小学数学北师大版六年级下册第4单元 正比例和反比例 单元整体备课教案
文档属性
| 名称 | 小学数学北师大版六年级下册第4单元 正比例和反比例 单元整体备课教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1023.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-19 10:22:25 | ||
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文档简介
第4单元 正比例与反比例
本单元的主要教学内容是变化的量、正比例及其图象和反比例。重点是理解正、反比例的意义,难点是判断两个量成什么比例关系。
正比例关系、反比例关系是两种重要的数量关系,渗透了初步的函数思想。这部分内容比较抽象、难懂,好在学生对比例的知识已有了一定的理解,并且六年级学生已经具备了一定的探索、合作、交流、自主学习的能力。
1.结合具体情景,体会生活中存在着大量互相依赖的变量,体会数学与生活的联系;在具体情景中,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系,知道列表或画图都是表示变量之间关系常用的方法。
2.结合丰富的实例,经历正比例、反比例意义的建构过程;能从变化中看到“不变”,认识正比例和反比例;能根据正比例和反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例;能举出生活中成正比例和反比例关系的实例。
3.初步了解正比例的图象是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象。
经历如何根据数对画出图形的过程,从而掌握方法。
会利用正比例和反比例的相关知识解决一些简单的生活问题。
1.在学习正比例和反比例的过程中,渗透函数思想,使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
2.在探索数学问题的过程中,体验学习数学的趣味性。在运用数学知识和方法解决问题的过程中,体验数学价值、感受数学与生活的密切联系。
【重点】
1.在具体情景中理解正比例和反比例两种数量关系。
2.判断两个相关量是否成正比例或反比例关系。
3.知道列表和画图等表示变量之间关系的方法。
【难点】
1.了解正比例的图象和画出正比例图象。
2.利用正比例和反比例知识解决简单的生活实际问题。
本单元内容是在学生已经掌握了比和比例的基础上学习的,正比例和反比例是比较重要的两种数量关系,也是今后学习数学和其他学科知识的重要基础。通过对正、反比例知识的学习,还可以加深对数量关系的认识,通过感知数量间的变化规律,获得初步的函数观念,提高解决问题的能力。
1.变化的量教学。
首先要引导学生看懂图表,然后让学生根据图表所要表达的信息回答问题,并尝试用自己的语言描述题目中变量之间的关系。也可以引导学生举出生活中一个量随另一个量变化的例子。
2.正比例教学。
要给学生充分思考、交流的时间,先让学生独立填表、观察,然后与同伴交流,并引导学生发现规律,从而得到正比例关系的意义。之后再引导学生动手画一画,发现正比例关系图象的特点,并能根据所给的图象回答问题。
3.反比例教学。
可类比正比例的教学,先鼓励学生独立观察、思考,然后小组交流,再引导学生发现规律,得出反比例关系的意义。让学生举出一些生活中成反比例关系的例子,并说说为什么成反比例关系。最后通过讨论让学生归纳出正比例和反比例的相同点与不同点。
1 变化的量
教材设置了“妙想6岁前的体重变化情况表和图”“骆驼体温变化图”等情景,让学生在观察这些情景的基础上,思考、讨论、交流,从而感受到生活中存在着许多相关联的变量。变化的量这部分内容,主要是让学生初步体会、理解函数思想,认识变化的量之间的关系,让学生经历相关联的量的多种表示方法,如表格表示法、图象表示法等。
1.结合具体的数学情景认识“变化的量”,并通过描述活动,了解其中一个量是怎样随着另一个量变化的,知道列表和画图是表示变量关系的常用的方法。
2.通过举例与交流活动,了解日常生活中存在着大量互相依存的变量,了解日常生活中一个量随着另一个量变化是普遍存在的现象。
【重点】 能判断两个变量是不是相互依赖的变量。
【难点】 用自己的语言描述两个变量之间的关系。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 方格纸等。
方法一
师生对话,引入新课。
师:从出生到现在,你的身高是如何变化的?
(引导学生交流与讨论)
师:我们不但身高在变化,我们的体重也在变化,你们知道自己从出生到现在的体重变化情况吗?
(请个别学生说说自己出生到现在体重的变化情况)
师:我们知道从出生到现在,身高和体重都在随着年龄的增长而增长,也就是说身高和体重都是两个变化的量。接下来我们就来认识变化的量。
(板书课题:变化的量)
[设计意图] 通过让学生课前调查自己身高和体重的变化,引出课题,让学生感受到生活中存在着许多变化的量,引起学生探究这些变化的量的欲望。
方法二
师:(陈述)生活中有很多量是不断变化的,有的不同变化量之间存在一定的关系,比如正方形的边长和正方形的周长,如果正方形的边长发生了变化,正方形的周长也会随之发生相应的变化。再如,如果每一天撕下当天的日历,天数的增加和剩下的日历张数之间有什么关系?这些就是我们本节课要研究的变化的量。
(板书课题:变化的量)
[设计意图] 通过老师的陈述,帮助学生认识生活中的一些数量是不断变化的,进而思考这些变量之间有什么关系,为本课时的学习做方向性引导。
一、探究妙想的体重变化情况。
下表是妙想6岁前的体重变化情况:(课件出示)
年龄
出生时
2岁
4岁
6岁
体重/kg
3.5
14.0
18.0
21.0
师:通过观察,你们发现了什么?
预设 生:发现妙想的年龄和体重都在变化。
师:观察表中所反映的内容,表中所涉及的量是哪两个量?它们是固定不变的量还是变化着的量?
预设 生:是年龄和体重两个量,它们是两个变化的量。
师:说一说,6岁前妙想的体重是如何随年龄的变化而变化的?
预设 生1:妙想的体重随年龄的增长而增加。
生 2:0~2岁是体重的增长高峰。
师:体重会一直随年龄的增长而变化吗?
(生学习交流)
师:(总结)体重和年龄是一组相互有着关系的量,但体重的增长是由人的生长规律决定的,现在我们还不能把这种关系清楚地表达出来,由此我们知道它们之间的关系比较复杂。
师:下面的图能反映妙想的年龄和体重变化的关系吗?
师:图中的哪组数字代表的是妙想的体重?
预设 生:竖轴或“0到25”等。
师:哪组数字代表妙想的年龄?
预设 生:横轴或“2,4,6”等。
师:图中的线代表什么?
预设 生:妙想的体重随年龄的变化情况。
[设计意图] 帮助学生感受表示变量的方式除了表格,还有图示(图象)等。
二、探究骆驼的体温变化情况。
师:生活中有很多变量可以通过图表表现出来,比如大家比较熟悉的天气情况,经常见到一天或某段时间的气温变化图,我们也来了解一下类似的曲线图吧。
(PPT课件出示教材第39页中部的曲线图)
(图中25时表示次日凌晨1时)
(教师引导学生观察并提问)
师:横轴表示什么?
预设 生:横轴表示时间。
师:纵轴表示什么?
预设 生:纵轴表示温度。
师:28时指的是什么时刻?
预设 生:28时指的是第二天凌晨4时。
师:一天中,骆驼体温最高是多少?最低是多少?分别在什么时刻?
预设 生:体温最高是40 ℃,最低是35 ℃;最高在16时,最低在4时。
师:图中所反映的两个变化的量是哪两个?
预设 生:横轴的时间和纵轴的骆驼的体温。
师:一天中,什么时间范围内骆驼的体温在上升?什么时间范围内骆驼的体温在下降?
预设 生:4时至16时在上升;16时至28时在下降(或16时至第二天凌晨4时)。
师:第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?
预设 生:相等。
师:骆驼的体温有什么变化规律吗?
(生交流讨论)
小结:骆驼的体温随着时间的变化而变化,并且变化的周期是一天。
[设计意图] 让学生观察骆驼的体温随时间变化的图象,鼓励学生根据图象体会变量之间的关系。学生在读图的过程中,将感受到骆驼的体温随时间呈周期性的变化。
三、观察生活中的变量。
师:(提问)(1)你们还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系?它们之间是怎样变化的?
(2)你们还发现我们学过的数学知识中有哪些量之间具有变化的关系?
(学生举例,教师给予肯定)
(3)是不是生活中的任意两个变量之间都存在着关系呢?请举例说明。
预设 生:不是,如赛场上两个球队的得分,虽然两个球队的得分情况都会发生变化,但不会一个球队的得分变化时,另一个球队的得分也跟着变化。
[设计意图] 根据图表等所要表达的信息,尝试用自己的语言描述题目中变量之间的关系。
(PPT课件出示教材第40页第3题情景图)
师:这位学生的发现里哪几个量是变量?7和3是不是变量?为什么?
预设 生:蟋蟀每分叫的次数和温度是变量。7和3是具体不变的数字。
师:如果用n表示蟋蟀每分叫的次数,用t表示当时的气温,你能用一个含有字母的式子表示这个近似关系吗?
预设 生:t=n÷7+3。
师:为什么在关系式里要用字母来表示蟋蟀每分钟叫的次数和当时的气温?
预设 生:因为它们是未知的变化的量。
师:你能发现蟋蟀每分叫的次数随气温有什么变化规律吗?
预设 生:蟋蟀每分叫的次数随着气温的升高而增加。
小结:在我们的生活中,存在着大量的相互有着关系的变量。其中一个量变化,另一个量也会随着发生变化。
[设计意图] 这个活动主要是让学生根据教材提供的信息,理解蟋蟀叫的次数和气温之间的近似关系可以用一个含有字母的式子来表示,即t=n÷7+3。
完成教材第40页“练一练”第2题。
(1)学生独立思考后,小组交流。
(2)集体汇报,集体订正。
【参考答案】 (1)转动过程中,到达的最高点是18 m,最低点是3 m。 (2)转动第一圈的过程中,0至6分时高度在增加,6至12分时,高度在降低。(3)到达最高点后,下一次再到达最高点需要经过12分钟。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:通过本节课的学习,我们了解了很多变化的量,如:年龄和体重是两个变化的量,时间和骆驼的体温是两个变化的量……
作业1
教材第40页“练一练”第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)小红看一本书,她把自己每天已看的页数和未看的页数做了一个统计。
已看的页数/页
25
48
96
120
178
未看的页数/页
175
152
104
80
22
(1)在小红所统计的表格中,( )与( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。
(2)已看的页数与未看的页数的和是( )页。
2.(重点题)4名学生看同一本书的情况如下表。
小兰
小华
小红
小张
每天看的页数/页
10
5
20
看完所用的天数/天
20
40
8
(1)把表填完整。
(2)表中( )和( )两个量发生了变化。
(3)当( )增加时,( )随之( );当( )减少时,( )随之( )。
(4)表中两个量的乘积是这本书的总页数,这本书一共有( )页。
【提升培优】
3.(难点题)妈妈购买西瓜的质量和应付的钱数如下表。
西瓜的质量/千克
5
4
3
2
应付的钱数/元
7.5
6
4.5
3
(1)表中( )和( )是相关联的两个量,应付的钱数随着( )的变化而变化。
(2)应付的钱数与西瓜的质量的比值是( )。
4.(难点题)小明的年龄和爸爸的年龄变化情况如下表。
小明的年龄/岁
5
8
10
12
20
爸爸的年龄/岁
32
38
(1)把表填完整。
(2)表中( )和( )是相关联的两个量,( )随着( )的变化而变化。
(3)小明的年龄和爸爸的年龄相差( )岁。
(4)如果用x表示小明的年龄,用y表示爸爸的年龄,用式子表示这两个变量之间的关系是( )。
【思维创新】
5.(探究题)一列火车行驶的时间和所行驶的路程如下表。
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
…
路程/千米
90
180
270
360
450
540
630
…
(1)表中有哪两种量?
(2)路程是怎样随时间的变化而变化的?
(3)时间用t表示,路程用s表示,用式子表示出路程s随时间t的变化规律。
【参考答案】
作业1:1.圆柱的体积随着高的变化而变化,高变大,体积变大,高减小,体积减小。
作业2:1.(1)已看的页数 未看的页数 未看的页数 已看的页数 (2)200 2.(1)25 10 (2)每天看的页数 看完所用的天数 (3)每天看的页数 看完所用的天数 减少 每天看的页数 看完所用的天数 增加 (4)200 3.(1)西瓜的质量 应付的钱数 西瓜的质量 (2)1.5 4.(1)11 35 37 39 47 (2)小明的年龄 爸爸的年龄 爸爸的年龄 小明的年龄 (3)27 (4)y=27+x 5.(1)火车行驶的路程和时间。 (2)路程随着时间的增加而增加。 (3)s=90t
变化的量
(1)年龄、体重
(2)时间、骆驼的体温
两个相互有着关系的量,其中一个量变化,另一个量也随着变化。
以观察、分析为主要活动方式,引导学生通过观察、分析,发现相关联的两种量之间的关系,从而体现学生学习的自主性,提高学生的观察能力。
对于初次接触函数知识的小学生来说,对量的理解还有一定的难度,部分学生不能深刻地理解量的含义。
1.让学生在理解相关联的两个变量的基础上,从生活中寻找相关联的量,激发学生对原有知识经验的回忆,加强学生之间的交流互动。
2.在教学中,让学生在观察、分析的基础上,通过小组交流、同伴交流等形式,互相合作,共同获取知识。
【练一练·40页】
1.圆柱的体积随着高的变化而变化,高变大,体积变大,高减小,体积减小。 2.(1)18 m 3 m (2)0~6分 6~12分 (3)12分钟 3.n7+3=t
小明骑自行车去上学。小明骑车的速度和所用的时间怎样变化?
[名师点拨] 小明从家到学校的路程是不变的。小明骑自行车的速度越快,用的时间就越短;骑自行车的速度越慢,用的时间就越长。所以说时间随速度的变化而变化。
[解答] 时间随速度的变化而变化。速度快,用的时间短;速度慢,用的时间长。
【知识拓展】 路程一定,速度快,用时短;速度慢,用时长。
鸟儿捉鱼
一条小河旁边长着两棵梧桐树,正好隔岸相望。
其中一棵树的高度是30米,另一棵树的高度为20米。两棵树顶上面各停了一只鸟。
突然,两只鸟儿同时看见河面上浮出了一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,而且在同一时间到达目标。
如果它们飞行的速度相同,请问这条鱼出现的地方距较高的梧桐树的树根近,还是距较矮的梧桐树的树根近?
【参考答案】 距较高的梧桐树的树根近。
函数的传统定义
函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自变量。
2 正比例
在学生对生活中的变量有了一定认识的基础上,本节课开始研究数学中比较重要的一种关系——正比例。研究正比例的意义和成正比例的量,教材设置两个问题情景:首先是正方形周长与边长、面积与边长变化关系的情景,通过表格、图象、表达式的比较,让学生体会正方形的周长和面积都随边长的增加而增加,从而感知“变化过程中,正方形的周长与边长的比值一定”,为认识正比例奠定基础;然后通过汽车行驶的路程与时间变化关系,引导学生认识路程随时间的变化而变化,在变化的过程中,路程与时间的比值相同,进而引出正比例的概念。在教材“试一试”中,通过研究“圆的面积与半径是否成正比例”引导学生思考判断正比例的方法;通过“乐乐和爸爸的年龄变化关系”提示学生不是所有量的关系都是正比例关系。
1.结合“正方形的周长与边长,正方形的面积与边长,路程、时间与速度”等情景,经历正比例意义的建构过程,能从变化中看到“不变”,认识正比例。
2.能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例,能举出生活中成正比例的实例,感受正比例在生活中的广泛应用。
3.经历比较、分析、归纳等数学活动,提高分析、比较、归纳概括能力,初步体会函数思想。
【重点】 能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
【难点】 理解成正比例的量的变化规律,即它们相对应的数的比值一定。
第课时 正比例的意义和成正比例的量
1.结合具体生活情景,认识成正比例关系的量。
2.感受正比例关系在生活中广泛存在。
【重点】 正比例的意义。
【难点】 成正比例关系的量的特点。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比例的相关知识。
方法一
情景感知。
(PPT课件出示一家布料店价格表)
长度/m
1
2
3
4
5
6
7
…
总价/元
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
…
(1)表中有哪两种量?
(2)长度变大,总价怎样?长度变小,总价怎样?
(3)相对应的总价和长度的比各是多少?比值是多少?
当学生回答完问题后,教师板书:6.22=3.1,9.33=3.1,12.44=3.1……
师:这个比值实际上是什么?你们能用一个关系式表示它们的关系吗?
预设 生:总价长度=单价(一定)。
小结:通过刚才的思考和分析,我们知道了总价和长度是两种相关联的量,总价是随着长度的变化而变化的:长度变大,总价也随着变大;长度变小,总价也随着变小。它们变大、变小的规律是:总价和长度的比值总是一定的。(板书课题)
[设计意图] 通过具体的生活情景,借助学生先前的比例知识,从正比例关系的最显著特点——比值一定入手,帮助学生感知本课时学习的核心内容。
方法二
对话切入。
师:上一节我们学习了变化的量,请同学们想一想,两个变量之间是否都有一定的关联?
预设 生1:有的变量之间没关联。
生 2:有的变量有关联。
师:同学们说得对。生活中有的变量之间存在一定的关联,今天我们就研究变量之间的一种特殊关系——正比例。(板书课题)
[设计意图] 通过师生对话,引导学生有的变量之间存在一种特殊的关系,帮助学生了解本节课的学习方向。
一、感知成正比例关系的量。
(PPT课件出示教材第41页上方的表格,让学生完成)
正方形的边长与周长:
边长/cm
1
2
3
周长/cm
4
正方形的边长与面积:
边长/cm
1
2
3
面积/cm2
1
小组合作探究,交流下列问题:
(1)分别求出周长与边长、面积与边长的比值。
(2)正方形的周长与边长、面积与边长分别成比例吗?
(3)周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗?
(学生汇报)
预设 生1:周长与边长的比值都是4。
生 2:正方形面积与边长的比值等于边长。
生 3:正方形周长与边长成比例,面积与边长不成比例。
生 4:正方形的周长和面积都随着边长的增加而增加。
二、研究量的变化规律。
在“正方形的周长与边长”的表格中:
(1)共有几种量?
(2)这几种量有没有关系?
(3)这几种量的对应数的比值都是怎样的?
小结:通过比较我们可以看出,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定。像这样的两种量我们就说它们成正比例。
三、生活中具有正比例关系的量。
完成教材第41页中部“汽车行驶路程与时间”的表格。
(1)计算出路程与时间的比。
(2)找出路程随时间的变化规律。
小组交流发现的规律。
活动总结:路程随时间的变化而变化,但变化的倍数始终不变。也就是“变化趋势相同”“比值一定”,即路程÷时间=速度(一定)。
师:生活中具有“比值一定”关系的量还有很多,大家还能举出这样的事例吗?
(生举例)
师:谁能用最简单的方法来表达所有符合这样的变化规律的两个量?
总结:(学生交流后)y÷x=k(一定)(符号化),像这样的两个量就说它们成正比例。
[设计意图] 帮助学生从抽象概括角度理解正比例。突破教材,学生可以用任意字母表示,明确所用字母的含义即可。当学生自己用任意字母写出正比例关系式后,教师让学生谈谈自己对“y÷x=k(一定)”的理解。
完成教材第42页“练一练”第1题。
(1)教师提示成正比例关系的量的特点。
(2)学生观察、分析表格。
(3)交流问题讨论结果。
【参考答案】 (1)竿影的长随着竹竿的高的变化而变化,竹竿越高,竿影越长。 (2)0.41=0.82=1.23=1.64=2.46=3.28=0.4,它们的比值相同。 (3)成正比例,理由略。
师:本节课我们学习了什么知识?
预设 生:我们学习了什么是正比例。
师:成正比例的两个量之间有什么关系呢?
预设 生:比值一定。
师:生活中还有很多具有正比例关系的量,我们要在生活中注意发现和总结这些问题。
作业1
教材第42页“练一练”第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)时间和路程两个量,时间变化,( )也随着变化,而且( )和( )的比值一定,我们就说时间和路程成( )。
(2)三角形的高一定,三角形的底和面积成( )比例。
(3)如果一个数是A(A≠0),另一个数是3A,则A和3A成( )比例。
2.(基础题)幼儿园老师给小朋友们分饼干情况如下表所示,根据表格中的内容回答下列问题。
人数/人
1
2
3
4
5
6
7
饼干数/块
3
6
9
12
15
18
21
(1)( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。
(2)从左往右观察,( )增加,( )也随着增加;从右往左观察,人数( ),饼干数也随着( )。
(3)已知( )是一定的,就是( )和( )的比值是一定的,所以( )和( )成( )。
【提升培优】
3.(重点题)一个房间的铺地面积和用砖数量如下表所示,按要求填空。
铺地面积/m2
1
2
3
4
5
用砖数量/块
25
50
75
100
125
(1)表中( )和( )是相关联的量,( )随着( )的变化而变化。
(2)表中第三组这两种量相对应的两个数的比(下比上)是( ),比值是( );表中第五组这两种量相对应的两个数的比(下比上)是( ),比值是( )。
(3)上面所求出的比值所表示的意义是( ),铺地面积和用砖数量的比的( )是一定的,所以铺地面积和用砖数量成( )。
【思维创新】
4.(难点题)下面是一辆时速为50 km的汽车行驶的时间与路程,以及一些人买同一种苹果时购买苹果的质量和应付的钱数的统计表。
(1)
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
路程/km
50
100
150
200
(2)
质量/kg
10
9
8
7
6
5
4
3
总价/元
20
18
16
将表格填写完整,从表中你发现了什么?
