北师大版数学五年级下册第4单元 长方体(二) 单元整体备课教案
文档属性
| 名称 | 北师大版数学五年级下册第4单元 长方体(二) 单元整体备课教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-10 11:35:06 | ||
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文档简介
第4单元 长方体(二)
本单元是在学生直观认识长方体、正方体的特点,认识了长方体、正方体以及它们的展开图,理解了长方体、正方体表面积的含义及其计算方法的基础上来展开学习的。长方体、正方体是最基本的立体图形,是研究其他立体图形的基础,而长方体、正方体体积的计算,是学生形成体积概念、掌握体积的计量单位和计算各种几何图形体体积的基础。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。
1.在观察、比较、实验的活动中,体会并理解体积和容积的意义。
体积与容积也是比较抽象的概念,教科书中是让学生在充分体验的基础上理解它们的意义。教科书首先借助学生已有的生活经验,让学生交流物体的大小和容器盛放东西的多少,感受物体有大有小,容器盛放的物体有多有少。然后,教科书围绕“土豆和红薯哪一个占的空间大”的问题,引导学生开展实验活动。在活动中发现两个物体放入水中后都占据了一定的空间,而且通过观察水面上升的高度不一样,说明这两个物体所占空间的大小不一样。这样使生活经验和动手实验相结合,在学生有了比较充分的感受之后,教科书才揭示出体积的概念。随后,教科书又通过引导学生实验研究“哪个杯子装水多”,在学生感受容器容纳物体体积的大小的基础上,揭示容积的概念。教科书还设计了丰富的练习题目,使学生进一步体会体积和容积的意义。
2.密切联系生活实际,感受体积、容积单位的实际意义。
重视对测量单位实际意义的体会是本套教科书的重要特点。本单元教科书通过动手操作、寻找生活中相应体积的物体等活动,引导学生把体积、容积单位与生活中熟悉的事物建立关系,从而感受1立方厘米、1立方分米、1立方米、1升、1毫升的实际意义。
如:学习立方厘米,立方分米,立方米时,在结合直观模型引入体积单位的基础上,教科书安排了“做一做”“看一看”的活动,活动中安排了“用橡皮泥切出一个体积是1立方厘米的正方体”,“用硬纸板做一个体积是1立方分米的正方体盒子”,“用米尺搭出一个1立方米的空间”等活动。接着,又让学生说说生活中哪些物体的体积大约为1立方厘米,1立方分米,1立方米,引导学生观察、比较、交流,加强学生对体积单位的实际感受。
又如,在学习升和毫升时,教科书再结合实物引导学生认识升、毫升后,设计了“看一看,做一做”的活动,呈现了学生常见的“饭盒能装1立方分米的水”“1毫升的水大约有20滴”的信息,使学生感受升、毫升的实际意义、建立测量单位与生活经验的联系。
3.以学生自主探索为主线,探究长方体、正方体体积的计算方法及不规则物体体积的测量方法。
教科书重视引导学生经历知识的探究过程,引导学生探索长方体体积的计算方法。教科书首先安排了长方体体积与长方形面积的类比,由此启发学生猜测长方体的体积可能与长、宽、高有关;然后变化长方体的长、宽、高中的一个量,比较体积的变化,使学生分别体会到“宽、高不变,长变短了,体积变小了”“长、高不变,宽变短了,体积变小了”“长、宽不变,高变小了,体积变小了”。究竟长方体的体积与长、宽、高有什么关系呢?教科书接着安排操作活动,引导学生用小正方体摆3个不同的长方体,并记下长、宽、高等有关数据。通过观察、分析这些数据,发现长方体体积与长、宽、高的关系,逐步归纳得出长方体体积的计算方法。
“测量不规则物体的体积”既有助于学生进一步理解体积的含义,又能帮助学生发展解决实际问题的能力。为了引导学生探索测量不规则物体体积的方法,教科书安排了“测量石块的体积”的实验活动。教科书中呈现的两种测量石块体积的方法,都是紧紧围绕体积的意义展开的,实际上都是把不规则石块的体积转化成了可测量的水的体积。把未知转化为已知来解决问题,这是解决问题的一个重要的思想方法。
1.通过操作活动,理解体积,容积的含义。认识体积、容积的计量单位(立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升),会进行单位之间的换算,感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义。
2.在解决实际问题的过程中,探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法,探索某些不规则物体体积的测量方法,能解决一些简单的实际问题。
在参与观察、实验、猜想、证明等活动中,发展演绎推理能力。在观察、操作等活动中,进一步发展动手操作能力和空间观念。
综合运用长方体体积的计算方法解决简单的实际问题,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识。
积极参与操作活动,对数学有好奇心和求知欲,体会数学的特点,了解数学的价值。
【重点】 理解体积和容积的意义以及计算公式的推导过程,并能应用计算公式求体积和容积。
【难点】 能利用所学知识解决实际问题。
根据新课标的要求,数学教学必须建立在学生认知水平和已有经验的基础上。由于学生空间想象力的水平有限,教学要更加注重丰富学生对知识的感知,让学生手、眼、脑、口并用,调动多种感官参与学习,丰富学生的感性认识。建立有关体积和容积的正确表象,从而切实掌握所学的知识,为以后的进一步学习做好铺垫。《数学课程标准》还指出:教师应激发学生学习的积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在动手操作、自主探究,合作交流中真正理解和掌握数学知识。因此,我们可以采用创设情景法、引导发现法、组织练习法,开展丰富多彩的数学活动。在活动中,激发学生的探索欲望,培养学生的创新精神与合作意识。体现以学生为主体,以教师为主导的教学理念。教师的“教”应适应学生的“学”,而学生的学又离不开教师的指导。教学方法应用在教学过程之中,要符合知识的科学性,还要适合学生的认识规律,才能使学生理解并掌握知识。
在学习方法上,首先,因为体积和容积的概念较为抽象,学生在理解上有一定的困难,而且它们之间的联系和区别也是教学难点。要突破这一难点,就要突出它们的实践性,学生应该在体验、感知中学习知识。可以从熟悉的实物出发,通过对物体、模型等的观察、动手实验等活动,增强感性认识,在已知和未知之间架起一座沟通的桥梁,从而自主建构正确的概念。其次,学习体积和容积单位时,学生应注重亲身感知实物,在动手实践中自主探索,强化对1立方厘米、1立方分米、1立方米的理解,并初步感知1立方厘米,1立方分米,1立方米的大小。通过实验来理解并掌握容积单位和体积单位之间的换算。
1 体积与容积
《体积与容积》是北师大版小学数学五年级下册第四单元“长方体(二)”的第一课时,本节主要知识内容是物体体积与容积的学习。本节课的学习是在学生认识了长方体和正方体的特点以及长方体和正方体的表面积的基础上进行学习的。这一内容是进一步学习体积的计算方法等知识的基础,也是发展学生空间观念的重要载体,教科书创设了多种操作活动,设计了三个问题,第一个问题举例说明教室里物品占空间大小有差别,常见的容器放东西的多少有不同;第二个问题是认识什么是物体的体积;第三个问题是什么是容器的容积。学习内容的宗旨是引导学生经历观察、比较、分析、归纳、概括的过程,体验与感悟体积与容积的含义,唤醒学生已有的生活经验,感受学习体积和容积的必要性,进一步发展学生的空间观念。
1.通过具体的实践活动,了解体积和容积的实际含义,初步理解体积和容积的概念。
2.在操作、交流中,感受物体体积的大小,进一步发展学生的空间观念。
3.在实验探索的过程中,经历观察、比较、分析、概括的过程,从中体会体积与容积的区别与联系,发展学生的数学应用意识。
【重点】 理解体积和容积的含义。
【难点】 体积和容积的联系与区别。
【教师准备】 PPT课件,橡皮泥、容积一样的烧杯、土豆、红薯若干。
【学生准备】 练习本。
1.求长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体表面积。
2.求棱长是1厘米的正方体的表面积。
【参考答案】 1.94平方厘米 2.6平方厘米
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们一定听过《乌鸦喝水》的故事。在这个故事中乌鸦是用数学方法来解决问题的。你们想知道乌鸦用了什么数学方法吗?下面我们再来欣赏一下乌鸦喝水的故事吧!
师生欣赏《乌鸦喝水》片段(或欣赏课件)。
学生思考:乌鸦为什么能喝到水了?
师:看完了,老师想问“乌鸦为什么能喝到水了”?
预设 生:乌鸦往瓶子里扔入许多石子,使瓶子中的水面升高了,所以乌鸦喝到了水。
师:水面为什么会升高呢?
预设 生:因为石子占据了水的空间,使水面升高了。
师:说明石子是占有一定空间的,石子的投入挤压了水的位置,水面慢慢升高了。今天老师带领大家认识两位新朋友——《体积与容积》。
(板书课题:体积与容积)
[设计意图] 通过“乌鸦喝水”的情景创设和教师问题的引导,激发了学生的学习兴趣,从思考解决问题的过程中,体会生活与数学的关系。一方面“乌鸦喝水”的情景故事贴近学生的生活实际,可以促进学生的学习积极性。另一方面,通过乌鸦喝水的情景故事,学生初步体会生活与数学的关系,发展学生的空间观念。
方法二:谈话交流、引入新知。
师:(面带微笑)和同学们相处这么久了,你们能描述一下老师的体型吗?
(大家叽叽喳喳地说,教师组织课堂,让学生大胆描述,指名回答)
预设 生:老师您高高的,瘦瘦的。
师:(请一名胖胖的同学走上台)现在请同学们仔细观察,我们两个人谁的体积大?谁的体积小呢?
预设 生1:老师,我认为老师的体积比较大,因为老师长得高。
生2:不对,我认为这位同学(胖胖的同学)的体积比较大,因为他比较胖。
生3:我也认为这位同学的体积比较大,因为它比较重。
……
(学生用高矮,胖瘦,轻重来描述体积大小,于是,教师顺应学生的思路提出学习建议)
师:通过同学们的回答,老师知道了,你们认为体积大小可能与高矮、胖瘦、轻重有关系,但是要解决这个问题,我们首先要理解体积的意义,你们认为如何呢?
(大家点头表示同意)
[设计意图] 通过老师与学生体型的对比,让学生初步产生对体积的理解,再通过学生对同一问题的不同回答,出现分歧,激发了学生探求真知的欲望及学习兴趣,想知道“什么是体积”“体积的大小跟什么有关系”等,使学生在模糊中感受学习体积的必要性。
方法三:课件演示,导入新知。
师:(手拿一瓶饮料)同学们,老师拿的是什么?
预设 生:饮料。
师:饮料的商标上标有很多小字,老师有些看不清,哪些同学愿意帮助老师看一看?
(学生帮助老师认清标签上的字)
师:上面都标注了哪些有关饮料的信息?
预设 生1:上面标有饮料的原材料。
生2:上面还标有“1 L”。
……
师:“1 L”表示什么?
预设 生:表示这个饮料瓶中可以装多少饮料。
师:饮料瓶中可以装多少饮料在我们数学中有一个数学名词,它叫做什么呢?今天我们就来学习这个内容。同学们一定要认真听,认真学习。
(板书课题:体积与容积)
[设计意图] 通过“饮料瓶装多少饮料”引入课题,通过学生的原有认知,已有的经验,能够感知“L”表示的是瓶子的容积,从中能感受数学与生活之间的联系,为下面的学习打好基础。
活动一:在实验中探索体积的意义
师:同学们,到底什么是体积啊?有什么办法来帮助我们理解体积的含义呢?
(问题一出,教室里立刻安静了,学生开始积极思考了,教师静静地等待着……)
预设 生:老师,我们找不到解决问题的答案,你能告诉我们吗?
师:(老师微微一笑)你们不是有一个学习的好助手吗?找它来帮忙啊!
(学生你瞅瞅我,我瞅瞅你,有些糊涂)
师:教科书啊!
(学生恍然大悟,打开教科书,开始学习,很快就找到了解决问题的答案)
预设 生1:老师我知道什么是物体的体积了。
师:你来说一说,什么是物体的体积?
生1:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
师:什么是物体所占空间大小呢?
(学生摇头表示不知道)
师:下面我们做个实验,帮助我们来理解。
(老师把给学生准备的材料(量杯和土豆)分发给每个小组,请同学们进行实验,老师在一旁指导)
教师PPT课件出示试验步骤:
(1)量杯中倒入适量的水;
(2)将土豆放在装有水的量杯里面;
(3)观察现象。
师:同学们,通过观察你发现了什么?
预设 生:老师我发现量杯里的水位升高了。
师:为什么水位会上升呢?
预设 生:这说明土豆占了水的空间。
师:“土豆占了水的空间”,你发现的这个问题很有价值,如果不把土豆放在量杯的水中,土豆还会占空间吗?
预设 生1:土豆也会占空间,它占了空气的空间,只是我们眼睛看不到它占了多少,放在水里就清楚了。
生2:我也同意生1的说法,土豆在空气中一定占据空间。
……
(教师板书:占空间)
[设计意图] 通过试验,使学生感受一切物体都会有一定的空间,学生对体积有了初步的认识。
师:(手拿体积不同的土豆和红薯(红薯大一些))你有办法知道土豆和红薯的体积哪个大,哪个小吗?
预设 生1:那还不容易,把土豆和红薯分别放在两个装有水的量杯里,看哪个量杯的水位提升的高一些,那一个物体的体积就大了些,另一个就比较小。
生2:老师,我补充一下,两个量杯的大小和水的多少要一样(相同)。
师:如果我们要做这样的实验,还需要做哪些准备?
(引导学生讨论实验的要求)
根据学生汇报,教师PPT课件出示实验步骤及要求。
(1)首先在两个相同的量杯中倒入相同的水,记录水位的刻度。
(2)将土豆和红薯慢慢放入两个量杯中。
(3)二次记录水位的刻度。
(4)记录实验结果,准备全班汇报。(如图)
[设计意图] 通过上一个实验,很自然地会想到用实验来解决红薯和土豆体积大小的问题,培养了学生的顺向思维。再通过教师引导学生讨论实验的步骤和要求,培养了学生思考问题的逻辑性和严密性。
师:通过刚才的实验,你又有什么发现?
预设 生1:装土豆的烧杯中水位上升得少,装红薯的烧杯中水位升高得多,说明红薯的体积大一些,土豆的体积小一些。
生2:我明白了,一个物体(土豆)不仅要有一定的空间,还存在大小。
(教师板书:大小)
师:“物体占一定空间,还有大小”,这句话怎样理解?
预设 生1:物体都占有空间,只不过有大有小的区分,较大的物体占据空间较大,较小的物体占据空间较小。
生2:不同的物体,占据空间的大小也不相同。
……
(教师还可以引导学生多举一些实例,感受物体的体积)
师:你能用自己的语言概括一下,什么是物体的体积吗?
预设 生:物体的体积,就是占空间的大小。
(教师完善板书:物体占空间的大小叫做物体的体积)
[设计意图] 学生在实验、观察、比较、辨析、归纳、概括中,逐步理解了体积的含义,即物体占空间的大小叫做物体的体积。
活动二:认识物体的容积
师:(顺手拿起讲桌上的一块橡皮泥)这是一块橡皮泥,它是什么形状的呢?
预设 生:(齐答)圆柱形。
师:还可以捏成其他形状吗?你们拿出手中的橡皮泥,试一试。
预设 生:可以捏成长方体、正方体,还可以搓成一个球。
……
师:同学们不断地把自己手中的橡皮泥变化着形状,你们在捏橡皮泥的过程中,什么发生了变化?什么没有变?
预设 生1:橡皮泥的形状发生了变化,体积没变。
生2:因为它是同一个物体,占有空间是一定的,所以体积没有变化。
师:你们不仅会动手,还会动脑呢!老师也想试试。
(并把手中的橡皮泥捏成了一个“小碗”)
师:我手中的这个小碗,与刚才的圆柱形相比,什么变啦?什么没有变?
预设 生:(齐答)还是形状变了,体积没有变。
师:(把小碗放在桌子上,倒满水)现在这块橡皮泥变成什么样子了?
预设 生:变成一个能装东西的器皿。
师:能装东西的器皿在生活中我们把它叫做什么?
预设 生:(齐答)容器。
师:那你们能说一说生活中还有哪些容器?
预设 生1:锅、碗、瓢、盆。
生2:还有水桶,茶杯,水壶。
……
师:(拿出两个不同的杯子)这里有两个杯子,你们知道哪个杯子装的水多吗?
(学生思考解决问题的方法)
师:你们打算用什么方法解决这个问题?和同桌交流一下,然后做实验试一试。
(解决问题方法多样性,鼓励学生发挥想象力,只要能验证即可)
实验方法:把其中的一个杯子装满水,再将它倒入另一个空杯中,可能有如下三种情形:
(1)如果不能倒满空杯,说明空杯能装更多的水。
(2)如果刚好倒满空杯,说明两个杯子装水一样多。
(3)如果倒满了空杯,原来的杯子里还有水,这说明空杯装的水不如另一个杯子多。
师:通过刚才的实验,你有什么想法?
预设 生1:两个水杯容纳水的体积大小不一样。
生2:容器容纳物体的体积,也是有大有小的。
师:我们把这种“容器所能容纳物体的体积,叫做物体的容积”。
(教师板书:容器所能容纳物体的体积,叫做物体的容积)
[设计意图] 通过橡皮泥形状的变化,使学生体验体积的大小与形状的区别与联系,同时从体积过渡到容积,使学生体会容积的含义,在对容积的传授过程中感受到了“实践出真知”的人生哲理。
活动三:体积与容积的区别
师:同学们,我们刚刚学习了体积和容积,那你能说一说物体的体积与它的容积之间的区别和联系吗?
预设 生1:物体的体积是指它本身占有空间的大小,而容积是指它装东西的多少。
生2:物体的体积是指它所占空间的大小,要从外部进行测量。容积是指它所能容纳物体的体积,要从内部进行测量。
生3:我认为,一个物体的体积要比它的容积大。
师:为什么?能说明理由吗?
生3:大家都喝过饮料吧!饮料瓶的体积就要比它的容积大。
生4:我也同意他的看法,冰箱的体积就大于它的容积,冰箱的体积是指冰箱关上门后所占空间的大小,冰箱的容积是指冰箱里面能装多少东西,所以冰箱的体积大于冰箱的容积。
师:同学们,老师告诉大家,你们所说的体积,是指装满东西的容器的总体积。装满东西的容器的总体积=容器的容积+容器原材料的体积,你们听明白了吗?
预设 生:(齐答)听明白了。
[设计意图] 通过对物体容积和体积区别的引导,加深学生对体积和容积意义的理解,明白一个物体的体积和容积的真正意义,更好地掌握物体的体积和容积,以及它们之间的关系。
预设 生:老师,我们已经掌握了体积和容积,但是我还想知道上课开始你提出的问题,是你的体积大一些还是那位同学的体积大一些呢?
师:(微笑说)老师相信你们通过今天的学习,能够想办法来解决这个问题,我期待着你们研究的成果,别忘了告诉老师呀!
[设计意图] 把上课伊始的问题作为课下作业,激发了学生的探究欲望,同时也给了学生探究的空间,从而锻炼了学生解决问题的能力。
师:同学们对今天的学习,你们掌握了吗?下面我们开始闯关吧!
1.完成教材第37页“练一练”第1题。
通过捏橡皮泥的活动,让学生体会到,虽然同一物体形状发生了变化,但体积保持不变。
2.完成教材第37页“练一练”第2题。
目的是让学生在观察、操作中进一步体验物体体积大小。
3.完成教材第37页“练一练”第3题。
让学生在独立思考后进行交流,为后面体积单位的学习做好铺垫。
4.完成教材第37页“练一练”第4题。
【参考答案】 1.一样大。因为无论怎样捏,都是这团橡皮泥,体积不变。 2.左侧一堆比中间一堆体积大,因为1枚1元硬币比一枚一角硬币体积大,所以10枚1元硬币的体积大。左侧一堆和右侧一堆都是10枚1元硬币,只是堆的方式不同,所以体积一样大。 3.有可能,杯子大小不同。 4.3×4×3=36(个)
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了物体所占空间的大小叫做物体的体积。
生2:我知道了容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。
生3:装满东西的容器的总体积=容器的容积+容器原材料的体积。
生4:我知道了物体的体积是指它所占空间的大小,要从外部进行测量。容积是指它所能容纳物体的体积,要从内部进行测量。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握。
作业1
教材第37页“练一练”第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)物体所占( )的大小叫做物体的体积。
(2)容器所能容纳物体的( )叫做容器的容积。
2.(重点题)下面图形是用棱长为1厘米的小正方体拼成的。比较它们的体积的大小。
【提升培优】
3.(易错题)两个相同的杯中的水一样多,放入两个物体后水的深度如图所示,哪个物体的体积大一些?
4.(难点题)有一团橡皮泥,小刚第一次把它捏成正方体,第二次把它捏成长方体,捏成的两个物体,哪个体积大?
