小学数学北师大版六年级下第1单元 圆柱与圆锥 单元整体备课教案（71页）
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| 名称 | 小学数学北师大版六年级下第1单元 圆柱与圆锥 单元整体备课教案（71页） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-11 20:22:07 | ||
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文档简介
第1单元 圆柱与圆锥
本单元教学内容属于图形与几何领域,本单元是小学阶段学习几何知识的最后一部分内容,主要包括圆柱与圆锥两个立体图形的相关知识。本单元主要通过四个活动,引导学生学习面的旋转(圆柱和圆锥的认识)、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等内容,并参与实践活动。
学生已经直观认识了长方体、正方体、圆柱和球,并初步了解了长方形、正方形、圆等平面图形的性质,学习了这些图形的面积计算,学生还认识了长方体(正方体),掌握了长方体(正方体)表面积与体积的含义及其计算方法,以及在六年级上册学习了圆的认识、圆的周长、圆的面积的基础上进行学习的。
《圆柱与圆锥》不仅是学生掌握圆柱与圆锥相关知识的重要内容,也是学生积累探究图形的活动经验和发展空间观念的重要内容,还是渗透“类比”等数学思想方法的重要载体,“类比”主要体现在认识立体图形与认识平面图形有关知识与方法的类比,也体现在长方体的体积计算方法与圆柱体积的计算方法的类比。圆柱和圆锥是人们在生活和生产中经常遇到的几何形体,教学这一部分内容,有利于进一步发展学生的空间观念,为进一步学习和解决实际问题打下基础。本单元教学内容均采用直观入手的方法,通过让学生多观察、多动手、多实践来认识形体特征,并在掌握形体特征的基础上理解表面积的求法,通过变形和试验的方法得出圆柱和圆锥体积的计算方法,在掌握基本方法的基础上让学生运用知识解决问题,从而达到提高能力的目的。
1.通过动手操作、观察等活动,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥各部分的名称。经历由面旋转成圆柱和圆锥的活动,体会面与体之间的关系,在参与数学活动中积累活动经验,丰富对现实空间的认识,发展空间观念。
2.经历圆柱侧面展开等活动,认识圆柱展开图,探索并掌握圆柱表面积的计算方法,并能运用圆柱表面积的知识解决生活中一些简单的问题。
3.经历“类比猜想——验证”的活动,探索并掌握圆柱和圆锥体积的计算方法,体验某些实物体积的测量方法,体会圆柱、圆锥体积知识在生活中的实际应用,解决一些简单的实际问题。
在观察、操作、想象、推导等数学活动中积极思考,发展空间观念。通过动手实践、自主探究、合作交流等活动,体会“化曲为直”的思想。
能运用圆柱表面积的计算方法解决生活中一些简单的问题,运用圆柱和圆锥的体积计算方法,解决与圆柱(或圆锥)体积(容积)相关的实际问题。
经历运用“类比猜想——验证说明”的方式探究圆柱、圆锥体积计算方法的过程,体会类比、转化等思想,培养推理能力,进一步发展空间观念。
【重点】 圆柱的侧面积、表面积和体积,圆锥的体积及简单的实际应用。
【难点】 圆柱体体积公式的推导过程;圆柱体侧面积、表面积的计算;利用圆柱体、圆锥体等底等高条件下的关系解有关复杂的应用题。
本单元是从图形的认识、表面积、体积等认识立体图形的几个角度安排学习内容,具体通过面的旋转、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积四个教学活动展开,教学本单元时建议如下。
1.经历由面旋转成圆柱、圆锥的活动,沟通二维图形与三维图形之间的内在联系。
教材注重学生已有的知识基础和实践操作经验,安排了观察与操作的内容,通过操作与想象体会“点、线、面、体”之间的联系,引导学生整体把握知识,促进学生认知上的升华,并在活动中积累活动经验。在“面的旋转”的学习中,教材通过创设情景和操作活动两种方式,引导学生体会“点、线、面、体”之间的联系。教材先用多个生活中的具体情景激活学生的生活经验,如用“风筝”引导学生感受“点的运动形成线”;用“雨刷运动时的情况”引导学生感受“线的运动形成面”;用“转门”引导学生感受“面的运动形成体”。在此基础上,教材又设计了一个实践操作活动,通过快速旋转小旗,结合空间想象,引导学生体会圆柱、圆锥等几何体的形成过程,沟通“面”与“体”的联系,发展学生的空间概念。
2.重视引导学生开展操作活动,帮助学生积累数学活动经验。
积累活动经验是学生数学学习的重要目标,而实践操作是学生探索图形知识、积累活动经验的重要方法,也是发展学生空间观念的重要手段。在本单元中,教材重视学生实践操作活动的安排,在每个主题活动中都安排了实践操作活动,促进学生理解数学知识、发展空间观念。如在“圆柱的表面积”的教学中,引导学生通过实践操作来说明圆柱的侧面是一个怎样的图形,并呈现了两种通过实践操作的方法,一种是把圆柱形纸盒剪开,侧面展开后是一个长方形;一种是用一张长方形纸卷成圆柱。再如本单元的最后专门安排了一个用长方形纸卷圆柱的实践活动,教材中,先让学生用两张完全一样的长方形纸,一张横着卷成一个圆柱,一张竖着卷成一个圆柱,研究两个圆柱体积的大小。再组织学生将完全一样的纸对折剪开,把变化形状后的纸再卷成圆柱,研究圆柱体积的变化,逐步引导学生发现规律,如“当侧面积一定时,越是细长的圆柱体积越小,越是粗矮的圆柱体积越大”“圆柱侧面积不变时,底面半径越小,体积越小”等。这样通过用几张完全一样的长方形纸卷成不同的圆柱的操作活动,经历探索规律的过程,深化对圆柱体积的认识,并借助直观操作来体会这些变量之间的关系。
3.结合圆柱的体积等内容的学习过程,渗透“类比”等教学思想方法。
“类比”是一种重要的数学思想方法,也是合情推理时常用的数学思想方法。教材重视“类比”等数学思想方法的渗透,引导学生运用“类比”思想探索圆柱和圆锥体积的计算方法。“圆柱的体积”的教学,由于圆柱、长方体、正方体都是直柱体,所以体积的计算方法是一致的,因此是渗透“类比”思想方法的有效学习素材。教材在圆柱与圆锥的体积教学中,注意引导学生经历“猜想——验证”的探索过程,从而理解、掌握圆柱和圆锥体积的计算方法,感悟直柱体体积的一般计算方法。另外,教材还注意把未知的问题“转化”为已知问题等思想方法的渗透。
4.重视引导学生运用知识分析和解决圆柱与圆锥有关的简单实际问题。
圆柱和圆锥有关知识在生活中有广泛的应用,教材在编排练习时,选择了大量来自于现实生活的实际问题,引导学生灵活运用所学知识解决问题。如学习“圆柱的表面积”时,让学生计算薯片盒的包装纸的大小、通风管需要铁皮的面积、压路机压路的面积等,由于实际情形比较多,需要学生根据圆柱表面积的含义和实际情况灵活地选择有关数据进行计算。在学习“圆柱与圆锥的体积”后,让学生计算水桶的容积、圆木的体积、圆锥形小麦堆的体积、铅锤的体积等。通过这些实际问题的解决,巩固和拓展对教学知识的理解,体会数学知识在生活中的广泛应用,丰富对现实空间的认识,逐步形成学习数学的良好情感与态度。
1 面的旋转
《面的旋转》是第一单元中的第一节,本节的主要知识内容是“圆柱和圆锥的认识”,是在学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形和长方体、正方体等立体图形的基础上进行教学的。对于圆柱和圆锥,学生已经能够直观辨认,本节内容主要是帮助学生从三方面进一步加深认识:第一,从“静态”到“动态”,即由平面图形经过旋转形成几何体。这不仅是对几何体形成过程的学习,同时让学生体会面与体的关系,也是发展空间观念的重要途径,这就是教材将本课的题目定为“面的旋转”的原因。第二,从“整体辨认到局部刻画特征”,鼓励学生在以前研究长方体、正方体特征的基础上,研究圆柱和圆锥的特征。同时,认识圆锥和圆柱的侧面,使学生对面的认识从平面过渡到曲面,这是认知上的再一次发展。第三,从观察圆柱、圆锥实物到认识它们的“直观图”,教材注重学生已有的知识基础和实践操作经验,通过情景观察和操作活动两种方式引导学生体会“点、线、面、体”之间的联系。
1.通过动手操作、观察的活动,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥各部分的名称。
2.经历由面旋转成圆柱、圆锥的活动,体会面和体之间的关系,在参与数学活动中积累活动经验,丰富对现实空间的认识,提高空间想象力,发展空间观念。
【重点】 联系生活,在生活中辨认圆柱和圆锥体的物体,并能抽象出几何图形的形状来;通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点;掌握圆柱和圆锥体的各部分名称。
【难点】 通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点。
第课时 面的旋转
1.通过初步认识圆柱和圆锥使学生感受到数学与生活的密切联系。
2.通过观察和动手操作等,初步体会“点、线、面、体”之间的关系,发展空间观念。
3.通过由面旋转成体的过程,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征。
【重点】 联系生活,在生活中辨认圆柱和圆锥体的物体,并能抽象出几何图形的形状来;通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点。
【难点】 通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 颜料、板刷、长方形、三角形、半圆形、直角梯形若干;易切、易剪的圆柱和圆锥模型。
认一认下面图形。
【参考答案】 正方形 三角形 四边形 半圆形 正方体 长方体
方法一
复习旧知,引入新课。
师:同学们,回忆一下我们原来学过的平面图形有哪些?
预设 生1:我们学习过的平面图形有三角形、平行四边形、梯形。
生 2:我们学习过的平面图形还有长方形、正方形。
师:谁还有不同的想法,给予补充一下?
预设 生:我们还认识了圆形、半圆形、多边形、不规则图形……
师:请大家再想一想,除了这些平面图形,我们还学过什么样的立体图形?它们是由什么围成的?
预设 生1:我们学习和认识了正方体,正方体有6个面,都是正方形。正方体是由6个正方形围成的。
生 2:还有长方体,长方体是由6个长方形(其中可能有2个正方形)围成的。
师:面可以围成长方体和正方体,还能围成圆柱和圆锥等几何体。这一单元,我们就来学习圆柱和圆锥。这节课我们先来探究一下面经过旋转后会怎么样。(板书课题:面的旋转)
[设计意图] 通过谈话,使学生通过对长方体、正方体相关知识的回顾,知道长方体和正方体都是由“面”围成的,初步感知面与体之间的关系。另一方面,通过教师语言的引导,使学生感知本单元的学习与面有关,但又有什么关系呢?学生不知,只清楚本单元的学习内容《圆柱与圆锥》也与面有关,从而激发学生的学习欲望,感知今天的学习任务。
方法二
观察发现,引入新知。
教师可以手拿一根绳系小球抡起来,让其旋转走入教室,让学生观察,然后提问。
师:同学们你们看到了什么?
预设 生1:老师我看到您手中的绳系小球在以绳长为半径旋转。
生 2:绳和小球旋转的轨迹在同一平面,而且形成了一个圆形。
生 3:老师,原本绳系小球是一条线,经过旋转,在视觉上就形成了圆形的平面,真有意思。
……
师:在我们的生活中,你们见过这样的类似的例子吗?你们举例说说看。
预设 生1:石英钟上的指针,旋转的轨迹就是一个圆形,因为旋转得慢,看上去不是很明显。
生 2:还有旋转的风扇,旋转的轨迹也是一个圆形。
生 3:摆动的小球,摆动的轨迹形成的是扇形。
……
师:今天我们利用旋转探究新的知识,下面我们一起走进新学期开学的第一节课《面的旋转》。(板书课题:面的旋转)
[设计意图] 通过具体的操作既激发了学生的学习兴趣,又唤起学生原有的认知,与新知有机联系,与此同时又为学习本节内容和发展学生空间观念服务。
方法三
课件演示,导入新知。
教师用PPT课件出示下面在同一平面内平面图形经过旋转得到的美丽图案。
师:同学们,大屏幕展示的美丽的图案是怎样得到的呢?
预设 生:老师,我知道,这些美丽的图案都是由某一个基本图形以某一点为中心进行旋转得到的。
师:说得真好!在同一个平面内图形的旋转可以得到美丽的图案,那么一个图形在空间中旋转又会得到什么呢?可能存在哪些奥秘呢?今天老师就带领大家走入数学的神秘殿堂,去探索“面的旋转”的奥秘。(板书课题:面的旋转)
[设计意图] 通过对平面图形旋转得到的美丽图案,不但调动了学生原有的认知,同时为下文的讲解做了铺垫,给新知的探索带上了一层神秘的面纱,增强了学生的学习兴趣。
一、初步感受“点、线、面”之间的联系。
师:通过刚才导入的谈话中,老师知道了,同学们对生活中的点、线、面的变化有一定的感受和体会,现在老师这儿有一幅图片,同学们来看一看。(出示PPT课件)
将自行车后轮架支起,在后轮车条上系上红绳。转动车轮,观察并思考红绳随着车轮转动后形成的图形是什么。
学生根据发现的现象(红绳随着车轮的转动形成了圆)说明自己的想法,并体验点、线、面的联系。
1.想一想。
师:同学们想一想,系在后轮车条上的红绳伴随车轮转动起来会怎样?后轮的车条伴随车轮转动起来又会怎样?
2.学生小组交流、讨论回答问题。
师:谁想把自己的想法与大家分享?(自由发言)
预设 生1:老师,我想后轮车条上的红绳转动起来应该是形成一条线,而且是一条曲线。
生 2:老师,我认为后轮车条上的红绳转动起来应该是一条曲线,而且曲线的首尾还会连在一起,形成一个圆形。
生 3:老师,我认为后轮的车条转动起来会形成一个面,而且是一个圆面。
生 4:老师,我转动过自行车的后轮,特别快,看上去后轮的车条好像消失了,没有了,这是为什么呢?
……
(针对“生4”的问题先不做回答)
3.课件演示,再次感受。
师:同学们,带着你们的想法和疑问,观察大屏幕,我们来看一看。(PPT课件演示)
师:同学们,通过观察我们发现,系在后轮车条上的红绳转动起来形成了一条曲线,曲线首尾相连形成“圆形”;车条转动起来形成了“圆面”。
师:同学们,针对“生4”的问题,你们有什么想法?帮帮他,谁愿意解答他的疑问呢?
预设 生:因为转动车轮的速度特别快,再加上我们的视觉问题,看上去就好像车条消失了。
师:你们同意他的回答吗?
预设 生:同意。
师:这位同学回答得真棒!老师也同意他的说法。
二、再次体会“点、线、面”的联系。
师:同学们,在我们的生活中“点、线、面”的运动现象非常常见,老师这里还有一组图片,观察一下,你们会有什么发现?
1.PPT课件出示下图。
师:观察下面各图,你们发现了什么?
学生观察,教师点拨:风筝每一节连在一起,看上去怎么样?雨刷器走过的轨迹又是怎样的?旋转门呢?
学生发现。
预设 生1:风筝的每一节连起来看形成了一条线;雨刷器扫过后形成一个半圆形。
教师板书:点动成线、线动成面。
生 2:旋转门旋转形成圆形的立体图形。(学生可能说不清楚,意思贴近即可)
2.学生体验:线动成面。
学生在教师指导下,用板刷沾上颜料横向刷动,感受线动成面。
如果学生没有条件,教师可利用教室中可利用的物品进行演示。例如:板擦或者玻璃刷。
3.学生体验:面动成体。
(PPT课件出示旋转门演示)
教师板书:面动成体。
[设计意图] 通过自行车车轮的转动,让学生初步感受点、线、面的联系。利用多媒体把静态的知识转化成动态的知识,使学生在动态中充分感悟点运动形成线,线运动形成面,面运动形成体,很好地发展了学生的空间观念。
三、实际操作,感受面动成体。
教师要制作好或让学生自己准备好长方形小旗、三角形小旗等操作材料(用小棒和硬纸板制作),教师引导活动,活动可以分组进行。
师:同学们,我们把事先准备好的长方形小旗拿出来,分小组进行操作、观察。
1.分组活动要求:
(1)四人一组(也可以两人一组),其中一人手搓小棒,其他同学进行观察。
(2)在操作的基础上进行交流,长方形小旗快速旋转后形成了什么?
2.小组操作。
(学生因旋转得慢,体现得不明显,教师可以让操作好的学生到前面进行演示,也可以用课件进行演示)
师:通过操作活动,同学们,你们发现了什么?
预设 生:老师,通过操作活动,快速旋转的长方形小旗形成了圆柱体。
师:各组的意见相同吗?
预设 生1:我们小组观察的结果也是旋转的小旗形成了圆柱。
生 2:我们小组观察的结果与他们的结果是相同的。
教师板书:圆柱。
师:同学们,我们再拿出课前准备的“三角形小旗”,想一想,“三角形小旗”旋转起来会形成什么形状?
学生猜想。
预设 生1:可能是个锥体。
生 2:可能是一个圆形的锥体(圆锥)。
……
学生操作,验证猜想。
师:按照刚才的小组分配,小组间操作“三角形小旗”活动,看一看你们的猜想对吗?
学生操作后教师利用课件进行演示。
(圆锥体)
师:通过刚才小组间和老师的演示,你们发现三角形小旗旋转后形成了什么形状?
预设 生:转动的“三角形小旗”形成了圆锥体。
师:你们同意他的说法吗?
预设 生:我们同意他的说法。
师:你们观察得真仔细,棒极了!
教师板书:圆锥。
3.总结。
能用自己的话总结一下“点、线、面、体”之间的联系吗?
教师板书:点——线——面——体。
预设 生:点运动形成线,线运动形成面,面运动形成体。圆柱形的压路机经过旋转可以得到一个长方形的面,长方形的面经过折叠可以得到一条线段,那如何做可以得到一个点呢?把一个长方形纸横向、纵向对折两次就会得到点。“点”是构成“线”的基本要素,“线”是构成“面”的基本要素,“面”是构成“体”的基本要素,这里“点”是最基本的要素。
[设计意图] 利用多媒体把静态的知识转化成动态的知识,使学生在动态中充分感悟点运动形成线,线运动形成面,面运动形成体,很好地发展了学生的空间观念。
4.想一想,连一连。
师:同学们,通过刚才的学习我们知道了“面动成体”,老师这儿有一组立体图形,也是由平面图形旋转而成的,你们能猜一猜是哪个图形经过旋转得到的吗?