【参考答案】
作业1:4.如下表所示:
买邮票的数量/枚
1
2
3
4
5
6
7
8
应付金额/元
0.8
1.6
2.4
3.2
4.0
4.8
5.6
6.4
应付金额随购买邮票的数量的变化而变化,并且应付金额与买邮票的数量的比值(单价0.8元)不变,所以应付金额与买邮票的数量成正比例。
作业2:1.(1)路程 时间 路程 正比例 (2)正 (3)正 2.(1)人数 饼干数 饼干数 人数 (2)人数 饼干数 减少 减少 (3)每个小朋友分得的饼干数 饼干数 人数 饼干数 人数 正比例 3.(1)铺地面积 用砖数量 用砖数量 铺地面积 (2)75∶3 25 125∶5 25 (3)铺每平方米地面所用的砖块数 比值 正比例 4.(1)250 300 350 400 (2)14 12 10 8 6 发现:(1)路程时间=速度(一定) (2)总价质量=单价(一定)
正比例的意义和成正比例的量
正方形的周长与边长 路程与时间?成正比例:比值一定
用字母表示为:yx=k(一定)
正比例关系是比较抽象的数学量的关系,也是学生认识数学世界的一次思维转变,在这种认识的基础上,本课时的教学过程中,注意关注学生的知识和经验,注重学生借助具体情景去思考和探索,注重引导学生感受发现数学规律的乐趣。
在引导学生发现正方形边长和周长关系时,发现正方形边长和面积关系时,给学生主动发现规律的时间较少。在教学设计过程中,没能设计利于学生主动思考的问题,学生的思维一直是由教师牵着走。
课前做一定的比例知识复习,帮助学生做好知识的延伸和衔接。在课堂教学中,注意利用“练一练”的习题作为例题对学生进行点拨。
已知x与y是成正比例的两个量,请完成下表。
x
1
2
4
y
1.5
4.5
[名师点拨] 因为x,y是成正比例的两个量,所以表中x与y对应的两个数的比值是定值,即x∶y=1∶1.5=23,我们可由2÷y=23;x÷4.5=23;4÷y=23这几个方程分别求出表中另外几个未知量。
[解答] 填表如下。
x
1
2
3
4
y
1.5
3
4.5
6
【知识拓展】 若x与y相关联,且x与y的比值一定,则x,y成正比例。成正比例的两种相关联的量的变化情况是两种量同时扩大相同的倍数或同时缩小到原来的几分之几。
正比例自述
在遥远的数学王国里,有许多好玩的事物:整数、小数、分数、正数、负数等等,它们生活得非常快乐,整天都无忧无虑地玩耍。
有一天,数学王国里来了一位奇妙的正比例兄弟。数学王国的国王走过来,对大家说:“大家不要惊慌,这是我们数学家族中的一员,下面就请正比例介绍一下它自己吧!”
“大家好!我是正比例。我是表现两种或多种数字相关联的关系的。比如:当一个圆柱的底面积一定时(10平方厘米),它的体积和高就成正比例(高是1厘米,体积是10立方厘米;高是4厘米,体积是40立方厘米;高是5厘米,体积是50立方厘米)。”两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正比例关系。
第课时 判断两个量是否成正比例
结合具体生活情景,深化对正比例关系的认识,能够判断两个量是否成正比例。
【重点】 判断两个量是否成正比例。
【难点】 有密切关联的两个量不一定是正比例关系。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的相关知识。
方法一
情景感知。
(PPT课件出示)
一台机床工作时间和生产的零件个数的变化如下表:
工作时间(小时)
1
2
3
4
5
6
7
…
生产的零件个数
9
18
27
36
45
54
63
…
观察上表,回答下列问题:
(1)表中有哪两个相关联的量?
(2)工作时间增加,生产的零件个数怎样变化?
(3)一定的工作时间和对应的生产的零件个数的比是多少?比值是多少?
当学生回答完问题后,教师板书:19=19,218=19,327=19……
师:这个比值实际上是什么?你能用一个关系式表示它们的关系吗?
[设计意图] 通过具体的生活情景,从正比例关系的最显著特点——比值一定入手,帮助学生感知本课时学习的核心内容。
方法二
师:上一节我们学习了正比例的含义,那么我们怎么判断两个量是否成正比例呢?
预设 生1:根据正比例的意义判断。
生 2:根据两个量的比值判断。
(板书课题)
[设计意图] 通过开门见山的师生对话,引导学生思考怎么判断两个量是不是正比例关系。
活动一、探究圆的面积与半径是否成正比例。
完成教材第42页“试一试”第1题。
(1)思考:圆的面积与半径成正比例吗?让学生在小组中说说自己的想法。
(2)学生先独立思考,再与同伴交流。
(3)学生反馈汇报,并说明理由。
师:圆的面积和圆的半径有关联吗?
预设 生:有关联,圆的面积随着半径的变化而变化。
师:有关联就能判断圆的面积和圆的半径成正比例吗?
预设 生:不一定。
师:怎么能判断圆的面积和圆的半径是否成正比例呢?
(生交流讨论)
师:(强调)两个相关联的量,是否成正比例,关键是看两者的比值是不是固定不变的。如果比值一定,就成正比例,反之不成正比例。
师:圆的面积和圆的半径的比值是固定不变的吗?完成下表看一看。
圆的面积
3.14
12.56
28.26
…
圆的半径
1
2
3
4
5
6
7
…
预设 生:比值不固定。
师:(根据学生反馈进行小结)圆的面积公式是S=πr2,圆的面积随着半径的变化而变化。但通过计算,我们发现,圆的面积和半径的比值是不断变化的,所以不成正比例。
活动二、探究乐乐和爸爸的年龄是否成正比例。
(PPT课件出示教材第42页乐乐和爸爸的年龄变化情况表)
(1)要求学生独立把表格填写完整。
(2)试判断乐乐和爸爸的年龄成正比例吗?为什么?
(3)学生分析、计算后,反馈汇报。
引导学生回答:乐乐和爸爸的年龄是两个相关联的量,爸爸的年龄随着乐乐年龄的变化而变化,爸爸的年龄与乐乐的年龄之差一定,但它们的比值不相同,所以不成正比例。
活动三、生活中的成正比例和不成正比例的量。
生活中成正比例和不成正比例的例子还有很多,请同学们分别找一找,并与同伴交流。
(1)学生思考、寻找生活中成正比例和不成正比例的例子。
(2)学生小组内互相交流。注意分析其他同学说的例子是否正确。
(3)指名举例,并请其他同学判断所举的例子是否正确。
完成教材第42页“练一练”第3题。
(1)教师提示成正比例关系的量的特点。
(2)学生用两个量比值是否一定去判断。
(3)交流问题讨论结果。
【参考答案】 (1)成正比例,(2)(3)不成正比例(理由略)。
师:本节课我们学习了什么知识?
预设 生1:我们学习了怎么判断两个变量成正比例。
生 2:我们知道两个变量不一定成正比例。
师:成正比例的两个变量有什么特点呢?
预设 生:比值一定。
师:生活中还有很多具有正比例关系的量,我们要在生活中注意发现和总结这些问题。
作业1
教材第42页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)练习本总价和本数的比值是( ),当( )一定时,( )和( )成正比例。
(2)分数值一定,分子和分母成( )比例。
(3)用一定的钱购买物品,用掉的钱和剩下的钱( )正比例(填“成”或“不成”)。
(4)正方体的棱长的平方与它的表面积成( )比例。
2.(易错题)下面各题中的两种量是否成正比例?如果成正比例,请在题后面的括号里画“√”,否则画“?”。
(1)订阅《故事书》的本数和总钱数。(每本《故事书》的价钱相同) ( )
(2)长方形的宽一定,它的面积和长。 ( )
(3)大米的质量一定,吃了的和剩下的。 ( )
(4)每天播种的公顷数一定,播种的总公顷数和播种的天数。 ( )
(5)一个加数一定,和与另一个加数。 ( )
【提升培优】
3.(探究题)写出平均每小时加工零件数、加工时间和加工零件总数三者间的数量关系。在什么条件下,其中两个量成正比例?
【思维创新】
4.(难点题)速度一定,路程和时间成正比例,即路程时间=速度(一定)。像这样成正比例的关系式你能写几个?
【参考答案】
作业1:2.因为61=122=183=244=305=6,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面积与高成正比例。
作业2:1.(1)单价 单价 总价 本数 (2)正 (3)不成 (4)正 2.(1)√ (2)√ (3)? (4)√ (5)? 3.加工零件总数平均每小时加工零件数=加工时间 加工零件总数加工时间=平均每小时加工零件数 平均每小时加工零件数×加工时间=加工零件总数 当平均每小时加工零件数一定时,其余的两个量成正比例,当加工时间一定时,其余两个量成正比例 4.答案不唯一,如:总价数量=单价(一定),面粉质量小麦质量=出粉率(一定),工作总量工作时间=工作效率(一定)。
判断两个量是否成正比例
活动一、探究圆的面积与半径是否成正比例
活动二、探究乐乐和爸爸的年龄是否成正比例
活动三、生活中的成正比例和不成正比例的量
认识成正比例关系的量和判断两个变量是否成正比例是两个不同层次的教学问题。前者是正比例的特点,后者是判断两个变量成正比例的依据,本课时在教学的过程中较好地把握了这一点,为本课时的教学设计把握了一个正确的出发点。
在“比值一定”的问题探索中,给学生探索的时间较少,应该让学生进行充分探索后,再判断两个变量是否成正比例。
课前设计好探索圆的面积和半径关系的表格,供学生在探索过程中使用。在此强调生活中的变量关系是比较复杂的,为以后接着学习反比例做心理准备。
【练一练·42页】
1.(1)竿影的长随着竹竿的高的变化而变化,竹竿越高,竿影越长。 (2)0.41=0.82=1.23=1.64=2.46=3.28=0.4,它们的比值相同。 (3)成正比例,理由略。 2.因为61=122=183=244=305=6,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面积与高成正比例。 3.(1)成正比例,(2)(3)不成正比例(理由略) 4.如下表所示:
买邮票的
数量/枚
1
2
3
4
5
6
7
8
应付金额
/元
0.8
1.6
2.4
3.2
4.0
4.8
5.6
6.4
应付金额随购买邮票的数量的变化而变化,并且应付金额与买邮票的数量的比值(单价0.8元)不变,所以应付金额与买邮票的数量成正比例。
根据下表回答问题。
动画片的集数/集
5
10
15
30
40
…
放映的总时间/分
100
200
300
600
800
…
(1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?
(2)写出几组这两种量中相对应的两个数的比,并求出比值。
(3)说明比值的意义。
(4)表中相关联的量成正比例吗?为什么?
[名师点拨] 根据正比例的意义,充分利用题中所列的表,通过观察可得到表中两种相关联的量是动画片的集数与放映的总时间。放映的总时间是随着播放的集数的变化而变化的,计算出相对应的播放时间与播放集数的比值,都是20,即播放一集所需要的时间是20分。因为放映一集的时间一定,所以放映集数与放映的总时间成正比例。
[解答] (1)表中有动画片的集数与放映的总时间两种量,它们是相关联的量。 (2)1005=20,20010=20,30015=20,80040=20…… (3)20分表示放映一集动画片的时间。 (4)表中动画片的集数与放映的总时间成正比例。因为放映的集数与放映的总时间的比值是一定的,所以它们成正比例。
【知识拓展】 做题时要仔细观察,发现两种相关联的量之间的变化规律。
巧量树高
星期天,王老师带领同学们去春游。他们在一棵大树下休息,王老师对同学们说:“我们身旁的这棵大树很高,想什么办法可以测出它的高度呢?”同学们七嘴八舌地议论起来。
王刚从地上拣起一根树枝,对大家说:“这根树枝大约有1米长,把它立在地上,可以目测出它的影长大约是0.4米,我再用步测的方法测出大树的影长大约是4米,现在我们就可以计算出大树的高度了。”聪明的你知道大树的高度吗?
【参考答案】 10米。
3 画一画
继学生学习了变化的量和正比例之后,为帮助学生从图象的角度深刻认识正比例,教材设置了“画一画”这节课来研究正比例图象。本节课教材设置了看电影的问题情景,首先通过判断看电影的人数和所付票费之间是否成正比例关系,让学生进一步认识正比例,以及正比例中两个相关联的量之间的关系;然后让学生根据表中的数据在方格纸上描出成正比例的量的对应点,并用线连成正比例图象;最后让学生通过观察,了解正比例图象的特点,并能根据图象中一个变量的值估计所对应的变量的值。
1.结合具体情景,通过“画一画”的活动,初步认识正比例图象,体会“正比例图象是一条直线”的特点,深化对正比例的认识。
2.会在方格纸上描出成正比例的量的对应点,理解正比例图象上的点所表示的意义。
【重点】 认识正比例图象,了解正比例图象的特点。
【难点】 能借助图象根据一个量的值找出另一个量的值。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的相关知识。
方法一
情景导学。
一辆汽车行驶的时间和所行的路程如下表所示:
时间/时
1
2
3
4
5
…
路程/km
40
80
120
160
200
…
根据上表描点,再顺次连接各点,如下:
思考:你们发现了这些点之间有什么特点吗?
你们能从图上看出正比例关系的特征吗?(板书课题)
[设计意图] 在抽象出“数学模型”的基础上让学生进行拓展应用,体现“数学从生活中来,到生活中去”的思想,并在说理和辩论中碰撞思维,强化认识,渗透“抓住本质”认识事物的观点。
方法二
对话引入,突出主题。
师:请同学们回忆一下,两个量成正比例要满足什么条件?
预设 生:要满足两个条件:一是两种量是相关联的量,一种量随着另一种量的增加而增加或减少而减少;二是两种量中相对应数的比值不变。
师:说得很好。那同学们再思考一下:若y=5x,y和x成正比例吗?为什么?
预设 生:成正比例。因为y和x是两种相关联的量,y随着x的变化而变化,y和x的比值始终等于5,所以y和x成正比例。
师:y和x成正比例,y是x的5倍,它们之间的关系能通过画图得到吗?
(板书课题:画一画)
[设计意图] 引导学生运用已有知识,尝试用图的形式去直观地表示两个成正比例的量的变化关系。
方法三
话题导入,拓展思维。
(PPT课件出示)
判断下面的量是否成正比例。
(1)长方体的底面积一定,体积和高。
(2)每行的人数一定,总人数和行数。
(3)长方形的周长一定,长和宽。
(4)圆的周长和直径。
(学生观察分析,老师点名回答)
师:哪位同学能说一说?
预设 生1:长方体的底面积一定,体积和高成正比例。
生 2:每行的人数一定,总人数和行数成正比例。
生 3:长方形的周长一定,长和宽不成正比例。
生 4:圆的周长和直径成正比例。
师:同学们说得都对,同学们已经了解了正比例的意义,而且会判断两个相关联的变量是否成正比例。那么我们能否用图的形式去直观表示两个成正比例的量的变化关系?今天这节课,我们就一起来尝试画一画。(板书课题:画一画)
[设计意图] 先通过复习,让学生进一步理解正比例的意义,巩固判断两个量是否成正比例的方法,再直接揭示本节课的学习内容,使学生明确本节课的学习目标和任务。
一、通过表格研究变量的正比例关系。
(PPT课件出示)
全班同学去看电影,看电影的人数与所付票费如下表所示。
人数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
票费/元
0
2
4
6
…
师:请同学们把表格补充完整。
预设 生:填表如下:
人数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
票费/元
0
2
4
6
8
10
12
14
16
…
师:谁能说说表中两个量的关系?
预设 生1:这两个量都在变化,并且人数增多,所付票费也在不断增多。
生 2:人数和票费之比为1∶2。
生 3:票费和人数之比为2∶1。
师:通过表格中反映的票费和人数的关系,你能判断人数和票费之间是什么比例关系吗?
预设 生:它们的比值始终不变,所以这两个变量成正比例。
二、用图象表示两个变量的正比例关系。
1.描点。
师:你们能说说横轴和纵轴表示的含义吗?
预设 生:上图中横轴表示人数,纵轴表示所付票费。
师:能在图形中找到表格中的对应点吗?
预设 生:(在老师的指导下)在表格中找到对应的点。
师:(PPT课件展示作出的对应点)
师:你们是怎样找到这些对应点的?
预设 生1:先在横轴上找到对应的人数,再在纵轴上找到对应的票费。
生 2:先在纵轴上找到对应的票费,再在横轴上找到对应的人数。
2.正比例图象的特点。
师:选择其中的两点作直线,观察其他的点是否在这条直线上。
(生动手尝试)
师:同学们请看PPT课件的演示,注意观察连接各点之后是不是一条直线。
[设计意图] 通过学生的动手操作和老师的演示,帮助学生直观感受正比例关系的图象是一条直线。通过教师的引导,调动学生的积极性,让学生在课堂上多观察,多练习,主动参与到整个教学活动中来,通过观察正比例图象的特点,教师的主导作用与学生的主体地位达到了相互统一。
师:(小结)正比例的图象是一条直线。
3.正比例图象上点的意义。
师:刚才在描点时,每个点都对应一个有序数对,我们把这些点连起来,得到一条线段,这条线段能否继续延长?
预设 生:能。因为当人数是10人时,所需票费是20元;当人数是30人时,所需票费是60元……所以这条线段可以无限延长。
师:你们能根据图象,找出9人时应付多少票费吗?
(先让学生独立思考再交流)
师:(总结)先从横轴上找到表示9人的点,再从这点起作纵轴的平行线,交图象于一点,从该点作纵轴的垂线,可找到纵轴上对应的点是18。
师:小明说点(100,200)也在这条线上,你觉得他说得对吗?
(学生可以用不同的方法验证)
1.完成教材第45页“练一练”第1题。
(1)学生自主填写表格。
(2)判断所付船费与乘船的人数是否成正比例。
(3)根据表格中的数据,在方格图上描出对应的点,再顺次连接各点。
(4)要求学生判断点(8,40)是否在所画的直线上。
2.完成教材第45页“练一练”第2题。
审清题意,独立判断弹簧伸长的长度与所挂物体的质量是否成正比例。
师提示注意“在弹性限度内,弹簧伸长的长度与物体质量的比值”。
[设计意图] 通过实践性的课堂练习,让学生再一次经历画正比例图象和判断相关联的两个量是否成正比例的过程,这种数形结合的探究过程为今后的函数学习打下了扎实的基础。
【参考答案】 1.(1)20 25 30 35 (2)成正比例 (3)如下图所示。这些点在一条直线上 (4)在直线上,乘船人数为8人时,船费是40元
2.弹簧伸长的长度随所挂物体质量的变化而变化,并且0.41=0.82=1.23=1.64=25=2.46=0.4,即弹簧伸长的长度与所挂物体质量的比值不变,所以弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。
师:本节课我们学习了什么知识?
预设 生1:我们学习了用表格可以表示两个变量的关系。
生 2:正比例的图象是一条直线。
生 3:正比例图象上的点可以体现两个变量之间的关系。
师:生活中还有很多具有正比例关系的量,它们的图象都是一条直线吗?希望同学们能通过实例去验证你的猜想。
我们可以继续尝试下它们的图象是否都是一条直线。
作业1
教材第45页“练一练”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)完成下面表格,判断两种量是否成正比例。
本数
0
1
2
3
4
5
6
总价/元
0
1.5
3
4.5
2.(难点题)在下图中填空,并说说A,B两点分别表示什么意义。
3.(易错题)我是小法官,判断让我来。
(1)如果3x=8y(x,y均不为0),那么y与x成正比例。 ( )
(2)如果x3=y8(x,y均不为0),那么y与x成正比例。 ( )
【提升培优】
4.(重点题)一种日记本的数量和总价如下表。
数量/本
1
2
3
4
5
6
7
…
总价/元
5
10
15
20
25
30
35
…
(1)在下图中描出表示数量和对应总价的点,然后把它们连起来,说说图象的特点。
(2)利用图象回答,买8本日记本要多少元?80元能买多少本日记本?
【思维创新】
5.(开放题)下表是有关正方体钢块的一些量,哪两种量是成正比例的量?并说明理由。
棱长/cm
1
2
3
4
5
6
底面积
/cm2
1
4
9
16
25
36
表面积
/cm2
6
24
54
96
150
216
体积
/cm3
1
8
27
64
125
216
质量/g
7.8
62.4
210.6
499.2
975
1684.8
【参考答案】
作业1:3.(1)因为圆的周长随直径的变化而变化,周长与直径的比值不变(π为定值),所以圆的周长与直径成正比例。 (2)①16 15.7 ②47 47.1
作业2:1.6 7.5 9 成正比例 2.A(2,20) 表示2天看20页 B(4,40) 表示4天看40页 3.(1)√
(2)√ 4.(1)如下图。这些点在一条直线上。 (2)8×5=40(元) 80÷5=16(本)
5.钢块的表面积与底面积成正比例,因为表面积底面积=6(一定);钢块的质量与体积成正比例,因为质量体积=7.8(每立方厘米钢的质量,一定)。
画一画
一、通过表格研究变量的正比例关系
二、用图象表示两个变量的正比例关系
注重函数思想的渗透,让学生多观察、多思考,使学生发现正比例图象的特点,理清两个变量之间的关系,并学会判断某一点是否在正比例图象上,为后续进一步学习函数知识打下坚实的基础。
注重学生学习能力的培养,教学中由浅入深、循序渐进,精心引导学生通过独立计算、自主填表、观察描述、合作交流等,完成新知的构建,使学生逐步提高画图、读图并运用相关知识解决问题的能力。
个别学生对如何判断某一点是否在正比例图象上存在困难,需要给予更多的关注。
本节主要内容是教学正比例图象,正比例图象的学习是理解正比例意义的一种途径,能让学生更好地理解成正比例的两个量之间的变化规律,进行函数思想的渗透。因此在教学中要重视新旧知识间的衔接,通过新课前的复习、回顾,有效激活学生的已有知识、经验,为新知的顺利学习做好铺垫。
【练一练·45页】
1.(1)20 25 30 35 (2)成正比例 (3)如下图所示。这些点在一条直线上
(4)在直线上,乘船人数为8人时,船费是40元 2.弹簧伸长的长度随所挂物体质量的变化而变化,并且0.41=0.82=1.23=1.64=25=2.46=0.4,即弹簧伸长的长度与所挂物体质量的比值不变,所以弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。 3.(1)因为圆的周长随直径的变化而变化,周长与直径的比值不变(π为定值),所以圆的周长与直径成正比例。 (2)①16 15.7 ②47 47.1
在图中描点表示下面两个表格中的数量关系。连接各点,你发现了什么?