【思维创新】
5.(探究题)请你用24个大小相同的小正方体分别按下面的要求搭一搭。
(1)搭出两个物体,使它们的体积相同。
(2)搭出两个物体,使其中一个物体的体积是另一个物体体积的2倍。
(3)搭出两个物体,使其中一个物体的体积是另一个物体体积的3倍。
【参考答案】
作业1:5.女孩用了:5×2×3=30(个) 男孩用了:6×2×2=24(个) 女孩搭的长方体体积大。
作业2:1.(1)空间 (2)体积 2.= = 3.正方体的体积大一些 4.一样大 5.略
体积与容积
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。
装满东西的容器的总体积=容器的容积+容器原材料的体积。
体积这一概念,它的本质指“所占空间的大小”,这一本质属性对学生来说是抽象的,很难理解。数学概念的形成,是数学发展的需要,也是人们在日常生活中通过观察,比较,分析,归纳与概括而得到的。由此,应该注重数学概念形成的“生活原型”,在上课开始,创设了老师与学生比较体积大小的问题情景,你会学习体积的必要性。在教学中,唤醒学生的原有认识,引导学生形成正确的认识。在教学环节设计中,采用了多变的教学形式,让学生从中体会体积与容积的关系,始终使学生在高兴愉悦的氛围中学习,在课后又给学生留下了一个可以探究的话题,再次调动学生的学习兴趣,激发了学生的求知欲望。
在练习的过程中,忽略了把知识复习巩固和技能训练结合起来,影响到了学习效果。
再设计时,要注意设计过程的新颖,靠近新课标,注重能力的培养,电教化手段的运用。
【练一练·37页】
1.一样大。因为无论怎样捏,都是这团橡皮泥,体积不变。 2.左侧一堆比中间一堆体积大,因为1枚1元硬币比一枚一角硬币体积大,所以10枚1元硬币的体积大。左侧一堆和右侧一堆都是10枚1元硬币,只是堆的方式不同,所以体积一样大。 3.有可能,杯子大小不同。 4.3×4×3=36(个) 5.女孩用了:5×2×3=30(个) 男孩用了:6×2×2=24(个) 女孩搭的长方体体积大。
判断:同一个物体的体积和容积是一样的。 ( )
[名师点拨] 物体的体积和容积并不一样,体积是指物体自身占有空间的大小,容积是指容器所能容纳物体的体积。同一个物体,它的体积大于它的容积。
[解答] ?
【知识拓展】 容积与体积的区别:(1)定义不同。(2)测量方法不同。(3)有容积的物体一定有体积,有体积的物体不一定有容积。
几何学的发展历程
几何学是一门历史悠久、源远流长的学科。因为它与人类的生活密切相关,所以在人类的早期文明里,它凭借丰富的直观形象和深奥的内在本质,成为当之无愧的老大哥。在人类历史的长河中,无论在思想领域的突破上,还是在科学方法论的创建上,几何学总扮演着“开路先锋”的角色。下面就来了解一下几何学的发展史。
欧几里得与《几何原本》。
欧几里得是古希腊数学的集大成者,是古希腊亚历山大学派的创始人。从公元前7世纪到公元前4世纪,伴随着哲学的发展,古希腊数学,特别是几何学获得了充分的发展,积累了丰富的材料。要进一步促进数学的发展,同时满足教学的需要,如何把这些材料整理成逻辑严密的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务。欧几里得总结了前人的经验和教训,巧妙地把亚里士多德的逻辑学和数学结合起来,精细地选择命题和公理,合理地安排知识的顺序,使之能从很少的几个原始命题(或说公理)开始逻辑地展开。于是,人类历史上的第一部(我们可以这样认为)数学理论著作——《几何原本》诞生了,第一个公理化的逻辑体系出现了。它共有十三卷,包含了465个命题,所涉及的知识包含平面几何、立体几何、比例论、初等数论、无理数等知识。
欧几里得几何从此成为经典几何的代名词。
体积的故事
一天,爱迪生在实验室里工作,他递给助手一个没上灯口的空玻璃灯泡,说:“你量量灯泡的容量。”他又低头工作了。
过了好半天,他问:“容量多少?”他没听见回答,转头看见助手拿着软尺在测量灯泡的周长、斜度,并拿了测得的数字伏在桌上计算。他说:“时间,时间,怎么费那么多的时间呢?”爱迪生走过来,拿起那个空灯泡,向里面斟满了水,交给助手,说:“把里面的水倒在量杯里,马上告诉我它的容量。”助手立刻读出了数字。爱迪生说:“这是多么容易的测量方法啊,它又准确,又节省时间,你怎么想不到呢?还去算,那岂不是白白地浪费时间吗?”
助手的脸红了。
2 体积单位
体积单位是北师大版小学数学五年级下册第四单元“长方体(二)”的第二节,本节内容是认识体积,容积单位(立方米,立方分米,立方厘米,升,毫升)。体积和容积单位是比较抽象的概念,为丰富学生的感性认知,加强学生对体积单位的实际意义的理解,教科书设计了层层递进的三个问题及“试一试”。其中,第一个问题是认识常见的体积单位;第二个问题是通过“做体积单位”的活动,体会1 m3,1 dm3,1 cm3实际大小;第三个问题是举例说明生活中体积大约是1 m3,1 dm3,1 cm3的物品,进一步体会体积单位的实际意义。“试一试”中的第一个问题是认识
常见的容积单位,第二个问题是感受容积单位的实际意义。
1.结合生活实际,认识体积、容积单位(米3、分米3、厘米3、升、毫升)。
2.在操作交流中,感受1 m3,1 dm3,1 cm3的实际意义,进一步发展空间观念。
【重点】 认识体积、容积单位。
【难点】 感受1立方米,1立方分米,1立方厘米,1升,1毫升的实际意义。
第课时 体积单位
1.结合生活实际,认识体积单位(米3、分米3、厘米3)。
2.在操作交流中,感受1 m3,1 dm3,1 cm3的实际意义,进一步发展空间观念。
【重点】 认识体积单位。
【难点】 感受1立方米,1立方分米,1立方厘米的实际意义。
【教师准备】 PPT课件,小正方体(若干)。
【学生准备】 橡皮泥,小正方体(若干),练习本。
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,通过学习我们已经掌握了容积和体积的意义并能直观判断体积和容积的大小,请看大屏幕,老师这里有一幅画面,你能判断出画面中两个物体的体积的大小吗?
(教师PPT课件出示)
师:哪个物体的体积大一些呢?
(学生进行猜测,猜测可能有三种情况)
预设 生1:长方体的体积比较大。
生2:正方体的体积比较大。
生3:长方体和正方体的体积一样大。
师:三种情况的猜测,哪一种猜测是正确的呢?你们有什么好的建议吗?
预设 生:老师,两个物体没有相关的数据,我们是不能够进行比较的,也猜不出哪个物体的体积大,哪个物体的体积小。
师:如果老师给大家数据,你能猜出长方体和正方体哪个体积大吗?
(左边的长方体出现45,右边的正方体出现40)
预设 生1:长方体的体积大一些,正方体的体积小一些。
生2:老师,我认为生1同学的回答不是很正确,我认为它们的体积还是不能进行正确的比较的。
师:为什么这样说?
预设 生:因为45和40都没有单位,无法比较。
师:说得真好,你思考得真全面。所以,当要准确比较物体的大小时,要用统一的单位才能进行比较。
揭示课题:今天老师就带领同学们走进数学知识殿堂,去探究体积单位。
(板书课题:体积单位)
[设计意图] 教师制造迷惑,使长方体和正方体的大小好像明确了,实际上是想培养学生周密的思维:只有单纯的数字,其实还是不能比的,必须要有统一的单位。
方法二:复习提问,引入新知
师:同学们,还记得我们前面学习的长度单位和面积单位吗?我们一起来温习一下吧!请同学们看大屏幕。(教师PPT课件出示问题)
(1)现在大家一起回顾一下,在测量一条线段长短时,我们用什么单位表示?
(2)在计算一个物体的面积时,我们经常会用到什么单位?
预设 生1:在测量线段长度时,我们经常会用到厘米、分米、米等长度测量单位。
生2:在计算面积时,我们经常会用到平方厘米、平方分米、平方米等。
师:在测量线段长度时,我们经常会用到厘米、分米、米等长度测量单位。在计算面积时,我们经常会用到平方厘米、平方分米、平方米等面积单位。今天我们要计算一个物体的体积,我们应该用什么单位呢?
预设 生:体积单位。
师:体积单位有哪些呢?这就是我们今天要学习的内容,下面就开始我们今天的学习之旅——体积单位。(板书课题:体积单位)
[设计意图] 通过复习长度单位和面积单位,过渡到体积单位。起到迁移的作用,为新知的学习做好铺垫。
方法三:课件演示,导入新知。
教师可以把下列物品摆在讲台上:一块小橡皮擦、一瓶墨水(含包装)、一个粉笔盒。
然后就是针对以上物品提出问题,引导学生思考。
师:请按体积大小将它们排列起来。
(可以让学生进行口述,教师进行操作,也可以让学生自己到讲台前,实际操作,其他同学进行订正)
师:你的表现真好,从中能看出你对知识的掌握也较好。通过刚才的实验操作,我们知道物体的体积有大有小,如果要计算它们的体积,我们就要用到体积单位。那么体积单位有哪些呢?今天我们就来学习——《体积单位》。
(板书课题:体积单位)
[设计意图] 通过创设情景,引出物体体积大小的概念,感受物体的体积。
活动一:认识常用的体积单位
师:同学们,我们知道长度单位用线段来表示,面积单位用正方形来表示,那么,体积单位用什么图形来表示呢?
预设 生:用正方体来表示。
1.认识1立方厘米。
师:老师这儿有一个小正方体(教师手拿小正方体模型),老师告诉大家,这就是1立方厘米。请同学们摸一摸,观察一下,1立方厘米的小正方体,你有什么感受?
(学生走上讲台,感受1立方厘米小正方体的大小)
预设 生1:1立方厘米可真小。
生2:1立方厘米是很小,如果我用手攥住1立方厘米的小正方体,可以攥住好多块呢!
……
师:找找看,我们身边哪些物体的体积接近1立方厘米呢?
(学生思考,讨论,然后汇报)
预设 生1:1立方厘米和我的食指指肚一般大小。
生2:1立方厘米,同骰子一般大小。
生3:1立方厘米同我使用的橡皮一样大小。
……
师:(根据学生的回答,教师用PPT课件展示1立方厘米的大小)1立方厘米接近我们身边的哪些事物?请同学们看大屏幕。
一个骰子大约1立方厘米
手指尖大约1立方厘米
一个玻璃球大约1立方厘米
[设计意图] 通过学生举例说明1立方厘米的大小,以及教师用PPT课件展示1立方厘米与我们身边哪些物体贴近,使学生直观感受1立方厘米的大小,加深学生对1立方厘米的记忆与理解,感受1立方厘米的实际意义。
师:下面请同学们拿出我们的学具,从中拿出一个1立方厘米的小正方体,测量一下它的棱长是多少。
(学生动手测量,然后汇报)
预设 生:小正方体的棱长是1厘米。
师:棱长是1厘米的小正方体,体积是1立方厘米。用字母表示为1 cm3。
(教师板书:立方厘米:厘米3(cm3))
师:同学们,你们可以用橡皮泥捏出(切出)一块体积是1立方厘米的小正方体吗?
(学生动手操作,教师指导)
师:下面小组内拼一拼,2立方厘米,4立方厘米……分别有多大。
(学生操作,感受体积)
[设计意图] 通过学生动手捏1立方厘米的小正方体,再次体验1立方厘米的大小,强化学生对1立方厘米大小的认识,同时强化学生动手操作的能力。
2.认识1立方分米。
师:同学们,我们刚刚开始认识了1立方厘米的大小,下面你们把小组内同学的所有小正方体都拿出来,摆成一个一排是10个小正方体,再摆成10排,再摆10层,摆成一个大正方体。(如图)
(学生操作,小组拼摆)
师:同学们,你知道这个大正方体的棱长是多少吗?
预设 生1:棱长是10厘米。
生2:10厘米就是1分米,所以这个正方体的棱长是1分米。
师:棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米,记作:分米3(dm3)。
(教师板书:立方分米:分米3(dm3))
师:你能用手比划出它的大小吗?
(指明学生汇报)
师:我们身边哪些物体的体积接近1立方分米?
预设 生1:粉饼盒的体积接近1立方分米。
生2:一个音乐盒(含包装)的体积接近1立方分米。
……
[设计意图] 在认识1立方厘米的基础上,让学生认识1立方分米,学生比较容易接受,学生通过制作1立方分米的正方体,能够充分理解1立方分米的概念,并能感受它的实际大小。
3.认识1立方米。
师:1立方米又有多大?你们能想象出来吗?
预设 生:棱长是1米的正方体,体积是1立方米。
师:说得真好,棱长是1米的正方体,体积是1立方米。记作:米3(m3)。
(教师板书:立方米:米3(m3))
师生活动,感受1立方米的大小。
1.几个同学用米尺在墙角围成一个体积是1立方米的空间,感受1立方米的大小。
2.学生4人一组,围成一个体积是1立方米的空间。
[设计意图] 通过自己亲身体验,学生能够真切感受到1立方米所占空间的大小。
活动二:在实际应用,理解体积单位
师:同学们,举例说一说,什么物体的体积大约是1 m3,1 dm3,1 cm3。教师PPT课件出示:
师:(指导学生阅读,感受物体的体积)谁来读一读,大屏幕给我们呈现了什么?
(学生朗读,感受1 m3,1 dm3,1 cm3的大小)
师:你能填上适当的单位吗?
(PPT课件出示)
1粒花生约1 。?
1个粉笔盒约1 。?
29英寸电视机包装箱约1 。?
数学书的体积是210 。?
橡皮擦的体积是8 。?
讲台的体积是1.8 。?
(学生小组讨论,确定答案,师巡视)
【参考答案】 cm3 dm3 m3 cm3 cm3 m3
师:同学们掌握得真好,通过学习,我们初步认识了体积单位,要想更熟悉它们,就要在以后的课堂和生活中接触这些计量单位,特别是在生活中仔细观察,在生活中发现数学问题,同时也让数学为我们生活服务。
师:同学们,对今天的学习,你们掌握了吗?下面我们开始闯关吧!
第一关:在括号里填上适当的单位名称。
一台录音机的体积是20( )。
运货集装箱的体积约是40( )。
第二关:连一连。
学校主席台的体积 24立方厘米
书包的体积 24立方米
碳素墨水盒的体积 24立方分米
第三关:我能判断对。
(1)体积相等的两个长方体,表面积一定相等。 ( )
(2)棱长1分米的正方体放在桌子上,这个正方体占地面积是1立方分米。 ( )
【参考答案】 第一关:立方分米 立方米 第二关: 第三关:(1)? (2)?
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了物体的体积单位有立方厘米,立方分米和立方米,用字母表示分别是cm3,dm3,m3。
生2:我知道了棱长是1厘米的正方体体积是1立方厘米,棱长是1分米的正方体体积是1立方分米,棱长是1米的正方体体积是1立方米。
生3:我还知道,长度单位用来计量线段的长短,面积单位用来计量面积的大小,体积单位用来计量物体占空间的多少。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握,培养学生的语言表达能力。
作业1
教材第39页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)常用的体积单位有( )、( )、( )。
(2)棱长是1厘米的正方体,体积是( );棱长是1分米的正方体,体积是( );棱长是1米的正方体,体积是( )。
2.(重点题)填上适当的数。
(1)一个梨子的体积约是140( )。
(2)洗衣机的体积约是80( )。
(3)一块橡皮的体积约是3( )。
(4)一节火车厢的体积约是50( )。
【提升培优】
3.(易错题)判断:“体积单位比面积单位大,面积单位比长度单位大”。 ( )
4.(操作体)一个长32厘米,宽4厘米,厚4厘米的长方体木块,最多可以切成多少个棱长是4厘米的正方体?
【思维创新】
5.(探究题)把一个长5厘米,宽3厘米,高2厘米的长方体截成两个形状、大小完全相同的长方体后,表面积最少增加多少?体积有变化吗?
【参考答案】
作业1:2.cm3 cm3 cm3 dm3 m3
作业2:1.(1)立方厘米 立方分米 立方米 (2)1立方厘米 1立方分米 1立方米 2.(1)cm3 dm3(3)cm3 (4)m3 3.? 4.8个 5.12平方厘米 体积不变
体积单位
立方厘米:厘米3(cm3)
立方分米:分米3(dm3)
立方米:米3(m3)
体积单位是在学生认识了体积的含义以及体积守恒性的基础上进行教学的。在教学设计中,首先将教材内容进行处理和整合,通过提供充分的素材,采用观察、触摸、举例等各种活动,将3个体积单位结合起来,对比进行教学。
在知识的学习过程中,忽略了知识迁移,没有有效地降低学生的学习难度。
根据教材,重点学习立方厘米、立方分米、立方米在生活中的实际意义,深化对体积单位的认识,进一步理解物体含有多少个1立方厘米,体积就是多少立方厘米。
用多大的体积单位表示下面物体的体积比较适当?
(1)一块橡皮的体积约是7( )。
(2)一台录音机的体积约是20( )。
(3)五年级语文课本的体积约是297( )。
[名师点拨] 根据1立方厘米,1立方分米,1立方米的实际意义,一块橡皮的体积较小,用“立方厘米”作单位,一台录音机的体积较大,用“立方分米”作单位,一本语文书的体积较小,用“立方厘米”作单位。
[解答] 立方厘米 立方分米 立方厘米
【知识拓展】 体积单位除了立方米、立方分米、立方厘米、还有立方毫米。棱长是1毫米的正方体,体积是1立方毫米。
体积
世界上最早得出计算球体积正确公式的是南北朝数学家祖冲之,比欧洲人约早一千年。他还精心钻研天算之术(指天文数学),精治大明历,还制成铜日晷(一种用“测日影”的方法来计时的仪器)、漏壶等多种精密观察仪器,为后世所取法。
体积,几何学专业术语,是物件占有多少空间的量。体积的国际单位制是立方米。一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在三维空间所占有的空间。一维空间物件(如线)及二维空间物件(如正方形)在三维空间中都是零体积的。
生命的价值
——不要让昨日的沮丧令明天的梦想黯然失色!
在一次讨论会上,一位著名的演说家没讲一句开场白,手里却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里的200个人,他问:“谁要这20美元?”一只只手举了起来。他接着说:“我打算把这20美元送给你们中的一位,但在这之前,请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团,然后问:“谁还要?”仍有人举起手来。他又说:“那么,假如我这样做又会怎么样呢?”他把钞票扔到地上,又踏上一只脚,并且用脚碾它。尔后他拾起钞票,钞票已变得又脏又皱。“现在谁还要?”还是有人举起手来。
“朋友们,你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票,你们还是想要它,因为它并没贬值,它依旧值20美元。人生路上,我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么,或将要发生什么,在上帝的眼中,你们永远不会丧失价值。在他看来,肮脏或洁净,衣着齐整或不齐整,你们依然是无价之宝。”
温馨提示:生命的价值不依赖我们的所作所为,也不仰仗我们结交的人物,而是取决于我们本身!我们是独特的——永远不要忘记这一点!
第课时 容积单位
1.结合生活实际,认识容积(L,mL)。
2.在操作交流中,感受L,mL的实际意义,进一步发展空间观念。
【重点】 认识容积单位。
【难点】 感受1升,1毫升的实际意义。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 各种带商标的饮料瓶(若干),练习本。
1.什么是容积?
2.常用的体积单位有哪些?
3.什么是1立方厘米,1立方分米,1立方米?
【参考答案】 1.容器所能容纳物体的体积,叫做容器的容积。 2.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。 3.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。棱长是1米的正方体,体积是1立方米。
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,你们喝牛奶吗?你们喝些什么牛奶呢?
(学生自由回答)
教师出示PPT课件展示不同包装的牛奶。
师:大家平时喝饮料吗?你们喝些什么饮料呢?展示不同的饮料。
教师PPT课件出示饮料图片:
师:无论是牛奶、饮料还是其他饮品,在外包装上都标有“L”“mL”,它们都表示什么样的实际意义呢?
师:今天我们就来学习这样的知识——容积单位。(板书课题:容积单位)
[设计意图] 从学生的生活引入,可以激发学生的学习兴趣,初步理解容积单位,为下面容积的学习打下基础。
方法二:谈话提问,引入新知。
师:同学们,在我们的生活中经常会见到这些物体。
(PPT课件出示:箱子、汽油桶、仓库)
师:这些容器都有一定的容积,我们怎样测量它们的容积呢?我们要用到容积单位,今天我们就来学习容积单位。
(板书课题:容积单位)
[设计意图] 从学生的生活引入,可以激发学生的学习兴趣,为下面容积的学习打下基础。
方法三:复习提问,导入新知
师:什么叫做物体的体积和容积?常用的体积单位有哪些?
预设 生1:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
生2:容器所容纳物体的体积叫做容积。
生3:常用的体积单位有立方米,立方分米,立方厘米。
师:我们已经知道了物体的体积单位有立方米,立方分米,立方厘米,那么,容积单位又是怎样的?它有哪些常用的单位呢!今天我们就来学习容积单位。(板书课题:容积单位)
[设计意图] 学习新知前,适当复习有关的知识,对理解容积的意义和建立升、毫升的概念有帮助,同时为学习容积和容积单位做好铺垫。
活动一:教学容积单位
师:计量体积用体积单位,那么容积也有容积单位。计量容积,一般可以用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”。
(教师板书:立方米、立方分米、立方厘米)
师:但是计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升。
(教师板书:升、毫升)
师:用字母表示容积单位就是L,mL。
(完善板书:L,mL)
师:谁来看着黑板说一说,容积单位都有哪些?
预设 生:容积单位有:升,毫升。
师:我们一起读一下,好吗?
(学生齐读)
师:你们能够举例说一说,哪些物品上标有升和毫升吗。
(学生稍作思考,然后汇报)
预设 生1:我们喝的饮料的商标中有这样的标记。
生2:我和爸爸去给汽车加油时,加油站的加油表中就标有升“L”。
……
[设计意图] 通过“体积有单位”引入“容积也和体积一样有单位”使学生体会容积单位,然后明确容积的常用单位“升和毫升”,形成表象认识,可以强化学生记忆。
师:你们了解的生活常识可真多,老师真为你们骄傲,对于“升”和“毫升”你们记住了吗?下面我们来看一组图片,你能找出它的容积是多少吗?
(PPT课件出示教材情景图)
师:谁来说一说?它们的容积是多少?
预设 生:食用油的净含量是“5 L”,每袋牛奶的净含量是“500 mL”。
师:同学们,真聪明!一下就找到了。(鼓掌)
师:下面拿出我们课前准备的饮料瓶,看一看它们的容积是多少?
(学生活动,教师巡视)
师:谁来说一说各自的饮料瓶是多大的容积?
