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人教版
八年级数学下册
19.2.2
一次函数（第4课时）
能利用一次函数知识解决实际问题
学习目标
乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故
事.故事梗概为:“一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶
水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到
了水.
”告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思
考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.
情景引入
温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.
水的沸点温度是100℃，用华氏温度度量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度度量为32
℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄氏温度？
例1
一次函数与实际问题
例题解析
用C,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，因此可以设
C
=
kF
+
b，
解：
由已知条件，得
212k
+
b
=100，
32k
+
b
=
0
.
｛
因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为
解这个方程组，得
某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）
之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）一箱油可供拖拉机工作
几小时？
解：(1)y
=
-5x
+
40.
(2)8
h
做一做
购买种子
数量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
…
例2
“黄金1号”玉米种子的价格为5
元/kg，如果一次购买2
kg
以上的种子，超过2
kg
部分的种子的价格打8
折.
（1）填写下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
例题解析
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
分析：从题目可知，种子的价格与
有关.
若购买种子量为x＞2时，种子价格y为：
.
若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为：
.
购买种子量
y=5x
y=4（x-2）+10=4x+2
购买种子
数量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
…
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
解：设购买量为x千克，付款金额为y元.
当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
当0≤x≤2时，y=5x；
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
叫做分段函数.
注意：1.它是一个函数；
2.要写明自变量取值范围.
y
=
5x(0≤x≤2)
4x+2(x>2)
｛
∴
y=5x(0≤x≤2)
y=4x+2(x>2)
y
x
O
1
2
10
3
14
的函数图象为:
y
=
5x(0≤x≤2)
4x+2(x>2)
｛
你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？
（1）一次购买1.5
kg
种子，需付款多少元？
（2）30元最多能购买多少种子？
1.为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式；
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
当堂训练
1.
为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数解析式；
解：y关于x的函数解析式为：
1.3x
(0≤x≤8)
2.7x-11.2
(x＞8)
y=
（2）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8.
（3）∵1.3×8=10.4<26.6，
∴该用户用水量超过8立方米.
∴2.7x-11.2=26.6，解得x=14.
答：应缴水费为15.8元.
答：该户这月用水量为14立方米.
（2）该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
（3）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
2.某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后.
（1）服药后______小时，血液中含药量最高，达到每毫升_______毫克，接着逐步衰弱.
（2）服药5小时，血液中含药量为
每毫升____毫克.
x/小时
y/毫克
6
3
2
5
O
2
6
3
当堂训练
（3）当x≤2时y与x之间的函数解析式是___________.
（4）当x≥2时y与x之间的函数解析式是___________.
（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是______小时.
y=3x
y=-x+8
4
x/小时
y/毫克
6
3
2
5
O
●
●
3.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数y（元）与存钱月数
x（月）之间的关系如图所示，根据下图回答下列问题：
（1）求出y关于x的函数解析式.
（2）根据关系式计算，小明经过几个月才能存够200元？
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
当堂训练
解:
(1)设函数解析式为y=kx＋b，
由图可知图象过(0，40),(4，120)，
∴这个函数的解析式为y=20x+40.
(2)当y=200时，20x+40=200,
解得x=8，
∴小明经过8个月才能存够200元.
解得
∴
40
80
120
y/元
x/月
1
2
3
4
5
o
解：(1)由题意得
当0≤t≤2时，T=20；
当2函数解析式为：
T
=
20(0≤t≤2)
5t+10(24.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
｛
当堂训练
T=20(0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
T/℃
t/h
O
1
2
30
4
3
(2)函数图象为：
5.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.
（1）请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50
和x>50时，y与x的函数解析式；
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元）
x(度）
75
当堂训练
解:当0≤x≤50
时，由图象可设
y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，∴k1=0.5，
∴y=0.5x
;
当x＞50时，由图象可设
y=k2x+b，
∵其经过(50,25)、(100,70)，得k2=0.9,b=-20,
∴y=0.9x-20.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元)
x(度)
75
5.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元）
x(度）
75
（2）根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是_____元/度.
当每月用电量超过50度时，收费标准是_____元/度.
