状的呢?
预设 生:长方体或正方体的。
师:那你们知道这些包装盒是怎样围成的吗?这节课我们就来解决这个问题。
[设计意图] 引导学生从生活中的问题入手,引起学生探究的兴趣,发挥其学习的主动性。
方法二:设置情景、导入新课
师:老师带了一件礼物送给大家。(拿出千纸鹤)
师:知道这是什么吗?
预设 生:千纸鹤。
师:你可不要小看它,它可是老师用心去做的。听说把用心做的千纸鹤送给同学们,会给同学们带来幸福和快乐。同学们知道这个千纸鹤是用什么材料做的吗?
预设 生:纸。
师:那同学们知道是怎么做的吗?
预设 生:折叠
师:很好。你们都会做吗?
预设 生1:会。
生2:不会。
师:不会做没关系,我们可以学。同学们想一想,我们可以将千纸鹤怎么样啊?
预设 生:先展开,再沿着折痕折起来。
师:非常好。那么同学们在刚才的过程中有没有体会到:立体图形可以展开成平面图形,而平面图形又可以折叠成立体图形啊?
预设 生:有。
师:那么老师这节课就带领同学们来学习“展开与折叠”。(教师板书课题:展开与折叠)
[设计意图] 利用千纸鹤导入,能够激发学生的学习兴趣,很自然地切入主题。
一、长方体和正方体展开图的特点
1.沿棱剪开。(出示PPT课件演示教材情景图)
把一个正方体盒子沿着棱剪开,得到一个展开图。
师:我们知道把一个正方体沿棱剪开,就会得到它的展开图,图中的笑笑和小狗正在将一个正方体盒子沿着棱剪开,可是小狗在剪拆正方体盒子的过程中把盒子拆散了,无法形成完整的展开图,同学们,你们愿意帮助小狗剪一剪吗?
预设 生:愿意。
师:在剪的时候要注意剪拆的方法,看一看你们会得到哪些不同的展开图呢?
(学生动手沿棱剪正方体,教师巡视)
[设计意图] 让学生亲身经历,去发现正方体展开图的特征。
2.展示作品。
师:同学们都已经顺利完成,请展示一下你们的作品吧!
师:请同学们把自己的作品粘贴到黑板上,不要重复。预设图有:
3.对比观察。
师:你们发现这些作品有什么特点?
(学生认真观察,思考回答)
预设 生:每个正方体都剪断了七条棱,剩下了五条棱相连。(根据学生的回答板书)
师:你观察得很细致。那么这些正方体展开图中有没有相似的类型呢?
预设 生1:我发现我的正方体展开图像一个字母T,这一个像十字架。
生2:我还发现像一把手枪;还有这个像一只小鸟。
生3:我还发现正方体的展开图是由6个小正方形组成的,而且6个小正方形的大小相等。
生4:我发现这些图形中,有的中间是四连方,两侧各有一个。(教师板书)
生5:有的图形中间是三连方,两侧各有一个、两个。(教师板书)
生6:还有的图形中间是两连方,两侧各有两个。(教师板书)
生7:两排各有三个。(教师板书)
师:同学们观察的都很认真,总结的也很完美。下面请移动作品对号入座,即:
(1)中间四连方,两侧各有一个。
(2)中间三连方,两侧各有一个、两个。
(3)中间是两连方,两侧各有两个。
(4)两排各有三个。
[设计意图] 学生经历操作和分类,熟练掌握正方体展开图的特点。
二、折叠后围成正方体的方法
师:四种类型11种展开图,同学们做得非常完美。能不能将这些展开图还原成正方体呢?请同学们交换展开图动手折叠吧!
(同伴合作,把图中每一种展开图重新折叠成正方体,教师巡视)
三、由展开图找相对面的方法
师:看到同学们能熟练地展开与折叠,老师非常高兴。下面是一个长方体和一个正方体的展开图,请分别说出与1号、2号、3号面相对的各是几号面。先想一想,再利用教材附页1中的图1试一试。(教师出示PPT课件)
下面是一个长方体和一个正方体的展开图,请分别说出与1号、2号、3号面相对的各是几号面。先想一想,再利用教材附页1中的图1试一试。
(学生动手折,找相对的面)
师:通过动手折一折,你找到了与1号、2号、3号面分别相对的面了吗?
预设 生:找到了。
师:谁能说一说?
预设 生1:第一幅图1对6,2对4,3对5。
生2:第二幅图1对5,3对6,2对4。
师:你从中发现什么规律了吗?
预设 生:我发现每相对的两个面中间隔一个面。
(教师根据学生的回答板书:相对的两个面中间隔一个面)
师:回答得非常准确,下面请同学们根据这个规律分别找出我们展开的正方体表面图中的11种图形中分别相对的面。
(教师出示PPT课件)
预设 生1:第(1)幅图中1对3,2对5,4对6。
生2:第(2)幅图中1对6,2对4,3对5。
生3:第(3)幅图中1对6,2对4,3对5。
生4:第(4)幅图中1对6,2对4,3对5。
生5:第(5)幅图中1对6,2对4,3对5。
生6:第(6)幅图中5对6,1对3,2对4。
生7:第(7)幅图中1对6,2对4,3对5。
生8:第(8)幅图中1对6,2对4,3对5。
生9:第(9)幅图中1对5,2对4,3对6。
生10:第(10)幅图中1对3,2对5,4对6。
生11:第(11)幅图中1对4,2对5,3对6。
[设计意图] 在展开与折叠过程中,明确长方体和正方体每组相对的两个面中间隔着一个面,相对的面完全相等。
师:下面老师就来检验一下,同学们对展开与折叠的掌握情况。
1.下面图形不能围成一个长方体的是( )。
2.如右图有一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的( )。
3.如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图,在此正方体上与“水”字相对的面上的汉字是( )。
A.“秀” B.“丽” C.“江” D.“城”
【参考答案】 1.D 2.A 3.B
[设计意图] 根据展开与折叠设计不同的问题,培养学生灵活应用的能力。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了展开与折叠的知识,通过动手操作发现展开与折叠之间的内在联系,以及找正方体或长方体与展开图相对应的面的特征,能够灵活应用所学的知识解决实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第15页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断下列图形沿虚线折叠后能否围成正方体。(能的画“√”,不能的画“?”)
2.(重点题)下面是一个正方体的展开图,观察与标有“B”的面相对的面是哪个面。
【提升培优】
3.(难点题)下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体?
【思维创新】
4.(探究题)将下面的图形折叠成正方体,并指出哪些面是相对的。
【参考答案】
作业1:1. 2.②③④⑤ 3.③
作业2:1.(1)? (2)? (3)√ (4)? 2.C3.①②④能 4.2-4 3-5 1-6
展开与折叠
每个正方体都剪断了七条棱,剩下了五条棱相连。
(1)中间是四连方,两侧各有一个。
(2)中间三连方,两侧各有一个、两个。
(3)中间是两连方,两侧各有两个。(4)两排各有三个。
总结:相对的两个面中间隔一个面。
通过本节课的教学进一步发展学生的空间观念。由于这部分内容对学生的空间观念要求比较高,学生难以理解,因此在教学中设计了以下三个主要环节:(1)首先通过把长方体、正方体盒子剪开得到平面图形的活动,引导学生直观认识长方体和正方体的展开图;(2)利用可操作材料,体会展开图与长方体、正方体的联系;(3)通过立体与平面的有机结合,发展学生的空间观念。这样由浅入深、由表及里地使学生逐步达到教学目标的要求。
本节课的核心是发展学生的空间观念。空间观念主要应该表现在:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其展开图之间的转化;能根据条件画出立体图形;能从较复杂的图形中分解出基本图形。所以在教学中采用了互动探究式教学。通过创设合理的教学情景,立足于“导”,促使学生积极主动地去探究知识,再通过与学生之间的对话与交流,让学生主动地提出问题、解决问题,并自觉地总结和掌握解决问题过程中所用到的思想和方法。
本节存在的不足有以下几点:(1)学生对展开图通过各种途径有了一些了解,但仍不能把平面与立体很好地结合起来。(2)在遇到问题时,学生不愿意自己探索,要引导学生主动探究。(3)教师要用全新的视角去认识学生。
在课上要注意多设计体现数学魅力的环节。
【练一练·15页】
1. 2.②③④⑤ 3.③
这是一个正方体纸盒的展开图(如图所示),那么正方体纸盒的黑色面的对面是什么颜色的面?
[名师点拨] 把这个展开图折叠成一个正方体,可以发现如果红色面是下面,那么黑色面就是上面,所以黑色面的对面是红色的面。
[解答] 黑色面的对面是红色的面。
正方体展开图及口诀
巧记正方体展开图口诀:
“一四一”“一三二”,
“一”在同层可任意,
“三个二”成阶梯,
“二个三”“日”相连,
异层必有“日”,
“凹”“田”不能有,
掌握此规律,运用必自如。
巧记口诀确定正方体表面展开图
6个相连的正方形组成的平面图形,经折叠能否围成正方体问题,是常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手,现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来,供大家参考:
正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁。
十四条边布周围,十一类图记分明。
四方成线两相卫,六种图形巧组合。
跃马失蹄四分开,两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”“凹”“田”。
现将口诀的内涵解释如下:将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开,展开成平面图形,需剪7刀,故平面展开图周围有14条边,共有十一种展开图。
一、四方成线两相卫,六种图形巧组合。
以上六种展开图可归结为四方连线,即,另外两个正方形在四个正方形的上下两侧,共六种情况。
二、跃马失蹄四分开。
以上四种情况可归结为五个正方形组成“三二相连”的基本图形(如图),另外一个正方形的位置有四种情况,即图中四个“△”中的任意一个位置,这一图形有点像失蹄的马,故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯。
这一种图形是两个正方形一组,两两错开,像阶梯一样,故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连。
这是确定展开图的又一种方法,也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连,则1号面与3号面是对面,中间隔了一个2号面,并且是对面的一定是不相连的。
五、识图巧排“7”“凹”“田”。
这里介绍的是一种排除法。如果图中出现像图(1)中的“7”形结构的图形就不可能是正方体展开图,因为图中1号面与3号面是对面,3号面又与5号面是对面,出现矛盾。
如果图中出现像图(2)中的“田”形结构的图形,也不可能是正方体展开图,因为同一顶点处不可能出现四个面。
如果图中出现像图(3)中的“凹”形结构的图形,也不可能是正方体展开图,因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明:
下面的平面图形中,是正方体的平面展开图的是 ( )
解析:本题可用“识图巧排‘7’‘田’‘凹’”来解决。A,D都有“凹”形结构,B有“田”形结构,故应选C。
马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子,他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示的拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子。
(注:①只需添加一个符合要求的正方形;②添加的正方形用阴影表示)
解析:本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连的结构,故本题有四种答案,即正方形的位置有如图所示的四种情况之一(图中“△”位置)。
试一试:
1.下列图形中,不是正方体表面展开图的是 ( )
2.如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图可以是 ( )
3.在正方体的表面上画有如图(1)所示的粗线,图(2)是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图(1)中剩余两个面中的粗线画入图(2)中,画法正确的是(如果没有把握,还可以动手试一试)
【参考答案】 1.C 2.C 3.A
3 长方体的表面积
“长方体的表面积”是长方体的重要基础知识之一,在生活和生产中有着广泛的应用。这部分内容的学习是在长方体、正方体展开图的基础上进行的。教科书呈现了学生在手工课上制作一个长方体包装盒的示意图,引出所要解决问题的问题情景,设计了三个问题。第一个问题是提出“长方体的表面积”的概念;第二个问题是讨论如何计算长方体的表面积;第三个问题是讨论如何计算正方体的表面积。
1.在操作、观察活动中,探究并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法,并能准确计算。
2.结合长方体和正方体的展开与折叠的情景,经历探究长方体和正方体的表面积的过程,掌握长方体表面积计算方法,能解决一些简单的实际问题。
3.结合具体情景,解决生活中的一些简单问题,体会数学与生活的密切联系,丰富对现实空间的认识,发展初步的空间观念。
【重点】 理解长方体、正方体表面积的含义和计算方法,并能正确地计算长方体、正方体的表面积。
【难点】 掌握长方体、正方体表面积的计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 长方体纸盒、剪刀、彩纸。
方法一:创设情景,导出问题
师:同学们,前面我们结识的朋友——长方体,今天又来光顾我们的课堂了。你们看,它来了。(教师出示PPT课件)
[设计意图] 创设生动有趣的情景,调动学生的兴趣,同时引发学生探究的欲望。
师:同学们愿意帮助长方体实现它的愿望吗?
预设 生:愿意。
师:请同学们拿出准备好的长方体和彩纸,给长方体做一件精美的外衣,看看哪一组同学在用料最少的情况下做得又快又好。
师:(包装结束后)请同学们把穿好外衣的长方体托在手上,向大家展示一下。大家看一看,同学们给长方体设计的外衣漂亮吗?
预设 生:漂亮。
师:今天我们就来学习给长方体做包装。(板书课题:长方体的表面积)
方法二:设置情景、导入新课
师:李红妈妈的生日快要到了,李红给妈妈买了一份礼物。她想自己做一个长7 cm,宽5 cm,高3 cm的长方体纸盒将礼物包装起来。做这样一个纸盒至少需要多少纸板呢?你能帮她算一算吗?
(教师出示PPT课件)
师:通过这节课的学习,同学们一定会帮她解决这个问题的,对吗?
预设 生:对。
师:下面我们就共同来探究关于包装纸的数学知识。(板书课题:长方体的表面积)
[设计意图] 在新课开始时,营造一个有利于学生学习的课堂环境,从生活实际引入,根据学生已有的知识和经验,还原数学的本来面目,符合课程标准的要求;从学生所熟悉的事物中提炼出问题,根据题目设问,既能达到以问促学的目的,又激发了学生的求知欲。既提出了研究问题情景,又充分激发起学生解决问题的欲望。
方法三:创设情景、激趣导入
师:同学们,我今天给大家带来一些礼物,想送给这节课最爱动脑,发言又积极的同学,但老师觉得这个礼物的盒子不够漂亮,你们能不能给老师出出主意?
预设 生1:可以在盒子上画一些图案。
生2:可以给盒子包上漂亮的包装纸。
师:你们的想法和老师的一样。(演示盒子包装)
师:这包装纸至少要多大呢?你们想知道吗?
预设 生:想。
师:通过今天的学习,大家就会明白。这节课我们就一起来研究长方体的表面积。(板书课题:长方体的表面积)
[设计意图] 利用生活中最常见的事物进行导入,可以激发学生的学习兴趣。
一、长方体表面积的含义
师:在手工课上,同学们做了长方体包装盒。(教师出示PPT课件)
师:做一个这样的包装盒至少要用多少纸板呢?同学们想一想,需要几个面?
预设 生:6个面。
师:那么谁能概括一下什么是长方体的表面积呢?
预设 生1:长方体6个面加在一起就是长方体的表面积。
生2:长方体6个面的面积和就是长方体的表面积。
……
师:同学们说得真好!对,长方体6个面的面积和就是长方体的表面积。严谨一点叙述就是长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积。
(教师板书:长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积)
[设计意图] 让学生在动手实践的过程中,对表面积有所体验,再引入表面积概念就水到渠成了。
二、探求长方体表面积的计算方法
师:我们要想求出手工课上做的长方体的表面积,该怎样求呢?
预设 生:可以将这个长方体包装盒展开。
师:说得非常好,要想求出这个长方体的包装盒的表面积是多少,要将长方体纸盒展开。
师:根据刚才包装长方体的方法可以把长方体包装盒展开,再求出面积,下面请同学们动手将长方体包装盒展开,标出每个面的边长,想一想长方体的长、宽、高与展开图各边的关系,并说一说怎样求出纸盒的表面积。
(学生动手剪纸盒,标明每个面的位置,以及每个面的边长各是多少,然后讨论怎样求表面积)
师:观察你们手中的长方体展开图,你能说出长方体的6个面分别对应于展开图中的哪个部分吗?
(学生讨论后汇报,同时教师PPT课件演示)
预设 生:老师我知道,A,B两个面是长方体的前面和后面;C,D两个面是长方体的左面和右面;E,F两个面是长方体的上面和底面。
师:把这6个面的面积相加就是长方体的表面积,我们可以用字母表示长方体表面积与每个面的关系,你们能做到吗?