(教师指名汇报)
[设计意图] 通过学生在容器上找所能容纳液体的体积,加深对容积单位“升和毫升”的认识,体会“升和毫升”的实际意义。
1.认识1升。
师:1升到底有多大呢?(出示1升的量杯)这个量杯的容积就是1升。
(把带颜色的水倒入1升的量杯中,学生观察,感受1升的多少)
师:(然后把1升水慢慢倒入棱长是1分米(从内侧量)的正方体玻璃器皿中)你们发现了什么?
预设 生:1升水倒入1立方分米的容器中正好装满,说明1升就是1立方分米。
师:对,棱长是1分米的正方体容器,容积是1升。
(教师板书:1立方分米=1升)
2.认识1毫升。
师:1毫升又是多少呢?
(出示1毫升的量杯)这个量杯的容积就是1毫升。(把带颜色的水倒入1毫升的量杯中,学生观察,感受1毫升的大小)
师:(然后把1毫升水慢慢倒入棱长是1厘米(从内侧量)的正方体玻璃器皿中)你们发现了什么?
预设 生:1毫升水倒入1立方厘米的容器中正好装满,说明1毫升就是1立方厘米。
师:对,棱长是1厘米的正方体容器,容积是1毫升。
(教师板书:1立方厘米=1毫升)
[设计意图] 通过动手操作实验,观察实验现象,让学生进一步体会1升、1毫升的多少,加深学生对容积单位定量大小的感觉。
活动二:体会容积单位的实际意义
师:同学们,我们对容积单位“升和毫升”已经有了一定的认识,那么在我们现实生活中,哪些容器的容积近似1升或者1毫升呢?
师:下面我们来做几个实验,来感受一下容积单位的大小。(教师边叙述,边拿出事先准备好的饭盒)
师:我们把1升的量杯装满水,再把量杯中的水倒入饭盒中(如图),谁愿意完成这次操作任务?
(指名学生操作,其他学生观察)
师:你有什么发现?
预设 生:饭盒的容积正好是1升。
师:(出示滴管,用滴管抽出1毫升水)使水慢慢滴出。
师:通过观察你们会发现什么?1毫升的水大约有多少滴?
(师操作滴管,学生观察,并计数,大约20滴水。师强调,如果想要得出的数据准确,就多做几次实验,取平均值)
师:如果把2毫升的水倒入下面这个小勺中,正好装满。
(PPT课件出示)
师:说明什么?
预设 生:这个小勺的容积是2毫升。
[设计意图] 加深学生的感性认识,通过实验、观察、对比,建立1毫升、1升的空间观念。
师:你还能举出一些生活的实例,来说明1升、1毫升的大小吗?
(学生自由发言,感受容积单位的大小)
此环节,可以引导学生多做几次实验,让他们进一步感受容积单位“升和毫升”的大小。例如,可以把一升水倒入我们常用的水杯中,可以倒几杯。也可以把1毫升的水,倒入我们的水杯中,记录倒几次1毫升水才可以把水杯倒满。
然后教师可以进行拓展延伸,提出问题:你喝水的杯子的容积是多少毫升,你一天要喝多少杯水,要喝多少毫升的水?
[设计意图] 让学生体会数学和生活的联系,感受生活中处处有数学。
1.完成教材第40页“练一练”第3题。
目的是让学生了解生活中一些常见物体的容积,增强学生对容积单位实际意义的理解。
2.完成教材第40页“练一练”第4题。
发展学生的估测能力。
【参考答案】 3.mL L L L 4.400 200
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了常用的容积单位有升和毫升,用字母表示为“L”“mL”。
生2:我知道了计量容积,一般可以用体积单位,但计量液体的体积常用升和毫升。
生3:我还知道1升等于1立方分米,1毫升等于1立方厘米。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握,培养学生的语言表达能力。
作业1
教材第39页“练一练”第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)容器容纳物体的( ),叫做容器的容积。(2)常用的容积单位有( )。
2.(基础题)填表。
单位
名称
升
立方厘米
单位
符号
mL
m3
dm3
m2
3.(重点题)填上适当的数。
(1)一个碟片盒的体积,大约是150( )。
(2)一节货车车厢的体积,大约是28( )。
(3)冰箱的容积是180( )。
(4)用钢笔吸墨水,一次大约能吸2( )。
【提升培优】
4.(情景题)购买哪种牛奶便宜?
选一选:
5.(易错题)判断。
(1)计量液体的体积,常用的单位是毫升和升。 ( )
(2)一个木箱的体积和它的容积相等。 ( )
【思维创新】
6.(探究题)一大瓶可口可乐饮料大约为2500毫升,一个杯子大约能装300毫升饮料,淘气和6个同学每人一杯饮料够吗?
【参考答案】
作业1:6.cm3 dm3 L cm3 mL L
作业2:1.(1)体积 (2)升,毫升 2.毫升 L 立方米 立方分米 cm3 平方米 3.(1)cm3 (2)m3(3)L (4)mL 4.B 5.(1)√ (2)? 6.300×7=2100(毫升) 2500毫升>2100毫升 所以够
容积单位
容积单位:立方米、立方分米、立方厘米;
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
《容积单位》是在学生认识了体积单位的基础上进行教学的。在教学设计中,对教材内容进行处理和整合,通过身边可以利用的教学素材,进行演示实验,通过学生的观察、分析和理解,体会容积单位“升和毫升”的实际意义。为了加深学生对升和毫升的理解和掌握,做了两方面的设计。第一方面是在学生了解和掌握了容积单位升和毫升的基础上,列举生活中哪些物体的容积是接近1升或1毫升的;第二方面需拓展延伸,通过实验使学生知道自己的水杯的容积是多少毫升,然后引入学生每天要喝多少毫升的水,使学生体会到数学与生活中的内在联系。
虽然本课内容较少,但操作实验较多,时间的分配有些不合理。
再设计时,要注意时间的分配要有侧重点,为学生突破难点,掌握重点的环节,给予时间上的保障。
【练一练·39页】
1.立方厘米 立方分米 立方米(举例略) 2.cm3 cm3 cm3 dm3 m3 3.mL L L L 4.400 200 5.7 cm3 14 cm3 6 cm3 6.cm3 dm3 L cm3 mL L 7.250 mL 4(答案不唯一)
填上适当的单位。
一个梨的体积约是120( ),
一个鱼缸的体积约是8( ),
一个集装箱的体积约是50( ),
一个水杯的容积约是60( ),
一个微波炉的容积约是30( )。
[名师点拨] 根据1厘米3、1分米3、1米3的实际意义,一个梨的体积较小,用“厘米3”作单位,一个鱼缸的体积较大,所以用“分米3”作单位,一个集装箱的体积更大,用“米3”作单位,一个水杯的容积较小,用“毫升”作单位,一个微波炉的容积较大,应该用“升”作单位。
[解答] 厘米3 分米3 米3 毫升 升
【知识拓展】 计算物体的体积,一定要用体积单位,常用的体积单位有:立方米、立方分米、立方厘米等。计算容积一般用容积单位,如升和毫升,但有时候还与体积单位通用。由于容积单位最大的是“升”,所以计算较大物体的容积时,还是要用“立方米”。升和毫升是计算物体的体积不能用的,它只限于计算液体,如药水、汽油、墨水等。
1立方分米=10升
这天黄狗探长忽然接到报警,不知什么原因红狐狸和小白兔两人在街头争吵起来。
很快,黄狗探长就赶到了现场。
原来妈妈叫小白兔到商店去购买10升的胡萝卜汁,可红狐狸说没有10升的容器了,有个1立方分米的正方体容器刚好可以盛10升的胡萝卜汁。看到红狐狸递给他的10升胡萝卜汁没有印象中那么多,小白兔觉得上当受骗了。
“探长,这里找到一个1升的容器。”一个探员从红狐狸家搜出了一个容器。
“我来帮小白兔验证下,1立方分米究竟是多少升!”黄狗探长拿起装满1立方分米的胡萝卜汁往1升的容器中倒。刚好倒满。
“原来你骗我,1立方分米就等于1升。”小白兔委屈地哭了。
“一般情况下,计量物体的容积就用体积单位。计量液体和气体时候,常用的容积单位就是升和毫升。”黄狗探长给小白兔讲述道,“刚才的1升用体积单位表示就是1立方分米,1毫升就是1立方厘米。”
“1升=1立方分米=1000立方厘米=1000毫升。1升不就等于1000毫升了吗?”小白兔嘀咕着。
“是的,这个容积单位和体积单位一样,相邻两个进率都是1000。1立方米就等于1000升。”黄狗探长又接着补充,“红狐狸就是利用你不认识容积单位和体积单位之间的联系,才能够欺骗到你。”
红狐狸一下子泄气了,等着它的将是它骗人的惩罚。
巧断皇冠
2000多年前,叙拉古的国王命令一个工匠替他打造一顶皇冠.国王给了工匠他所需要数量的黄金。工匠的手艺非常高明,制作的皇冠精巧别致,而且质量跟当初国王所给的黄金一样大。可是,有人向国王报告说:“工匠制造皇冠时,私下吞没了一部分黄金,把同样重的银子掺了进去。”国王听后,也怀疑起来,就把阿基米德找来,让他想办法判定一下。
阿基米德对国王说:“请允许我先做一个实验,才能把结果报告给你。”国王同意了。阿基米德把皇冠放入一个盛满水的桶中,测出溢出水的体积。然后把等质量的纯金也放入这个盛满水的桶中,测出溢出水的体积。发现前者大于后者,说明皇冠的密度比金块的密度小,这就证明皇冠不是用纯金制造的。阿基米德有条理的讲述,使国王信服了。于是国王将那个工匠捉拿归案。
3 长方体的体积
长方体的体积是北师大版小学数学五年级下册第四单元“长方体(二)”的第三节,本节内容重点是引导学生探索长方体体积的计算方法。长方体、正方体体积的计算,是学生形成体积概念,掌握体积的计量单位和计算各种几何形体体积的基础。为此,教科书设计了层层递进的3个问题和“试一试”,让学生经历猜想、操作、实验、验证的思考过程。其中,第一个问题是猜想长方体的体积与什么有关;第二个问题是通过猜想与验证,得出长方体体积的计算公式;第三个问题是探究正方体体积计算公式。“试一试”中的第一个问题是探索长方体、正方体的体积与底面积和高之间的关系;第二个问题是运用第一个问题得出的公式进行计算。
1.结合具体情景和实践活动,探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法,能正确计算长方体、正方体的体积,解决一些简单的实际问题。
2.在观察、操作、探索的过程中,提高动手操作的能力,进一步发展空间观念。
【重点】 运用长方体、正方体的体积计算公式解决一些简单的实际问题。
【难点】 理解长方体、正方体体积公式的推导过程。
第课时 长方体的体积
1.结合具体情景和实践活动,探索长方体和正方体体积公式的推导过程,理解正方体和长方体体积计算公式。
2.初步学会计算长方体和正方体体积,解决一些简单的实际问题。
3.在观察、操作、探索的过程中,提高动手操作的能力,进一步发展空间观念。
【重点】 掌握长方体、正方体体积公式。
【难点】 理解长方体、正方体体积的推导过程。
【教师准备】 PPT课件,小正方体若干。
【学生准备】 练习本。
常用的体积单位和容积单位有哪些?
【参考答案】 常用的体积单位有:立方厘米,立方分米,立方米;常用的容积单位有:升,毫升。
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,今天老师带来了两位“老朋友”来到咱们的班级,你们想不想知道它们是谁呢?
预设 生:(齐答)想……
师:(PPT出示一个长方体和一个正方体)请看,它们是谁?
预设 生:(齐答)长方体和正方体。
师:哪位同学给大家介绍一下你们的“老朋友”有什么特征?
预设 生1:长方体有6个面,8个顶点,12条棱,每个面都是长方形,也可能有2个相对的面是正方形,相对的面面积相等,相对的棱长度相等。
生2:正方体有6个面,8个顶点,12条棱,每个面都是正方形,6个面的面积都相等,所有的棱都相等。
师:介绍的真详细,真不愧是它们的好朋友呀!同学们,刚才我们在来的路上,长方体和正方体它们为谁的体积大而争吵,现在还没分出胜负,你们能不能帮忙评判一下?猜猜谁的体积大。
(学生各抒己见,教师不给予订正)
揭示课题:到底是谁的体积大呢?我们通过计算它们的体积就能知道。这节课我们一起探究长方体的体积。(板书课题:长方体的体积)
[设计意图] 通过教师拟人化的情景创设,激发了学生的学习积极性。通过故事情节的插入,可以活跃课堂气氛,使学生感觉到学习的快乐。
方法二:谈话提问,引入新知
师:同学们,告诉大家一个好消息,我们学校要在5月份举行运动会了,大家一定很高兴吧!学校要在操场上修建一个长方体的沙坑,作为运动会跳远的场地。请大家帮忙算一下,应该买多少沙子?这与我们以前学习过的哪些知识有关系呢(求什么)?
预设 生:和体积有关系,求出买多少沙子,就需求这个沙坑的容积。
师:那么我们怎样来计算长方体体积呢?长方体的体积又跟什么有关系呢?今天我们就来探索长方体、正方体的体积计算方法。
(板书课题:长方体的体积)
[设计意图] 联系生活创设学习情景,使学生感受到数学与生活的关系,培养学生乐于助人,积极向上的品格,同时激发学生学习数学的兴趣和需要。
方法三:实物操作,导入新知
师:同学们,请你们拿出我们课前准备的学具,用4个体积为1立方厘米的正方体,拼在一起,摆成一排。
师:拼成了一个什么图形?
预设 生:长方体。
师:这个长方体的体积是多少?
预设 生:是4立方厘米。
师:你是怎么知道的?
预设 生:因为这个长方体是由4个体积为1立方厘米的小正方体拼成的,所以体积是4立方厘米。
师:如果再加上一个体积为1立方厘米的小正方体,这个长方体的体积是多少立方厘米?
预设 生:这个长方体的体积是5立方厘米。
师:通过操作,你发现体积是4立方厘米和5立方厘米的长方体,哪个体积大呢?
预设 生:5立方厘米的长方体体积较大。
师:请同学们猜测一下,长方体体积大小可能与长方体的哪些要素有关系呢?
(学生进行猜测)
板书课题:长方体的体积。
[设计意图] 把数学教学活动设计建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上,这样引导锻炼了学生动手操作的能力,使学生进行大胆猜测“长方体的体积与长方体的什么有关系”,激发了学生进入新知学习的兴趣,培养了学生参与意识和团队意识。
一、初步体会长方体的体积与长、宽、高的关系
师:我们在学习长方形时,你记得长方形的面积与什么有关系吗?
预设 生:长方形的面积与长和宽有关系。
师:那么,长方体的体积又与什么有关系呢?请同学们观看大屏幕。
(PPT课件动画演示)
长方体的面积与长和宽有关,长方体的体积可能与什么有关?观察下面各图,想一想。
师:你发现了吗?
预设 生1:宽和高不变,长变短了,长方体体积变小了;长变长了,长方体体积变大了。
生2:宽和长不变,高变短了,长方体体积变小了;高变长了,长方体体积变大了。
生3::长和高不变,宽变短了,长方体体积变小了;宽变长了,长方体体积变大了。
师:长方体的体积和什么有关系呢?说一说你们的猜想。
预设 生:长方体的体积大小变化与长方体的长、宽、高有关系。
[设计意图] 通过PPT课件的动画演示,可以让学生直观感受长方体长、宽、高的变化,影响着长方体体积的大小,体会长方体体积与长、宽、高有关系。
二、动手操作,提出猜想
师:我们猜测长方体的体积与长、宽、高有关系,但是具体有怎样的关系呢?下面我们动手做一个实验,来验证我们的猜想。
1.探索长方体的体积计算公式。
(生动手操作:以小组为单位,用一些棱长是1厘米的小正方体摆出3个不同形状的长方体,记录它们的长、宽、高,填在下面的表格中)
长/cm
宽/cm
高/cm
小正方体的个数
长方体的体积
第一个长方体
第二个长方体
第三个长方体
师:通过刚才的探索,我们知道长方体的体积和长、宽、高都有关系,那它们之间到底有什么样的关系呢?(教师手举起一个棱长为1厘米的小正方体)这是棱长为1厘米的小正方体,老师给大家准备了一些这样的小正方体,已经放在你们各小组组长的手中,一会儿你们每个小组利用这些小正方体摆出3个不同的长方体,并把它们的长、宽、高记录在表格中。
师:在动手操作之前,老师想对你们提出几点要求。
(PPT课件出示活动要求)
(1)小组内进行明确分工,要保证每个人都参与活动,都有事做。
(2)小组合作拼摆长方体,拼摆长方体的有关数据填入表格内。
(3)小组内分析数据之间的关系,交流自己的发现,并准备全班交流。
师:我们拼摆长方体的过程中,一排摆几个(长),摆几排(宽),摆几层(高)与表格数据中的长、宽、高有怎样的关系呢,总共的小正方体的个数与长方体的体积又有什么关系呢?
预设 生1:小正方体的个数与长、宽、高的数字是相同的。
生2:拼摆的小正方体个数与长方体的体积数相同。
生3:拼摆的长方体有几个小正方体,体积就是几立方厘米。
……
师:如果老师口述拼摆长方体的过程,你们来操作拼摆,你能说出它的体积吗?
教师口述:一排摆出5个小正方体,摆2排,摆3层。
师:说出它的体积是多少?
预设 生:这个长方体的体积是30立方厘米。
师:老师拼摆长方体的过程,你们不通过实际操作,能够猜想出长方体体积是多少吗?我们来试一试吧!
(师PPT课件出示问题)
(1)一排摆出5个1立方厘米的正方体,一共摆了4排,摆了3层。这个长方体的体积是多少?
(2)一排摆出3个1立方厘米的正方体,一共摆了4排,摆了2层。这个长方体的体积是多少?
预设 生1:问题(1)中这个长方体的体积是60立方厘米。
生2:问题(2)中这个长方体的体积是24立方厘米。
师:你们拿出手中的小正方体,拼一拼,摆一摆,看你们的猜想正确吗?
(学生动手操作,验证自己的猜想)
预设 生:问题(1)中长方体的体积是60立方厘米;问题(2)中长方体的体积是24立方厘米。我们的猜想是正确的。
师:你是怎么知道的?
预设 生1:通过上面的操作我们知道,拼摆出的长方体的体积数与拼摆的小正方体的个数相同,我们求出小正方体的个数,就可以知道长方体的体积。
生2:拼摆长方体的小正方体的个数=长×宽×高。
师:同学们,现在你们知道长方体的体积与什么有关系了吧!那你知道是怎样的关系吗?
预设 生:长方体的体积与长方体的长、宽、高有关系。长方体的体积=长×宽×高。
师:你们同意他的看法吗?
预设 生:(齐答)同意。
师:同学们真了不起,通过猜想、实验、验证总结出了长方体的体积计算公式,在今后我们同样可以采用这种方法来学习。现在我们再一起来归纳一下长方体的体积计算公式。
(教师板书:长方体的体积=长×宽×高)
师:如果长方体体积用V表示,长用a表示,宽用b表示,高用h表示,你能用字母表示出长方体的体积计算公式吗?
预设 生:长方体的体积公式用字母表示为V=a×b×h=abh。
(教师板书:V=a×b×h=abh)
[设计意图] 创设合理的学习情景,是为了培养学生自学、自主探究的能力。学生在经历合作、探究、操作、验证的过程后,对自己探究出来的结论印象更深、理解更透彻,学生在和谐、平等的氛围中,既有分工又有合作,从而大大地调动了学生学习的积极性,使学生参与到探究的活动中去,这样的设计有利于培养学生实际操作能力,为发展空间观念创造了契机,并从中体现出人人都能获得必要的数学知识。
2.验证训练。(多媒体出示练习题)
一个长方体长7厘米、宽4厘米、高3厘米,它的体积是多少立方厘米?
师:我们推导出长方体的体积公式了,能不能利用公式解决问题呢?
预设 生:能。
师:请大家完成这道题,愿意在小黑板上展示的请到黑板完成,其他同学先自己完成,然后组内交流。(师生共同订正)
3.探索正方体的体积计算公式。
师:长方体的体积公式我们推导出来了,那么正方体的体积公式呢?请大家根据探究活动小组讨论交流。
(PPT课件出示究活动问题)
①正方体和长方体有什么联系和区别?
②你能写出正方体的体积公式吗?
正方体的体积=( )。
学生活动:小组合作,通过类比推理,探究正方体体积的计算方法。
师:请把你们的成果张贴在各自的小黑板上,哪个小组愿意先汇报你们的研究成果?
预设 生:正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师:你们是怎样推导出来的,说说你的想法?
预设 生:因为正方体是一个长、宽、高都相等的特殊长方体,可以根据长方体的体积计算公式“长方体的体积=长×宽×高”计算正方体的体积,在正方体中“长×宽×高”就是正方体的“棱长×棱长×棱长”。
(教师板书:正方体的体积=棱长×棱长×棱长)
师:如果正方体体积用V表示,棱长用a表示,你能用字母表示出正方体的体积计算公式吗?
预设 生:正方体的体积公式用字母表示为V=a×a×a。
(教师板书:V=a×a×a)
师:3个a连续相乘,我们可以把它写成“a3”,读作:a的立方。
(教师领读,加深学生的记忆)
教师完善板书:正方体体积=棱长3=a3。
[设计意图] 根据长方体的体积计算公式,学生不难推算出正方体的体积计算公式,此环节的设计,教师放开手,给学生思考的空间,让学生自己发现问题,得出结论,感受成功的喜悦,从而树立学生学习的自信心。
4.验证训练。(每小组派一个代表在小黑板展示,各小组长根据答案互批)
PPT课件出示:一块正方体石料,棱长是10 dm,这块石料的体积是多少立方分米?
【参考答案】 1000 dm3。
三、解决问题,及时巩固
(1)利用公式,回归解决“猜想”。
师:同学们,经过大家观察、操作,探索得出了长方体和正方体的体积公式,那快来帮帮我们的“老朋友”解决问题吧!