(教师PPT课件出示图片,学生观察、猜想,然后连一连)
上面一排图形旋转后会得到下面的哪个立体图形?想一想,连一连。
师:你们想到了吗?每个平面图形经过旋转是下面的哪个立体图形?
预设 生1:老师,我知道长方形旋转得到圆柱。
生 2:半圆形旋转得到了球。
生 3:三角形旋转得到了圆锥。
生 4:直角梯形旋转得到了圆形的平台(圆台)。
师:我们的猜测正确吗?下面我们进行一下验证,拿出我们的学具进行操作验证。
(学生验证,教师巡视指导)
预设 生:我们的猜想是对的。
师小结:我们学过的长方体、正方体都是由平面围成的立体图形,今天我们学习的圆柱、圆锥和球也是立体图形,只是与长方体、正方体不同,围成的图形上可能有曲面。
师:老师首先恭喜你们,你们真是聪明!下面打开教材第2页,连一连吧!(学生完成练习)
[设计意图] 通过想一想、猜一猜、看一看、连一连等活动,引导学生通过观察再次体验“面动成体”。
四、圆柱和圆锥的特点。
师:(PPT课件展示长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体)在这些立体图形中,长方体、正方体我们已经研究过它们的特征,还学过表面积和体积。那么,这节课我们学习的另外两种常见的立体图形圆柱和圆锥又有什么特征呢?下面我们利用“看、滚、剪、切”的方法来探究圆柱和圆锥的特征。
教师板书:圆柱和圆锥的特点。
1.取出课前准备好的圆柱和圆锥模型。
(1)“看”。
师:同学们,把我们课前事先准备好的学具(圆柱体和圆锥体)摆放在桌子上面,小组内的同学互相看一看,摸一摸,它们有什么特征?
学生小组内讨论,然后全班交流。
师:谁想把你的发现或意见说给大家听听?(小组代表发言)
预设 生1:老师,我们小组通过观察两个立体图形,知道了圆柱体有两个底面,都是圆形,还有一个曲面,摸上去每个面都很光滑。圆锥体有一个圆形的底面,一个曲面,手摸上去也很光滑。
生 2:老师,我同意上面同学的说法。而且,圆柱体放在桌面上,从下到上是一样粗细。而圆锥体上下不是一样粗细,越往上面越细,最后形成尖尖的,像是一个锥子,我想圆锥的名称就跟这个形状有关系吧!
师:真聪明,圆锥的上面是尖尖的,像一个锥子,所以把它叫作圆锥。有补充说明的吗?
预设 生:老师,我们小组认为圆柱体有3个面,有上、下两个面,而且都是圆形,大小也相同,还有一个曲面,从侧面平视,圆柱体近似于长方形;圆锥体有2个面,有一个圆形的底面,还有一个光滑的曲面,从侧面平视,圆锥体近似于三角形。
……
师:同学们观察得真仔细,发现了这么多的知识,老师真为你们骄傲。现在请同学们观看大屏幕,老师做了一组图片来帮助同学们理解圆柱和圆锥的特征。
教师用PPT课件进行演示。(边演示边板书)
教师板书:圆柱:上、下两个底面,一个侧面。圆锥:一个底面,一个侧面。
(2)“滚”。
师:同学们,下面按照老师的要求,把圆柱和圆锥两个立体图形放倒在桌面上,滚动一下,你又有什么新的发现呢?
学生动手操作。
师:谁来说一说你有什么新的发现?
预设 生1:老师,我发现圆柱体滚动的轨迹是直的,圆锥体滚动的轨迹是曲线的。
生 2:老师,我把圆柱体和圆锥体都分别涂上了颜料,然后在桌面上进行滚动,发现圆柱体滚动的轨迹是一个长方形,圆锥体滚动的轨迹是一个扇形。
师:你可真是一个对知识认真的好孩子,老师真为你高兴。还有别的同学想补充说明的吗?
预设 生:老师,我也发现圆柱体滚动的是直线,但是,在我滚动圆锥体的时候,用力过猛,圆锥体掉到地上了。
(课堂一片大笑)
师:那你知道为什么你的圆锥体会掉在地上吗?
预设 生:可能是我用力过猛的缘故吧!
师:这是圆锥体掉在地上的一个原因,还有更主要的原因,同学们,你们知道吗?
预设 生:老师我知道,因为圆锥体滚动的轨迹不是直的,是曲线的,再加上用力过猛,所以圆锥体才会掉在地上。
师:真好,我们给他鼓鼓掌吧!(鼓掌)
师小结:圆柱体滚动的轨迹是直的,圆锥体滚动的轨迹是曲线的。
教师板书:圆柱滚动的轨迹是直线,圆锥滚动的轨迹是曲线。
(3)“剪”。
师:同学们,我们通过观察和滚动圆柱和圆锥体,已经了解了一些圆柱和圆锥的特征,下面我们把圆柱和圆锥剪开,观察它们的展开图,看看又有什么发现。
师:由于我们同学带的圆柱和圆锥体有的是实物,不能够剪开,再者,同学们利用剪刀剪开圆柱或圆锥体有一定的危险,所以老师做了一组展开的动画图片,请同学们观看大屏幕。(教师利用PPT课件进行演示)
①垂直剪开圆柱。
②斜着剪开圆柱。
③剪开圆锥。
师:同学们,你们通过课件的演示,发现圆柱和圆锥的展开图是怎样的?
预设 生1:老师,通过观察我发现,圆柱体剪开后,圆柱体上下面都是圆形,侧面可能是长方形,也可能是平行四边形。
生 2:圆锥剪开后,底面是一个圆形,侧面是一个扇形。
师:同学们说的真好,圆柱体上、下面都是圆形,侧面沿着垂直线剪开就是长方形,沿着斜线剪开就是平行四边形;圆锥体剪开后,底面是个圆形,侧面是个扇形。
教师板书:圆柱侧面剪开是长方形或者是平行四边形;圆锥侧面剪开是个扇形。
(4)“切”。
师:(教师能进行实物演示最好,也可以进行PPT课件播放)同学们,下面我们用刀把圆柱和圆锥体切开,看一看它们的截面又有什么发现。
(教师进行操作,或者PPT课件进行演示,学生观察,学生不易动手操作,避免危险)
①圆柱体的横截面。
师:我们先把圆柱体横着切开,它的横截面是什么形状?
预设 生:圆柱体的横截面是一个圆形。
教师板书:圆柱体的横截面是圆形。
师:同学们还想怎样切开圆柱体呢?
预设 生1:竖着切开圆柱体。
生 2:斜着切开圆柱体。
师:下面我们就按照上面两种切法切开圆柱体,看看他们的截面又是什么样的形状。
竖着切开圆柱体:
斜着切开圆柱体:
②圆锥体的截面。
竖着切开圆锥体:
预设 生1:通过观察,圆柱体的截面可能是长方形、圆形、椭圆形。
生 2:圆锥体竖着切开后,截面是三角形。
教师板书:圆柱的截面是长方形或圆形或椭圆形;圆锥的截面是三角形。
2.圆柱和圆锥的相同点。
师:同学们,我们刚刚学习了圆柱和圆锥的特征,它们有什么相同点呢?
预设 生:老师,圆柱和圆锥的相同点是它们的下底面都是圆形,侧面都是曲面。
教师板书:底面都是圆形,侧面都是曲面。
[设计意图] 在教学圆柱和圆锥的特征之前,我就先让学生在课前制作圆柱和圆锥,所以对于圆柱和圆锥的特征,学生已有一些基本的认识。但是没有更深的研究,所以,我通过“看、滚、剪、切”来了解它们的特征,有助于学生更好地理解和掌握圆柱和圆锥的特征。
1.完成教材第3页“练一练”第1题。
本题主要是让学生进一步体会“面旋转形成体”,发展学生的空间观念。教师可以让学生先“想一想、连一连”,再做一做,最后让学生闭眼回想旋转的过程。
2.完成教材第3页“练一练”第2题。
主要是结合生活中的物体和想象进一步认识圆柱和圆锥。教师要引导学生注意观察,强化学生的图形表象。
【参考答案】 1.如下图。
2.略。
师:这节课你们学到了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了“点动成线、线动成面、面动成体”。
生 2:我知道了长方形旋转形成圆柱体,三角形旋转形成圆锥体。
生 3:通过观察,圆柱有两个底面,一个侧面;圆锥有一个底面,一个侧面。圆柱体滚动的轨迹是直线,圆锥体滚动的轨迹是曲线。圆柱侧面剪开是长方形或者是平行四边形;圆锥侧面剪开是个扇形。圆柱体的截面可能是长方形、圆形、椭圆形。圆锥竖着切开后,截面是三角形。
生 4:我知道了圆柱和圆锥有相同点,它们的下底面都是圆形,侧面都是曲面。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面增强学生的语言表达能力,另一方面对今天所学知识进行回顾,加强学生的有效记忆。
作业1
1.教材第3页“练一练”第6题。
2.教材第13页“练习一”第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)点的运动形成( ),线的运动形成( ),面的旋转形成( )。
(2)圆锥有( )个底面,是( )形的,圆锥的侧面是一个( )面。
2.(基础题)下列图形中是圆柱的在括号内画“√”,不是圆柱的画“?”。
3.(重点题)选一选。
(1)下面物体的形状是圆柱的是( )。
A.粉笔盒 B.足球 C.日光灯灯管
(2)把3个底面周长相等的圆柱形钢材焊接成一个大圆柱形钢材之后,减少了( )个底面。
A.2 B.4 C.6
【提升培优】
4.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)圆柱和圆锥都有两个底面、一个侧面。 ( )
(2)以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,就可以得到一个圆锥。 ( )
【思维创新】
5.(探究题)连一连,下面各图形绕轴旋转一周后得到的是哪个图形?
【参考答案】
作业1:6.如下图。
1.如下图。
作业2:1.(1)线 面 体 (2)1 圆 曲 2.? ? √ ? 3.(1)C (2)B 4.(1)? (2)√ 5.①—d ②—e ③—f ④—b ⑤—c ⑥—a
面的旋转
点动成线、线动成面、面动成体
圆柱 圆锥
圆柱:有上、下两个底面,一个侧面;轨迹是直线;侧面剪开是长方形或者是平行四边形;截面是长方 形、圆形或椭圆形圆锥:有一个底面,一个侧面;轨迹是曲线;侧面剪开是个扇形;截面是三角形
圆柱和圆锥的相同点:底面都是圆形,侧面都是曲面。
《面的旋转》是北师大版六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》的第一课时,这节课的重点是认识圆柱和圆锥的特征,结合具体的情景让学生通过观察,以及动手操作,引导学生体会“点动成线、线动成面、面动成体”的过程,整体把握“点、线、面、体”之间的联系,发展学生的空间观念。
为了便于学生理解,课堂上呈现了几个生活中的具体情景,让学生进行观察,激活学生的生活经验,感受到“点、线、面、体”之间的联系。首先设计了一个利用自行车车轮转动体会“点的运动形成线”的活动,即在自行车后轮车条上系上红绳,观察红绳随车轮转动的情况,发现红绳转动后形成了圆。然后又呈现了三幅情景图,让学生结合这些生活现象体会“点、线、面、体”之间的联系,第一幅图是“很多小的风筝在天空中连成一条线”,引导学生进一步感受“点的运动形成线”;第二幅图是“雨刷运动时的情况”,引导学生感受“线的运动形成面”,在这一环节我设计了教师利用教室中可以利用的物品(黑板擦、玻璃擦)等,让学生感受线动成面;第三幅图是“转门”,引导学生感受“面的旋转形成体”。在结合具体情景感受的基础上,又设计了一个操作活动,通过快速旋转小旗,引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程,发展学生的空间观念。
教学圆柱和圆锥的特征时,准备了必要的操作材料,引导全体学生通过“看、滚、剪、切”的方法,理解它们的特征。在观察、操作、想象的基础上进行交流,发展学生的空间观念。同时还把点、线、面的运动过程制作成多媒体课件,在想象的基础上,让学生进一步观察。另外,对于教材中通过旋转形成的几何体中出现的球和圆台,让学生在“面旋转成体”的过程中增加体验,鼓励学生通过观察、操作和想象认识这两种几何体。课堂上注意把握好教学要求,球只要求学生认识,不要求掌握特征;圆台可以不说出名称,只要学生能连线,知道是由哪个平面图形旋转形成的就可以了。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:在处理第一个问题时,学生都知道红绳随车轮转动后形成了圆。在接下来观察第一幅图时,学生可能受这个影响,就将每一个小风筝看作了圆,认为当风筝离我们越来越远的时候就变成了一条线。显然学生的这种认识是存在一些问题的。课堂上我做了一些处理,尽管在我的引导下学生说出了“点”,也明确了点和线之间的关系,但总觉得不是很顺利。
再设计时,让学生多例举一些生活中“点动成线”的实例,帮助学生理解。要注意问题的提出要有侧重,有针对性,要起到减缓难点的作用。
一种圆柱形的保温杯,底面直径是6厘米,高是15厘米,将8个这样的保温杯装在一个长方体盒子中(为了防止挤压,盒子中的保温杯只能摆一层),则这个长方体盒子的容积最小是多少立方厘米?
[名师点拨] 要保证盒子的容积最小,盒子的长、宽、高都要尽可能小,即保温杯的高就是盒子的高。盒子的长和宽有两种情况,如果长是8个圆柱形保温杯底面直径的总长度,那么宽就是1个圆柱形保温杯底面直径的长度;如果长是4个圆柱形保温杯底面直径的总长度,那么宽就是2个圆柱形保温杯底面直径的总长度。
[解答] (6×8)×6×15
=48×6×15
=4320(立方厘米)
(6×4)×(6×2)×15
=24×12×15
=4320(立方厘米)
答:这个长方体盒子的容积最小是4320立方厘米。
【知识拓展】 圆柱体有直圆柱体和斜圆柱体两种。
圆 锥
圆锥是一种几何图形,有两种定义。解析几何定义:圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转360度所围成的几何体叫作圆锥。旋转轴叫作圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的面叫作圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面。无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫作圆锥的母线。(边是指直角三角形的两个旋转边)
第课时 圆柱和圆锥的各部分名称
1.认识圆柱和圆锥的直观图及各部分的名称,知道圆柱和圆锥的高、底面和侧面。
2.通过动手操作、观察的活动,学生能够正确测量圆柱体和圆锥体的高,体会测量方法,深化对高的认识。
【重点】 掌握圆柱和圆锥体的各部分名称。
【难点】 利用测量工具,测量圆柱和圆锥的高及掌握测量方法。
【教师准备】 PPT课件,圆柱和圆锥模型。
【学生准备】 测量工具(直尺、三角板等),圆柱和圆锥模型。
1.圆柱体和圆锥体是由什么图形旋转得到的?
2.(PPT课件出示)你能说出下面的立体图形的高是多少吗?
【参考答案】 1.圆柱体是由长方形以一边为旋转轴旋转得到的;圆锥体是由直角三角形以其中一条直角边为轴进行旋转得到的。 2.长方体的高是5 cm,正方体的高也是5 cm。
[设计意图] 通过复习旧知,为学习新知做铺垫,使学生很快进入有目的的探究状态。
方法一
实际操作,导入新知。
师:同学们,在我们的数学王国中的几何部落,有很多的成员,我们已经认识了部分成员,它们今天也到我们课堂做客了,你们看……(老师拿出长方体和正方体)。
师:它们是谁?
预设 生:长方体和正方体。
师:你们能用测量工具测量出长方体的长、宽、高和正方体的棱长是多少吗?
预设 生:老师我们能够测量出长方体的长、宽、高和正方体的棱长。
师:那么谁愿意到展台前实际操作一下。
(老师指名,让学生到展台前进行测量,测量时让学生看到测量同学的方法和步骤,测量后向全体学生汇报测量结果,然后全体同学对错误方法进行纠正)
师:在我们的生活中一切物体都是以体的形式存在,是体就占有空间,他们就有一定的高度,同学们再看看我手中昨天我们刚认识的这两个新的朋友:圆柱、圆锥,你们能用测量工具测量出它们的高度是多少吗?
师:谁愿意试试看?
(教师鼓励学生积极参与对于圆柱体的高的测量,学生没有什么难度,但圆锥体的高的测量对学生就有难度了,在测量圆锥体的高时,学生会有分歧,此时老师话题一转引入新知)
师:老师已经看出来了,同学们的意见有分歧,不统一,我们该如何来测量呢?今天老师就和同学们一起来探索一下新的正确的方法,好吗?(板书课题:圆柱和圆锥的各部分名称)
[设计意图] 通过谈话和具体操作,引导学生积极参与,使学生通过对长方体、正方体测量方法的回顾,引出圆锥体高的测量难题,通过教师语言的引导,使学生感知本节课的学习与测量有关,但又有什么关系呢?学生不知,给新知的探索带上了一层神秘的面纱,增强了学生的学习兴趣,从而激发学生的学习欲望。
方法二
创设情景,引入新知。
课件出示:圆柱、圆锥、正方体、长方体的实物图片(易拉罐、小脆筒、粉笔盒、圆木、沙堆、牙膏盒)。
师:同学们知道这些物品的名称吗?
预设 生:老师我知道这些物品的名称,(从左往右、从上往下)第一行的第一个物品是易拉罐,第二个物品是小脆筒,第三个物品是粉笔盒,第二行的第一个物品是小圆木,第二个是沙堆,最后一个是牙膏盒。
师:你可真棒,一下子说出来了这么多物品,那你们知道它们各是什么形状吗?
(指名学生分别说,也可以学生自由说)
预设 生1:老师我知道,易拉罐和小圆木近似于圆柱体。
生 2:小脆筒和沙堆近似于圆锥体。
生 3:粉笔盒近似于正方体,牙膏盒近似于长方体。
师:这些立体图形中,有我们上节课新认识的两个新朋友(立体图形),你们知道是哪两个立体图形吗?
预设 生:是圆柱和圆锥。
师:同学们很聪明,你们知道圆柱和圆锥各有几部分组成吗?