(学生思考,然后汇报,教师可以适时给予引导)
预设 生:老师,我可以回答这个问题,我们根据以往的学习经验,可以用S表示面积,那么,长方体的表面积就等于上面加上下面加上前面加上后面加上左面加上右面。
师:你真聪明,那你愿意到展台前把你用字母表示的长方体表面积与各个面的关系板书下来吗?
预设 生:我愿意。
(学生板书:S表面积=S上+S下+S前+S后+S左+S右)
师:(鼓掌)下面请同学们再仔细观察长方体展开图,把它折起来,再打开,看一看你们会有什么发现?
(学生观察,教师巡视,教师可以适时引导,打开学生的思路)
预设 生1:通过观察,我发现长方体展开图的6个面,可以分为3组,因为前后两个面相等,左右两个面相等,上下两个面相等。
生2:通过观察,我发现长方体上、下两个面的长和宽分别是长方体的长和宽,即长7 cm、宽5 cm。
生2:我发现长方体左、右面的长和宽分别是长方体的宽和高,即长5 cm、宽3 cm。
生3:我发现长方体前、后面的长和宽分别是长方体的长和高,即长7 cm、宽3 cm。
(教师根据学生的回答演示PPT,并标出各个面的长和宽)
师:通过刚刚我们的讨论,了解到只要知道长方体6个面的面积,我们就可以计算表面积,下面请同学们小组讨论,交流一下,怎样计算长方体的表面积呢?你打算怎么完成这次的学习任务呢?和同学们交流,讨论一下吧。
(学生交流讨论长方体表面积计算方法)
预设学生汇报:
方法一:
长方体的表面积就等于上面加上下面加上前面加上后面加上左面加上右面。上面=长×宽;下面=长×宽;前面=长×高;后面=长×高;左面=宽×高;右面=宽×高。所以长方体表面积是:长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高。
(教师板书:长方体表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高)
方法二:
根据长方体相对的面的面积相等,所以只要求出长方体的上面、左面和前面的面积,然后分别乘2,再把它们相加,就得出了长方体的表面积。
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。
S表面积=2S上+2S前+2S左。
(教师板书:长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。用字母表示为S表面积=2S上+2S前+2S左)
方法三:
根据长方体6个面的面积计算过程,可以知道:
长方体表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=长×宽×2+(长×2+宽×2)×高,而“长×2+宽×2”正是长方体底面周长,所以长方体的表面积=长×宽×2+底面周长×高,用字母表示为S=Ch+2ab。
(教师板书:长方体表面积=长×宽×2+底面周长×高。用字母表示为S=Ch+2ab)
师:同学们汇报的计算长方体表面积的方法老师都没有想到,你们真了不起,计算方法都是正确的!但是,无论我们选择哪一种方法计算长方体的表面积,都需要知道什么条件?
(学生思考讨论)
预设 生:都需要知道长方体的长、宽、高是多少。
[设计意图] 数学学习,从理解知识到具体应用,解决实际问题,这是一次“飞跃”。因此,教师在设计教学过程时,要从学生实际出发,通过剪一剪的实践操作使学生体会长方体表面积与各个面的关系(长、宽、高的关系),让学生运用多种感官参与学习,自主探索,合作交流,既学习了知识又培养了能力。
三、长方体表面积计算
师:同学们,我们已经掌握了长方体表面积的意义和长方体表面积的计算方法,你们能够根据所学知识计算我们手中长方体的表面积吗?
师:要想知道长方体表面积是多少,我们要知道哪些数学信息?
预设 生1:要知道长方体的长、宽、高。
生2:我得到长方体表面积等于(长×宽+长×高+宽×高)×2。
师:你们可以计算长方体的表面积吗?
(学生独立解答,集体订正,指名板演)
学生板书: (7×5+7×3+5×3)×2
=(35+21+15)×2
=142(cm2)
[设计意图] 通过计算,加强学生对长方体表面积计算方法的掌握和理解。
四、正方体表面积的求法
师:我们已经知道长方体表面积的计算方法,那么我们怎样计算正方体的表面积呢?
(学生讨论,全班交流后汇报)
预设 生1:因为正方体是特殊的长方体,我们也可以根据长方体表面积的计算方法求正方体的表面积。
生2:正方体6个面都是相等的正方形,所以求出一个面的面积,再乘6就是正方体的表面积了。
师:你能到展台前具体叙述一下吗?
(学生展示)
学生板书:正方体表面积=棱长×棱长×6
S=6a2
师:我们知道了正方体表面积的计算方法,正方体的表面积就是它6个面的面积之和,在实际计算时,要根据实际情况灵活运用。
[设计意图] 数学知识源于生活,同时又服务于生活。根据长方体表面积计算方法的推导,自然进入正方体的表面积的学习过程,有助于学生认识到知识间的联系。
师:通过今天的学习,我们已经掌握了正方体和长方体的表面积计算,下面我们就用已学知识来解决一些实际问题吧!
1.一个正方体的棱长是8分米,它的棱长总和是( ),表面积是( )。
2.一个长方体的长是15厘米,宽是12厘米,高是8厘米,这个长方体的表面积是( )平方厘米。
【参考答案】 1.96分米 384平方分米 2.792
[设计意图] 根据长方体、正方体表面积计算方法解决问题,加深对计算方法的理解,同时培养学生灵活应用的能力。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了长方体、正方体表面积计算的知识,通过观察、动手操作发现长方体表面积与长、宽、高的联系,能够灵活应用所学的知识解决实际问题。
预设 生1:我知道了长方体、正方体表面积的计算方法,并能运用所学解决实际问题。
生2:我知道了长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。用字母表示为S表面积=2S上+2S前+2S左。
生3:我知道计算长方体表面积还可以用“长方体表面积=长×宽×2+底面周长×高”计算,用字母表示为S=Ch+2ab。
生4:正方体表面积计算方法是正方体表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a2。
……
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也能较好地巩固新知识,加深对知识的理解和运用。
作业1
教材第17页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)一个长方体药盒展开后,得到右边的图形。
(1)用相同的符号标出相对的面。
(2)在( )内标出各个棱的长度。
(3)前、后两面的面积和是多少?列式并写出结果:( )。
左、右两面的面积和是多少?列式并写出结果:( )。
上、下两面的面积和是多少?列式并写出结果:( )。
(4)这个长方体的表面积是( )+( )+( )=( )cm2。
2.(重点题)计算下面图形的表面积。
【提升培优】
3.(难点题)判断下表中物体的形状是长方体还是正方体,并求出其表面积。
长
宽
高
形状
表面积
4厘米
3厘米
2厘米
7厘米
7厘米
7厘米
10厘米
10厘米
8厘米
4.(易错题)健身中心新建一个长方体形状的游泳池,该游泳池长50米,宽25米,深2.5米。现要在池的四周和底面都贴上瓷砖,共需要贴多少平方米的瓷砖?
5.(易错题)学校要粉刷新教室的顶棚和四周。已知教室的长是8米、宽是6米、高是3米,扣除门窗的面积11.4平方米。如果每平方米需要花4元涂料费,那么粉刷这样一个教室至少需要花费多少元涂料费?
【思维创新】
6.(创新题)将4个棱长是4 cm的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?(写出所有可能结果)
【参考答案】
作业1:1.涂色略。标出每个面的长和宽如下图所
示。六个面面积的总和就是它的表面积,为(15×12+15×3+12×3)×2=522(cm2) 2.(54×50+54×95+50×95)×2=25160(cm2) 3.(10×8+10×4+8×4)×2=304(cm2) 8×8×6=384(cm2)
作业2:1.(1)
(2) (3)5×7×2=70(cm2) 4×5×2=40(cm2) 4×7×2=56(cm2) (4)70 40 56 166 2.15×15×6=1350(cm2) (20×12+20×5+12×5)×2=800(cm2) (8×4+8×5+4×5)×2=184(cm2) 5×5×6=150(cm2)
3.如下表所示。
长方体
52平方厘米
正方体
294平方厘米
长方体
520平方厘米
4.50×25+(50×2.5+25×2.5)×2=1625(平方米) 5.8×6+(8×3+6×3)×2-11.4=120.6(平方米) 120.6×4=482.4(元) 6.①4×4×18=288(cm2) ②4×4×16=256(cm2)
长方体的表面积
长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积。
长方体表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高
S表面积=S上+S下+S前+S后+S左+S右
长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
长方体表面积=长×宽×2+底面周长×高
S=Ch+2ab。
(7×5+7×3+5×3)×2
=(35+21+15)×2
=142(cm2)
正方体表面积=棱长×棱长×6
S=6a2
学生通过做包装盒至少需要多少硬纸板,想到把长方体纸盒展开,展开图就是长方体的表面积,分小组讨论并计算表面积,使学生主动探索新知识,学生们想到了多种方法来进行计算,体现了算法的多样化,学生知道可以通过多种方法解决日常生活中的实际问题,经过讨论,大家找到了比较容易的算法。充分利用现代教育手段,直观演示,使学生直观地感受到长方体和正方体展开前和展开后的变化。且是在学生先操作的基础上再给学生演示,有利于发展学生空间观念。在教学中,一个问题的解决需要时间和空间,只有给学生留有足够的时间和空间,学生才能有所发现、有所创造。所以在把长方体的展开图展现在学生面前时,留给学生充分的思考时间,这样才能充分激发学生的思维。数学知识具有高度的抽象性,要引导学生在操作中思考,促进学生思维发展。在教学长方体表面积计算方法时,先让学生动手操作,以长方体学具为依据,学生在动手操作的过程中,通过比较更为深刻地认识了长方体的特征,抓住了长方体表面积计算方法的关键,然后让学生在小组活动中通过说一说,共同探索出长方体表面积的计算方法。在这里鼓励学生思考不同的计算方法,培养了学生的求异思维。
事先设计的课堂容量比较大,使得教学时间比较紧张,对基础较差的学生没能及时辅导。
在今后的教学设计中对一些基本的知识点也应该以点带面,对较突出的问题进行讲解,发展学生的异性思维,要注意多聆听学生的不同计算方法的讲解,提高分析问题与解决问题的能力。
【练一练·17页】
1.涂色略。标出每个面的长和宽如下图所示。六个面面积的总和就是它的表面积,为(15×12+15×3+12×3)×2=522(cm2)
2.(54×50+54×95+50×95)×2=25160(cm2) 3.(10×8+10×4+8×4)×2=304(cm2) 8×8×6=384(cm2) 4.35×35×5=6125(cm2) 5.3.5×3+(3.5×3+3×3)×2-4.5=45(m2) 6.②
一个长方体纸盒,长8 cm,宽和高都是6 cm,把六个面都用红纸贴上,至少需要红纸多少平方厘米?
[名师点拨] 由题意知这个长方体纸盒两侧为正方形(宽和高相等),这样其他四个面相同,所以可以通过“长×宽×4+宽×高×2”来计算它的表面积。
[解答] 8×6×4+6×6×2=192+72=264(cm2)
答:至少需要红纸264 cm2。
【知识拓展】 1.求长方体或正方体形状的物体的表面积时,要具体问题具体分析,如无盖正方体鱼缸有5个面。
2.知道长方体的表面积,如果已知长、宽、高中的任意两个量,那么可求出第三个量。
生活中的长方体和正方体
长方体和正方体在我们四周随处可见,而它们的表面积也运用得十分广泛。如,在你家里地上铺地砖、木地板,在墙上刷的白漆,用玻璃做一个长方体的大鱼缸等等,都需要用上长方体、正方体的表面积。可是,在生活中该如何运用长方体和正方体的知识呢?
大家都知道:长方体表面积是“长×宽×2+宽×高×2+长×高×2”,正方体表面积是“棱长×棱长×6”。但是在生活中可不能就这样生搬硬套,因为书上告诉你的是一般情况,生活中不是这样,有时,可能不用六个面全算。比如,让你给教室刷漆,人们一般只会刷上、左右、前后五个面,而你把公式套上去后,就可能连地面也给刷了,这个要注意。下面还有一个实例。
健身中心新建一个游泳池,该游泳池长50 m,宽20 m,深2.5 m(也就是公式中所说的高),现在让你贴上瓷砖,需要多少瓷砖?
首先,咱们得分析这道题,当然,最好的方法是联系生活实际,展开想象。既然是游泳池,肯定要求底面积,那就用长×宽求得底面积,大家可能会奇怪,为什么不铺上面呢?因为上面是水,铺上的话就不叫游泳池了。四周肯定也要铺,用宽×高×2+长×高×2就得出需要铺多少平方米的瓷砖了。
所以其最终结果是1350 m2的瓷砖。所以说,在解决实际问题时,正方体和长方体的表面积公式只是“半成品”,这其中的很多情况是需要你仔细思考的。
4 露在外面的面
本节教学内容是求组合体露在外面的面积,是观察物体、长方体和正方体表面积等知识的综合应用。重点是掌握组合体露在外面的面积的计算方法及会解决有关的实际问题。在此之前,学生已具有观察物体的经验和求长方体和正方体表面积的方法,这为求组合体露在外面的面积奠定了良好的基础。教科书创设了“在墙角堆放4个正方体纸箱”的情景,设计了三个递进的问题。第一个问题是求放在墙角处的4个正方体纸箱露在外面的面积;第二个问题是探索变换正方体纸箱堆放方式对露在外面的面个数多少有无影响;第三个问题是探索堆放的正方体个数与露在外面的面数的变化规律。
1.在操作、观察、分析等活动中,经历求由正方体搭成的组合体的表面积的探索过程,获得求物体露在外面的面积的计算方法。
2.掌握求物体露在外面的面积计算方法,会解决有关的应用问题,进一步发展空间观念。
3.经历探索规律的过程,激发主动探索的欲望。
【重点】 解决有关物体表面积的问题,探索规律。
【难点】 探索并总结露在外面的面积的计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 每组准备若干个完全相同的小正方体、记录卡、纸板。
求下面图形的表面积。
【参考答案】 (1)1.22米2 (2)337.5米2
方法一:谈话导入、运用方法
师:请看大屏幕(出示PPT课件),这是一组立体图形,看谁能最先看出:它是由几个小正方体组成的?
预设 生:有8个小正方体。
师:能说一说你是怎么看的吗?
预设 生1:我看到的是6个。
生2:我看到露在外面的有6个,没露出来的有2个。
师:看来仅有观察还是不够的,还要在观察基础上加入合理的推想,把你看不到的在脑海中想到,才会得出正确的结论。这节课,我们就继续用观察和推想这两种方法来探索露在外面的面。(板书课题:露在外面的面)
[设计意图] 观察是学生学习“空间与图形”领域内知识的重要方法,但仅有观察还是不够的,还需要不断掌握新的思维方法,以促进学生空间观念的发展。此环节正是从这一角度出发进行设计的。学生要想正确数出共有多少个小正方体,不仅需要观察,还要在观察的基础上加入推想,在脑海中想象出这样的立体图形,并推算出小正方体的个数,渗透了观察、推理与想象是正确认识事物的好方法,为新课的学习埋下伏笔。
方法二:创设情景、引入新课
师:我们已经学习了长方体的特征,看看讲台桌上这个漂亮的正方体箱子,它有几个面?
预设 生:六个面。
师:现在坐在你的位子上,你能看到几个面?
预设 生:一个面或者两个面。
师:如果站着看,你现在又能看到几个面?
预设 生:三个面。
师:哪几个面?
预设 生:上面、前面和其中一个侧面。
师:为什么和你刚才看到的不一样呢?如果老师再添加几个这样的正方体,把他们拼摆在一起,你知道露在外面的有多少个面吗?
师:今天我们就来学习新的知识,露在外面的面。(板书课题:露在外面的面)
[设计意图] 提供正方体实物演示,激发学生的探究欲望。
一、正方体放在墙角处露在外面的面积
师:看,淘气把4个小正方体摆放在墙角。(出示PPT课件)
4个棱长为50 cm的正方体纸箱放在墙角处,如右图。
1.看图找到露在外面的面
师:请同学们仔细观察画面(指着上面的图),它有几个面露在外面?你是怎么想的?
预设 生:露在外面的有9个面。上面的纸箱有3个面露在外面,前面的纸箱也露出3个面,右边的纸箱也露出3个面,3+3+3=9个面。
师:能说一说你是按什么方法数的吗?
