(共32张PPT)
7.2.2三角形的外角
2、在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30 ° ，则∠B= ；
（2）∠A=50 ° ，∠B=∠C，则∠B= .
1、三角形三个内角的和等于多少度？
3、在△ＡＢＣ中，
∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４则∠Ａ＝ ，
∠Ｂ＝ , ∠Ｃ＝
40°
60°
80°
65°
60°
回顾旧知
A
B
C
D
三角形的外角：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试．同时想一想△ABC的外角共有几个呢？
归纳：
每一个三角形都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相应的内角是邻补角．
A
B
C
D
E
看一看：
算一算：
若∠BAC＝55°，∠ B=60 ，
试求∠ ACB, ∠ACD, ∠CAE
的度数．并说出你的理由．
图中哪些角是三角形的内角，
哪些角是三角形的外角？
通过上题的计算，你发现∠ACD， ∠ CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系呢？请你试着用自己的语言说一说．
想一想：
∠ACD= ∠BAC+∠ B; ∠ACD+ ∠ACB=180°
∠CAE= ∠ACB+∠ B; ∠CAE+ ∠BAC=180°
A
B
C
D
E
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补
A
B
C
D
E
求下列各图中∠1的度数。
30°
60°
1
35°
120°
1
45°
50°
1
∠1=
∠1=
∠1=
90
85
95
上面我们通过计算得到了三角形中外角与不相邻两内角之间的数量关．你能试着用其他的方法加以说明吗？你想到了哪些方法？请与同组的伙伴们交流一下．
∠ACD ∠A (<、>)；
∠ACD ∠B (<、>)
结论：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
A
C
B
D
>
>
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：
判断题：
1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ）
3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（ ）
5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（ ）
练一练
3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
三角形的外角与内角的关系：
例2：如图，∠BAE， ∠CBF， ∠ACD，
是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝
从哪些途径探究这个结果
议一议
3
2
1
A
B
C
5
6
4
1.在图中
∠1+ ________ =180°,
∠2+ ________ =180°,
∠3+_________ =180°.
三式相加可以得到
∠1＋∠2＋∠3＋______+______+_____ =_______,
而 ∠4＋∠5＋∠6＝180°，
3
2
1
A
B
C
所以 ∠1＋∠2＋∠3＝360°
结论：三角形的外角和等于360°
∠4
∠5
∠6
∠4 ∠5 ∠6 540°
三角形的外角和
5
6
4
3
2
1
A
B
C
根据“三角形一个外角等于不相邻的两个内角的和”可知：
∠1= ∠ + ∠
∠2= ∠ + ∠
∠3= ∠ + ∠
三式相加得：
∠1+∠ 2+ ∠3 =2（ ∠ + ∠ +∠ ） (1)
而 ∠4+∠5 + ∠6=180 (2)
比较（1）与（2）可得：
∠1+∠ 2+ ∠3= 360
5
6
4
5
6
2、
4
6
5
4
4
5
6
1、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列
3
2
1
A
B
C
D
E
2、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC＝８0°,
∠BAC=70°.
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
A
B
C
D
80°
70°
3、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角△ B.锐角△ C.钝角△ D.无法确定
4、如图所示,∠CAB的外角等于120°,
∠B等于40°,则∠C 的度数是_______.
1
2
3
M
N
P
F
E
D
C
B
A
5、 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
360°
C
第4题图
练一练
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
A
D
E
C
F
B
1
2
3
360°
N
P
M
如图，计算∠BOC
让 我 们 一 起 去 发 现
C
B
O
A
F
C
B
O
A
F
提高作业
1、将一副三角板按如图方式放置，则两条
斜边所形成的钝角∠1＝______
1
提高作业
2.如图所示， △ABC的高BD、CE交于H点，∠A=50°,求∠BHC的度数？
A
H
E
D
C
B
提高作业
3、 △ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？
E
D
C
B
A
4．如图，在△ABC中，∠A＝．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2； ……；∠A2009BC与∠A2009CD的平分线相交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝ ．
B
A
C
D
A1
A2
1 三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2 三角形的内角和等于180
三角形的外角和等于360
3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。(共27张PPT)
生活的思考
将四边形木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗
思考
三角形具有稳定性，
四边形具有不稳定性
三角形的稳定性在生活中有广泛的应用 ，你能举出一些例子吗？
用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个
三角形的形状和大小，也就是说，如果一个三角形的
三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.