(PPT课件再次出示“老朋友”,请计算它们的体积)
预设 生:不能计算。
师:为什么?
预设 生:不知道长方体的长、宽、高和正方体的棱长是多少。
师:你们真棒!是的,要求长方体的体积必须知道长、宽、高。
(PPT课件再次出示长、宽、高和棱长数据)
师:这样能计算了吧!
(学生计算,集体订正,解决“老朋友”之间的矛盾)
【参考答案】 360 cm3 512 cm3
1.我能判(判断对错)。
(1)一个棱长为6分米的正方体,它的表面积和体积相等。 ( )
(2)一个长方体,长5分米,宽4分米,高3厘米,它的体积是60立方分米。 ( )
(3)一个正方体的棱长是2米,它的体积是8立方米。 ( )
(4)3n=n×n×n ( )
(5)一个长方体,长、宽、高都扩大为原来的2倍,体积也扩大为原来的2倍。 ( )
2.我会做(解决实际问题)。
(1)一种长方体木料,长9 dm,宽6 dm,高2 dm。8根这样的木料体积是多少?
(2)一块正方体的石料,棱长是7分米,这块石料的体积是多少立方分米?如果1立方分米石料重2.7千克,这块石料重多少千克?
【参考答案】 1.(1)? (2)? (3)√ (4)?(5)? 2.(1)9×6×2×8=864(dm3) (2)73=343(立方分米) 343×2.7=926.1(千克)
[设计意图] 练习是强化新知的最好手段,为了让学生真正理解新知,在概念的要点及知识易混淆处设计了不同形式的练习,加强学生对新知的掌握。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了长方体的体积=长×宽×高,用字母表示是V=a×b×h=abh。
生2:我知道了正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示是V=a×a×a=a3。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握。
作业1
教材第48页“练习四”第3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算下面图形的体积。
2.(易错题)想一想,填一填。
(1)一个长方体的长是9厘米,宽是6厘米,高是3厘米,它的棱长之和是( )厘米,表面积是( )厘米2,体积是( )厘米3。
(2)棱长是5厘米的正方体盒子,它的体积是( )厘米3。
(3)一个长方体的体积是72分米3,长是8分米,宽是3分米,高是( )分米。
3.(重点题)一个长方体木块,长是12厘米,宽是10厘米,高是8厘米,这个长方体木块的体积是多少立方厘米?
【提升培优】
4.(重点题)填一填。
长(正)方体
长(米)
5
7
5
宽(米)
4
7
10
高(米)
3
7
4
7
体积(立方米)
120
840
5.(情景题)实验小学修一个长80 m、宽50 m的长方形操场,先铺10 cm厚的三合土,再铺4 cm厚的煤渣,需要三合土和煤渣各多少立方米?
【思维创新】
6.(变式题)有一个长方体木块,底面是一个正方形,正方形的边长是2 dm,这个木块的体积是85.6 dm3,则这个木块的高是多少分米?
7.(探究题)在一个从里面量长15分米、宽12分米的长方体水箱中,有10分米深的水,如果在水中完全浸入一个棱长为3分米的正方体铁块,那么水箱中水深为多少分米?(水不会溢出)
【参考答案】
作业1:3.12×5×6=360(cm3) 9×9×9=729(cm3) 22×10×8=1760(cm3) 4.12×13×12×14×12=144(cm3)
作业2:1.(1)2160 cm3 (2)216 cm3 2.(1)72 198 162 (2)125 (3)3 3.960厘米3 4.填表如下:
长(正)方体
长(米)
5
7
5
12
宽(米)
4
7
6
10
高(米)
3
7
4
7
体积(立方米)
60
343
120
840
5.10 cm=0.1 m 80×50×0.1=400(m3) 4 cm=0.04 m 80×50×0.04=160(m3) 6.21.4 dm 7.10.15分米
长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高
V=a×b×h=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a=a3
在本课的教学中,让学生从生活实际需要中体会长方体体积和正方体体积在生活中的应用,从而产生研究长方体体积的计算方法的需求,通过观察生活中的事物,发现长方体体积的计算方法,通过观察生活中的事物,发现长方体的体积与长、宽、高有关系,提出猜想,确定研究的方向。
在设计时,要注意时间的分配,加强学生的学习训练。
组织学生以小组为单位,动手操作研究,来验证猜想的正确性。使学生经历知识的建构过程,通过运用长方体体积计算的方法解决生活中的实际问题,体会数学来源于生活,运用于生活。
如图是一个长方体水箱,最多能盛水( )L。
[名师点拨] 容器所能容纳的别的物体的体积叫做容器的容积,容积和体积的计算方法相同,根据长方体的体积(容积)公式V=abh,求出它的容积是多少立方厘米,再根据容积单位与体积单位之间的关系,1升=1立方分米=1000立方厘米,将体积单位换算成容积单位即可。
[解答] 60×40×50=120000(cm3),120000 cm3=120 L。故填120。
一个正方形蓄水池,从池中测量,蓄水池的棱长是5米,这个蓄水池能装多少升水?
[名师点拨] 容器所能容纳的别的物体的体积叫做容器的容积,容积和体积的计算方法相同,根据正方体的体积(容积)公式V=a3,求出它的容积是多少立方米,再根据容积单位与体积单位之间的关系,1立方米=1000立方分米=1000升,将体积单位换算成容积单位即可。
[解答] 5×5×5=75(立方米)
75立方米=75000升
答:这个蓄水池能装75000升水。
【知识拓展】 在通常计算物体的体积和容积时,物体本身的材质往往忽略不计,物体的体积和容积计算方法也是近似相同的,可以利用计算体积的公式计算物体的容积,也可以利用计算物体容积的方法计算物体的体积。
画图作用大
放学回家,我和妹妹放下书包就开始进行家庭作业比赛,看谁先写完。“这题目怎么写?缺少条件呢。”妹妹嘴里小声嘀咕着。爸爸听到了,走过来笑着问:“什么题目难住你了,让我来帮你。”妹妹指着作业本上最后一题说:“一个长方体的体积是60立方米,如果长增加13,宽和高都不变,长方体的体积是多少立方米?”“长、宽、高什么都没有告诉我们,这个可怎么求?”我凑上一看,原来是我刚完成的题目。爸爸笑着说:“正好,你们一起来听听这个题目怎么写。”“长方体的体积=长×宽×高,也就是说原来长方体的体积就是长×宽×高=60(立方米)。现在长增加了13,那现在的长和原来的长什么关系呢?”爸爸问。“把原来的长看成3份,增加了13,说明现在的长是原来长的1+13=43。”妹妹说。“对,现在的长是原来长的43。现在的体积还是用现在的长×现在的宽×现在的高,宽和高和原来一样,现在长是原来的长的43,所以体积和原来相比较,用43×长×宽×高。这个长×宽×高就是原来的体积计算公式。”说着,爸爸狠狠地在“长×宽×高”上画了个圈。“长×宽×高=60(立方米),现在长方体体积就应该是43×60=80(立方米)。明白吗?这个叫做整体代入!”爸爸得意地说。爸爸看我摇头,有点着急了。“不行,我用绝招。长、宽、高不知道,我们就来假设是个具体数,乘积凑成60。”爸爸想了想说,“假设原来长6米,宽2米,高就是60÷(6×2)=5(米)。然后把原来的长6米,增加13,现在的长就是8米,宽和高不变,现在的体积就是8×2×5=80(立方米)。”“随便假设就行了?”妹妹问。“当然不是随便假设,是根据体积和题意进行合理的假设,便于我们计算方便。我再假设一次,假设原来的长是3米,宽是2米,高就是10米,把长增加了13,长就是4米,宽和高依然不变,所以现在的体积是4×2×10=80(立方米)。现在体积还是80立方米。”
爸爸看看妹妹还是一脸的愁容,自己也愁了起来。
“妹妹,看我的。”我拿起笔画起了图1,边画边说:“把长增加13,就是把它原来的长分成3份,现在长就变成了4份,前后体积看出变化没?(图2)”
图1
图2
“现在的体积是原来体积的43。”妹妹看出来了。“原来的体积是60立方米,平均分成3份,每份就是20立方米,现在体积变成4份,你说体积是多少呢?”
“太棒了,我看出来了,现在体积是80立方米。画图的方法真好!”妹妹兴奋地跳了起来。
旁边的爸爸也向我竖起了大拇指。
第课时 长方体和正方体体积统一计算公式
1.结合具体情景和实践活动,通过长方体、正方体体积的计算方法,探索长方体、正方体体积与底面积和高之间的关系,掌握长方体(正方体)体积=底面积×高的计算方法,能够解决一些生活中的实际问题。
2.在观察、操作、探索的过程中,提高学生动手操作及合作学习能力,培养迁移、类推能力和抽象概括能力,进一步发展学生的空间观念。
【重点】 理解长方体、正方体体积与底面积和高的关系;掌握长方体与正方体体积统一计算公式。
【难点】 理解长方体与正方体体积统一计算公式的过程。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
长方体、正方体的体积公式是什么?
【参考答案】 长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长3。
方法一:复习提问,引入新课
师:上一节课我们学习了长方体和正方体体积的计算。长方体和正方体体积计算公式是什么?
预设 生:长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长×棱长×棱长。
教师板书:长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长×棱长×棱长。
师:那你们能够运用所学知识解决一些实际问题吗?现在老师想考考大家,请看大屏幕。
PPT课件出示练习:
(1)一个长方体的长是10厘米,宽是8分米,高是5分米,它的体积是多少立方分米?
(2)一个正方体的棱长是4厘米,它的体积是多少立方厘米?
(指名学生上黑板解答)
课题揭示:长方体和正方体的体积除了以上的计算方法以外,还有别的计算方法吗?今天我们就来接着学习长方体和正方体体积的另一种计算方法。
板书课题:长方体和正方体体积统一计算公式。
[设计意图] 通过对上节课的温习,引出今天要学习的任务。使学生体会解决问题方法的多样性,培养学生的探究精神。
方法二:利用课件,引入新知
1.PPT课件出示:
师:这是什么图形?
预设 生:长方体。
师:(教师微笑着说)这个问题没有什么难度。对,“长方体”是我们的“老朋友”,要计算它的体积必须知道什么?如何计算它的体积?
预设 生:计算长方体的体积要知道长方体的长、宽、高,通过长方体体积计算公式“长方体的体积=长×宽×高”计算长方体的体积。
教师板书:长方体的体积=长×宽×高。
2.PPT课件再出示:
师:这又是什么图形?这个图形有什么特征?
预设 生:是正方体,正方体每个面的面积都相等,每条棱的长都相等。
师:如何计算正方体的体积呢?
(根据学生回答,教师板书)
教师板书:正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师:你还能用其他的方法来计算出它们的体积吗?今天我们继续来研究它们的体积公式。
板书课题:长方体和正方体体积统一计算公式。
[设计意图] 通过复习长方体、正方体的体积公式,质疑还有没有其他的计算方法,打开学生的思维,展开想象,为新知的学习做好铺垫。
方法三:激发情感,导入新知
PPT课件展示:
西汉末年我国古代数学家编撰了一本不朽的传世名著《九章算术》。
这本书共九章,其中一章叫商功章,它收集的都是一些有关体积计算的问题。书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的:“方自乘,以高乘之即积尺。”就是说,先用边长乘边长得底面积,再乘高就得到长方体的体积。
师:这段话你明白多少?今天我们就来研究这样的问题。
板书课题:长方体和正方体体积统一计算公式。
[设计意图] 通过我国的历史文化,激发学生的民族自豪感和爱国主义情感,从而激发了学生的求知欲望。
活动一:计算体积,感知底面积
师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了长方体和正方体体积计算公式,并能根据计算公式解决一些简单的实际问题,在没讲新课前,我们来温习一下,请同学们看大屏幕。
PPT课件出示教材情景图:
先算一算下列图形的体积,再读一读,想一想。(单位:dm)
师:你们能独立完成这次任务吗?老师相信你们!你们一定有这个能力,加油!
(学生动手计算,也可以按小组分配,每个小组完成一个图形计算,然后汇报计算结果)
预设 生1:图一:长方体的体积。
5×3×4=60(dm3)。
生2:图二:长方体的体积。
2×2×6=24(dm3)。
生3:图三:正方体的体积。
3×3×3=27(dm3)。
师:同学们计算得真快,看来同学们对知识掌握得很扎实。那么,同学们还记得《九章算术》吗?
PPT课件再次出示《九章算术》部分内容:
书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的:“方自乘,以高乘之即积尺。”就是说,先用边长乘边长得底面积,再乘高就得到长方体的体积。
师:看完这段叙述,你想到什么?这段文字中描述的长方体有什么特征?底面积指的是哪一个面的面积?
1.认识“底面”。
(1)引出“底面”概念。
师:同学们,在老师刚才让你们计算长方体、正方体体积的直观图上,用颜色标注它们的底面。你们知道什么是底面吗?
同桌探讨,交流得出:
预设 生:“底面”一般指长方体、正方体的下面。
PPT课件出示长方体和正方体。
师:你能指出长方体或正方体的底面吗?(教师随意翻动长方体和正方体模型,让学生说说它们的底面各是哪个面)
师:长方体和正方体底面是相对的,是由摆放的方式决定的。
(2)巩固对底面的认识。
教师出示:粉笔盒、纸巾盒等教具,让学生指出其底面。
(学生活动,教师给予指正)
[设计意图] 认识“底面”,是计算底面积和计算体积的关键所在,本环节在学生复习了已学的长方体和正方体体积公式的基础上,并用三幅图引出底面,让学生感受知识就在身边,同时也为研究体积公式“底面积×高”奠定了知识基础,让学生体会知识之间的内在联系。
2.认识底面积。
师:同学们已经认识了长方体和正方体的底面,那什么是它们的底面积呢?
(交流得出长方体和正方体底面积。如果学生交流不能得出长方体和正方体的底面积,教师要指出底面积)
预设 生:长方体和正方体底面的面积叫做它们的底面积。
师:那么,长方体的底面积如何计算?正方体的底面积如何计算?
(学生小组交流,讨论)
学生成果展示:
预设 生:长方体的底面积=长×宽,正方体的底面积=棱长×棱长。
PPT课件演示,加深学生对底面积的理解。
教师板书:长方体的底面积=长×宽,正方体的底面积=棱长×棱长。
活动二、教学长方体、正方体体积统一公式
1.演变原来的体积公式。
师:学到这儿,你能想到用其他什么方法来计算长方体和正方体的体积吗?
学生同桌探讨,再全班交流得出:
长方体体积=长×宽×高长方体底面积=长×宽长方体体积=底面积×高
正方体体积=棱长×棱长×棱长正方体底面积=棱长×棱长正方体体积=底面积×高
教师板书:长方体(或正方体)体积=底面积×高。
师:如果用S表示底面积,用字母板书上面的公式可以写成什么?
预设 生:V=Sh。
教师板书:V=Sh。
[设计意图] 学生主动经历推导过程,利用长方体体积=长×宽×高和长方体底面积=长×宽推导出长方体体积=底面积×高,在推导正方体体积=底面积×高时,演绎推理能完成推导,因为正方体具有长方体的所有特征,或者用类比推理也能完成,并利用了简单明了的图示,帮助学生顺利完成探索,初步培养学生的逻辑推理能力。体积公式都能演变成“底面积×高”,获得了统一,其本身是一次认知简化。
2.计算长方体、正方体的体积。
师:同学们,现在我们把刚才的两个长方体和一个正方体,转换一下,换一个底面,你们能够计算吗?请看大屏幕。
PPT课件出示转换后的图形:(单位:dm)
(学生独立完成计算,教师巡视)
师:你们这次计算的结果与前面计算的结果一致吗?
预设 生:一致,结果都是一样的。
[设计意图] 充分挖掘教材,在得出体积公式“底面积×高”后,教学此内容,巩固了长方体、正方体的体积公式,从而对体积公式有更充实、更丰富的体验。
活动三、填一填
师:长方体和正方体的体积=底面积×高。用字母表示为V=Sh。接下来请同学们利用这个公式完成下面表格的填写。请看大屏幕,你们可以完成这个表格,对吗?
预设 生:是。
师:PPT课件出示:
填一填。
长方体
底面积/cm2
10
25
9
高/cm
8
6
7
体积/cm3
105
37.8
(学生思考并计算,然后汇报成果,教师根据学生汇报进行PPT课件演示)
填一填。
长方体
底面积/cm2
10
25
15
9
高/cm
8
6
7
4.2
体积/cm3
80
150
105
37.8
师:谁能说一说,你是怎样计算的?
(学生汇报)
[设计意图] 通过本环节的练习,让学生知道已知体积和高,如何求底面积;知道体积和底面积,如何求高。通过这些逆向问题的解决,加深学生对长方体和正方体体积计算的理解和掌握。
师:同学们,对今天的学习,你们掌握了吗?下面我们开始闯关吧!
1.完成教材第42页“练一练”第4题。
2.完成教材第42页“练一练”第5题。
3.完成教材第42页“练一练”第6题。
4.完成教材第42页“练一练”第7题。
5.完成教材第42页“练一练”第8题。
6.完成教材第42页“练一练”第9题。
【参考答案】 1.30÷6=5(m) 2.12×6×2=144(L) 3.(60÷15)×(30÷3)×(30÷3)=400(盒) 4.3×3×3=27(cm3) 5.3×2.2×2=13.2(m3) 6.(1)估计长方体的体积要先估计它的长、宽、高的长度,再用长×宽×高计算出体积。 (2)先测量长方体橡皮的长、宽、高,并计算1000块长方体橡皮的体积,再根据总体积=长×宽×高设计长方体盒子的长、宽、高。注意长、宽、高要分别是橡皮长、宽、高的倍数。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了长方体(或正方体)体积=底面积×高,用字母表示为V=Sh。
生2:我知道了根据长方体(或正方体)体积=底面积×高,可以进行互逆运算。
生3:掌握了长方体(或正方体)体积=底面积×高,计算长方体或正方体的体积,就更加简便了。
……
[设计意图] 对本节课的学习做一个简单的回顾整理,形成基本的知识网络,整理学习思路,为后面的学习打好基础。
作业1
教材第48页“练习四”第2,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)长(正)方体的体积=( )×( ),用字母表示为V=( )。
(2)用棱长为1厘米的小正方体木块拼成一个较大的正方体,至少要( )个这样的小木块才能拼成一个正方体。
(3)一个正方体棱长扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的( )倍。
(4)一个正方体的棱长和是12分米,它的体积是( )立方分米。
2.(重点题)把一个棱长为6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭,这个长方体长9分米,宽4分米,求这个长方体钢锭高多少分米。
【培优提升】
3.(难点题)有一个棱长是6分米的正方体水箱,装
满水后,倒入一个长方体水箱内,量得水深3分米,这个长方体水箱的底面积是多少?
4.(创新题)有一个棱长为4 cm的正方体,从它的右上方截去一个长、宽、高分别为4 cm,2 cm,1 cm的长方体(如下图),求剩下部分的体积。
【思维创新】
5.(探究题)一个长方体,如果高增加3厘米,就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米?