方法一:按纸箱算。
预设 生:我是按纸箱的个数去数的。有3个纸箱各露出来3个面,所以共露出9个面。
师:不是有4个纸箱吗?你怎么只数了三个?
预设 生:有一个纸箱的面全被挡住了,一个面也没漏出来,就不用看了。
师:你真是个善于观察的学生。说得非常对。
方法二:按角度算。
师:通过看图我们可以按照纸箱的个数一个一个地数,除了这个方法还有没有其他方法了呢?
预设 生:有。
师:你还有什么好方法吗?
预设 生:可以分别从正面、侧面、上面三个不同的角度观察。
师:现在,请从正面、上面和侧面观察这组立体图形,看到的是哪个平面图形呢?
预设 生1:我从正面看到的图形是第一幅图。
生2:我从侧面看到的图形是第三幅图。
生3:我从上面看到的图形是第二幅图。
师:从三个方向看到了多少个面?
预设 生:从三个方向看,一共有9个面。
2.计算露在外面的面积
师:怎样计算露在外面的面积是多少呢?
预设 生:因为露在外面的面一共有9个,所以只要求出一个面的面积再乘9就可以了。
列式为: 50×50×9
=2500×9
=22500(cm2)
(教师根据学生的回答板书)
[设计意图] 引导学生先按照常规方法,按照正方体堆放的个数去数,在学生会数的情况下进一步学习从不同角度去观察,找不同角度去看露在外面的面的个数,从而找到所有露在外面的面的个数,培养了学生的观察和发现问题的能力,同时引导学生在观察时要全面。
二、不同摆放方式及其露在外面的面积
师:如果把这4个正方体纸箱换一种方式放在墙角处,可以怎样摆?请同学们看大屏幕:
师:这四个小正方体纸箱,除了我们看到的这种摆法外,还可以怎样摆?小组同学先摆一摆,再数一数露在外面的面有多少个,看你能有什么发现?
(学生动手操作)
师:请同学们把各自小组内的摆放方法贴在黑板上。
(预设图如下)
师:先看一下大屏幕中的三个图形,露在外面的有几个面?
预设 生1:第一幅图从正面、侧面、上面三个不同方向看,共有9个面露在外面。
生2:第二幅图从正面、侧面、上面三个不同方向看,共有8个面露在外面。
生3:第三幅图从正面、侧面、上面三个不同方向看,共有8个面露在外面。
师:请同学们仔细观察黑板上的这些立体图形,看一看从不同的角度观察,这些立体图形露在外面的面有多少个,你们发现了什么?
预设 生:虽然我们都是用的四个小正方体摆的,但是摆的方法不一样,露在外面的面也不一样多。有时候露在外面的面都是9个,但摆的方法也不同。
师:(小结)都是用4个小正方体来摆,但由于摆的方式不同,露在外面的面的个数也不同,即使露在外面的面个数相同,摆法也不一定相同。
[设计意图] 此环节的设计,是给学生一个自主操作的空间,同时也给学生思维开放的空间,让他们的思维不仅停留在操作的层面上,还要在操作中有所发现。学生按照自己的想法操作,并通过观察、交流,发现摆法不同,露在外面的面的个数是不同的,即使露在外面的面的个数相同,但摆法也一定相同。
三、露在外面的面的个数变化规律
师:刚才我们用4个小正方体随意摆在一起,露在外面的面的个数有所不同。现在我们用多个小正方体,按一定的方式有规律地摆,露在外面的面的个数会怎样变化呢?(出示PPT课件)
想一想,做一做,填一填。
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
师:请同学们按照先由一个小正方体摆起,记下露在外面的面的个数,再逐个增加小正方体,并依次记录露在外面的面的个数。
师:谁能说一说相对应的小正方体露在外面的面的个数?
预设 生1:我发现摆放一个小正方体时,有5个面露在外面。(师出示PPT课件)
有5个面露在外面。
生2:我发现摆两个小正方体时,从上、左、右、前、后面看,共有8个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有8个面露在外面。
生3:连续摆放三个小正方体,从上、左、右、前、后面看,共有11个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有11个面露在外面。
师:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……小正方体,露在外面的面的个数是多少呢?
预设 生:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……小正方体,露在外面的面的个数分别是14,17,20……
师:你们发现每增加一个小正方体,露在外面的面的个数有什么变化吗?
预设 生:我发现每增加一个小正方体,就增加3个面。
师:那每次增加的是哪三个面?
预设 生:是上面和侧面。
师:通过看图数露在外面的面,可以发现每增加一个小正方体,露在外面的面就增加3个,写成式子为:n个小正方体露在外面的面的个数是5+3×(n-1)。(教师板书)
师:按此规律,摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+3×(6-1)=5+3×5=5+15=20。(教师板书)
师:请同学们再看大屏幕中的图。(教师出示PPT课件)
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
师:按照这样的规律摆放,你能依次找出相对应的小正方体露在外面的面的个数吗?
预设 生1:我发现摆放一个小正方体时,有5个面露在外面。(教师出示PPT课件)
有5个面露在外面。
生2:我发现摆两个小正方体时,从上、左、右、前、后面看,共有9个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有9个面露在外面。
生3:连续摆放三个小正方体,从上、左、右、前、后面看,共有13个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有13个面露在外面。
师:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……小正方体,露在外面的面的个数是多少呢?
预设 生:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……的小正方体,露在外面的面的个数分别是17,21,25……
师:你们发现每增加一个小正方体,露在外面的面的个数有什么变化吗?
预设 生:我发现每增加一个小正方体,就增加4个面。
师:那每次增加的是哪四个面?
预设 生:正面、侧面和后面。
师:通过看图数露在外面的面,可以发现每增加一个小正方体,露在外面的面就增加4个,写成式子为:n个小正方体露在外面的面的个数是5+4×(n-1)。(教师板书)
师:按此规律,摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+4×(6-1)=5+4×5=5+20=25。(教师板书)
师:通过看图数露在外面的面,我们发现两种摆法不同,每次增加一个正方体后得出的规律也不同。(教师出示PPT课件)
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
5
8
11
14
17
20
…
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
5
9
13
17
21
25
…
师:我们再来换一种方式摆放,看一看还会发现什么规律。将小正方体按下图方式进行摆放。随着小正方体个数的增加,露在外面的面的个数变化有什么规律?(出示PPT课件)
师:谁能说一说相对应的小正方体露在外面的面的个数?
预设 生1:我发现摆放2个小正方体,露在外面的面有9个。(师出示PPT课件)
有9个面露在外面。
生2:我发现摆4个小正方体时,从上、左、右、前、后面看,共有14个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有14个面露在外面。
生3:连续摆放6个小正方体,从上、左、右、前、后面看,共有19个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有19个面露在外面。
师:你们发现每增加两个小正方体,露在外面的面的个数有什么变化吗?
预设 生:我发现每增加两个小正方体,就增加5个面。
师:那每次增加的是哪5个面呢?
预设 生:是正面(2个)、后面(2个)和上面(1个)。
师:通过看图数露在外面的面,可以发现n个小正方体(n必须是偶数)露在外面的面的个数是9+n2-1×5。(教师板书)
师:不同的摆放方法,会使露在外面的面的个数发生相应的变化。
[设计意图] 有意识地给学生创设更大的操作空间,让他们在小组合作中、在动手操作中发现正方体的个数与露在外面的面的个数的变化规律,并通过教师的追问提升学生的分析意识,发现规律,提炼出通项公式。在这一环节中,有教师引导阶段,也有放手让学生自己研究的过程,使学生感受到数学是有规律可循的。同时,在交流中渗透替代思想,发展学生的空间观念。
师:下面老师就来检验一下,同学们对这节课内容掌握的如何。
1.把3个棱长为10厘米的正方体纸盒放在墙角(如图),有( )个面露在外面,露在外面的面的面积是( )平方厘米。
2.将小正方体按下面的方式摆放在地上。
1个小正方体有( )个面露在外面,2个小正方体有( )个面露在外面,3个小正方体有( )个面露在外面。按照这样的摆法,8个小正方体有( )个面露在外面,n个小正方体有( )个面露在外面。
3.下图是校运动会的领奖台示意图,它是由6个棱长为4分米的正方体组成的,有( )个面露在外面,露在外面的面的面积是( )平方分米。
4.数一数,分别有几个面露在外面?
共有( )个面露在外面。
5.完成教材第19页“练一练”第3, 4题。
【参考答案】 1.7 700 2.5 8 11 26 3n+2 3.21 336 4.11 5.第3题,没有变化;第4题,发生变化了,减少了6个面,即6×6×6=216(cm2)
[设计意图] 通过设计一些有层次、有梯度的练习,使学生能更好地巩固和加深理解本节课所学的知识。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报预设:
预设 生1:我知道在数露在外面的面的个数时,要有顺序地去数。
生2:还要注意加上合理的想象。
师:对,只要观察有序,想象合理,就能正确数出露在外面的面的个数。同学们通过今天的学习不仅学会了怎么去观察,而且能有序地表达,真了不起!
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识,并给予激励。
作业1
教材第19页“练一练”第1,2,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)观察下面的图形,4个正方体堆放在墙角,露在外面的面有多少个?
【提升培优】
2.(难点题)如图所示的是5个棱长为20 cm的正方体,露在外面的面的面积是多少?
【思维创新】
3.(创新题)如图所示,一个正方体木块的棱长为20 cm,把这个正方体切成8个棱长是10 cm的小正方体,这些小正方体的表面积之和比原正方体的表面积多多少平方厘米?
4.(探究题)如图所示的是由27个棱长为1 cm的小正方体摆成的大正方体,把它堆在墙角。如果拿掉涂色(阴影部分)的小正方体,露在外面的面积是多少?
【参考答案】
作业1:1.(1)7个 (2)100×100×7=70000(cm2)2.(1)10个 40 ×40×10=16000(cm2) (2)会。摆放的位置不同,露在外面的面的个数也就不同。 5.[40×100+(30+40)×100+30×100]×2=28000(cm2) 100×50×3+(30+40)×50×2+28000=50000(cm2)
作业2:1.3+2+4=9(个) 2.20×20×12=4800(cm2)3.10×10×6×8-20×20×6=2400(cm2) 4.8×1×1×3+3×1×1=27(cm2)
露在外面的面
50×50×9=2500×9=22500(cm2)
n个小正方体露在外面的面的个数是5+3×(n-1)
摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+3×(6-1)=5+3×5=5+15=20
n个小正方体露在外面的面的个数是5+4×(n-1)
摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+4×(6-1)=5+4×5=5+20=25
n个小正方体(n必须是偶数)露在外面的面的个数是9+n2-1×5
因为本节课的重点是引导学生通过动手操作加合理的想象发现规律,所以本节课主要是从以下两点来设计的。
1.放手让学生自主探索。
本节课侧重教学的活动化,把课程目标由“关注知识结果”转向“关注
本单元安排了长方体的认识、展开与折叠、长方体的表面积、露在外面的面等相关内容。前面学习了长方形、正方形等平面图形及它们的周长和面积计算方法,本单元在此基础上进一步研究长方体和正方体。长方体的认识是本单元的第一课,由平面图形拓展到立体图形,既是对所学知识的延伸,又利于培养学生的空间观念。
从研究平面图形到研究立体图形,是学生空间观念发展的一次飞跃,从直观感受到认识图形的特点也是学习上的一次深化。对常见平面图形特征及其周长、面积计算方法的探究,为进一步探索长方体、正方体这样的立体图形特征及其表面积的计算方法奠定了基础,积累了探索的经验及研究的方法。长方体和正方体是最基本的立体图形,通过学习长方体和正方体,可以使学生更好地了解周围的世界,形成初步的空间观念,是进一步学习其他立体图形的基础。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面:
1.重视观察与具体操作,经历探索长方体和正方体的外部特征,即形状特征的过程。本单元要进一步认识长方体的内部特征,即结构特征。为此,在“长方体的认识”一课的内容编写中,先认识长方体与正方体的面、棱和顶点等结构要素,再通过具体操作探索这些结构要素的特点,进而认识长方体的长、宽、高,理解正方体是特殊的长方体。“试一试”是深刻认识长方体是由6个长方形围成的立体图形,这个过程就是认识长方体区别于其他立体图形的本质特征的思维过程。“展开与折叠”的活动不仅能够深化对长方体和正方体的本质特征的认识,而且通过空间图形与平面图形的相互转化的空间想象和空间推理活动,可以发展空间观念。
2.结合解决与长方体表面积有关的实际问题,借助几何直观,发展空间想象和空间推理能力,积累解决问题的经验。
3.求“长方体的表面积”,可以不画它的展开图,但头脑里不能不想象、不呈现这张图,并根据这张图寻找计算长方体表面积的各种思路和合理、简洁的途径,体会几何直观在学习中的作用。“露在外面的面”的情景问题是求放在墙角处的纸箱露在外面的面的个数或面积;为了不重不漏,计算时可以按这些面的朝向(正面、侧面、上面)进行分类,逐类计算。探讨4个纸箱摆放在墙角有哪些不同的方式时,可以按照某个方向看到面的个数进行分类讨论,如从正面看可以看到1个面、2个面、3个面和4个面等4种情况。摆放方式不同,露在外面的面的个数随着正方体个数增加而增加的规律也不同。由此可以感悟空间形式与数量之间有着密切的联系。
1.知道长方体、正方体的特点,并据此解决一些简单的实际问题。
2.能正确计算长方体、正方体的表面积,并能解决一些简单的实际问题。
3.认识长方体、正方体的展开图。
4.理解长方体、正方体的展开图与折叠围成的立体图形的对应关系,能正确判断它们之间的对应关系。
5.综合运用所学知识,会解决有关求物体表面积问题。
经历观察、操作等探索活动,发展空间观念。
经历利用长方体、正方体表面积的计算方法解决简单的实际问题的过程。
体验数学知识的应用价值,提高学习兴趣,培养探索发现的意识。
【重点】 掌握长方体和正方体的特点、展开图及表面积计算方法。
【难点】 长方体和正方体展开与折叠之间的关系;解决有关物体表面积的问题。
学生的学习过程是一个主动建构的过程,作为教师要激活学生的先前经验,激发学生学习的热情,让学生在经历、体验和运用的过程中真正感悟知识。以引导学生自己动手为主线,有目的、有意识地安排实践活动,在动手操作过程中,启发学生用眼观察、动脑思考、用口参与讨论,用耳去辨析学生的答案,从而引导学生发现规律,通过操作平台的演示,把观察与操作、思维与语言表达结合在一起,调动学生学习的主动性。
1 长方体的认识
学生在第一学段已经认识了长方体和正方体的形状特征,会辨认长方体和正方体,本节课就在此基础上,深入到长方体与正方体的内部,进一步认识长方体、正方体各部分名称和长方体、正方体的结构特征。它是本单元的基础知识,教科书设计了三个问题和“试一试”。第一个问题是认识长方体与正方体的结构要素,即面、棱与顶点;第二个问题是探究长方体、正方体的结构特征;第三个问题是认识长方体的长、宽、高,理解正方体是特殊的长方体。“试一试”中的两个问题是进一步促进对长方体特征的理解,即长方体是由6个长方形(正方形)的面围成的立体图形。
1.通过观察、操作等活动认识长方体和正方体,让学生知道长方体和正方体的面、棱、顶点以及长、宽、高(或棱长)的含义,掌握长方体和正方体的基本特征,理解它们之间的关系。
2.能根据长方体、正方体的特点解决简单的应用问题。
3.让学生在操作活动中经历探究的全过程,通过合作学习进一步积累探索经验,增强空间观念,发展数学思考能力。
4.让学生体会立体图形与实际生活的联系,感受其价值,增强数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
【重点】 掌握长方体、正方体的特征,以及长方体和正方体之间的关系。
【难点】 理解长方体和正方体之间的关系。
第课时 长、正方体特征的认识
1.经历观察、分类操作和讨论等活动过程,了解长、正方体各要素名称及认识长方体、正方体的特点,发展空间观念。
2.能根据长正方体的特点解决简单的应用问题。
【重点】 掌握长方体、正方体的特征,以及长方体和正方体之间的关系。
【难点】 理解长方体和正方体之间的关系。
【教师准备】 PPT课件、土豆、小棒、塑料拐角等。
【学生准备】 自备牙膏盒、化妆盒等长方体物体。
计算面积。
【参考答案】 7×3=21(平方米) 5×5=25(平方米)
方法一:创设情景,激趣导入
师:找一找,下面哪些物体的形状是长方体或正方体?(出示PPT课件)
预设 生1:第二个图形是长方体。
生2:第四个图形是长方体。
生3:第五个图形是长方体。
生4:第六个图形是正方体。
师:在生活中,你还见过哪些物体的形状是长方体或正方体?
