6-4 生活中的圆周运动 1-车辆的转弯问题分析—2020-2021学年【新教材】人教版（2019）高中物理必修第二册学案（Word含答案）
文档属性
| 名称 | 6-4 生活中的圆周运动 1-车辆的转弯问题分析—2020-2021学年【新教材】人教版（2019）高中物理必修第二册学案（Word含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 806.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2021-05-10 10:58:32 | ||
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文档简介
6-4 生活中的圆周运动 1-车辆的转弯问题分析
【知识点梳理】
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
②若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
③若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
2．汽车转弯问题
(1)水平地面上转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当Ff达到最大时，即有Ffmax＝μmg＝m，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝.
(2)外高内低斜面式弯道转弯
此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力mg和支持力FN的合力F合提供，如图所示．由F合＝mgtan θ＝可得规定速度v0＝.若车速v>，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v<，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用．
【例题讲解】
【例1】 (2020·山东菏泽高一检测)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
【例2】 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【随堂练习】
1、如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
2、(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
3、(多选)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是( )
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C．适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
4、(火车转弯问题)当火车以速率v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧向压力作用，此速率称为安全速率．下列说法正确的是( )
A．弯道半径R＝
B．若火车以大于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
C．若火车以小于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
【课后作业】
1、(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定，若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
2、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
3、在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D．是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
4、在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. B.
C. D.
5、质量为m的火车以恒定的速率在轨道上沿一段半径为R的圆形轨道转弯，如图所示，已知轨道有一定的倾角．当火车以速率v0在此弯道上转弯时，车轮对轨道的侧压力恰好为0.如果火车以实际速率v(v>v0)在此弯道上转弯时，车轮将施于铁轨一个与枕木平行的侧压力F，试求侧压力F的大小．
6、汽车在水平地面上转弯时，与地面间的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的
B．减为原来的
C．增为原来的2倍
D．增为原来的4倍
7、(2020·河北石家庄期末)铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
8、某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10 m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为( )
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
9、(2020·北京石景山区期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨
B．若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨
C．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨
D．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力
10、为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面会有一个夹角．若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无挤压．已知某转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则( )
A．v＝gRtan α B．v＝gRsin α
C．v＝ D．v＝
11、(多选)(2020·浙江宁波九校期末)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的最大静摩擦力为1.6×104 N，当汽车经过半径为100 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为30 m/s时所需的向心力为1.6×104 N
C．汽车转弯的速度为30 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0 m/s2
6-4 生活中的圆周运动 1-车辆的转弯问题分析
【知识点梳理】
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
②若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
③若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
2．汽车转弯问题
(1)水平地面上转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当Ff达到最大时，即有Ffmax＝μmg＝m，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝.
(2)外高内低斜面式弯道转弯
此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力mg和支持力FN的合力F合提供，如图所示．由F合＝mgtan θ＝可得规定速度v0＝.若车速v>，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v<，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用．
【例题讲解】
【例1】 (2020·山东菏泽高一检测)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝m＝ N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m.
由此可得tan θ＝＝0.1.