在数学上把三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.
四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，
将其变成三角形从而增强其稳定性
四边形不稳定性的应用.
说一说
在日常生活中三角形稳定性有什么应用？
1、下列图形中具有稳定性的是（ ）
（A）正方形 （B）长方形
（C）直角三角形 （D）平行四边形
2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
C
E
A
E
F
B
C
E
B
3.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF
固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是( )
A两点之间线段最短
B矩形的对称性
C矩形的四个角都是直角
D三角形的稳定性
D
4、下列图中具有稳定性的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
C
5.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了( )
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D.美观漂亮
6.人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,则需伸出一只手去抓住栏杆才能站稳,这是利用了 _________.
7.下列设备,没有利用三角形的稳定性的是( )
A.活动的四边形衣架
B.起重机
C.屋顶三角形钢架
D.索道支架
做一做：P68
下列图中具有稳定性有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
C
解：要使四边形木架不变形，至少要再钉上1根木条；
要使五边形木架不变形，至少要再钉上2根木条；
要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条；
要使n边形木架不变形，至少要再钉上(n-3)根木条；
议一议：P70
n边形呢？
1.通过本节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？为什么？(共46张PPT)
在我们的生活中几乎随处可见三角形。它简单，有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好认识周围世界，解决很多的实际问题。那什么样的图形是三角形呢？
★ 你所了解的三角形有些什么特点呢？
★ 你能根据自己的观察，给三角形下一个定义吗？
自学课本，并回答以下问题：
1、什么样的图形叫三角形？
2、什么是三角形的边、顶点、内角？
3、如何用符号语言表示一个三角形
4、如何将三角形分类？
概念学习
A
B
C
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
注意：1、不在同一直线上；2、首尾顺次相接。
注意：表示三角形时，字母没有先后顺序。即：可以记作△ABC，也可记作△ACB，
2、三角形的表示：
三角形用符号“△”表示，如上图的三角形，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
1、三角形的定义：
概念学习
△ABC的三个顶点分别是：A、B、C。
3、三角形的顶点
如图， △ABC的三条边分别是：AB、BC、CA。
它的三个角分别是： A、 B、 C。
A
B
C
a
b
c
4、三角形的边、内角
注意：
1、三角形的三边用字母表示时，字母没有顺序限制。
2、一般情况下，我们把边BC叫做 A的对边，AC、AB叫 A的邻
边；边AC叫 B的对边，AB、BC叫 B的邻边；你能说出 C的对
边及邻边吗？
3、三角形的三边，有时也用一个小写字母来表示.如：△ABC的
三边中，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表
示为b，顶点C所对的边AB表示c。
由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的图形。
三个内角
B
A
C
三个顶点
三要素：
认识三角形
三条线段
三角形定义：
1
2
3
三角形的三要素
边：
如图三角形中三边 AB、BC、AC
顶点A所对的边BC也可表示为a，
顶点B所对的边AC也可表示为b ，
顶点C所对的边AB也可表示为c
角：
三角形中有三个角：
顶点：
三角形中有三个顶点:
∠A，∠B，∠C
顶点A，顶点B，顶点C
A
B
C
c
b
a
如图，按要求完成下列填空．
（1）用符号表示图中的三角形 ；
（2）以BD为边的三角形有 ；
（3）以点A为一个顶点的三角形有 ；
（4）以∠C为一个内角的三角形有 ．
△ABD，△BCD，△ABC
△ABD，△BCD
△ABD，△ABC
△BCD，△ABC
D
C
B
A
A
D
C
B
E
1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形。
2.以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE
3.以E为顶点的三角形有哪些？
△ ABE 、△BCE、 △CDE
试一试
4.以∠D为角的三角形有哪些？
△ BCD、 △DEC
ΔABEΔABC
ΔBECΔBCD
ΔECD
5.说出其中ΔBCD的三个角
∠BCD 、 ∠CBD 、∠D
认识三角形
观察房屋屋顶的框架
1.图中有几个不同的三角形？