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
…
路程/千米
90
180
270
360
450
540
630
720
…
质量/千克
10
9
8
7
6
5
4
3
…
应付的钱
数/元
30
27
24
21
18
15
12
9
…
[名师点拨] 通过观察,发现表中的两种量都是成正比例关系的。
[解答]
发现图中的各点连接后在一条直线上。
【知识拓展】 当两个变量成正比例关系时,所描出的点在一条直线上,利用图象可以根据一个量的值直接找到对应的另一个量的值。
退瓶换水
炎热的暑假来临了,精灵鼠小弟和他的家人一
起去花果山旅游。途中他们走得又累又渴,便到商店买1扎(10瓶)汽水。喝完后,营业员说空瓶她们可以回收,要钱也行,还可以3个空瓶换1瓶汽水。于是精灵鼠小弟说:“全部换汽水!”结果,把换来的汽水喝了,空瓶又换了汽水。最后1个空瓶也没留下,你知道他们一共喝了多少瓶汽水吗?
【参考答案】 10+3+1+1=15(瓶)
正比例图象的作法
(1)在变量x允许的范围内取一个值,根据解析式求出y值。
(2)根据第一步求出的x,y的值描出点。
(3)作过第二步描出的点和原点的直线。
4 反比例
反比例关系是生活中一种重要的数量关系,本节课是在学习了“变化的量”“正比例及正比例图象”等比例知识的基础上对比例知识的深化,也是以后学习函数的基础,因此在教学中起着承上启下的作用。教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验,创设了两个情景:首先创设与长方形相关的问题情景,让学生了解面积一定的情况下,长方形的长与宽之间的关系,并体会到这种关系与前面所学的正比例关系的不同;然后又创设了“王叔叔游长城”的问题情景,让学生体会当路程一定时,汽车行驶的时间与速度的变化关系,引导学生认识到时间随速度的变化而变化,在变化过程中,时间与速度的积是一定的。在此基础上,让学生通过比较教材中实例的共同点,引出“反比例”概念。最后通过“试一试”的两个问题探讨怎样判断两个量成反比例。
1.结合“长方形相邻两边的长,路程、时间与速度”等情景,经历反比例意义的建构过程,能从变化中看到“不变”来认识反比例。
2.能根据反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成反比例,能举出生活中成反比例的实例,感受反比例在生活中的广泛应用。
3.经历比较、分析、归纳等数学活动,提高分析比较、归纳概括能力,初步体会函数思想。
【重点】 理解反比例的意义,能正确判断成反比例的量。
【难点】 掌握成反比例的量的变化规律。
第课时 反比例的意义和成反比例的量
1.通过观察、操作和比较,让学生认识反比例的意义。
2.理解、掌握反比例的变化规律及其特征。
【重点】 理解反比例的意义及其特征。
【难点】 掌握反比例的变化规律及其特征。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的相关知识。
方法一
设问导学。
师:什么是正比例?成正比例的量有什么特点?
(生自由回答)
师:下面三个问题中,哪两种量成正比例?为什么?
(1)速度一定,路程与时间。
(2)时间一定,路程与速度。
(3)路程一定,速度与时间。
预设 生1:速度一定,路程与时间成正比例。因为路程与时间是相关联的量,路程÷时间=速度,所以速度一定,路程与时间成正比例。
生 2:时间一定,路程与速度成正比例。因为路程与速度是相关联的量,路程÷速度=时间,所以时间一定,路程与速度成正比例。
生 3:路程一定,速度与时间不成正比例。因为路程=速度×时间,路程一定,速度与时间的乘积一定,而不是比值一定,所以不成正比例。
师:同学们刚才回答得很好,那么当路程一定时,时间和速度是什么关系?今天这节课,我们就来探究与之相关的问题。(板书课题)
[设计意图] 通过复习正比例的意义,判断两种量是否成正比例等活动,让学生感受到所学知识的局限性,激发学生的求知欲,为新知学习做好铺垫。
方法二
类比问题,迁移新知。
师:前面我们学习了正比例,请同学们回忆一下怎样判断两个相关联的量是否成正比例。
(老师指名回答)
师:谁能来简单概括一下两个相关联的量成正比例的关键是什么?
预设 生:它们的比值(商)一定。
师:看来大家对正比例知识理解掌握得非常好。学完正比例,接下来我们就该学习什么了?(反比例)是啊,有正就有反,这节课我们就来探究反比例的有关知识。(板书课题)
师:既然正与反意义是相反的,请同学们猜想一下,成反比例的两个量的关系是怎样的呢?(生猜想)
师:到底同学们的猜想是否正确呢?我们要用事实来验证。
[设计意图] 首先通过正比例的字面意思,猜想是否存在“反比例关系”,自然顺畅地提出新问题,激起学生探索的欲望,培养学生实事求是的科学精神。
一、借助表格中的量,寻找共同的变化规律。
(PPT课件出示教材第46页问题1)
师:在表1中,有哪几个变量?
预设 生:有长方形的相邻两边边长(即长和宽)这两个变量。
师:这两个变量之间有什么关系呢?请同学们完成表1。
(生独立完成表格填写后与同学交流)
师:长方形的一条边长增加,相邻的边长怎样变化?
预设 生:长方形相邻的边长减少。
师:在表2中,有哪几个量?
预设 生:有长方形的相邻两边边长(即长和宽)这两个变量。
师:这两个变量之间有什么关系呢?请同学们完成表2。
(生独立完成表格填写后与同学交流)
师:长方形的一条边长增加,相邻的边长怎样变化?
预设 生:长方形相邻的边长减少。
师:比较一下表1和表2,两个长方形的相邻两边边长变化有什么规律?
(生用自己的语言总结)
师:(小结)可见,通过表1和表2我们发现,问题中的两个长方形的相邻两边边长有着相同的变化规律。
二、借助表格中的量,寻找不同的变化规律。
师:表1中两个变量之间还有什么规律?
(引导学生从乘积结果思考变量之间的关系)
预设 生:它们的积一定,都是24。
师:表2中两个变量之间还有什么规律?
(引导学生从和的角度思考变量之间的关系)
预设 生:它们的和一定,都是12。但它们的积不相等。
师:表1和表2中的关系相同吗?
预设 生:不相同。表1中两个量的积一定,表2中两个量的和一定。
[设计意图] 学生通过观察、探究、发现,体验学习的艰辛与快乐,学生身临其境,学习解决问题的方法。
三、探究反比例的意义。
(PPT课件出示教材第46页问题2)
师:表中有哪几种量?
预设 生:速度和时间。
师:时间是怎样随速度的变化而变化的?
预设 生1:速度快,所需的时间少;速度慢,所需的时间多。
生 2:速度变大,所需的时间变小;速度变小,所需的时间反而变大。
生 3:时间随着速度的增加而减少,时间随着速度的减少而增加。
师:每两个相对应数的乘积是多少?
(PPT课件出示:10×12=120 60×2=120 80×1.5=120)
师:你们有什么发现?
预设 生:在变化过程中乘积一定,也就是路程一定。
师:你们能写出关系式吗?
(学生齐声回答:速度×时间=路程(一定))
小结:速度和时间这两个量,速度变化,所用的时间也随着变化,而且速度与时间的积(也就是路程)一定,我们就说速度和时间成反比例。
师:第一个问题中哪个表内的两个量是成反比例的呢?
预设 生:当面积是24平方厘米时,相邻两边的边长成反比例。而当周长是24厘米时,相邻两边的边长不成反比例。
(PPT课件展示)两种相关联的量,其中一种量在变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的积是一定的。像这样两种相关联的量就成反比例。
完成教材第47页“练一练”第1题。
【参考答案】 (1)如下表所示:
平均每天看的页数
10
15
20
30
40
看完全书所需天数
12
8
6
4
3
(2)看完全书所需天数随平均每天看的页数的增加而减少。 (3)因为平均每天看的页数与看完全书所需天数的乘积一定(总页数为120页),所以它们成反比例。
师:本节课学习的是什么内容?反比例的意义是什么?
预设 生:我们学习了反比例。通过学习,我们懂得了像速度和时间这两种相关联的量,速度变化,所用的时间也随之变化。如果速度和时间相对应的两个数的乘积(也就是路程)一定,我们就说速度和时间成反比例。
作业1
教材第47页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着( ),两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量叫作( ),它们的关系叫作( )。
(2)如果xy=k(一定),那么x和y之间的关系是( )关系。
(3)小明做12道数学题,做完的题和没做完的题( )比例。
2.(易错题)三角形的面积一定,它的底和高成什么比例?
【提升培优】
3.(重点题)已知x与y成反比例,填写下表。
x
36
12
9
y
1
2
【思维创新】
4.(拓展题)某大型酒店为迎接宾客,重新为酒店大厅铺地砖。设计了以下几种铺设方案并绘制出了图象。
(1)点A,B分别表示什么意义?
(2)从图象上估计一下,如果每块地砖的面积是0.8 m2,需要多少块地砖?
【参考答案】
作业1:2.如下表所示:
小敏
小锋
小英
小强
打字所用的
时间/分
30
40
60
80
速度/
(字/分)
80
60
40
30
(1)不同的人在打同一份稿件的过程中,总字数没有变。 (2)打字的速度随打字所用的时间的变化而变化,并且它们的乘积一定(总字数为2400个),所以它们成反比例。 (3)平均1分钟打100个字。
作业2:1.(1)变化 变量 反比例关系 (2)反比例
(3)不成 2.成反比例。 3.如下表:
x
36
18
12
9
y
1
2
3
4
4.(1)点A表示:用每块面积是0.3 m2的地砖,需铺2000块;点B表示:用每块面积是0.6 m2的地砖,需铺1000块。 (2)750块。
反比例的意义和成反比例的量
两种相关联的量,其中一种量在变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的积是一定的。像这样两种相关联的量就成反比例。
注重知识的迁移,渗透思想。借助正比例的意义和生活实例,让学生进一步体会函数思想,理解正比例比值不变的特点,为学生利用知识的迁移研究反比例的两个量之间的关系奠定良好的基础。
整个教学过程中,部分环节没有充分贯穿自主探究与合作的学习方式。
充分利用教材中的情景,让学生去观察分析,如让学生分析速度与时间的关系,从而理解反比例的意义和特点。
运送一批货物,每天运送的质量和需要的天数如下表所示:
每天运送的质量/吨
300
150
100
75
60
50
…
需要的天数/天
1
2
3
4
5
6
…
(1)相对应的两个数的乘积是多少?
(2)这个乘积表示的意义是什么?你能用式子表示它与每天运送的质量和需要的天数之间的关系吗?
(3)每天运送的质量与需要的天数成反比例吗?为什么?
[名师点拨] 判断两个量是否成反比例,先看是不是相关联的量,再看乘积是不是定值。
[解答] (1)相对应的两个数的乘积是300。 (2)这个乘积表示货物的总质量。 每天运送的质量×需要的天数=货物的总质量 (3)成反比例。它们的乘积一定。
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的。最初遗忘速度很快,以后逐渐变慢。他认为“保持和遗忘是时间的函数”,并根据他的试验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线。这条曲线告诉人们,在学习中的遗忘是有规律的,遗忘的进程不是均衡的,不是固定的一天丢掉几个,转天又丢几个的,而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快,后来就逐渐减慢了,到了相当长的时间后,几乎就不再遗忘了,这就是遗忘的发展规律,即“先快后慢”的原则。观察这条遗忘曲线,你会发现,学得的知识在一天后,如不抓紧复习,就只剩下原来的25%。随着时间的推移,遗忘的速度减慢,遗忘的数量也就减少。有人做过一个试验,两组学生学习一段课文,甲组在学习后不久进行一次复习,乙组不复习,一天后甲组保持98%,乙组保持56%;一周后甲组保持83%,乙组保持33%。乙组的遗忘平均值比甲组高。
第课时 判断两个量是否成反比例
1.能依据反比例的意义判断两种相关联的量成不成反比例。
2.进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力。
【重点】 能依据反比例的意义判断两种量成不成反比例。
【难点】 进一步认识事物之间的相互联系和发展变化规律。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习反比例的意义。
方法一
生活实例,引入新知。
(PPT课题出示)
想一想——下列每组两个变量是不是反比例关系。
(1)总价一定,购买笔记本的本数和单价成( )比例。
(2)有220吨货物,每次运的吨数和运的次数成( )比例。
(3)被除数一定(无余数),商和除数成( )比例。
(4)平行四边形的面积一定,它的底和高成( )比例。
(5)油的总量一定,每天的用油量和用油的天数成( )比例。
师:根据刚才的一些实例,同学们能不能总结一下判断两个量是否成反比例的一般性方法?
(板书课题)
[设计意图] 通过一组生活中常见的一些变量关系,初步帮助学生体会判断两个变量之间是否成反比例的基本方法。
方法二
对话引入,迁移新知。
师:前面我们学习了反比例,成反比例关系的两个量之间有什么特点?
(老师指名回答)
师:谁能概括一下两个相关联的量成反比例的关键是什么?
预设 生:两个变量的乘积是一定的。
师:看来大家对反比例的意义理解得非常好。我们能判断生活中的一些变量关系是否成反比例吗?(板书课题)
[设计意图] 判断两个关联的变量是否成反比例,是运用反比例的意义进行判定的,从这个角度引入问题,能较好地帮助学生建立知识之间的联系。
一、分析两个变量是否成反比例。
(PPT课件出示教材第47页“试一试”问题1)
师:请同学们思考:买苹果的总钱数一定时,苹果的单价与数量成反比例吗?并在小组内说说你是怎么想的。
(生先独立思考,再与同伴交流)
师:(PPT课件出示问题1左图)你同意下面这种观点吗?
(生讨论交流)
师:(总结)这种观点有一定的道理,但还没有给出足以让大家信服的理由,也就是说这种观点还没有抓住判断两个关联量是否成反比例的关键。
师:(PPT课件出示问题1右图)你同意下面这种观点吗?
(生讨论交流)
教师根据学生的汇报小结:买苹果的总钱数一定时,苹果的单价与数量成反比例。苹果的单价增加,数量就减少;苹果的单价减少,数量就增加。单价与数量的积是一定的。
二、领悟生活中变量之间关系的多样性。
(PPT课件出示教材第47页“试一试”问题2)
奇思读一本书,已读的页数与剩下的页数的情况如下:
已读的页数
1
2
3
4
…
剩下的页数
79
78
77
…
(1)请同学们独立把表格填写完整。
(2)试判断已读的页数与剩下的页数成反比例吗?为什么?
(3)学生分析、计算后,反馈汇报。
师引导学生回答:已读的页数和剩下的页数是两个相关联的量,剩下的页数随着已读的页数的变化而变化,“和一定”时,两个量不成反比例。即:不是说一个量增加,另外一个量随之减少,这两个量就一定成反比例。因为它们的积不相同,所以不成反比例。
三、生活中的反比例。
师:生活中成反比例的例子还有很多,请同学们分别找一找,再与同伴交流。
(1)学生思考并寻找生活中成反比例的例子。
(2)学生小组内互相交流。教师巡视,并注意引导学生分析其他同学说的例子是否正确。
(3)指名举例,并请其他同学判断所举的例子是否正确。
例如:长方形面积一定时,长与宽成反比例。路程一定时,速度和时间成反比例。
[设计意图] 在教师的精心组织、引导下,学生通过自主学习、合作探究、思考归纳等活动,提高自身对反比例的认识。使学生在对所学知识理解的基础上,发展思维能力和判断能力。
完成教材第47页“练一练”第5题。
【参考答案】 (1)小齿轮 小齿轮 (2)成反比例关系 (3)40×90÷24=150(圈)
师:怎样判断两个量是否成反比例呢?
预设 生:判断两种量是否成反比例,首先要判断这两种量是不是相关联的量,再运用数量关系式进行判断,看这两种量的积是否一定,最后得出结论。
作业1
教材第49页“练习四”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)从甲城到乙城,不同车辆行驶的速度和所需时间有如下关系。
速度/(千米/时)
6
15
20
30
60
时间/时
10
4
3
2
1
由表可知( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化,它们的( )一定,速度和时间是成( )的量。
(2)一块耕地有240米2。
每天播种的面积/米2
30
40
60
80
播种天数/天
8
6
4
3
由表可知( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。在变化的过程中,( )没有变,所以每天播种的面积与播种天数成( )比例。如果播种24天,那么平均每天播种( )米2。
2.(变式题)判断下面各题中的两个量是否成反比例,成反比例的在括号里面画“○”。
(1)和一定,一个加数和另一个加数。 ( )
(2)长方形的面积一定,它的长和宽。 ( )
(3)糖果总数一定,分的人数和平均每人分到的块数。 ( )
(4)一支铅笔总长度一定,用去的长度和剩下的长度。 ( )
(5)生产玩具的总件数一定,平均每天生产的件数和所用的天数。 ( )
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)速度一定,汽车行驶的路程和时间成反比例。 ( )
(2)单价一定,总价和数量成正比例。 ( )
(3)小云要做16道数学题,做完的题数和没做的题数成反比例。( )
(4)完成一项工程,工作效率和工作时间成反比例。 ( )
(5)将绳子剪成同样长的小段,剪成的段数和每段的长度成正比例。 ( )
【提升培优】
4.(变式题)a,b,c三种量的关系是b×c=a。(a,b,c非零)
(1)如果a一定,那么b,c成( )比例关系。
(2)如果b一定,那么a,c成( )比例关系。
(3)如果c一定,那么a,b成( )比例关系。
5.(重点题)填表。
(1)已知A和B成正比例。
A
1
3
5
7
50
60
B
25
(2)已知A和B成反比例。
A
2
8
10
0.5
B
5
1
10
【思维创新】
6.(探究题)甲、乙两地相距8000米,小刚和小强同时从甲地出发去乙地,小刚和小强的速度比是4∶3,小刚到达乙地时,小强离乙地还有多少米?
【参考答案】
作业1:3.(1)每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例。 (2)240块 (3)0.24 m2
作业2:1.(1)速度 时间 时间 速度 积 反比例 (2)每天播种的面积 播种天数 播种天数 每天播种的面积 播种的总面积 反 10 2.(2)○ (3)○ (5)○ 3.(1)? (2)√ (3)? (4)√ (5)? 4.(1)反 (2)正 (3)正 5.(1)5 15 35 250 300 (2)20 4 80 40 4 6.8000-8000÷4×3=2000(米)
判断两个量是否成反比例
两个变量之积一定是判断反比例关系的关键。
在深刻理解反比例意义的基础上引导学生如何判断两个变量是否成反比例关系。不但巩固了相关知识,也做到了对知识的活学活用。
没有特别强调正比例和反比例关系的联系与区别。
对正比例和反比例两种变量关系进行总结对比,帮助学生总结二者之间的联系和区别。
【练一练·47页】
1.(1)如下表所示:
平均每天看的页数
10
15
20
30
40
看完全书所需天数
12
8
6
4
3
(2)看完全书所需天数随平均每天看的页数的增加而减少。 (3)因为平均每天看的页数与看完全书所需天数的乘积一定(总页数为120页),所以它们成反比例。 2.如下表所示:
小敏
小锋
小英
小强
打字所用的时间/分
30
40
60
80
速度/(字/分)
80
60
40
30
(1)不同的人在打同一份稿件的过程中,总字数没有变。 (2)打字的速度随打字所用的时间的变化而变化,并且它们的乘积一定(总字数为2400个),所以它们成反比例。 (3)平均1分钟打100个字。
3.(1)(3)成,(2)(4)不成,理由略。 4.成反比例,理由略。 5.(1)小齿轮 小齿轮 (2)成反比例关系 (3)40×90÷24=150(圈)
【练习四·49页】
1.(1)如下表所示:
长度/m
0
1
2
3
4
5
6
…
应付金额/元
0
2
4
6
8
10
12
…
(2)成正比例,理由略。 (3)如下图所示。 (4)13元 (5)3倍
2.(1)成正比例 (2)成反比例 (3)既不成正比例,也不成反比例 3.(1)每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例。 (2)240块 (3)0.24 m2 4.(1)淘气骑车行驶了2小时,行驶了30千米。 (2)骑车1.5小时,淘气行驶了22.5千米。 (3)行驶30千米,淘气用了2小时。 (4)淘气骑车的速度是15千米/时。 5.如下表所示:
长/cm
36
18
12
9
6
宽/cm
1
2
3
4
6
面积一定时,长方形的长和宽成反比例。
判断下面各题中的两个量是否成比例。
(1)三角形的底一定,它的面积和高。
(2)苹果的总价一定,假设每个苹果的质量相同,每元钱买的苹果个数和买的数量。
[名师点拨] (1)判断三角形的面积和高是否成比例,首先要看它们是不是相关联的量,因为面积变化,高也随着变化,所以它们是相关联的量。三角形的面积公式是面积=底×高×12。因为底一定,所以面积高也一定,所以面积和高成正比例。(2)受关系式单价×数量=总价的干扰,本题易错误地判断成数量和每元钱买的苹果个数成反比例。在本题中,存在的数量关系是每元钱买的苹果个数×总价=买的数量。总价一定时,买的数量与每元钱买的苹果个数成正比例。
[解答] (1)成正比例。 (2)成正比例。
应用题中反比例关系归总
在无余数的除法中,当被除数一定时,除数和商成反比例关系。在分数中,当分数的分子一定时,分母与分数值成反比例关系。在比例中,比的前项一定,比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为:在购物问题中,总价一定,单价和数量成反比例关系。在行程问题中,路程一定,速度和时间成反比例关系。
财主和帽子
有一个吝啬的财主,拿了一匹上好的布料准备做一顶帽子,到了裁缝店,觉得这样好的布料做一顶帽子似乎浪费了,于是问裁缝:“这匹布可以做两顶帽子吗?”裁缝看了看财主,说:“可以。”财主见他回答得那么爽快,想:这裁缝肯定是从中占了什么便宜,于是又问:“那够做3顶帽子吗?”裁缝依然很爽快地说:“行!”这时,财主更加疑惑了,嘀咕着:“多好的一匹布啊,那我做4顶可以吗?”“行!”裁缝仍然很爽快地回答。
经过一番较量后,财主最后问:“那我想做10顶帽子可以吗?”裁缝迟疑了一会儿,然后打量着财主,慢慢地说:“可以的。”这时财主才放下心来,心想:这匹布我竟然做了10顶帽子,我还真聪明!