0.5
0.9
（1）应用一次函数模型解决实际问题
（2）数学写分段函数解析式时要注意自变量取值范围不重不漏
课堂小结
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19.2.2
一次函数（第4课时）
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?萧山区期末）已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为，与的函数关系式为，那么自变量的取值范围是
A
．
B
．
C
．
D
．
2．已知小明从地到地，速度为4千米小时，，两地相距3千米，若用（小时）表示行走的时间，（千米）表示余下的路程，则与之间的函数表达式是
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?雁塔区校级月考）一长为，宽为的长方形木板，现要在长边上截去长为的一部分（如图），与剩余木板的面积与的关系式为
A．
B．
C．
D．
4．（2020?丰台区模拟）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如下表所示：
弹簧总长
16
17
18
19
20
重物重量
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是
A．22.5
B．25
C．27.5
D．30
5．（2020秋?沈北新区校级期末）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中与之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是
①甲乙两地的距离为450千米；
②轿车的速度为90千米小时；
③货车的速度为60千米小时；
④点的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
二、填空题
6．（2020春?孟津县期中）汽车开始行驶时，邮箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则邮箱内剩余油量（升与行驶时间（时之间的函数关系式为
．
7．（2020秋?高州市期中）某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后天应收租金
元．
8．（2021?大渡口区自主招生）甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶在、两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立即以原来速度返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间1（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是
小时．
三、解答题
9．一盘蚊香长，点燃时每小时缩短．
（1）请写出点燃后蚊香的长与蚊香燃烧时间之间的函数关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
10．把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为（单位：．
（1）请写出与之间的函数关系式；
（2）请写出自变量的取值范围；
（3）画出函数的图象．
11．（2021?上城区一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有名学生获奖，奖品均价元．
（1）写出关于的函数表达式；
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价；
②若获奖学生不超过该年级学生总数的，且不低于学生总人数的，求奖品均价的取值范围．
12．（2020秋?苏州期末）某商店代理销售一种水果．某月30天的销售净利润（扣除每天需要缴纳各种费用50元后的利润）（元与销售量之间函数关系的图象如图中折线所示．
日期
销售记录
1日
库存，进价6元，售价10元（除了促销期间降价，其他时间售价保持不变）
9日
从1日起的9天内一共售出
10、11日
这两天以进价促销，之后售价恢复到10元
12日
补充进货，进价6.5元
30日
水果全部售完，一共获利1200元
请根据图象及如表中销售记录提供的相关信息，解答下列问题：
（1）点纵坐标的值为
；
（2）求两天促销期间一共卖掉多少水果？
（3）求图象中线段所在直线对应的函数表达式．
19.2.2
一次函数（第4课时）
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?萧山区期末）已知等腰三角形的周长为，底边长为，腰长为，与的函数关系式为，那么自变量的取值范围是
A
．
B
．
C
．
D
．
【解析】解：
根据三角形的三边关系，
得
则，
由，解得，
由，解得，
则．
故选：．
2．已知小明从地到地，速度为4千米小时，，两地相距3千米，若用（小时）表示行走的时间，（千米）表示余下的路程，则与之间的函数表达式是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：用（小时）表示行走的时间，（千米）表示余下的路程，则与之间的函数表达式是：．
故选：．
3．（2020秋?雁塔区校级月考）一长为，宽为的长方形木板，现要在长边上截去长为的一部分（如图），与剩余木板的面积与的关系式为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：依题意有：．
故选：．
4．（2020?丰台区模拟）弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如下表所示：
弹簧总长
16
17
18
19
20
重物重量