2.这些三角形有什么共同的特点？与你的同伴进行交流。
斜梁
斜梁
直 梁
牛刀小试
若将房屋屋顶的框架图抽象成一个几何图形，并标出字母，请聪明的你表示你找到的三角形，并与同伴交流。
A
B
C
D
E
F
G
【按三个内角大小分】
三角形
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
【按边的相等关系分】
三角形
不等边三角形
等腰三角形
底边和腰不相等
的等腰三角形
等边三角形
三角形的分类
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
不等边三角形（三边都不相等）
等腰三角形
三角形的分类
等边三角形
按角分
按边分
腰和底边不相等的等腰三角形
相等的两条边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
腰
腰
底
顶角
底角
底角
A
B
C
在等腰三角形中，两条相等的边叫腰，另一边叫底边。
腰
腰
底边
在等腰三角形中，腰与底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫顶角。
如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，则AB、AC为腰，而BC为底边； B、 C 是△ABC 的底角， A是△ABC的顶角。
归纳：
说到等腰三角形，就要想到有两条边相等，有两个角相等。
1.一个等腰三角形的周长是36cm，已知其中一边长等于10，则其他两边长是___________________________。
2.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于8，则它的周长是___________。
3.已知等腰三角形有一个角是70度，则它的另两个角的度数分别是
________________。
10cm、16cm或13cm、 13cm
18或者21
70°、40°或55°、55°
两点之间的所有连线中，线段最短
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
谈谈你的想法!
结论：
两点之间的所有连线中，线段最短。
三角形任意两边之和大于第三边。(三角形的三边关系）
理由：
C
B
A
百家争鸣
探究：
如图三角形中，假设有一只小虫要从点B出
发沿着三角形的边爬到点C，它有几条路线可以
选择？各条路线的长一样吗？
A
B
C
路线1:由点B到点C
路线2:由点B到点A，再由点A到点C。
两条路线长分别是BC,AB+AC.
由“两点之间，线段最短”
可以得到AB+AC>BC
同理可得：AC+BC>AB,AB+BC>AC
三角形的三边有这样的关系：
三角形两边的和大于第三边
结论
想一想，两边之差与第三边有何关系
三角形任何两边的差小于第三边
人行横道
你能用数学知识解释吗
为什么经常有些行人斜穿马路而不走人行横道
或两点之间的所有连线中，线段最短
三角形任意两边之和大于第三边。
A
B
理由：
C
.
4米
3米
别踩我,我怕疼!
5米
A
B
C
学校草坪弄不好就会走出一条小路来,
其实我们离文明很近
4
（1米=2步）
它只少走 步
你能不能运用今天所学的知识解释这一现象
下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗
（1）5cm，8cm，2cm
（2）5cm，8cm，13cm
（3）5cm，8cm，5cm
动 动 脑
（1）5cm，8cm，2cm
解：∵5 + 2 = 7< 8，不满足两 边之和大于第三边
（2）5cm，8cm，13cm
解：∵5 + 8 = 13 =13，出现两边之和等于第三边的情况
∴不能摆成三角形。
∴不能摆成三角形。
解 答：
（3）5cm，8cm，5cm
解：∵5 +5= 10>8，两较小边之和大于第三边，
只要比较两较短线段之和与最长线的大小即可。
∴能摆成三角形
解题技巧：
下列长度的三条线段能否组
成三角形？为什么？
（1） 3，4，8 （ ）
不能
能
能
不能
只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
（2） 2，5，6 （ ）
（3） 5，6，10 （ ）
（4） 3，8，5 （ ）
（5） 4，9，9 （ ）
能
2.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )
A.9 B.12 C.15 D.12或15
Ｃ
尝试应用
1.若五条线段的长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则
以其中三条线段为边可构成______个三角形。
2.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为
_______; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的
周长为 。
3
17
10或11
他一步能走3米,你相信吗？
不可能
A
B
C
有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！
考考你！
答：不能。如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多。
小晶有两根长度为5cm、8cm的木条，她想钉一个三角形的木框,现在有长度分别为2cm 、3cm、 8cm 、15cm的木条供她选择，那她第三根应选择？（ ） A、2cm B、3cm C、8cm D、15cm
分析: ∵ 第三根可选择的范围是：
大于8-5=3（cm）小于8+5=13（cm）
∴只有8cm的木条能钉成三角形木框,所以答案选C.