过了几天,财主到了裁缝店取帽子。结果一看,顿时傻了眼:10顶帽子小得只能戴在手指头上了!
因为每顶帽子用的布量×帽子数=布匹的总量,所以这匹布的大小不变,做的帽子数多了,每顶帽子就相对小了。小朋友们,你们明白其中的道理了吗?
数学好玩
2011年小学数学新课标指出:“综合与实践是一类以问题为载体,以学生自主参与为主的学习活动。”在本学期总复习之前安排了具有综合与实践性质的“数学好玩”。
教材设计了三个综合与实践活动。“绘制校园平面图”实践活动,主要运用“图形与位置”“比例尺”“测量”等知识绘制校园平面图,包括校园内的主要建筑、主要活动场所等。“神奇的莫比乌斯带”主要通过操作活动帮助学生感受数学的神奇,提高动手操作能力和空间想象力。“可爱的小猫”主要是利用图形的变化进行探究活动,主要意图是通过趣味性培养学生的创新思维。
1.通过利用所学的相关知识,提高学生的动手操作能力,培养学生的数学应用意识。
2.在实践活动中,培养学生发现问题、解决问题的能力,提升数学思维能力,提高学习兴趣。
【重点】 培养学生的动手操作能力,观察、分析能力。
【难点】 完成实践活动中的自主设计的活动要求。
第课时 绘制校园平面图
1.通过“绘制校园平面图”的实际操作活动,进一步理解并综合运用图形位置、测量、比例、数据收集等知识,积累“从头到尾”思考问题的经验。
2.经历设计方案、动手实践、交流反思的活动过程,发展统筹规划和按方案实践操作等综合实践能力,体验团结协作、获得成功的快乐。
3.在设计、测量、整理等实践活动中感受数学与生活的密切联系,进一步提高学习兴趣,发展自我反思能力。
【重点】 弄清各建筑物的位置及底面形状;能根据实际情况确定比例尺。
【难点】 根据测量的实际距离和绘图纸的大小确定比例尺。
【教师准备】 PPT课件,校园建筑物的名称卡片等。
【学生准备】 图画纸,彩笔等。
创设情境。
师:再过一段时间,同学们就要离开这个生活了六年的学校。怎么表达你们对母校的热爱呢?
预设 生:为母校唱一首歌、画一幅画、写一首小诗……
师:为了表达我们对母校的爱,请同学们给母校留一张大家亲手绘制的校园平面图吧!(板书课题:绘制校园平面图)
[设计意图] 通过谈话,激发学生对学校的热爱之情,并且让学生绘制一张校园平面图来表达对学校的爱,激起学生的学习兴趣,为新知的学习做好铺垫。明确本节活动课的任务,让学生了解本节课的学习目标,为学生自主探究做好准备。
一、设计方案。
(PPT课件出示教材第51页的两张图片)
师:观察这两张平面图,你们能说出它们有什么共同的地方吗?
预设 生1:都是按照“上北下南、左西右东”的方向绘制的。
生 2:都标着比例尺。
生 3:图上都是一些主要的建筑物。
师:从这两张平面图上,我们可以得出,在绘制校园平面图前,要做好哪些准备呢?
(生交流讨论)
师:(强调)在绘制校园平面图前,要做好如下几点准备:
(1)确定需要绘制哪些主要建筑物。
(2)明确要收集哪些数据,怎样收集这些数据。
(3)确定这张图的比例尺,并根据收集的数据计算出图上距离。
二、动手实验。
1.学生分小组进行校园主要建筑物的实际测量,并记录下相关的数据。
师:现在请各小组选派两名代表,一名同学负责汇报你们测量的是哪一部分,得出了什么数据,另一名同学负责把数据填写在黑板上的表格里。
2.学生分小组汇报,教师展示各建筑物的照片。
小组1:我们小组测量的是教学楼。
小组2:我们小组测量的是花坛、升旗台、试验室。
小组3:我们小组测量的是车棚、厕所、图书阅览室、乒乓球台。
小组4:我们小组测量的是仓库、画廊、雕塑、花坛。
小组5:我们小组测量的是大门、宣传窗、多功能教室。
小组6:我们小组测量的是体育园地、操场。
三、画平面图的步骤。
师:现在我们已经知道了主要建筑物的测量结果,下面请各小组讨论一下,要想画出校园的平面图,我们还要做些什么?
预设 生1:先根据测量的实际距离和绘图纸的大小确定比例尺。
(板书:1.确定比例尺)
生 2:按比例尺分别算出各种建筑物的图上距离。
(板书:2.计算图上距离)
生 3:根据各种建筑物的位置及底面形状,画出校园的平面图。
(板书:3.制作平面图)
师:下面请各小组按照大家自己研究的步骤和方法,画出校园平面图。大家有信心画好吗?(学生分小组画图,教师巡视,进行个别指导)
[设计意图] 通过设计学生熟悉的环境——“校园平面图”的过程,进一步巩固已经学习的有关知识,让学生学会应用数学知识解决实际生活中的问题,培养收集、整理、分析信息的意识和能力,以及爱校护校的良好情感。
四、交流评价。
师:各小组都已经把校园平面图画好了。现在,老师把每个小组画的平面图展示给大家。
(1)投影出各小组绘制的校园平面图,让学生观察。
(2)学生互评每张图画得是否准确、合理,针对画得有缺陷的平面图共同修改。
师:请同学们想一想,在上面的活动中,运用了哪些知识?采用了哪些收集数据的方法?
预设 生1:我们在上面的活动中,运用了测量、统计、比例尺、方向等知识。
生 2:我们用了测量、计算、估计等收集数据的方法。
师:利用我们绘制的校园平面图,可以帮助人们解决什么问题?
预设 生1:根据校园平面图,能估计出校园的大小。
生 2:根据校园平面图,可以很轻松地找到校园里的某个地方。
[设计意图] 让学生经历“检查——修改——反思——总结”的过程,回顾总结本节课运用的知识和采用的收集数据的方法,总结绘制校园平面图的基本步骤和过程。
师:同学们,生活中有许多问题都跟数学有关,就像我们这节课绘制的校园平面图一样。只要我们细心观察、认真思考,运用我们学过的知识认真分析,一定能找到解决问题的好方法,不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
绘制校园平面图
1.确定比例尺
2.计算图上距离
3.制作平面图
通过“新课导入”中的活动使学生带着对母校热爱的情感参与本次综合实践活动。在绘制校园平面图的过程中,首先帮助学生做好知识复习准备,通过引导帮助学生明确绘制校园平面图的基本步骤,最后通过展示和互评,为学生搭建了一个交流分享的平台。
在学生互评绘制的校园平面图的环节中,教师没有给出互评的参照标准。
绘制校园平面图的综合实践活动,需要事先师生做大量的准备工作,不能指望通过一节课就完成这个实践活动,因此教师和学生都要事先做好一定的准备工作。
第课时 神奇的莫比乌斯带
1.动手操作,验证交流,经历探索和认识莫比乌斯带的过程,积累数学活动经验。
2.在动手操作,对比探索中认识莫比乌斯带,学会将长方形纸条制作成莫比乌斯带,初步体会莫比乌斯带的特征。
3.在数学活动中经历猜想与探索的过程,感受莫比乌斯带的神奇变化,感受数学无穷魅力,进一步激发学生学习数学的兴趣和好奇心。
【重点】 “神奇的纸环”的做法及它的特点。
【难点】 探究“神奇的纸环”的神奇之处。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 剪刀,胶水,彩笔,彩色长方形纸。
情景激趣。
PPT课件出示教材第54页的纸环,其内侧有一点面包屑,外面有一只蚂蚁。
师:如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘,它能吃到面包屑吗?
(生交流讨论)
大部分学生认为不能吃到;还有一些同学不知所以;只有少数同学认为能吃到,但不知怎样才能吃到。
师:这节课我们就一起来学习、探究“神奇的纸环”。那么,看了这个课题你们有什么想法呢?
预设 生1:“神奇的纸环”是什么样子的?
生 2:“神奇的纸环”有什么神奇的地方?
生 3:“神奇的纸环”在生活中有哪些应用?
师:同学们想知道的还真不少。要想知道这些,还得从这张小小的纸条说起。
一、做一做——神奇的带子。
师:请同学们取出纸条,你们发现了什么?
(根据学生的回答板书:长方形纸条有4条边、2个面)
师:你们能把它变成两条边吗?请同学们试一试。
(引导学生动手实践:将纸条做成一个普通纸环,引导学生观察得出:普通纸环有2个面、2条边)
师:你能把这2个面变成1个面吗?
(PPT课件出示制作方法:先围成一个普通的纸环,然后将一端翻转180°,再用胶带粘牢)
师:请同学们按照老师演示的方法做一个这样的纸环。
(小组合作,互相帮助)
师:现在蚂蚁能吃到面包屑了吗?
(引导学生操作:学生在带子上点上两个点,其中一个代表面包屑,一个代表蚂蚁,观察后发现不管面包屑标在什么地方,小蚂蚁都能吃到)
师:这样一个纸环真的只有一条边、一个面吗?我们一起来检验吧!
(指导学生操作:学生分别在“神奇的纸环”上各取一点。从这点开始涂色,不能翻过边缘一直涂下去)
师:你们有什么发现?
预设 生:“神奇的纸环”上全涂了颜色,又回到了起点,说明只有一个面。
(指导学生用手沿着其中的一条边走,能回到原点,说明只有一条边)
师:你们知道这样的一个纸环叫什么名字吗?它是德国数学家莫比乌斯在1858年偶然间发现的,所以就以他的名字命名为“莫比乌斯带”,也有人叫它“莫比乌斯圈”,还有人管它叫“怪圈”。
二、剪一剪——研究莫比乌斯带。
“神奇的纸环”到底有多神奇呢?下面我们就用“剪”的办法来研究。
1.观察普通纸环。
师:如果沿着普通纸环的中间剪下去,会变成什么样呢?请同学们认真观察老师是怎么剪的。
预设 生:变成2个分开的纸环。
(学生自己动手验证一下)
2.观察“神奇的纸环”。
师:我们也用剪刀沿中间剪开,同学们猜一猜会变成什么样子?(启发学生想象力)
师:要想知道它到底会变成什么样子的,我们该怎样做?
(生剪剪看)
师:为了不把它剪断,先看老师是怎样开始剪的?大家剪的时候一定要注意安全!
师:同学们在这个纸环中间画一条线,我们沿着中间这条线把这个纸环剪开。
师:剪完的同学举起来给大家看一看。太不可思议了!怎么会变成这个样子呢?
预设 生:因为莫比乌斯带是扭了180度才粘在一起的,所以剪开后好像伸开了一样,变成了一个更大的纸环。
师:学到了这里,你们对“神奇的纸环”有了怎样的感觉呢?
预设 生:太神奇了。
3.继续神奇。
师:大家还想不想继续感受这个纸环的神奇?如果我们要沿着三等分线剪,猜一猜:要剪几次?剪的结果会是怎样呢?
(学生动手操作,同桌合作帮助)
(验证结果:变成了一个大纸环套着一个小纸环)
师:沿中线或沿三等分线剪莫比乌斯带得到的结果是不一样的,你们还想怎样剪?结果会怎样呢?在小组内说说看。
(教师引导学生说出自己的想法)
师:同学们的想法真好,课后同学们去实践一下,看看是不是你们猜想的结果。
[设计意图] 通过让学生动手实践,进一步感受“神奇的纸环”的神奇之处,增强学生学习数学的兴趣。
三、说一说——莫比乌斯带的应用。
师:“神奇的纸环”不但很神奇,而且它在生活中还有许多用处呢!有些机器上的传动带就是做成这种带子的形状,这样就不会只磨损一个面,使传动带的寿命提高了一倍,有些过山车的轨道也采用了这种原理来设计。
请欣赏图片(PPT课件展示):
1.过山车(有些过山车的轨道采用的就是莫比乌斯带原理)
2.莫比乌斯爬梯
3.哈萨克斯坦新国家图书馆
4.克莱因瓶
师:一个长条扭一扭,两条短边手牵手,
变出莫比乌斯带,单侧曲面把路开。
来呀,我的好朋友,科学探索一起走!
让我们今天的课结束在这首有趣的童谣中吧。希望同学们像童谣中说的那样,在数学王国的大道上越走越远!
神奇的莫比乌斯带
做一做——神奇的带子
剪一剪——研究莫比乌斯带
说一说——莫比乌斯带的应用
帮助学生感受数学的神奇,激发学生的探究欲望和创新精神是本课时的主要活动目的。在活动的过程中,本着师生共同参与,以学生自主活动、亲身体验为主,让学生置身于数学世界的神奇之中,较好地调动了学生的参与热情和探索欲望。
在课时教学的过程中,没有充分关注学生动手操作能力的差异。
在学生动手操作的过程中,关注学生动手操作能力的差异。同时,教师可以让学生参照PPT课件进行操作,这样可以帮助学生成功操作,通过成功体验探索的快乐。
第课时 可爱的小猫
“可爱的小猫”主要是让学生根据确定的点写出对应的数对以及根据数对所确定的点,描画出相应的图形,这是对数对知识的复习及应用。教材为了增强描画的趣味性,首先让学生根据小猫的轮廓,写出相应点的数对,让学生复习数对的知识;然后让学生寻找另外三只小猫的数对的规律,并根据数对的变化规律,把相应点的数对填写完整;再让学生根据数对画出三只小猫,让学生感受到,由于数对变了,所画的小猫的图形也发生了伸缩变化;最后让学生根据图形“变形”的方法,设计图案。
【重点】 掌握用有序数对表示图中的点的方法,并能应用数对中数的扩大或缩小,完成图形的放大或缩小。
【难点】 能根据数对的变化规律对图形进行变形。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 作业纸,尺子,透明方格纸,水彩笔若干。
师:同学们以前学过比、数对、用字母表示数等内容。现在回忆一下,谁能说说它们的含义?
预设 生1:两个数相除又叫作两个数的比。
生 2:数对是用两个数来表示一个点的位置,它是有顺序的。
生 3:用字母可以表示任何数。
师:谁能举出生活中应用放大和缩小的例子?
预设 生1:拍照是应用缩小的例子。
生 2:放大镜是应用放大的例子。
师:想一想,怎样放大或缩小图形,才能使得到的图形像原来的图形?
预设 生:只有把图形的各边按相同的比扩大或缩小,才能使放大或缩小后的图形与原图形相像。
师:这节课我们继续动手操作,看看哪只小猫与乐乐画得像?
(板书课题)
[设计意图] 充分利用学生熟悉、感兴趣的情景导入新课,提高学生的学习兴趣。
一、探究“小猫”的变形。
(PPT课件出示教材第56页小猫乐乐的图片)
师:说一说点A(2,0)中,2和0分别表示什么。
预设 生:2表示列,0表示行。
师:分别说说B(4,0),C(6,2),D(6,6)各数对中的数字所表示的意义。
(生根据数对的含义进行交流)
师:组成小猫乐乐轮廓的点E,F,G,H,I,J的数对是什么?
预设 生:E(5,8),F(4,6),G(2,6),H(1,8),I(0,6),J(0,2)。
师:(小结)在格子图中,可以用有序数对来表示位置,一般第一个数表示其所在的列,第二个数表示其所在的行,然后将这两个数用括号括起来。
二、探究“天天”“晶晶”“欢欢”轮廓点的数对规律。
(PPT课件出示教材第56页的表格)
1.寻找数对变化规律。
师:观察表中表示每只小猫轮廓的点的数对,与乐乐的相比,天天的有什么特点?晶晶的呢?欢欢的呢?
(学生小组内交流讨论)
预设 生1:与乐乐的相比,表示天天轮廓的点的数对是第一个数乘2,第二个数不变。
生 2:与乐乐的相比,表示晶晶轮廓的点的数对是第一个数不变,第二个数乘2。
生 3:与乐乐的相比,表示欢欢轮廓的点的数对是第一个数和第二个数都乘2。
2.按照上面的规律,把表格填完整。
(学生独立完成,然后小组内交流)
[设计意图] 对学习有困难的学生可进行指导,可以给学生做一个示范,再让学生把表格补充完整。
3.在方格纸中分别画出三只小猫的轮廓。
(1)学生独立描点。
(2)展示学生的作品。
师:观察比较,说说哪只小猫长得像乐乐。
预设 生1:小猫天天的轮廓变宽了。
生 2:小猫晶晶的轮廓变长了。
生 3:只有小猫欢欢最像小猫乐乐。
师:(小结)在数对变化时,天天的只把第一个数扩大为原来的2倍,晶晶的只把第二个数扩大为原来的2倍,而欢欢的是把第一个和第二个数都扩大为原来的2倍,也就是说欢欢是将乐乐放大为原来的2倍得到的,所以与乐乐最像。
只有数对的两个数都扩大相同的倍数,形成的图形与原来的图形才像。
4.设计方案。
师:生活中,可以利用上面的方法将图案进行“变形”。
(PPT课件出示教材第57页的“M”)
要求学生在方格纸上设计图案。
将学生画得有代表性的图案进行展示,学生进行评价,说说是怎样变形的。
【巩固练习】
填出表示各点的数对。
A(2,4),B(5,1),C( , ),D( , ),E( , ),F( , ),G( , ),H( , )。
依次连接各点。
【参考答案】 C(10,2),D(13,4),E(7,4),F(7,6),G(7,10),H(3,6)。图略。
这节课你们有什么收获?快跟同伴分享一下吧。
可爱的小猫
探究“小猫”的变形
“天天”“晶晶”“欢欢”轮廓点的数对规律
本活动的核心内容是帮助学生感受图形的变化。动手操作感受图形的变化,是学生参与数学实践活动的一种方式。在动手操作之后,感受图形变化的同时,再引领学生从知识的角度分析为什么会这样变化,很好地把数学知识和数学实践结合起来。
个别学生粗心使变化的图形“走样”,没有提示学生操作中要注意的问题。
在教学的过程中,要充分注意培养学生细心观察、严谨实践的科学精神,提示学生要注意的问题,同时要关注学生动手操作能力的差异。
【巩固应用·60页】
1. 2.如下表所示:
底面
半径
/cm
高/cm
圆柱
圆锥体
积/cm3
侧面积
/cm2
表面积
/cm2
体积
/cm3
2
15
188.4
213.52
188.4
62.8
6
20
753.6
979.68
2260.8
753.6
3.(1)13×3.14×(6÷2)2×1.2=11.304(m3) (2)11.304×700=7912.8(kg) 4.3.14×(5×2)×80×20=50240(cm2) 5.(1)3.14×32×2+3.14×(3×2)×(3×2)=169.56(dm2) (2)3.14×32×(3×2)=169.56(dm3) 169.56 dm3=169.56升 6.(1)13×3.14×(2÷2)2×3=3.14(cm3) (2)13×3.14×(6÷2)2×9-13×3.14×1.52×4.5=74.1825(cm3) 7.x∶12=12∶18,x=8 12∶18=18∶y,y=27 8.x=0.48 x=35 x=9.6 9.(1)长
为12×200=2400(cm),2400 cm=24 m,宽为10×200=2000(cm),2000 cm=20 m,深为2×200=400(cm),400 cm=4 m。 (2)24×20=480(m2) 10.(1)成反比例 (2)成正比例 (3)不成比例 11.如下表所示:
参与分糖的人数
8
6
12
2
3
1
每人分到糖的数量/块
3
4
2
12
8
24
因为糖的总块数是不变的,所以参与分糖的人数与每人分到糖的数量成反比例。 12.(1)如下表所示:
原价/元
10
20
30
40
50
现价/元
8
16
24
32
40
(2)略 (3)0.8x 因为现价与原价的比值都是0.8,所以现价与原价成正比例。 14.答案不唯一。(1)图1中的图A先向右平移3格,再向下平移2格得到图2。
本单元的主要教学内容是变化的量、正比例及其图象和反比例。重点是理解正、反比例的意义,难点是判断两个量成什么比例关系。
正比例关系、反比例关系是两种重要的数量关系,渗透了初步的函数思想。这部分内容比较抽象、难懂,好在学生对比例的知识已有了一定的理解,并且六年级学生已经具备了一定的探索、合作、交流、自主学习的能力。
1.结合具体情景,体会生活中存在着大量互相依赖的变量,体会数学与生活的联系;在具体情景中,尝试用自己的语言描述两个变量之间的关系,知道列表或画图都是表示变量之间关系常用的方法。
2.结合丰富的实例,经历正比例、反比例意义的建构过程;能从变化中看到“不变”,认识正比例和反比例;能根据正比例和反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例或反比例;能举出生活中成正比例和反比例关系的实例。
3.初步了解正比例的图象是一条直线,能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应的图象。
经历如何根据数对画出图形的过程,从而掌握方法。
会利用正比例和反比例的相关知识解决一些简单的生活问题。
1.在学习正比例和反比例的过程中,渗透函数思想,使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。
2.在探索数学问题的过程中,体验学习数学的趣味性。在运用数学知识和方法解决问题的过程中,体验数学价值、感受数学与生活的密切联系。
【重点】
1.在具体情景中理解正比例和反比例两种数量关系。
2.判断两个相关量是否成正比例或反比例关系。
3.知道列表和画图等表示变量之间关系的方法。
【难点】
1.了解正比例的图象和画出正比例图象。
2.利用正比例和反比例知识解决简单的生活实际问题。
本单元内容是在学生已经掌握了比和比例的基础上学习的,正比例和反比例是比较重要的两种数量关系,也是今后学习数学和其他学科知识的重要基础。通过对正、反比例知识的学习,还可以加深对数量关系的认识,通过感知数量间的变化规律,获得初步的函数观念,提高解决问题的能力。
1.变化的量教学。
首先要引导学生看懂图表,然后让学生根据图表所要表达的信息回答问题,并尝试用自己的语言描述题目中变量之间的关系。也可以引导学生举出生活中一个量随另一个量变化的例子。
2.正比例教学。
要给学生充分思考、交流的时间,先让学生独立填表、观察,然后与同伴交流,并引导学生发现规律,从而得到正比例关系的意义。之后再引导学生动手画一画,发现正比例关系图象的特点,并能根据所给的图象回答问题。
3.反比例教学。
可类比正比例的教学,先鼓励学生独立观察、思考,然后小组交流,再引导学生发现规律,得出反比例关系的意义。让学生举出一些生活中成反比例关系的例子,并说说为什么成反比例关系。最后通过讨论让学生归纳出正比例和反比例的相同点与不同点。
1 变化的量
教材设置了“妙想6岁前的体重变化情况表和图”“骆驼体温变化图”等情景,让学生在观察这些情景的基础上,思考、讨论、交流,从而感受到生活中存在着许多相关联的变量。变化的量这部分内容,主要是让学生初步体会、理解函数思想,认识变化的量之间的关系,让学生经历相关联的量的多种表示方法,如表格表示法、图象表示法等。
1.结合具体的数学情景认识“变化的量”,并通过描述活动,了解其中一个量是怎样随着另一个量变化的,知道列表和画图是表示变量关系的常用的方法。
2.通过举例与交流活动,了解日常生活中存在着大量互相依存的变量,了解日常生活中一个量随着另一个量变化是普遍存在的现象。
【重点】 能判断两个变量是不是相互依赖的变量。
【难点】 用自己的语言描述两个变量之间的关系。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 方格纸等。
方法一
师生对话,引入新课。
师:从出生到现在,你的身高是如何变化的?