预设 生1:圆柱体由三部分组成,有两个圆形的底面和一个侧面。
生 2:圆锥体是由两部分组成,有一个圆形的底面和一个侧面。
师:那你们知道这些圆形、长方形和扇形在圆锥和圆柱体中,都叫作什么名字吗?把圆柱和圆锥体放在桌面上,它们有一定的高度,这个高度又该怎样测量呢?这节课就让我们一起进一步认识圆柱、圆锥的各部分名称,以及它们高的测量方法。(板书课题:圆柱和圆锥的各部分名称)
[设计意图] 兴趣是学习成功的动力,通过实物和生活中联系紧密的图形,引起学生的学习兴趣,让学生感知生活中到处都有圆柱和圆锥。
一、认识圆柱和圆锥的各部分名称。
师:同学们,在上节课我们认识了两个新的立体图形——圆柱和圆锥,掌握了它们的特征,那同学们还记得圆柱和圆锥是由哪几部分组成的吗?
老师取出圆柱和圆锥模型摆在展台上,指名到展台前指着实物体说出它们的组成。
师:同学们,谁愿意到展台前来向大家汇报一下你的知识掌握情况?
预设 生1:老师,我来说一说圆柱体的组成,圆柱体由三个部分组成,分别是两个圆形的面和一个长方形围成的曲面。
生 2:老师,我知道圆锥是由两部分组成,一部分是下面的圆形,另一部分是由扇形围成的曲面。
师:同学们,你们同意他们的回答吗?(同意)
1.认识圆柱体各部分名称。
(1)认识圆柱体的底面。
师:组成圆柱体的各部分,它们又叫作什么名称呢?
(学生如果能够独立回答,尽量学生完成,如果不能回答,教师可以引导学生通过看书的方法解决)
师:(引导学生打开教材,阅读教材上的内容)谁愿意告诉大家,你读懂了什么?
预设 生:组成圆柱体的两个圆面分别叫作圆柱的上、下底面,总称圆柱体的“底面”。长方形围成的曲面叫作圆柱体的侧面。
教师板书:
师:在平面内表现一个立体图形,画出的直观图会与实物产生一些视觉差异。请同学们观看大屏幕,老师做好了一个圆柱的直观图(PPT课件出示)。
师:谁愿意到展台前,通过圆柱体的直观图,指出圆柱体各部分的名称?
(学生到展台前进行叙述,其他同学聆听)
[设计意图] 圆柱体的各部分名称是属于概念性知识,不需要学生死记硬背来掌握,通过观察、感受、分析来理解和掌握圆柱的各部分名称。
(2)认识圆柱体的高。
师:同学们,老师一提到“圆柱”是什么平面图形运动得到的,你们的头脑中会出现什么画面?
预设 生:圆柱是长方形旋转得到的。
师:一个长方形绕着它的一边旋转一周,形成一个圆柱,这个长方形的其他三边旋转一周分别形成这个圆柱的哪个面?你们知道吗?
①学生猜想。(小组讨论,全班交流)
预设 生:老师,我们小组间进行了讨论和交流,一致认为与旋转轴垂直的两条边旋转后,分别形成了圆柱体的两个底面(上底面和下底面),与旋转轴平行的一条边形成了圆柱体的侧面。
师:大家的想法和老师的是一致的,这种猜想正确吗?下面我们就来验证我们的猜想吧。
②验证猜想。
师:请同学们观看大屏幕,通过老师利用PPT课件进行演示后,你们就清楚了。
(教师播放PPT课件进行演示,学生观察,并作出判断)
演示:用A,B,C,D四个字母来表示长方形。
师:同学们,看了长方形旋转后形成圆柱体的演示过程,你们的猜想正确吗?
预设 生:正确。
师:通过观察我们知道了,长方形ABCD中,AB边旋转后得到了圆柱体的上底面,CD边旋转后得到了圆柱体的下底面,AD边旋转后得到了圆柱体的侧面。
师:那么BC边又叫作圆柱体的什么呢?
③明确圆柱体的高。
师:同学们,观察长方形BC边的位置,你们有什么发现?把心里的想法说出来。
预设 生1:老师我知道长方形的BC边与旋转轴是同一条线。
生 2:老师我发现,线段BC的两个端点与圆柱体上、下两个底面的圆心重合。
生 3:老师我还发现,线段BC垂直于圆柱体的上、下两个底面。
……
师:像BC这样的线段,我们把它叫作圆柱体的高。通过刚才的观察和分析,谁能用自己的语言说一说什么叫作圆柱体的高?
预设 生1:垂直于圆柱体上、下底面的线段叫作圆柱体的高。
生 2:圆柱体两个底面之间的距离叫作圆柱体的高。
生 3:连接圆柱体两个底面圆心的线段叫作圆柱体的高。
……
师:同学们说得真好,你们具有了一定的概括能力,老师真为你们高兴!在我们学习的圆柱体范畴内,通常把圆柱体两个底面圆心间的距离定义为圆柱体的高,也就是连接圆柱体两个底面圆心的线段叫作圆柱体的高。
教师板书:圆柱的高。
师:同学们,我们知道了圆柱体的高,那么圆柱体有多少条高呢?
预设 生:有无数条高。
师:你们心里是怎么想的?为什么圆柱体的高有无数条?
预设 生1:圆柱体两个底面之间有无数条和两底面圆心连线相等的垂直线段,都是圆柱体的高。
生 2:上、下底面可以看成无数个点的集合,上、下底面上的点都是一一对应的,它们的连线都和圆心的连线相等,并且都垂直于圆柱的底面,所以都可以看成圆柱体的高。
……
教师板书:圆柱体的高有无数条。
[设计意图] 通过教师的引导,学生观察、分析,获得结论。通过回想圆柱体形成的过程,不仅起到了温故知新的作用,更使学生再次感受“面动成体”,很容易地完成了圆柱体高的教学任务,利用多媒体更生动、更直接地揭示了这一点。
2.认识圆锥体各部分名称。
师:圆柱的各部分名称我们已经知道了,那么圆锥的各部分名称又是怎样的呢?你们通过教材,来完成这次的学习吧。
(学生看书,汇报)
师:请看大屏幕(学生汇报后,PPT课件出示圆锥的各部分名称)
教师板书:侧面、底面。
师:我们知道了圆柱的高是两个底面圆心的连线,圆柱有无数条高,那么圆锥的高又是哪到哪的连线呢?又有几条呢?下面请同学们拿出我们的实物(圆锥)观察、分析,小组间可以讨论、交流。
(学生交流,讨论)
师:你们心里是怎样想的?怎样解决这个问题呢?
小组汇报:
预设 生1:我们组认为从顶点到底面圆心之间的距离叫作圆锥的高,圆锥体有无数条高。
生 2:我们认为圆锥只有一条高。
……
师:圆锥究竟有几条高呢?是一条还是无数条?
(学生议论纷纷,大多数同学认为圆锥有无数条高)
师:请大家在圆锥上找一找,哪里是圆锥的高?
(请学生演示)
预设 生1:(用手摸圆锥的侧面)这里是高。
生 2:我觉得那里不是高,圆锥的高不太好指出来。我认为圆锥体是直角三角形沿着一条直角边旋转得到的,那么这条直角边就是圆锥体的高。是在圆锥体中间的,所以是不好指出来的。
生 3:我同意生2的看法,(举起学具,手指顶点和底面圆心)我认为这之间的距离才是高。
师:(老师针对生3的回答提问)高是什么?
预设 生:顶点到圆心之间的距离。
师:为什么圆锥的高只有一条呢?
预设 生:因为圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离,圆锥的顶点只有一个,底面圆心也只有一个,所以圆锥只有一条高。
(学生纷纷表示赞同)
师:圆锥的高能看得见、摸得着吗?
预设 生:(生否定)看不见。
师:怎样才能看见圆锥体的高呢?
预设 生:可以把它切开。
(教师演示切圆锥形萝卜的模型,指一生上台画出高。老师在直观图上画出圆锥的高,并板书)
教师板书:高,圆锥的高只有一条。
[设计意图] 通过教师的引导,让学生感觉到圆锥的高是看不到、摸不到的,含在圆锥体中间,从而引出圆锥体的高是顶点到圆心的连线,通过实物体切开,让学生进行操作,指出圆锥体的高,这样更直观,更能激发学生的学习兴趣,锻炼了动手操作能力,打破了学生的思维局限,抛开外表看内在。
二、圆柱和圆锥高的测量。
师:同学们,通过我们的学习,知道了圆柱有无数条高,圆锥有一条高。既然它们的高有实际意义,应该怎样测量呢?
1.测量圆柱体的高。
师:圆柱体有无数条高,我们怎样来测量呢?你们准备怎样进行实际操作来完成这次的活动任务?
预设 生1:通过学习我们知道,圆柱体有无数条高,只要是垂直于两个底面的线段都是圆柱体的高,测量哪一条都可以知道圆柱体的高是多少。
生 2:因为圆柱体是直柱体,在圆柱体的侧面上找到垂直于两底面的线段就是圆柱体的高,我们可以用直尺直接进行测量。
师:(老师拿出课前准备好的一定高度(10厘米)的圆柱体)老师这有一些圆柱体,下面分发给每个小组,在小组内进行测量,然后把圆柱体高的数据汇报给老师。
(学生操作,教师巡视)
师:完成测量任务的小组汇报一下,你们测量的数据是多少?
预设 生1:老师我们测量的圆柱体的高是9.9厘米。
生 2:我们小组测量的圆柱体的高是980毫米。
生 3:我们小组测量的结果是10.1厘米。
师:老师发给你们的圆柱体都是一样的高度,都是10厘米,为什么每个小组测量的高度都不一样呢?问题出在哪儿呢?
(小组讨论,也可以全班交流,然后汇报交流的结果)
预设 生1:可能我们测量时测量工具并没有与底面垂直,可能是倾斜的,所以测量的数据就不够准确。
生 2:可能在我们读数的时候,数值是估出来的。
师:同学们,在我们测量圆柱体的高的同时,由于我们测量的方法,测量工具的摆放,观察的角度等不同,会导致测量的结果与真实的数据有一定的差距,在数学领域中,我们把这种不可避免的差异叫作误差。误差虽然是不可避免的,但是可以减小,我们认真操作,正确观察,就可以减小误差。
2.测量圆锥体的高。
师:同学们,通过刚才的学习你们知道了圆锥体的高,谁能说一说圆锥体的高是怎样定义的?
预设 生:圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥体的高。
师:如果要测量圆锥的高,每次都把圆锥切开,是非常不方便的。该怎样测量呢?请大家小组合作,量一量你的圆锥学具。
(小组合作测量,教师巡视指导并质疑)
师:刚才同学们通过合作测量了圆锥的高,谁来说一下,你是怎么测量的?
预设 生1:把圆锥靠在墙边,用体育课测量身高的方法量。
生 2:还可以在两端竖起两把尺,沿顶点横着放一把直尺,让两端竖着的尺的刻度相等,这就是圆锥的高。
师:你能到前面演示一下吗?
(生2上台演示)
师:你能读出刻度吗?
预设 生:1.8厘米。
师:怎么和我的结果不一样呢?我认为是2厘米。
预设 生:观察后恍然大悟,直尺上0刻度前还有一段距离,必须加上。
师:还有其他的方法吗?
预设 生1:还可以将圆锥移到桌边,将尺子移到桌子外边,使0刻度线和圆锥底面对齐。
生 2:我觉得这样放尺子很容易倾斜,圆锥的高是垂直于底面的,尺子倾斜,量的就不是高了。
师:那你能想个好办法吗?
预设 生:我觉得可以用厚书或字典来测量高。把字典竖放在圆锥的旁边,再用一本字典或厚书放在圆锥上面组成直角,在竖放的字典上标注上记号,再从字典上量得圆锥的高。
师:为什么?
预设 生1:我们用尺量时,尺会东倒西歪的,很难保证与桌面垂直,而用字典就可以很容易与桌面垂直。
生2:作记号时,一定要记在横放的字典下沿与另一字典交汇处。
师:这种方法可以吗?(学生赞同)请大家用这种方法测量自己的圆锥的高。
(学生活动)
师:我们在测量时,有时用尺是不太方便的,我们利用字典或厚书等材料帮助测量,是很可取的。我们的测量只要方便、好操作、能测准就行,不一定总想到尺。
[设计意图] 测量圆柱体和圆锥体的高,通过学生动手操作,发现问题,并解决问题。渗透了误差的概念,使学生了解误差是不可避免的。在测量圆锥体的高的过程中,让学生大胆想象,说出心里的想法,一方面,给学生想象的空间,知道解决问题的方法的多样性;另一方面,把不可测量转化成可以测量,体会数学的转化思想。
1.完成教材第3页“练一练”第3题。
本题主要是提高学生识图的能力,让学生独立填一填,第二个和第四个图形不要求学生写出图形的名称。
2.完成教材第3页“练一练”第4题。
本题主要是测量圆柱和圆锥的高,可以组织学生独立测量,并交流过程中的体会。
【参考答案】 略
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了圆柱体有两个底面,一个是上底面,一个是下底面,还有一个侧面。
生 2:我知道了圆柱体的高是连接两个底面中心的线段。圆锥体的高是顶点到底面中心的距离。圆柱体的高有无数条,圆锥体的高只有一条。
生 3:通过学习和操作,我知道了圆柱体高的测量方法,我还知道了由于测量工具和观察的角度等诸多因素都会影响测量的结果,会产生误差,我们要做到用正确的方法尽量减少测量的误差。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面是知识的回顾,另一方面是对学生语言表达能力的培养,更好地为掌握本节知识服务。
作业1
教材第3页“练一练”第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)圆柱的两个底面都是( ),它们的面积( )。
(2)圆柱的侧面是一个( )面,把它沿着高展开可能是一个( )形或( )形。它的一条边等于圆柱的( ),另一条边等于圆柱的( )。
(3)圆锥的底面是( ),侧面是( )形。
【提升培优】
2.(难点题)你能指出下面圆柱和圆锥的高是多少,底面周长、直径是多少吗?
【思维创新】
3.(探究题)下面测量高的方法对吗?在对的下面画“√”。
【参考答案】
作业1:5.长至少为39 cm,宽至少为26 cm,高至少为11 cm.
作业2:1.(1)圆形 相等 (2)曲 长方 正方 高 底面周长 (3)圆形 扇 2.高:20 cm;底面周长:25.12 cm;直径:8 cm。 高:6 cm;底面周长:12.56 cm;直径:4 cm。 3.(√)( )
圆柱和圆锥的各部分名称
《圆柱和圆锥的各部分名称》是北师大版六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》的第二课时,这节课的重点是认识圆柱和圆锥的底面、侧面和高,掌握圆柱和圆锥高的测量方法。
为了便于学生理解,课堂上采用了让学生先进行猜想——验证猜想——得出结论的方法来进行教学。
圆锥的认识和圆柱的认识在研究内容上有其相似之处。认识圆柱后我及时地引导学生进行回顾:“是从哪些方面对圆柱的特征进行研究的?”通过交流,学生明白了对于圆柱是从面、直观图、高等几个方面进行研究的,然后引导学生从这些方面来研究圆锥。通过交流,学生对学习的方法进行了有效的迁移,学习的积极性得到有效的激发,兴趣盎然地投入到观察、研究之中。对于圆锥,不同的同学有了不同的认识。然后,通过适时地交流和组织阅读教材,学生对于圆锥有了较好的认识。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同,学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。事实上,依据数学课程标准创造性地使用教材,合理挖掘教材的潜在资源,结合学生的年龄特点,贴近学生的生活实际对教材内容进行再加工、再创造,借助教材的潜在资源,延伸教学内容,让教材中的公式、例题等书面内容经过拓展、深化,转化为学生易于接受的信息,可以激发学生探究新知的兴趣,张扬学生的个性。
教学中应多给学生一些时间,通过自己动手剪开图形,感受图形的面的存在,尤其是圆锥,为后续的求圆柱和圆锥的体积打下良好的基础。
再设计时,让学生多一些动手实践操作的机会,帮助学生理解,并引导学生通过自己的实践活动得出结论,这样加深学生对新知识的理解和渗透。
【练一练·3页】
1. 5.长至少为39 cm,宽至少为26 cm,高至少为11 cm。 6.
下面图①测量圆锥的高的方法正确吗?如果不正确,请改正过来。
①
②
[名师点拨] 测量圆锥的高需要把圆锥的底面和平板水平放置,读数时要读平板下沿的数值。图①的测量方法中,圆锥的底面没有水平放置,量的不是圆锥的高,所以不正确。
[解答] 图①不正确,正确的测量方法如图②所示。
【知识拓展】 圆柱体和正方体、长方体都是直柱体。
圆柱和圆锥
有一天,数学王国来了一对奇妙的圆锥和圆柱兄弟。大家都不认识他们,于是数学国王叫他们兄弟向大家介绍自己。
圆柱先说了:“大家好!我是圆柱,是圆锥的兄弟。但我不是他,我全身一样粗,有无数条高,有两个大小相等的两个圆面叫我的底面,我还有一个曲面叫侧面,虽然我的身材不好看,但我可能占空间了,别看我和我的兄弟圆锥一样高,一样的底面,但我的体积是他的三倍呢!”大家听完后都对圆柱有了全面的认识。
接下来圆锥又开始介绍了:“认识了我哥哥圆柱,想了解我就好办了,我只有一个底面是圆面,一个曲面叫我的侧面,我还有一个顶点,但我只有一条高。我虽不及哥哥所占空间,但是我和哥哥体积和高相等时,我的底面积是他的三倍;当我和哥哥体积和底面积相等时,我的高也是他的三倍。怎么样?不错吧!我虽说脑袋尖尖,不怎么漂亮,但也有很多优点呦!”
听了圆柱、圆锥两兄弟的自述,数学王国的公民们都对两个新成员有了全面的认识,从此以后,圆锥、圆柱和大家快乐地生活在一起。
2 圆柱的表面积
通过对长方体和正方体表面积的学习,学生已经掌握了长方体和正方体的表面积的计算方法,初步理解了表面积的含义,这是圆柱的表面积的学习基础。圆柱的表面是由两个相同的底面和一个侧面构成的,计算圆柱的底面面积就是计算圆的面积,对于学生来说并不是陌生知识,所以教学的重点是探索圆柱侧面积的计算方法。教材突出了数学的“转化”思想,将圆柱的曲面转化为平面,“化曲为平”的过程中把握展开后的图形与圆柱有关量的关系,也就是圆柱侧面展开图的探索过程,以及侧面展开图的长、宽与圆柱有关量之间的关系。试一试中,两个问题都是运用圆柱表面积的计算方法来解决的实际问题,要关注对学生分析问题与解决问题能力的培养,主要是让学生学会根据实际情况分析计算的是哪些部分的面积,以及灵活应用计算方法解决问题。
1.通过操作等活动,理解圆柱的表面积的意义,知道圆柱的侧面展开后可以是一个长方形。
2.掌握圆柱的表面积的计算方法,能正确计算圆柱的表面积。
3.结合具体情景灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中一些简单的实际问题。
【重点】 会计算圆柱的侧面积和表面积。
【难点】 理解圆柱侧面积计算公式的推导过程,应用圆柱侧面积、表面积的计算方法解决实际问题。
第课时 圆柱的表面积的计算方法
1.理解什么是圆柱的表面积,知道怎样计算圆柱的表面积。
2.能够利用学具动手操作、动脑思考推理圆柱的侧面积和表面积的计算公式。
【重点】 会计算圆柱的侧面积和表面积。
【难点】 圆柱侧面积公式的推导。
【教师准备】 长方体模型、PPT课件。
【学生准备】 圆柱形纸盒、剪刀。
还记得圆的面积和周长的计算公式吗?