预设 生1:牙膏盒是长方体。
生2:电饭煲的包装盒是正方体。
……
师:刚才大家看到的和所说的物体,大小、高矮都不一样,你们为什么说它们都是长方体或正方体呢?它们到底有什么特征呢?这节课我们就来学习有关长方体的知识。(板书课题:长、正方体特征的认识)
[设计意图] 结合学生的认知规律,从日常生活中常见的实物入手,从平面到立体,通过激活学生已有的关于长方体和正方体的直观经验,建立长方体和正方体的表象。
方法二:复习旧知、引入新课
师:同学们,低年级的时候,我们已经学过一些平面图形,如:长方形、正方形等。谁能说说长方形、正方形有哪些特点?
预设 生1:长方形相对的边平行且相等,有4个直角。
生2:正方形的4个角都是直角,4条边都相等,相对的边平行。
师:除了平面图形外,我们还认识了一些立体图形,有哪些?
预设 生:长方体、正方体、圆柱、球……
师:那你能很快找出下面图形中,哪些物体是长方体、正方体吗?(PPT课件出示主题图)
预设 生1:微波炉和洗衣机、电冰箱都是长方体。
生2:魔方、骰子都是正方体。
生3:还有牙膏盒也是长方体。
……
师:刚才同学们能准确找出长方体和正方体的物体,但是你们是根据什么判断出来的呢,它们到底各有哪些特点?这节课,我们来学习“长方体的认识”。(板书课题:长、正方体特征的认识。)
[设计意图] 利用生活中的物体和多媒体课件创设情景,激发了学生的学习兴趣和学习热情,为新课起到了穿针引线的作用。
方法三:创设情景,揭示课题
师:这是什么图形?(教师出示PPT课件)
预设 生:三角形、正方形、平行四边形、长方形。
师:这些图形都是平面图形,“平面图形是由线段围成的”。
师:这些图形还是平面图形吗?(教师继续出示PPT课件如下)
预设 生:不是。
师:这是什么图形?
预设 生:这些是长方体或正方体。
师:生活中,你见过这样的实物吗?
预设 生:见过。
师:谁能说一说生活中你见过的类似形状的物体?
预设生:液晶电视是长方体。
……
师:我们把这样的图形叫做立体图形,“立体图形是由平面围成的”。
师:今天,我们就来学习立体图形里最为常见的两种图形。(板书课题:长、正方体特征的认识)
[设计意图] 这种利用提问式导入课题的方式,既联系了实际,形成了新旧知识的比对,又使学生明确本节课的学习目标,激起了学生的求知欲,使学生带着好奇的心理投入到本节课的学习中去。
一、长方体和正方体各部分名称
1.初步认识长方体。
初步感知面、棱、顶点的含义。
师:把一个土豆切成长方体,最少要切几刀?怎样切?请同学们小组内完成后汇报。
(同组的同学相互交流一下,再指名上台给全班同学介绍自己的切法。可以学生边介绍,老师边切土豆演示)
师:(切一刀时,提问)你们有什么发现?
预设 生:有一个面。
师:(切到出现边时,提问)你们又有什么发现?
预设 生:有一条边。
师:这条边是怎样产生的呢?
预设 生:切出两个面产生的。
师:我们把两个面相交的边叫做棱。
师:(老师继续切,出现顶点时,提问)这个点是怎样产生的?
预设 生:切出三个面产生的。
师:我们把三条棱相交的点叫做顶点。
(板书:面、棱、顶点)
[设计意图] 加强数学与生活的联系,通过切、看、摸,让学生的多种感官都参与教学活动,在操作中直接感知面、棱、顶点的含义,为进一步探究长方体的特征做准备。
2.判断物体的形状。
师:生活中还有哪些物体的形状是长方体或是正方体呢?请同学们看大屏幕。
师:请同学们看老师手中的物体。(教师出示实物)
师:这是什么图形?
预设 生1:地砖的形状是长方体。
生2:魔方的形状是正方体。(教师板书:长方体、正方体)
师:生活中还有很多这样的物体,谁能说一说吗?
预设 生1:牙膏盒。
生2:电冰箱。
……
3.认识长方体的各部分名称。
师:请同学们拿出手中的长方体纸盒摸一摸,然后小组讨论一下长方体是由哪些部分组成的。
预设 生:长方体是由面、棱和顶点组成的。
师:通过摸一摸,你能说一说什么是立体图形的面吗?
预设 生:面:围成立体图形的平面图形叫做立体图形的面。
师:那什么是长方体的面呢?
预设 生:围成长方体的长方形叫做长方体的面。
(教师随学生的回答板书:面:围成立体图形的平面图形叫做立体图形的面。围成长方体的长方形叫做长方体的面)
师:下面我们来看一下长方体的面。(教师出示PPT演示长方体的其中一个面)
师:那么,长方体有几个面呢?
预设 生:长方体有6个面。
师:分别是哪六个面呢?
预设 生:有上面、下面、左面、右面、前面、后面这六个面。
(教师随学生的回答分别演示这六个面的位置)
师:通过动手摸一摸,你能感受到什么是棱吗?
预设 生:立体图形中,两个面相交的线叫做棱。
(教师板书:立体图形中,两个面相交的线叫做棱)
师:长方体有多少条棱?
预设 生:长方体有12条棱。
师:我们来看一下分别是哪12条棱。(教师出示PPT课件演示12条棱)
师:什么是长方体的顶点呢?
预设 生:三条棱相交的点,叫做顶点。(教师板书:长方体三条棱相交的点叫做顶点)
师:长方体中有几个顶点?
预设 生:8个顶点。(教师随学生的回答演示8个顶点)
师:同学们能根据长方体的各部分名称,说一说正方体的各部分名称吗?
预设 生1:正方体也是由6个面围成的立体图形。6个面都是正方形。
生2:正方体也有12条棱。
生3:正方体也有8个顶点。
(教师随学生的回答演示课件:正方体的棱、面、顶点)
[设计意图] 通过让学生动手摸一摸的实践活动,让学生再现长方体的表象,有效地培养学生动手实践的能力,进一步发展学生的空间观念。
二、长方体和正方体的特点
师:通过上面的学习我们发现长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点。那么,长方体和正方体各有什么特点呢?下面我们就共同来探究这个问题。(出示PPT课件,展示情景图)
长方体和正方体各有什么特点?做一做,填一填,并与同伴交流。
1.观察长方体和正方体的各部分。
(1)观察长方体和正方体的面。
师:请同学们拿出手中的长方体和正方体模型,用自己的办法,观察长方体和正方体的面,说一说它们的个数、形状以及大小关系。
(学生小组内通过剪一剪、说一说后汇报)
预设 生1:长方体和正方体都有6个面。(教师板书)
生2:长方体每个面的形状都是长方形,相对的面的面积相等,特殊情况下,有两个相对的面是正方形。(教师板书:相对的面的面积相等)
生3:正方体每个面都是正方形,6个面的大小相等。(教师板书:6个面都相等)
(2)观察长方体和正方体的棱。
师:请同学们再摸一摸长方体和正方体的棱,再量一量,看一看它们的棱长有什么特点。
预设 生1:通过观察,我知道了长方体和正方体都有12条棱。
生2:我用量一量的方法发现,长方体相对的棱的长度相等,也就是4条相对的棱的长度相等。(教师板书:相对的棱长度相等)
生3:正方体有12条棱,12条棱的长度都相等。(教师板书:12条棱都相等)
生4:通过观察我还发现,长方体和正方体中相对的棱互相平行,相邻的棱互相垂直。有两个相对的面是正方形的长方体,其中有4条棱的长度相等,另外8条棱的长度相等。
师:这位同学真是认真,他能说出这么多我们还没发现的问题,希望同学们都能向他学习,认真观察、发现问题,好吗?
(3)长方体和正方体的顶点。
师:长方体和正方体的顶点有什么特点呢?
预设 生:长方体和正方体都有8个顶点。(教师板书)
(教师出示PPT课件总结长方体和正方体的特征)
顶点
个数
8
8
面
个数
6
6
形状
每个面都是正方形
长方形(有的有2个相对的面是正方形)
大小关系
相等
相对面的大小相等
棱
条数
12
12
长度关系
相等
相对的棱长度相等
师:通过实践操作和仔细观察,我们知道了长方体和正方体的特征,都有8个顶点和6个面,相对的面完全相同,正方体的每个面都是正方形,特殊情况下,长方体有两个相对的面也是正方形,分别都有12条棱,正方体所有的棱长都相等,长方体相对的棱长度相等。
2.长方体的长、宽、高的定义。
师:了解了长方体和正方体这么多特点,那么你们认识长方体和正方体的长、宽、高吗?
(教师出示PPT课件)
师:通常我们把相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。(教师边说边演示课件,并出示“定义:相交于同一顶点的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。”)
师:长方体的形状、大小是由它的长、宽、高决定的。
(教师出示PPT课件:作用:长方体的形状、大小是由它的长、宽、高决定的)
师:也就是说,按照长方体的特征,我们可以把长方体的长、宽、高分成3组,4个长相等、4个宽相等、4个高相等。
三、正方体和长方体的关系
1.比较长方体和正方体的异同。
师:那么长方体和正方体有什么关系呢?(出示PPT课件)
正方形是特殊的长方形,正方体是特殊的长方体吗?认一认,想一想。
师:下面请同学们观察长方体和正方体,找一找它们的相同点和不同点。
(教师出示PPT课件表格,并随着学生的回答进行填充)
师:同学们,你们能仔细观察长方体和正方体,找出它们的相同点和不同点吗?
长方体
正方体
相同点
不同点
预设 生1:长方体和正方体都有6个面、12条棱和8个顶点。
生2:长方体的6个面都是长方形,特殊情况下有两个相对的面是正方形,相对的面完全相同。
生3:正方体的6个面都是正方形,6个面完全相同。
生4:长方体相对的棱的长度相等,正方体12条棱的长度都相等。(根据学生的回答填写表格如下)
长方体
正方体
相同点
6个面、12条棱、8个顶点
6个面都是长方形(有时有两个相对的面是正方形),相对的面完全相同
6个面都是正方形,6个面完全相同
相对的棱长度相等
12条棱的长度相等
2.二者之间的关系。
师:请同学们认真观察我们填写好的长方体和正方体的相同点和不同点,这两者之间有什么关系呢?
预设 生:从上表中可以知道长方体和正方体既有相同点又有不同点。正方体具有长方体的一切特征,可以把正方体看成是长、宽、高都相等的长方体,即正方体是特殊的长方体。
3.用图表示正方体和长方体的关系。
师:说得非常好,根据长方体和正方体的相同点和不同点,我们发现正方体是特殊的长方体,如果用图表示长方体和正方体的关系就是这样的:长方体包括正方体。(教师演示PPT课件)
如图所示:
[设计意图] 利用动手实践活动,激发学生的学习兴趣,有意识地培养学生的抽象概括能力,把思考的空间留给学生,把说的机会让给学生,让学生学会观察、发现、解决问题。
师:下面老师就来检验一下,同学们对长方体和正方体的特征掌握得如何。
(教师出示PPT课件)
1.想一想,填一填。
(1)长方体有( )个面,( )条棱,( )个顶点。
(2)正方体的6个面都是( ),有( )条棱。
(3)如右图,这个长方体的长是( )cm,宽是( )cm,高是( )cm,且这个长方体有( )个面是正方形,有( )个面是长方形。
2.指出正方体的棱长是多少,并且计算出棱长总和与一个面的面积。(单位:厘米)
棱长: ?
棱长总和: ?
一个面的面积: ?
3.判断。(对的画“√”,错的画“×”)
(1)长方体可能有两个相对的面是正方形。 ( )
(2)一个长方体(非正方体)中可能有4个面是正方形。 ( )
(3)长方体(非正方体)中相邻两个面的面积相等。 ( )
(4)一个正方体的棱长是2厘米,它的棱长总和是24厘米。 ( )
4.做一个长12厘米、宽10厘米、高2分米的长方体木质框架,至少需要多少厘米的木条?
【参考答案】 1.(1)6 12 8 (2)正方形 12(3)7 5 5 2 4 2.7厘米 12×7=84(厘米) 7×7=49(平方厘米) 3.(1)√ (2)? (3)? (4)√ 4.2分米=20厘米,12×4+10×4+20×4=168(厘米)
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起认识了长方体和正方体,掌握了长方体和正方体的特征,知道了长方体和正方体的相同点和不同点,并且知道了长方体与正方体之间的关系;认识了长方体和正方体的长、宽、高,知道正方体是长、宽、高都相等的长方体。并能应用所学的知识解决简单的实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第12页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)写出下面每个长方体的长、宽、高分别是多少。
长: cm 长: cm?
宽: cm 宽: cm?
高: cm 高: cm?
2.(重点题)观察下图,长方体各面的面积分别是多少?
上面
下面
左面
右面
前面
后面
面积/cm2
3.(重点题)小明想做一个长方体铁框,长8 cm,宽6 cm,高5 cm,至少需要多少厘米铁丝?
【提升培优】
4.(易错题)判断。
(1)有6个面,12条棱,8个顶点的立体图形一定是长方体或正方体。 ( )
(2)一个正方体的一条棱长是6厘米,这个正方体的所有棱长的和是72厘米。 ( )
5.(变式题)一个正方体的棱长之和是36分米,它的每条棱长是多少分米?
6.(情景题)一栋长方体的大楼,长115米,宽50米,高40米,“十一”期间为增添节日气氛,要在建筑物的每条边上装上彩灯线(底座除外),至少需要买多少米彩灯线?
【思维创新】
7.(竞赛题)如图所示,小蚂蚁要将食物从A点运到B点,它只能顺着长方体的棱爬行,则小蚂蚁最少需要爬多远?