(引导学生交流与讨论)
师:我们不但身高在变化,我们的体重也在变化,你们知道自己从出生到现在的体重变化情况吗?
(请个别学生说说自己出生到现在体重的变化情况)
师:我们知道从出生到现在,身高和体重都在随着年龄的增长而增长,也就是说身高和体重都是两个变化的量。接下来我们就来认识变化的量。
(板书课题:变化的量)
[设计意图] 通过让学生课前调查自己身高和体重的变化,引出课题,让学生感受到生活中存在着许多变化的量,引起学生探究这些变化的量的欲望。
方法二
师:(陈述)生活中有很多量是不断变化的,有的不同变化量之间存在一定的关系,比如正方形的边长和正方形的周长,如果正方形的边长发生了变化,正方形的周长也会随之发生相应的变化。再如,如果每一天撕下当天的日历,天数的增加和剩下的日历张数之间有什么关系?这些就是我们本节课要研究的变化的量。
(板书课题:变化的量)
[设计意图] 通过老师的陈述,帮助学生认识生活中的一些数量是不断变化的,进而思考这些变量之间有什么关系,为本课时的学习做方向性引导。
一、探究妙想的体重变化情况。
下表是妙想6岁前的体重变化情况:(课件出示)
年龄
出生时
2岁
4岁
6岁
体重/kg
3.5
14.0
18.0
21.0
师:通过观察,你们发现了什么?
预设 生:发现妙想的年龄和体重都在变化。
师:观察表中所反映的内容,表中所涉及的量是哪两个量?它们是固定不变的量还是变化着的量?
预设 生:是年龄和体重两个量,它们是两个变化的量。
师:说一说,6岁前妙想的体重是如何随年龄的变化而变化的?
预设 生1:妙想的体重随年龄的增长而增加。
生 2:0~2岁是体重的增长高峰。
师:体重会一直随年龄的增长而变化吗?
(生学习交流)
师:(总结)体重和年龄是一组相互有着关系的量,但体重的增长是由人的生长规律决定的,现在我们还不能把这种关系清楚地表达出来,由此我们知道它们之间的关系比较复杂。
师:下面的图能反映妙想的年龄和体重变化的关系吗?
师:图中的哪组数字代表的是妙想的体重?
预设 生:竖轴或“0到25”等。
师:哪组数字代表妙想的年龄?
预设 生:横轴或“2,4,6”等。
师:图中的线代表什么?
预设 生:妙想的体重随年龄的变化情况。
[设计意图] 帮助学生感受表示变量的方式除了表格,还有图示(图象)等。
二、探究骆驼的体温变化情况。
师:生活中有很多变量可以通过图表表现出来,比如大家比较熟悉的天气情况,经常见到一天或某段时间的气温变化图,我们也来了解一下类似的曲线图吧。
(PPT课件出示教材第39页中部的曲线图)
(图中25时表示次日凌晨1时)
(教师引导学生观察并提问)
师:横轴表示什么?
预设 生:横轴表示时间。
师:纵轴表示什么?
预设 生:纵轴表示温度。
师:28时指的是什么时刻?
预设 生:28时指的是第二天凌晨4时。
师:一天中,骆驼体温最高是多少?最低是多少?分别在什么时刻?
预设 生:体温最高是40 ℃,最低是35 ℃;最高在16时,最低在4时。
师:图中所反映的两个变化的量是哪两个?
预设 生:横轴的时间和纵轴的骆驼的体温。
师:一天中,什么时间范围内骆驼的体温在上升?什么时间范围内骆驼的体温在下降?
预设 生:4时至16时在上升;16时至28时在下降(或16时至第二天凌晨4时)。
师:第二天8时骆驼的体温与前一天8时的体温有什么关系?
预设 生:相等。
师:骆驼的体温有什么变化规律吗?
(生交流讨论)
小结:骆驼的体温随着时间的变化而变化,并且变化的周期是一天。
[设计意图] 让学生观察骆驼的体温随时间变化的图象,鼓励学生根据图象体会变量之间的关系。学生在读图的过程中,将感受到骆驼的体温随时间呈周期性的变化。
三、观察生活中的变量。
师:(提问)(1)你们还发现生活中有哪两个量之间具有变化的关系?它们之间是怎样变化的?
(2)你们还发现我们学过的数学知识中有哪些量之间具有变化的关系?
(学生举例,教师给予肯定)
(3)是不是生活中的任意两个变量之间都存在着关系呢?请举例说明。
预设 生:不是,如赛场上两个球队的得分,虽然两个球队的得分情况都会发生变化,但不会一个球队的得分变化时,另一个球队的得分也跟着变化。
[设计意图] 根据图表等所要表达的信息,尝试用自己的语言描述题目中变量之间的关系。
(PPT课件出示教材第40页第3题情景图)
师:这位学生的发现里哪几个量是变量?7和3是不是变量?为什么?
预设 生:蟋蟀每分叫的次数和温度是变量。7和3是具体不变的数字。
师:如果用n表示蟋蟀每分叫的次数,用t表示当时的气温,你能用一个含有字母的式子表示这个近似关系吗?
预设 生:t=n÷7+3。
师:为什么在关系式里要用字母来表示蟋蟀每分钟叫的次数和当时的气温?
预设 生:因为它们是未知的变化的量。
师:你能发现蟋蟀每分叫的次数随气温有什么变化规律吗?
预设 生:蟋蟀每分叫的次数随着气温的升高而增加。
小结:在我们的生活中,存在着大量的相互有着关系的变量。其中一个量变化,另一个量也会随着发生变化。
[设计意图] 这个活动主要是让学生根据教材提供的信息,理解蟋蟀叫的次数和气温之间的近似关系可以用一个含有字母的式子来表示,即t=n÷7+3。
完成教材第40页“练一练”第2题。
(1)学生独立思考后,小组交流。
(2)集体汇报,集体订正。
【参考答案】 (1)转动过程中,到达的最高点是18 m,最低点是3 m。 (2)转动第一圈的过程中,0至6分时高度在增加,6至12分时,高度在降低。(3)到达最高点后,下一次再到达最高点需要经过12分钟。
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?(学生反馈)
预设 生:通过本节课的学习,我们了解了很多变化的量,如:年龄和体重是两个变化的量,时间和骆驼的体温是两个变化的量……
作业1
教材第40页“练一练”第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)小红看一本书,她把自己每天已看的页数和未看的页数做了一个统计。
已看的页数/页
25
48
96
120
178
未看的页数/页
175
152
104
80
22
(1)在小红所统计的表格中,( )与( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。
(2)已看的页数与未看的页数的和是( )页。
2.(重点题)4名学生看同一本书的情况如下表。
小兰
小华
小红
小张
每天看的页数/页
10
5
20
看完所用的天数/天
20
40
8
(1)把表填完整。
(2)表中( )和( )两个量发生了变化。
(3)当( )增加时,( )随之( );当( )减少时,( )随之( )。
(4)表中两个量的乘积是这本书的总页数,这本书一共有( )页。
【提升培优】
3.(难点题)妈妈购买西瓜的质量和应付的钱数如下表。
西瓜的质量/千克
5
4
3
2
应付的钱数/元
7.5
6
4.5
3
(1)表中( )和( )是相关联的两个量,应付的钱数随着( )的变化而变化。
(2)应付的钱数与西瓜的质量的比值是( )。
4.(难点题)小明的年龄和爸爸的年龄变化情况如下表。
小明的年龄/岁
5
8
10
12
20
爸爸的年龄/岁
32
38
(1)把表填完整。
(2)表中( )和( )是相关联的两个量,( )随着( )的变化而变化。
(3)小明的年龄和爸爸的年龄相差( )岁。
(4)如果用x表示小明的年龄,用y表示爸爸的年龄,用式子表示这两个变量之间的关系是( )。
【思维创新】
5.(探究题)一列火车行驶的时间和所行驶的路程如下表。
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
…
路程/千米
90
180
270
360
450
540
630
…
(1)表中有哪两种量?
(2)路程是怎样随时间的变化而变化的?
(3)时间用t表示,路程用s表示,用式子表示出路程s随时间t的变化规律。
【参考答案】
作业1:1.圆柱的体积随着高的变化而变化,高变大,体积变大,高减小,体积减小。
作业2:1.(1)已看的页数 未看的页数 未看的页数 已看的页数 (2)200 2.(1)25 10 (2)每天看的页数 看完所用的天数 (3)每天看的页数 看完所用的天数 减少 每天看的页数 看完所用的天数 增加 (4)200 3.(1)西瓜的质量 应付的钱数 西瓜的质量 (2)1.5 4.(1)11 35 37 39 47 (2)小明的年龄 爸爸的年龄 爸爸的年龄 小明的年龄 (3)27 (4)y=27+x 5.(1)火车行驶的路程和时间。 (2)路程随着时间的增加而增加。 (3)s=90t
变化的量
(1)年龄、体重
(2)时间、骆驼的体温
两个相互有着关系的量,其中一个量变化,另一个量也随着变化。
以观察、分析为主要活动方式,引导学生通过观察、分析,发现相关联的两种量之间的关系,从而体现学生学习的自主性,提高学生的观察能力。
对于初次接触函数知识的小学生来说,对量的理解还有一定的难度,部分学生不能深刻地理解量的含义。
1.让学生在理解相关联的两个变量的基础上,从生活中寻找相关联的量,激发学生对原有知识经验的回忆,加强学生之间的交流互动。
2.在教学中,让学生在观察、分析的基础上,通过小组交流、同伴交流等形式,互相合作,共同获取知识。
【练一练·40页】
1.圆柱的体积随着高的变化而变化,高变大,体积变大,高减小,体积减小。 2.(1)18 m 3 m (2)0~6分 6~12分 (3)12分钟 3.n7+3=t
小明骑自行车去上学。小明骑车的速度和所用的时间怎样变化?
[名师点拨] 小明从家到学校的路程是不变的。小明骑自行车的速度越快,用的时间就越短;骑自行车的速度越慢,用的时间就越长。所以说时间随速度的变化而变化。
[解答] 时间随速度的变化而变化。速度快,用的时间短;速度慢,用的时间长。
【知识拓展】 路程一定,速度快,用时短;速度慢,用时长。
鸟儿捉鱼
一条小河旁边长着两棵梧桐树,正好隔岸相望。
其中一棵树的高度是30米,另一棵树的高度为20米。两棵树顶上面各停了一只鸟。
突然,两只鸟儿同时看见河面上浮出了一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,而且在同一时间到达目标。
如果它们飞行的速度相同,请问这条鱼出现的地方距较高的梧桐树的树根近,还是距较矮的梧桐树的树根近?
【参考答案】 距较高的梧桐树的树根近。
函数的传统定义
函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫作自变量。
2 正比例
在学生对生活中的变量有了一定认识的基础上,本节课开始研究数学中比较重要的一种关系——正比例。研究正比例的意义和成正比例的量,教材设置两个问题情景:首先是正方形周长与边长、面积与边长变化关系的情景,通过表格、图象、表达式的比较,让学生体会正方形的周长和面积都随边长的增加而增加,从而感知“变化过程中,正方形的周长与边长的比值一定”,为认识正比例奠定基础;然后通过汽车行驶的路程与时间变化关系,引导学生认识路程随时间的变化而变化,在变化的过程中,路程与时间的比值相同,进而引出正比例的概念。在教材“试一试”中,通过研究“圆的面积与半径是否成正比例”引导学生思考判断正比例的方法;通过“乐乐和爸爸的年龄变化关系”提示学生不是所有量的关系都是正比例关系。
1.结合“正方形的周长与边长,正方形的面积与边长,路程、时间与速度”等情景,经历正比例意义的建构过程,能从变化中看到“不变”,认识正比例。
2.能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例,能举出生活中成正比例的实例,感受正比例在生活中的广泛应用。
3.经历比较、分析、归纳等数学活动,提高分析、比较、归纳概括能力,初步体会函数思想。
【重点】 能根据正比例的意义,判断两个相关联的量是不是成正比例。
【难点】 理解成正比例的量的变化规律,即它们相对应的数的比值一定。
第课时 正比例的意义和成正比例的量
1.结合具体生活情景,认识成正比例关系的量。
2.感受正比例关系在生活中广泛存在。
【重点】 正比例的意义。
【难点】 成正比例关系的量的特点。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习比例的相关知识。
方法一
情景感知。
(PPT课件出示一家布料店价格表)
长度/m
1
2
3
4
5
6
7
…
总价/元
3.1
6.2
9.3
12.4
15.5
18.6
21.7
…
(1)表中有哪两种量?
(2)长度变大,总价怎样?长度变小,总价怎样?
(3)相对应的总价和长度的比各是多少?比值是多少?
当学生回答完问题后,教师板书:6.22=3.1,9.33=3.1,12.44=3.1……
师:这个比值实际上是什么?你们能用一个关系式表示它们的关系吗?
预设 生:总价长度=单价(一定)。
小结:通过刚才的思考和分析,我们知道了总价和长度是两种相关联的量,总价是随着长度的变化而变化的:长度变大,总价也随着变大;长度变小,总价也随着变小。它们变大、变小的规律是:总价和长度的比值总是一定的。(板书课题)
[设计意图] 通过具体的生活情景,借助学生先前的比例知识,从正比例关系的最显著特点——比值一定入手,帮助学生感知本课时学习的核心内容。
方法二
对话切入。
师:上一节我们学习了变化的量,请同学们想一想,两个变量之间是否都有一定的关联?
预设 生1:有的变量之间没关联。
生 2:有的变量有关联。
师:同学们说得对。生活中有的变量之间存在一定的关联,今天我们就研究变量之间的一种特殊关系——正比例。(板书课题)
[设计意图] 通过师生对话,引导学生有的变量之间存在一种特殊的关系,帮助学生了解本节课的学习方向。
一、感知成正比例关系的量。
(PPT课件出示教材第41页上方的表格,让学生完成)
正方形的边长与周长:
边长/cm
1
2
3
周长/cm
4
正方形的边长与面积:
边长/cm
1
2
3
面积/cm2
1
小组合作探究,交流下列问题:
(1)分别求出周长与边长、面积与边长的比值。
(2)正方形的周长与边长、面积与边长分别成比例吗?
(3)周长与边长、面积与边长之间的变化规律相同吗?
(学生汇报)
预设 生1:周长与边长的比值都是4。
生 2:正方形面积与边长的比值等于边长。
生 3:正方形周长与边长成比例,面积与边长不成比例。
生 4:正方形的周长和面积都随着边长的增加而增加。
二、研究量的变化规律。
在“正方形的周长与边长”的表格中:
(1)共有几种量?
(2)这几种量有没有关系?
(3)这几种量的对应数的比值都是怎样的?
小结:通过比较我们可以看出,两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定。像这样的两种量我们就说它们成正比例。
三、生活中具有正比例关系的量。
完成教材第41页中部“汽车行驶路程与时间”的表格。
(1)计算出路程与时间的比。
(2)找出路程随时间的变化规律。
小组交流发现的规律。
活动总结:路程随时间的变化而变化,但变化的倍数始终不变。也就是“变化趋势相同”“比值一定”,即路程÷时间=速度(一定)。
师:生活中具有“比值一定”关系的量还有很多,大家还能举出这样的事例吗?
(生举例)
师:谁能用最简单的方法来表达所有符合这样的变化规律的两个量?
总结:(学生交流后)y÷x=k(一定)(符号化),像这样的两个量就说它们成正比例。
[设计意图] 帮助学生从抽象概括角度理解正比例。突破教材,学生可以用任意字母表示,明确所用字母的含义即可。当学生自己用任意字母写出正比例关系式后,教师让学生谈谈自己对“y÷x=k(一定)”的理解。
完成教材第42页“练一练”第1题。
(1)教师提示成正比例关系的量的特点。
(2)学生观察、分析表格。
(3)交流问题讨论结果。
【参考答案】 (1)竿影的长随着竹竿的高的变化而变化,竹竿越高,竿影越长。 (2)0.41=0.82=1.23=1.64=2.46=3.28=0.4,它们的比值相同。 (3)成正比例,理由略。
师:本节课我们学习了什么知识?
预设 生:我们学习了什么是正比例。
师:成正比例的两个量之间有什么关系呢?
预设 生:比值一定。
师:生活中还有很多具有正比例关系的量,我们要在生活中注意发现和总结这些问题。
作业1
教材第42页“练一练”第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)时间和路程两个量,时间变化,( )也随着变化,而且( )和( )的比值一定,我们就说时间和路程成( )。
(2)三角形的高一定,三角形的底和面积成( )比例。
(3)如果一个数是A(A≠0),另一个数是3A,则A和3A成( )比例。
2.(基础题)幼儿园老师给小朋友们分饼干情况如下表所示,根据表格中的内容回答下列问题。
人数/人
1
2
3
4
5
6
7
饼干数/块
3
6
9
12
15
18
21
(1)( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。
(2)从左往右观察,( )增加,( )也随着增加;从右往左观察,人数( ),饼干数也随着( )。
(3)已知( )是一定的,就是( )和( )的比值是一定的,所以( )和( )成( )。
【提升培优】
3.(重点题)一个房间的铺地面积和用砖数量如下表所示,按要求填空。
铺地面积/m2
1
2
3
4
5
用砖数量/块
25
50
75
100
125
(1)表中( )和( )是相关联的量,( )随着( )的变化而变化。
(2)表中第三组这两种量相对应的两个数的比(下比上)是( ),比值是( );表中第五组这两种量相对应的两个数的比(下比上)是( ),比值是( )。
(3)上面所求出的比值所表示的意义是( ),铺地面积和用砖数量的比的( )是一定的,所以铺地面积和用砖数量成( )。
【思维创新】
4.(难点题)下面是一辆时速为50 km的汽车行驶的时间与路程,以及一些人买同一种苹果时购买苹果的质量和应付的钱数的统计表。
(1)
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
路程/km
50
100
150
200
(2)
质量/kg
10
9
8
7
6
5
4
3
总价/元
20
18
16
将表格填写完整,从表中你发现了什么?