【参考答案】
作业1:2.cm3 cm3 dm3 m3 7.6×6×6=216(cm2) 6×6×6=216(cm3)
作业2:1.(1)底面积 高 Sh (2)8 (3)8 (4)12.6×6×6=216(立方分米) 216÷(9×4)=6(分米) 3.6×6×6=216(立方分米) 216÷3=72(平方分米) 4.4×4×4-4×2×1=56(cm3) 5.96÷4=24(平方厘米) 24÷3=8(厘米) 8×8×(8-3)=320(立方厘米)
长方体和正方体体积统一计算公式
长方体(或正方体)体积=底面积×高
长方体和正方体体积统一计算公式是北师大版五年级下册第四单元的第三节第2课时,这节课的重点是掌握物体的体积与底面积和高之间的关系,发展学生的空间观念。
本节课教学之前,学生已经掌握了长方体体积和正方体体积的计算公式,为了沟通这两个公式之间的联系,减轻学生记忆的负担,培养学生的抽象概括能力,为以后学习柱体体积计算公式打下基础,本节课学习长方体和正方体体积统一计算公式的设计突出以下几点:
以中华民族的灿烂数学成果引入新课。本节课根据所学知识内容将《九章算术》制成课件,略拓宽一些知识面,使学生知道两千多年前,我国古代数学家就明白怎么计算长(正)方体体积了,激发学生学好数学知识的情感。
组织学生围绕本节课内容积极开展探究活动。本节课在引入新课阶段根据史料提供的史实和学生的知识基础提出了开放型、探究型的问题,让学生的活动围绕着这个问题展开。使学生思考、交流并为推出长方体、正方体的体积统一计算公式起了一个导航的作用。它加深了学生对长方体、正方体特征之间的关系的认识,渗透了几何变换的思想方法。
应用现代信息技术手段突破教学中的难点。立体几何知识一直是学生学习的一个难点,从小学到高中都是如此。学习立体几何知识难就难在空间观念的建立。本节课中充分应用所制作的课件,使学生在动态中直观认识什么是“底面”,因此,本课中的难点在现代信息手段中也就变得通俗易懂了。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:课堂练习不够,题型都是以教材为主。
在设计时,要注意设计过程中练习题的新颖,调动学生的学习兴趣。
【练一练·42页】
1.用单位正方体摆出长方体、正方体,单位正方体的个数就是长方体、正方体的体积。 3.3×2×2=12 (cm
本单元是在学生直观认识长方体、正方体的特点,认识了长方体、正方体以及它们的展开图,理解了长方体、正方体表面积的含义及其计算方法的基础上来展开学习的。长方体、正方体是最基本的立体图形,是研究其他立体图形的基础,而长方体、正方体体积的计算,是学生形成体积概念、掌握体积的计量单位和计算各种几何图形体体积的基础。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。
1.在观察、比较、实验的活动中,体会并理解体积和容积的意义。
体积与容积也是比较抽象的概念,教科书中是让学生在充分体验的基础上理解它们的意义。教科书首先借助学生已有的生活经验,让学生交流物体的大小和容器盛放东西的多少,感受物体有大有小,容器盛放的物体有多有少。然后,教科书围绕“土豆和红薯哪一个占的空间大”的问题,引导学生开展实验活动。在活动中发现两个物体放入水中后都占据了一定的空间,而且通过观察水面上升的高度不一样,说明这两个物体所占空间的大小不一样。这样使生活经验和动手实验相结合,在学生有了比较充分的感受之后,教科书才揭示出体积的概念。随后,教科书又通过引导学生实验研究“哪个杯子装水多”,在学生感受容器容纳物体体积的大小的基础上,揭示容积的概念。教科书还设计了丰富的练习题目,使学生进一步体会体积和容积的意义。
2.密切联系生活实际,感受体积、容积单位的实际意义。
重视对测量单位实际意义的体会是本套教科书的重要特点。本单元教科书通过动手操作、寻找生活中相应体积的物体等活动,引导学生把体积、容积单位与生活中熟悉的事物建立关系,从而感受1立方厘米、1立方分米、1立方米、1升、1毫升的实际意义。
如:学习立方厘米,立方分米,立方米时,在结合直观模型引入体积单位的基础上,教科书安排了“做一做”“看一看”的活动,活动中安排了“用橡皮泥切出一个体积是1立方厘米的正方体”,“用硬纸板做一个体积是1立方分米的正方体盒子”,“用米尺搭出一个1立方米的空间”等活动。接着,又让学生说说生活中哪些物体的体积大约为1立方厘米,1立方分米,1立方米,引导学生观察、比较、交流,加强学生对体积单位的实际感受。
又如,在学习升和毫升时,教科书再结合实物引导学生认识升、毫升后,设计了“看一看,做一做”的活动,呈现了学生常见的“饭盒能装1立方分米的水”“1毫升的水大约有20滴”的信息,使学生感受升、毫升的实际意义、建立测量单位与生活经验的联系。
3.以学生自主探索为主线,探究长方体、正方体体积的计算方法及不规则物体体积的测量方法。
教科书重视引导学生经历知识的探究过程,引导学生探索长方体体积的计算方法。教科书首先安排了长方体体积与长方形面积的类比,由此启发学生猜测长方体的体积可能与长、宽、高有关;然后变化长方体的长、宽、高中的一个量,比较体积的变化,使学生分别体会到“宽、高不变,长变短了,体积变小了”“长、高不变,宽变短了,体积变小了”“长、宽不变,高变小了,体积变小了”。究竟长方体的体积与长、宽、高有什么关系呢?教科书接着安排操作活动,引导学生用小正方体摆3个不同的长方体,并记下长、宽、高等有关数据。通过观察、分析这些数据,发现长方体体积与长、宽、高的关系,逐步归纳得出长方体体积的计算方法。
“测量不规则物体的体积”既有助于学生进一步理解体积的含义,又能帮助学生发展解决实际问题的能力。为了引导学生探索测量不规则物体体积的方法,教科书安排了“测量石块的体积”的实验活动。教科书中呈现的两种测量石块体积的方法,都是紧紧围绕体积的意义展开的,实际上都是把不规则石块的体积转化成了可测量的水的体积。把未知转化为已知来解决问题,这是解决问题的一个重要的思想方法。
1.通过操作活动,理解体积,容积的含义。认识体积、容积的计量单位(立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升),会进行单位之间的换算,感受1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的实际意义。
2.在解决实际问题的过程中,探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法,探索某些不规则物体体积的测量方法,能解决一些简单的实际问题。
在参与观察、实验、猜想、证明等活动中,发展演绎推理能力。在观察、操作等活动中,进一步发展动手操作能力和空间观念。
综合运用长方体体积的计算方法解决简单的实际问题,体验解决问题方法的多样性,发展创新意识。
积极参与操作活动,对数学有好奇心和求知欲,体会数学的特点,了解数学的价值。
【重点】 理解体积和容积的意义以及计算公式的推导过程,并能应用计算公式求体积和容积。
【难点】 能利用所学知识解决实际问题。
根据新课标的要求,数学教学必须建立在学生认知水平和已有经验的基础上。由于学生空间想象力的水平有限,教学要更加注重丰富学生对知识的感知,让学生手、眼、脑、口并用,调动多种感官参与学习,丰富学生的感性认识。建立有关体积和容积的正确表象,从而切实掌握所学的知识,为以后的进一步学习做好铺垫。《数学课程标准》还指出:教师应激发学生学习的积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在动手操作、自主探究,合作交流中真正理解和掌握数学知识。因此,我们可以采用创设情景法、引导发现法、组织练习法,开展丰富多彩的数学活动。在活动中,激发学生的探索欲望,培养学生的创新精神与合作意识。体现以学生为主体,以教师为主导的教学理念。教师的“教”应适应学生的“学”,而学生的学又离不开教师的指导。教学方法应用在教学过程之中,要符合知识的科学性,还要适合学生的认识规律,才能使学生理解并掌握知识。
在学习方法上,首先,因为体积和容积的概念较为抽象,学生在理解上有一定的困难,而且它们之间的联系和区别也是教学难点。要突破这一难点,就要突出它们的实践性,学生应该在体验、感知中学习知识。可以从熟悉的实物出发,通过对物体、模型等的观察、动手实验等活动,增强感性认识,在已知和未知之间架起一座沟通的桥梁,从而自主建构正确的概念。其次,学习体积和容积单位时,学生应注重亲身感知实物,在动手实践中自主探索,强化对1立方厘米、1立方分米、1立方米的理解,并初步感知1立方厘米,1立方分米,1立方米的大小。通过实验来理解并掌握容积单位和体积单位之间的换算。
1 体积与容积
《体积与容积》是北师大版小学数学五年级下册第四单元“长方体(二)”的第一课时,本节主要知识内容是物体体积与容积的学习。本节课的学习是在学生认识了长方体和正方体的特点以及长方体和正方体的表面积的基础上进行学习的。这一内容是进一步学习体积的计算方法等知识的基础,也是发展学生空间观念的重要载体,教科书创设了多种操作活动,设计了三个问题,第一个问题举例说明教室里物品占空间大小有差别,常见的容器放东西的多少有不同;第二个问题是认识什么是物体的体积;第三个问题是什么是容器的容积。学习内容的宗旨是引导学生经历观察、比较、分析、归纳、概括的过程,体验与感悟体积与容积的含义,唤醒学生已有的生活经验,感受学习体积和容积的必要性,进一步发展学生的空间观念。
1.通过具体的实践活动,了解体积和容积的实际含义,初步理解体积和容积的概念。
2.在操作、交流中,感受物体体积的大小,进一步发展学生的空间观念。
3.在实验探索的过程中,经历观察、比较、分析、概括的过程,从中体会体积与容积的区别与联系,发展学生的数学应用意识。
【重点】 理解体积和容积的含义。
【难点】 体积和容积的联系与区别。
【教师准备】 PPT课件,橡皮泥、容积一样的烧杯、土豆、红薯若干。
【学生准备】 练习本。
1.求长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米的长方体表面积。
2.求棱长是1厘米的正方体的表面积。
【参考答案】 1.94平方厘米 2.6平方厘米
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们一定听过《乌鸦喝水》的故事。在这个故事中乌鸦是用数学方法来解决问题的。你们想知道乌鸦用了什么数学方法吗?下面我们再来欣赏一下乌鸦喝水的故事吧!
师生欣赏《乌鸦喝水》片段(或欣赏课件)。
学生思考:乌鸦为什么能喝到水了?
师:看完了,老师想问“乌鸦为什么能喝到水了”?
预设 生:乌鸦往瓶子里扔入许多石子,使瓶子中的水面升高了,所以乌鸦喝到了水。
师:水面为什么会升高呢?
预设 生:因为石子占据了水的空间,使水面升高了。
师:说明石子是占有一定空间的,石子的投入挤压了水的位置,水面慢慢升高了。今天老师带领大家认识两位新朋友——《体积与容积》。
(板书课题:体积与容积)
[设计意图] 通过“乌鸦喝水”的情景创设和教师问题的引导,激发了学生的学习兴趣,从思考解决问题的过程中,体会生活与数学的关系。一方面“乌鸦喝水”的情景故事贴近学生的生活实际,可以促进学生的学习积极性。另一方面,通过乌鸦喝水的情景故事,学生初步体会生活与数学的关系,发展学生的空间观念。
方法二:谈话交流、引入新知。
师:(面带微笑)和同学们相处这么久了,你们能描述一下老师的体型吗?
(大家叽叽喳喳地说,教师组织课堂,让学生大胆描述,指名回答)
预设 生:老师您高高的,瘦瘦的。
师:(请一名胖胖的同学走上台)现在请同学们仔细观察,我们两个人谁的体积大?谁的体积小呢?
预设 生1:老师,我认为老师的体积比较大,因为老师长得高。
生2:不对,我认为这位同学(胖胖的同学)的体积比较大,因为他比较胖。
生3:我也认为这位同学的体积比较大,因为它比较重。
……
(学生用高矮,胖瘦,轻重来描述体积大小,于是,教师顺应学生的思路提出学习建议)
师:通过同学们的回答,老师知道了,你们认为体积大小可能与高矮、胖瘦、轻重有关系,但是要解决这个问题,我们首先要理解体积的意义,你们认为如何呢?
(大家点头表示同意)
[设计意图] 通过老师与学生体型的对比,让学生初步产生对体积的理解,再通过学生对同一问题的不同回答,出现分歧,激发了学生探求真知的欲望及学习兴趣,想知道“什么是体积”“体积的大小跟什么有关系”等,使学生在模糊中感受学习体积的必要性。
方法三:课件演示,导入新知。
师:(手拿一瓶饮料)同学们,老师拿的是什么?
预设 生:饮料。
师:饮料的商标上标有很多小字,老师有些看不清,哪些同学愿意帮助老师看一看?
(学生帮助老师认清标签上的字)
师:上面都标注了哪些有关饮料的信息?
预设 生1:上面标有饮料的原材料。
生2:上面还标有“1 L”。
……
师:“1 L”表示什么?
预设 生:表示这个饮料瓶中可以装多少饮料。
师:饮料瓶中可以装多少饮料在我们数学中有一个数学名词,它叫做什么呢?今天我们就来学习这个内容。同学们一定要认真听,认真学习。
(板书课题:体积与容积)
[设计意图] 通过“饮料瓶装多少饮料”引入课题,通过学生的原有认知,已有的经验,能够感知“L”表示的是瓶子的容积,从中能感受数学与生活之间的联系,为下面的学习打好基础。
活动一:在实验中探索体积的意义
师:同学们,到底什么是体积啊?有什么办法来帮助我们理解体积的含义呢?
(问题一出,教室里立刻安静了,学生开始积极思考了,教师静静地等待着……)
预设 生:老师,我们找不到解决问题的答案,你能告诉我们吗?
师:(老师微微一笑)你们不是有一个学习的好助手吗?找它来帮忙啊!
(学生你瞅瞅我,我瞅瞅你,有些糊涂)
师:教科书啊!
(学生恍然大悟,打开教科书,开始学习,很快就找到了解决问题的答案)
预设 生1:老师我知道什么是物体的体积了。
师:你来说一说,什么是物体的体积?
生1:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
师:什么是物体所占空间大小呢?
(学生摇头表示不知道)
师:下面我们做个实验,帮助我们来理解。
(老师把给学生准备的材料(量杯和土豆)分发给每个小组,请同学们进行实验,老师在一旁指导)
教师PPT课件出示试验步骤:
(1)量杯中倒入适量的水;
(2)将土豆放在装有水的量杯里面;
(3)观察现象。
师:同学们,通过观察你发现了什么?
预设 生:老师我发现量杯里的水位升高了。
师:为什么水位会上升呢?
预设 生:这说明土豆占了水的空间。
师:“土豆占了水的空间”,你发现的这个问题很有价值,如果不把土豆放在量杯的水中,土豆还会占空间吗?
预设 生1:土豆也会占空间,它占了空气的空间,只是我们眼睛看不到它占了多少,放在水里就清楚了。
生2:我也同意生1的说法,土豆在空气中一定占据空间。
……
(教师板书:占空间)
[设计意图] 通过试验,使学生感受一切物体都会有一定的空间,学生对体积有了初步的认识。
师:(手拿体积不同的土豆和红薯(红薯大一些))你有办法知道土豆和红薯的体积哪个大,哪个小吗?
预设 生1:那还不容易,把土豆和红薯分别放在两个装有水的量杯里,看哪个量杯的水位提升的高一些,那一个物体的体积就大了些,另一个就比较小。
生2:老师,我补充一下,两个量杯的大小和水的多少要一样(相同)。
师:如果我们要做这样的实验,还需要做哪些准备?
(引导学生讨论实验的要求)
根据学生汇报,教师PPT课件出示实验步骤及要求。
(1)首先在两个相同的量杯中倒入相同的水,记录水位的刻度。
(2)将土豆和红薯慢慢放入两个量杯中。
(3)二次记录水位的刻度。
(4)记录实验结果,准备全班汇报。(如图)
[设计意图] 通过上一个实验,很自然地会想到用实验来解决红薯和土豆体积大小的问题,培养了学生的顺向思维。再通过教师引导学生讨论实验的步骤和要求,培养了学生思考问题的逻辑性和严密性。
师:通过刚才的实验,你又有什么发现?
预设 生1:装土豆的烧杯中水位上升得少,装红薯的烧杯中水位升高得多,说明红薯的体积大一些,土豆的体积小一些。
生2:我明白了,一个物体(土豆)不仅要有一定的空间,还存在大小。
(教师板书:大小)
师:“物体占一定空间,还有大小”,这句话怎样理解?
预设 生1:物体都占有空间,只不过有大有小的区分,较大的物体占据空间较大,较小的物体占据空间较小。
生2:不同的物体,占据空间的大小也不相同。
……
(教师还可以引导学生多举一些实例,感受物体的体积)
师:你能用自己的语言概括一下,什么是物体的体积吗?
预设 生:物体的体积,就是占空间的大小。
(教师完善板书:物体占空间的大小叫做物体的体积)
[设计意图] 学生在实验、观察、比较、辨析、归纳、概括中,逐步理解了体积的含义,即物体占空间的大小叫做物体的体积。
活动二:认识物体的容积
师:(顺手拿起讲桌上的一块橡皮泥)这是一块橡皮泥,它是什么形状的呢?
预设 生:(齐答)圆柱形。
师:还可以捏成其他形状吗?你们拿出手中的橡皮泥,试一试。
预设 生:可以捏成长方体、正方体,还可以搓成一个球。
……
师:同学们不断地把自己手中的橡皮泥变化着形状,你们在捏橡皮泥的过程中,什么发生了变化?什么没有变?
预设 生1:橡皮泥的形状发生了变化,体积没变。
生2:因为它是同一个物体,占有空间是一定的,所以体积没有变化。
师:你们不仅会动手,还会动脑呢!老师也想试试。
(并把手中的橡皮泥捏成了一个“小碗”)
师:我手中的这个小碗,与刚才的圆柱形相比,什么变啦?什么没有变?
预设 生:(齐答)还是形状变了,体积没有变。
师:(把小碗放在桌子上,倒满水)现在这块橡皮泥变成什么样子了?
预设 生:变成一个能装东西的器皿。
师:能装东西的器皿在生活中我们把它叫做什么?
预设 生:(齐答)容器。
师:那你们能说一说生活中还有哪些容器?
预设 生1:锅、碗、瓢、盆。
生2:还有水桶,茶杯,水壶。
……
师:(拿出两个不同的杯子)这里有两个杯子,你们知道哪个杯子装的水多吗?
(学生思考解决问题的方法)
师:你们打算用什么方法解决这个问题?和同桌交流一下,然后做实验试一试。
(解决问题方法多样性,鼓励学生发挥想象力,只要能验证即可)
实验方法:把其中的一个杯子装满水,再将它倒入另一个空杯中,可能有如下三种情形:
(1)如果不能倒满空杯,说明空杯能装更多的水。
(2)如果刚好倒满空杯,说明两个杯子装水一样多。
(3)如果倒满了空杯,原来的杯子里还有水,这说明空杯装的水不如另一个杯子多。
师:通过刚才的实验,你有什么想法?
预设 生1:两个水杯容纳水的体积大小不一样。
生2:容器容纳物体的体积,也是有大有小的。
师:我们把这种“容器所能容纳物体的体积,叫做物体的容积”。
(教师板书:容器所能容纳物体的体积,叫做物体的容积)
[设计意图] 通过橡皮泥形状的变化,使学生体验体积的大小与形状的区别与联系,同时从体积过渡到容积,使学生体会容积的含义,在对容积的传授过程中感受到了“实践出真知”的人生哲理。
活动三:体积与容积的区别
师:同学们,我们刚刚学习了体积和容积,那你能说一说物体的体积与它的容积之间的区别和联系吗?
预设 生1:物体的体积是指它本身占有空间的大小,而容积是指它装东西的多少。
生2:物体的体积是指它所占空间的大小,要从外部进行测量。容积是指它所能容纳物体的体积,要从内部进行测量。
生3:我认为,一个物体的体积要比它的容积大。
师:为什么?能说明理由吗?
生3:大家都喝过饮料吧!饮料瓶的体积就要比它的容积大。
生4:我也同意他的看法,冰箱的体积就大于它的容积,冰箱的体积是指冰箱关上门后所占空间的大小,冰箱的容积是指冰箱里面能装多少东西,所以冰箱的体积大于冰箱的容积。
师:同学们,老师告诉大家,你们所说的体积,是指装满东西的容器的总体积。装满东西的容器的总体积=容器的容积+容器原材料的体积,你们听明白了吗?
预设 生:(齐答)听明白了。
[设计意图] 通过对物体容积和体积区别的引导,加深学生对体积和容积意义的理解,明白一个物体的体积和容积的真正意义,更好地掌握物体的体积和容积,以及它们之间的关系。
预设 生:老师,我们已经掌握了体积和容积,但是我还想知道上课开始你提出的问题,是你的体积大一些还是那位同学的体积大一些呢?
师:(微笑说)老师相信你们通过今天的学习,能够想办法来解决这个问题,我期待着你们研究的成果,别忘了告诉老师呀!
[设计意图] 把上课伊始的问题作为课下作业,激发了学生的探究欲望,同时也给了学生探究的空间,从而锻炼了学生解决问题的能力。
师:同学们对今天的学习,你们掌握了吗?下面我们开始闯关吧!
1.完成教材第37页“练一练”第1题。
通过捏橡皮泥的活动,让学生体会到,虽然同一物体形状发生了变化,但体积保持不变。
2.完成教材第37页“练一练”第2题。
目的是让学生在观察、操作中进一步体验物体体积大小。
3.完成教材第37页“练一练”第3题。
让学生在独立思考后进行交流,为后面体积单位的学习做好铺垫。
4.完成教材第37页“练一练”第4题。
【参考答案】 1.一样大。因为无论怎样捏,都是这团橡皮泥,体积不变。 2.左侧一堆比中间一堆体积大,因为1枚1元硬币比一枚一角硬币体积大,所以10枚1元硬币的体积大。左侧一堆和右侧一堆都是10枚1元硬币,只是堆的方式不同,所以体积一样大。 3.有可能,杯子大小不同。 4.3×4×3=36(个)
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了物体所占空间的大小叫做物体的体积。
生2:我知道了容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。
生3:装满东西的容器的总体积=容器的容积+容器原材料的体积。
生4:我知道了物体的体积是指它所占空间的大小,要从外部进行测量。容积是指它所能容纳物体的体积,要从内部进行测量。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握。
作业1
教材第37页“练一练”第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)物体所占( )的大小叫做物体的体积。
(2)容器所能容纳物体的( )叫做容器的容积。
2.(重点题)下面图形是用棱长为1厘米的小正方体拼成的。比较它们的体积的大小。
【提升培优】
3.(易错题)两个相同的杯中的水一样多,放入两个物体后水的深度如图所示,哪个物体的体积大一些?
4.(难点题)有一团橡皮泥,小刚第一次把它捏成正方体,第二次把它捏成长方体,捏成的两个物体,哪个体积大?
【思维创新】
5.(探究题)请你用24个大小相同的小正方体分别按下面的要求搭一搭。
(1)搭出两个物体,使它们的体积相同。
(2)搭出两个物体,使其中一个物体的体积是另一个物体体积的2倍。
(3)搭出两个物体,使其中一个物体的体积是另一个物体体积的3倍。
【参考答案】
作业1:5.女孩用了:5×2×3=30(个) 男孩用了:6×2×2=24(个) 女孩搭的长方体体积大。
作业2:1.(1)空间 (2)体积 2.= = 3.正方体的体积大一些 4.一样大 5.略
体积与容积
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。
装满东西的容器的总体积=容器的容积+容器原材料的体积。
体积这一概念,它的本质指“所占空间的大小”,这一本质属性对学生来说是抽象的,很难理解。数学概念的形成,是数学发展的需要,也是人们在日常生活中通过观察,比较,分析,归纳与概括而得到的。由此,应该注重数学概念形成的“生活原型”,在上课开始,创设了老师与学生比较体积大小的问题情景,你会学习体积的必要性。在教学中,唤醒学生的原有认识,引导学生形成正确的认识。在教学环节设计中,采用了多变的教学形式,让学生从中体会体积与容积的关系,始终使学生在高兴愉悦的氛围中学习,在课后又给学生留下了一个可以探究的话题,再次调动学生的学习兴趣,激发了学生的求知欲望。
在练习的过程中,忽略了把知识复习巩固和技能训练结合起来,影响到了学习效果。
再设计时,要注意设计过程的新颖,靠近新课标,注重能力的培养,电教化手段的运用。
【练一练·37页】
1.一样大。因为无论怎样捏,都是这团橡皮泥,体积不变。 2.左侧一堆比中间一堆体积大,因为1枚1元硬币比一枚一角硬币体积大,所以10枚1元硬币的体积大。左侧一堆和右侧一堆都是10枚1元硬币,只是堆的方式不同,所以体积一样大。 3.有可能,杯子大小不同。 4.3×4×3=36(个) 5.女孩用了:5×2×3=30(个) 男孩用了:6×2×2=24(个) 女孩搭的长方体体积大。
判断:同一个物体的体积和容积是一样的。 ( )
[名师点拨] 物体的体积和容积并不一样,体积是指物体自身占有空间的大小,容积是指容器所能容纳物体的体积。同一个物体,它的体积大于它的容积。
[解答] ?