【参考答案】
作业1:1.答案不唯一,如下图。
2.(1)上面是长方形 长是36 cm,宽是28 cm,下面与它形状、大小都相同;左侧面是长方形,长是28 cm,宽是10 cm,右侧面与它形状、大小都相同。 (2)前面和后面。3.4 2 2 2 2 5 3 3 3
作业2:1.6 2 3 2 2 7 2.80 80 48 48 60 60 3.(8+6+5)×4=76(cm) 4.(1)? (2)√ 5.36÷12=3(分米) 6.115×2+50×2+40×4=490(米) 7.10+8+6=24(cm)
长、正方体特征的认识
面:围成立体图形的平面图形叫做立体图形的面。围成长方体的长方形叫做长方体的面。
棱:立体图形中,两个面相交的线叫做棱。
顶点:三条棱相交的点,叫做顶点。
面 棱 顶点
长方体: 6个,相对的面面积相等 12条,相对的棱长度相等 8个
正方体: 6个面都相等 12条棱都相等 8个
因为本节课的重点是通过学生的动手操作及观察发现长方体和正方体的特点,所以在教学中,做了以下两方面的尝试。
1.引导学生经历教学知识“再创造”的过程。
几何图形是很抽象的,在课堂教学中通过让学生用手摸一摸,用眼观察去体验立体图形,循序渐进,最后抽象出长方体和正方体,并总结出长方体和正方体的特征。这让学生经历了“观察——思考——实践——总结”这一探索过程。整个过程,从观察思考,到讨论、操作、探索发现,使每个学生都能积极地参与到过程中来,经历探索长方体面、棱、顶点及特点的全过程。只有这样学生才能最大限度地激发创造力,迸发出创新的火花。
2.鼓励学生经历研究图形的过程。
在这一过程中,特意注重引导学生体验探究图形的方法,如一开始引导学生导出长方体的面、棱、顶点,既明确了研究方向,又帮助学生体会探究的角度。在提问学生发现了什么时,鼓励学生说一说是怎么发现的,帮助学生体会可以利用观察、数一数、比较等多种方式探究图形。
1.在创设情景的部分,从学生熟悉的生活实物入手,借助多媒体的平台,激活学生已有的关于长方体的直观感受,建立起长方体的空间表象。
2.应通过PPT课件来传达到对长方体、正方体面、棱、顶点的特征,让学生在观察的过程中,随时随地探究问题,同时把问题当堂解决,体现信息技术与数学学科相结合的思想和意识。
再设计时,利用Flash课件来传达认识长方体、正方体各部分名称及深入理解两种形体之间的关系。通过图形的转换和比较,向学生渗透事物是相互联系的辩证思想,解决本课的难点内容,还可以多准备一些习题,进行“闯关大比拼”,引起学生的竞争意识。
把下面图形各个面的面积填在表中。
前面
后面
左面
右面
上面
下面
面积/cm2
[名师点拨] 认真观察后确定前、后面面积为长×高,即80×40;左、右面面积为宽×高,即50×40;上、下面面积为长×宽,即80×50。
[解答]
前面
后面
左面
右面
上面
下面
面积/cm2
3200
3200
2000
2000
4000
4000
【知识拓展】 长方体每个面都是长方形,有时有两个相对的面是正方形,并且相对的面完全相同。
长方体和正方体有趣的故事
长方体是一个聪明的小男孩儿,他生活在一个叫做“数学之木莎耳奇”的古老部落,那里一切像世外桃源一样美,长老们都说那是因为他们的祖先得到了自然女神的宠爱,自然女神总是不定期的出现在他们的部落,每一次,她都只见一个有缘人,如果这个有缘人能够通过她的考验,她就会满足这个有缘人的一个合理的心愿。
长方体是“数学之木莎耳奇”最有灵性的男孩儿,也是最有可能成为自然女神的有缘人的一个,长方体对此却不以为然,因为他并不相信这个传说。
有一天,长方体去小河边玩,已经有一些伙伴在河边嬉戏,有三角形,正方形,圆,等等。长方体一见他们在那儿,转身就走,因为长方体不喜欢和不聪明的小孩子玩,而部落里又数他最聪明,所以他总是自己一个人玩。他刚走两步,就听到三角形喊救命,原来是平行四边形掉到河里了,水并不深,但平行四边形不会游泳,其他小孩子都吓坏了,纷纷跑到岸上,也不敢下水,长方体见他们没人敢去,担心平行四边形会有生命危险,就奋不顾身地跳进了河里,这时,他才突然想起,自己也不怎么会游泳,可是,已经晚了,长方体只好赌一把,拼死救人。
一分钟,两分钟,三分钟……十分钟,长方体和平行四边形都没有再浮出水面。
小伙伴们都以为他们死了,哭得好伤心,突然,长方体举着平行四边形冲出了水面,长方体把平行四边形救出来了。大家都很感谢长方体,长方体什么也没说,就走开了。
长方体坐在草原上看风景,自然女神出现了,她和人们说得一样美,自然女神说:“长方体,你已经通过了我的考验,告诉我,你有什么愿望吧。”
长方体说:“我不知道我通过了什么考验,我也没兴趣知道。所谓的我的愿望,我也没有兴趣告诉你。”
自然女神从没遇到过这么有个性的小孩儿。
自然女神说:“既然你不说,那我就自作主张替你做决定了。”
长方体说:“随便你,反正,我可不会感谢你。”
自然女神知道长方体一个人玩,没有伙伴,就创造了正方体,正方体和长方体一样聪明,而且,正方体和长方体还十分相似呢,有许多共同的特点。长方体很喜欢这个新伙伴。
长方体对自然女神说:“我很喜欢正方体,他有许多和我相似的地方,像我的影子,但又和我不完全一样,有自己的个性。”
自然女神说:“你喜欢就好,其实,正方体是另一个特殊的你。比你自己还要特别的你。以后,你自然会明白。”
第课时 什么样的长方形可以组成一个长方体
1.鼓励学生经历探索长方体棱长特征的过程,加深对长方体特征的认识和理解。
2.能利用长方体的棱长特征判断是否能组成长方体。
3.培养学生的动手能力。
【重点】 加深学生对长方体特征的认识和理解,并能利用长方体的棱长特征判断是否能组成长方体。
【难点】 掌握长方体棱长的特征,根据所学知识解决实际问题。
【教师准备】 PPT课件、卡纸、硬纸板等。
【学生准备】 卡纸、长方体或正方体形状的包装盒。
(PPT课件出示)
1.填空题。
(1)下列图形中,( )号是长方体,( )号是正方体。在长方体与正方体中,两个面相交的边叫做( ),三条棱相交的点叫做( )。
(2)长方体有( )个面,( )条棱,( )个顶点。相对的棱的长度( ),相对的面完全( )。
2.判断。
(1)正方体的每一个面都有4条棱,正方体有6个面,所以正方体有24条棱。 ( )
(2)如果长方体有两个相对的面是正方形,那么其余的四个面的面积都相等。 ( )
【参考答案】 1.(1)④ ② 棱 顶点 (2)6 12 8 相等 相同 2.(1)? (2)√
方法一:复习旧知、导入新课
师:什么是长方体?
预设 生:长方体是由6个长方形围成的立体图形。
师:长方体有什么特征?
预设 生:长方体有6个面,12条棱,8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
师:那么,什么样的长方形才能围成一个立体图形呢?今天我们就来学习什么样的长方形可以组成一个长方体。(板书课题:什么样的长方形可以组成一个长方体)
[设计意图] 通过复习刚学过的长方体的特征,从而引出什么样的长方形能围成一个长方体,既回顾了旧知,又为新课做了铺垫。
方法二:师生谈话、提出问题
师:上一节课我们学习了什么知识?
预设 生:上一节课我们共同认识了长方体和正方体的特征。
师:那么,你能说一说长方体和正方体的特征吗?
预设 生1:长方体有6个面,12条棱,8个顶点,相对的面完全相同,相对的棱长度相等。
生2:正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形,有12条棱,8个顶点。
师:那用什么样的长方形或正方形才能围成一个长方体或正方体呢?这节课,我们就来学习什么样的长方形可以组成一个长方体。
(板书课题:什么样的长方形可以组成一个长方体)
[设计意图] 引导学生回顾长方体的特征,运用长方体的特征解决新知,这样既回顾了旧知,又对新课做到了良好的铺垫。
方法三:实物情景导入
师:(教师出示一个长方体后提问)这是一个什么图形?
预设 生:这是一个长方体。
师:长方体是怎样组成的?
预设 生:长方体是由6个长方形围成的立体图形,特殊情况下,有两个相对的面是正方形。
师:同学们,你们知道组成一个长方体的六个面需要什么条件吗?这节课我们就共同来学习什么样的长方形可以组成一个长方体。
(板书课题:什么样的长方形可以组成一个长方体)
[设计意图] 利用实物教具可以激发学生的学习兴趣,为新课的更好开展起到了穿针引线的效果。
一、探索发现
师:请同学们选择一个长方体实物量一量。
(出示PPT课件)
师:说一说,它的长是( ),宽是( ),高是( );再测量一个正方体,它的棱长是( )。
(学生小组内测量长方体的长、宽、高,或正方体的棱长,并写出答案)
预设 生1:我量的长方体的长是8厘米、宽是6厘米,高是6厘米。
生2:我量的长方体的长是10厘米,宽是8厘米,高是5厘米。
生3:我量的正方体的棱长是10厘米。
师:那同学们能分别说一说每个长方体中的各个面的长、宽或正方体每个面的边长是多少吗?
预设 生1:在长、宽、高分别为8厘米、6厘米、6厘米的长方体中,前、后面的长是8厘米,宽是6厘米;左、右面的长是6厘米,宽是6厘米;上、下面的长是8厘米,宽是6厘米。
生2:在长、宽、高分别为10厘米、8厘米、5厘米的长方体中,前、后面的长是10厘米,宽是5厘米;左、右面的长是8厘米,宽是5厘米;上、下面的长是10厘米,宽是8厘米。
生3:棱长是10厘米的正方体的每个面的边长都是10厘米。
二、实验操作、探索发现
1.实验操作。
师:那么,到底什么样的长方形才能拼成一个长方体呢?(教师出示PPT课件)
(1)下面哪几个面可以组成长方体?你是怎么想的?并与同伴交流。
(2)将你选择的每个面的序号标在下边的长方体上,并标出这个长方体的长、宽、高。
师:请同学们照样子剪几个图形,做一做,想一想。
(学生动手操作,并相互交流)
预设 生1:我们是照样子剪几个图形,再拼一拼。
生2:我们是先找两个完全一样的长方形。(师板书)
生3:我们是先比较两个面的大小,再找出相对应的面。(师板书)
……
师:那么,你们找到这个长方体所对应的各个面了吗?
预设 生1:①和⑧是前后面。
生2:⑤和⑦是上下面。
生3:④和⑥是左右面。
(教师随学生的回答出示相应的面)
2.根据长方体的特征找面。
师:除了通过动手实践操作找能拼成长方体的长方形外,还有没有别的方法能找到可以拼成长方体的长方形呢?
预设 生:能。
师:说一说你的想法。
预设 生:根据长方体的特点,长方体相对的两个面完全一样,先找出三组完全一样的面,然后再想一下哪条边和哪条边可以叠在一起围成长方体。(教师板书)
师:说得非常好,判断哪几个长方形可以围成一个长方体,可以根据长方体相对的两个面完全一样来选择三组完全一样的面,然后再想象一下哪条边和哪条边可以叠在一起围成长方体。
3.活学活用。
师:下面,我们就应用所学的方法解决问题。
(出示PPT课件)
例题1:选择哪些小棒可以搭成一个长方体框架?(单位:cm)
师:谁能说一说?
预设 生:可以选择4根8厘米的、4根5厘米的和4根3厘米的组成一个长方体框架。
(教师出示PPT课件)
例题2:看图完成下面各题。
在下面8个面中找出6个面,使它们能围成上面的长方体。这6个面的编号分别是( )。
师:谁能说一说你怎样找的?
预设 生:我找到能组成上面长方体的六个面分别是:ACDEGH。
[设计意图] 先通过探索发现,学生对长方体的各个面的特征有一定的了解,然后引导学生通过动手操作,探索发现能组成长方体的六个面的特征,并根据探索发现的特点进行实际应用,从而引导学生能利用所学的知识解决问题。
师:通过学习,我们已经学会了找什么样的长方形可以组成一个长方体,下面老师就来检验一下同学们的掌握情况。
(师出示PPT课件中的练习题)
1.把两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体,这个长方体的棱长总和是多少厘米?
2.用一根长228厘米的铁丝围成一个长方体,这个长方体的长、宽、高的和是多少厘米?如果围成长方体的长是20厘米,宽是18厘米,高是多少厘米?
3.一个长方体长6厘米,宽5厘米,高5厘米,把它的长、宽、高各增加1厘米,得到一个新的长方体,则新的长方体的棱长总和是多少?
【参考答案】 1.(1+2+1)×4=16(厘米)2.228÷4=57(厘米) 57-20-18=19(厘米)3.[(6+1)+(5+1)+(5+1)]×4=76(厘米)
[设计意图] 设计一些利用所学知识解决实际问题的应用题,这样可以锻炼学生灵活应用知识解决问题的能力。
这节课你学到了什么?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了用什么样的长方形可以拼成一个长方体,通过操作和探究发现可以实际操作或根据长方体特点来找。根据长方体的特点,长方体相对的两个面完全一样,先找出三组完全一样的面,然后再想象一下哪条边和哪条边可以重叠在一起围成长方体。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也能较好地巩固新知识。
作业1
教材第12页“练一练”第5,6,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
长方体有( )个面,( )条棱,( )个顶点,长方体两个面相交的边叫做( )。
2.(重点题)指出长方体的长、宽、高分别是多少,并且计算出指定面的面积。
长是: ,宽是: ,高是: 。?
上面: 。?
前面: 。?
左面: 。?
3.(重点题)一个长方体纸盒的长是18分米,宽是6分米,高是8分米,这个纸盒的棱长总和是多少分米?
4.(重点题)做一个长方体的灯箱框架,长7米,宽10分米,高30分米,至少需要多少米铁条?
【提升培优】
5.(难点题)一个长方体的棱长总和是80厘米,其中长是10厘米,宽是7厘米,高是多少厘米?
【思维创新】
6.(探究题)用木条钉一个长方体框架,这个长方体的底面是周长为12厘米的正方形,高是5厘米。钉这个长方体框架至少需要多少厘米的木条?(接口处忽略不计)
【参考答案】
作业1:5.32 32 40 40 20 20 6.(30+20+20)×4=280(cm) 7.制作方法一:正方体:剪6个边长为5 cm的正方形,然后拼贴在一起。长方体:剪长是7 cm,宽是5 cm;长是 7 cm,宽是3 cm,长是5 cm,宽是3 cm的长方形各2个,然后拼贴在一起。制作方法二:画出展开图,再折出正方体或长方体。
作业2:1.6 12 8 棱 2.7 cm 5 cm 3 cm 5×7=35(cm2) 3×7=21(cm2) 5×3=15(cm2) 3.(18+6+8)×4=128(分米) 4.(7+1+3)×4=44(米) 5.80÷4-10-7=3(厘米) 6.12×2=24(厘米) 5×4=20(厘米) 24+20=44(厘米)
什么样的长方形可以拼成一个长方体
先找两个完全一样的长方形。
先比较两个面的大小,再找出相对应的面。
根据长方体的特点:长方体相对的两个面完全一样,先找出三组完全一样的面,然后再想象一下哪条边和哪条边可以叠在一起围成长方体。
在本节课的教学设计中,因为知识内容在前一节的基础上有了进一步的提升,对于学生来说比较抽象,有一定的难度,所以在本节课的设计时,重点以学生的动手操作为主线,引导学生通过自己动手实践操作来发现能组成长方体的长方形的特点,这样给学生提供了一个自我展示的机会,同时也为学生解决了难点问题,在学生得出方法后,为了使学生能更好地掌握本节课的知识,能够灵活应用所学的知识,利用PPT课件出示了两道实际应用题,引导学生利用组成长方体的长方形的特点解决问题,这样,不仅使学生能更好地理解和掌握本节知识,而且进一步深化理解了知识之间的内在联系。
应多给一些同学展示的机会,设计一些简单的问题,由浅入深地找不同程度的同学回答问题,激发学生的学习兴趣。
再设计时,让学生多准备一些教具和学具,让学生多动手实践发现问题和解决问题,从而培养学生的探究能力。
【练一练·12页】
1.答案不唯一,如下图。 2.(1)上面是长方形,长是36 cm,宽是28 cm,下面和它形状、大小都相同;
左侧面是长方形,长是28 cm,宽10 cm,右侧面和它形状、大小都相同。 (2)前面和后面. 3.4 2 2
2 2 5 3 3 3 4.4 cm,6 cm,8 cm的所有小棒 5.32 32 40 40 20 20 6.(30+20+20)×4=280(cm) 7.制作方法一:正方体:剪6个边长为5 cm的正方形,然后拼贴在一起。长方体:剪长是7 cm,宽是5 cm;长是 7 cm,宽是3 cm,长是5 cm,宽是3 cm的长方形各2个,然后拼贴在一起。制作方法二:画出展开图,再折出正方体或长方体。8.(1)1 1 5 (2)2 1 4 (3)3 1 3 (4)2 2
爸爸用一根铁丝正好围一个棱长为6 cm的正方体框架,如果用它来围一个长方体框架,长是10 cm,宽是5 cm,那么高是多少厘米?
