8.3.2 球的表面积和体积 -【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步练习（Word含解析）

2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册
8.3.2
球的表面积和体积
同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________
一．选择题
若球的半径为2，则此球的表面积是
A.
B.
C.
D.
若圆锥的高扩大为原来的2倍，底面半径缩短为原来的，则圆锥的体积?
???
A.
扩大为原来的2倍
B.
缩小为原来的
C.
缩小为原来的
D.
不变
若一个四面体的各棱长都为，且该四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为?
???
A.
B.
C.
D.
一个球的外切正方体的全面积等于24，则此球的体积为
A.
B.
C.
D.
九章算术是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为h的圆柱，上面是一个底面积为，高为h的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为
A.
B.
C.
D.
已知实心铁球的半径为R，将铁球熔成一个底面半径为R、高为h的圆柱，则?
?
A.
B.
C.
D.
2
在球内有相距的两个平行截面，截面面积分别是和，若球心不在截面之间，则球的表面积是?
???
A.
B.
C.
D.
若顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是?
?
?
A.
B.
C.
D.
过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
A.
B.
C.
D.
已知正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积相等，它们的表面积分别为，，，则下列不正确的是?
???
A.
B.
C.
D.
半径为6的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥的高之差的绝对值为?
???
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
一平面截一球得到直径是的圆面，球心到这个圆面的距离是，则该球的体积是
A.
B.
C.
D.
多选如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说法正确的是
体积之比
B.
体积之比
C.
表面积之比
D.
表面积之比
二．填空题
圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球球的半径与圆柱的底面半径相同后，水恰好淹没最上面的球如图所示，则球的半径是______cm．
在直三棱柱中，，，，，则该三棱柱的外接球表面积为______．
已知球的表面积为，则它的半径等于??????????，它的内接长方体的表面积的最大值为??????????．
湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为，深为的空穴，则该球的表面积为________．
长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________________．
已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于______．
已知直三棱柱外接球的表面积为，若外接圆圆心在AC上，半径，则外接球球心到的距离为??????????；直三棱柱的体积为??????????．
三．解答题
如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
计算圆柱的表面积；
计算圆锥、球、圆柱的体积之比．
正三棱锥的高为1，底面边长为，内有一个球与它的四个面都相切，求：
棱锥的表面积；
内切球的表面积与体积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查球的表面积计算，属于基础题．
结合已知球的半径为2直接代入球的表面积公式计算即可．
【解答】
解：因为球的半径为2．
所以球的表面积为．
故选B．
2.【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆锥的体积公式，属基础题．
先求出原来圆锥的体积，再求出变化之后圆锥的体积，即可解得此题．
【解答】解：设原圆锥的高为h，底面半径为r，
体积为，
则变换后的圆锥的高为2h，底面半径为，
体积为，
故选B．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查球的应用，熟悉球的表面积公式是解答本题的关键，属于基础题．
将四面体补成正方体，求出半径即可求解．
【解答】
解：如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，正方体的对角线长为，
则此球的表面积为：，
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：设球的半径为R，则正方体的棱长为2R，
所以球的外切正方体的全面积等于，解得．
故此球的体积为．
故选：A．
根据题意可知，球的直径等于正方体的棱长，由正方体的全面积等于24可求出正方体棱长，即求得此球的体积．
本题主要考查正方体内切球的体积求法，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查外接球的体积的求法，考查圆柱、圆锥及外接球等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
根据圆柱与圆锥和球的对称性知其外接球的直径是3h，利用勾股定理求得h和外接球的半径，再计算外接球的体积．
【解答】
解：如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，
其外接球的直径是，
设圆柱的底面圆半径为r，母线长为，
则，解得，
又，
，
解得，
外接球的半径为，
外接球的体积为．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查圆柱的高与球半径的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由球和圆柱的体积相等，有，由此能求出结果．
【解答】
解：由球和圆柱的体积相等，有，
由此解得：．
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：由题意画轴截面图，
截面的面积为，半径为，
截面的面积为的圆的半径是，
设球心到大截面圆的距离为d，
球的半径为r，则，
，，
球面的面积是
故选：A．
画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．
本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是中档题．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，属于基础题．