【例2】 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
[答案] AC
[解析] 汽车以速率vc转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此处公路内侧较低外侧较高，A正确．车速只要低于vc，车辆便有向内侧滑动的趋势，但不一定向内侧滑动，B错误．车速高于vc，由于车轮与地面间有摩擦力，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动，C正确．根据题述，汽车以速率vc转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时vc的值不变，D错误．
【随堂练习】
1、如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
[答案]A
[解析] 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，选项A正确．
2、(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
[答案]AD
[解析] 设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．
3、(多选)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是( )
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C．适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
[答案]BD
[解析]当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．]
4、(火车转弯问题)当火车以速率v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧向压力作用，此速率称为安全速率．下列说法正确的是( )
A．弯道半径R＝
B．若火车以大于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
C．若火车以小于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
[答案] B
[解析] 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtanθ，而Fn＝m，故gRtanθ＝v2，即R＝，则A错；若火车以大于v的速率过弯时，重力和支持力的合力不足以提供所需向心力，则外轨对车轮的侧向压力来补充不足，故B对，C错；由mgtanθ＝m可知质量与速率无关，故D错．
【课后作业】
1、(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定，若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
[答案] AC
[解析] 当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力应正好等于向心力，当速度大于v时，火车重力与轨道面支持力的合力小于转弯所需向心力，此时轮缘挤压外轨，外轨对轮缘产生弹力，当速度小于v时，火车重力与轨道面支持力的合力大于转弯所需向心力，此时轮缘挤压内轨，故A、C正确，B、D错误．
2、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
[答案] C
[解析] 由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtanθ，v＝，此时火车只受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcosθ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误．
3、在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D．是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
[答案] C
[解析] 赛车在水平弯道上行驶时，摩擦力提供向心力，而且速度越大，需要的向心力越大，如不及时减速，当摩擦力不足以提供向心力时，赛车就会做离心运动，冲出跑道，故C正确．
4、在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意知当mgtanθ＝m时其横向摩擦力等于零，所以v＝＝ .
5、质量为m的火车以恒定的速率在轨道上沿一段半径为R的圆形轨道转弯，如图所示，已知轨道有一定的倾角．当火车以速率v0在此弯道上转弯时，车轮对轨道的侧压力恰好为0.如果火车以实际速率v(v>v0)在此弯道上转弯时，车轮将施于铁轨一个与枕木平行的侧压力F，试求侧压力F的大小．
[答案]
[解析] 受力情况：(1)速度为v0时受重力、弹力作用．
(2)速度为v时受重力、弹力、侧压力作用，如图所示．
火车做圆周运动的平面是水平的，故合力(向心力)沿水平方向．
用α表示路面与水平面的夹角，当火车以速率v0转弯时有mgtanα＝①
当火车以实际速率v转弯时，车轮对外轨的侧压力F与外轨对车轮的侧压力F′是一对相互作用力，此时有
FNsinα＋F′cosα＝②
FNcosα－F′sinα＝mg③
联立①②③式，解得F′＝.
故F＝.
6、汽车在水平地面上转弯时，与地面间的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的
B．减为原来的
C．增为原来的2倍
D．增为原来的4倍
[答案] D
[解析] 汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，汽车的转弯半径为r，则μmg＝m，故r∝v2，故速率增大到原来的2倍时，转弯半径增大到原来的4倍，D正确．
7、(2020·河北石家庄期末)铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
[答案] C.
[解析] 火车在水平面内做圆周运动，当重力与铁轨的支持力恰好提供火车转弯所需的向心力时，由力的合成可得mgtan θ＝，有v＝，可见此时轮缘与内外轨之间无挤压，A、B错误．由图可知此时铁轨对火车的支持力FN＝，C正确，D错误．
8、某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10 m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为( )
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
[答案] B.
[解析] 汽车转弯时不发生侧滑，静摩擦力充当向心力，有：μmg＝m，得汽车转弯时不发生侧滑的最大速率v＝＝ m/s＝10 m/s，故B正确，A、C、D错误．
9、(2020·北京石景山区期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨
B．若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨
C．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨
D．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力
[答案] A.
[解析]如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，故A正确；当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，故B错误；当火车以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力恰好提供向心力，火车与内外轨都无挤压，故C错误；设内外轨间形成斜面的倾角为θ，当火车以v的速度通过此弯路时，由受力可知，Ncos θ＝mg，解得：N＝，根据牛顿第三定律，火车对轨道的压力大于火车的重力，故D错误．
10、为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面会有一个夹角．若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无挤压．已知某转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则( )
A．v＝gRtan α B．v＝gRsin α
C．v＝ D．v＝
[答案] D.