【参考答案】
作业1:4.如下表所示:
买邮票的数量/枚
1
2
3
4
5
6
7
8
应付金额/元
0.8
1.6
2.4
3.2
4.0
4.8
5.6
6.4
应付金额随购买邮票的数量的变化而变化,并且应付金额与买邮票的数量的比值(单价0.8元)不变,所以应付金额与买邮票的数量成正比例。
作业2:1.(1)路程 时间 路程 正比例 (2)正 (3)正 2.(1)人数 饼干数 饼干数 人数 (2)人数 饼干数 减少 减少 (3)每个小朋友分得的饼干数 饼干数 人数 饼干数 人数 正比例 3.(1)铺地面积 用砖数量 用砖数量 铺地面积 (2)75∶3 25 125∶5 25 (3)铺每平方米地面所用的砖块数 比值 正比例 4.(1)250 300 350 400 (2)14 12 10 8 6 发现:(1)路程时间=速度(一定) (2)总价质量=单价(一定)
正比例的意义和成正比例的量
正方形的周长与边长 路程与时间?成正比例:比值一定
用字母表示为:yx=k(一定)
正比例关系是比较抽象的数学量的关系,也是学生认识数学世界的一次思维转变,在这种认识的基础上,本课时的教学过程中,注意关注学生的知识和经验,注重学生借助具体情景去思考和探索,注重引导学生感受发现数学规律的乐趣。
在引导学生发现正方形边长和周长关系时,发现正方形边长和面积关系时,给学生主动发现规律的时间较少。在教学设计过程中,没能设计利于学生主动思考的问题,学生的思维一直是由教师牵着走。
课前做一定的比例知识复习,帮助学生做好知识的延伸和衔接。在课堂教学中,注意利用“练一练”的习题作为例题对学生进行点拨。
已知x与y是成正比例的两个量,请完成下表。
x
1
2
4
y
1.5
4.5
[名师点拨] 因为x,y是成正比例的两个量,所以表中x与y对应的两个数的比值是定值,即x∶y=1∶1.5=23,我们可由2÷y=23;x÷4.5=23;4÷y=23这几个方程分别求出表中另外几个未知量。
[解答] 填表如下。
x
1
2
3
4
y
1.5
3
4.5
6
【知识拓展】 若x与y相关联,且x与y的比值一定,则x,y成正比例。成正比例的两种相关联的量的变化情况是两种量同时扩大相同的倍数或同时缩小到原来的几分之几。
正比例自述
在遥远的数学王国里,有许多好玩的事物:整数、小数、分数、正数、负数等等,它们生活得非常快乐,整天都无忧无虑地玩耍。
有一天,数学王国里来了一位奇妙的正比例兄弟。数学王国的国王走过来,对大家说:“大家不要惊慌,这是我们数学家族中的一员,下面就请正比例介绍一下它自己吧!”
“大家好!我是正比例。我是表现两种或多种数字相关联的关系的。比如:当一个圆柱的底面积一定时(10平方厘米),它的体积和高就成正比例(高是1厘米,体积是10立方厘米;高是4厘米,体积是40立方厘米;高是5厘米,体积是50立方厘米)。”两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正比例关系。
第课时 判断两个量是否成正比例
结合具体生活情景,深化对正比例关系的认识,能够判断两个量是否成正比例。
【重点】 判断两个量是否成正比例。
【难点】 有密切关联的两个量不一定是正比例关系。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的相关知识。
方法一
情景感知。
(PPT课件出示)
一台机床工作时间和生产的零件个数的变化如下表:
工作时间(小时)
1
2
3
4
5
6
7
…
生产的零件个数
9
18
27
36
45
54
63
…
观察上表,回答下列问题:
(1)表中有哪两个相关联的量?
(2)工作时间增加,生产的零件个数怎样变化?
(3)一定的工作时间和对应的生产的零件个数的比是多少?比值是多少?
当学生回答完问题后,教师板书:19=19,218=19,327=19……
师:这个比值实际上是什么?你能用一个关系式表示它们的关系吗?
[设计意图] 通过具体的生活情景,从正比例关系的最显著特点——比值一定入手,帮助学生感知本课时学习的核心内容。
方法二
师:上一节我们学习了正比例的含义,那么我们怎么判断两个量是否成正比例呢?
预设 生1:根据正比例的意义判断。
生 2:根据两个量的比值判断。
(板书课题)
[设计意图] 通过开门见山的师生对话,引导学生思考怎么判断两个量是不是正比例关系。
活动一、探究圆的面积与半径是否成正比例。
完成教材第42页“试一试”第1题。
(1)思考:圆的面积与半径成正比例吗?让学生在小组中说说自己的想法。
(2)学生先独立思考,再与同伴交流。
(3)学生反馈汇报,并说明理由。
师:圆的面积和圆的半径有关联吗?
预设 生:有关联,圆的面积随着半径的变化而变化。
师:有关联就能判断圆的面积和圆的半径成正比例吗?
预设 生:不一定。
师:怎么能判断圆的面积和圆的半径是否成正比例呢?
(生交流讨论)
师:(强调)两个相关联的量,是否成正比例,关键是看两者的比值是不是固定不变的。如果比值一定,就成正比例,反之不成正比例。
师:圆的面积和圆的半径的比值是固定不变的吗?完成下表看一看。
圆的面积
3.14
12.56
28.26
…
圆的半径
1
2
3
4
5
6
7
…
预设 生:比值不固定。
师:(根据学生反馈进行小结)圆的面积公式是S=πr2,圆的面积随着半径的变化而变化。但通过计算,我们发现,圆的面积和半径的比值是不断变化的,所以不成正比例。
活动二、探究乐乐和爸爸的年龄是否成正比例。
(PPT课件出示教材第42页乐乐和爸爸的年龄变化情况表)
(1)要求学生独立把表格填写完整。
(2)试判断乐乐和爸爸的年龄成正比例吗?为什么?
(3)学生分析、计算后,反馈汇报。
引导学生回答:乐乐和爸爸的年龄是两个相关联的量,爸爸的年龄随着乐乐年龄的变化而变化,爸爸的年龄与乐乐的年龄之差一定,但它们的比值不相同,所以不成正比例。
活动三、生活中的成正比例和不成正比例的量。
生活中成正比例和不成正比例的例子还有很多,请同学们分别找一找,并与同伴交流。
(1)学生思考、寻找生活中成正比例和不成正比例的例子。
(2)学生小组内互相交流。注意分析其他同学说的例子是否正确。
(3)指名举例,并请其他同学判断所举的例子是否正确。
完成教材第42页“练一练”第3题。
(1)教师提示成正比例关系的量的特点。
(2)学生用两个量比值是否一定去判断。
(3)交流问题讨论结果。
【参考答案】 (1)成正比例,(2)(3)不成正比例(理由略)。
师:本节课我们学习了什么知识?
预设 生1:我们学习了怎么判断两个变量成正比例。
生 2:我们知道两个变量不一定成正比例。
师:成正比例的两个变量有什么特点呢?
预设 生:比值一定。
师:生活中还有很多具有正比例关系的量,我们要在生活中注意发现和总结这些问题。
作业1
教材第42页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)练习本总价和本数的比值是( ),当( )一定时,( )和( )成正比例。
(2)分数值一定,分子和分母成( )比例。
(3)用一定的钱购买物品,用掉的钱和剩下的钱( )正比例(填“成”或“不成”)。
(4)正方体的棱长的平方与它的表面积成( )比例。
2.(易错题)下面各题中的两种量是否成正比例?如果成正比例,请在题后面的括号里画“√”,否则画“?”。
(1)订阅《故事书》的本数和总钱数。(每本《故事书》的价钱相同) ( )
(2)长方形的宽一定,它的面积和长。 ( )
(3)大米的质量一定,吃了的和剩下的。 ( )
(4)每天播种的公顷数一定,播种的总公顷数和播种的天数。 ( )
(5)一个加数一定,和与另一个加数。 ( )
【提升培优】
3.(探究题)写出平均每小时加工零件数、加工时间和加工零件总数三者间的数量关系。在什么条件下,其中两个量成正比例?
【思维创新】
4.(难点题)速度一定,路程和时间成正比例,即路程时间=速度(一定)。像这样成正比例的关系式你能写几个?
【参考答案】
作业1:2.因为61=122=183=244=305=6,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面积与高成正比例。
作业2:1.(1)单价 单价 总价 本数 (2)正 (3)不成 (4)正 2.(1)√ (2)√ (3)? (4)√ (5)? 3.加工零件总数平均每小时加工零件数=加工时间 加工零件总数加工时间=平均每小时加工零件数 平均每小时加工零件数×加工时间=加工零件总数 当平均每小时加工零件数一定时,其余的两个量成正比例,当加工时间一定时,其余两个量成正比例 4.答案不唯一,如:总价数量=单价(一定),面粉质量小麦质量=出粉率(一定),工作总量工作时间=工作效率(一定)。
判断两个量是否成正比例
活动一、探究圆的面积与半径是否成正比例
活动二、探究乐乐和爸爸的年龄是否成正比例
活动三、生活中的成正比例和不成正比例的量
认识成正比例关系的量和判断两个变量是否成正比例是两个不同层次的教学问题。前者是正比例的特点,后者是判断两个变量成正比例的依据,本课时在教学的过程中较好地把握了这一点,为本课时的教学设计把握了一个正确的出发点。
在“比值一定”的问题探索中,给学生探索的时间较少,应该让学生进行充分探索后,再判断两个变量是否成正比例。
课前设计好探索圆的面积和半径关系的表格,供学生在探索过程中使用。在此强调生活中的变量关系是比较复杂的,为以后接着学习反比例做心理准备。
【练一练·42页】
1.(1)竿影的长随着竹竿的高的变化而变化,竹竿越高,竿影越长。 (2)0.41=0.82=1.23=1.64=2.46=3.28=0.4,它们的比值相同。 (3)成正比例,理由略。 2.因为61=122=183=244=305=6,即平行四边形的面积与高的比值不变,所以平行四边形的面积与高成正比例。 3.(1)成正比例,(2)(3)不成正比例(理由略) 4.如下表所示:
买邮票的
数量/枚
1
2
3
4
5
6
7
8
应付金额
/元
0.8
1.6
2.4
3.2
4.0
4.8
5.6
6.4
应付金额随购买邮票的数量的变化而变化,并且应付金额与买邮票的数量的比值(单价0.8元)不变,所以应付金额与买邮票的数量成正比例。
根据下表回答问题。
动画片的集数/集
5
10
15
30
40
…
放映的总时间/分
100
200
300
600
800
…
(1)表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?
(2)写出几组这两种量中相对应的两个数的比,并求出比值。
(3)说明比值的意义。
(4)表中相关联的量成正比例吗?为什么?
[名师点拨] 根据正比例的意义,充分利用题中所列的表,通过观察可得到表中两种相关联的量是动画片的集数与放映的总时间。放映的总时间是随着播放的集数的变化而变化的,计算出相对应的播放时间与播放集数的比值,都是20,即播放一集所需要的时间是20分。因为放映一集的时间一定,所以放映集数与放映的总时间成正比例。
[解答] (1)表中有动画片的集数与放映的总时间两种量,它们是相关联的量。 (2)1005=20,20010=20,30015=20,80040=20…… (3)20分表示放映一集动画片的时间。 (4)表中动画片的集数与放映的总时间成正比例。因为放映的集数与放映的总时间的比值是一定的,所以它们成正比例。
【知识拓展】 做题时要仔细观察,发现两种相关联的量之间的变化规律。
巧量树高
星期天,王老师带领同学们去春游。他们在一棵大树下休息,王老师对同学们说:“我们身旁的这棵大树很高,想什么办法可以测出它的高度呢?”同学们七嘴八舌地议论起来。
王刚从地上拣起一根树枝,对大家说:“这根树枝大约有1米长,把它立在地上,可以目测出它的影长大约是0.4米,我再用步测的方法测出大树的影长大约是4米,现在我们就可以计算出大树的高度了。”聪明的你知道大树的高度吗?
【参考答案】 10米。
3 画一画
继学生学习了变化的量和正比例之后,为帮助学生从图象的角度深刻认识正比例,教材设置了“画一画”这节课来研究正比例图象。本节课教材设置了看电影的问题情景,首先通过判断看电影的人数和所付票费之间是否成正比例关系,让学生进一步认识正比例,以及正比例中两个相关联的量之间的关系;然后让学生根据表中的数据在方格纸上描出成正比例的量的对应点,并用线连成正比例图象;最后让学生通过观察,了解正比例图象的特点,并能根据图象中一个变量的值估计所对应的变量的值。
1.结合具体情景,通过“画一画”的活动,初步认识正比例图象,体会“正比例图象是一条直线”的特点,深化对正比例的认识。
2.会在方格纸上描出成正比例的量的对应点,理解正比例图象上的点所表示的意义。
【重点】 认识正比例图象,了解正比例图象的特点。
【难点】 能借助图象根据一个量的值找出另一个量的值。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的相关知识。
方法一
情景导学。
一辆汽车行驶的时间和所行的路程如下表所示:
时间/时
1
2
3
4
5
…
路程/km
40
80
120
160
200
…
根据上表描点,再顺次连接各点,如下:
思考:你们发现了这些点之间有什么特点吗?
你们能从图上看出正比例关系的特征吗?(板书课题)
[设计意图] 在抽象出“数学模型”的基础上让学生进行拓展应用,体现“数学从生活中来,到生活中去”的思想,并在说理和辩论中碰撞思维,强化认识,渗透“抓住本质”认识事物的观点。
方法二
对话引入,突出主题。
师:请同学们回忆一下,两个量成正比例要满足什么条件?
预设 生:要满足两个条件:一是两种量是相关联的量,一种量随着另一种量的增加而增加或减少而减少;二是两种量中相对应数的比值不变。
师:说得很好。那同学们再思考一下:若y=5x,y和x成正比例吗?为什么?
预设 生:成正比例。因为y和x是两种相关联的量,y随着x的变化而变化,y和x的比值始终等于5,所以y和x成正比例。
师:y和x成正比例,y是x的5倍,它们之间的关系能通过画图得到吗?
(板书课题:画一画)
[设计意图] 引导学生运用已有知识,尝试用图的形式去直观地表示两个成正比例的量的变化关系。
方法三
话题导入,拓展思维。
(PPT课件出示)
判断下面的量是否成正比例。
(1)长方体的底面积一定,体积和高。
(2)每行的人数一定,总人数和行数。
(3)长方形的周长一定,长和宽。
(4)圆的周长和直径。
(学生观察分析,老师点名回答)
师:哪位同学能说一说?
预设 生1:长方体的底面积一定,体积和高成正比例。
生 2:每行的人数一定,总人数和行数成正比例。
生 3:长方形的周长一定,长和宽不成正比例。
生 4:圆的周长和直径成正比例。
师:同学们说得都对,同学们已经了解了正比例的意义,而且会判断两个相关联的变量是否成正比例。那么我们能否用图的形式去直观表示两个成正比例的量的变化关系?今天这节课,我们就一起来尝试画一画。(板书课题:画一画)
[设计意图] 先通过复习,让学生进一步理解正比例的意义,巩固判断两个量是否成正比例的方法,再直接揭示本节课的学习内容,使学生明确本节课的学习目标和任务。
一、通过表格研究变量的正比例关系。
(PPT课件出示)
全班同学去看电影,看电影的人数与所付票费如下表所示。
人数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
票费/元
0
2
4
6
…
师:请同学们把表格补充完整。
预设 生:填表如下:
人数
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
票费/元
0
2
4
6
8
10
12
14
16
…
师:谁能说说表中两个量的关系?
预设 生1:这两个量都在变化,并且人数增多,所付票费也在不断增多。
生 2:人数和票费之比为1∶2。
生 3:票费和人数之比为2∶1。
师:通过表格中反映的票费和人数的关系,你能判断人数和票费之间是什么比例关系吗?
预设 生:它们的比值始终不变,所以这两个变量成正比例。
二、用图象表示两个变量的正比例关系。
1.描点。
师:你们能说说横轴和纵轴表示的含义吗?
预设 生:上图中横轴表示人数,纵轴表示所付票费。
师:能在图形中找到表格中的对应点吗?
预设 生:(在老师的指导下)在表格中找到对应的点。
师:(PPT课件展示作出的对应点)
师:你们是怎样找到这些对应点的?
预设 生1:先在横轴上找到对应的人数,再在纵轴上找到对应的票费。
生 2:先在纵轴上找到对应的票费,再在横轴上找到对应的人数。
2.正比例图象的特点。
师:选择其中的两点作直线,观察其他的点是否在这条直线上。
(生动手尝试)
师:同学们请看PPT课件的演示,注意观察连接各点之后是不是一条直线。
[设计意图] 通过学生的动手操作和老师的演示,帮助学生直观感受正比例关系的图象是一条直线。通过教师的引导,调动学生的积极性,让学生在课堂上多观察,多练习,主动参与到整个教学活动中来,通过观察正比例图象的特点,教师的主导作用与学生的主体地位达到了相互统一。
师:(小结)正比例的图象是一条直线。
3.正比例图象上点的意义。
师:刚才在描点时,每个点都对应一个有序数对,我们把这些点连起来,得到一条线段,这条线段能否继续延长?
预设 生:能。因为当人数是10人时,所需票费是20元;当人数是30人时,所需票费是60元……所以这条线段可以无限延长。
师:你们能根据图象,找出9人时应付多少票费吗?
(先让学生独立思考再交流)
师:(总结)先从横轴上找到表示9人的点,再从这点起作纵轴的平行线,交图象于一点,从该点作纵轴的垂线,可找到纵轴上对应的点是18。
师:小明说点(100,200)也在这条线上,你觉得他说得对吗?
(学生可以用不同的方法验证)
1.完成教材第45页“练一练”第1题。
(1)学生自主填写表格。
(2)判断所付船费与乘船的人数是否成正比例。
(3)根据表格中的数据,在方格图上描出对应的点,再顺次连接各点。
(4)要求学生判断点(8,40)是否在所画的直线上。
2.完成教材第45页“练一练”第2题。
审清题意,独立判断弹簧伸长的长度与所挂物体的质量是否成正比例。
师提示注意“在弹性限度内,弹簧伸长的长度与物体质量的比值”。
[设计意图] 通过实践性的课堂练习,让学生再一次经历画正比例图象和判断相关联的两个量是否成正比例的过程,这种数形结合的探究过程为今后的函数学习打下了扎实的基础。
【参考答案】 1.(1)20 25 30 35 (2)成正比例 (3)如下图所示。这些点在一条直线上 (4)在直线上,乘船人数为8人时,船费是40元
2.弹簧伸长的长度随所挂物体质量的变化而变化,并且0.41=0.82=1.23=1.64=25=2.46=0.4,即弹簧伸长的长度与所挂物体质量的比值不变,所以弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。
师:本节课我们学习了什么知识?
预设 生1:我们学习了用表格可以表示两个变量的关系。
生 2:正比例的图象是一条直线。
生 3:正比例图象上的点可以体现两个变量之间的关系。
师:生活中还有很多具有正比例关系的量,它们的图象都是一条直线吗?希望同学们能通过实例去验证你的猜想。
我们可以继续尝试下它们的图象是否都是一条直线。
作业1
教材第45页“练一练”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)完成下面表格,判断两种量是否成正比例。
本数
0
1
2
3
4
5
6
总价/元
0
1.5
3
4.5
2.(难点题)在下图中填空,并说说A,B两点分别表示什么意义。
3.(易错题)我是小法官,判断让我来。
(1)如果3x=8y(x,y均不为0),那么y与x成正比例。 ( )
(2)如果x3=y8(x,y均不为0),那么y与x成正比例。 ( )
【提升培优】
4.(重点题)一种日记本的数量和总价如下表。
数量/本
1
2
3
4
5
6
7
…
总价/元
5
10
15
20
25
30
35
…
(1)在下图中描出表示数量和对应总价的点,然后把它们连起来,说说图象的特点。
(2)利用图象回答,买8本日记本要多少元?80元能买多少本日记本?
【思维创新】
5.(开放题)下表是有关正方体钢块的一些量,哪两种量是成正比例的量?并说明理由。
棱长/cm
1
2
3
4
5
6
底面积
/cm2
1
4
9
16
25
36
表面积
/cm2
6
24
54
96
150
216
体积
/cm3
1
8
27
64
125
216
质量/g
7.8
62.4
210.6
499.2
975
1684.8
【参考答案】
作业1:3.(1)因为圆的周长随直径的变化而变化,周长与直径的比值不变(π为定值),所以圆的周长与直径成正比例。 (2)①16 15.7 ②47 47.1
作业2:1.6 7.5 9 成正比例 2.A(2,20) 表示2天看20页 B(4,40) 表示4天看40页 3.(1)√
(2)√ 4.(1)如下图。这些点在一条直线上。 (2)8×5=40(元) 80÷5=16(本)
5.钢块的表面积与底面积成正比例,因为表面积底面积=6(一定);钢块的质量与体积成正比例,因为质量体积=7.8(每立方厘米钢的质量,一定)。
画一画
一、通过表格研究变量的正比例关系
二、用图象表示两个变量的正比例关系
注重函数思想的渗透,让学生多观察、多思考,使学生发现正比例图象的特点,理清两个变量之间的关系,并学会判断某一点是否在正比例图象上,为后续进一步学习函数知识打下坚实的基础。
注重学生学习能力的培养,教学中由浅入深、循序渐进,精心引导学生通过独立计算、自主填表、观察描述、合作交流等,完成新知的构建,使学生逐步提高画图、读图并运用相关知识解决问题的能力。
个别学生对如何判断某一点是否在正比例图象上存在困难,需要给予更多的关注。
本节主要内容是教学正比例图象,正比例图象的学习是理解正比例意义的一种途径,能让学生更好地理解成正比例的两个量之间的变化规律,进行函数思想的渗透。因此在教学中要重视新旧知识间的衔接,通过新课前的复习、回顾,有效激活学生的已有知识、经验,为新知的顺利学习做好铺垫。
【练一练·45页】
1.(1)20 25 30 35 (2)成正比例 (3)如下图所示。这些点在一条直线上
(4)在直线上,乘船人数为8人时,船费是40元 2.弹簧伸长的长度随所挂物体质量的变化而变化,并且0.41=0.82=1.23=1.64=25=2.46=0.4,即弹簧伸长的长度与所挂物体质量的比值不变,所以弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比例。 3.(1)因为圆的周长随直径的变化而变化,周长与直径的比值不变(π为定值),所以圆的周长与直径成正比例。 (2)①16 15.7 ②47 47.1
在图中描点表示下面两个表格中的数量关系。连接各点,你发现了什么?