【参考答案】 圆的面积=πr2 圆的周长=2πr
方法一
创设情景,导入新课。
教师出示长方体模型并提问。
师:长方体的表面积指的是什么?
预设 生:六个面的面积之和。
师:如何计算长方体的表面积?
预设 生:把六个面的面积加在一起就是长方体的表面积。
(PPT课件出示)如图,要做一个圆柱形纸盒,如果接口不计,至少需要用多大面积的纸板?
师:“至少需要用多大面积的纸板?”能说一说你们是怎么想的吗?
预设 生1:就是求圆柱的表面积。
生 2:三个面的面积(圆柱的侧面和两个底面的面积)之和。
生 3:把三个面的面积加在一起,就是需要用的纸板的面积。
师:圆柱的表面积就是它的三个面的面积之和,要计算圆柱的表面积只需把三个面的面积加在一起,这节课我们就来研究圆柱的表面积。(板书课题:圆柱的表面积的计算方法)
[设计意图] 由长方体的表面积导入圆柱的表面积,知识的迁移很自然,学生容易理解圆柱的表面积。
方法二
创设情景,提出问题。
师:同学们把自己课前制作好的圆柱形纸盒展示一下吧!
学生展示自己的作品。
师:谁愿意说一说你是怎么做出来的?
预设 生:我是用两个一样的圆形和一个长方形做出来的。
师:同学们真了不起,用自己的双手和智慧做成了一个个圆柱体,(拿起一个圆柱体)做这样的一个圆柱体,至少需要多大的纸呢?怎么计算呢?
预设 生1:与圆柱的表面积相等。
生 2:圆柱的两个底面积加上一个侧面积。
师:怎样计算圆柱体的表面积呢?这节课我们就来研究这个问题。(板书课题:圆柱体的表面积的计算方法)
[设计意图] 利用学生做的圆柱体进行引入,可以使学生很容易地进入学习状态,对圆柱体的表面积有了一个初步的感知,这样对新课的学习起到了穿针引线的作用。
方法三
回顾旧知,导入新课。
师:上节课我们认识了圆柱的底面和侧面。请大家想一想,圆柱侧面(曲面)的展开图是什么图形?
预设 生1:圆柱侧面的展开图是长方形。
生 2:圆柱的侧面展开图是正方形。
生 3:圆柱的侧面展开图是平行四边形。
出示事先准备的罐头盒,沿着罐头盒的一条高剪开商标纸,再打开,展开贴在黑板上,让学生观察展开的图形。
师:这个展开后的长方形与圆柱有什么关系?
预设 生:这个长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高。
师:那么,圆柱的表面积应该怎样计算呢?接下来我们就要学习这个问题。(板书课题:圆柱的表面积的计算方法)
[设计意图] 通过回顾旧知引入新课,降低了学习难度,使学生在现有的认知基础上再次升华。
一、圆柱表面积的意义。
(教师出示PPT课件)
师:如图,这个圆柱的底面半径和高是多少厘米?
预设 生:底面半径是10厘米,高是30厘米。
师:要做这样一个圆柱体纸盒,如果接口不计,至少需要用多大面积的纸板?能说一说你们是怎样想的吗?
预设 生1:先求出两个圆形的面积。
生 2:再求出围成圆柱的曲面的面积。
师:这个曲面也就是圆柱的什么呢?
预设 生:圆柱的侧面积。
二、圆柱侧面积的计算方法。
1.圆柱侧面的展开图。
(1)探究圆柱侧面展开图的形状。
师:圆柱体表面积是由两个底面的面积、一个侧面(曲面)的面积组成的。你们能猜想出圆柱的侧面展开图是一个什么图形吗?
(学生猜想)
预设 生1:可能是长方形。
生 2:可能是正方形。
生 3:可能是平行四边形。
师:能想办法验证一下你们的猜想吗?
(学生利用课前准备的学具分组活动,教师巡视并参与学生活动。)
(2)展示圆柱侧面展开图。
预设 生1:圆柱的侧面展开后是长方形,我竖直把圆柱的侧面剪开得到一个长方形,如下图。
生 2:圆柱的侧面展开后是平行四边形,我斜着把圆柱的侧面剪开得到一个平行四边形,如下图。
生 3:圆柱的侧面展开后是长方形,因为我用一张长方形的纸卷成了一个圆柱,如下图。
生 4:圆柱的侧面展开后是长方形,因为我把圆柱滚动一周发现圆柱侧面走过的是一个长方形,如下图。
[设计意图] 通过学生动手操作,发现问题,总结规律,从而使学生知道圆柱体侧面展开图出现的可能情况,进一步知道探索的奥秘,激发学生的学习兴趣和求知欲望。
2.圆柱的侧面展开图(长方形)与圆柱的关系。
(1)观察、发现。
师:同学们做的真是太好了,那你们发现圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱有什么关系了吗?请同学们观察、讨论一下。
(学生观察、讨论,教师巡视并参与讨论)
(2)汇报质疑。
学生到展台上汇报展示,教师在黑板上画图演示。
预设 生1:我沿着圆柱的高剪开后发现:圆柱底面的周长相当于展开后的长方形的长,圆柱的高相当于展开后的长方形的宽。
生 2:我沿着斜线剪开发现:圆柱的底面周长相当于剪开后的平行四边形的底,圆柱的高相当于剪开后的平行四边形的高。
生 3:我发现把圆柱滚动一周得到的长方形的长正好是圆柱底面一周的长度,长方形的宽正好是圆柱的高。
[设计意图] 运用动手操作和演示的方法,突破和解决了“求圆柱表面积”中的难点问题。
三、圆柱的侧面积公式。
1.圆柱的侧面积计算公式的推导。
师:你能根据长方形或平行四边形的面积计算方法得出圆柱的侧面积的计算方法吗?请同学们再观察、讨论。
(学生观察、讨论,教师巡视并参与讨论)
学生汇报展示,教师板书演示。
预设 生1:因为沿着圆柱的高剪开后的长方形的面积等于长×宽,展开后的长方形的长又相当于圆柱的底面周长,展开后的长方形的宽相当于圆柱的高,所以推出圆柱的侧面积=底面周长×高。
生 2:因为沿着斜线剪开后的平行四边形的面积等于底×高,展开后的平行四边形的底又相当于圆柱的底面周长,展开后的平行四边形的高相当于圆柱的高,所以推出圆柱的侧面积=底面周长×高。
2.圆柱的侧面积计算公式。
师:如果我们用S侧表示圆柱的侧面积,用C表示圆柱的底面周长,h表示圆柱的高,那么圆柱的侧面积计算公式应该是什么?(学生回答,教师板书)
预设 生:S侧=Ch。
[设计意图] 通过学生自己动手操作,明白圆柱侧面积与剪开后的图形的关系的基础上,推导出侧面积计算公式以及算理,这样可以加深学生的理解程度,同时也降低了学生的学习难度。
四、计算圆柱的表面积。
1.计算圆柱的表面积。
师:要做一个圆柱形纸盒,如果接口处不计,至少需要用多大面积的纸板?(PPT课件出示图片)
师:现在同学们能计算这个圆柱的表面积了吗?你打算怎么做?
(学生独立思考,并计算,教师巡视指导,请学生汇报)
预设 生1:我们先计算出圆柱体的侧面积,再计算出两个底面积,最后把它们相加,就是圆柱体的表面积。
生 2:我们并不知道圆柱的侧面积和两个底面积,需要通过已知计算出圆柱体的侧面积和底面积。根据公式得:
S侧=Ch
=2×3.14×10×30
=1884(cm2)
S=πr2
=3.14×102
=314(cm2)
师:你们能够完成下面的图表吗?
(PPT课件出示图片)
(学生汇报,教师板书)
侧面积:2×3.14×10×30=1884(cm2)
底面积:3.14×102=314(cm2)
表面积:1884+314×2=2512(cm2)
2.总结圆柱的表面积计算公式。
师:你能总结圆柱的表面积的计算方法吗?
预设 生:圆柱的表面积=侧面积+底面积×2。
3.巩固练习。
师:你们能运用学到的知识计算下列圆柱的表面积吗?下面三个圆柱有什么不同?
预设 生1:第一个圆柱体的表面积是:3.14×42×2+3.14×2×4×6=251.2(cm2)。
生 2:第二个圆柱体的表面积是:3.14×(6÷2)2×2+3.14×6×10=244.92(dm2)。
生 3:第三个圆柱体的表面积是:3.14×(31.4÷3.14÷2)2×2+31.4×8=408.2(cm2)。
师:这三个圆柱有什么不同吗?
预设 生:三个圆柱分别给出了底面半径和高,底面直径和高,底面周长和高。
师:同学们说得非常好!在计算圆柱的表面积时,我们要先审好题,根据已知条件选择恰当的方法。
[设计意图] 在推导出圆柱的侧面积的计算方法的基础上,引导学生计算圆柱的表面积,从而总结出圆柱的表面积计算公式及算理。
1.填空。
(1)把圆柱的侧面沿高剪开,展开得到一个( ),这个图形的长等于这个圆柱的( ),宽等于这个圆柱的( )。
(2)一个圆柱的底面半径是5厘米,高是3厘米,它的侧面积是( )。
(3)圆柱的( )面积加上( )面积,就是圆柱的表面积。
2.判断题。
(1)当圆柱的高和底面直径相等时,圆柱的侧面展开图是一个正方形。 ( )
(2)一个圆柱的高不变,底面半径扩大到原来的3倍,它的侧面积就扩大到原来的3倍。 ( )
(3)把一个底面半径是4厘米的圆柱形木材锯成两小段一样的圆柱形木料,则表面积增加了50.24平方厘米。 ( )
【参考答案】 1.(1)长方形或正方形 底面周长 高 (2)94.2平方厘米 (3)两个底面 侧面 2.(1)? (2)√ (3)?
这节课你们学习了什么知识?有什么收获?
预设 生:这节课我们一起学习了圆柱的侧面积公式的推导过程,以及圆柱表面积的计算公式,并运用所学的计算公式解决实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第6页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)圆柱的表面积就是圆柱的( )面积与( )面积的和。
(2)计算制作圆柱形饮料罐要用多少铁皮是计算圆柱的( );计算罐体商标贴纸的面积是计算圆柱的( )。
2.(难点题)选一选。
(1)如果一个圆柱的( )和高相等,那么沿着圆柱的一条高把圆柱的侧面剪开,展开可以得到一个正方形。
A.底面直径 B.底面周长
C.底面半径 D.底面面积
(2)若圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的3倍,则它的侧面积就扩大到原来的( )。
A.3倍 B.6倍
C.9倍 D.12倍
3.(基础题)求下列圆柱的侧面积。
(1)底面周长是1.57 cm,高是0.8 cm。
(2)底面半径是2 cm,高是4.6 cm。
【提升培优】
4.(重点题)一个圆柱形物体的侧面积是62.8平方米,高是10米,求这个圆柱形物体的底面半径。
【思维创新】
5.(创新题)把一张边长是62.8厘米的正方形铁皮卷成一个圆柱形圆筒(不计接头),并为它制作底和盖,使它们正好盖住圆筒,做好的这个圆柱形圆筒的表面积是多少平方厘米?
【参考答案】
作业1:2.3.14×4×6+3.14×(4÷2)2×2=100.48(cm2) 3.14×(3×2)×10+3.14×32×2=244.92(dm2)
作业2:1.(1)侧 两个底面 (2)表面积 侧面积 2.(1)B (2)A 3.(1)1.57×0.8=1.256(cm2) (2)3.14×2×2×4.6=57.776(cm2) 4.62.8÷(2×3.14×10)=1(米) 5.62.8×62.8+3.14×(62.8÷3.14÷2)2×2=4571.84(平方厘米)
圆柱的表面积的计算方法
圆柱的表面积=两个底面的面积+侧面积
侧面积=圆柱的高×底面周长
S侧=Ch
在教学中大胆采用尝试教学法,利用学生已有经验进行自主探索学习。在教学方法之前给学生探索创造条件,探讨后,学生进行汇报。对于正确的方法给予肯定,而错误的方法给予纠正,并且为找寻正确的思路起到了穿针引线的作用。教学过程中,利用课件的演示出示计算过程,提高了学生的注意力,同时也分散了难点,让学生在充满情趣的氛围中学习,培养学生的动脑和知识迁移的能力。
课后练习,学生计算时由于数字不好算,会有为难思想,计算失误较多,还有的学生列式时容易丢三落四等。
在学生探究得到结果后,更要重视知识的灵活运用,要注意不能让学生重过程轻结果,更要重视培养和发展学生运用所学知识解决实际问题的能力。解决问题时,比较复杂的问题不要列综合算式,以免把本来会做的题弄错,提高正确率。
一瓶圆柱形鱼罐头的底面直径是8 cm,高是12 cm,在其整个侧面围了一张商标,这个商标的面积至少是多少?
[名师点拨] 求商标的面积就是求圆柱的侧面积,可根据S=πdh来计算。
[解答] 3.14×8×12=301.44(cm2)
答:这个商标的面积至少是301.44 cm2。
【知识拓展】 1.已知圆柱底面周长和高,求侧面积,利用公式:S侧=Ch。
2.已知圆柱底面直径和高,求侧面积,利用公式:S侧=πdh。
3.已知圆柱底面半径和高,求侧面积,利用公式:S侧=2πrh。
圆柱的截面
把圆柱沿底面直径分成两个同样的部分,每一个部分叫半圆柱。圆柱的轴截面是长方形(或正方形),横截面是与底面相同的圆。
水桶为什么要做成圆柱形的
星期天,有几位同学在小明家玩,小明要浇花,拿了一个水桶去提水,大家纷纷帮小明打水,不知谁说了一句,“为什么水桶要做成圆柱形的?”一石激起千层浪,大家七嘴八舌地说开了,各说各的理,谁也不让谁。
小红说:“水桶做成圆柱形的提起来方便。”
小亮说:“水桶做成圆柱形,盖封住,把它放倒可以滚动,装卸方便。”
小明的爷爷见到这个情况,马上说:“我给大家出几个题目,大家解决这几个问题后一定会明白的。”
小明爷爷的题目是:
(1)做一个长和宽都是3分米,高是4.78分米的长方体盒子(有盖)需要多少铁皮?容积是多少?
(2)做一个直径是4分米,高4分米的圆柱形盒子(有盖),需要多少铁皮?容积是多少?
说干就干,大家都拿出纸和笔,通过计算,发现长方体和圆柱体的表面积相等时,体积是圆柱的体积大。
通过计算得知:用同样大面积的铁皮做成容器,圆柱形的容积最大,由此大家都明白了水桶、油桶做成圆柱体原来是这个原因。小明的爷爷笑着说:“水桶做成圆柱体,好处多着呢!”
第课时 圆柱表面积计算的应用
能根据具体情景,灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中一些简单的问题,感受到数学与生活的密切联系。
【重点】 能解决具体情景中的圆柱表面积问题。
【难点】 灵活运用圆柱表面积公式解决具体问题。
【教师准备】 生活中一些常见的圆柱体PPT课件。
【学生准备】 圆柱形纸盒、剪刀。
说一说圆柱体表面积和侧面积的计算公式。
【参考答案】 圆柱体表面积=侧面积+2×底面积;侧面积=底面周长×高;底面积=πr2。
方法一
创设情景,引起兴趣。
教师出示PPT课件中的圆柱体茶叶桶并提问。
师:谁能说说圆柱是由哪几部分组成的?
预设 生:圆柱是由两个底面和一个侧面组成的。
师:如果茶叶桶没有盖,你们能求出它的表面积吗?
师:这节课我们就来学习圆柱表面积计算的应用。(板书课题:圆柱表面积计算的应用)
[设计意图] 利用PPT课件,可以激发学生的学习兴趣,同时利用茶叶桶的圆柱体模型引入新课,为新课的学习做了良好的铺垫。
方法二
温习旧知,导入新课。
(教师用PPT课件出示图片)
师:通过上节课的学习,同学们一定还记得圆柱体表面积计算公式的推导过程吧?想一想,圆柱的表面积是怎样推导的?
预设 生1:圆柱的侧面展开图的长等于圆柱底面周长。
生 2:宽等于圆柱的高。
生 3:圆柱的侧面积=底面周长×高。
生 4:圆柱的两个底面面积是πr2×2。
师:像刚才这样的圆柱体我们都能求出圆柱的表面积,那么,生活中的装有液体的圆柱表面积你们会求吗?今天我们就来学习圆柱表面积的实际应用。(板书课题:圆柱表面积计算的应用)
[设计意图] 通过温习刚学过的圆柱的表面积计算公式导入新课,使学生在利用公式进行实际应用解决问题时能够运用自如。
方法三
激发情趣,情景导入。
教师可以直接手拎着圆柱体水桶走入课堂(如图),开门见山提出问题,给学生来一个“措手不及”。
师:指着水桶问“你们知道这个水桶制作时用了多少铁皮吗?”。
(摇头,表示不知道)
师:我们已经掌握了圆柱的表面积计算公式,能求出一个圆柱体的表面积。那么,像这样的圆柱体,怎样求出它的表面积呢?
师:这节课我们就应用所学习过的圆柱体的表面积计算公式来解决实际问题。(板书课题:圆柱表面积计算的应用)
[设计意图] 利用前面学过的圆柱的表面积计算公式引入,既回顾了前面学习过的知识,又很好地为新课的学习做了良好的铺垫。
一、求无盖圆柱形铁皮水桶的表面积。
师:我们怎样才能求出一个圆柱形水桶的表面积呢?请同学们看大屏幕(教师PPT课件出示图片)
如图,做一个无盖的圆柱形铁皮水桶,底面直径为4 dm,高为5 dm,至少需要多大面积的铁皮?