解题技巧：
三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
小明有两根长为10cm和3cm的木条，他要钉一个三角形像框，并且使所选择的第三根木条长度是6的整倍数。聪明的你帮他想想，第三根木条应取多长 ？
方法拓展
一般人我不告诉他！
解：三角形像框第三边的取值范围是:
∵两边之差<第三边<两边之和
即10-3 < x < 10+3（7 < x < 13）
符合条件的数是12
∴第三根木条应取12cm
草原上的四口油井，位于如图所示的A、B、C、D四个位置，现在要建立一个维修站H，问H建在何处，才能使它到四个油井的距离之和HA+HB＋HC+HD为最小？说明理由。
A
D
C
B
H
H′
1.你认为这个H应该在什么位置？大胆设想！
2.到A、C距离和最小的点在哪儿？到B、D
有A、B、C、D四个村庄，打算公用一个水厂，若要使所用的水管最节约，水厂应过村庄的什么地方？
●
O
●
●
●
●
A
B
C
D
●
P(共21张PPT)
想一想
三角形的三个内角和是多少
把三个角拼在一起试试看？
你有什么办法可以验证呢
180°
想一想
把三个角拼在一起试试看？
你有什么办法可以验证呢
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
三角形的三个内角和是180°
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明１：过A作EF∥BA，
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
F
2
1
E
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
证明2：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等)
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
C
B
E
A
三角形的内角和等于1800.
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或 同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
证明3：延长BC到D，过C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
证明4：延长BC到CD，在△ABC的外部，
以CA为一边，CE为另一边作∠1=∠A，
于是CE∥BA
(内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2
(两直线平行，同位角相等).
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠ACB=180°
2
1
E
D
C
B
A
三角形的内角和等于1800.
思路总结
为了证明三个角的和为1800,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.
1 三角形中最大的角是锐角，那么这个三角形是锐角三角形（ ）
2 一个三角形中最多只有一个钝角或直角（ ）
3 一个等腰三角形一定是锐角三角形（ ）
4 一个三角形最少有一个角不大于600（ ）
判断正误
√
ⅹ
√
√
８2 °
（1）在△ABC中，∠A=５5°，∠ B=43 °
则∠A CB= . ∠ ＡＣＤ＝___
（2）在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C , 则∠C＝______度。
（３）在直角三角形ABC中,一个锐角为40 °,则另一个锐角是_______度。
C
B
A
Ｄ
９８°
50
50
８2 °
C
（4）在△ABC中，∠A=５5°，∠ B=43 °
则∠A CB= . ∠ ＡＣＤ＝___
（5）∠A+∠ B+ ∠ C+∠D+∠E+ ∠F= .
B
A
Ｄ
９８°
A
B
C
D
E
F
360°
例：在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4,
求∠A 、∠B、 ∠C的度数。
解：设每一份角为X度，则∠A＝2X 度、∠B=3X度、 ∠C=4X度，由三角形内角和定理，可得：
2X+3X+4X=180
解之，得 X=20
2X=2×20=40, 3X=3×20=60, 4X=4×20=80
答： ∠A 为40度，∠B为60度、 ∠C为80度
已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。
解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x.