时间/时
1
2
3
4
5
6
7
8
…
路程/千米
90
180
270
360
450
540
630
720
…
质量/千克
10
9
8
7
6
5
4
3
…
应付的钱
数/元
30
27
24
21
18
15
12
9
…
[名师点拨] 通过观察,发现表中的两种量都是成正比例关系的。
[解答]
发现图中的各点连接后在一条直线上。
【知识拓展】 当两个变量成正比例关系时,所描出的点在一条直线上,利用图象可以根据一个量的值直接找到对应的另一个量的值。
退瓶换水
炎热的暑假来临了,精灵鼠小弟和他的家人一
起去花果山旅游。途中他们走得又累又渴,便到商店买1扎(10瓶)汽水。喝完后,营业员说空瓶她们可以回收,要钱也行,还可以3个空瓶换1瓶汽水。于是精灵鼠小弟说:“全部换汽水!”结果,把换来的汽水喝了,空瓶又换了汽水。最后1个空瓶也没留下,你知道他们一共喝了多少瓶汽水吗?
【参考答案】 10+3+1+1=15(瓶)
正比例图象的作法
(1)在变量x允许的范围内取一个值,根据解析式求出y值。
(2)根据第一步求出的x,y的值描出点。
(3)作过第二步描出的点和原点的直线。
4 反比例
反比例关系是生活中一种重要的数量关系,本节课是在学习了“变化的量”“正比例及正比例图象”等比例知识的基础上对比例知识的深化,也是以后学习函数的基础,因此在教学中起着承上启下的作用。教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验,创设了两个情景:首先创设与长方形相关的问题情景,让学生了解面积一定的情况下,长方形的长与宽之间的关系,并体会到这种关系与前面所学的正比例关系的不同;然后又创设了“王叔叔游长城”的问题情景,让学生体会当路程一定时,汽车行驶的时间与速度的变化关系,引导学生认识到时间随速度的变化而变化,在变化过程中,时间与速度的积是一定的。在此基础上,让学生通过比较教材中实例的共同点,引出“反比例”概念。最后通过“试一试”的两个问题探讨怎样判断两个量成反比例。
1.结合“长方形相邻两边的长,路程、时间与速度”等情景,经历反比例意义的建构过程,能从变化中看到“不变”来认识反比例。
2.能根据反比例的意义,判断两个相关联的量是不是成反比例,能举出生活中成反比例的实例,感受反比例在生活中的广泛应用。
3.经历比较、分析、归纳等数学活动,提高分析比较、归纳概括能力,初步体会函数思想。
【重点】 理解反比例的意义,能正确判断成反比例的量。
【难点】 掌握成反比例的量的变化规律。
第课时 反比例的意义和成反比例的量
1.通过观察、操作和比较,让学生认识反比例的意义。
2.理解、掌握反比例的变化规律及其特征。
【重点】 理解反比例的意义及其特征。
【难点】 掌握反比例的变化规律及其特征。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习正比例的相关知识。
方法一
设问导学。
师:什么是正比例?成正比例的量有什么特点?
(生自由回答)
师:下面三个问题中,哪两种量成正比例?为什么?
(1)速度一定,路程与时间。
(2)时间一定,路程与速度。
(3)路程一定,速度与时间。
预设 生1:速度一定,路程与时间成正比例。因为路程与时间是相关联的量,路程÷时间=速度,所以速度一定,路程与时间成正比例。
生 2:时间一定,路程与速度成正比例。因为路程与速度是相关联的量,路程÷速度=时间,所以时间一定,路程与速度成正比例。
生 3:路程一定,速度与时间不成正比例。因为路程=速度×时间,路程一定,速度与时间的乘积一定,而不是比值一定,所以不成正比例。
师:同学们刚才回答得很好,那么当路程一定时,时间和速度是什么关系?今天这节课,我们就来探究与之相关的问题。(板书课题)
[设计意图] 通过复习正比例的意义,判断两种量是否成正比例等活动,让学生感受到所学知识的局限性,激发学生的求知欲,为新知学习做好铺垫。
方法二
类比问题,迁移新知。
师:前面我们学习了正比例,请同学们回忆一下怎样判断两个相关联的量是否成正比例。
(老师指名回答)
师:谁能来简单概括一下两个相关联的量成正比例的关键是什么?
预设 生:它们的比值(商)一定。
师:看来大家对正比例知识理解掌握得非常好。学完正比例,接下来我们就该学习什么了?(反比例)是啊,有正就有反,这节课我们就来探究反比例的有关知识。(板书课题)
师:既然正与反意义是相反的,请同学们猜想一下,成反比例的两个量的关系是怎样的呢?(生猜想)
师:到底同学们的猜想是否正确呢?我们要用事实来验证。
[设计意图] 首先通过正比例的字面意思,猜想是否存在“反比例关系”,自然顺畅地提出新问题,激起学生探索的欲望,培养学生实事求是的科学精神。
一、借助表格中的量,寻找共同的变化规律。
(PPT课件出示教材第46页问题1)
师:在表1中,有哪几个变量?
预设 生:有长方形的相邻两边边长(即长和宽)这两个变量。
师:这两个变量之间有什么关系呢?请同学们完成表1。
(生独立完成表格填写后与同学交流)
师:长方形的一条边长增加,相邻的边长怎样变化?
预设 生:长方形相邻的边长减少。
师:在表2中,有哪几个量?
预设 生:有长方形的相邻两边边长(即长和宽)这两个变量。
师:这两个变量之间有什么关系呢?请同学们完成表2。
(生独立完成表格填写后与同学交流)
师:长方形的一条边长增加,相邻的边长怎样变化?
预设 生:长方形相邻的边长减少。
师:比较一下表1和表2,两个长方形的相邻两边边长变化有什么规律?
(生用自己的语言总结)
师:(小结)可见,通过表1和表2我们发现,问题中的两个长方形的相邻两边边长有着相同的变化规律。
二、借助表格中的量,寻找不同的变化规律。
师:表1中两个变量之间还有什么规律?
(引导学生从乘积结果思考变量之间的关系)
预设 生:它们的积一定,都是24。
师:表2中两个变量之间还有什么规律?
(引导学生从和的角度思考变量之间的关系)
预设 生:它们的和一定,都是12。但它们的积不相等。
师:表1和表2中的关系相同吗?
预设 生:不相同。表1中两个量的积一定,表2中两个量的和一定。
[设计意图] 学生通过观察、探究、发现,体验学习的艰辛与快乐,学生身临其境,学习解决问题的方法。
三、探究反比例的意义。
(PPT课件出示教材第46页问题2)
师:表中有哪几种量?
预设 生:速度和时间。
师:时间是怎样随速度的变化而变化的?
预设 生1:速度快,所需的时间少;速度慢,所需的时间多。
生 2:速度变大,所需的时间变小;速度变小,所需的时间反而变大。
生 3:时间随着速度的增加而减少,时间随着速度的减少而增加。
师:每两个相对应数的乘积是多少?
(PPT课件出示:10×12=120 60×2=120 80×1.5=120)
师:你们有什么发现?
预设 生:在变化过程中乘积一定,也就是路程一定。
师:你们能写出关系式吗?
(学生齐声回答:速度×时间=路程(一定))
小结:速度和时间这两个量,速度变化,所用的时间也随着变化,而且速度与时间的积(也就是路程)一定,我们就说速度和时间成反比例。
师:第一个问题中哪个表内的两个量是成反比例的呢?
预设 生:当面积是24平方厘米时,相邻两边的边长成反比例。而当周长是24厘米时,相邻两边的边长不成反比例。
(PPT课件展示)两种相关联的量,其中一种量在变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的积是一定的。像这样两种相关联的量就成反比例。
完成教材第47页“练一练”第1题。
【参考答案】 (1)如下表所示:
平均每天看的页数
10
15
20
30
40
看完全书所需天数
12
8
6
4
3
(2)看完全书所需天数随平均每天看的页数的增加而减少。 (3)因为平均每天看的页数与看完全书所需天数的乘积一定(总页数为120页),所以它们成反比例。
师:本节课学习的是什么内容?反比例的意义是什么?
预设 生:我们学习了反比例。通过学习,我们懂得了像速度和时间这两种相关联的量,速度变化,所用的时间也随之变化。如果速度和时间相对应的两个数的乘积(也就是路程)一定,我们就说速度和时间成反比例。
作业1
教材第47页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着( ),两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量叫作( ),它们的关系叫作( )。
(2)如果xy=k(一定),那么x和y之间的关系是( )关系。
(3)小明做12道数学题,做完的题和没做完的题( )比例。
2.(易错题)三角形的面积一定,它的底和高成什么比例?
【提升培优】
3.(重点题)已知x与y成反比例,填写下表。
x
36
12
9
y
1
2
【思维创新】
4.(拓展题)某大型酒店为迎接宾客,重新为酒店大厅铺地砖。设计了以下几种铺设方案并绘制出了图象。
(1)点A,B分别表示什么意义?
(2)从图象上估计一下,如果每块地砖的面积是0.8 m2,需要多少块地砖?
【参考答案】
作业1:2.如下表所示:
小敏
小锋
小英
小强
打字所用的
时间/分
30
40
60
80
速度/
(字/分)
80
60
40
30
(1)不同的人在打同一份稿件的过程中,总字数没有变。 (2)打字的速度随打字所用的时间的变化而变化,并且它们的乘积一定(总字数为2400个),所以它们成反比例。 (3)平均1分钟打100个字。
作业2:1.(1)变化 变量 反比例关系 (2)反比例
(3)不成 2.成反比例。 3.如下表:
x
36
18
12
9
y
1
2
3
4
4.(1)点A表示:用每块面积是0.3 m2的地砖,需铺2000块;点B表示:用每块面积是0.6 m2的地砖,需铺1000块。 (2)750块。
反比例的意义和成反比例的量
两种相关联的量,其中一种量在变化,另一种量也随着变化,并且这两种量中相对应的两个数的积是一定的。像这样两种相关联的量就成反比例。
注重知识的迁移,渗透思想。借助正比例的意义和生活实例,让学生进一步体会函数思想,理解正比例比值不变的特点,为学生利用知识的迁移研究反比例的两个量之间的关系奠定良好的基础。
整个教学过程中,部分环节没有充分贯穿自主探究与合作的学习方式。
充分利用教材中的情景,让学生去观察分析,如让学生分析速度与时间的关系,从而理解反比例的意义和特点。
运送一批货物,每天运送的质量和需要的天数如下表所示:
每天运送的质量/吨
300
150
100
75
60
50
…
需要的天数/天
1
2
3
4
5
6
…
(1)相对应的两个数的乘积是多少?
(2)这个乘积表示的意义是什么?你能用式子表示它与每天运送的质量和需要的天数之间的关系吗?
(3)每天运送的质量与需要的天数成反比例吗?为什么?
[名师点拨] 判断两个量是否成反比例,先看是不是相关联的量,再看乘积是不是定值。
[解答] (1)相对应的两个数的乘积是300。 (2)这个乘积表示货物的总质量。 每天运送的质量×需要的天数=货物的总质量 (3)成反比例。它们的乘积一定。
艾宾浩斯记忆遗忘曲线
德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的。最初遗忘速度很快,以后逐渐变慢。他认为“保持和遗忘是时间的函数”,并根据他的试验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线。这条曲线告诉人们,在学习中的遗忘是有规律的,遗忘的进程不是均衡的,不是固定的一天丢掉几个,转天又丢几个的,而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快,后来就逐渐减慢了,到了相当长的时间后,几乎就不再遗忘了,这就是遗忘的发展规律,即“先快后慢”的原则。观察这条遗忘曲线,你会发现,学得的知识在一天后,如不抓紧复习,就只剩下原来的25%。随着时间的推移,遗忘的速度减慢,遗忘的数量也就减少。有人做过一个试验,两组学生学习一段课文,甲组在学习后不久进行一次复习,乙组不复习,一天后甲组保持98%,乙组保持56%;一周后甲组保持83%,乙组保持33%。乙组的遗忘平均值比甲组高。
第课时 判断两个量是否成反比例
1.能依据反比例的意义判断两种相关联的量成不成反比例。
2.进一步培养学生观察、分析、综合和概括等能力。
【重点】 能依据反比例的意义判断两种量成不成反比例。
【难点】 进一步认识事物之间的相互联系和发展变化规律。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 复习反比例的意义。
方法一
生活实例,引入新知。
(PPT课题出示)
想一想——下列每组两个变量是不是反比例关系。
(1)总价一定,购买笔记本的本数和单价成( )比例。
(2)有220吨货物,每次运的吨数和运的次数成( )比例。
(3)被除数一定(无余数),商和除数成( )比例。
(4)平行四边形的面积一定,它的底和高成( )比例。
(5)油的总量一定,每天的用油量和用油的天数成( )比例。
师:根据刚才的一些实例,同学们能不能总结一下判断两个量是否成反比例的一般性方法?
(板书课题)
[设计意图] 通过一组生活中常见的一些变量关系,初步帮助学生体会判断两个变量之间是否成反比例的基本方法。
方法二
对话引入,迁移新知。
师:前面我们学习了反比例,成反比例关系的两个量之间有什么特点?
(老师指名回答)
师:谁能概括一下两个相关联的量成反比例的关键是什么?
预设 生:两个变量的乘积是一定的。
师:看来大家对反比例的意义理解得非常好。我们能判断生活中的一些变量关系是否成反比例吗?(板书课题)
[设计意图] 判断两个关联的变量是否成反比例,是运用反比例的意义进行判定的,从这个角度引入问题,能较好地帮助学生建立知识之间的联系。
一、分析两个变量是否成反比例。
(PPT课件出示教材第47页“试一试”问题1)
师:请同学们思考:买苹果的总钱数一定时,苹果的单价与数量成反比例吗?并在小组内说说你是怎么想的。
(生先独立思考,再与同伴交流)
师:(PPT课件出示问题1左图)你同意下面这种观点吗?
(生讨论交流)
师:(总结)这种观点有一定的道理,但还没有给出足以让大家信服的理由,也就是说这种观点还没有抓住判断两个关联量是否成反比例的关键。
师:(PPT课件出示问题1右图)你同意下面这种观点吗?
(生讨论交流)
教师根据学生的汇报小结:买苹果的总钱数一定时,苹果的单价与数量成反比例。苹果的单价增加,数量就减少;苹果的单价减少,数量就增加。单价与数量的积是一定的。
二、领悟生活中变量之间关系的多样性。
(PPT课件出示教材第47页“试一试”问题2)
奇思读一本书,已读的页数与剩下的页数的情况如下:
已读的页数
1
2
3
4
…
剩下的页数
79
78
77
…
(1)请同学们独立把表格填写完整。
(2)试判断已读的页数与剩下的页数成反比例吗?为什么?
(3)学生分析、计算后,反馈汇报。
师引导学生回答:已读的页数和剩下的页数是两个相关联的量,剩下的页数随着已读的页数的变化而变化,“和一定”时,两个量不成反比例。即:不是说一个量增加,另外一个量随之减少,这两个量就一定成反比例。因为它们的积不相同,所以不成反比例。
三、生活中的反比例。
师:生活中成反比例的例子还有很多,请同学们分别找一找,再与同伴交流。
(1)学生思考并寻找生活中成反比例的例子。
(2)学生小组内互相交流。教师巡视,并注意引导学生分析其他同学说的例子是否正确。
(3)指名举例,并请其他同学判断所举的例子是否正确。
例如:长方形面积一定时,长与宽成反比例。路程一定时,速度和时间成反比例。
[设计意图] 在教师的精心组织、引导下,学生通过自主学习、合作探究、思考归纳等活动,提高自身对反比例的认识。使学生在对所学知识理解的基础上,发展思维能力和判断能力。
完成教材第47页“练一练”第5题。
【参考答案】 (1)小齿轮 小齿轮 (2)成反比例关系 (3)40×90÷24=150(圈)
师:怎样判断两个量是否成反比例呢?
预设 生:判断两种量是否成反比例,首先要判断这两种量是不是相关联的量,再运用数量关系式进行判断,看这两种量的积是否一定,最后得出结论。
作业1
教材第49页“练习四”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)从甲城到乙城,不同车辆行驶的速度和所需时间有如下关系。
速度/(千米/时)
6
15
20
30
60
时间/时
10
4
3
2
1
由表可知( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化,它们的( )一定,速度和时间是成( )的量。
(2)一块耕地有240米2。
每天播种的面积/米2
30
40
60
80
播种天数/天
8
6
4
3
由表可知( )和( )是两种相关联的量,( )随着( )的变化而变化。在变化的过程中,( )没有变,所以每天播种的面积与播种天数成( )比例。如果播种24天,那么平均每天播种( )米2。
2.(变式题)判断下面各题中的两个量是否成反比例,成反比例的在括号里面画“○”。
(1)和一定,一个加数和另一个加数。 ( )
(2)长方形的面积一定,它的长和宽。 ( )
(3)糖果总数一定,分的人数和平均每人分到的块数。 ( )
(4)一支铅笔总长度一定,用去的长度和剩下的长度。 ( )
(5)生产玩具的总件数一定,平均每天生产的件数和所用的天数。 ( )
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)速度一定,汽车行驶的路程和时间成反比例。 ( )
(2)单价一定,总价和数量成正比例。 ( )
(3)小云要做16道数学题,做完的题数和没做的题数成反比例。( )
(4)完成一项工程,工作效率和工作时间成反比例。 ( )
(5)将绳子剪成同样长的小段,剪成的段数和每段的长度成正比例。 ( )
【提升培优】
4.(变式题)a,b,c三种量的关系是b×c=a。(a,b,c非零)
(1)如果a一定,那么b,c成( )比例关系。
(2)如果b一定,那么a,c成( )比例关系。
(3)如果c一定,那么a,b成( )比例关系。
5.(重点题)填表。
(1)已知A和B成正比例。
A
1
3
5
7
50
60
B
25
(2)已知A和B成反比例。
A
2
8
10
0.5
B
5
1
10
【思维创新】
6.(探究题)甲、乙两地相距8000米,小刚和小强同时从甲地出发去乙地,小刚和小强的速度比是4∶3,小刚到达乙地时,小强离乙地还有多少米?
【参考答案】
作业1:3.(1)每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例。 (2)240块 (3)0.24 m2
作业2:1.(1)速度 时间 时间 速度 积 反比例 (2)每天播种的面积 播种天数 播种天数 每天播种的面积 播种的总面积 反 10 2.(2)○ (3)○ (5)○ 3.(1)? (2)√ (3)? (4)√ (5)? 4.(1)反 (2)正 (3)正 5.(1)5 15 35 250 300 (2)20 4 80 40 4 6.8000-8000÷4×3=2000(米)
判断两个量是否成反比例
两个变量之积一定是判断反比例关系的关键。
在深刻理解反比例意义的基础上引导学生如何判断两个变量是否成反比例关系。不但巩固了相关知识,也做到了对知识的活学活用。
没有特别强调正比例和反比例关系的联系与区别。
对正比例和反比例两种变量关系进行总结对比,帮助学生总结二者之间的联系和区别。
【练一练·47页】
1.(1)如下表所示:
平均每天看的页数
10
15
20
30
40
看完全书所需天数
12
8
6
4
3
(2)看完全书所需天数随平均每天看的页数的增加而减少。 (3)因为平均每天看的页数与看完全书所需天数的乘积一定(总页数为120页),所以它们成反比例。 2.如下表所示:
小敏
小锋
小英
小强
打字所用的时间/分
30
40
60
80
速度/(字/分)
80
60
40
30
(1)不同的人在打同一份稿件的过程中,总字数没有变。 (2)打字的速度随打字所用的时间的变化而变化,并且它们的乘积一定(总字数为2400个),所以它们成反比例。 (3)平均1分钟打100个字。
3.(1)(3)成,(2)(4)不成,理由略。 4.成反比例,理由略。 5.(1)小齿轮 小齿轮 (2)成反比例关系 (3)40×90÷24=150(圈)
【练习四·49页】
1.(1)如下表所示:
长度/m
0
1
2
3
4
5
6
…
应付金额/元
0
2
4
6
8
10
12
…
(2)成正比例,理由略。 (3)如下图所示。 (4)13元 (5)3倍
2.(1)成正比例 (2)成反比例 (3)既不成正比例,也不成反比例 3.(1)每块地砖的面积和所需地砖的数量成反比例。 (2)240块 (3)0.24 m2 4.(1)淘气骑车行驶了2小时,行驶了30千米。 (2)骑车1.5小时,淘气行驶了22.5千米。 (3)行驶30千米,淘气用了2小时。 (4)淘气骑车的速度是15千米/时。 5.如下表所示:
长/cm
36
18
12
9
6
宽/cm
1
2
3
4
6
面积一定时,长方形的长和宽成反比例。
判断下面各题中的两个量是否成比例。
(1)三角形的底一定,它的面积和高。
(2)苹果的总价一定,假设每个苹果的质量相同,每元钱买的苹果个数和买的数量。
[名师点拨] (1)判断三角形的面积和高是否成比例,首先要看它们是不是相关联的量,因为面积变化,高也随着变化,所以它们是相关联的量。三角形的面积公式是面积=底×高×12。因为底一定,所以面积高也一定,所以面积和高成正比例。(2)受关系式单价×数量=总价的干扰,本题易错误地判断成数量和每元钱买的苹果个数成反比例。在本题中,存在的数量关系是每元钱买的苹果个数×总价=买的数量。总价一定时,买的数量与每元钱买的苹果个数成正比例。
[解答] (1)成正比例。 (2)成正比例。
应用题中反比例关系归总
在无余数的除法中,当被除数一定时,除数和商成反比例关系。在分数中,当分数的分子一定时,分母与分数值成反比例关系。在比例中,比的前项一定,比的后项与比值成反比例关系。如果再把总数与份数关系具体化为:在购物问题中,总价一定,单价和数量成反比例关系。在行程问题中,路程一定,速度和时间成反比例关系。
财主和帽子
有一个吝啬的财主,拿了一匹上好的布料准备做一顶帽子,到了裁缝店,觉得这样好的布料做一顶帽子似乎浪费了,于是问裁缝:“这匹布可以做两顶帽子吗?”裁缝看了看财主,说:“可以。”财主见他回答得那么爽快,想:这裁缝肯定是从中占了什么便宜,于是又问:“那够做3顶帽子吗?”裁缝依然很爽快地说:“行!”这时,财主更加疑惑了,嘀咕着:“多好的一匹布啊,那我做4顶可以吗?”“行!”裁缝仍然很爽快地回答。
经过一番较量后,财主最后问:“那我想做10顶帽子可以吗?”裁缝迟疑了一会儿,然后打量着财主,慢慢地说:“可以的。”这时财主才放下心来,心想:这匹布我竟然做了10顶帽子,我还真聪明!