[解析]火车受力如图所示，在转弯处火车按规定速度行驶时，火车所需要的向心力由重力和支持力的合力提供，有：F合＝mgtan α，根据牛顿第二定律有：mgtan α＝m，解得火车规定行驶速度为：v＝，故D正确．
11、(多选)(2020·浙江宁波九校期末)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的最大静摩擦力为1.6×104 N，当汽车经过半径为100 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为30 m/s时所需的向心力为1.6×104 N
C．汽车转弯的速度为30 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0 m/s2
[答案] CD.
[解析] 汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力提供向心力，不能说受到向心力，故A错误；如果车速达到30 m/s，需要的向心力F＝m＝2.0×103× N＝1.8×104 N，故B错误；最大静摩擦力f＝1.6×104 N，则F＞f，所以汽车会发生侧滑，故C正确；最大加速度为：a＝＝ m/s2＝8.0 m/s2，故D正确．
【知识点梳理】
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
②若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
③若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
2．汽车转弯问题
(1)水平地面上转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当Ff达到最大时，即有Ffmax＝μmg＝m，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝.
(2)外高内低斜面式弯道转弯
此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力mg和支持力FN的合力F合提供，如图所示．由F合＝mgtan θ＝可得规定速度v0＝.若车速v>，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v<，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用．
【例题讲解】
【例1】 (2020·山东菏泽高一检测)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
【例2】 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
【随堂练习】
1、如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
2、(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
3、(多选)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是( )
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C．适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
4、(火车转弯问题)当火车以速率v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧向压力作用，此速率称为安全速率．下列说法正确的是( )
A．弯道半径R＝
B．若火车以大于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
C．若火车以小于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
【课后作业】
1、(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定，若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
2、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
3、在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D．是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
4、在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. B.
C. D.
5、质量为m的火车以恒定的速率在轨道上沿一段半径为R的圆形轨道转弯，如图所示，已知轨道有一定的倾角．当火车以速率v0在此弯道上转弯时，车轮对轨道的侧压力恰好为0.如果火车以实际速率v(v>v0)在此弯道上转弯时，车轮将施于铁轨一个与枕木平行的侧压力F，试求侧压力F的大小．
6、汽车在水平地面上转弯时，与地面间的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的
B．减为原来的
C．增为原来的2倍
D．增为原来的4倍
7、(2020·河北石家庄期末)铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
8、某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10 m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为( )
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
9、(2020·北京石景山区期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨
B．若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨
C．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨
D．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力
10、为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面会有一个夹角．若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无挤压．已知某转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则( )
A．v＝gRtan α B．v＝gRsin α
C．v＝ D．v＝
11、(多选)(2020·浙江宁波九校期末)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的最大静摩擦力为1.6×104 N，当汽车经过半径为100 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为30 m/s时所需的向心力为1.6×104 N
C．汽车转弯的速度为30 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0 m/s2
6-4 生活中的圆周运动 1-车辆的转弯问题分析
【知识点梳理】
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图所示，有mgtan θ＝m，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角(tan θ≈)，v0为转弯处的规定速度．此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用．
②若火车行驶速度v0＞，外轨对轮缘有侧压力．
③若火车行驶速度v0＜，内轨对轮缘有侧压力．
2．汽车转弯问题
(1)水平地面上转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当Ff达到最大时，即有Ffmax＝μmg＝m，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝.
(2)外高内低斜面式弯道转弯
此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力mg和支持力FN的合力F合提供，如图所示．由F合＝mgtan θ＝可得规定速度v0＝.若车速v>，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v<，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用．
【例题讲解】
【例1】 (2020·山东菏泽高一检测)有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值．
[答案] (1)1×105 N (2)0.1
[解析] (1)v＝72 km/h＝20 m/s，外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力，所以有：
FN＝m＝ N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小等于1×105 N.
(2)火车过弯道，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，则mgtan θ＝m.
由此可得tan θ＝＝0.1.