【知识拓展】 容积与体积的区别:(1)定义不同。(2)测量方法不同。(3)有容积的物体一定有体积,有体积的物体不一定有容积。
几何学的发展历程
几何学是一门历史悠久、源远流长的学科。因为它与人类的生活密切相关,所以在人类的早期文明里,它凭借丰富的直观形象和深奥的内在本质,成为当之无愧的老大哥。在人类历史的长河中,无论在思想领域的突破上,还是在科学方法论的创建上,几何学总扮演着“开路先锋”的角色。下面就来了解一下几何学的发展史。
欧几里得与《几何原本》。
欧几里得是古希腊数学的集大成者,是古希腊亚历山大学派的创始人。从公元前7世纪到公元前4世纪,伴随着哲学的发展,古希腊数学,特别是几何学获得了充分的发展,积累了丰富的材料。要进一步促进数学的发展,同时满足教学的需要,如何把这些材料整理成逻辑严密的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务。欧几里得总结了前人的经验和教训,巧妙地把亚里士多德的逻辑学和数学结合起来,精细地选择命题和公理,合理地安排知识的顺序,使之能从很少的几个原始命题(或说公理)开始逻辑地展开。于是,人类历史上的第一部(我们可以这样认为)数学理论著作——《几何原本》诞生了,第一个公理化的逻辑体系出现了。它共有十三卷,包含了465个命题,所涉及的知识包含平面几何、立体几何、比例论、初等数论、无理数等知识。
欧几里得几何从此成为经典几何的代名词。
体积的故事
一天,爱迪生在实验室里工作,他递给助手一个没上灯口的空玻璃灯泡,说:“你量量灯泡的容量。”他又低头工作了。
过了好半天,他问:“容量多少?”他没听见回答,转头看见助手拿着软尺在测量灯泡的周长、斜度,并拿了测得的数字伏在桌上计算。他说:“时间,时间,怎么费那么多的时间呢?”爱迪生走过来,拿起那个空灯泡,向里面斟满了水,交给助手,说:“把里面的水倒在量杯里,马上告诉我它的容量。”助手立刻读出了数字。爱迪生说:“这是多么容易的测量方法啊,它又准确,又节省时间,你怎么想不到呢?还去算,那岂不是白白地浪费时间吗?”
助手的脸红了。
2 体积单位
体积单位是北师大版小学数学五年级下册第四单元“长方体(二)”的第二节,本节内容是认识体积,容积单位(立方米,立方分米,立方厘米,升,毫升)。体积和容积单位是比较抽象的概念,为丰富学生的感性认知,加强学生对体积单位的实际意义的理解,教科书设计了层层递进的三个问题及“试一试”。其中,第一个问题是认识常见的体积单位;第二个问题是通过“做体积单位”的活动,体会1 m3,1 dm3,1 cm3实际大小;第三个问题是举例说明生活中体积大约是1 m3,1 dm3,1 cm3的物品,进一步体会体积单位的实际意义。“试一试”中的第一个问题是认识
常见的容积单位,第二个问题是感受容积单位的实际意义。
1.结合生活实际,认识体积、容积单位(米3、分米3、厘米3、升、毫升)。
2.在操作交流中,感受1 m3,1 dm3,1 cm3的实际意义,进一步发展空间观念。
【重点】 认识体积、容积单位。
【难点】 感受1立方米,1立方分米,1立方厘米,1升,1毫升的实际意义。
第课时 体积单位
1.结合生活实际,认识体积单位(米3、分米3、厘米3)。
2.在操作交流中,感受1 m3,1 dm3,1 cm3的实际意义,进一步发展空间观念。
【重点】 认识体积单位。
【难点】 感受1立方米,1立方分米,1立方厘米的实际意义。
【教师准备】 PPT课件,小正方体(若干)。
【学生准备】 橡皮泥,小正方体(若干),练习本。
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,通过学习我们已经掌握了容积和体积的意义并能直观判断体积和容积的大小,请看大屏幕,老师这里有一幅画面,你能判断出画面中两个物体的体积的大小吗?
(教师PPT课件出示)
师:哪个物体的体积大一些呢?
(学生进行猜测,猜测可能有三种情况)
预设 生1:长方体的体积比较大。
生2:正方体的体积比较大。
生3:长方体和正方体的体积一样大。
师:三种情况的猜测,哪一种猜测是正确的呢?你们有什么好的建议吗?
预设 生:老师,两个物体没有相关的数据,我们是不能够进行比较的,也猜不出哪个物体的体积大,哪个物体的体积小。
师:如果老师给大家数据,你能猜出长方体和正方体哪个体积大吗?
(左边的长方体出现45,右边的正方体出现40)
预设 生1:长方体的体积大一些,正方体的体积小一些。
生2:老师,我认为生1同学的回答不是很正确,我认为它们的体积还是不能进行正确的比较的。
师:为什么这样说?
预设 生:因为45和40都没有单位,无法比较。
师:说得真好,你思考得真全面。所以,当要准确比较物体的大小时,要用统一的单位才能进行比较。
揭示课题:今天老师就带领同学们走进数学知识殿堂,去探究体积单位。
(板书课题:体积单位)
[设计意图] 教师制造迷惑,使长方体和正方体的大小好像明确了,实际上是想培养学生周密的思维:只有单纯的数字,其实还是不能比的,必须要有统一的单位。
方法二:复习提问,引入新知
师:同学们,还记得我们前面学习的长度单位和面积单位吗?我们一起来温习一下吧!请同学们看大屏幕。(教师PPT课件出示问题)
(1)现在大家一起回顾一下,在测量一条线段长短时,我们用什么单位表示?
(2)在计算一个物体的面积时,我们经常会用到什么单位?
预设 生1:在测量线段长度时,我们经常会用到厘米、分米、米等长度测量单位。
生2:在计算面积时,我们经常会用到平方厘米、平方分米、平方米等。
师:在测量线段长度时,我们经常会用到厘米、分米、米等长度测量单位。在计算面积时,我们经常会用到平方厘米、平方分米、平方米等面积单位。今天我们要计算一个物体的体积,我们应该用什么单位呢?
预设 生:体积单位。
师:体积单位有哪些呢?这就是我们今天要学习的内容,下面就开始我们今天的学习之旅——体积单位。(板书课题:体积单位)
[设计意图] 通过复习长度单位和面积单位,过渡到体积单位。起到迁移的作用,为新知的学习做好铺垫。
方法三:课件演示,导入新知。
教师可以把下列物品摆在讲台上:一块小橡皮擦、一瓶墨水(含包装)、一个粉笔盒。
然后就是针对以上物品提出问题,引导学生思考。
师:请按体积大小将它们排列起来。
(可以让学生进行口述,教师进行操作,也可以让学生自己到讲台前,实际操作,其他同学进行订正)
师:你的表现真好,从中能看出你对知识的掌握也较好。通过刚才的实验操作,我们知道物体的体积有大有小,如果要计算它们的体积,我们就要用到体积单位。那么体积单位有哪些呢?今天我们就来学习——《体积单位》。
(板书课题:体积单位)
[设计意图] 通过创设情景,引出物体体积大小的概念,感受物体的体积。
活动一:认识常用的体积单位
师:同学们,我们知道长度单位用线段来表示,面积单位用正方形来表示,那么,体积单位用什么图形来表示呢?
预设 生:用正方体来表示。
1.认识1立方厘米。
师:老师这儿有一个小正方体(教师手拿小正方体模型),老师告诉大家,这就是1立方厘米。请同学们摸一摸,观察一下,1立方厘米的小正方体,你有什么感受?
(学生走上讲台,感受1立方厘米小正方体的大小)
预设 生1:1立方厘米可真小。
生2:1立方厘米是很小,如果我用手攥住1立方厘米的小正方体,可以攥住好多块呢!
……
师:找找看,我们身边哪些物体的体积接近1立方厘米呢?
(学生思考,讨论,然后汇报)
预设 生1:1立方厘米和我的食指指肚一般大小。
生2:1立方厘米,同骰子一般大小。
生3:1立方厘米同我使用的橡皮一样大小。
……
师:(根据学生的回答,教师用PPT课件展示1立方厘米的大小)1立方厘米接近我们身边的哪些事物?请同学们看大屏幕。
一个骰子大约1立方厘米
手指尖大约1立方厘米
一个玻璃球大约1立方厘米
[设计意图] 通过学生举例说明1立方厘米的大小,以及教师用PPT课件展示1立方厘米与我们身边哪些物体贴近,使学生直观感受1立方厘米的大小,加深学生对1立方厘米的记忆与理解,感受1立方厘米的实际意义。
师:下面请同学们拿出我们的学具,从中拿出一个1立方厘米的小正方体,测量一下它的棱长是多少。
(学生动手测量,然后汇报)
预设 生:小正方体的棱长是1厘米。
师:棱长是1厘米的小正方体,体积是1立方厘米。用字母表示为1 cm3。
(教师板书:立方厘米:厘米3(cm3))
师:同学们,你们可以用橡皮泥捏出(切出)一块体积是1立方厘米的小正方体吗?
(学生动手操作,教师指导)
师:下面小组内拼一拼,2立方厘米,4立方厘米……分别有多大。
(学生操作,感受体积)
[设计意图] 通过学生动手捏1立方厘米的小正方体,再次体验1立方厘米的大小,强化学生对1立方厘米大小的认识,同时强化学生动手操作的能力。
2.认识1立方分米。
师:同学们,我们刚刚开始认识了1立方厘米的大小,下面你们把小组内同学的所有小正方体都拿出来,摆成一个一排是10个小正方体,再摆成10排,再摆10层,摆成一个大正方体。(如图)
(学生操作,小组拼摆)
师:同学们,你知道这个大正方体的棱长是多少吗?
预设 生1:棱长是10厘米。
生2:10厘米就是1分米,所以这个正方体的棱长是1分米。
师:棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米,记作:分米3(dm3)。
(教师板书:立方分米:分米3(dm3))
师:你能用手比划出它的大小吗?
(指明学生汇报)
师:我们身边哪些物体的体积接近1立方分米?
预设 生1:粉饼盒的体积接近1立方分米。
生2:一个音乐盒(含包装)的体积接近1立方分米。
……
[设计意图] 在认识1立方厘米的基础上,让学生认识1立方分米,学生比较容易接受,学生通过制作1立方分米的正方体,能够充分理解1立方分米的概念,并能感受它的实际大小。
3.认识1立方米。
师:1立方米又有多大?你们能想象出来吗?
预设 生:棱长是1米的正方体,体积是1立方米。
师:说得真好,棱长是1米的正方体,体积是1立方米。记作:米3(m3)。
(教师板书:立方米:米3(m3))
师生活动,感受1立方米的大小。
1.几个同学用米尺在墙角围成一个体积是1立方米的空间,感受1立方米的大小。
2.学生4人一组,围成一个体积是1立方米的空间。
[设计意图] 通过自己亲身体验,学生能够真切感受到1立方米所占空间的大小。
活动二:在实际应用,理解体积单位
师:同学们,举例说一说,什么物体的体积大约是1 m3,1 dm3,1 cm3。教师PPT课件出示:
师:(指导学生阅读,感受物体的体积)谁来读一读,大屏幕给我们呈现了什么?
(学生朗读,感受1 m3,1 dm3,1 cm3的大小)
师:你能填上适当的单位吗?
(PPT课件出示)
1粒花生约1 。?
1个粉笔盒约1 。?
29英寸电视机包装箱约1 。?
数学书的体积是210 。?
橡皮擦的体积是8 。?
讲台的体积是1.8 。?
(学生小组讨论,确定答案,师巡视)
【参考答案】 cm3 dm3 m3 cm3 cm3 m3
师:同学们掌握得真好,通过学习,我们初步认识了体积单位,要想更熟悉它们,就要在以后的课堂和生活中接触这些计量单位,特别是在生活中仔细观察,在生活中发现数学问题,同时也让数学为我们生活服务。
师:同学们,对今天的学习,你们掌握了吗?下面我们开始闯关吧!
第一关:在括号里填上适当的单位名称。
一台录音机的体积是20( )。
运货集装箱的体积约是40( )。
第二关:连一连。
学校主席台的体积 24立方厘米
书包的体积 24立方米
碳素墨水盒的体积 24立方分米
第三关:我能判断对。
(1)体积相等的两个长方体,表面积一定相等。 ( )
(2)棱长1分米的正方体放在桌子上,这个正方体占地面积是1立方分米。 ( )
【参考答案】 第一关:立方分米 立方米 第二关: 第三关:(1)? (2)?
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了物体的体积单位有立方厘米,立方分米和立方米,用字母表示分别是cm3,dm3,m3。
生2:我知道了棱长是1厘米的正方体体积是1立方厘米,棱长是1分米的正方体体积是1立方分米,棱长是1米的正方体体积是1立方米。
生3:我还知道,长度单位用来计量线段的长短,面积单位用来计量面积的大小,体积单位用来计量物体占空间的多少。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握,培养学生的语言表达能力。
作业1
教材第39页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)常用的体积单位有( )、( )、( )。
(2)棱长是1厘米的正方体,体积是( );棱长是1分米的正方体,体积是( );棱长是1米的正方体,体积是( )。
2.(重点题)填上适当的数。
(1)一个梨子的体积约是140( )。
(2)洗衣机的体积约是80( )。
(3)一块橡皮的体积约是3( )。
(4)一节火车厢的体积约是50( )。
【提升培优】
3.(易错题)判断:“体积单位比面积单位大,面积单位比长度单位大”。 ( )
4.(操作体)一个长32厘米,宽4厘米,厚4厘米的长方体木块,最多可以切成多少个棱长是4厘米的正方体?
【思维创新】
5.(探究题)把一个长5厘米,宽3厘米,高2厘米的长方体截成两个形状、大小完全相同的长方体后,表面积最少增加多少?体积有变化吗?
【参考答案】
作业1:2.cm3 cm3 cm3 dm3 m3
作业2:1.(1)立方厘米 立方分米 立方米 (2)1立方厘米 1立方分米 1立方米 2.(1)cm3 dm3(3)cm3 (4)m3 3.? 4.8个 5.12平方厘米 体积不变
体积单位
立方厘米:厘米3(cm3)
立方分米:分米3(dm3)
立方米:米3(m3)
体积单位是在学生认识了体积的含义以及体积守恒性的基础上进行教学的。在教学设计中,首先将教材内容进行处理和整合,通过提供充分的素材,采用观察、触摸、举例等各种活动,将3个体积单位结合起来,对比进行教学。
在知识的学习过程中,忽略了知识迁移,没有有效地降低学生的学习难度。
根据教材,重点学习立方厘米、立方分米、立方米在生活中的实际意义,深化对体积单位的认识,进一步理解物体含有多少个1立方厘米,体积就是多少立方厘米。
用多大的体积单位表示下面物体的体积比较适当?
(1)一块橡皮的体积约是7( )。
(2)一台录音机的体积约是20( )。
(3)五年级语文课本的体积约是297( )。
[名师点拨] 根据1立方厘米,1立方分米,1立方米的实际意义,一块橡皮的体积较小,用“立方厘米”作单位,一台录音机的体积较大,用“立方分米”作单位,一本语文书的体积较小,用“立方厘米”作单位。
[解答] 立方厘米 立方分米 立方厘米
【知识拓展】 体积单位除了立方米、立方分米、立方厘米、还有立方毫米。棱长是1毫米的正方体,体积是1立方毫米。
体积
世界上最早得出计算球体积正确公式的是南北朝数学家祖冲之,比欧洲人约早一千年。他还精心钻研天算之术(指天文数学),精治大明历,还制成铜日晷(一种用“测日影”的方法来计时的仪器)、漏壶等多种精密观察仪器,为后世所取法。
体积,几何学专业术语,是物件占有多少空间的量。体积的国际单位制是立方米。一件固体物件的体积是一个数值用以形容该物件在三维空间所占有的空间。一维空间物件(如线)及二维空间物件(如正方形)在三维空间中都是零体积的。
生命的价值
——不要让昨日的沮丧令明天的梦想黯然失色!
在一次讨论会上,一位著名的演说家没讲一句开场白,手里却高举着一张20美元的钞票。面对会议室里的200个人,他问:“谁要这20美元?”一只只手举了起来。他接着说:“我打算把这20美元送给你们中的一位,但在这之前,请准许我做一件事。”他说着将钞票揉成一团,然后问:“谁还要?”仍有人举起手来。他又说:“那么,假如我这样做又会怎么样呢?”他把钞票扔到地上,又踏上一只脚,并且用脚碾它。尔后他拾起钞票,钞票已变得又脏又皱。“现在谁还要?”还是有人举起手来。
“朋友们,你们已经上了一堂很有意义的课。无论我如何对待那张钞票,你们还是想要它,因为它并没贬值,它依旧值20美元。人生路上,我们会无数次被自己的决定或碰到的逆境击倒、欺凌甚至碾得粉身碎骨。我们觉得自己似乎一文不值。但无论发生什么,或将要发生什么,在上帝的眼中,你们永远不会丧失价值。在他看来,肮脏或洁净,衣着齐整或不齐整,你们依然是无价之宝。”
温馨提示:生命的价值不依赖我们的所作所为,也不仰仗我们结交的人物,而是取决于我们本身!我们是独特的——永远不要忘记这一点!
第课时 容积单位
1.结合生活实际,认识容积(L,mL)。
2.在操作交流中,感受L,mL的实际意义,进一步发展空间观念。
【重点】 认识容积单位。
【难点】 感受1升,1毫升的实际意义。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 各种带商标的饮料瓶(若干),练习本。
1.什么是容积?
2.常用的体积单位有哪些?
3.什么是1立方厘米,1立方分米,1立方米?
【参考答案】 1.容器所能容纳物体的体积,叫做容器的容积。 2.常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米。 3.棱长是1厘米的正方体,体积是1立方厘米。棱长是1分米的正方体,体积是1立方分米。棱长是1米的正方体,体积是1立方米。
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,你们喝牛奶吗?你们喝些什么牛奶呢?
(学生自由回答)
教师出示PPT课件展示不同包装的牛奶。
师:大家平时喝饮料吗?你们喝些什么饮料呢?展示不同的饮料。
教师PPT课件出示饮料图片:
师:无论是牛奶、饮料还是其他饮品,在外包装上都标有“L”“mL”,它们都表示什么样的实际意义呢?
师:今天我们就来学习这样的知识——容积单位。(板书课题:容积单位)
[设计意图] 从学生的生活引入,可以激发学生的学习兴趣,初步理解容积单位,为下面容积的学习打下基础。
方法二:谈话提问,引入新知。
师:同学们,在我们的生活中经常会见到这些物体。
(PPT课件出示:箱子、汽油桶、仓库)
师:这些容器都有一定的容积,我们怎样测量它们的容积呢?我们要用到容积单位,今天我们就来学习容积单位。
(板书课题:容积单位)
[设计意图] 从学生的生活引入,可以激发学生的学习兴趣,为下面容积的学习打下基础。
方法三:复习提问,导入新知
师:什么叫做物体的体积和容积?常用的体积单位有哪些?
预设 生1:物体所占空间的大小叫做物体的体积。
生2:容器所容纳物体的体积叫做容积。
生3:常用的体积单位有立方米,立方分米,立方厘米。
师:我们已经知道了物体的体积单位有立方米,立方分米,立方厘米,那么,容积单位又是怎样的?它有哪些常用的单位呢!今天我们就来学习容积单位。(板书课题:容积单位)
[设计意图] 学习新知前,适当复习有关的知识,对理解容积的意义和建立升、毫升的概念有帮助,同时为学习容积和容积单位做好铺垫。
活动一:教学容积单位
师:计量体积用体积单位,那么容积也有容积单位。计量容积,一般可以用体积单位“立方米、立方分米、立方厘米”。
(教师板书:立方米、立方分米、立方厘米)
师:但是计量液体的体积,如水、油等,常用容积单位升和毫升。
(教师板书:升、毫升)
师:用字母表示容积单位就是L,mL。
(完善板书:L,mL)
师:谁来看着黑板说一说,容积单位都有哪些?
预设 生:容积单位有:升,毫升。
师:我们一起读一下,好吗?
(学生齐读)
师:你们能够举例说一说,哪些物品上标有升和毫升吗。
(学生稍作思考,然后汇报)
预设 生1:我们喝的饮料的商标中有这样的标记。
生2:我和爸爸去给汽车加油时,加油站的加油表中就标有升“L”。
……
[设计意图] 通过“体积有单位”引入“容积也和体积一样有单位”使学生体会容积单位,然后明确容积的常用单位“升和毫升”,形成表象认识,可以强化学生记忆。
师:你们了解的生活常识可真多,老师真为你们骄傲,对于“升”和“毫升”你们记住了吗?下面我们来看一组图片,你能找出它的容积是多少吗?
(PPT课件出示教材情景图)
师:谁来说一说?它们的容积是多少?
预设 生:食用油的净含量是“5 L”,每袋牛奶的净含量是“500 mL”。
师:同学们,真聪明!一下就找到了。(鼓掌)
师:下面拿出我们课前准备的饮料瓶,看一看它们的容积是多少?
(学生活动,教师巡视)
师:谁来说一说各自的饮料瓶是多大的容积?