过了几天,财主到了裁缝店取帽子。结果一看,顿时傻了眼:10顶帽子小得只能戴在手指头上了!
因为每顶帽子用的布量×帽子数=布匹的总量,所以这匹布的大小不变,做的帽子数多了,每顶帽子就相对小了。小朋友们,你们明白其中的道理了吗?
数学好玩
2011年小学数学新课标指出:“综合与实践是一类以问题为载体,以学生自主参与为主的学习活动。”在本学期总复习之前安排了具有综合与实践性质的“数学好玩”。
教材设计了三个综合与实践活动。“绘制校园平面图”实践活动,主要运用“图形与位置”“比例尺”“测量”等知识绘制校园平面图,包括校园内的主要建筑、主要活动场所等。“神奇的莫比乌斯带”主要通过操作活动帮助学生感受数学的神奇,提高动手操作能力和空间想象力。“可爱的小猫”主要是利用图形的变化进行探究活动,主要意图是通过趣味性培养学生的创新思维。
1.通过利用所学的相关知识,提高学生的动手操作能力,培养学生的数学应用意识。
2.在实践活动中,培养学生发现问题、解决问题的能力,提升数学思维能力,提高学习兴趣。
【重点】 培养学生的动手操作能力,观察、分析能力。
【难点】 完成实践活动中的自主设计的活动要求。
第课时 绘制校园平面图
1.通过“绘制校园平面图”的实际操作活动,进一步理解并综合运用图形位置、测量、比例、数据收集等知识,积累“从头到尾”思考问题的经验。
2.经历设计方案、动手实践、交流反思的活动过程,发展统筹规划和按方案实践操作等综合实践能力,体验团结协作、获得成功的快乐。
3.在设计、测量、整理等实践活动中感受数学与生活的密切联系,进一步提高学习兴趣,发展自我反思能力。
【重点】 弄清各建筑物的位置及底面形状;能根据实际情况确定比例尺。
【难点】 根据测量的实际距离和绘图纸的大小确定比例尺。
【教师准备】 PPT课件,校园建筑物的名称卡片等。
【学生准备】 图画纸,彩笔等。
创设情境。
师:再过一段时间,同学们就要离开这个生活了六年的学校。怎么表达你们对母校的热爱呢?
预设 生:为母校唱一首歌、画一幅画、写一首小诗……
师:为了表达我们对母校的爱,请同学们给母校留一张大家亲手绘制的校园平面图吧!(板书课题:绘制校园平面图)
[设计意图] 通过谈话,激发学生对学校的热爱之情,并且让学生绘制一张校园平面图来表达对学校的爱,激起学生的学习兴趣,为新知的学习做好铺垫。明确本节活动课的任务,让学生了解本节课的学习目标,为学生自主探究做好准备。
一、设计方案。
(PPT课件出示教材第51页的两张图片)
师:观察这两张平面图,你们能说出它们有什么共同的地方吗?
预设 生1:都是按照“上北下南、左西右东”的方向绘制的。
生 2:都标着比例尺。
生 3:图上都是一些主要的建筑物。
师:从这两张平面图上,我们可以得出,在绘制校园平面图前,要做好哪些准备呢?
(生交流讨论)
师:(强调)在绘制校园平面图前,要做好如下几点准备:
(1)确定需要绘制哪些主要建筑物。
(2)明确要收集哪些数据,怎样收集这些数据。
(3)确定这张图的比例尺,并根据收集的数据计算出图上距离。
二、动手实验。
1.学生分小组进行校园主要建筑物的实际测量,并记录下相关的数据。
师:现在请各小组选派两名代表,一名同学负责汇报你们测量的是哪一部分,得出了什么数据,另一名同学负责把数据填写在黑板上的表格里。
2.学生分小组汇报,教师展示各建筑物的照片。
小组1:我们小组测量的是教学楼。
小组2:我们小组测量的是花坛、升旗台、试验室。
小组3:我们小组测量的是车棚、厕所、图书阅览室、乒乓球台。
小组4:我们小组测量的是仓库、画廊、雕塑、花坛。
小组5:我们小组测量的是大门、宣传窗、多功能教室。
小组6:我们小组测量的是体育园地、操场。
三、画平面图的步骤。
师:现在我们已经知道了主要建筑物的测量结果,下面请各小组讨论一下,要想画出校园的平面图,我们还要做些什么?
预设 生1:先根据测量的实际距离和绘图纸的大小确定比例尺。
(板书:1.确定比例尺)
生 2:按比例尺分别算出各种建筑物的图上距离。
(板书:2.计算图上距离)
生 3:根据各种建筑物的位置及底面形状,画出校园的平面图。
(板书:3.制作平面图)
师:下面请各小组按照大家自己研究的步骤和方法,画出校园平面图。大家有信心画好吗?(学生分小组画图,教师巡视,进行个别指导)
[设计意图] 通过设计学生熟悉的环境——“校园平面图”的过程,进一步巩固已经学习的有关知识,让学生学会应用数学知识解决实际生活中的问题,培养收集、整理、分析信息的意识和能力,以及爱校护校的良好情感。
四、交流评价。
师:各小组都已经把校园平面图画好了。现在,老师把每个小组画的平面图展示给大家。
(1)投影出各小组绘制的校园平面图,让学生观察。
(2)学生互评每张图画得是否准确、合理,针对画得有缺陷的平面图共同修改。
师:请同学们想一想,在上面的活动中,运用了哪些知识?采用了哪些收集数据的方法?
预设 生1:我们在上面的活动中,运用了测量、统计、比例尺、方向等知识。
生 2:我们用了测量、计算、估计等收集数据的方法。
师:利用我们绘制的校园平面图,可以帮助人们解决什么问题?
预设 生1:根据校园平面图,能估计出校园的大小。
生 2:根据校园平面图,可以很轻松地找到校园里的某个地方。
[设计意图] 让学生经历“检查——修改——反思——总结”的过程,回顾总结本节课运用的知识和采用的收集数据的方法,总结绘制校园平面图的基本步骤和过程。
师:同学们,生活中有许多问题都跟数学有关,就像我们这节课绘制的校园平面图一样。只要我们细心观察、认真思考,运用我们学过的知识认真分析,一定能找到解决问题的好方法,不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
绘制校园平面图
1.确定比例尺
2.计算图上距离
3.制作平面图
通过“新课导入”中的活动使学生带着对母校热爱的情感参与本次综合实践活动。在绘制校园平面图的过程中,首先帮助学生做好知识复习准备,通过引导帮助学生明确绘制校园平面图的基本步骤,最后通过展示和互评,为学生搭建了一个交流分享的平台。
在学生互评绘制的校园平面图的环节中,教师没有给出互评的参照标准。
绘制校园平面图的综合实践活动,需要事先师生做大量的准备工作,不能指望通过一节课就完成这个实践活动,因此教师和学生都要事先做好一定的准备工作。
第课时 神奇的莫比乌斯带
1.动手操作,验证交流,经历探索和认识莫比乌斯带的过程,积累数学活动经验。
2.在动手操作,对比探索中认识莫比乌斯带,学会将长方形纸条制作成莫比乌斯带,初步体会莫比乌斯带的特征。
3.在数学活动中经历猜想与探索的过程,感受莫比乌斯带的神奇变化,感受数学无穷魅力,进一步激发学生学习数学的兴趣和好奇心。
【重点】 “神奇的纸环”的做法及它的特点。
【难点】 探究“神奇的纸环”的神奇之处。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 剪刀,胶水,彩笔,彩色长方形纸。
情景激趣。
PPT课件出示教材第54页的纸环,其内侧有一点面包屑,外面有一只蚂蚁。
师:如果不让蚂蚁爬过纸环的边缘,它能吃到面包屑吗?
(生交流讨论)
大部分学生认为不能吃到;还有一些同学不知所以;只有少数同学认为能吃到,但不知怎样才能吃到。
师:这节课我们就一起来学习、探究“神奇的纸环”。那么,看了这个课题你们有什么想法呢?
预设 生1:“神奇的纸环”是什么样子的?
生 2:“神奇的纸环”有什么神奇的地方?
生 3:“神奇的纸环”在生活中有哪些应用?
师:同学们想知道的还真不少。要想知道这些,还得从这张小小的纸条说起。
一、做一做——神奇的带子。
师:请同学们取出纸条,你们发现了什么?
(根据学生的回答板书:长方形纸条有4条边、2个面)
师:你们能把它变成两条边吗?请同学们试一试。
(引导学生动手实践:将纸条做成一个普通纸环,引导学生观察得出:普通纸环有2个面、2条边)
师:你能把这2个面变成1个面吗?
(PPT课件出示制作方法:先围成一个普通的纸环,然后将一端翻转180°,再用胶带粘牢)
师:请同学们按照老师演示的方法做一个这样的纸环。
(小组合作,互相帮助)
师:现在蚂蚁能吃到面包屑了吗?
(引导学生操作:学生在带子上点上两个点,其中一个代表面包屑,一个代表蚂蚁,观察后发现不管面包屑标在什么地方,小蚂蚁都能吃到)
师:这样一个纸环真的只有一条边、一个面吗?我们一起来检验吧!
(指导学生操作:学生分别在“神奇的纸环”上各取一点。从这点开始涂色,不能翻过边缘一直涂下去)
师:你们有什么发现?
预设 生:“神奇的纸环”上全涂了颜色,又回到了起点,说明只有一个面。
(指导学生用手沿着其中的一条边走,能回到原点,说明只有一条边)
师:你们知道这样的一个纸环叫什么名字吗?它是德国数学家莫比乌斯在1858年偶然间发现的,所以就以他的名字命名为“莫比乌斯带”,也有人叫它“莫比乌斯圈”,还有人管它叫“怪圈”。
二、剪一剪——研究莫比乌斯带。
“神奇的纸环”到底有多神奇呢?下面我们就用“剪”的办法来研究。
1.观察普通纸环。
师:如果沿着普通纸环的中间剪下去,会变成什么样呢?请同学们认真观察老师是怎么剪的。
预设 生:变成2个分开的纸环。
(学生自己动手验证一下)
2.观察“神奇的纸环”。
师:我们也用剪刀沿中间剪开,同学们猜一猜会变成什么样子?(启发学生想象力)
师:要想知道它到底会变成什么样子的,我们该怎样做?
(生剪剪看)
师:为了不把它剪断,先看老师是怎样开始剪的?大家剪的时候一定要注意安全!
师:同学们在这个纸环中间画一条线,我们沿着中间这条线把这个纸环剪开。
师:剪完的同学举起来给大家看一看。太不可思议了!怎么会变成这个样子呢?
预设 生:因为莫比乌斯带是扭了180度才粘在一起的,所以剪开后好像伸开了一样,变成了一个更大的纸环。
师:学到了这里,你们对“神奇的纸环”有了怎样的感觉呢?
预设 生:太神奇了。
3.继续神奇。
师:大家还想不想继续感受这个纸环的神奇?如果我们要沿着三等分线剪,猜一猜:要剪几次?剪的结果会是怎样呢?
(学生动手操作,同桌合作帮助)
(验证结果:变成了一个大纸环套着一个小纸环)
师:沿中线或沿三等分线剪莫比乌斯带得到的结果是不一样的,你们还想怎样剪?结果会怎样呢?在小组内说说看。
(教师引导学生说出自己的想法)
师:同学们的想法真好,课后同学们去实践一下,看看是不是你们猜想的结果。
[设计意图] 通过让学生动手实践,进一步感受“神奇的纸环”的神奇之处,增强学生学习数学的兴趣。
三、说一说——莫比乌斯带的应用。
师:“神奇的纸环”不但很神奇,而且它在生活中还有许多用处呢!有些机器上的传动带就是做成这种带子的形状,这样就不会只磨损一个面,使传动带的寿命提高了一倍,有些过山车的轨道也采用了这种原理来设计。
请欣赏图片(PPT课件展示):
1.过山车(有些过山车的轨道采用的就是莫比乌斯带原理)
2.莫比乌斯爬梯
3.哈萨克斯坦新国家图书馆
4.克莱因瓶
师:一个长条扭一扭,两条短边手牵手,
变出莫比乌斯带,单侧曲面把路开。
来呀,我的好朋友,科学探索一起走!
让我们今天的课结束在这首有趣的童谣中吧。希望同学们像童谣中说的那样,在数学王国的大道上越走越远!
神奇的莫比乌斯带
做一做——神奇的带子
剪一剪——研究莫比乌斯带
说一说——莫比乌斯带的应用
帮助学生感受数学的神奇,激发学生的探究欲望和创新精神是本课时的主要活动目的。在活动的过程中,本着师生共同参与,以学生自主活动、亲身体验为主,让学生置身于数学世界的神奇之中,较好地调动了学生的参与热情和探索欲望。
在课时教学的过程中,没有充分关注学生动手操作能力的差异。
在学生动手操作的过程中,关注学生动手操作能力的差异。同时,教师可以让学生参照PPT课件进行操作,这样可以帮助学生成功操作,通过成功体验探索的快乐。
第课时 可爱的小猫
“可爱的小猫”主要是让学生根据确定的点写出对应的数对以及根据数对所确定的点,描画出相应的图形,这是对数对知识的复习及应用。教材为了增强描画的趣味性,首先让学生根据小猫的轮廓,写出相应点的数对,让学生复习数对的知识;然后让学生寻找另外三只小猫的数对的规律,并根据数对的变化规律,把相应点的数对填写完整;再让学生根据数对画出三只小猫,让学生感受到,由于数对变了,所画的小猫的图形也发生了伸缩变化;最后让学生根据图形“变形”的方法,设计图案。
【重点】 掌握用有序数对表示图中的点的方法,并能应用数对中数的扩大或缩小,完成图形的放大或缩小。
【难点】 能根据数对的变化规律对图形进行变形。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 作业纸,尺子,透明方格纸,水彩笔若干。
师:同学们以前学过比、数对、用字母表示数等内容。现在回忆一下,谁能说说它们的含义?
预设 生1:两个数相除又叫作两个数的比。
生 2:数对是用两个数来表示一个点的位置,它是有顺序的。
生 3:用字母可以表示任何数。
师:谁能举出生活中应用放大和缩小的例子?
预设 生1:拍照是应用缩小的例子。
生 2:放大镜是应用放大的例子。
师:想一想,怎样放大或缩小图形,才能使得到的图形像原来的图形?
预设 生:只有把图形的各边按相同的比扩大或缩小,才能使放大或缩小后的图形与原图形相像。
师:这节课我们继续动手操作,看看哪只小猫与乐乐画得像?
(板书课题)
[设计意图] 充分利用学生熟悉、感兴趣的情景导入新课,提高学生的学习兴趣。
一、探究“小猫”的变形。
(PPT课件出示教材第56页小猫乐乐的图片)
师:说一说点A(2,0)中,2和0分别表示什么。
预设 生:2表示列,0表示行。
师:分别说说B(4,0),C(6,2),D(6,6)各数对中的数字所表示的意义。
(生根据数对的含义进行交流)
师:组成小猫乐乐轮廓的点E,F,G,H,I,J的数对是什么?
预设 生:E(5,8),F(4,6),G(2,6),H(1,8),I(0,6),J(0,2)。
师:(小结)在格子图中,可以用有序数对来表示位置,一般第一个数表示其所在的列,第二个数表示其所在的行,然后将这两个数用括号括起来。
二、探究“天天”“晶晶”“欢欢”轮廓点的数对规律。
(PPT课件出示教材第56页的表格)
1.寻找数对变化规律。
师:观察表中表示每只小猫轮廓的点的数对,与乐乐的相比,天天的有什么特点?晶晶的呢?欢欢的呢?
(学生小组内交流讨论)
预设 生1:与乐乐的相比,表示天天轮廓的点的数对是第一个数乘2,第二个数不变。
生 2:与乐乐的相比,表示晶晶轮廓的点的数对是第一个数不变,第二个数乘2。
生 3:与乐乐的相比,表示欢欢轮廓的点的数对是第一个数和第二个数都乘2。
2.按照上面的规律,把表格填完整。
(学生独立完成,然后小组内交流)
[设计意图] 对学习有困难的学生可进行指导,可以给学生做一个示范,再让学生把表格补充完整。
3.在方格纸中分别画出三只小猫的轮廓。
(1)学生独立描点。
(2)展示学生的作品。
师:观察比较,说说哪只小猫长得像乐乐。
预设 生1:小猫天天的轮廓变宽了。
生 2:小猫晶晶的轮廓变长了。
生 3:只有小猫欢欢最像小猫乐乐。
师:(小结)在数对变化时,天天的只把第一个数扩大为原来的2倍,晶晶的只把第二个数扩大为原来的2倍,而欢欢的是把第一个和第二个数都扩大为原来的2倍,也就是说欢欢是将乐乐放大为原来的2倍得到的,所以与乐乐最像。
只有数对的两个数都扩大相同的倍数,形成的图形与原来的图形才像。
4.设计方案。
师:生活中,可以利用上面的方法将图案进行“变形”。
(PPT课件出示教材第57页的“M”)
要求学生在方格纸上设计图案。
将学生画得有代表性的图案进行展示,学生进行评价,说说是怎样变形的。
【巩固练习】
填出表示各点的数对。
A(2,4),B(5,1),C( , ),D( , ),E( , ),F( , ),G( , ),H( , )。
依次连接各点。
【参考答案】 C(10,2),D(13,4),E(7,4),F(7,6),G(7,10),H(3,6)。图略。
这节课你们有什么收获?快跟同伴分享一下吧。
可爱的小猫
探究“小猫”的变形
“天天”“晶晶”“欢欢”轮廓点的数对规律
本活动的核心内容是帮助学生感受图形的变化。动手操作感受图形的变化,是学生参与数学实践活动的一种方式。在动手操作之后,感受图形变化的同时,再引领学生从知识的角度分析为什么会这样变化,很好地把数学知识和数学实践结合起来。
个别学生粗心使变化的图形“走样”,没有提示学生操作中要注意的问题。
在教学的过程中,要充分注意培养学生细心观察、严谨实践的科学精神,提示学生要注意的问题,同时要关注学生动手操作能力的差异。
【巩固应用·60页】
1. 2.如下表所示:
底面
半径
/cm
高/cm
圆柱
圆锥体
积/cm3
侧面积
/cm2
表面积
/cm2
体积
/cm3
2
15
188.4
213.52
188.4
62.8
6
20
753.6
979.68
2260.8
753.6
3.(1)13×3.14×(6÷2)2×1.2=11.304(m3) (2)11.304×700=7912.8(kg) 4.3.14×(5×2)×80×20=50240(cm2) 5.(1)3.14×32×2+3.14×(3×2)×(3×2)=169.56(dm2) (2)3.14×32×(3×2)=169.56(dm3) 169.56 dm3=169.56升 6.(1)13×3.14×(2÷2)2×3=3.14(cm3) (2)13×3.14×(6÷2)2×9-13×3.14×1.52×4.5=74.1825(cm3) 7.x∶12=12∶18,x=8 12∶18=18∶y,y=27 8.x=0.48 x=35 x=9.6 9.(1)长
为12×200=2400(cm),2400 cm=24 m,宽为10×200=2000(cm),2000 cm=20 m,深为2×200=400(cm),400 cm=4 m。 (2)24×20=480(m2) 10.(1)成反比例 (2)成正比例 (3)不成比例 11.如下表所示:
参与分糖的人数
8
6
12
2
3
1
每人分到糖的数量/块
3
4
2
12
8
24
因为糖的总块数是不变的,所以参与分糖的人数与每人分到糖的数量成反比例。 12.(1)如下表所示:
原价/元
10
20
30
40
50
现价/元
8
16
24
32
40
(2)略 (3)0.8x 因为现价与原价的比值都是0.8,所以现价与原价成正比例。 14.答案不唯一。(1)图1中的图A先向右平移3格,再向下平移2格得到图2。