【例2】 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处( )
A．路面外侧高内侧低
B．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动
C．车速高于vc，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
[答案] AC
[解析] 汽车以速率vc转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明此处公路内侧较低外侧较高，A正确．车速只要低于vc，车辆便有向内侧滑动的趋势，但不一定向内侧滑动，B错误．车速高于vc，由于车轮与地面间有摩擦力，只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动，C正确．根据题述，汽车以速率vc转弯，需要指向内侧的向心力，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，没有受到摩擦力，所以当路面结冰时，与未结冰时相比，转弯时vc的值不变，D错误．
【随堂练习】
1、如图所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，汽车甲在汽车乙的外侧，两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙．以下说法正确的是( )
A．f甲小于f乙
B．f甲等于f乙
C．f甲大于f乙
D．f甲和f乙的大小均与汽车速率无关
[答案]A
[解析] 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即f＝F向＝m，由于r甲＞r乙，则f甲＜f乙，选项A正确．
2、(多选)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是( )
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
[答案]AD
[解析] 设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtan θ＝m，得tan θ＝，又因为tan θ≈sin θ＝，所以＝.可见v一定时，r越大，h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，h越大，故C错误，D正确．
3、(多选)火车在铁轨上转弯可以看作是做匀速圆周运动，火车速度提高易使外轨受损．为解决火车高速转弯时使外轨受损这一难题，你认为理论上可行的措施是( )
A．减小弯道半径
B．增大弯道半径
C．适当减小内外轨道的高度差
D．适当增加内外轨道的高度差
[答案]BD
[解析]当火车速度增大时，可适当增大转弯半径或适当增大轨道倾角，以减小外轨所受压力．]
4、(火车转弯问题)当火车以速率v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧向压力作用，此速率称为安全速率．下列说法正确的是( )
A．弯道半径R＝
B．若火车以大于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
C．若火车以小于v的速率通过该弯道时，则外轨将受到侧向压力作用
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
[答案] B
[解析] 当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fn＝mgtanθ，而Fn＝m，故gRtanθ＝v2，即R＝，则A错；若火车以大于v的速率过弯时，重力和支持力的合力不足以提供所需向心力，则外轨对车轮的侧向压力来补充不足，故B对，C错；由mgtanθ＝m可知质量与速率无关，故D错．
【课后作业】
1、(多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定，若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
[答案] AC
[解析] 当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力应正好等于向心力，当速度大于v时，火车重力与轨道面支持力的合力小于转弯所需向心力，此时轮缘挤压外轨，外轨对轮缘产生弹力，当速度小于v时，火车重力与轨道面支持力的合力大于转弯所需向心力，此时轮缘挤压内轨，故A、C正确，B、D错误．
2、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
[答案] C
[解析] 由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtanθ，v＝，此时火车只受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcosθ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误．
3、在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的
B．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的
C．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的
D．是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的
[答案] C
[解析] 赛车在水平弯道上行驶时，摩擦力提供向心力，而且速度越大，需要的向心力越大，如不及时减速，当摩擦力不足以提供向心力时，赛车就会做离心运动，冲出跑道，故C正确．
4、在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的在水平面内的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由题意知当mgtanθ＝m时其横向摩擦力等于零，所以v＝＝ .
5、质量为m的火车以恒定的速率在轨道上沿一段半径为R的圆形轨道转弯，如图所示，已知轨道有一定的倾角．当火车以速率v0在此弯道上转弯时，车轮对轨道的侧压力恰好为0.如果火车以实际速率v(v>v0)在此弯道上转弯时，车轮将施于铁轨一个与枕木平行的侧压力F，试求侧压力F的大小．
[答案]
[解析] 受力情况：(1)速度为v0时受重力、弹力作用．
(2)速度为v时受重力、弹力、侧压力作用，如图所示．
火车做圆周运动的平面是水平的，故合力(向心力)沿水平方向．
用α表示路面与水平面的夹角，当火车以速率v0转弯时有mgtanα＝①
当火车以实际速率v转弯时，车轮对外轨的侧压力F与外轨对车轮的侧压力F′是一对相互作用力，此时有
FNsinα＋F′cosα＝②
FNcosα－F′sinα＝mg③
联立①②③式，解得F′＝.