(教师指名汇报)
[设计意图] 通过学生在容器上找所能容纳液体的体积,加深对容积单位“升和毫升”的认识,体会“升和毫升”的实际意义。
1.认识1升。
师:1升到底有多大呢?(出示1升的量杯)这个量杯的容积就是1升。
(把带颜色的水倒入1升的量杯中,学生观察,感受1升的多少)
师:(然后把1升水慢慢倒入棱长是1分米(从内侧量)的正方体玻璃器皿中)你们发现了什么?
预设 生:1升水倒入1立方分米的容器中正好装满,说明1升就是1立方分米。
师:对,棱长是1分米的正方体容器,容积是1升。
(教师板书:1立方分米=1升)
2.认识1毫升。
师:1毫升又是多少呢?
(出示1毫升的量杯)这个量杯的容积就是1毫升。(把带颜色的水倒入1毫升的量杯中,学生观察,感受1毫升的大小)
师:(然后把1毫升水慢慢倒入棱长是1厘米(从内侧量)的正方体玻璃器皿中)你们发现了什么?
预设 生:1毫升水倒入1立方厘米的容器中正好装满,说明1毫升就是1立方厘米。
师:对,棱长是1厘米的正方体容器,容积是1毫升。
(教师板书:1立方厘米=1毫升)
[设计意图] 通过动手操作实验,观察实验现象,让学生进一步体会1升、1毫升的多少,加深学生对容积单位定量大小的感觉。
活动二:体会容积单位的实际意义
师:同学们,我们对容积单位“升和毫升”已经有了一定的认识,那么在我们现实生活中,哪些容器的容积近似1升或者1毫升呢?
师:下面我们来做几个实验,来感受一下容积单位的大小。(教师边叙述,边拿出事先准备好的饭盒)
师:我们把1升的量杯装满水,再把量杯中的水倒入饭盒中(如图),谁愿意完成这次操作任务?
(指名学生操作,其他学生观察)
师:你有什么发现?
预设 生:饭盒的容积正好是1升。
师:(出示滴管,用滴管抽出1毫升水)使水慢慢滴出。
师:通过观察你们会发现什么?1毫升的水大约有多少滴?
(师操作滴管,学生观察,并计数,大约20滴水。师强调,如果想要得出的数据准确,就多做几次实验,取平均值)
师:如果把2毫升的水倒入下面这个小勺中,正好装满。
(PPT课件出示)
师:说明什么?
预设 生:这个小勺的容积是2毫升。
[设计意图] 加深学生的感性认识,通过实验、观察、对比,建立1毫升、1升的空间观念。
师:你还能举出一些生活的实例,来说明1升、1毫升的大小吗?
(学生自由发言,感受容积单位的大小)
此环节,可以引导学生多做几次实验,让他们进一步感受容积单位“升和毫升”的大小。例如,可以把一升水倒入我们常用的水杯中,可以倒几杯。也可以把1毫升的水,倒入我们的水杯中,记录倒几次1毫升水才可以把水杯倒满。
然后教师可以进行拓展延伸,提出问题:你喝水的杯子的容积是多少毫升,你一天要喝多少杯水,要喝多少毫升的水?
[设计意图] 让学生体会数学和生活的联系,感受生活中处处有数学。
1.完成教材第40页“练一练”第3题。
目的是让学生了解生活中一些常见物体的容积,增强学生对容积单位实际意义的理解。
2.完成教材第40页“练一练”第4题。
发展学生的估测能力。
【参考答案】 3.mL L L L 4.400 200
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了常用的容积单位有升和毫升,用字母表示为“L”“mL”。
生2:我知道了计量容积,一般可以用体积单位,但计量液体的体积常用升和毫升。
生3:我还知道1升等于1立方分米,1毫升等于1立方厘米。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握,培养学生的语言表达能力。
作业1
教材第39页“练一练”第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)容器容纳物体的( ),叫做容器的容积。(2)常用的容积单位有( )。
2.(基础题)填表。
单位
名称
升
立方厘米
单位
符号
mL
m3
dm3
m2
3.(重点题)填上适当的数。
(1)一个碟片盒的体积,大约是150( )。
(2)一节货车车厢的体积,大约是28( )。
(3)冰箱的容积是180( )。
(4)用钢笔吸墨水,一次大约能吸2( )。
【提升培优】
4.(情景题)购买哪种牛奶便宜?
选一选:
5.(易错题)判断。
(1)计量液体的体积,常用的单位是毫升和升。 ( )
(2)一个木箱的体积和它的容积相等。 ( )
【思维创新】
6.(探究题)一大瓶可口可乐饮料大约为2500毫升,一个杯子大约能装300毫升饮料,淘气和6个同学每人一杯饮料够吗?
【参考答案】
作业1:6.cm3 dm3 L cm3 mL L
作业2:1.(1)体积 (2)升,毫升 2.毫升 L 立方米 立方分米 cm3 平方米 3.(1)cm3 (2)m3(3)L (4)mL 4.B 5.(1)√ (2)? 6.300×7=2100(毫升) 2500毫升>2100毫升 所以够
容积单位
容积单位:立方米、立方分米、立方厘米;
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
《容积单位》是在学生认识了体积单位的基础上进行教学的。在教学设计中,对教材内容进行处理和整合,通过身边可以利用的教学素材,进行演示实验,通过学生的观察、分析和理解,体会容积单位“升和毫升”的实际意义。为了加深学生对升和毫升的理解和掌握,做了两方面的设计。第一方面是在学生了解和掌握了容积单位升和毫升的基础上,列举生活中哪些物体的容积是接近1升或1毫升的;第二方面需拓展延伸,通过实验使学生知道自己的水杯的容积是多少毫升,然后引入学生每天要喝多少毫升的水,使学生体会到数学与生活中的内在联系。
虽然本课内容较少,但操作实验较多,时间的分配有些不合理。
再设计时,要注意时间的分配要有侧重点,为学生突破难点,掌握重点的环节,给予时间上的保障。
【练一练·39页】
1.立方厘米 立方分米 立方米(举例略) 2.cm3 cm3 cm3 dm3 m3 3.mL L L L 4.400 200 5.7 cm3 14 cm3 6 cm3 6.cm3 dm3 L cm3 mL L 7.250 mL 4(答案不唯一)
填上适当的单位。
一个梨的体积约是120( ),
一个鱼缸的体积约是8( ),
一个集装箱的体积约是50( ),
一个水杯的容积约是60( ),
一个微波炉的容积约是30( )。
[名师点拨] 根据1厘米3、1分米3、1米3的实际意义,一个梨的体积较小,用“厘米3”作单位,一个鱼缸的体积较大,所以用“分米3”作单位,一个集装箱的体积更大,用“米3”作单位,一个水杯的容积较小,用“毫升”作单位,一个微波炉的容积较大,应该用“升”作单位。
[解答] 厘米3 分米3 米3 毫升 升
【知识拓展】 计算物体的体积,一定要用体积单位,常用的体积单位有:立方米、立方分米、立方厘米等。计算容积一般用容积单位,如升和毫升,但有时候还与体积单位通用。由于容积单位最大的是“升”,所以计算较大物体的容积时,还是要用“立方米”。升和毫升是计算物体的体积不能用的,它只限于计算液体,如药水、汽油、墨水等。
1立方分米=10升
这天黄狗探长忽然接到报警,不知什么原因红狐狸和小白兔两人在街头争吵起来。
很快,黄狗探长就赶到了现场。
原来妈妈叫小白兔到商店去购买10升的胡萝卜汁,可红狐狸说没有10升的容器了,有个1立方分米的正方体容器刚好可以盛10升的胡萝卜汁。看到红狐狸递给他的10升胡萝卜汁没有印象中那么多,小白兔觉得上当受骗了。
“探长,这里找到一个1升的容器。”一个探员从红狐狸家搜出了一个容器。
“我来帮小白兔验证下,1立方分米究竟是多少升!”黄狗探长拿起装满1立方分米的胡萝卜汁往1升的容器中倒。刚好倒满。
“原来你骗我,1立方分米就等于1升。”小白兔委屈地哭了。
“一般情况下,计量物体的容积就用体积单位。计量液体和气体时候,常用的容积单位就是升和毫升。”黄狗探长给小白兔讲述道,“刚才的1升用体积单位表示就是1立方分米,1毫升就是1立方厘米。”
“1升=1立方分米=1000立方厘米=1000毫升。1升不就等于1000毫升了吗?”小白兔嘀咕着。
“是的,这个容积单位和体积单位一样,相邻两个进率都是1000。1立方米就等于1000升。”黄狗探长又接着补充,“红狐狸就是利用你不认识容积单位和体积单位之间的联系,才能够欺骗到你。”
红狐狸一下子泄气了,等着它的将是它骗人的惩罚。
巧断皇冠
2000多年前,叙拉古的国王命令一个工匠替他打造一顶皇冠.国王给了工匠他所需要数量的黄金。工匠的手艺非常高明,制作的皇冠精巧别致,而且质量跟当初国王所给的黄金一样大。可是,有人向国王报告说:“工匠制造皇冠时,私下吞没了一部分黄金,把同样重的银子掺了进去。”国王听后,也怀疑起来,就把阿基米德找来,让他想办法判定一下。
阿基米德对国王说:“请允许我先做一个实验,才能把结果报告给你。”国王同意了。阿基米德把皇冠放入一个盛满水的桶中,测出溢出水的体积。然后把等质量的纯金也放入这个盛满水的桶中,测出溢出水的体积。发现前者大于后者,说明皇冠的密度比金块的密度小,这就证明皇冠不是用纯金制造的。阿基米德有条理的讲述,使国王信服了。于是国王将那个工匠捉拿归案。
3 长方体的体积
长方体的体积是北师大版小学数学五年级下册第四单元“长方体(二)”的第三节,本节内容重点是引导学生探索长方体体积的计算方法。长方体、正方体体积的计算,是学生形成体积概念,掌握体积的计量单位和计算各种几何形体体积的基础。为此,教科书设计了层层递进的3个问题和“试一试”,让学生经历猜想、操作、实验、验证的思考过程。其中,第一个问题是猜想长方体的体积与什么有关;第二个问题是通过猜想与验证,得出长方体体积的计算公式;第三个问题是探究正方体体积计算公式。“试一试”中的第一个问题是探索长方体、正方体的体积与底面积和高之间的关系;第二个问题是运用第一个问题得出的公式进行计算。
1.结合具体情景和实践活动,探索并掌握长方体、正方体体积的计算方法,能正确计算长方体、正方体的体积,解决一些简单的实际问题。
2.在观察、操作、探索的过程中,提高动手操作的能力,进一步发展空间观念。
【重点】 运用长方体、正方体的体积计算公式解决一些简单的实际问题。
【难点】 理解长方体、正方体体积公式的推导过程。
第课时 长方体的体积
1.结合具体情景和实践活动,探索长方体和正方体体积公式的推导过程,理解正方体和长方体体积计算公式。
2.初步学会计算长方体和正方体体积,解决一些简单的实际问题。
3.在观察、操作、探索的过程中,提高动手操作的能力,进一步发展空间观念。
【重点】 掌握长方体、正方体体积公式。
【难点】 理解长方体、正方体体积的推导过程。
【教师准备】 PPT课件,小正方体若干。
【学生准备】 练习本。
常用的体积单位和容积单位有哪些?
【参考答案】 常用的体积单位有:立方厘米,立方分米,立方米;常用的容积单位有:升,毫升。
方法一:创设情景、引入新课
师:同学们,今天老师带来了两位“老朋友”来到咱们的班级,你们想不想知道它们是谁呢?
预设 生:(齐答)想……
师:(PPT出示一个长方体和一个正方体)请看,它们是谁?
预设 生:(齐答)长方体和正方体。
师:哪位同学给大家介绍一下你们的“老朋友”有什么特征?
预设 生1:长方体有6个面,8个顶点,12条棱,每个面都是长方形,也可能有2个相对的面是正方形,相对的面面积相等,相对的棱长度相等。
生2:正方体有6个面,8个顶点,12条棱,每个面都是正方形,6个面的面积都相等,所有的棱都相等。
师:介绍的真详细,真不愧是它们的好朋友呀!同学们,刚才我们在来的路上,长方体和正方体它们为谁的体积大而争吵,现在还没分出胜负,你们能不能帮忙评判一下?猜猜谁的体积大。
(学生各抒己见,教师不给予订正)
揭示课题:到底是谁的体积大呢?我们通过计算它们的体积就能知道。这节课我们一起探究长方体的体积。(板书课题:长方体的体积)
[设计意图] 通过教师拟人化的情景创设,激发了学生的学习积极性。通过故事情节的插入,可以活跃课堂气氛,使学生感觉到学习的快乐。
方法二:谈话提问,引入新知
师:同学们,告诉大家一个好消息,我们学校要在5月份举行运动会了,大家一定很高兴吧!学校要在操场上修建一个长方体的沙坑,作为运动会跳远的场地。请大家帮忙算一下,应该买多少沙子?这与我们以前学习过的哪些知识有关系呢(求什么)?
预设 生:和体积有关系,求出买多少沙子,就需求这个沙坑的容积。
师:那么我们怎样来计算长方体体积呢?长方体的体积又跟什么有关系呢?今天我们就来探索长方体、正方体的体积计算方法。
(板书课题:长方体的体积)
[设计意图] 联系生活创设学习情景,使学生感受到数学与生活的关系,培养学生乐于助人,积极向上的品格,同时激发学生学习数学的兴趣和需要。
方法三:实物操作,导入新知
师:同学们,请你们拿出我们课前准备的学具,用4个体积为1立方厘米的正方体,拼在一起,摆成一排。
师:拼成了一个什么图形?
预设 生:长方体。
师:这个长方体的体积是多少?
预设 生:是4立方厘米。
师:你是怎么知道的?
预设 生:因为这个长方体是由4个体积为1立方厘米的小正方体拼成的,所以体积是4立方厘米。
师:如果再加上一个体积为1立方厘米的小正方体,这个长方体的体积是多少立方厘米?
预设 生:这个长方体的体积是5立方厘米。
师:通过操作,你发现体积是4立方厘米和5立方厘米的长方体,哪个体积大呢?
预设 生:5立方厘米的长方体体积较大。
师:请同学们猜测一下,长方体体积大小可能与长方体的哪些要素有关系呢?
(学生进行猜测)
板书课题:长方体的体积。
[设计意图] 把数学教学活动设计建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上,这样引导锻炼了学生动手操作的能力,使学生进行大胆猜测“长方体的体积与长方体的什么有关系”,激发了学生进入新知学习的兴趣,培养了学生参与意识和团队意识。
一、初步体会长方体的体积与长、宽、高的关系
师:我们在学习长方形时,你记得长方形的面积与什么有关系吗?
预设 生:长方形的面积与长和宽有关系。
师:那么,长方体的体积又与什么有关系呢?请同学们观看大屏幕。
(PPT课件动画演示)
长方体的面积与长和宽有关,长方体的体积可能与什么有关?观察下面各图,想一想。
师:你发现了吗?
预设 生1:宽和高不变,长变短了,长方体体积变小了;长变长了,长方体体积变大了。
生2:宽和长不变,高变短了,长方体体积变小了;高变长了,长方体体积变大了。
生3::长和高不变,宽变短了,长方体体积变小了;宽变长了,长方体体积变大了。
师:长方体的体积和什么有关系呢?说一说你们的猜想。
预设 生:长方体的体积大小变化与长方体的长、宽、高有关系。
[设计意图] 通过PPT课件的动画演示,可以让学生直观感受长方体长、宽、高的变化,影响着长方体体积的大小,体会长方体体积与长、宽、高有关系。
二、动手操作,提出猜想
师:我们猜测长方体的体积与长、宽、高有关系,但是具体有怎样的关系呢?下面我们动手做一个实验,来验证我们的猜想。
1.探索长方体的体积计算公式。
(生动手操作:以小组为单位,用一些棱长是1厘米的小正方体摆出3个不同形状的长方体,记录它们的长、宽、高,填在下面的表格中)
长/cm
宽/cm
高/cm
小正方体的个数
长方体的体积
第一个长方体
第二个长方体
第三个长方体
师:通过刚才的探索,我们知道长方体的体积和长、宽、高都有关系,那它们之间到底有什么样的关系呢?(教师手举起一个棱长为1厘米的小正方体)这是棱长为1厘米的小正方体,老师给大家准备了一些这样的小正方体,已经放在你们各小组组长的手中,一会儿你们每个小组利用这些小正方体摆出3个不同的长方体,并把它们的长、宽、高记录在表格中。
师:在动手操作之前,老师想对你们提出几点要求。
(PPT课件出示活动要求)
(1)小组内进行明确分工,要保证每个人都参与活动,都有事做。
(2)小组合作拼摆长方体,拼摆长方体的有关数据填入表格内。
(3)小组内分析数据之间的关系,交流自己的发现,并准备全班交流。
师:我们拼摆长方体的过程中,一排摆几个(长),摆几排(宽),摆几层(高)与表格数据中的长、宽、高有怎样的关系呢,总共的小正方体的个数与长方体的体积又有什么关系呢?
预设 生1:小正方体的个数与长、宽、高的数字是相同的。
生2:拼摆的小正方体个数与长方体的体积数相同。
生3:拼摆的长方体有几个小正方体,体积就是几立方厘米。
……
师:如果老师口述拼摆长方体的过程,你们来操作拼摆,你能说出它的体积吗?
教师口述:一排摆出5个小正方体,摆2排,摆3层。
师:说出它的体积是多少?
预设 生:这个长方体的体积是30立方厘米。
师:老师拼摆长方体的过程,你们不通过实际操作,能够猜想出长方体体积是多少吗?我们来试一试吧!
(师PPT课件出示问题)
(1)一排摆出5个1立方厘米的正方体,一共摆了4排,摆了3层。这个长方体的体积是多少?
(2)一排摆出3个1立方厘米的正方体,一共摆了4排,摆了2层。这个长方体的体积是多少?
预设 生1:问题(1)中这个长方体的体积是60立方厘米。
生2:问题(2)中这个长方体的体积是24立方厘米。
师:你们拿出手中的小正方体,拼一拼,摆一摆,看你们的猜想正确吗?
(学生动手操作,验证自己的猜想)
预设 生:问题(1)中长方体的体积是60立方厘米;问题(2)中长方体的体积是24立方厘米。我们的猜想是正确的。
师:你是怎么知道的?
预设 生1:通过上面的操作我们知道,拼摆出的长方体的体积数与拼摆的小正方体的个数相同,我们求出小正方体的个数,就可以知道长方体的体积。
生2:拼摆长方体的小正方体的个数=长×宽×高。
师:同学们,现在你们知道长方体的体积与什么有关系了吧!那你知道是怎样的关系吗?
预设 生:长方体的体积与长方体的长、宽、高有关系。长方体的体积=长×宽×高。
师:你们同意他的看法吗?
预设 生:(齐答)同意。
师:同学们真了不起,通过猜想、实验、验证总结出了长方体的体积计算公式,在今后我们同样可以采用这种方法来学习。现在我们再一起来归纳一下长方体的体积计算公式。
(教师板书:长方体的体积=长×宽×高)
师:如果长方体体积用V表示,长用a表示,宽用b表示,高用h表示,你能用字母表示出长方体的体积计算公式吗?
预设 生:长方体的体积公式用字母表示为V=a×b×h=abh。
(教师板书:V=a×b×h=abh)
[设计意图] 创设合理的学习情景,是为了培养学生自学、自主探究的能力。学生在经历合作、探究、操作、验证的过程后,对自己探究出来的结论印象更深、理解更透彻,学生在和谐、平等的氛围中,既有分工又有合作,从而大大地调动了学生学习的积极性,使学生参与到探究的活动中去,这样的设计有利于培养学生实际操作能力,为发展空间观念创造了契机,并从中体现出人人都能获得必要的数学知识。
2.验证训练。(多媒体出示练习题)
一个长方体长7厘米、宽4厘米、高3厘米,它的体积是多少立方厘米?
师:我们推导出长方体的体积公式了,能不能利用公式解决问题呢?
预设 生:能。
师:请大家完成这道题,愿意在小黑板上展示的请到黑板完成,其他同学先自己完成,然后组内交流。(师生共同订正)
3.探索正方体的体积计算公式。
师:长方体的体积公式我们推导出来了,那么正方体的体积公式呢?请大家根据探究活动小组讨论交流。
(PPT课件出示究活动问题)
①正方体和长方体有什么联系和区别?
②你能写出正方体的体积公式吗?
正方体的体积=( )。
学生活动:小组合作,通过类比推理,探究正方体体积的计算方法。
师:请把你们的成果张贴在各自的小黑板上,哪个小组愿意先汇报你们的研究成果?
预设 生:正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师:你们是怎样推导出来的,说说你的想法?
预设 生:因为正方体是一个长、宽、高都相等的特殊长方体,可以根据长方体的体积计算公式“长方体的体积=长×宽×高”计算正方体的体积,在正方体中“长×宽×高”就是正方体的“棱长×棱长×棱长”。
(教师板书:正方体的体积=棱长×棱长×棱长)
师:如果正方体体积用V表示,棱长用a表示,你能用字母表示出正方体的体积计算公式吗?
预设 生:正方体的体积公式用字母表示为V=a×a×a。
(教师板书:V=a×a×a)
师:3个a连续相乘,我们可以把它写成“a3”,读作:a的立方。
(教师领读,加深学生的记忆)
教师完善板书:正方体体积=棱长3=a3。
[设计意图] 根据长方体的体积计算公式,学生不难推算出正方体的体积计算公式,此环节的设计,教师放开手,给学生思考的空间,让学生自己发现问题,得出结论,感受成功的喜悦,从而树立学生学习的自信心。
4.验证训练。(每小组派一个代表在小黑板展示,各小组长根据答案互批)
PPT课件出示:一块正方体石料,棱长是10 dm,这块石料的体积是多少立方分米?
【参考答案】 1000 dm3。
三、解决问题,及时巩固
(1)利用公式,回归解决“猜想”。
师:同学们,经过大家观察、操作,探索得出了长方体和正方体的体积公式,那快来帮帮我们的“老朋友”解决问题吧!