列出方程 x+3x+5x=180°
x=20°
答：三个内角度数分别为20°,60°,100°。
例题 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
【Ｐ74练习1】如图，从A处观测C 处时
仰角∠CAD =30°，从B处观测C 处
时仰角∠CBD =45° ，从C 处观测A，
B 两处时视角∠ACB是多少？
【Ｐ74练习2】如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD，其中∠A =150°，∠B =∠D=40°，求∠C 的度数．
1、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一 样的玻璃,那么最省事的办法是 （ )
(A)带①去 (B)带②去
(C)带③去 (D)带①和②去
C
2.如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80O，则∠B=_____________。
A
B
G
F
C
D
E
1
2
C
B
A
Ｏ
１
２
3、在△ABC中，∠A=８０°，
∠ ＡBＣ和∠ＡCＢ的平分线相交于Ｏ，
（１）求∠ＢＯＣ的度数。
（２） 将∠A换个度数，那求出是多少？你能体会∠A和∠ＢＯＣ有什么关系吗？
∠ＢＯＣ＝９０ ° + ∠Ａ
１
２
4、如图，在△ABC中，点P是的△ABC的三条内角平分线的交点，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=_ ____
９０ °
如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O。
(1)若∠ ABC=40，∠ ACB=50°，∠BOC=_______
(2)若∠ ABC+∠ ACB=lO0°，则∠ BOC=________ 。
(3)若∠ A=70°，则∠ BOC=_________。
(4)若∠ BOC=140°，则∠ A=________。
(5)你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗
写出并说明理由。
课堂小结
本节课你学到了哪些知识？在解题的过程中需要注意什么呢？
三角形三个内角的和等于180°.
辅助线的添加与作法
你掌握了几种内角和的证明方法
你会应用内角和定理去解决一些问题吗 (共19张PPT)
图中有你认识的多边形吗？
从这些图形你能抽象出什么平面图形？
三角形
四边形
六边形
长方形
三角形
长方形
六边形
四边形
八边形
在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？
你能类比三角形的组成要素，说一说下面图形各部分的名称是什么？
边
内角
顶点
外角
对角线
了解一下
顶点
内角
边
可表示为：五边形ABCDE 或五边形DCBAE
A
B
C
D
E
外角
：多边形相邻两边组成的角
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角
对角线
对角线
对角线——— 连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
A
B
C
D
E
读出图中所有的对角线
练习：画出五边形ABCDE的所有对角线.
A
B
C
E
D
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数。
0
1
2
3
5
你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不行，请画出所有对角线。
0
2
5
9
太难画了，能不全画出对角线而计算出来吗？
你能告诉我二十边形的对角线条数吗？五十边形呢？一百边形呢？n边形呢？
20
从四边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将四边形分成 个三角形
从五边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将五边形分成 个三角形.
从六边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将六边形分成 个三角形.
一
两
两
三
三
四
从n边形的一个顶点出发,可以引 条对角线,它将n边形分成 个三角形.
n-3
n-2
1.
2.
3.
…
拓展创新
5.从n边形的n个顶点出发共可以引多少条对角线？
Ａ2
Ａ3
Ａ4
Ａ5
Ａn
Ａ1
4.从n边形的一个顶点出发,可以
引 条对角线.
n-3
n(n-3)
2
归纳总结
边数 3 4 5 6 8 … n
从一个顶点出发的对角线的条数
上述对角线分成的三角形个数 …
总的对角线条数 …
0
1
0
1
2
2
2
3
5
3
4
9
5
6
20
n-3
n-2
n(n-3)
2
…
已知一个多边形有35条对角线，你能求出它的边数吗？
问题：我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范围中.比较这两种多边形的区别是什么？
图 2
图 1
如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。
观察下面每个多边形的边、角有何特点？
在平面内，各个角都相等，各条边也都相等的多边形叫做正多边形
问题5：观察正三角形、正方形的特征， 猜想满足什么条件的多边形是
正多边形？
定义： 如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
1．下列不是凸多边形的是（ ）
A B C D
2. 下列图形中∠1是外角的是（ ）
A B C D
3．下列说法正确的是（ ）
A．一个多边形外角的个数与边数相同
B. 一个多边形外角的个数是边数的2倍
C．每个角都相等的多边形是正多边形
D．每条边都相等的多边形是正多边形
C
１
１
１
１
D
B
今天的收获
2、多边形为什么研究对角线？
你对多边形的对角线有哪些认识？
1、 谈谈本节课你学会哪些知识？
3、你还有哪些疑问和困惑？(共25张PPT)
问题2：你知道长方形和正方形的内角和是多少吗？
其他四边形的内角和是多少？
问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？
（三角形内角和 180°）
（都是360°）
想一想
1. 从n边形的一个顶点可以引＿＿＿＿＿条对角线，
将n边形分成了________个三角形.
2. n边形的对角线一共有＿＿＿＿__ 条.