[名师点拨] 由题可知正方体框架和长方体框架用的是同一根铁丝,即正方体的棱长总和与长方体的棱长的总和相等。求出正方体的棱长总和,列式为6×12,因为长方体12条棱分为4个长,4个宽和4个高,所以再用6×12÷4求出一组长、宽和高的和,然后减去长和宽,就是高了。
[解答] 6×12÷4=18(cm),18-10-5=3(cm)。
答:高是3 cm。
【知识拓展】 已知长方体棱长总和以及长、宽、高三项中的两项,求另外一项,用“棱长总和÷4-已知两项和”。已知正方体的棱长总和,可求棱长,棱长=棱长总和÷12。
正方体与长方体的故事
从前,有一个正方体,它梦寐以求地想要出名,可是没有任何一个人愿意帮助它。直到遇见和自己有着同样梦想的长方体,它的梦想才有了头绪。
一天,长方体正在逛商场。偶然间,长方体看见了一张招聘立体图形的广告纸,便立即将它撕了下来,准备回家好好考虑考虑。同时,它把这件事也告诉了正方体,准备和它一起参加这个招聘活动。
回到家,长方体和正方体立刻仔仔细细地研究起这份招聘书。这时,正方体大叫道:“怎么只招聘一个人!”长方体随着正方体的手指望去,看见招聘书上写道:本公司招聘立体图形一人,条件是提供同样长的铁丝做自己的框架模型,看谁做的图形各个面面积和大,面积和大者录用。
看到这里,两人就立马去找材料,终于找到了一根长96厘米的铁丝,于是每人各取一半,开始制作自己的立体模型。正方体做出的是正方体,长方体做出的是长方体。他们立即拿着自己的作品,赶去数学博士家,准备让数学博士算一算自己所做模型的6个面的面积和。到了数学博士的家后,长方体把事情的来龙去脉都说了一遍,数学博士便笑着说:“好吧!”
数学博士问长方体:“你的长是几厘米,宽是几厘米,高是几厘米?”长方体自信地答道:“它们分别是6厘米、4厘米和2厘米。”“现在可以算出你模型正面、上面和左面的面积了,只要把它们面积的总和再乘2,就可以算出你模型的6个面的面积和了。”
(6×4+6×2+4×2)×2
=(24+12+8)×2
=44×2
=88(cm2)
“正方体,你的棱长是多少厘米?”“4厘米。”正方体喃喃地说道。“那计算你模型的6个面的面积更简单了,只要棱长乘棱长算出一个面的面积,然后再乘6,就可得到你的模型6个面的面积和了。”
4×4×6
=16×6
=96(cm2)
通过计算,数学博士郑重地宣布:“正方体模型的6个面的面积和大!”正方体开心地跳了起来,最后正方体赢了。长方体想想不死心,回家用同样长的铁丝做了不同的长方体,发现6个面的面积和都比不过正方体的6个面的面积和,最后长方体发现:用同样长的材料来做长方体或正方体,最终正方体的6个面的面积和永远比长方体要大。但是它后来想想也很高兴,因为他获得了一个新知识。”
2 展开与折叠
认识长方体和正方体的展开图,是发展学生空间观念的重要内容,也是学生学习长方体、正方体表面积等知识的基础,同时也是生活中制作长方体和正方体包装盒的基础知识。为使学生了解长方体、正方体的展开图是如何生成的,教科书以最简单的正方体为例,呈现了把一个正方体盒子沿某条棱剪开后,得到展开图的过程示意图,并借此帮助学生初步感知正方体展开图之间的关系。
结合沿棱剪正方体盒子的示意图,教科书按照:“模仿——拓展——还原——比较”层次设计了学习活动,共四个问题。第一个问题是动手剪一个正方体盒子,得到其展开图;第二个问题是交流得到几种不同的展开图;第三个问题是将剪开的正方体展开图折叠成正方体盒子;第四个问题是判断长方体和正方体与展开图之间的对应关系。
1.通过动手操作,知道长方体、正方体的展开图,加深对长方体、正方体的认识。
2.在想一想、操作等活动中,经历和体验立体图形与平面图形的相互转化过程,发展空间观念。
3.在展开与折叠、展示交流与汇报活动中渗透数学的转化、对应思想。
4.激发学生对探索知识的强烈愿望和对数学学习的兴趣。
【重点】 了解长方体、正方体展开图的特点,知道长方体、正方体的展开图与长方体和正方体的关系,能正确判断图形沿虚线折叠后是否能围成长方体或正方体。
【难点】 长方体展开图与展开之前的长方体的关系。
【教师准备】 正方体和长方体教具、各种展开图。
【学生准备】 正方体和长方体的纸盒、剪刀。
计算面积。
【参考答案】 8×3=24(平方米) 4×4=16(平方米)
方法一:创设情景,激趣导入
师:大家都见过包装盒吗?
预设 生:见过。
师:大多是什么形状的呢?
预设 生:长方体或正方体的。
师:那你们知道这些包装盒是怎样围成的吗?这节课我们就来解决这个问题。
[设计意图] 引导学生从生活中的问题入手,引起学生探究的兴趣,发挥其学习的主动性。
方法二:设置情景、导入新课
师:老师带了一件礼物送给大家。(拿出千纸鹤)
师:知道这是什么吗?
预设 生:千纸鹤。
师:你可不要小看它,它可是老师用心去做的。听说把用心做的千纸鹤送给同学们,会给同学们带来幸福和快乐。同学们知道这个千纸鹤是用什么材料做的吗?
预设 生:纸。
师:那同学们知道是怎么做的吗?
预设 生:折叠
师:很好。你们都会做吗?
预设 生1:会。
生2:不会。
师:不会做没关系,我们可以学。同学们想一想,我们可以将千纸鹤怎么样啊?
预设 生:先展开,再沿着折痕折起来。
师:非常好。那么同学们在刚才的过程中有没有体会到:立体图形可以展开成平面图形,而平面图形又可以折叠成立体图形啊?
预设 生:有。
师:那么老师这节课就带领同学们来学习“展开与折叠”。(教师板书课题:展开与折叠)
[设计意图] 利用千纸鹤导入,能够激发学生的学习兴趣,很自然地切入主题。
一、长方体和正方体展开图的特点
1.沿棱剪开。(出示PPT课件演示教材情景图)
把一个正方体盒子沿着棱剪开,得到一个展开图。
师:我们知道把一个正方体沿棱剪开,就会得到它的展开图,图中的笑笑和小狗正在将一个正方体盒子沿着棱剪开,可是小狗在剪拆正方体盒子的过程中把盒子拆散了,无法形成完整的展开图,同学们,你们愿意帮助小狗剪一剪吗?
预设 生:愿意。
师:在剪的时候要注意剪拆的方法,看一看你们会得到哪些不同的展开图呢?
(学生动手沿棱剪正方体,教师巡视)
[设计意图] 让学生亲身经历,去发现正方体展开图的特征。
2.展示作品。
师:同学们都已经顺利完成,请展示一下你们的作品吧!
师:请同学们把自己的作品粘贴到黑板上,不要重复。预设图有:
3.对比观察。
师:你们发现这些作品有什么特点?
(学生认真观察,思考回答)
预设 生:每个正方体都剪断了七条棱,剩下了五条棱相连。(根据学生的回答板书)
师:你观察得很细致。那么这些正方体展开图中有没有相似的类型呢?
预设 生1:我发现我的正方体展开图像一个字母T,这一个像十字架。
生2:我还发现像一把手枪;还有这个像一只小鸟。
生3:我还发现正方体的展开图是由6个小正方形组成的,而且6个小正方形的大小相等。
生4:我发现这些图形中,有的中间是四连方,两侧各有一个。(教师板书)
生5:有的图形中间是三连方,两侧各有一个、两个。(教师板书)
生6:还有的图形中间是两连方,两侧各有两个。(教师板书)
生7:两排各有三个。(教师板书)
师:同学们观察的都很认真,总结的也很完美。下面请移动作品对号入座,即:
(1)中间四连方,两侧各有一个。
(2)中间三连方,两侧各有一个、两个。
(3)中间是两连方,两侧各有两个。
(4)两排各有三个。
[设计意图] 学生经历操作和分类,熟练掌握正方体展开图的特点。
二、折叠后围成正方体的方法
师:四种类型11种展开图,同学们做得非常完美。能不能将这些展开图还原成正方体呢?请同学们交换展开图动手折叠吧!
(同伴合作,把图中每一种展开图重新折叠成正方体,教师巡视)
三、由展开图找相对面的方法
师:看到同学们能熟练地展开与折叠,老师非常高兴。下面是一个长方体和一个正方体的展开图,请分别说出与1号、2号、3号面相对的各是几号面。先想一想,再利用教材附页1中的图1试一试。(教师出示PPT课件)
下面是一个长方体和一个正方体的展开图,请分别说出与1号、2号、3号面相对的各是几号面。先想一想,再利用教材附页1中的图1试一试。
(学生动手折,找相对的面)
师:通过动手折一折,你找到了与1号、2号、3号面分别相对的面了吗?
预设 生:找到了。
师:谁能说一说?
预设 生1:第一幅图1对6,2对4,3对5。
生2:第二幅图1对5,3对6,2对4。
师:你从中发现什么规律了吗?
预设 生:我发现每相对的两个面中间隔一个面。
(教师根据学生的回答板书:相对的两个面中间隔一个面)
师:回答得非常准确,下面请同学们根据这个规律分别找出我们展开的正方体表面图中的11种图形中分别相对的面。
(教师出示PPT课件)
预设 生1:第(1)幅图中1对3,2对5,4对6。
生2:第(2)幅图中1对6,2对4,3对5。
生3:第(3)幅图中1对6,2对4,3对5。
生4:第(4)幅图中1对6,2对4,3对5。
生5:第(5)幅图中1对6,2对4,3对5。
生6:第(6)幅图中5对6,1对3,2对4。
生7:第(7)幅图中1对6,2对4,3对5。
生8:第(8)幅图中1对6,2对4,3对5。
生9:第(9)幅图中1对5,2对4,3对6。
生10:第(10)幅图中1对3,2对5,4对6。
生11:第(11)幅图中1对4,2对5,3对6。
[设计意图] 在展开与折叠过程中,明确长方体和正方体每组相对的两个面中间隔着一个面,相对的面完全相等。
师:下面老师就来检验一下,同学们对展开与折叠的掌握情况。
1.下面图形不能围成一个长方体的是( )。
2.如右图有一个正方体,它的展开图可能是下面四个展开图中的( )。
3.如图是每个面上都标有一个汉字的正方体的平面展开图,在此正方体上与“水”字相对的面上的汉字是( )。
A.“秀” B.“丽” C.“江” D.“城”
【参考答案】 1.D 2.A 3.B
[设计意图] 根据展开与折叠设计不同的问题,培养学生灵活应用的能力。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了展开与折叠的知识,通过动手操作发现展开与折叠之间的内在联系,以及找正方体或长方体与展开图相对应的面的特征,能够灵活应用所学的知识解决实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第15页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断下列图形沿虚线折叠后能否围成正方体。(能的画“√”,不能的画“?”)
2.(重点题)下面是一个正方体的展开图,观察与标有“B”的面相对的面是哪个面。
【提升培优】
3.(难点题)下面哪些图形沿虚线折叠后能围成长方体?
【思维创新】
4.(探究题)将下面的图形折叠成正方体,并指出哪些面是相对的。
【参考答案】
作业1:1. 2.②③④⑤ 3.③
作业2:1.(1)? (2)? (3)√ (4)? 2.C3.①②④能 4.2-4 3-5 1-6
展开与折叠
每个正方体都剪断了七条棱,剩下了五条棱相连。
(1)中间是四连方,两侧各有一个。
(2)中间三连方,两侧各有一个、两个。
(3)中间是两连方,两侧各有两个。(4)两排各有三个。
总结:相对的两个面中间隔一个面。
通过本节课的教学进一步发展学生的空间观念。由于这部分内容对学生的空间观念要求比较高,学生难以理解,因此在教学中设计了以下三个主要环节:(1)首先通过把长方体、正方体盒子剪开得到平面图形的活动,引导学生直观认识长方体和正方体的展开图;(2)利用可操作材料,体会展开图与长方体、正方体的联系;(3)通过立体与平面的有机结合,发展学生的空间观念。这样由浅入深、由表及里地使学生逐步达到教学目标的要求。
本节课的核心是发展学生的空间观念。空间观念主要应该表现在:能由实物的形状想象出几何图形,由几何图形想象出实物的形状,进行几何体与其展开图之间的转化;能根据条件画出立体图形;能从较复杂的图形中分解出基本图形。所以在教学中采用了互动探究式教学。通过创设合理的教学情景,立足于“导”,促使学生积极主动地去探究知识,再通过与学生之间的对话与交流,让学生主动地提出问题、解决问题,并自觉地总结和掌握解决问题过程中所用到的思想和方法。
本节存在的不足有以下几点:(1)学生对展开图通过各种途径有了一些了解,但仍不能把平面与立体很好地结合起来。(2)在遇到问题时,学生不愿意自己探索,要引导学生主动探究。(3)教师要用全新的视角去认识学生。
在课上要注意多设计体现数学魅力的环节。
【练一练·15页】
1. 2.②③④⑤ 3.③
这是一个正方体纸盒的展开图(如图所示),那么正方体纸盒的黑色面的对面是什么颜色的面?
[名师点拨] 把这个展开图折叠成一个正方体,可以发现如果红色面是下面,那么黑色面就是上面,所以黑色面的对面是红色的面。
[解答] 黑色面的对面是红色的面。
正方体展开图及口诀
巧记正方体展开图口诀:
“一四一”“一三二”,
“一”在同层可任意,
“三个二”成阶梯,
“二个三”“日”相连,
异层必有“日”,
“凹”“田”不能有,
掌握此规律,运用必自如。
巧记口诀确定正方体表面展开图
6个相连的正方形组成的平面图形,经折叠能否围成正方体问题,是常考题型。同学们在学习这一知识时常感到无从下手,现将确定正方体展开图的方法以口诀的方式总结出来,供大家参考:
正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁。
十四条边布周围,十一类图记分明。
四方成线两相卫,六种图形巧组合。
跃马失蹄四分开,两两错开一阶梯。
对面相隔不相连,识图巧排“7”“凹”“田”。
现将口诀的内涵解释如下:将一个正方体盒的表面沿某些棱剪开,展开成平面图形,需剪7刀,故平面展开图周围有14条边,共有十一种展开图。
一、四方成线两相卫,六种图形巧组合。
以上六种展开图可归结为四方连线,即,另外两个正方形在四个正方形的上下两侧,共六种情况。
二、跃马失蹄四分开。
以上四种情况可归结为五个正方形组成“三二相连”的基本图形(如图),另外一个正方形的位置有四种情况,即图中四个“△”中的任意一个位置,这一图形有点像失蹄的马,故称为“跃马失蹄”。
三、两两错开一阶梯。
这一种图形是两个正方形一组,两两错开,像阶梯一样,故称“两两错开一阶梯”。
四、对面相隔不相连。
这是确定展开图的又一种方法,也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连,则1号面与3号面是对面,中间隔了一个2号面,并且是对面的一定是不相连的。
五、识图巧排“7”“凹”“田”。
这里介绍的是一种排除法。如果图中出现像图(1)中的“7”形结构的图形就不可能是正方体展开图,因为图中1号面与3号面是对面,3号面又与5号面是对面,出现矛盾。
如果图中出现像图(2)中的“田”形结构的图形,也不可能是正方体展开图,因为同一顶点处不可能出现四个面。
如果图中出现像图(3)中的“凹”形结构的图形,也不可能是正方体展开图,因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。
现举例说明:
下面的平面图形中,是正方体的平面展开图的是 ( )
解析:本题可用“识图巧排‘7’‘田’‘凹’”来解决。A,D都有“凹”形结构,B有“田”形结构,故应选C。
马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子,他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示的拼接图形(实线部分),经折叠后发现还少一个面,请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形,使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子。
(注:①只需添加一个符合要求的正方形;②添加的正方形用阴影表示)
解析:本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相连的结构,故本题有四种答案,即正方形的位置有如图所示的四种情况之一(图中“△”位置)。
试一试:
1.下列图形中,不是正方体表面展开图的是 ( )
2.如图,有一个正方体纸盒,在它的三个侧面分别画有三角形、正方形和圆,现用一把剪刀沿着它的棱剪开成一个平面图形,则展开图可以是 ( )
3.在正方体的表面上画有如图(1)所示的粗线,图(2)是其展开图的示意图,但只在A面上画有粗线,那么将图(1)中剩余两个面中的粗线画入图(2)中,画法正确的是(如果没有把握,还可以动手试一试)
【参考答案】 1.C 2.C 3.A
3 长方体的表面积
“长方体的表面积”是长方体的重要基础知识之一,在生活和生产中有着广泛的应用。这部分内容的学习是在长方体、正方体展开图的基础上进行的。教科书呈现了学生在手工课上制作一个长方体包装盒的示意图,引出所要解决问题的问题情景,设计了三个问题。第一个问题是提出“长方体的表面积”的概念;第二个问题是讨论如何计算长方体的表面积;第三个问题是讨论如何计算正方体的表面积。
1.在操作、观察活动中,探究并理解长方体、正方体的表面积及其计算方法,并能准确计算。
2.结合长方体和正方体的展开与折叠的情景,经历探究长方体和正方体的表面积的过程,掌握长方体表面积计算方法,能解决一些简单的实际问题。
3.结合具体情景,解决生活中的一些简单问题,体会数学与生活的密切联系,丰富对现实空间的认识,发展初步的空间观念。
【重点】 理解长方体、正方体表面积的含义和计算方法,并能正确地计算长方体、正方体的表面积。
【难点】 掌握长方体、正方体表面积的计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 长方体纸盒、剪刀、彩纸。
方法一:创设情景,导出问题
师:同学们,前面我们结识的朋友——长方体,今天又来光顾我们的课堂了。你们看,它来了。(教师出示PPT课件)
[设计意图] 创设生动有趣的情景,调动学生的兴趣,同时引发学生探究的欲望。
师:同学们愿意帮助长方体实现它的愿望吗?
