8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 -【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册8.3.1
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
已知四棱锥的底面ABCD为正方形，各侧面均为正三角形，且，则四棱锥的表面积为
A.
B.
C.
D.
已知一个铜质的五棱柱的底面积为，高为，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块不计损耗，那么铸成的铜块的棱长是?
???
A.
B.
C.
D.
已知正方体的体积为1，则四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是
A.
B.
C.
D.
如图所示，三棱台的体积为V，其中，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为?
???
A.
B.
C.
D.
中国古代名词“刍童”是指上、下底面皆为长方形的草垛，关于“刍童”体积的计算，九章算术中有这样的记载：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一．”其意思是：“上底长的2倍加下底长，同样下底长的2倍加上底长；各用它们对应的宽相乘，再次相加，再用高或深相乘，除以以公式表示，则所求体积为”已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为?
???
A.
B.
C.
39
D.
已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积为?
?
?
?
A.
B.
C.
D.
正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，则棱台的侧面积为
A.
B.
C.
D.
已知正三棱柱的高为4，体积为，则底面三角形的边长为?
???
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
如图，长方体的体积为，E为棱上的点，且，三棱锥的体积为，则???
A.
B.
C.
D.
将长度分别是2，3，5，6，9的五根木棒连接起来只允许连接，不允许折断，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为
A.
258
B.
414
C.
416
D.
418
多选题如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论?
???
没有水的部分始终呈棱柱形
B.
水面EFGH所在四边形的面积为定值
C.
随着容器倾斜度的不同，始终与水面所在平面平行
D.
当容器倾斜如图所示时，为定值
二．填空题
正四棱柱中，，，则以B、D、、为顶点的四面体的体积为___________．
若底面是菱形的直棱柱的侧棱长是5，体对角线长分别是9和15，则这个直棱柱的表面积是??????????．
已知正方体的棱长为2，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四棱锥的体积为??????????．
三棱柱中，AB，AC，两两成角，点E，F，G分别为线段AB，AC，上的点，且，，，则三棱锥的体积与三棱柱体积之比为??????????．
如图，正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的点，则三棱锥的体积为??????????．
三.解答题
如图是一个以为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知，，，，．
求该几何体的体积；
求截面ABC的面积．
如图所示，已知是棱长为a的正方体，E，F分别为，的中点，求四棱锥的体积．
图是某储蓄罐的平面展开图，其中，且，．
若将五边形CDEFG看成底面，说明该储蓄罐的几何特征；
已知该储蓄罐的容积为，求制作该储蓄罐所需材料的总面积精确到整数位，材料厚度、投币口的面积忽略不计．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查四棱锥表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
设E为AB的中点，则，由已知条件求出，，由此能求出它的表面积．
【解答】
解：四棱锥的各棱长均为5，
底面为正方形，各侧面均为正三角形，
设E为AB的中点，则，
，
它的表面积．
故选C．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
求出铜块的体积，设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，根据熔化前后体积相等，易构造一个关于a的方程，解方程即可求出所铸成的铜块的棱长．
本题考查的知识点：柱体的体积问题，熔化前后体积相等，是解答本题的关键．
【解答】
解：铜质的五棱柱的底面积为，高为4cm，
铜质的五棱柱的体积，
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为acm，
则，
解得，
故选C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，再由三棱柱体积减去三棱锥体积求解．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
【解答】
解：如图，
设，，，
四棱锥与四棱锥重叠部分的体积是：
．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．
设三棱台的上底面面积为S，由已知可得下底面面积为4S，再设棱台的高为h，分别求出棱台体积与棱锥的体积，作差即可求得剩余部分的体积．
【解答】
解：设三棱台的上底面面积为S，
，下底面面积为4S，再设棱台的高为h，
则，
，
则剩余部分的体积为，
由，得，即剩余部分的体积为
故选：C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查“刍童”的体积的最大值的求法，考查二次函数模型的应用，是中档题．
设下底面的长宽分别为x，y，推导出，该“刍童”的体积为：，然后由二次函数知识就能求出结果．
【解答】
解：设下底面的长宽分别为x，y，
则，，则，
所以，即，
又，
．
该“刍童”的体积为：
，
当时，该“刍童”的体积取最大值为：
．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了棱锥的体积的运算，是基础题．
解决问题的关键在于求出棱锥的高，再代入体积公式计算即可．
【解答】
解：正四棱锥底面边长为2，
底面对角线长为，
棱锥的高为：，
该四棱锥的体积为：，
故选D．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查棱台的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可．
【解答】解：正四棱台的上、下底面边长分别为1cm，3cm，侧棱长为2cm，
所以棱台的斜高为：．
所以棱台的侧面积是：．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查三棱锥的体积的求法，属于基础题．
根据三棱锥的体积和高求出底面积，再求边长即可．
【解答】
解：设正三棱柱底面三角形的边长为a，则底面三角形的面积，由正三棱柱的体积，得，故选B．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查两个几何体的体积的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
利用棱柱的体积公式求解，棱锥的体积求解，由此能得到的值即可．
【解答】
解：由题意，，
，
则．
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
设长方体的三条棱分别为a，b，c，则长方体的表面积，由不等式的基本性质可知，当a，b，c最接近时能够得到的长方体的表面积最大，由此可得用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，则最大表面积可求．
本题考查长方体表面积的求法，考查了不等式的基本性质，是中档题．
【解答】
解：设长方体的三条棱分别为a，b，c，
则长方体的表面积，
当且仅当时上式“”成立．
由题意可知，a，b，c不可能相等，
故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为8，8，9，
用2、6连接，3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体，
此时能够得到的长方体的最大表面积为
故选：C．
11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题考查了棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，同时考查对空间的想象力和图象变形的灵活处理能力，由题意抓住棱柱形的特征进行判断，观察即可得到答案，属于中档题．
【解答】
解：棱柱特征：有两个面是相互平行且是全等的多边形，?