（n-3）
（n-2）
温故知新
A
B
C
D
问题3：在探究四边形的内角和时，有的同学不是用量角器度量、计算得到，而是 按照如图所示，利用辅助线将四边形分割成两个三角形的方法，利用三角形内角和等于180°，得到四边形内角和等于360°。你能说明它的合理性吗？并且启发你能否借助辅助线找到不同的分割方法呢？
想一想
P
A
B
C
D
图 1
如图1，在四边形内任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180°×4 － 360°= 360°
P
A
B
D
C
图 2
如图2，在四边形的一边上任取一点P,连接PB、PC，将四边形变成有一个公共顶点的三个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
P
A
B
C
D
图 3
如图3，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形，四边形内角和等于180° ×3－ 180° = 360°
学一学
四边形内角和为360°
B
A
C
D
E
探究1
五边形内角和＝3×180°＝540°
把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？
A
B
C
D
E
F
180° × 4 – 180° = 540°
E
A
B
C
D
O
180°× 5 – 360°= 540°
A
B
C
D
E
4 × 180°－180 °
O
=540°
学一学
四边形的内角和 （4－2）× 180° = 360°
五边形的内角和 （5－2）× 180° = 540°
六边形的内角和 （6－2）× 180° =720°
七边形的内角 （7－2）× 180° = 900°
B
A
C
D
G
F
E
n边形内角和=(n－2) ·180°
多边形 边数 一个顶点出发的对角线条数 图形 分成三角形的个数 计算规律
三边形
四边形
五边形
六边形
n边形
…
…
…
…
…
…
3
4
5
6
n
0
n－3
1
2
3
1
2
3
4
n－2
(n－2) ·180°
4 ×180°
3 ×180°
2 ×180°
1 ×180°
n边形内角和等于（n－2）× 180°
2.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是 边形。
解：由多边形的内角和公式可得
（n - 2）· 180 = 1440
(n - 2) = 8
n = 10
∴这是十边形。
十
3.已知一个多边形每个内角都等于 108° ，求这个多边形的边数？
1、（抢答） 8边形的内角和等于多少度？ 十边形呢？
解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
(n－2) ×180=108n
解得：n=5 答：这个多边形是五边形。
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：
如图，四边形ABCD中，
∠A+ ∠C =180°
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °
= 360 °
因为
∠B＋∠D
= 360°－（∠A＋∠C）
= 360°－ 180°
=180°
这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
所以
例1 ：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是__________
相等或者互补
十二边形的内角和是（ ）.
一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加（ ）.
一个多边形的内角和是720 ，则此多边形共有（ ）个内角.
如果一个多边形的内角和是1440°，那么这是（ ）边形.
1800
180
六
十
【例】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上它们们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
五边形外角和
结论：五边形的外角和等于360°.
－(5－2) × 180°
=360 °
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
=5个平角
－五边形内角和
=5×180°
【例2】如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
探究 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形外角和
结论：n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=360 °
A
1
E
B
C
D
2
3
4
5
F
n
=n个平角-n边形内角和
= n×180 °
n边形外角和是多少度
每个内角的度数是
每个外角的度数是
(1)若十二边形的每个内角都相等,那么每个内角是______度.
(2)已知多边形的每个内角都是135度,则这个多边形是_______.
(3)如果某个多边形的内角和等于它的外角和,那么这个多边形的边数是________.
150
八边形
四边形
练习2： 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解： 设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于 (n－2) 180°，
多边形外角和等于360 ，
∴ (n－2) 180°=2× 360 .
解得: n=6.
∴这个多边形的边数为6.
（1）一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为______
（2）五边形的内角和为_____，它的对角线共有_____条
（3）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为____边形
（4）一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多
边形为_____边形
（5）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加________,外角和增加_______.
今天的收获
1、n边形的内角和等于（n－2）×180°.
3、利用类比归纳、转化的学习方法，可以把多边形问题转化为三角形问题来解决; 外角问题转化为内角来解决.
4、方程的数学思想在几何中有重要的作用.
本节课你学会哪些知识？学会了哪些解决问题的方法？你还有哪些疑问？
2、n边形的外角和等于360°.