师:要想求出这个圆柱形铁皮水桶至少需要多大面积的铁皮,要算哪几个面的面积呢?
预设 生:要算出圆柱一个底面和侧面的面积。
师:请同学们小组内完成解题过程,汇报结果。
(学生小组合作学习完成,教师巡视)
预设 生1:我是先求出这个圆柱的底面积,再求出这个圆柱的侧面积,算出这个圆柱形铁皮水桶的表面积是:3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=12.56+62.8=75.36(dm2).
生 2:我是根据圆柱的表面积计算公式:圆柱的表面积=底面积×2+侧面积,因为这个圆柱形铁皮水桶没有上盖,所以用一个底面面积+侧面积就可以了。用3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=12.56+62.8=75.36(dm2)。
教师板书:3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=12.56+62.8=75.36(dm2)。
师:根据上面的计算过程也就可以得出:圆柱形铁皮水桶的表面积等于什么?
预设 生:圆柱形铁皮水桶的表面积=一个底面面积+侧面积。
教师板书:圆柱形铁皮水桶的表面积=一个底面面积+侧面积。
[设计意图] 利用学过的圆柱的表面积公式,引导学生理解圆柱形铁皮水桶的表面积与圆柱形的表面积的区别是少了一个圆形底面的面积,从而引导学生在解决实际问题时,要灵活应用所学知识解决实际问题。
二、利用公式解决实际问题。
师:我们运用圆柱的表面积计算公式能计算出没有盖的铁皮水桶的表面积,那么我们还能解决哪些问题呢?
(教师用PPT课件出示教材图片)
如图,把一个圆柱形薯片盒的商标纸展开,是一个长18.84 cm,宽10 cm的长方形。这个薯片盒的侧面积是多少?表面积呢?
1.动手画一画。
师:这个薯片盒的侧面积怎样求?
预设 生:底面周长×高。
师:薯片盒的表面积怎样求?
预设 生:圆柱的底面积×2+侧面积。
师:那么,你们能画出这个图形的侧面和底面吗?请同学们动手画一画。
(学生画完后,教师指名学生到前边展示自己画的图形)
师:看来同学们都能根据题中的条件画出这个薯片盒的侧面和底面。(教师边说边用PPT课件出示图片)
2.求薯片盒的侧面积和表面积。
(1)求薯片盒的侧面积。
师:题中的长和宽指的是什么?
预设 生:题中所给的长相当于圆柱的底面周长,宽相当于圆柱的高。
师:底面周长和高都有了,你们能求出这个薯片盒的侧面积吗?
预设 生:能。
师:该怎么求呢?
预设 生:用长×宽就能求出侧面积。
师:请同学们独立计算出这个薯片盒的侧面积。
预设 生:这个薯片盒的侧面积是:18.84×10=188.4(cm2)。
教师板书:薯片盒的侧面积是:18.84×10=188.4(cm2)。
(2)求薯片盒的表面积。
师:薯片盒的表面积该怎么求呢?(学生独立解决,教师巡视)
小组商议后汇报。
预设 生:因为圆的周长=πd,所以用圆的周长除以π,再除以2就能求出半径r,即用18.84÷3.14÷2=3(cm)。
师:半径有了,我们自然就能求出圆柱的底面积了,下面请同学们在练习本上计算出薯片盒的表面积。
(学生做题,教师巡视,然后学生汇报结果)
预设 生:薯片盒的表面积是:3.14×32×2+18.84×10=244.92(cm2)。
教师板书:薯片盒的表面积是:3.14×32×2+18.84×10=244.92(cm2)。
[设计意图] 主要引导学生在解决实际问题中明确,要想求出所求的问题,必须要知道哪些已知条件,并且要知道各个条件之间的关系。
师:下面我们就来应用所学的圆柱表面积计算公式解决实际问题。
一、填空题
1.把一个底面积是15.7平方厘米的圆柱,切成两个同样大小的圆柱,表面积增加了( )平方厘米。
2.一个圆柱体,底面周长是94.2厘米,高是25厘米,它的侧面积是( )平方厘米。
3.一个圆柱体,底面半径是2厘米,高是6厘米,它的侧面积是( )平方厘米.
二、选择题
1.做一个无盖的圆柱体的水桶,需要的铁皮的面积是( )。
A.侧面积+一个底面积
B.侧面积+两个底面积
C.(侧面积+底面积)×2
2.已知圆柱的底面半径为r,高为h,求这个圆柱表面积的式子是( )。
A.2πrh B.2πr2+rh
C.πr2+2πrh D.2πr2+2πrh
三、应用题
1.一个圆柱形蓄水池,直径10米,深2米。这个蓄水池的占地面积是多少?在池的一周及池底抹上水泥,抹水泥的面积是多少?
2.做十节长2米,直径8厘米的圆柱形铁皮烟囱,需要铁皮多少平方米?
【参考答案】 一、1.31.4 2.2355 3.75.36 二、1.A 2.D 三、1.10÷2=5(米),3.14×52=78.5(平方米),3.14×10×2+3.14×52=141.3(平方米)。 2.8厘米=0.08米,3.14×0.08×2×10=5.024(平方米)。
[设计意图] 通过不同程度、有梯度的练习,使学生能更灵活地应用和掌握圆柱的表面积计算公式。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:这节课我们一起学习了利用圆柱的侧面积公式和圆柱表面积的计算公式解决实际问题。
生 2:在利用圆柱体表面积计算公式计算表面积时,要注意与实际生活相联系。例如:在求(无盖)水桶表面积时,只需计算一个底面积加上侧面积,而不是两个底面积加上侧面积。
生 3:我还知道了在计算圆柱体物体的商标时,圆柱体的侧面积就是商标的面积,不用计算两个底面面积。在我们的生活中,通风管也是这个道理。
[设计意图] 通过学生对本节课知识点进行总结,谈收获,再与生活实际相结合,感受圆柱体在实际生活中的应用,使学生体会了数学与生活的内在联系,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第6页“练一练”第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)一个圆柱体的侧面积是12.56平方厘米,底面半径是2厘米,它的高是( )厘米。
(2)把一张长8分米,宽5分米的白纸围成一个圆柱形纸筒,这个纸筒的侧面积是( )平方分米。
(3)把一张边长为5.5厘米的正方形白纸,围成一个圆柱形纸筒,这个纸筒的侧面积是( )平方厘米。
(4)一台压路机的前轮是圆柱形,轮宽1.3米,直径1.2米,前轮转动一周,压路的面积是( )平方米。
2.(易错题)判断。
(1)圆柱体的表面积=底面积×2+底面积×高。 ( )
(2)圆柱体的表面积一定比它的侧面积大。 ( )
(3)圆柱体的高越长,它的侧面积就越大。 ( )
【提升培优】
3.(重点题)一个圆柱的侧面积是25.12平方厘米,底面半径是2厘米,它的表面积是多少?
4.(难点题)压路机的滚筒是圆柱体,它的长是2米,滚筒横截面的半径是0.6米。如果每分转动5周,每分可以压多大面积的路面?
5.(难点题)大厅里有10根支撑圆柱体,圆柱底面直径1米,高8米。在这些圆柱的表面涂油漆,平均每平方米用油漆0.8千克,共需油漆多少千克?
【思维创新】
6.(创新题)把两个底面直径都是4分米、长都是3分米的圆柱形钢材焊接成一个大的圆柱形钢材,焊接成的圆柱形钢材的表面积比原来两个小圆柱形钢材的表面积之和减少了多少?
【参考答案】
作业1:3.3.14×20×50=3140(cm2) 4.3.14×1.6×2=10.048(m2) 5.25.12×1.2+3.14×(25.12÷3.14÷2)2=80.384(m2)
作业2:1.(1)1 (2)40 (3)30.25 (4)4.8984 2.(1)? (2)√ (3)? 3.25.12+3.14×22×2=50.24(平方厘米) 4.2×3.14×0.6×2×5=37.68(平方米) 5.3.14×1×8×10×0.8=200.96(千克) 6.3.14×(4÷2)2×2=25.12(平方分米)
圆柱表面积计算的应用
圆柱形铁皮水桶的表面积=一个底面积+侧面积
3.14×(4÷2)2+3.14×4×5
=12.56+62.8
=75.36(dm2)
薯片盒的侧面积是:18.84×10=188.4(cm2)。
薯片盒的表面积是:3.14×32×2+18.84×10=244.92(cm2)。
在复习引入环节,通过复习圆柱体表面积计算公式,为圆柱体表面积实际应用做好铺垫。在利用圆柱表面积计算公式解决问题环节中,首先让学生把知识与生活实际相结合,从生活实际出发,活学活用。例如:水桶是无盖的;薯片盒的商标面积是侧面积。在这一环节中,渗透了数学为生活服务的思想,同时也培养了学生的合作意识。在练习题的设计中,遵循了从易到难的原则,在形式、难度、灵活性上都有体现。判断题有利于学生对知识的理解;动手测量并计算圆柱体实物表面积的题目,锻炼了学生对知识的实际应用能力,使学生感受到数学与现实生活的联系。
学生在计算圆柱的侧面积和表面积时显得费时费力,部分学生对生活问题中的圆柱表面积(不是三个面的)理解上有欠缺。
注重学生对生活中事物的观察和理解,做到知识活学活用,更好地服务生活。例如通过PPT课件多展示一些实际情景不同于一般表面积计算的特殊圆柱体。
【练一练·6页】
2.3.14×4×6+3.14×(4÷2)2×2=100.48(cm2) 3.14×(3×2)×10+3.14×32×2=244.92(dm2)
3.3.14×20×50=3140(cm2) 4.3.14×1.6×2=10.048(m2) 5.25.12×1.2+3.14×(25.12÷3.14÷2)2=80.384(m2) 6.一个油桶的表面积为3.14×0.6×1+3.14×(0.6÷2)2×2=2.4492(m2),故刷一个油桶需要的防锈油漆为2.4492×0.2≈0.49(kg)。 8.以18.84 cm为高最少:3.14×(12.56÷3.14÷2)2=12.56(cm2)
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。如果高增加2厘米,那么表面积增加12.56平方厘米。原来这个圆柱的侧面积是多少平方厘米?
[名师点拨] 根据题意“圆柱体的高增加了2厘米,表面积增加了12.56平方厘米”可知,原来的圆柱体上、下底面积并没有变化,增加的表面积12.56平方厘米是圆柱体的侧面积增加了,所以根据增加的侧面积和高可以求出底面圆的周长。原来的圆柱体展开图是一个正方形,因此,原来的圆柱体的底面周长和高是相等的,所以,求出了底面圆的周长就知道了原来圆柱体的高,然后根据所求的两个量求出原来圆柱体的侧面积。
[解答] 12.56÷2=6.28(厘米) 6.28×6.28=39.4384(平方厘米)
【知识拓展】 1.圆柱体的侧面是一个曲面,圆柱体的侧面展开图是一个长方形、正方形或平行四边形(斜着切)。
2.圆柱的轴截面是长方形,横截面是与底面相同的圆。
为什么生活中很多东西是圆柱体
这与圆柱体的特点有关,它的上、下底面是圆形的,对称且受力均匀,作为支柱就很合理,不会上下受力不均。侧面展开就是矩形,矩形围起来变成桶,制作原理很简单,制作盛放东西的容器就很容易。圆是很完美的图形,所以圆柱体也有其美观性。
妙算圆柱体的表面积
计算圆柱的表面积,有没有比教材上更好的办法呢?
当然有。这里向同学们介绍另一种计算圆柱体表面积的方法。
我们都知道:圆柱的表面积=底面积×2+侧面积。
我们把两个底面分别剪成8个相等的扇形(剪成的扇形越多越精确),取其中一个扇形再平均分成两个小扇形,把这些扇形贴紧,拼成一个近似的长方形,与原来侧面展开的长方形拼成一个大长方形。
这个大长方形的面积就是圆柱体的表面积,它的长是圆柱体的底面周长,它的宽是圆柱的高与底面半径的和,这样就可以得到一种新的计算圆柱体表面积的公式,即:
圆柱体的表面积=圆柱体的底面周长×(高+底面半径)。
3 圆柱的体积
这部分内容是在学生已经初步理解了体积和容积的含义,掌握了长方体和正方体的体积计算方法的基础上学习的。长方体和正方体的体积计算方法“底面积×高”对探索圆柱的体积计算方法有迁移作用。本节课的重点是引导学生经历“猜想与验证”的探索过程,在探索中理解、掌握圆柱体积的计算方法,体会“类比”“把未知问题转化为已知”等思想方法,并积累研究图形的经验。教材采用了“提出问题——类比猜想——验证归纳——实际应用”的呈现方式。
教材先创设了两个简单情景,第一幅图指向圆柱形柱子的体积。第二幅图指向圆柱形杯子的容积。结合情景体会圆柱的体积或容积的实际意义,感受学习求圆柱体积计算方法的必要性,并提出“怎样计算圆柱的体积”的问题。
教材中还呈现了两种学生可能用的方法,启发学生从多个角度进行探索,两种方法分别是利用“直观感知”和“等积变形”,体会这样计算的合理性。
1.通过具体情景观察、实物感知等活动,感受物体体积的大小,发展空间观念。
2.通过圆柱与长方体的“类比”,经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程,体会“类比”的数学思想方法。
3.掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积,能运用圆柱体积计算方法解决简单的实际问题。
【重点】 掌握圆柱体积的计算公式,会求圆柱的体积。
【难点】 理解圆柱的体积公式的推导过程。
第课时 圆柱体积的计算方法
1.通过具体情景观察,实物感知等活动,感受物体体积的大小,发展空间观念。
2.通过圆柱与长方体的“类比”,经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程,体会“类比”的数学思想方法。
3.掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积。
【重点】 掌握圆柱体积的计算公式,会求圆柱的体积。
【难点】 理解圆柱的体积公式的推导过程。
【教师准备】 圆柱转化长方体学具、圆柱体水杯、圆柱体、多媒体课件。
【学生准备】 硬币。
1.用字母表示下面的公式。
S圆= ,V长方体= ,V正方体= 。?
2.求正方体和长方体的体积,可以用一个统一的计算公式来表示,这个计算公式是什么?
【参考答案】 1.πr2 abh a3 2.V=Sh
方法一
温故知新,导入新课。
师:同学们,老师知道你们都是“记忆小超人”,今天,老师来考考你们。我们在前面的学习中已经知道了世间的一切物体都是以“体”存在的,它们都有体积,你们想一想,什么叫作体积?常用的体积单位有哪些呢?
预设 生:物体所占空间的大小就叫作物体的体积。
师:表达得真准确,时间都过去这么久了,还记得这么牢固,你的记忆力真让老师佩服,那第二个问题谁来补充一下?
预设 生:常用的体积单位有:立方厘米、立方分米、立方米,我们还学习过容积单位:升和毫升。
师:真棒,你的记忆力也不错,不仅记得常用的体积单位,还知道容积单位。老师再考考你们,已知长方体的底面积S和高h,怎样计算长方体的体积?
教师板书:长方体的体积=底面积×高。
师:同学们,在“数学王国”中的“几何部落”里有很多成员,除了长方体和正方体以外,我们刚刚又认识了两位新朋友,它们是……(教师语速放慢,声音拉长)
预设 生:(学生抢答)圆柱和圆锥。
师:对,是圆柱和圆锥。它们和长方体、正方体一样都是立体图形,它们都有体积,你们会计算它们的体积吗?
预设 生:(学生摇头,表示不会)不会。
师:今天,我们就来学习圆柱体积的计算方法,学习之后你们就知道了,你们一定要努力、加油哦!(板书课题:圆柱体体积的计算方法)
[设计意图] 通过复习长方体和正方体,引出体积的概念,结合教师的语言叙述,使学生知道长方体、正方体、圆柱和圆锥都有体积,从而导入今天学习的内容,使学生初步感受圆柱体积与长方体体积的联系,再通过老师童话般的语言叙述,激发学生的学习兴趣,感受学习的快乐,使学生能更好地参与到学习中来。
方法二
课件导入,揭示课题。
师:前几节课我们已经认识了圆柱体,学会了计算圆柱的侧面积、底面积和表面积,今天这节课我们继续来研究圆柱的体积。同学们回忆一下,什么叫体积?
(指名回答)
预设 生:物体所占空间的大小叫作体积。
师:我们都学过计算哪些立体图形的体积呢?(指名学生回答,根据学生的回答,教师PPT课件出示图片)
预设 生1:长方体和正方体的体积我们会算。
生 2:长方体体积=长×宽×高。
生 3:正方体体积=棱长3。
生 4:长方体和正方体的体积有一个统一的公式是:长(正)方体的体积=底面积×高。
教师板书:长(正)方体的体积=底面积×高。
师:请同学们看大屏幕,看老师为你们准备了什么?