先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．
【解答】
解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，
正四棱柱的对角线长即球的直径为，
球的半径为，球的表面积是，
故选：C．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查球表面积的计算，考查球的特定截面圆的面积计算，属于基础题．
由题意设出球的半径，圆的半径，利用勾股定理找出圆的半径和球的半径的关系，然后可求球的表面积，截面面积，再求二者之比．
【解答】
解：设球的半径为R，圆的半径r，
由图可知，，
，，
截面圆的面积为：，
则所得截面的面积与球的表面积的比为，
故选A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．利用正方体、等边圆柱轴截面是正方形、球的体积、表面积公式，即可得出结论．
【解答】
解：正方体的棱长为a，体积，，
等边圆柱轴截面是正方形的高为2h，体积，，
球的半径为R，体积，，
，
故选C．
11.【答案】C
【解析】【解析】
本题考查圆锥与球的体积，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
设球的半径为R，圆锥底面半径为r，上面圆锥的高为h，在中，求得写出两个圆锥的体积和，再由体积比求得h与R的关系得答案．
【解答】
解：
设球的半径为R，圆锥底面半径为r，上面圆锥的高为h，
则下面圆锥的高为，
在中，有，得．
两个圆锥体积和为，
球的体积．
由题意，．
，即．
下面的圆锥的高为．
则这两个圆锥高之差的绝对值为．
故选C．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查球的体积，考查计算能力．利用条件：球心到这个平面的距离是4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径，然后求出球的体积．
【解答】
解：一平面截一球得到直径是6cm的圆面，
就是小圆的直径为6，
又球心到这个平面的距离是4cm，
所以球的半径是：5cm，
所以球的体积是：，
故选C．
13.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查球和圆柱的体积以及表面积的计算，属于基础题．
设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2
R，分别计算球和圆柱的体积以及表面积，再求比值，即可得到答案．
【解答】
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2
R，
，．
，，．
．
故选AC．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．
设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
【解答】
解：设球半径为r，则由可得，解得．
故答案为4．
15.【答案】
【解析】解：由题意可知直三棱柱中，
，，，
可得，
设底面ABC的小圆半径为r，则，可得；
连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R，
则
外接球的表面积；
故答案为：．
由题意可知求出底面ABC的小圆半径为r，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出外接球的表面积．
本题是中档题，考查直三棱柱的外接球的体积的求法，解题的关键是外接球的半径，直三棱柱的底面中心的连线的中点与顶点的连线是半径，考查空间想象能力．
16.【答案】1
，
8
【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的特称、长方体与球的表面积，考查了空间想象能力，属于中档题．
由外接球的直径等于长方体的对角线长，结合基本不等式求解即可．
【解答】
解：设球的半径为R，长方体的长、宽、高分别为a，b，c，
由题意得，
因为长方体内接于球，
所以，
所以长方体的表面积
，
当且仅当时“”号成立．
故答案为1；8．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查球的几何特征，球的表面积的计算，属于基础题；设球的半径为R
cm，由将球取出，留下空穴的直径为24cm，深8cm，可得截面圆的半径，球心距，进而由勾股定理可构造关于R的方程，可求得R，利用球的表面积公式求解即可．
【解答】
解：设球的半径为R
cm，
由将球取出，留下空穴的直径为24cm，深8cm
则截面圆的半径，球心距，
由得：，
即，
解得，
故该球的表面积为
故答案为：．
18.【答案】
【解析】
【分析】本题考查长方体的外接球的表面积的计算，属于基础题．
设长方体的外接球半径为R，则，由此求出球的半径，进而求出球的表面积．
【解答】解：设长方体的外接球半径为R，则，所以球O的表面积．
19.【答案】
【解析】解：设两圆的圆心分别为、，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则为矩形，
于是对角线，而，
故答案为：．
求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是中档题．
20.【答案】
，6
【解析】
【分析】
本题考查球内接多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
由题意可得，直三棱柱的底面为直角三角形，由其外接球的表面积求得侧棱长，即可求解外接球球心到的距离以及棱柱体积．
【解答】
解：如图，
外接圆的圆心在AC上，
?为AC的中点，且是以为直角的直角三角形，
由半径，得，又，．
把直三棱柱补形为长方体，设，
则其外接球的半径．
又直三棱柱外接球的表面积为，
，即．
，解得．
则接球球心到的距离为为，
直三棱柱的体积为．
故答案为：．
21.【答案】解：Ⅰ已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为r，
则圆柱的表面积为；
Ⅱ由Ⅰ知，
，，
圆锥、球、圆柱的体积比为：：：2：3．
【解析】Ⅰ由已知可得圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为r，直接由圆柱表面积公式求得圆柱的表面积；
Ⅱ分别求出图中圆锥、球、圆柱的体积，作比得答案．
本题考查柱、锥、球体积的求法，考查圆柱表面积的求法，是中档题．
22.【答案】解：如图，过点P作平面ABC于D，
连接并延长AD交BC于E，连结PE，是正三角形，
是BC边上的高和中线，D为的中心．
，
，
，．
．
；
设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
，．
则由等体积可得，
体积．
【解析】过点P作平面ABC于D，连接并延长AD交BC于E，连结PE，是正三角形，AE是BC边上的高和中线，D为的中心．由此能求出棱锥的全面积．
求出棱锥的体积，设球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，由此能求出球的表面积．
本题考查棱锥的全面积和体积的求法，考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．