预设 生:愿意。
师:请同学们拿出准备好的长方体和彩纸,给长方体做一件精美的外衣,看看哪一组同学在用料最少的情况下做得又快又好。
师:(包装结束后)请同学们把穿好外衣的长方体托在手上,向大家展示一下。大家看一看,同学们给长方体设计的外衣漂亮吗?
预设 生:漂亮。
师:今天我们就来学习给长方体做包装。(板书课题:长方体的表面积)
方法二:设置情景、导入新课
师:李红妈妈的生日快要到了,李红给妈妈买了一份礼物。她想自己做一个长7 cm,宽5 cm,高3 cm的长方体纸盒将礼物包装起来。做这样一个纸盒至少需要多少纸板呢?你能帮她算一算吗?
(教师出示PPT课件)
师:通过这节课的学习,同学们一定会帮她解决这个问题的,对吗?
预设 生:对。
师:下面我们就共同来探究关于包装纸的数学知识。(板书课题:长方体的表面积)
[设计意图] 在新课开始时,营造一个有利于学生学习的课堂环境,从生活实际引入,根据学生已有的知识和经验,还原数学的本来面目,符合课程标准的要求;从学生所熟悉的事物中提炼出问题,根据题目设问,既能达到以问促学的目的,又激发了学生的求知欲。既提出了研究问题情景,又充分激发起学生解决问题的欲望。
方法三:创设情景、激趣导入
师:同学们,我今天给大家带来一些礼物,想送给这节课最爱动脑,发言又积极的同学,但老师觉得这个礼物的盒子不够漂亮,你们能不能给老师出出主意?
预设 生1:可以在盒子上画一些图案。
生2:可以给盒子包上漂亮的包装纸。
师:你们的想法和老师的一样。(演示盒子包装)
师:这包装纸至少要多大呢?你们想知道吗?
预设 生:想。
师:通过今天的学习,大家就会明白。这节课我们就一起来研究长方体的表面积。(板书课题:长方体的表面积)
[设计意图] 利用生活中最常见的事物进行导入,可以激发学生的学习兴趣。
一、长方体表面积的含义
师:在手工课上,同学们做了长方体包装盒。(教师出示PPT课件)
师:做一个这样的包装盒至少要用多少纸板呢?同学们想一想,需要几个面?
预设 生:6个面。
师:那么谁能概括一下什么是长方体的表面积呢?
预设 生1:长方体6个面加在一起就是长方体的表面积。
生2:长方体6个面的面积和就是长方体的表面积。
……
师:同学们说得真好!对,长方体6个面的面积和就是长方体的表面积。严谨一点叙述就是长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积。
(教师板书:长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积)
[设计意图] 让学生在动手实践的过程中,对表面积有所体验,再引入表面积概念就水到渠成了。
二、探求长方体表面积的计算方法
师:我们要想求出手工课上做的长方体的表面积,该怎样求呢?
预设 生:可以将这个长方体包装盒展开。
师:说得非常好,要想求出这个长方体的包装盒的表面积是多少,要将长方体纸盒展开。
师:根据刚才包装长方体的方法可以把长方体包装盒展开,再求出面积,下面请同学们动手将长方体包装盒展开,标出每个面的边长,想一想长方体的长、宽、高与展开图各边的关系,并说一说怎样求出纸盒的表面积。
(学生动手剪纸盒,标明每个面的位置,以及每个面的边长各是多少,然后讨论怎样求表面积)
师:观察你们手中的长方体展开图,你能说出长方体的6个面分别对应于展开图中的哪个部分吗?
(学生讨论后汇报,同时教师PPT课件演示)
预设 生:老师我知道,A,B两个面是长方体的前面和后面;C,D两个面是长方体的左面和右面;E,F两个面是长方体的上面和底面。
师:把这6个面的面积相加就是长方体的表面积,我们可以用字母表示长方体表面积与每个面的关系,你们能做到吗?
(学生思考,然后汇报,教师可以适时给予引导)
预设 生:老师,我可以回答这个问题,我们根据以往的学习经验,可以用S表示面积,那么,长方体的表面积就等于上面加上下面加上前面加上后面加上左面加上右面。
师:你真聪明,那你愿意到展台前把你用字母表示的长方体表面积与各个面的关系板书下来吗?
预设 生:我愿意。
(学生板书:S表面积=S上+S下+S前+S后+S左+S右)
师:(鼓掌)下面请同学们再仔细观察长方体展开图,把它折起来,再打开,看一看你们会有什么发现?
(学生观察,教师巡视,教师可以适时引导,打开学生的思路)
预设 生1:通过观察,我发现长方体展开图的6个面,可以分为3组,因为前后两个面相等,左右两个面相等,上下两个面相等。
生2:通过观察,我发现长方体上、下两个面的长和宽分别是长方体的长和宽,即长7 cm、宽5 cm。
生2:我发现长方体左、右面的长和宽分别是长方体的宽和高,即长5 cm、宽3 cm。
生3:我发现长方体前、后面的长和宽分别是长方体的长和高,即长7 cm、宽3 cm。
(教师根据学生的回答演示PPT,并标出各个面的长和宽)
师:通过刚刚我们的讨论,了解到只要知道长方体6个面的面积,我们就可以计算表面积,下面请同学们小组讨论,交流一下,怎样计算长方体的表面积呢?你打算怎么完成这次的学习任务呢?和同学们交流,讨论一下吧。
(学生交流讨论长方体表面积计算方法)
预设学生汇报:
方法一:
长方体的表面积就等于上面加上下面加上前面加上后面加上左面加上右面。上面=长×宽;下面=长×宽;前面=长×高;后面=长×高;左面=宽×高;右面=宽×高。所以长方体表面积是:长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高。
(教师板书:长方体表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高)
方法二:
根据长方体相对的面的面积相等,所以只要求出长方体的上面、左面和前面的面积,然后分别乘2,再把它们相加,就得出了长方体的表面积。
长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。
S表面积=2S上+2S前+2S左。
(教师板书:长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。用字母表示为S表面积=2S上+2S前+2S左)
方法三:
根据长方体6个面的面积计算过程,可以知道:
长方体表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=长×宽×2+(长×2+宽×2)×高,而“长×2+宽×2”正是长方体底面周长,所以长方体的表面积=长×宽×2+底面周长×高,用字母表示为S=Ch+2ab。
(教师板书:长方体表面积=长×宽×2+底面周长×高。用字母表示为S=Ch+2ab)
师:同学们汇报的计算长方体表面积的方法老师都没有想到,你们真了不起,计算方法都是正确的!但是,无论我们选择哪一种方法计算长方体的表面积,都需要知道什么条件?
(学生思考讨论)
预设 生:都需要知道长方体的长、宽、高是多少。
[设计意图] 数学学习,从理解知识到具体应用,解决实际问题,这是一次“飞跃”。因此,教师在设计教学过程时,要从学生实际出发,通过剪一剪的实践操作使学生体会长方体表面积与各个面的关系(长、宽、高的关系),让学生运用多种感官参与学习,自主探索,合作交流,既学习了知识又培养了能力。
三、长方体表面积计算
师:同学们,我们已经掌握了长方体表面积的意义和长方体表面积的计算方法,你们能够根据所学知识计算我们手中长方体的表面积吗?
师:要想知道长方体表面积是多少,我们要知道哪些数学信息?
预设 生1:要知道长方体的长、宽、高。
生2:我得到长方体表面积等于(长×宽+长×高+宽×高)×2。
师:你们可以计算长方体的表面积吗?
(学生独立解答,集体订正,指名板演)
学生板书: (7×5+7×3+5×3)×2
=(35+21+15)×2
=142(cm2)
[设计意图] 通过计算,加强学生对长方体表面积计算方法的掌握和理解。
四、正方体表面积的求法
师:我们已经知道长方体表面积的计算方法,那么我们怎样计算正方体的表面积呢?
(学生讨论,全班交流后汇报)
预设 生1:因为正方体是特殊的长方体,我们也可以根据长方体表面积的计算方法求正方体的表面积。
生2:正方体6个面都是相等的正方形,所以求出一个面的面积,再乘6就是正方体的表面积了。
师:你能到展台前具体叙述一下吗?
(学生展示)
学生板书:正方体表面积=棱长×棱长×6
S=6a2
师:我们知道了正方体表面积的计算方法,正方体的表面积就是它6个面的面积之和,在实际计算时,要根据实际情况灵活运用。
[设计意图] 数学知识源于生活,同时又服务于生活。根据长方体表面积计算方法的推导,自然进入正方体的表面积的学习过程,有助于学生认识到知识间的联系。
师:通过今天的学习,我们已经掌握了正方体和长方体的表面积计算,下面我们就用已学知识来解决一些实际问题吧!
1.一个正方体的棱长是8分米,它的棱长总和是( ),表面积是( )。
2.一个长方体的长是15厘米,宽是12厘米,高是8厘米,这个长方体的表面积是( )平方厘米。
【参考答案】 1.96分米 384平方分米 2.792
[设计意图] 根据长方体、正方体表面积计算方法解决问题,加深对计算方法的理解,同时培养学生灵活应用的能力。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报:这节课我们一起学习了长方体、正方体表面积计算的知识,通过观察、动手操作发现长方体表面积与长、宽、高的联系,能够灵活应用所学的知识解决实际问题。
预设 生1:我知道了长方体、正方体表面积的计算方法,并能运用所学解决实际问题。
生2:我知道了长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。用字母表示为S表面积=2S上+2S前+2S左。
生3:我知道计算长方体表面积还可以用“长方体表面积=长×宽×2+底面周长×高”计算,用字母表示为S=Ch+2ab。
生4:正方体表面积计算方法是正方体表面积=棱长×棱长×6,用字母表示为S=6a2。
……
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也能较好地巩固新知识,加深对知识的理解和运用。
作业1
教材第17页“练一练”第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)一个长方体药盒展开后,得到右边的图形。
(1)用相同的符号标出相对的面。
(2)在( )内标出各个棱的长度。
(3)前、后两面的面积和是多少?列式并写出结果:( )。
左、右两面的面积和是多少?列式并写出结果:( )。
上、下两面的面积和是多少?列式并写出结果:( )。
(4)这个长方体的表面积是( )+( )+( )=( )cm2。
2.(重点题)计算下面图形的表面积。
【提升培优】
3.(难点题)判断下表中物体的形状是长方体还是正方体,并求出其表面积。
长
宽
高
形状
表面积
4厘米
3厘米
2厘米
7厘米
7厘米
7厘米
10厘米
10厘米
8厘米
4.(易错题)健身中心新建一个长方体形状的游泳池,该游泳池长50米,宽25米,深2.5米。现要在池的四周和底面都贴上瓷砖,共需要贴多少平方米的瓷砖?
5.(易错题)学校要粉刷新教室的顶棚和四周。已知教室的长是8米、宽是6米、高是3米,扣除门窗的面积11.4平方米。如果每平方米需要花4元涂料费,那么粉刷这样一个教室至少需要花费多少元涂料费?
【思维创新】
6.(创新题)将4个棱长是4 cm的正方体拼成一个长方体,长方体的表面积是多少?(写出所有可能结果)
【参考答案】
作业1:1.涂色略。标出每个面的长和宽如下图所
示。六个面面积的总和就是它的表面积,为(15×12+15×3+12×3)×2=522(cm2) 2.(54×50+54×95+50×95)×2=25160(cm2) 3.(10×8+10×4+8×4)×2=304(cm2) 8×8×6=384(cm2)
作业2:1.(1)
(2) (3)5×7×2=70(cm2) 4×5×2=40(cm2) 4×7×2=56(cm2) (4)70 40 56 166 2.15×15×6=1350(cm2) (20×12+20×5+12×5)×2=800(cm2) (8×4+8×5+4×5)×2=184(cm2) 5×5×6=150(cm2)
3.如下表所示。
长方体
52平方厘米
正方体
294平方厘米
长方体
520平方厘米
4.50×25+(50×2.5+25×2.5)×2=1625(平方米) 5.8×6+(8×3+6×3)×2-11.4=120.6(平方米) 120.6×4=482.4(元) 6.①4×4×18=288(cm2) ②4×4×16=256(cm2)
长方体的表面积
长方体6个面的总面积叫做长方体的表面积。
长方体表面积=长×宽+长×宽+长×高+长×高+宽×高+宽×高
S表面积=S上+S下+S前+S后+S左+S右
长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
长方体表面积=长×宽×2+底面周长×高
S=Ch+2ab。
(7×5+7×3+5×3)×2
=(35+21+15)×2
=142(cm2)
正方体表面积=棱长×棱长×6
S=6a2
学生通过做包装盒至少需要多少硬纸板,想到把长方体纸盒展开,展开图就是长方体的表面积,分小组讨论并计算表面积,使学生主动探索新知识,学生们想到了多种方法来进行计算,体现了算法的多样化,学生知道可以通过多种方法解决日常生活中的实际问题,经过讨论,大家找到了比较容易的算法。充分利用现代教育手段,直观演示,使学生直观地感受到长方体和正方体展开前和展开后的变化。且是在学生先操作的基础上再给学生演示,有利于发展学生空间观念。在教学中,一个问题的解决需要时间和空间,只有给学生留有足够的时间和空间,学生才能有所发现、有所创造。所以在把长方体的展开图展现在学生面前时,留给学生充分的思考时间,这样才能充分激发学生的思维。数学知识具有高度的抽象性,要引导学生在操作中思考,促进学生思维发展。在教学长方体表面积计算方法时,先让学生动手操作,以长方体学具为依据,学生在动手操作的过程中,通过比较更为深刻地认识了长方体的特征,抓住了长方体表面积计算方法的关键,然后让学生在小组活动中通过说一说,共同探索出长方体表面积的计算方法。在这里鼓励学生思考不同的计算方法,培养了学生的求异思维。
事先设计的课堂容量比较大,使得教学时间比较紧张,对基础较差的学生没能及时辅导。
在今后的教学设计中对一些基本的知识点也应该以点带面,对较突出的问题进行讲解,发展学生的异性思维,要注意多聆听学生的不同计算方法的讲解,提高分析问题与解决问题的能力。
【练一练·17页】
1.涂色略。标出每个面的长和宽如下图所示。六个面面积的总和就是它的表面积,为(15×12+15×3+12×3)×2=522(cm2)
2.(54×50+54×95+50×95)×2=25160(cm2) 3.(10×8+10×4+8×4)×2=304(cm2) 8×8×6=384(cm2) 4.35×35×5=6125(cm2) 5.3.5×3+(3.5×3+3×3)×2-4.5=45(m2) 6.②
一个长方体纸盒,长8 cm,宽和高都是6 cm,把六个面都用红纸贴上,至少需要红纸多少平方厘米?