(PPT课件再次出示“老朋友”,请计算它们的体积)
预设 生:不能计算。
师:为什么?
预设 生:不知道长方体的长、宽、高和正方体的棱长是多少。
师:你们真棒!是的,要求长方体的体积必须知道长、宽、高。
(PPT课件再次出示长、宽、高和棱长数据)
师:这样能计算了吧!
(学生计算,集体订正,解决“老朋友”之间的矛盾)
【参考答案】 360 cm3 512 cm3
1.我能判(判断对错)。
(1)一个棱长为6分米的正方体,它的表面积和体积相等。 ( )
(2)一个长方体,长5分米,宽4分米,高3厘米,它的体积是60立方分米。 ( )
(3)一个正方体的棱长是2米,它的体积是8立方米。 ( )
(4)3n=n×n×n ( )
(5)一个长方体,长、宽、高都扩大为原来的2倍,体积也扩大为原来的2倍。 ( )
2.我会做(解决实际问题)。
(1)一种长方体木料,长9 dm,宽6 dm,高2 dm。8根这样的木料体积是多少?
(2)一块正方体的石料,棱长是7分米,这块石料的体积是多少立方分米?如果1立方分米石料重2.7千克,这块石料重多少千克?
【参考答案】 1.(1)? (2)? (3)√ (4)?(5)? 2.(1)9×6×2×8=864(dm3) (2)73=343(立方分米) 343×2.7=926.1(千克)
[设计意图] 练习是强化新知的最好手段,为了让学生真正理解新知,在概念的要点及知识易混淆处设计了不同形式的练习,加强学生对新知的掌握。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了长方体的体积=长×宽×高,用字母表示是V=a×b×h=abh。
生2:我知道了正方体的体积=棱长×棱长×棱长,用字母表示是V=a×a×a=a3。
……
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对知识的理解和掌握。
作业1
教材第48页“练习四”第3,4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)计算下面图形的体积。
2.(易错题)想一想,填一填。
(1)一个长方体的长是9厘米,宽是6厘米,高是3厘米,它的棱长之和是( )厘米,表面积是( )厘米2,体积是( )厘米3。
(2)棱长是5厘米的正方体盒子,它的体积是( )厘米3。
(3)一个长方体的体积是72分米3,长是8分米,宽是3分米,高是( )分米。
3.(重点题)一个长方体木块,长是12厘米,宽是10厘米,高是8厘米,这个长方体木块的体积是多少立方厘米?
【提升培优】
4.(重点题)填一填。
长(正)方体
长(米)
5
7
5
宽(米)
4
7
10
高(米)
3
7
4
7
体积(立方米)
120
840
5.(情景题)实验小学修一个长80 m、宽50 m的长方形操场,先铺10 cm厚的三合土,再铺4 cm厚的煤渣,需要三合土和煤渣各多少立方米?
【思维创新】
6.(变式题)有一个长方体木块,底面是一个正方形,正方形的边长是2 dm,这个木块的体积是85.6 dm3,则这个木块的高是多少分米?
7.(探究题)在一个从里面量长15分米、宽12分米的长方体水箱中,有10分米深的水,如果在水中完全浸入一个棱长为3分米的正方体铁块,那么水箱中水深为多少分米?(水不会溢出)
【参考答案】
作业1:3.12×5×6=360(cm3) 9×9×9=729(cm3) 22×10×8=1760(cm3) 4.12×13×12×14×12=144(cm3)
作业2:1.(1)2160 cm3 (2)216 cm3 2.(1)72 198 162 (2)125 (3)3 3.960厘米3 4.填表如下:
长(正)方体
长(米)
5
7
5
12
宽(米)
4
7
6
10
高(米)
3
7
4
7
体积(立方米)
60
343
120
840
5.10 cm=0.1 m 80×50×0.1=400(m3) 4 cm=0.04 m 80×50×0.04=160(m3) 6.21.4 dm 7.10.15分米
长方体的体积
长方体的体积=长×宽×高
V=a×b×h=abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a=a3
在本课的教学中,让学生从生活实际需要中体会长方体体积和正方体体积在生活中的应用,从而产生研究长方体体积的计算方法的需求,通过观察生活中的事物,发现长方体体积的计算方法,通过观察生活中的事物,发现长方体的体积与长、宽、高有关系,提出猜想,确定研究的方向。
在设计时,要注意时间的分配,加强学生的学习训练。
组织学生以小组为单位,动手操作研究,来验证猜想的正确性。使学生经历知识的建构过程,通过运用长方体体积计算的方法解决生活中的实际问题,体会数学来源于生活,运用于生活。
如图是一个长方体水箱,最多能盛水( )L。
[名师点拨] 容器所能容纳的别的物体的体积叫做容器的容积,容积和体积的计算方法相同,根据长方体的体积(容积)公式V=abh,求出它的容积是多少立方厘米,再根据容积单位与体积单位之间的关系,1升=1立方分米=1000立方厘米,将体积单位换算成容积单位即可。
[解答] 60×40×50=120000(cm3),120000 cm3=120 L。故填120。
一个正方形蓄水池,从池中测量,蓄水池的棱长是5米,这个蓄水池能装多少升水?
[名师点拨] 容器所能容纳的别的物体的体积叫做容器的容积,容积和体积的计算方法相同,根据正方体的体积(容积)公式V=a3,求出它的容积是多少立方米,再根据容积单位与体积单位之间的关系,1立方米=1000立方分米=1000升,将体积单位换算成容积单位即可。
[解答] 5×5×5=75(立方米)
75立方米=75000升
答:这个蓄水池能装75000升水。
【知识拓展】 在通常计算物体的体积和容积时,物体本身的材质往往忽略不计,物体的体积和容积计算方法也是近似相同的,可以利用计算体积的公式计算物体的容积,也可以利用计算物体容积的方法计算物体的体积。
画图作用大
放学回家,我和妹妹放下书包就开始进行家庭作业比赛,看谁先写完。“这题目怎么写?缺少条件呢。”妹妹嘴里小声嘀咕着。爸爸听到了,走过来笑着问:“什么题目难住你了,让我来帮你。”妹妹指着作业本上最后一题说:“一个长方体的体积是60立方米,如果长增加13,宽和高都不变,长方体的体积是多少立方米?”“长、宽、高什么都没有告诉我们,这个可怎么求?”我凑上一看,原来是我刚完成的题目。爸爸笑着说:“正好,你们一起来听听这个题目怎么写。”“长方体的体积=长×宽×高,也就是说原来长方体的体积就是长×宽×高=60(立方米)。现在长增加了13,那现在的长和原来的长什么关系呢?”爸爸问。“把原来的长看成3份,增加了13,说明现在的长是原来长的1+13=43。”妹妹说。“对,现在的长是原来长的43。现在的体积还是用现在的长×现在的宽×现在的高,宽和高和原来一样,现在长是原来的长的43,所以体积和原来相比较,用43×长×宽×高。这个长×宽×高就是原来的体积计算公式。”说着,爸爸狠狠地在“长×宽×高”上画了个圈。“长×宽×高=60(立方米),现在长方体体积就应该是43×60=80(立方米)。明白吗?这个叫做整体代入!”爸爸得意地说。爸爸看我摇头,有点着急了。“不行,我用绝招。长、宽、高不知道,我们就来假设是个具体数,乘积凑成60。”爸爸想了想说,“假设原来长6米,宽2米,高就是60÷(6×2)=5(米)。然后把原来的长6米,增加13,现在的长就是8米,宽和高不变,现在的体积就是8×2×5=80(立方米)。”“随便假设就行了?”妹妹问。“当然不是随便假设,是根据体积和题意进行合理的假设,便于我们计算方便。我再假设一次,假设原来的长是3米,宽是2米,高就是10米,把长增加了13,长就是4米,宽和高依然不变,所以现在的体积是4×2×10=80(立方米)。现在体积还是80立方米。”
爸爸看看妹妹还是一脸的愁容,自己也愁了起来。
“妹妹,看我的。”我拿起笔画起了图1,边画边说:“把长增加13,就是把它原来的长分成3份,现在长就变成了4份,前后体积看出变化没?(图2)”
图1
图2
“现在的体积是原来体积的43。”妹妹看出来了。“原来的体积是60立方米,平均分成3份,每份就是20立方米,现在体积变成4份,你说体积是多少呢?”
“太棒了,我看出来了,现在体积是80立方米。画图的方法真好!”妹妹兴奋地跳了起来。
旁边的爸爸也向我竖起了大拇指。
第课时 长方体和正方体体积统一计算公式
1.结合具体情景和实践活动,通过长方体、正方体体积的计算方法,探索长方体、正方体体积与底面积和高之间的关系,掌握长方体(正方体)体积=底面积×高的计算方法,能够解决一些生活中的实际问题。
2.在观察、操作、探索的过程中,提高学生动手操作及合作学习能力,培养迁移、类推能力和抽象概括能力,进一步发展学生的空间观念。
【重点】 理解长方体、正方体体积与底面积和高的关系;掌握长方体与正方体体积统一计算公式。
【难点】 理解长方体与正方体体积统一计算公式的过程。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
长方体、正方体的体积公式是什么?
【参考答案】 长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长3。
方法一:复习提问,引入新课
师:上一节课我们学习了长方体和正方体体积的计算。长方体和正方体体积计算公式是什么?
预设 生:长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长×棱长×棱长。
教师板书:长方体体积=长×宽×高;正方体体积=棱长×棱长×棱长。
师:那你们能够运用所学知识解决一些实际问题吗?现在老师想考考大家,请看大屏幕。
PPT课件出示练习:
(1)一个长方体的长是10厘米,宽是8分米,高是5分米,它的体积是多少立方分米?
(2)一个正方体的棱长是4厘米,它的体积是多少立方厘米?
(指名学生上黑板解答)
课题揭示:长方体和正方体的体积除了以上的计算方法以外,还有别的计算方法吗?今天我们就来接着学习长方体和正方体体积的另一种计算方法。
板书课题:长方体和正方体体积统一计算公式。
[设计意图] 通过对上节课的温习,引出今天要学习的任务。使学生体会解决问题方法的多样性,培养学生的探究精神。
方法二:利用课件,引入新知
1.PPT课件出示:
师:这是什么图形?
预设 生:长方体。
师:(教师微笑着说)这个问题没有什么难度。对,“长方体”是我们的“老朋友”,要计算它的体积必须知道什么?如何计算它的体积?
预设 生:计算长方体的体积要知道长方体的长、宽、高,通过长方体体积计算公式“长方体的体积=长×宽×高”计算长方体的体积。
教师板书:长方体的体积=长×宽×高。
2.PPT课件再出示:
师:这又是什么图形?这个图形有什么特征?
预设 生:是正方体,正方体每个面的面积都相等,每条棱的长都相等。
师:如何计算正方体的体积呢?
(根据学生回答,教师板书)
教师板书:正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
师:你还能用其他的方法来计算出它们的体积吗?今天我们继续来研究它们的体积公式。
板书课题:长方体和正方体体积统一计算公式。
[设计意图] 通过复习长方体、正方体的体积公式,质疑还有没有其他的计算方法,打开学生的思维,展开想象,为新知的学习做好铺垫。
方法三:激发情感,导入新知
PPT课件展示:
西汉末年我国古代数学家编撰了一本不朽的传世名著《九章算术》。
这本书共九章,其中一章叫商功章,它收集的都是一些有关体积计算的问题。书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的:“方自乘,以高乘之即积尺。”就是说,先用边长乘边长得底面积,再乘高就得到长方体的体积。
师:这段话你明白多少?今天我们就来研究这样的问题。
板书课题:长方体和正方体体积统一计算公式。
[设计意图] 通过我国的历史文化,激发学生的民族自豪感和爱国主义情感,从而激发了学生的求知欲望。
活动一:计算体积,感知底面积
师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了长方体和正方体体积计算公式,并能根据计算公式解决一些简单的实际问题,在没讲新课前,我们来温习一下,请同学们看大屏幕。
PPT课件出示教材情景图:
先算一算下列图形的体积,再读一读,想一想。(单位:dm)
师:你们能独立完成这次任务吗?老师相信你们!你们一定有这个能力,加油!
(学生动手计算,也可以按小组分配,每个小组完成一个图形计算,然后汇报计算结果)
预设 生1:图一:长方体的体积。
5×3×4=60(dm3)。
生2:图二:长方体的体积。
2×2×6=24(dm3)。
生3:图三:正方体的体积。
3×3×3=27(dm3)。
师:同学们计算得真快,看来同学们对知识掌握得很扎实。那么,同学们还记得《九章算术》吗?
PPT课件再次出示《九章算术》部分内容:
书中是这样叙述有两个面是正方形的长方体体积的计算方法的:“方自乘,以高乘之即积尺。”就是说,先用边长乘边长得底面积,再乘高就得到长方体的体积。
师:看完这段叙述,你想到什么?这段文字中描述的长方体有什么特征?底面积指的是哪一个面的面积?
1.认识“底面”。
(1)引出“底面”概念。
师:同学们,在老师刚才让你们计算长方体、正方体体积的直观图上,用颜色标注它们的底面。你们知道什么是底面吗?
同桌探讨,交流得出:
预设 生:“底面”一般指长方体、正方体的下面。
PPT课件出示长方体和正方体。
师:你能指出长方体或正方体的底面吗?(教师随意翻动长方体和正方体模型,让学生说说它们的底面各是哪个面)
师:长方体和正方体底面是相对的,是由摆放的方式决定的。
(2)巩固对底面的认识。
教师出示:粉笔盒、纸巾盒等教具,让学生指出其底面。
(学生活动,教师给予指正)
[设计意图] 认识“底面”,是计算底面积和计算体积的关键所在,本环节在学生复习了已学的长方体和正方体体积公式的基础上,并用三幅图引出底面,让学生感受知识就在身边,同时也为研究体积公式“底面积×高”奠定了知识基础,让学生体会知识之间的内在联系。
2.认识底面积。
师:同学们已经认识了长方体和正方体的底面,那什么是它们的底面积呢?
(交流得出长方体和正方体底面积。如果学生交流不能得出长方体和正方体的底面积,教师要指出底面积)
预设 生:长方体和正方体底面的面积叫做它们的底面积。
师:那么,长方体的底面积如何计算?正方体的底面积如何计算?
(学生小组交流,讨论)
学生成果展示:
预设 生:长方体的底面积=长×宽,正方体的底面积=棱长×棱长。
PPT课件演示,加深学生对底面积的理解。
教师板书:长方体的底面积=长×宽,正方体的底面积=棱长×棱长。
活动二、教学长方体、正方体体积统一公式
1.演变原来的体积公式。
师:学到这儿,你能想到用其他什么方法来计算长方体和正方体的体积吗?
学生同桌探讨,再全班交流得出:
长方体体积=长×宽×高长方体底面积=长×宽长方体体积=底面积×高
正方体体积=棱长×棱长×棱长正方体底面积=棱长×棱长正方体体积=底面积×高
教师板书:长方体(或正方体)体积=底面积×高。
师:如果用S表示底面积,用字母板书上面的公式可以写成什么?
预设 生:V=Sh。
教师板书:V=Sh。
[设计意图] 学生主动经历推导过程,利用长方体体积=长×宽×高和长方体底面积=长×宽推导出长方体体积=底面积×高,在推导正方体体积=底面积×高时,演绎推理能完成推导,因为正方体具有长方体的所有特征,或者用类比推理也能完成,并利用了简单明了的图示,帮助学生顺利完成探索,初步培养学生的逻辑推理能力。体积公式都能演变成“底面积×高”,获得了统一,其本身是一次认知简化。
2.计算长方体、正方体的体积。
师:同学们,现在我们把刚才的两个长方体和一个正方体,转换一下,换一个底面,你们能够计算吗?请看大屏幕。
PPT课件出示转换后的图形:(单位:dm)
(学生独立完成计算,教师巡视)
师:你们这次计算的结果与前面计算的结果一致吗?
预设 生:一致,结果都是一样的。
[设计意图] 充分挖掘教材,在得出体积公式“底面积×高”后,教学此内容,巩固了长方体、正方体的体积公式,从而对体积公式有更充实、更丰富的体验。
活动三、填一填
师:长方体和正方体的体积=底面积×高。用字母表示为V=Sh。接下来请同学们利用这个公式完成下面表格的填写。请看大屏幕,你们可以完成这个表格,对吗?
预设 生:是。
师:PPT课件出示:
填一填。
长方体
底面积/cm2
10
25
9
高/cm
8
6
7
体积/cm3
105
37.8
(学生思考并计算,然后汇报成果,教师根据学生汇报进行PPT课件演示)
填一填。
长方体
底面积/cm2
10
25
15
9
高/cm
8
6
7
4.2
体积/cm3
80
150
105
37.8
师:谁能说一说,你是怎样计算的?
(学生汇报)
[设计意图] 通过本环节的练习,让学生知道已知体积和高,如何求底面积;知道体积和底面积,如何求高。通过这些逆向问题的解决,加深学生对长方体和正方体体积计算的理解和掌握。
师:同学们,对今天的学习,你们掌握了吗?下面我们开始闯关吧!
1.完成教材第42页“练一练”第4题。
2.完成教材第42页“练一练”第5题。
3.完成教材第42页“练一练”第6题。
4.完成教材第42页“练一练”第7题。
5.完成教材第42页“练一练”第8题。
6.完成教材第42页“练一练”第9题。
【参考答案】 1.30÷6=5(m) 2.12×6×2=144(L) 3.(60÷15)×(30÷3)×(30÷3)=400(盒) 4.3×3×3=27(cm3) 5.3×2.2×2=13.2(m3) 6.(1)估计长方体的体积要先估计它的长、宽、高的长度,再用长×宽×高计算出体积。 (2)先测量长方体橡皮的长、宽、高,并计算1000块长方体橡皮的体积,再根据总体积=长×宽×高设计长方体盒子的长、宽、高。注意长、宽、高要分别是橡皮长、宽、高的倍数。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了长方体(或正方体)体积=底面积×高,用字母表示为V=Sh。
生2:我知道了根据长方体(或正方体)体积=底面积×高,可以进行互逆运算。
生3:掌握了长方体(或正方体)体积=底面积×高,计算长方体或正方体的体积,就更加简便了。
……
[设计意图] 对本节课的学习做一个简单的回顾整理,形成基本的知识网络,整理学习思路,为后面的学习打好基础。
作业1
教材第48页“练习四”第2,7题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)长(正)方体的体积=( )×( ),用字母表示为V=( )。
(2)用棱长为1厘米的小正方体木块拼成一个较大的正方体,至少要( )个这样的小木块才能拼成一个正方体。
(3)一个正方体棱长扩大到原来的2倍,体积就扩大到原来的( )倍。
(4)一个正方体的棱长和是12分米,它的体积是( )立方分米。
2.(重点题)把一个棱长为6分米的正方体钢锭熔铸成一个长方体钢锭,这个长方体长9分米,宽4分米,求这个长方体钢锭高多少分米。
【培优提升】
3.(难点题)有一个棱长是6分米的正方体水箱,装
满水后,倒入一个长方体水箱内,量得水深3分米,这个长方体水箱的底面积是多少?
4.(创新题)有一个棱长为4 cm的正方体,从它的右上方截去一个长、宽、高分别为4 cm,2 cm,1 cm的长方体(如下图),求剩下部分的体积。
【思维创新】
5.(探究题)一个长方体,如果高增加3厘米,就成为一个正方体。这时表面积比原来增加了96平方厘米。原来的长方体的体积是多少立方厘米?
【参考答案】
作业1:2.cm3 cm3 dm3 m3 7.6×6×6=216(cm2) 6×6×6=216(cm3)
作业2:1.(1)底面积 高 Sh (2)8 (3)8 (4)12.6×6×6=216(立方分米) 216÷(9×4)=6(分米) 3.6×6×6=216(立方分米) 216÷3=72(平方分米) 4.4×4×4-4×2×1=56(cm3) 5.96÷4=24(平方厘米) 24÷3=8(厘米) 8×8×(8-3)=320(立方厘米)
长方体和正方体体积统一计算公式
长方体(或正方体)体积=底面积×高
长方体和正方体体积统一计算公式是北师大版五年级下册第四单元的第三节第2课时,这节课的重点是掌握物体的体积与底面积和高之间的关系,发展学生的空间观念。
本节课教学之前,学生已经掌握了长方体体积和正方体体积的计算公式,为了沟通这两个公式之间的联系,减轻学生记忆的负担,培养学生的抽象概括能力,为以后学习柱体体积计算公式打下基础,本节课学习长方体和正方体体积统一计算公式的设计突出以下几点:
以中华民族的灿烂数学成果引入新课。本节课根据所学知识内容将《九章算术》制成课件,略拓宽一些知识面,使学生知道两千多年前,我国古代数学家就明白怎么计算长(正)方体体积了,激发学生学好数学知识的情感。
组织学生围绕本节课内容积极开展探究活动。本节课在引入新课阶段根据史料提供的史实和学生的知识基础提出了开放型、探究型的问题,让学生的活动围绕着这个问题展开。使学生思考、交流并为推出长方体、正方体的体积统一计算公式起了一个导航的作用。它加深了学生对长方体、正方体特征之间的关系的认识,渗透了几何变换的思想方法。
应用现代信息技术手段突破教学中的难点。立体几何知识一直是学生学习的一个难点,从小学到高中都是如此。学习立体几何知识难就难在空间观念的建立。本节课中充分应用所制作的课件,使学生在动态中直观认识什么是“底面”,因此,本课中的难点在现代信息手段中也就变得通俗易懂了。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:课堂练习不够,题型都是以教材为主。
在设计时,要注意设计过程中练习题的新颖,调动学生的学习兴趣。
【练一练·42页】
1.用单位正方体摆出长方体、正方体,单位正方体的个数就是长方体、正方体的体积。 3.3×2×2=12 (cm