其余每相邻两个面的交线也相互平行，而这些面都是平行四边形，
通过棱柱特征，故A正确．?
水面EFGH所在四边形的面积，?从图我们发现，有条边长不变，而另外一条边长随倾斜度变化而变化，
所在四边形的面积是变化的，故B错误．
棱始终与BC平行，BC与水面始终平行，?始终与水面所在平面平行，?
故C错误．?
水的体积是不变的，高始终是AB也不变，底面积也不会变，即是定值，故D正确．?
故选AD
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的结构特征及体积的计算，属于基础题．
根据题意将所求四面体的体积转化为正四棱柱的体积减去四个三棱锥的体积来计算可得．
【解答】
解：如图所示：
四面体的体积等于正四棱柱的体积减去四个三棱锥的体积，
即．
故答案为．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题着重考查了线面垂直的定义、菱形的性质和直棱柱的侧面积公式等知识，考查求柱体的表面积，属于中档题．
根据线面垂直的定义，利用勾股定理结合题中数据算出底面菱形的对角线长分别为和，再由菱形的性质算出底面的边长为8，根据直棱柱的侧面积公式加以计算，可得该棱柱的侧面积，再计算底面积即可求解．
【解答】
解：设直四棱柱中，对角线，，
平面ABCD，平面ABCD，
，
中，，可得，
同理可得，
四边形ABCD为菱形，可得AC、BD互相垂直平分，
，
即菱形ABCD的边长等于8，
棱柱的上下底面积为，
棱柱的侧面积．
故棱柱的表面积为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
推导出EFGH是边长为的正方形，点到平面EFGH的距离，由此能求出四棱锥体积．
【解答】
解：
正方体的棱长为2，
E，F，G，H分别是四条棱AB，BC，CD，DA上的中点，
四边形EFGH是边长为的正方形，
点到平面EFGH的距离，
四棱锥体积为：
．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题．
分别判断底面积和高的比值，再根据体积公式得出体积的比值．
【解答】
解：，，
，
设三棱柱的高为h，由可知G到平面ABC的距离，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三棱锥体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略，属于基础题．
结合题意求出F到的距离，结合等体积法即可求解．
【解答】
解：，
，
因为，，，
所以，
故F到的距离等于1，
所以．
故答案为：．
17.【答案】解：过C作平行于平面的截面，交，分别于点，．
由直三棱柱性质及
由题知，该几何体的体积
在中，，
，
．
则．
【解析】本题考查几何体体积求法以及几何体中的截面问题，属于基础题．
可通过将该组合体分割为一个三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，然后根据体积计算公式容易求解。
算出三角形ABC
的各边后可以发现三角形ABC
为一个等腰三角形，从而求出面积。
18.【答案】解：，
四棱锥的底面是菱形．
连接EF，则≌．
三棱锥与三棱锥等底同高，
．
．
又，
，
平面，
三棱锥的高就是到
平面的距离，即棱长a．
又边上的高为a．
．
【解析】本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力．
三棱锥与三棱锥等底同高，棱锥转化为，求解即可．
19.【答案】解：该储蓄罐的直观图如图所示．若将五边形CDEFG看成底面，则该储蓄罐是高为AD的直五棱柱．
设?cm，连接EG，则是等腰直角三角形，，?
则五边形CDEFG的面积为，?
由该储蓄罐的容积为，
得，解得，
故表面积，?
即制作该储蓄罐所需材料的总面积约为．
【解析】本题是中档题，考查组合体的展开图与几何体的表面积和体积的应用，考查计算能力，空间想象能力．
根据储蓄罐的平面展开图，若将五边形CDEFG看成底面，则该储蓄罐是高为AD的直五棱柱
设，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．