[名师点拨] 由题意知这个长方体纸盒两侧为正方形(宽和高相等),这样其他四个面相同,所以可以通过“长×宽×4+宽×高×2”来计算它的表面积。
[解答] 8×6×4+6×6×2=192+72=264(cm2)
答:至少需要红纸264 cm2。
【知识拓展】 1.求长方体或正方体形状的物体的表面积时,要具体问题具体分析,如无盖正方体鱼缸有5个面。
2.知道长方体的表面积,如果已知长、宽、高中的任意两个量,那么可求出第三个量。
生活中的长方体和正方体
长方体和正方体在我们四周随处可见,而它们的表面积也运用得十分广泛。如,在你家里地上铺地砖、木地板,在墙上刷的白漆,用玻璃做一个长方体的大鱼缸等等,都需要用上长方体、正方体的表面积。可是,在生活中该如何运用长方体和正方体的知识呢?
大家都知道:长方体表面积是“长×宽×2+宽×高×2+长×高×2”,正方体表面积是“棱长×棱长×6”。但是在生活中可不能就这样生搬硬套,因为书上告诉你的是一般情况,生活中不是这样,有时,可能不用六个面全算。比如,让你给教室刷漆,人们一般只会刷上、左右、前后五个面,而你把公式套上去后,就可能连地面也给刷了,这个要注意。下面还有一个实例。
健身中心新建一个游泳池,该游泳池长50 m,宽20 m,深2.5 m(也就是公式中所说的高),现在让你贴上瓷砖,需要多少瓷砖?
首先,咱们得分析这道题,当然,最好的方法是联系生活实际,展开想象。既然是游泳池,肯定要求底面积,那就用长×宽求得底面积,大家可能会奇怪,为什么不铺上面呢?因为上面是水,铺上的话就不叫游泳池了。四周肯定也要铺,用宽×高×2+长×高×2就得出需要铺多少平方米的瓷砖了。
所以其最终结果是1350 m2的瓷砖。所以说,在解决实际问题时,正方体和长方体的表面积公式只是“半成品”,这其中的很多情况是需要你仔细思考的。
4 露在外面的面
本节教学内容是求组合体露在外面的面积,是观察物体、长方体和正方体表面积等知识的综合应用。重点是掌握组合体露在外面的面积的计算方法及会解决有关的实际问题。在此之前,学生已具有观察物体的经验和求长方体和正方体表面积的方法,这为求组合体露在外面的面积奠定了良好的基础。教科书创设了“在墙角堆放4个正方体纸箱”的情景,设计了三个递进的问题。第一个问题是求放在墙角处的4个正方体纸箱露在外面的面积;第二个问题是探索变换正方体纸箱堆放方式对露在外面的面个数多少有无影响;第三个问题是探索堆放的正方体个数与露在外面的面数的变化规律。
1.在操作、观察、分析等活动中,经历求由正方体搭成的组合体的表面积的探索过程,获得求物体露在外面的面积的计算方法。
2.掌握求物体露在外面的面积计算方法,会解决有关的应用问题,进一步发展空间观念。
3.经历探索规律的过程,激发主动探索的欲望。
【重点】 解决有关物体表面积的问题,探索规律。
【难点】 探索并总结露在外面的面积的计算方法。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 每组准备若干个完全相同的小正方体、记录卡、纸板。
求下面图形的表面积。
【参考答案】 (1)1.22米2 (2)337.5米2
方法一:谈话导入、运用方法
师:请看大屏幕(出示PPT课件),这是一组立体图形,看谁能最先看出:它是由几个小正方体组成的?
预设 生:有8个小正方体。
师:能说一说你是怎么看的吗?
预设 生1:我看到的是6个。
生2:我看到露在外面的有6个,没露出来的有2个。
师:看来仅有观察还是不够的,还要在观察基础上加入合理的推想,把你看不到的在脑海中想到,才会得出正确的结论。这节课,我们就继续用观察和推想这两种方法来探索露在外面的面。(板书课题:露在外面的面)
[设计意图] 观察是学生学习“空间与图形”领域内知识的重要方法,但仅有观察还是不够的,还需要不断掌握新的思维方法,以促进学生空间观念的发展。此环节正是从这一角度出发进行设计的。学生要想正确数出共有多少个小正方体,不仅需要观察,还要在观察的基础上加入推想,在脑海中想象出这样的立体图形,并推算出小正方体的个数,渗透了观察、推理与想象是正确认识事物的好方法,为新课的学习埋下伏笔。
方法二:创设情景、引入新课
师:我们已经学习了长方体的特征,看看讲台桌上这个漂亮的正方体箱子,它有几个面?
预设 生:六个面。
师:现在坐在你的位子上,你能看到几个面?
预设 生:一个面或者两个面。
师:如果站着看,你现在又能看到几个面?
预设 生:三个面。
师:哪几个面?
预设 生:上面、前面和其中一个侧面。
师:为什么和你刚才看到的不一样呢?如果老师再添加几个这样的正方体,把他们拼摆在一起,你知道露在外面的有多少个面吗?
师:今天我们就来学习新的知识,露在外面的面。(板书课题:露在外面的面)
[设计意图] 提供正方体实物演示,激发学生的探究欲望。
一、正方体放在墙角处露在外面的面积
师:看,淘气把4个小正方体摆放在墙角。(出示PPT课件)
4个棱长为50 cm的正方体纸箱放在墙角处,如右图。
1.看图找到露在外面的面
师:请同学们仔细观察画面(指着上面的图),它有几个面露在外面?你是怎么想的?
预设 生:露在外面的有9个面。上面的纸箱有3个面露在外面,前面的纸箱也露出3个面,右边的纸箱也露出3个面,3+3+3=9个面。
师:能说一说你是按什么方法数的吗?
方法一:按纸箱算。
预设 生:我是按纸箱的个数去数的。有3个纸箱各露出来3个面,所以共露出9个面。
师:不是有4个纸箱吗?你怎么只数了三个?
预设 生:有一个纸箱的面全被挡住了,一个面也没漏出来,就不用看了。
师:你真是个善于观察的学生。说得非常对。
方法二:按角度算。
师:通过看图我们可以按照纸箱的个数一个一个地数,除了这个方法还有没有其他方法了呢?
预设 生:有。
师:你还有什么好方法吗?
预设 生:可以分别从正面、侧面、上面三个不同的角度观察。
师:现在,请从正面、上面和侧面观察这组立体图形,看到的是哪个平面图形呢?
预设 生1:我从正面看到的图形是第一幅图。
生2:我从侧面看到的图形是第三幅图。
生3:我从上面看到的图形是第二幅图。
师:从三个方向看到了多少个面?
预设 生:从三个方向看,一共有9个面。
2.计算露在外面的面积
师:怎样计算露在外面的面积是多少呢?
预设 生:因为露在外面的面一共有9个,所以只要求出一个面的面积再乘9就可以了。
列式为: 50×50×9
=2500×9
=22500(cm2)
(教师根据学生的回答板书)
[设计意图] 引导学生先按照常规方法,按照正方体堆放的个数去数,在学生会数的情况下进一步学习从不同角度去观察,找不同角度去看露在外面的面的个数,从而找到所有露在外面的面的个数,培养了学生的观察和发现问题的能力,同时引导学生在观察时要全面。
二、不同摆放方式及其露在外面的面积
师:如果把这4个正方体纸箱换一种方式放在墙角处,可以怎样摆?请同学们看大屏幕:
师:这四个小正方体纸箱,除了我们看到的这种摆法外,还可以怎样摆?小组同学先摆一摆,再数一数露在外面的面有多少个,看你能有什么发现?
(学生动手操作)
师:请同学们把各自小组内的摆放方法贴在黑板上。
(预设图如下)
师:先看一下大屏幕中的三个图形,露在外面的有几个面?
预设 生1:第一幅图从正面、侧面、上面三个不同方向看,共有9个面露在外面。
生2:第二幅图从正面、侧面、上面三个不同方向看,共有8个面露在外面。
生3:第三幅图从正面、侧面、上面三个不同方向看,共有8个面露在外面。
师:请同学们仔细观察黑板上的这些立体图形,看一看从不同的角度观察,这些立体图形露在外面的面有多少个,你们发现了什么?
预设 生:虽然我们都是用的四个小正方体摆的,但是摆的方法不一样,露在外面的面也不一样多。有时候露在外面的面都是9个,但摆的方法也不同。
师:(小结)都是用4个小正方体来摆,但由于摆的方式不同,露在外面的面的个数也不同,即使露在外面的面个数相同,摆法也不一定相同。
[设计意图] 此环节的设计,是给学生一个自主操作的空间,同时也给学生思维开放的空间,让他们的思维不仅停留在操作的层面上,还要在操作中有所发现。学生按照自己的想法操作,并通过观察、交流,发现摆法不同,露在外面的面的个数是不同的,即使露在外面的面的个数相同,但摆法也一定相同。
三、露在外面的面的个数变化规律
师:刚才我们用4个小正方体随意摆在一起,露在外面的面的个数有所不同。现在我们用多个小正方体,按一定的方式有规律地摆,露在外面的面的个数会怎样变化呢?(出示PPT课件)
想一想,做一做,填一填。
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
师:请同学们按照先由一个小正方体摆起,记下露在外面的面的个数,再逐个增加小正方体,并依次记录露在外面的面的个数。
师:谁能说一说相对应的小正方体露在外面的面的个数?
预设 生1:我发现摆放一个小正方体时,有5个面露在外面。(师出示PPT课件)
有5个面露在外面。
生2:我发现摆两个小正方体时,从上、左、右、前、后面看,共有8个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有8个面露在外面。
生3:连续摆放三个小正方体,从上、左、右、前、后面看,共有11个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有11个面露在外面。
师:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……小正方体,露在外面的面的个数是多少呢?
预设 生:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……小正方体,露在外面的面的个数分别是14,17,20……
师:你们发现每增加一个小正方体,露在外面的面的个数有什么变化吗?
预设 生:我发现每增加一个小正方体,就增加3个面。
师:那每次增加的是哪三个面?
预设 生:是上面和侧面。
师:通过看图数露在外面的面,可以发现每增加一个小正方体,露在外面的面就增加3个,写成式子为:n个小正方体露在外面的面的个数是5+3×(n-1)。(教师板书)
师:按此规律,摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+3×(6-1)=5+3×5=5+15=20。(教师板书)
师:请同学们再看大屏幕中的图。(教师出示PPT课件)
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
师:按照这样的规律摆放,你能依次找出相对应的小正方体露在外面的面的个数吗?
预设 生1:我发现摆放一个小正方体时,有5个面露在外面。(教师出示PPT课件)
有5个面露在外面。
生2:我发现摆两个小正方体时,从上、左、右、前、后面看,共有9个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有9个面露在外面。
生3:连续摆放三个小正方体,从上、左、右、前、后面看,共有13个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有13个面露在外面。
师:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……小正方体,露在外面的面的个数是多少呢?
预设 生:按照这样的顺序继续摆放4个、5个、6个……的小正方体,露在外面的面的个数分别是17,21,25……
师:你们发现每增加一个小正方体,露在外面的面的个数有什么变化吗?
预设 生:我发现每增加一个小正方体,就增加4个面。
师:那每次增加的是哪四个面?
预设 生:正面、侧面和后面。
师:通过看图数露在外面的面,可以发现每增加一个小正方体,露在外面的面就增加4个,写成式子为:n个小正方体露在外面的面的个数是5+4×(n-1)。(教师板书)
师:按此规律,摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+4×(6-1)=5+4×5=5+20=25。(教师板书)
师:通过看图数露在外面的面,我们发现两种摆法不同,每次增加一个正方体后得出的规律也不同。(教师出示PPT课件)
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
5
8
11
14
17
20
…
小正方体个数
1
2
3
4
5
6
…
露在外面的面/个
5
9
13
17
21
25
…
师:我们再来换一种方式摆放,看一看还会发现什么规律。将小正方体按下图方式进行摆放。随着小正方体个数的增加,露在外面的面的个数变化有什么规律?(出示PPT课件)
师:谁能说一说相对应的小正方体露在外面的面的个数?
预设 生1:我发现摆放2个小正方体,露在外面的面有9个。(师出示PPT课件)
有9个面露在外面。
生2:我发现摆4个小正方体时,从上、左、右、前、后面看,共有14个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有14个面露在外面。
生3:连续摆放6个小正方体,从上、左、右、前、后面看,共有19个面露在外面。(师出示PPT课件)
从上、左、右、前、后面看,共有19个面露在外面。
师:你们发现每增加两个小正方体,露在外面的面的个数有什么变化吗?
预设 生:我发现每增加两个小正方体,就增加5个面。
师:那每次增加的是哪5个面呢?
预设 生:是正面(2个)、后面(2个)和上面(1个)。
师:通过看图数露在外面的面,可以发现n个小正方体(n必须是偶数)露在外面的面的个数是9+n2-1×5。(教师板书)
师:不同的摆放方法,会使露在外面的面的个数发生相应的变化。
[设计意图] 有意识地给学生创设更大的操作空间,让他们在小组合作中、在动手操作中发现正方体的个数与露在外面的面的个数的变化规律,并通过教师的追问提升学生的分析意识,发现规律,提炼出通项公式。在这一环节中,有教师引导阶段,也有放手让学生自己研究的过程,使学生感受到数学是有规律可循的。同时,在交流中渗透替代思想,发展学生的空间观念。
师:下面老师就来检验一下,同学们对这节课内容掌握的如何。
1.把3个棱长为10厘米的正方体纸盒放在墙角(如图),有( )个面露在外面,露在外面的面的面积是( )平方厘米。
2.将小正方体按下面的方式摆放在地上。
1个小正方体有( )个面露在外面,2个小正方体有( )个面露在外面,3个小正方体有( )个面露在外面。按照这样的摆法,8个小正方体有( )个面露在外面,n个小正方体有( )个面露在外面。
3.下图是校运动会的领奖台示意图,它是由6个棱长为4分米的正方体组成的,有( )个面露在外面,露在外面的面的面积是( )平方分米。
4.数一数,分别有几个面露在外面?
共有( )个面露在外面。
5.完成教材第19页“练一练”第3, 4题。
【参考答案】 1.7 700 2.5 8 11 26 3n+2 3.21 336 4.11 5.第3题,没有变化;第4题,发生变化了,减少了6个面,即6×6×6=216(cm2)
[设计意图] 通过设计一些有层次、有梯度的练习,使学生能更好地巩固和加深理解本节课所学的知识。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
学生反馈汇报预设:
预设 生1:我知道在数露在外面的面的个数时,要有顺序地去数。
生2:还要注意加上合理的想象。
师:对,只要观察有序,想象合理,就能正确数出露在外面的面的个数。同学们通过今天的学习不仅学会了怎么去观察,而且能有序地表达,真了不起!
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识,并给予激励。
作业1
教材第19页“练一练”第1,2,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)观察下面的图形,4个正方体堆放在墙角,露在外面的面有多少个?
【提升培优】
2.(难点题)如图所示的是5个棱长为20 cm的正方体,露在外面的面的面积是多少?
【思维创新】
3.(创新题)如图所示,一个正方体木块的棱长为20 cm,把这个正方体切成8个棱长是10 cm的小正方体,这些小正方体的表面积之和比原正方体的表面积多多少平方厘米?
4.(探究题)如图所示的是由27个棱长为1 cm的小正方体摆成的大正方体,把它堆在墙角。如果拿掉涂色(阴影部分)的小正方体,露在外面的面积是多少?
【参考答案】
作业1:1.(1)7个 (2)100×100×7=70000(cm2)2.(1)10个 40 ×40×10=16000(cm2) (2)会。摆放的位置不同,露在外面的面的个数也就不同。 5.[40×100+(30+40)×100+30×100]×2=28000(cm2) 100×50×3+(30+40)×50×2+28000=50000(cm2)
作业2:1.3+2+4=9(个) 2.20×20×12=4800(cm2)3.10×10×6×8-20×20×6=2400(cm2) 4.8×1×1×3+3×1×1=27(cm2)
露在外面的面
50×50×9=2500×9=22500(cm2)
n个小正方体露在外面的面的个数是5+3×(n-1)
摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+3×(6-1)=5+3×5=5+15=20
n个小正方体露在外面的面的个数是5+4×(n-1)
摆放6个小正方体,露在外面的面的个数是5+4×(6-1)=5+4×5=5+20=25
n个小正方体(n必须是偶数)露在外面的面的个数是9+n2-1×5
因为本节课的重点是引导学生通过动手操作加合理的想象发现规律,所以本节课主要是从以下两点来设计的。
1.放手让学生自主探索。
本节课侧重教学的活动化,把课程目标由“关注知识结果”转向“关注