(PPT课件呈现长方体、正方体和圆柱的直观图)
师:老师为大家准备了长方体、正方体、圆柱,其中我们学过了长方体和正方体的体积计算方法。大家想不想知道圆柱体的体积计算方法?(想)今天我们一起来探索圆柱体积的计算方法。(板书课题:圆柱体体积的计算方法)
[设计意图] 利用课件进行引入,可以使学生很容易地进入学习状态,对圆柱体的体积有了一个初步的感知,初步感受长方体、正方体的体积与圆柱体积的联系,这样对新课的学习起到了穿针引线的作用。
方法三
直观演示,导入新课。
教师可以在上课前在讲桌摆上满满的一盆水,上课铃响后,教师拿着一个圆柱体走入教室,教师不经意或者是随便把圆柱体放入盆中,让学生
本单元教学内容属于图形与几何领域,本单元是小学阶段学习几何知识的最后一部分内容,主要包括圆柱与圆锥两个立体图形的相关知识。本单元主要通过四个活动,引导学生学习面的旋转(圆柱和圆锥的认识)、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积等内容,并参与实践活动。
学生已经直观认识了长方体、正方体、圆柱和球,并初步了解了长方形、正方形、圆等平面图形的性质,学习了这些图形的面积计算,学生还认识了长方体(正方体),掌握了长方体(正方体)表面积与体积的含义及其计算方法,以及在六年级上册学习了圆的认识、圆的周长、圆的面积的基础上进行学习的。
《圆柱与圆锥》不仅是学生掌握圆柱与圆锥相关知识的重要内容,也是学生积累探究图形的活动经验和发展空间观念的重要内容,还是渗透“类比”等数学思想方法的重要载体,“类比”主要体现在认识立体图形与认识平面图形有关知识与方法的类比,也体现在长方体的体积计算方法与圆柱体积的计算方法的类比。圆柱和圆锥是人们在生活和生产中经常遇到的几何形体,教学这一部分内容,有利于进一步发展学生的空间观念,为进一步学习和解决实际问题打下基础。本单元教学内容均采用直观入手的方法,通过让学生多观察、多动手、多实践来认识形体特征,并在掌握形体特征的基础上理解表面积的求法,通过变形和试验的方法得出圆柱和圆锥体积的计算方法,在掌握基本方法的基础上让学生运用知识解决问题,从而达到提高能力的目的。
1.通过动手操作、观察等活动,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥各部分的名称。经历由面旋转成圆柱和圆锥的活动,体会面与体之间的关系,在参与数学活动中积累活动经验,丰富对现实空间的认识,发展空间观念。
2.经历圆柱侧面展开等活动,认识圆柱展开图,探索并掌握圆柱表面积的计算方法,并能运用圆柱表面积的知识解决生活中一些简单的问题。
3.经历“类比猜想——验证”的活动,探索并掌握圆柱和圆锥体积的计算方法,体验某些实物体积的测量方法,体会圆柱、圆锥体积知识在生活中的实际应用,解决一些简单的实际问题。
在观察、操作、想象、推导等数学活动中积极思考,发展空间观念。通过动手实践、自主探究、合作交流等活动,体会“化曲为直”的思想。
能运用圆柱表面积的计算方法解决生活中一些简单的问题,运用圆柱和圆锥的体积计算方法,解决与圆柱(或圆锥)体积(容积)相关的实际问题。
经历运用“类比猜想——验证说明”的方式探究圆柱、圆锥体积计算方法的过程,体会类比、转化等思想,培养推理能力,进一步发展空间观念。
【重点】 圆柱的侧面积、表面积和体积,圆锥的体积及简单的实际应用。
【难点】 圆柱体体积公式的推导过程;圆柱体侧面积、表面积的计算;利用圆柱体、圆锥体等底等高条件下的关系解有关复杂的应用题。
本单元是从图形的认识、表面积、体积等认识立体图形的几个角度安排学习内容,具体通过面的旋转、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积四个教学活动展开,教学本单元时建议如下。
1.经历由面旋转成圆柱、圆锥的活动,沟通二维图形与三维图形之间的内在联系。
教材注重学生已有的知识基础和实践操作经验,安排了观察与操作的内容,通过操作与想象体会“点、线、面、体”之间的联系,引导学生整体把握知识,促进学生认知上的升华,并在活动中积累活动经验。在“面的旋转”的学习中,教材通过创设情景和操作活动两种方式,引导学生体会“点、线、面、体”之间的联系。教材先用多个生活中的具体情景激活学生的生活经验,如用“风筝”引导学生感受“点的运动形成线”;用“雨刷运动时的情况”引导学生感受“线的运动形成面”;用“转门”引导学生感受“面的运动形成体”。在此基础上,教材又设计了一个实践操作活动,通过快速旋转小旗,结合空间想象,引导学生体会圆柱、圆锥等几何体的形成过程,沟通“面”与“体”的联系,发展学生的空间概念。
2.重视引导学生开展操作活动,帮助学生积累数学活动经验。
积累活动经验是学生数学学习的重要目标,而实践操作是学生探索图形知识、积累活动经验的重要方法,也是发展学生空间观念的重要手段。在本单元中,教材重视学生实践操作活动的安排,在每个主题活动中都安排了实践操作活动,促进学生理解数学知识、发展空间观念。如在“圆柱的表面积”的教学中,引导学生通过实践操作来说明圆柱的侧面是一个怎样的图形,并呈现了两种通过实践操作的方法,一种是把圆柱形纸盒剪开,侧面展开后是一个长方形;一种是用一张长方形纸卷成圆柱。再如本单元的最后专门安排了一个用长方形纸卷圆柱的实践活动,教材中,先让学生用两张完全一样的长方形纸,一张横着卷成一个圆柱,一张竖着卷成一个圆柱,研究两个圆柱体积的大小。再组织学生将完全一样的纸对折剪开,把变化形状后的纸再卷成圆柱,研究圆柱体积的变化,逐步引导学生发现规律,如“当侧面积一定时,越是细长的圆柱体积越小,越是粗矮的圆柱体积越大”“圆柱侧面积不变时,底面半径越小,体积越小”等。这样通过用几张完全一样的长方形纸卷成不同的圆柱的操作活动,经历探索规律的过程,深化对圆柱体积的认识,并借助直观操作来体会这些变量之间的关系。
3.结合圆柱的体积等内容的学习过程,渗透“类比”等教学思想方法。
“类比”是一种重要的数学思想方法,也是合情推理时常用的数学思想方法。教材重视“类比”等数学思想方法的渗透,引导学生运用“类比”思想探索圆柱和圆锥体积的计算方法。“圆柱的体积”的教学,由于圆柱、长方体、正方体都是直柱体,所以体积的计算方法是一致的,因此是渗透“类比”思想方法的有效学习素材。教材在圆柱与圆锥的体积教学中,注意引导学生经历“猜想——验证”的探索过程,从而理解、掌握圆柱和圆锥体积的计算方法,感悟直柱体体积的一般计算方法。另外,教材还注意把未知的问题“转化”为已知问题等思想方法的渗透。
4.重视引导学生运用知识分析和解决圆柱与圆锥有关的简单实际问题。
圆柱和圆锥有关知识在生活中有广泛的应用,教材在编排练习时,选择了大量来自于现实生活的实际问题,引导学生灵活运用所学知识解决问题。如学习“圆柱的表面积”时,让学生计算薯片盒的包装纸的大小、通风管需要铁皮的面积、压路机压路的面积等,由于实际情形比较多,需要学生根据圆柱表面积的含义和实际情况灵活地选择有关数据进行计算。在学习“圆柱与圆锥的体积”后,让学生计算水桶的容积、圆木的体积、圆锥形小麦堆的体积、铅锤的体积等。通过这些实际问题的解决,巩固和拓展对教学知识的理解,体会数学知识在生活中的广泛应用,丰富对现实空间的认识,逐步形成学习数学的良好情感与态度。
1 面的旋转
《面的旋转》是第一单元中的第一节,本节的主要知识内容是“圆柱和圆锥的认识”,是在学生已经认识了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形和长方体、正方体等立体图形的基础上进行教学的。对于圆柱和圆锥,学生已经能够直观辨认,本节内容主要是帮助学生从三方面进一步加深认识:第一,从“静态”到“动态”,即由平面图形经过旋转形成几何体。这不仅是对几何体形成过程的学习,同时让学生体会面与体的关系,也是发展空间观念的重要途径,这就是教材将本课的题目定为“面的旋转”的原因。第二,从“整体辨认到局部刻画特征”,鼓励学生在以前研究长方体、正方体特征的基础上,研究圆柱和圆锥的特征。同时,认识圆锥和圆柱的侧面,使学生对面的认识从平面过渡到曲面,这是认知上的再一次发展。第三,从观察圆柱、圆锥实物到认识它们的“直观图”,教材注重学生已有的知识基础和实践操作经验,通过情景观察和操作活动两种方式引导学生体会“点、线、面、体”之间的联系。
1.通过动手操作、观察的活动,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征,知道圆柱和圆锥各部分的名称。
2.经历由面旋转成圆柱、圆锥的活动,体会面和体之间的关系,在参与数学活动中积累活动经验,丰富对现实空间的认识,提高空间想象力,发展空间观念。
【重点】 联系生活,在生活中辨认圆柱和圆锥体的物体,并能抽象出几何图形的形状来;通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点;掌握圆柱和圆锥体的各部分名称。
【难点】 通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点。
第课时 面的旋转
1.通过初步认识圆柱和圆锥使学生感受到数学与生活的密切联系。
2.通过观察和动手操作等,初步体会“点、线、面、体”之间的关系,发展空间观念。
3.通过由面旋转成体的过程,认识圆柱和圆锥,了解圆柱和圆锥的基本特征。
【重点】 联系生活,在生活中辨认圆柱和圆锥体的物体,并能抽象出几何图形的形状来;通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点。
【难点】 通过观察,初步了解圆柱和圆锥的组成及其特点。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 颜料、板刷、长方形、三角形、半圆形、直角梯形若干;易切、易剪的圆柱和圆锥模型。
认一认下面图形。
【参考答案】 正方形 三角形 四边形 半圆形 正方体 长方体
方法一
复习旧知,引入新课。
师:同学们,回忆一下我们原来学过的平面图形有哪些?
预设 生1:我们学习过的平面图形有三角形、平行四边形、梯形。
生 2:我们学习过的平面图形还有长方形、正方形。
师:谁还有不同的想法,给予补充一下?
预设 生:我们还认识了圆形、半圆形、多边形、不规则图形……
师:请大家再想一想,除了这些平面图形,我们还学过什么样的立体图形?它们是由什么围成的?
预设 生1:我们学习和认识了正方体,正方体有6个面,都是正方形。正方体是由6个正方形围成的。
生 2:还有长方体,长方体是由6个长方形(其中可能有2个正方形)围成的。
师:面可以围成长方体和正方体,还能围成圆柱和圆锥等几何体。这一单元,我们就来学习圆柱和圆锥。这节课我们先来探究一下面经过旋转后会怎么样。(板书课题:面的旋转)
[设计意图] 通过谈话,使学生通过对长方体、正方体相关知识的回顾,知道长方体和正方体都是由“面”围成的,初步感知面与体之间的关系。另一方面,通过教师语言的引导,使学生感知本单元的学习与面有关,但又有什么关系呢?学生不知,只清楚本单元的学习内容《圆柱与圆锥》也与面有关,从而激发学生的学习欲望,感知今天的学习任务。
方法二
观察发现,引入新知。
教师可以手拿一根绳系小球抡起来,让其旋转走入教室,让学生观察,然后提问。
师:同学们你们看到了什么?
预设 生1:老师我看到您手中的绳系小球在以绳长为半径旋转。
生 2:绳和小球旋转的轨迹在同一平面,而且形成了一个圆形。
生 3:老师,原本绳系小球是一条线,经过旋转,在视觉上就形成了圆形的平面,真有意思。
……
师:在我们的生活中,你们见过这样的类似的例子吗?你们举例说说看。
预设 生1:石英钟上的指针,旋转的轨迹就是一个圆形,因为旋转得慢,看上去不是很明显。
生 2:还有旋转的风扇,旋转的轨迹也是一个圆形。
生 3:摆动的小球,摆动的轨迹形成的是扇形。
……
师:今天我们利用旋转探究新的知识,下面我们一起走进新学期开学的第一节课《面的旋转》。(板书课题:面的旋转)
[设计意图] 通过具体的操作既激发了学生的学习兴趣,又唤起学生原有的认知,与新知有机联系,与此同时又为学习本节内容和发展学生空间观念服务。
方法三
课件演示,导入新知。
教师用PPT课件出示下面在同一平面内平面图形经过旋转得到的美丽图案。
师:同学们,大屏幕展示的美丽的图案是怎样得到的呢?
预设 生:老师,我知道,这些美丽的图案都是由某一个基本图形以某一点为中心进行旋转得到的。
师:说得真好!在同一个平面内图形的旋转可以得到美丽的图案,那么一个图形在空间中旋转又会得到什么呢?可能存在哪些奥秘呢?今天老师就带领大家走入数学的神秘殿堂,去探索“面的旋转”的奥秘。(板书课题:面的旋转)
[设计意图] 通过对平面图形旋转得到的美丽图案,不但调动了学生原有的认知,同时为下文的讲解做了铺垫,给新知的探索带上了一层神秘的面纱,增强了学生的学习兴趣。
一、初步感受“点、线、面”之间的联系。
师:通过刚才导入的谈话中,老师知道了,同学们对生活中的点、线、面的变化有一定的感受和体会,现在老师这儿有一幅图片,同学们来看一看。(出示PPT课件)
将自行车后轮架支起,在后轮车条上系上红绳。转动车轮,观察并思考红绳随着车轮转动后形成的图形是什么。
学生根据发现的现象(红绳随着车轮的转动形成了圆)说明自己的想法,并体验点、线、面的联系。
1.想一想。
师:同学们想一想,系在后轮车条上的红绳伴随车轮转动起来会怎样?后轮的车条伴随车轮转动起来又会怎样?
2.学生小组交流、讨论回答问题。
师:谁想把自己的想法与大家分享?(自由发言)
预设 生1:老师,我想后轮车条上的红绳转动起来应该是形成一条线,而且是一条曲线。
生 2:老师,我认为后轮车条上的红绳转动起来应该是一条曲线,而且曲线的首尾还会连在一起,形成一个圆形。
生 3:老师,我认为后轮的车条转动起来会形成一个面,而且是一个圆面。
生 4:老师,我转动过自行车的后轮,特别快,看上去后轮的车条好像消失了,没有了,这是为什么呢?
……
(针对“生4”的问题先不做回答)
3.课件演示,再次感受。
师:同学们,带着你们的想法和疑问,观察大屏幕,我们来看一看。(PPT课件演示)
师:同学们,通过观察我们发现,系在后轮车条上的红绳转动起来形成了一条曲线,曲线首尾相连形成“圆形”;车条转动起来形成了“圆面”。
师:同学们,针对“生4”的问题,你们有什么想法?帮帮他,谁愿意解答他的疑问呢?
预设 生:因为转动车轮的速度特别快,再加上我们的视觉问题,看上去就好像车条消失了。
师:你们同意他的回答吗?
预设 生:同意。
师:这位同学回答得真棒!老师也同意他的说法。
二、再次体会“点、线、面”的联系。
师:同学们,在我们的生活中“点、线、面”的运动现象非常常见,老师这里还有一组图片,观察一下,你们会有什么发现?
1.PPT课件出示下图。
师:观察下面各图,你们发现了什么?
学生观察,教师点拨:风筝每一节连在一起,看上去怎么样?雨刷器走过的轨迹又是怎样的?旋转门呢?
学生发现。
预设 生1:风筝的每一节连起来看形成了一条线;雨刷器扫过后形成一个半圆形。
教师板书:点动成线、线动成面。
生 2:旋转门旋转形成圆形的立体图形。(学生可能说不清楚,意思贴近即可)
2.学生体验:线动成面。
学生在教师指导下,用板刷沾上颜料横向刷动,感受线动成面。
如果学生没有条件,教师可利用教室中可利用的物品进行演示。例如:板擦或者玻璃刷。
3.学生体验:面动成体。
(PPT课件出示旋转门演示)
教师板书:面动成体。
[设计意图] 通过自行车车轮的转动,让学生初步感受点、线、面的联系。利用多媒体把静态的知识转化成动态的知识,使学生在动态中充分感悟点运动形成线,线运动形成面,面运动形成体,很好地发展了学生的空间观念。
三、实际操作,感受面动成体。
教师要制作好或让学生自己准备好长方形小旗、三角形小旗等操作材料(用小棒和硬纸板制作),教师引导活动,活动可以分组进行。
师:同学们,我们把事先准备好的长方形小旗拿出来,分小组进行操作、观察。
1.分组活动要求:
(1)四人一组(也可以两人一组),其中一人手搓小棒,其他同学进行观察。
(2)在操作的基础上进行交流,长方形小旗快速旋转后形成了什么?
2.小组操作。
(学生因旋转得慢,体现得不明显,教师可以让操作好的学生到前面进行演示,也可以用课件进行演示)
师:通过操作活动,同学们,你们发现了什么?
预设 生:老师,通过操作活动,快速旋转的长方形小旗形成了圆柱体。
师:各组的意见相同吗?
预设 生1:我们小组观察的结果也是旋转的小旗形成了圆柱。
生 2:我们小组观察的结果与他们的结果是相同的。
教师板书:圆柱。
师:同学们,我们再拿出课前准备的“三角形小旗”,想一想,“三角形小旗”旋转起来会形成什么形状?
学生猜想。
预设 生1:可能是个锥体。
生 2:可能是一个圆形的锥体(圆锥)。
……
学生操作,验证猜想。
师:按照刚才的小组分配,小组间操作“三角形小旗”活动,看一看你们的猜想对吗?
学生操作后教师利用课件进行演示。
(圆锥体)
师:通过刚才小组间和老师的演示,你们发现三角形小旗旋转后形成了什么形状?
预设 生:转动的“三角形小旗”形成了圆锥体。
师:你们同意他的说法吗?
预设 生:我们同意他的说法。
师:你们观察得真仔细,棒极了!
教师板书:圆锥。
3.总结。
能用自己的话总结一下“点、线、面、体”之间的联系吗?
教师板书:点——线——面——体。
预设 生:点运动形成线,线运动形成面,面运动形成体。圆柱形的压路机经过旋转可以得到一个长方形的面,长方形的面经过折叠可以得到一条线段,那如何做可以得到一个点呢?把一个长方形纸横向、纵向对折两次就会得到点。“点”是构成“线”的基本要素,“线”是构成“面”的基本要素,“面”是构成“体”的基本要素,这里“点”是最基本的要素。
[设计意图] 利用多媒体把静态的知识转化成动态的知识,使学生在动态中充分感悟点运动形成线,线运动形成面,面运动形成体,很好地发展了学生的空间观念。
4.想一想,连一连。
师:同学们,通过刚才的学习我们知道了“面动成体”,老师这儿有一组立体图形,也是由平面图形旋转而成的,你们能猜一猜是哪个图形经过旋转得到的吗?
(教师PPT课件出示图片,学生观察、猜想,然后连一连)
上面一排图形旋转后会得到下面的哪个立体图形?想一想,连一连。
师:你们想到了吗?每个平面图形经过旋转是下面的哪个立体图形?
