第十章
概率
10.1随机事件与概率(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（
）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
【答案】C
【解析】袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，
在A中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故A正确；
在B中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故B正确；
在C中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故C错误；
在D中，事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件，故D正确．
故选：C．
2．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（
）
A．0.3
B．0.55
C．0.7
D．0.75
【答案】D
【解析】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，
所以摸出黑球的概率是，
因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，
所以摸出黑球或红球的概率，故选:D.
3．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．下列结论正确的是（
）
A．与是互斥事件
B．与是互斥事件
C．与是对立事件
D．，，两两互斥
【答案】B
【解析】由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件．所以A，C，D三个选项错误．故选:B
4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
故选:D
5.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．故选：D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间（分钟）
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
【答案】BD
【解答】“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥而不对立事件，故A错误；
线路一所需的平均时间为分钟，
线路二所需的平均时间为分钟，
所以线路一比线路二更节省时间，故B正确；
线路一所需时间小于45分钟的概率为0.7，线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8，
小张应该选线路二，故C错误；
所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二的时间可以为，和三种情况，
概率为，故D正确．
故选：BD．
7．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是(
)
A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
【答案】BC
【解析】不妨记两个黑球为，两个红球为，从中取出2个球，则所有基本事件如下：
，
恰有一个黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，
两个事件没有共同的基本事件，故互斥；
至少一个黑球包括基本事件：，都是红球包括基本事件，
两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立.
故选：BC
8.中国篮球职业联赛（）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】由题意可知，，，
事件与事件为对立事件，且事件、、互斥，
，.
故选：ABC.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是___________．
【答案】75%
【解析】设“选出代表是女生”的概率为，则“选出代表是男生”的概率为，
因为，所以，
所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为，
故答案为:
10．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则基本事件数为__________;点数和为5的概率是_________.
【答案】36
【解析】根据题意可得基本事件数总为个.
点数和为5的基本事件有，，，共4个.
∴出现向上的点数和为5的概率为.
故答案为：36
11．甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则掷出的点数满足的概率为________（用最简分数表示）.
【答案】
【解析】由题可知，基本事件总数，
掷出的点数满足包含的基本事件，，有：
当时，有：，2，，，1，，，3，，，2，，，4，，
，3，，，5，，，4，，，6，，，5，，共10个；
当时，有：，3，，，1，，，4，，，2，，，5，，
，3，，，4，，，6，，共8个；
当时，有，4，，，1，，，5，，，2，，，6，，，3，，共6个；
当时，有，5，，，1，，，6，，，2，，共4个；
当时，有，6，，，1，，共2个；
合计共30个，
掷出的点数满足的概率为．
故答案为：．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
【答案】(1)0.05;(2)0.45;(3)1200
【解析】把3只黄色乒乓球标记为、、，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．从6个球中随机摸出3个的基本事件为：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、123，共20个
（1）事件摸出的3个球为白球，事件包含的基本事件有1个，即摸出
（E）
（2）事件摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件包含的基本事件有9个，
（3）事件摸出的3个球为同一颜色摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，
（4），
假定一天中有100人次摸奖，
由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件发生有10次，不发生90次．
则一天可赚，每月可赚1200元
13．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【解析】(1)由题意可得，解得.
(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则.
14．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）不公平，理由见解析.
【解析】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个.
分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456.
（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竟赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个.
由古典概型计算公式，得
，
又A与B对立，所以，
所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平.第十章
概率
10.1随机事件与概率(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色、2张蓝色卡片，从中任取3张卡片，则下列判断不正确的是（
）
A．事件“都是红色卡片”是随机事件
B．事件“都是蓝色卡片”是不可能事件
C．事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件
D．事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件
2．一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或红球的概率是（
）
A．0.3
B．0.55
C．0.7
D．0.75
3．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本．设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”．下列结论正确的是（
）
A．与是互斥事件
B．与是互斥事件
C．与是对立事件
D．，，两两互斥
4．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
5.若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如表所示：
所需时间（分钟）
30
40
50
60
线路一
0.5
0.2
0.2
0.1
线路二
0.3
0.5
0.1
0.1
则下列说法正确的是
A．任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是对立事件
B．从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间
C．如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一
D．若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04
7．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是(
)
A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件
B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件
C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件
D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件
8.中国篮球职业联赛（）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：
投篮次数
投中两分球的次数
投中三分球的次数
记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是___________．
10．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则基本事件数为__________;点数和为5的概率是_________.
11．甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则掷出的点数满足的概率为________（用最简分数表示）.
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
13．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
14．已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）
现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.
（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来.
（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由.