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是
A．22.5
B．25
C．27.5
D．30
【解析】解：设弹簧总长与重物质量的关系式为，
将、代入，得：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
当时，
故重物为时弹簧总长是，
故选：．
5．（2020秋?沈北新区校级期末）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为（小时），两车之间的距离为（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中与之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是
①甲乙两地的距离为450千米；
②轿车的速度为90千米小时；
③货车的速度为60千米小时；
④点的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
【解析】解：由图象可知，甲乙两地的距离为450千米，故①说法正确；
设轿车和货车的速度分别为千米小时，千米小时．
根据题意得．解得：，，
故轿车和货车速度分别为90千米小时，60千米小时；
故②③说法正确；
轿车到达乙地的时间为（小时），
此时两车间的距离为（千米），
故点的实际意义是轿车出发5小时后到达乙地，此时两车间的距离为300千米．故④说法正确．
所以说法正确的是①②③④．
故选：．
二、填空题
6．（2020春?孟津县期中）汽车开始行驶时，邮箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则邮箱内剩余油量（升与行驶时间（时之间的函数关系式为 ．
【解析】解：由题意得，每小时耗油5升，则工作时内耗油量为
故剩余油量，
故答案为．
7．（2020秋?高州市期中）某音像社对外出租的光盘的收费方法是：每张光盘出租后的头两天，每天收0.8元，以后每天收0.5元，那么一张光盘在出租后天应收租金 元．
【解析】解：当租了天，则应收钱数：
，
，
（元．
答：共收租金元．
故答案为：．
8．（2021?大渡口区自主招生）甲、乙两车分别从地、地同时向地匀速行驶在、两地之间）．甲追上乙之后，乙立即以原来速度的2倍向地继续行驶，且此刻速度大于甲的速度，到达地后立即以提高后的速度返回地，甲车到达地后立即以原来速度返回地，两车距地的距离之和（千米）与甲车行驶的时间1（小时）之间的部分函数关系如图所示，那么甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是 小时．
【解析】解：由图象可知：、之间的距离为80千米，
两车的速度差为：（千米小时），
设乙车原速度为千米小时，则乙车后来速度为千米小时，甲的速度为千米小时，由题意得：
，
解得：，
即：乙车原速度为60千米小时，则乙车后来速度为120千米小时，甲的速度为100千米小时，
乙车到地时，甲车距地的距离为：千米，
乙车返回与甲相遇时间为：（小时），
因此甲、乙两车第二次相遇时甲行驶的时间是（小时）．
故答案为：．
三、解答题
9．一盘蚊香长，点燃时每小时缩短．
（1）请写出点燃后蚊香的长与蚊香燃烧时间之间的函数关系式；
（2）该蚊香可点燃多长时间？
【解析】解：（1）蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
；
（2）蚊香燃尽的时候蚊香的长度，
，
解得：，
该蚊香可点燃10.5小时．
10．把一个长、宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为（单位：．
（1）请写出与之间的函数关系式；
（2）请写出自变量的取值范围；
（3）画出函数的图象．
【解析】解：（1），
整理，得；
（2）；
（3）如图所示：
11．（2021?上城区一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有名学生获奖，奖品均价元．
（1）写出关于的函数表达式；
（2）该年级共有学生400人，
①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价；
②若获奖学生不超过该年级学生总数的，且不低于学生总人数的，求奖品均价的取值范围．
【解析】解：（1）由题意得：，
；
（2）①有名学生获奖，则有名学生未获奖，
，
解得：（人，
（元；
②由题意得：，
即，
由（1）知与成反比，
，
即，
奖品均价的取值范围为：．
12．（2020秋?苏州期末）某商店代理销售一种水果．某月30天的销售净利润（扣除每天需要缴纳各种费用50元后的利润）（元与销售量之间函数关系的图象如图中折线所示．
日期
销售记录
1日
库存，进价6元，售价10元（除了促销期间降价，其他时间售价保持不变）
9日
从1日起的9天内一共售出
10、11日
这两天以进价促销，之后售价恢复到10元
12日
补充进货，进价6.5元
30日
水果全部售完，一共获利1200元
请根据图象及如表中销售记录提供的相关信息，解答下列问题：
（1）点纵坐标的值为 350 ；
（2）求两天促销期间一共卖掉多少水果？
（3）求图象中线段所在直线对应的函数表达式．
【解析】解：从1日起的9天内一共售出，
总利润为（元，
故答案为：350；
（2）设促销期间一共卖掉水果，
本月总成本为：（元，
本月总售价为：元，
由图象可知本月总利润为1200元，
，
解得：，
即两天促销期间一共卖掉水果；
（3）由（2）可知两天促销期间一共卖掉水果，
的横坐标，
两天促销期间的净利润为
（元，
点的纵坐标为，
，
设直线的解析式为，
把点和的坐标代入得：，
解得：，
图象中线段所在直线对应的函数表达式为．
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精品试卷·第
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