预设 生1:老师,我知道长方形旋转得到圆柱。
生 2:半圆形旋转得到了球。
生 3:三角形旋转得到了圆锥。
生 4:直角梯形旋转得到了圆形的平台(圆台)。
师:我们的猜测正确吗?下面我们进行一下验证,拿出我们的学具进行操作验证。
(学生验证,教师巡视指导)
预设 生:我们的猜想是对的。
师小结:我们学过的长方体、正方体都是由平面围成的立体图形,今天我们学习的圆柱、圆锥和球也是立体图形,只是与长方体、正方体不同,围成的图形上可能有曲面。
师:老师首先恭喜你们,你们真是聪明!下面打开教材第2页,连一连吧!(学生完成练习)
[设计意图] 通过想一想、猜一猜、看一看、连一连等活动,引导学生通过观察再次体验“面动成体”。
四、圆柱和圆锥的特点。
师:(PPT课件展示长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体)在这些立体图形中,长方体、正方体我们已经研究过它们的特征,还学过表面积和体积。那么,这节课我们学习的另外两种常见的立体图形圆柱和圆锥又有什么特征呢?下面我们利用“看、滚、剪、切”的方法来探究圆柱和圆锥的特征。
教师板书:圆柱和圆锥的特点。
1.取出课前准备好的圆柱和圆锥模型。
(1)“看”。
师:同学们,把我们课前事先准备好的学具(圆柱体和圆锥体)摆放在桌子上面,小组内的同学互相看一看,摸一摸,它们有什么特征?
学生小组内讨论,然后全班交流。
师:谁想把你的发现或意见说给大家听听?(小组代表发言)
预设 生1:老师,我们小组通过观察两个立体图形,知道了圆柱体有两个底面,都是圆形,还有一个曲面,摸上去每个面都很光滑。圆锥体有一个圆形的底面,一个曲面,手摸上去也很光滑。
生 2:老师,我同意上面同学的说法。而且,圆柱体放在桌面上,从下到上是一样粗细。而圆锥体上下不是一样粗细,越往上面越细,最后形成尖尖的,像是一个锥子,我想圆锥的名称就跟这个形状有关系吧!
师:真聪明,圆锥的上面是尖尖的,像一个锥子,所以把它叫作圆锥。有补充说明的吗?
预设 生:老师,我们小组认为圆柱体有3个面,有上、下两个面,而且都是圆形,大小也相同,还有一个曲面,从侧面平视,圆柱体近似于长方形;圆锥体有2个面,有一个圆形的底面,还有一个光滑的曲面,从侧面平视,圆锥体近似于三角形。
……
师:同学们观察得真仔细,发现了这么多的知识,老师真为你们骄傲。现在请同学们观看大屏幕,老师做了一组图片来帮助同学们理解圆柱和圆锥的特征。
教师用PPT课件进行演示。(边演示边板书)
教师板书:圆柱:上、下两个底面,一个侧面。圆锥:一个底面,一个侧面。
(2)“滚”。
师:同学们,下面按照老师的要求,把圆柱和圆锥两个立体图形放倒在桌面上,滚动一下,你又有什么新的发现呢?
学生动手操作。
师:谁来说一说你有什么新的发现?
预设 生1:老师,我发现圆柱体滚动的轨迹是直的,圆锥体滚动的轨迹是曲线的。
生 2:老师,我把圆柱体和圆锥体都分别涂上了颜料,然后在桌面上进行滚动,发现圆柱体滚动的轨迹是一个长方形,圆锥体滚动的轨迹是一个扇形。
师:你可真是一个对知识认真的好孩子,老师真为你高兴。还有别的同学想补充说明的吗?
预设 生:老师,我也发现圆柱体滚动的是直线,但是,在我滚动圆锥体的时候,用力过猛,圆锥体掉到地上了。
(课堂一片大笑)
师:那你知道为什么你的圆锥体会掉在地上吗?
预设 生:可能是我用力过猛的缘故吧!
师:这是圆锥体掉在地上的一个原因,还有更主要的原因,同学们,你们知道吗?
预设 生:老师我知道,因为圆锥体滚动的轨迹不是直的,是曲线的,再加上用力过猛,所以圆锥体才会掉在地上。
师:真好,我们给他鼓鼓掌吧!(鼓掌)
师小结:圆柱体滚动的轨迹是直的,圆锥体滚动的轨迹是曲线的。
教师板书:圆柱滚动的轨迹是直线,圆锥滚动的轨迹是曲线。
(3)“剪”。
师:同学们,我们通过观察和滚动圆柱和圆锥体,已经了解了一些圆柱和圆锥的特征,下面我们把圆柱和圆锥剪开,观察它们的展开图,看看又有什么发现。
师:由于我们同学带的圆柱和圆锥体有的是实物,不能够剪开,再者,同学们利用剪刀剪开圆柱或圆锥体有一定的危险,所以老师做了一组展开的动画图片,请同学们观看大屏幕。(教师利用PPT课件进行演示)
①垂直剪开圆柱。
②斜着剪开圆柱。
③剪开圆锥。
师:同学们,你们通过课件的演示,发现圆柱和圆锥的展开图是怎样的?
预设 生1:老师,通过观察我发现,圆柱体剪开后,圆柱体上下面都是圆形,侧面可能是长方形,也可能是平行四边形。
生 2:圆锥剪开后,底面是一个圆形,侧面是一个扇形。
师:同学们说的真好,圆柱体上、下面都是圆形,侧面沿着垂直线剪开就是长方形,沿着斜线剪开就是平行四边形;圆锥体剪开后,底面是个圆形,侧面是个扇形。
教师板书:圆柱侧面剪开是长方形或者是平行四边形;圆锥侧面剪开是个扇形。
(4)“切”。
师:(教师能进行实物演示最好,也可以进行PPT课件播放)同学们,下面我们用刀把圆柱和圆锥体切开,看一看它们的截面又有什么发现。
(教师进行操作,或者PPT课件进行演示,学生观察,学生不易动手操作,避免危险)
①圆柱体的横截面。
师:我们先把圆柱体横着切开,它的横截面是什么形状?
预设 生:圆柱体的横截面是一个圆形。
教师板书:圆柱体的横截面是圆形。
师:同学们还想怎样切开圆柱体呢?
预设 生1:竖着切开圆柱体。
生 2:斜着切开圆柱体。
师:下面我们就按照上面两种切法切开圆柱体,看看他们的截面又是什么样的形状。
竖着切开圆柱体:
斜着切开圆柱体:
②圆锥体的截面。
竖着切开圆锥体:
预设 生1:通过观察,圆柱体的截面可能是长方形、圆形、椭圆形。
生 2:圆锥体竖着切开后,截面是三角形。
教师板书:圆柱的截面是长方形或圆形或椭圆形;圆锥的截面是三角形。
2.圆柱和圆锥的相同点。
师:同学们,我们刚刚学习了圆柱和圆锥的特征,它们有什么相同点呢?
预设 生:老师,圆柱和圆锥的相同点是它们的下底面都是圆形,侧面都是曲面。
教师板书:底面都是圆形,侧面都是曲面。
[设计意图] 在教学圆柱和圆锥的特征之前,我就先让学生在课前制作圆柱和圆锥,所以对于圆柱和圆锥的特征,学生已有一些基本的认识。但是没有更深的研究,所以,我通过“看、滚、剪、切”来了解它们的特征,有助于学生更好地理解和掌握圆柱和圆锥的特征。
1.完成教材第3页“练一练”第1题。
本题主要是让学生进一步体会“面旋转形成体”,发展学生的空间观念。教师可以让学生先“想一想、连一连”,再做一做,最后让学生闭眼回想旋转的过程。
2.完成教材第3页“练一练”第2题。
主要是结合生活中的物体和想象进一步认识圆柱和圆锥。教师要引导学生注意观察,强化学生的图形表象。
【参考答案】 1.如下图。
2.略。
师:这节课你们学到了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了“点动成线、线动成面、面动成体”。
生 2:我知道了长方形旋转形成圆柱体,三角形旋转形成圆锥体。
生 3:通过观察,圆柱有两个底面,一个侧面;圆锥有一个底面,一个侧面。圆柱体滚动的轨迹是直线,圆锥体滚动的轨迹是曲线。圆柱侧面剪开是长方形或者是平行四边形;圆锥侧面剪开是个扇形。圆柱体的截面可能是长方形、圆形、椭圆形。圆锥竖着切开后,截面是三角形。
生 4:我知道了圆柱和圆锥有相同点,它们的下底面都是圆形,侧面都是曲面。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面增强学生的语言表达能力,另一方面对今天所学知识进行回顾,加强学生的有效记忆。
作业1
1.教材第3页“练一练”第6题。
2.教材第13页“练习一”第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)点的运动形成( ),线的运动形成( ),面的旋转形成( )。
(2)圆锥有( )个底面,是( )形的,圆锥的侧面是一个( )面。
2.(基础题)下列图形中是圆柱的在括号内画“√”,不是圆柱的画“?”。
3.(重点题)选一选。
(1)下面物体的形状是圆柱的是( )。
A.粉笔盒 B.足球 C.日光灯灯管
(2)把3个底面周长相等的圆柱形钢材焊接成一个大圆柱形钢材之后,减少了( )个底面。
A.2 B.4 C.6
【提升培优】
4.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)圆柱和圆锥都有两个底面、一个侧面。 ( )
(2)以一个直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周,就可以得到一个圆锥。 ( )
【思维创新】
5.(探究题)连一连,下面各图形绕轴旋转一周后得到的是哪个图形?
【参考答案】
作业1:6.如下图。
1.如下图。
作业2:1.(1)线 面 体 (2)1 圆 曲 2.? ? √ ? 3.(1)C (2)B 4.(1)? (2)√ 5.①—d ②—e ③—f ④—b ⑤—c ⑥—a
面的旋转
点动成线、线动成面、面动成体
圆柱 圆锥
圆柱:有上、下两个底面,一个侧面;轨迹是直线;侧面剪开是长方形或者是平行四边形;截面是长方 形、圆形或椭圆形圆锥:有一个底面,一个侧面;轨迹是曲线;侧面剪开是个扇形;截面是三角形
圆柱和圆锥的相同点:底面都是圆形,侧面都是曲面。
《面的旋转》是北师大版六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》的第一课时,这节课的重点是认识圆柱和圆锥的特征,结合具体的情景让学生通过观察,以及动手操作,引导学生体会“点动成线、线动成面、面动成体”的过程,整体把握“点、线、面、体”之间的联系,发展学生的空间观念。
为了便于学生理解,课堂上呈现了几个生活中的具体情景,让学生进行观察,激活学生的生活经验,感受到“点、线、面、体”之间的联系。首先设计了一个利用自行车车轮转动体会“点的运动形成线”的活动,即在自行车后轮车条上系上红绳,观察红绳随车轮转动的情况,发现红绳转动后形成了圆。然后又呈现了三幅情景图,让学生结合这些生活现象体会“点、线、面、体”之间的联系,第一幅图是“很多小的风筝在天空中连成一条线”,引导学生进一步感受“点的运动形成线”;第二幅图是“雨刷运动时的情况”,引导学生感受“线的运动形成面”,在这一环节我设计了教师利用教室中可以利用的物品(黑板擦、玻璃擦)等,让学生感受线动成面;第三幅图是“转门”,引导学生感受“面的旋转形成体”。在结合具体情景感受的基础上,又设计了一个操作活动,通过快速旋转小旗,引导学生结合空间想象体会立体图形的形成过程,发展学生的空间观念。
教学圆柱和圆锥的特征时,准备了必要的操作材料,引导全体学生通过“看、滚、剪、切”的方法,理解它们的特征。在观察、操作、想象的基础上进行交流,发展学生的空间观念。同时还把点、线、面的运动过程制作成多媒体课件,在想象的基础上,让学生进一步观察。另外,对于教材中通过旋转形成的几何体中出现的球和圆台,让学生在“面旋转成体”的过程中增加体验,鼓励学生通过观察、操作和想象认识这两种几何体。课堂上注意把握好教学要求,球只要求学生认识,不要求掌握特征;圆台可以不说出名称,只要学生能连线,知道是由哪个平面图形旋转形成的就可以了。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:在处理第一个问题时,学生都知道红绳随车轮转动后形成了圆。在接下来观察第一幅图时,学生可能受这个影响,就将每一个小风筝看作了圆,认为当风筝离我们越来越远的时候就变成了一条线。显然学生的这种认识是存在一些问题的。课堂上我做了一些处理,尽管在我的引导下学生说出了“点”,也明确了点和线之间的关系,但总觉得不是很顺利。
再设计时,让学生多例举一些生活中“点动成线”的实例,帮助学生理解。要注意问题的提出要有侧重,有针对性,要起到减缓难点的作用。
一种圆柱形的保温杯,底面直径是6厘米,高是15厘米,将8个这样的保温杯装在一个长方体盒子中(为了防止挤压,盒子中的保温杯只能摆一层),则这个长方体盒子的容积最小是多少立方厘米?
[名师点拨] 要保证盒子的容积最小,盒子的长、宽、高都要尽可能小,即保温杯的高就是盒子的高。盒子的长和宽有两种情况,如果长是8个圆柱形保温杯底面直径的总长度,那么宽就是1个圆柱形保温杯底面直径的长度;如果长是4个圆柱形保温杯底面直径的总长度,那么宽就是2个圆柱形保温杯底面直径的总长度。
[解答] (6×8)×6×15
=48×6×15
=4320(立方厘米)
(6×4)×(6×2)×15
=24×12×15
=4320(立方厘米)
答:这个长方体盒子的容积最小是4320立方厘米。
【知识拓展】 圆柱体有直圆柱体和斜圆柱体两种。
圆 锥
圆锥是一种几何图形,有两种定义。解析几何定义:圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转360度所围成的几何体叫作圆锥。旋转轴叫作圆锥的轴。垂直于轴的边旋转而成的面叫作圆锥的底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作圆锥的侧面。无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫作圆锥的母线。(边是指直角三角形的两个旋转边)
第课时 圆柱和圆锥的各部分名称
1.认识圆柱和圆锥的直观图及各部分的名称,知道圆柱和圆锥的高、底面和侧面。
2.通过动手操作、观察的活动,学生能够正确测量圆柱体和圆锥体的高,体会测量方法,深化对高的认识。
【重点】 掌握圆柱和圆锥体的各部分名称。
【难点】 利用测量工具,测量圆柱和圆锥的高及掌握测量方法。
【教师准备】 PPT课件,圆柱和圆锥模型。
【学生准备】 测量工具(直尺、三角板等),圆柱和圆锥模型。
1.圆柱体和圆锥体是由什么图形旋转得到的?
2.(PPT课件出示)你能说出下面的立体图形的高是多少吗?
【参考答案】 1.圆柱体是由长方形以一边为旋转轴旋转得到的;圆锥体是由直角三角形以其中一条直角边为轴进行旋转得到的。 2.长方体的高是5 cm,正方体的高也是5 cm。
[设计意图] 通过复习旧知,为学习新知做铺垫,使学生很快进入有目的的探究状态。
方法一
实际操作,导入新知。
师:同学们,在我们的数学王国中的几何部落,有很多的成员,我们已经认识了部分成员,它们今天也到我们课堂做客了,你们看……(老师拿出长方体和正方体)。
师:它们是谁?
预设 生:长方体和正方体。
师:你们能用测量工具测量出长方体的长、宽、高和正方体的棱长是多少吗?
预设 生:老师我们能够测量出长方体的长、宽、高和正方体的棱长。
师:那么谁愿意到展台前实际操作一下。
(老师指名,让学生到展台前进行测量,测量时让学生看到测量同学的方法和步骤,测量后向全体学生汇报测量结果,然后全体同学对错误方法进行纠正)
师:在我们的生活中一切物体都是以体的形式存在,是体就占有空间,他们就有一定的高度,同学们再看看我手中昨天我们刚认识的这两个新的朋友:圆柱、圆锥,你们能用测量工具测量出它们的高度是多少吗?
师:谁愿意试试看?
(教师鼓励学生积极参与对于圆柱体的高的测量,学生没有什么难度,但圆锥体的高的测量对学生就有难度了,在测量圆锥体的高时,学生会有分歧,此时老师话题一转引入新知)
师:老师已经看出来了,同学们的意见有分歧,不统一,我们该如何来测量呢?今天老师就和同学们一起来探索一下新的正确的方法,好吗?(板书课题:圆柱和圆锥的各部分名称)
[设计意图] 通过谈话和具体操作,引导学生积极参与,使学生通过对长方体、正方体测量方法的回顾,引出圆锥体高的测量难题,通过教师语言的引导,使学生感知本节课的学习与测量有关,但又有什么关系呢?学生不知,给新知的探索带上了一层神秘的面纱,增强了学生的学习兴趣,从而激发学生的学习欲望。
方法二
创设情景,引入新知。
课件出示:圆柱、圆锥、正方体、长方体的实物图片(易拉罐、小脆筒、粉笔盒、圆木、沙堆、牙膏盒)。
师:同学们知道这些物品的名称吗?
预设 生:老师我知道这些物品的名称,(从左往右、从上往下)第一行的第一个物品是易拉罐,第二个物品是小脆筒,第三个物品是粉笔盒,第二行的第一个物品是小圆木,第二个是沙堆,最后一个是牙膏盒。
师:你可真棒,一下子说出来了这么多物品,那你们知道它们各是什么形状吗?
(指名学生分别说,也可以学生自由说)
预设 生1:老师我知道,易拉罐和小圆木近似于圆柱体。
生 2:小脆筒和沙堆近似于圆锥体。
生 3:粉笔盒近似于正方体,牙膏盒近似于长方体。
师:这些立体图形中,有我们上节课新认识的两个新朋友(立体图形),你们知道是哪两个立体图形吗?
预设 生:是圆柱和圆锥。
师:同学们很聪明,你们知道圆柱和圆锥各有几部分组成吗?
预设 生1:圆柱体由三部分组成,有两个圆形的底面和一个侧面。
生 2:圆锥体是由两部分组成,有一个圆形的底面和一个侧面。
师:那你们知道这些圆形、长方形和扇形在圆锥和圆柱体中,都叫作什么名字吗?把圆柱和圆锥体放在桌面上,它们有一定的高度,这个高度又该怎样测量呢?这节课就让我们一起进一步认识圆柱、圆锥的各部分名称,以及它们高的测量方法。(板书课题:圆柱和圆锥的各部分名称)
[设计意图] 兴趣是学习成功的动力,通过实物和生活中联系紧密的图形,引起学生的学习兴趣,让学生感知生活中到处都有圆柱和圆锥。
一、认识圆柱和圆锥的各部分名称。
师:同学们,在上节课我们认识了两个新的立体图形——圆柱和圆锥,掌握了它们的特征,那同学们还记得圆柱和圆锥是由哪几部分组成的吗?