故F＝.
6、汽车在水平地面上转弯时，与地面间的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( )
A．减为原来的
B．减为原来的
C．增为原来的2倍
D．增为原来的4倍
[答案] D
[解析] 汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，汽车的转弯半径为r，则μmg＝m，故r∝v2，故速率增大到原来的2倍时，转弯半径增大到原来的4倍，D正确．
7、(2020·河北石家庄期末)铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
[答案] C.
[解析] 火车在水平面内做圆周运动，当重力与铁轨的支持力恰好提供火车转弯所需的向心力时，由力的合成可得mgtan θ＝，有v＝，可见此时轮缘与内外轨之间无挤压，A、B错误．由图可知此时铁轨对火车的支持力FN＝，C正确，D错误．
8、某段水平公路转弯处弯道所在圆半径为40 m，汽车轮胎与路面间的动摩擦因数为0.25，假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，重力加速度g＝10 m/s2，汽车转弯时不发生侧滑的最大速率为( )
A．5 m/s B．10 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
[答案] B.
[解析] 汽车转弯时不发生侧滑，静摩擦力充当向心力，有：μmg＝m，得汽车转弯时不发生侧滑的最大速率v＝＝ m/s＝10 m/s，故B正确，A、C、D错误．
9、(2020·北京石景山区期末)如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则( )
A．若火车通过此弯道时速度大于v，则火车的轮缘会挤压外轨
B．若火车通过此弯道时速度小于v，则火车的轮缘会挤压外轨
C．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车的轮缘会挤压外轨
D．若火车通过此弯道时行驶速度等于v，则火车对轨道的压力小于火车的重力
[答案] A.
[解析]如图所示为火车车轮在转弯处的截面示意图，轨道的外轨高于内轨，在此转弯处规定火车的行驶速度为v，则当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，故A正确；当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，故B错误；当火车以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力恰好提供向心力，火车与内外轨都无挤压，故C错误；设内外轨间形成斜面的倾角为θ，当火车以v的速度通过此弯路时，由受力可知，Ncos θ＝mg，解得：N＝，根据牛顿第三定律，火车对轨道的压力大于火车的重力，故D错误．
10、为了行驶安全和减少对铁轨的磨损，火车转弯处轨道平面与水平面会有一个夹角．若火车以规定的速度行驶，则转弯时轮缘与铁轨无挤压．已知某转弯处轨道平面与水平面间夹角为α，转弯半径为R，规定行驶速率为v，重力加速度为g，则( )
A．v＝gRtan α B．v＝gRsin α
C．v＝ D．v＝
[答案] D.
[解析]火车受力如图所示，在转弯处火车按规定速度行驶时，火车所需要的向心力由重力和支持力的合力提供，有：F合＝mgtan α，根据牛顿第二定律有：mgtan α＝m，解得火车规定行驶速度为：v＝，故D正确．
11、(多选)(2020·浙江宁波九校期末)一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的最大静摩擦力为1.6×104 N，当汽车经过半径为100 m的弯道时，下列判断正确的是( )
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为30 m/s时所需的向心力为1.6×104 N
C．汽车转弯的速度为30 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0 m/s2
[答案] CD.
[解析] 汽车在水平面转弯时，做圆周运动，重力与支持力平衡，侧向静摩擦力提供向心力，不能说受到向心力，故A错误；如果车速达到30 m/s，需要的向心力F＝m＝2.0×103× N＝1.8×104 N，故B错误；最大静摩擦力f＝1.6×104 N，则F＞f，所以汽车会发生侧滑，故C正确；最大加速度为：a＝＝ m/s2＝8.0 m/s2，故D正确．