第十章
概率
10.2事件的相互独立性(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.甲?乙?丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】用事件A,B,C分别表示甲?乙?丙三人能破译出密码,则,,,且.
∴此密码能被译出的概率为.
故选：C
2．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（
）
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，0.3
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
【答案】D
【解析】对于选项A，如果，那么，，故A错误；
对于选项B，如果与互斥，那么，，故B错误；
对于选项C，如果与相互独立，那么，，故C错误；
对于选项D，如果与相互独立，那么，，故D正确.
故选：D.
3．排球比赛的规则是5局3胜制局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】法一：根据题意，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜，有3种情况，
第三局乙队获胜，其概率为，
第三局甲队获胜，第四局乙队获胜，其概率为，
第三、四局甲队获胜，第五局乙队获胜，其概率为，
则最后乙队获胜的概率；
故选:B
4．甲?乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲?乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（
）
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.48
【答案】B
【解析】目标至少被命中一次，包括甲中乙中，甲中乙不中，乙中甲不中三种情况，
所以目标至少被命中一次的概率为，
目标至少被命中一次甲命中目标包括甲中乙中，甲中乙不中二种情况，
所以目标至少被命中一次甲命中目标的概率为，
所以甲命中目标概率为，故选:B．
5.如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合上边闭合一个，
这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，
所以灯泡亮的概率为，故选:C．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列各对事件中,为相互独立事件的是（
）
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲?乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
【答案】ABD
【解析】在A中，样本空间，事件，事件，事件，
∴，，，
即，故事件M与N相互独立，故A正确.
在B中，根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，故B正确；
在C中，由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，故C错误；
在D中，从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，故D正确.
故选：ABD.
7．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（
）
A．
B．事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立
D．，互斥
【答案】AD
【解析】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数：
因此，，，A正确；
又，因此，B错误；同理，C错误；
，不可能同时发生，故彼此互斥，故D正确，故选：AD．
8．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（
）
A．M与N互斥
B．M与N不对立
C．M与N相互独立
D．
【答案】BCD
【解析】对于选项A,事件与是可能同时发生的，故与不互斥，故A错误；
对于选项B,事件与不互斥，不是对立事件，故B正确；
对于选项C,事件发生与否对事件发生的概率没有影响，与相互独立.故C正确；
对于选项D：事件发生概率为
，事件发生的概率，，故D正确.
故选：BCD
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．
【答案】
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为．
故答案为:；．
10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为___________．
【答案】
【解析】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况：
（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；
（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时；
所以恰好进行了4局结束比赛的概率为．
故答案为:．
11．某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为___________．
【答案】0.88
【解析】设事件为“这个技术难题最终能被解决”，
所以，
所以，故答案为:0.88．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
【答案】（Ⅰ）0.72；（Ⅱ）0.26；（Ⅲ）0.98.
【解析】设“甲投中”，“乙投中”，则“甲没投中”，“乙没投中”，
由于两个人投篮的结果互不影响，
所以与相互独立，与，与，与都相互独立，
由己知可得，，则，；
（Ⅰ）“两人都投中”，则；
（Ⅱ）“恰好有一人投中”，且与互斥，
则
；
（Ⅲ）“至少有一人投中”，且、、两两互斥，
所以
.
13．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
【答案】（1）派甲参赛获胜的概率更大；（2）.
【解析】（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则
“甲赢得比赛”，.
“乙赢得比赛”，.
因为，所以派甲参赛获胜的概率更大.
（2）由（1）知，设“甲赢得比赛”，“乙贏得比赛”，
则；
.
于是“两人中至少有一人赢得比赛”
.
14．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为
“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
【答案】（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.
【解析】（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.第十章
概率
10.2事件的相互独立性(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1.甲?乙?丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别,,,则此密码能被译出的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（
）
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，0.3
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
3．排球比赛的规则是5局3胜制局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为，前2局中乙队以领先，则最后乙队获胜的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
4．甲?乙两人同时向同一目标射击一次，已知甲命中目标概率0.6，乙命中目标概率0.5，假设甲?乙两人射击命中率互不影响．射击完毕后，获知目标至少被命中一次，则甲命中目标概率为（
）
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.48
5.如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．下列各对事件中,为相互独立事件的是（
）
A．掷一枚骰子一次,事件M“出现偶数点”;事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次有放回地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到白球”
C．袋中有3白?2黑共5个大小相同的小球,依次不放同地摸两球,事件M“第一次摸到白球”,事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生,2名女生;乙组2名男生,3名女生,现从甲?乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,事件M“从甲组中选出1名男生”,事件N“从乙组中选出1名女生”
7．甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是（
）
A．
B．事件B与事件相互独立
C．事件B与事件相互独立
D．，互斥
8．分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件“第一枚骰子的点数为奇数”，事件“第二枚骰子的点数为偶数”，则（
）
A．M与N互斥
B．M与N不对立
C．M与N相互独立
D．
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为___________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为___________．
10．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为___________．
11．某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题的概率为0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为___________．
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
13．为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
14．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级
有隐患
一般
良好
优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为
“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少?
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