老师取出圆柱和圆锥模型摆在展台上,指名到展台前指着实物体说出它们的组成。
师:同学们,谁愿意到展台前来向大家汇报一下你的知识掌握情况?
预设 生1:老师,我来说一说圆柱体的组成,圆柱体由三个部分组成,分别是两个圆形的面和一个长方形围成的曲面。
生 2:老师,我知道圆锥是由两部分组成,一部分是下面的圆形,另一部分是由扇形围成的曲面。
师:同学们,你们同意他们的回答吗?(同意)
1.认识圆柱体各部分名称。
(1)认识圆柱体的底面。
师:组成圆柱体的各部分,它们又叫作什么名称呢?
(学生如果能够独立回答,尽量学生完成,如果不能回答,教师可以引导学生通过看书的方法解决)
师:(引导学生打开教材,阅读教材上的内容)谁愿意告诉大家,你读懂了什么?
预设 生:组成圆柱体的两个圆面分别叫作圆柱的上、下底面,总称圆柱体的“底面”。长方形围成的曲面叫作圆柱体的侧面。
教师板书:
师:在平面内表现一个立体图形,画出的直观图会与实物产生一些视觉差异。请同学们观看大屏幕,老师做好了一个圆柱的直观图(PPT课件出示)。
师:谁愿意到展台前,通过圆柱体的直观图,指出圆柱体各部分的名称?
(学生到展台前进行叙述,其他同学聆听)
[设计意图] 圆柱体的各部分名称是属于概念性知识,不需要学生死记硬背来掌握,通过观察、感受、分析来理解和掌握圆柱的各部分名称。
(2)认识圆柱体的高。
师:同学们,老师一提到“圆柱”是什么平面图形运动得到的,你们的头脑中会出现什么画面?
预设 生:圆柱是长方形旋转得到的。
师:一个长方形绕着它的一边旋转一周,形成一个圆柱,这个长方形的其他三边旋转一周分别形成这个圆柱的哪个面?你们知道吗?
①学生猜想。(小组讨论,全班交流)
预设 生:老师,我们小组间进行了讨论和交流,一致认为与旋转轴垂直的两条边旋转后,分别形成了圆柱体的两个底面(上底面和下底面),与旋转轴平行的一条边形成了圆柱体的侧面。
师:大家的想法和老师的是一致的,这种猜想正确吗?下面我们就来验证我们的猜想吧。
②验证猜想。
师:请同学们观看大屏幕,通过老师利用PPT课件进行演示后,你们就清楚了。
(教师播放PPT课件进行演示,学生观察,并作出判断)
演示:用A,B,C,D四个字母来表示长方形。
师:同学们,看了长方形旋转后形成圆柱体的演示过程,你们的猜想正确吗?
预设 生:正确。
师:通过观察我们知道了,长方形ABCD中,AB边旋转后得到了圆柱体的上底面,CD边旋转后得到了圆柱体的下底面,AD边旋转后得到了圆柱体的侧面。
师:那么BC边又叫作圆柱体的什么呢?
③明确圆柱体的高。
师:同学们,观察长方形BC边的位置,你们有什么发现?把心里的想法说出来。
预设 生1:老师我知道长方形的BC边与旋转轴是同一条线。
生 2:老师我发现,线段BC的两个端点与圆柱体上、下两个底面的圆心重合。
生 3:老师我还发现,线段BC垂直于圆柱体的上、下两个底面。
……
师:像BC这样的线段,我们把它叫作圆柱体的高。通过刚才的观察和分析,谁能用自己的语言说一说什么叫作圆柱体的高?
预设 生1:垂直于圆柱体上、下底面的线段叫作圆柱体的高。
生 2:圆柱体两个底面之间的距离叫作圆柱体的高。
生 3:连接圆柱体两个底面圆心的线段叫作圆柱体的高。
……
师:同学们说得真好,你们具有了一定的概括能力,老师真为你们高兴!在我们学习的圆柱体范畴内,通常把圆柱体两个底面圆心间的距离定义为圆柱体的高,也就是连接圆柱体两个底面圆心的线段叫作圆柱体的高。
教师板书:圆柱的高。
师:同学们,我们知道了圆柱体的高,那么圆柱体有多少条高呢?
预设 生:有无数条高。
师:你们心里是怎么想的?为什么圆柱体的高有无数条?
预设 生1:圆柱体两个底面之间有无数条和两底面圆心连线相等的垂直线段,都是圆柱体的高。
生 2:上、下底面可以看成无数个点的集合,上、下底面上的点都是一一对应的,它们的连线都和圆心的连线相等,并且都垂直于圆柱的底面,所以都可以看成圆柱体的高。
……
教师板书:圆柱体的高有无数条。
[设计意图] 通过教师的引导,学生观察、分析,获得结论。通过回想圆柱体形成的过程,不仅起到了温故知新的作用,更使学生再次感受“面动成体”,很容易地完成了圆柱体高的教学任务,利用多媒体更生动、更直接地揭示了这一点。
2.认识圆锥体各部分名称。
师:圆柱的各部分名称我们已经知道了,那么圆锥的各部分名称又是怎样的呢?你们通过教材,来完成这次的学习吧。
(学生看书,汇报)
师:请看大屏幕(学生汇报后,PPT课件出示圆锥的各部分名称)
教师板书:侧面、底面。
师:我们知道了圆柱的高是两个底面圆心的连线,圆柱有无数条高,那么圆锥的高又是哪到哪的连线呢?又有几条呢?下面请同学们拿出我们的实物(圆锥)观察、分析,小组间可以讨论、交流。
(学生交流,讨论)
师:你们心里是怎样想的?怎样解决这个问题呢?
小组汇报:
预设 生1:我们组认为从顶点到底面圆心之间的距离叫作圆锥的高,圆锥体有无数条高。
生 2:我们认为圆锥只有一条高。
……
师:圆锥究竟有几条高呢?是一条还是无数条?
(学生议论纷纷,大多数同学认为圆锥有无数条高)
师:请大家在圆锥上找一找,哪里是圆锥的高?
(请学生演示)
预设 生1:(用手摸圆锥的侧面)这里是高。
生 2:我觉得那里不是高,圆锥的高不太好指出来。我认为圆锥体是直角三角形沿着一条直角边旋转得到的,那么这条直角边就是圆锥体的高。是在圆锥体中间的,所以是不好指出来的。
生 3:我同意生2的看法,(举起学具,手指顶点和底面圆心)我认为这之间的距离才是高。
师:(老师针对生3的回答提问)高是什么?
预设 生:顶点到圆心之间的距离。
师:为什么圆锥的高只有一条呢?
预设 生:因为圆锥的高是指圆锥的顶点到底面圆心之间的距离,圆锥的顶点只有一个,底面圆心也只有一个,所以圆锥只有一条高。
(学生纷纷表示赞同)
师:圆锥的高能看得见、摸得着吗?
预设 生:(生否定)看不见。
师:怎样才能看见圆锥体的高呢?
预设 生:可以把它切开。
(教师演示切圆锥形萝卜的模型,指一生上台画出高。老师在直观图上画出圆锥的高,并板书)
教师板书:高,圆锥的高只有一条。
[设计意图] 通过教师的引导,让学生感觉到圆锥的高是看不到、摸不到的,含在圆锥体中间,从而引出圆锥体的高是顶点到圆心的连线,通过实物体切开,让学生进行操作,指出圆锥体的高,这样更直观,更能激发学生的学习兴趣,锻炼了动手操作能力,打破了学生的思维局限,抛开外表看内在。
二、圆柱和圆锥高的测量。
师:同学们,通过我们的学习,知道了圆柱有无数条高,圆锥有一条高。既然它们的高有实际意义,应该怎样测量呢?
1.测量圆柱体的高。
师:圆柱体有无数条高,我们怎样来测量呢?你们准备怎样进行实际操作来完成这次的活动任务?
预设 生1:通过学习我们知道,圆柱体有无数条高,只要是垂直于两个底面的线段都是圆柱体的高,测量哪一条都可以知道圆柱体的高是多少。
生 2:因为圆柱体是直柱体,在圆柱体的侧面上找到垂直于两底面的线段就是圆柱体的高,我们可以用直尺直接进行测量。
师:(老师拿出课前准备好的一定高度(10厘米)的圆柱体)老师这有一些圆柱体,下面分发给每个小组,在小组内进行测量,然后把圆柱体高的数据汇报给老师。
(学生操作,教师巡视)
师:完成测量任务的小组汇报一下,你们测量的数据是多少?
预设 生1:老师我们测量的圆柱体的高是9.9厘米。
生 2:我们小组测量的圆柱体的高是980毫米。
生 3:我们小组测量的结果是10.1厘米。
师:老师发给你们的圆柱体都是一样的高度,都是10厘米,为什么每个小组测量的高度都不一样呢?问题出在哪儿呢?
(小组讨论,也可以全班交流,然后汇报交流的结果)
预设 生1:可能我们测量时测量工具并没有与底面垂直,可能是倾斜的,所以测量的数据就不够准确。
生 2:可能在我们读数的时候,数值是估出来的。
师:同学们,在我们测量圆柱体的高的同时,由于我们测量的方法,测量工具的摆放,观察的角度等不同,会导致测量的结果与真实的数据有一定的差距,在数学领域中,我们把这种不可避免的差异叫作误差。误差虽然是不可避免的,但是可以减小,我们认真操作,正确观察,就可以减小误差。
2.测量圆锥体的高。
师:同学们,通过刚才的学习你们知道了圆锥体的高,谁能说一说圆锥体的高是怎样定义的?
预设 生:圆锥的顶点到底面圆心的距离叫作圆锥体的高。
师:如果要测量圆锥的高,每次都把圆锥切开,是非常不方便的。该怎样测量呢?请大家小组合作,量一量你的圆锥学具。
(小组合作测量,教师巡视指导并质疑)
师:刚才同学们通过合作测量了圆锥的高,谁来说一下,你是怎么测量的?
预设 生1:把圆锥靠在墙边,用体育课测量身高的方法量。
生 2:还可以在两端竖起两把尺,沿顶点横着放一把直尺,让两端竖着的尺的刻度相等,这就是圆锥的高。
师:你能到前面演示一下吗?
(生2上台演示)
师:你能读出刻度吗?
预设 生:1.8厘米。
师:怎么和我的结果不一样呢?我认为是2厘米。
预设 生:观察后恍然大悟,直尺上0刻度前还有一段距离,必须加上。
师:还有其他的方法吗?
预设 生1:还可以将圆锥移到桌边,将尺子移到桌子外边,使0刻度线和圆锥底面对齐。
生 2:我觉得这样放尺子很容易倾斜,圆锥的高是垂直于底面的,尺子倾斜,量的就不是高了。
师:那你能想个好办法吗?
预设 生:我觉得可以用厚书或字典来测量高。把字典竖放在圆锥的旁边,再用一本字典或厚书放在圆锥上面组成直角,在竖放的字典上标注上记号,再从字典上量得圆锥的高。
师:为什么?
预设 生1:我们用尺量时,尺会东倒西歪的,很难保证与桌面垂直,而用字典就可以很容易与桌面垂直。
生2:作记号时,一定要记在横放的字典下沿与另一字典交汇处。
师:这种方法可以吗?(学生赞同)请大家用这种方法测量自己的圆锥的高。
(学生活动)
师:我们在测量时,有时用尺是不太方便的,我们利用字典或厚书等材料帮助测量,是很可取的。我们的测量只要方便、好操作、能测准就行,不一定总想到尺。
[设计意图] 测量圆柱体和圆锥体的高,通过学生动手操作,发现问题,并解决问题。渗透了误差的概念,使学生了解误差是不可避免的。在测量圆锥体的高的过程中,让学生大胆想象,说出心里的想法,一方面,给学生想象的空间,知道解决问题的方法的多样性;另一方面,把不可测量转化成可以测量,体会数学的转化思想。
1.完成教材第3页“练一练”第3题。
本题主要是提高学生识图的能力,让学生独立填一填,第二个和第四个图形不要求学生写出图形的名称。
2.完成教材第3页“练一练”第4题。
本题主要是测量圆柱和圆锥的高,可以组织学生独立测量,并交流过程中的体会。
【参考答案】 略
师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了圆柱体有两个底面,一个是上底面,一个是下底面,还有一个侧面。
生 2:我知道了圆柱体的高是连接两个底面中心的线段。圆锥体的高是顶点到底面中心的距离。圆柱体的高有无数条,圆锥体的高只有一条。
生 3:通过学习和操作,我知道了圆柱体高的测量方法,我还知道了由于测量工具和观察的角度等诸多因素都会影响测量的结果,会产生误差,我们要做到用正确的方法尽量减少测量的误差。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面是知识的回顾,另一方面是对学生语言表达能力的培养,更好地为掌握本节知识服务。
作业1
教材第3页“练一练”第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)圆柱的两个底面都是( ),它们的面积( )。
(2)圆柱的侧面是一个( )面,把它沿着高展开可能是一个( )形或( )形。它的一条边等于圆柱的( ),另一条边等于圆柱的( )。
(3)圆锥的底面是( ),侧面是( )形。
【提升培优】
2.(难点题)你能指出下面圆柱和圆锥的高是多少,底面周长、直径是多少吗?
【思维创新】
3.(探究题)下面测量高的方法对吗?在对的下面画“√”。
【参考答案】
作业1:5.长至少为39 cm,宽至少为26 cm,高至少为11 cm.
作业2:1.(1)圆形 相等 (2)曲 长方 正方 高 底面周长 (3)圆形 扇 2.高:20 cm;底面周长:25.12 cm;直径:8 cm。 高:6 cm;底面周长:12.56 cm;直径:4 cm。 3.(√)( )
圆柱和圆锥的各部分名称
《圆柱和圆锥的各部分名称》是北师大版六年级下册第一单元《圆柱与圆锥》的第二课时,这节课的重点是认识圆柱和圆锥的底面、侧面和高,掌握圆柱和圆锥高的测量方法。
为了便于学生理解,课堂上采用了让学生先进行猜想——验证猜想——得出结论的方法来进行教学。
圆锥的认识和圆柱的认识在研究内容上有其相似之处。认识圆柱后我及时地引导学生进行回顾:“是从哪些方面对圆柱的特征进行研究的?”通过交流,学生明白了对于圆柱是从面、直观图、高等几个方面进行研究的,然后引导学生从这些方面来研究圆锥。通过交流,学生对学习的方法进行了有效的迁移,学习的积极性得到有效的激发,兴趣盎然地投入到观察、研究之中。对于圆锥,不同的同学有了不同的认识。然后,通过适时地交流和组织阅读教材,学生对于圆锥有了较好的认识。
有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同,学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。事实上,依据数学课程标准创造性地使用教材,合理挖掘教材的潜在资源,结合学生的年龄特点,贴近学生的生活实际对教材内容进行再加工、再创造,借助教材的潜在资源,延伸教学内容,让教材中的公式、例题等书面内容经过拓展、深化,转化为学生易于接受的信息,可以激发学生探究新知的兴趣,张扬学生的个性。
教学中应多给学生一些时间,通过自己动手剪开图形,感受图形的面的存在,尤其是圆锥,为后续的求圆柱和圆锥的体积打下良好的基础。
再设计时,让学生多一些动手实践操作的机会,帮助学生理解,并引导学生通过自己的实践活动得出结论,这样加深学生对新知识的理解和渗透。
【练一练·3页】
1. 5.长至少为39 cm,宽至少为26 cm,高至少为11 cm。 6.
下面图①测量圆锥的高的方法正确吗?如果不正确,请改正过来。
①
②
[名师点拨] 测量圆锥的高需要把圆锥的底面和平板水平放置,读数时要读平板下沿的数值。图①的测量方法中,圆锥的底面没有水平放置,量的不是圆锥的高,所以不正确。
[解答] 图①不正确,正确的测量方法如图②所示。
【知识拓展】 圆柱体和正方体、长方体都是直柱体。
圆柱和圆锥
有一天,数学王国来了一对奇妙的圆锥和圆柱兄弟。大家都不认识他们,于是数学国王叫他们兄弟向大家介绍自己。
圆柱先说了:“大家好!我是圆柱,是圆锥的兄弟。但我不是他,我全身一样粗,有无数条高,有两个大小相等的两个圆面叫我的底面,我还有一个曲面叫侧面,虽然我的身材不好看,但我可能占空间了,别看我和我的兄弟圆锥一样高,一样的底面,但我的体积是他的三倍呢!”大家听完后都对圆柱有了全面的认识。
接下来圆锥又开始介绍了:“认识了我哥哥圆柱,想了解我就好办了,我只有一个底面是圆面,一个曲面叫我的侧面,我还有一个顶点,但我只有一条高。我虽不及哥哥所占空间,但是我和哥哥体积和高相等时,我的底面积是他的三倍;当我和哥哥体积和底面积相等时,我的高也是他的三倍。怎么样?不错吧!我虽说脑袋尖尖,不怎么漂亮,但也有很多优点呦!”
听了圆柱、圆锥两兄弟的自述,数学王国的公民们都对两个新成员有了全面的认识,从此以后,圆锥、圆柱和大家快乐地生活在一起。
2 圆柱的表面积
通过对长方体和正方体表面积的学习,学生已经掌握了长方体和正方体的表面积的计算方法,初步理解了表面积的含义,这是圆柱的表面积的学习基础。圆柱的表面是由两个相同的底面和一个侧面构成的,计算圆柱的底面面积就是计算圆的面积,对于学生来说并不是陌生知识,所以教学的重点是探索圆柱侧面积的计算方法。教材突出了数学的“转化”思想,将圆柱的曲面转化为平面,“化曲为平”的过程中把握展开后的图形与圆柱有关量的关系,也就是圆柱侧面展开图的探索过程,以及侧面展开图的长、宽与圆柱有关量之间的关系。试一试中,两个问题都是运用圆柱表面积的计算方法来解决的实际问题,要关注对学生分析问题与解决问题能力的培养,主要是让学生学会根据实际情况分析计算的是哪些部分的面积,以及灵活应用计算方法解决问题。
1.通过操作等活动,理解圆柱的表面积的意义,知道圆柱的侧面展开后可以是一个长方形。
2.掌握圆柱的表面积的计算方法,能正确计算圆柱的表面积。
3.结合具体情景灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中一些简单的实际问题。
【重点】 会计算圆柱的侧面积和表面积。
【难点】 理解圆柱侧面积计算公式的推导过程,应用圆柱侧面积、表面积的计算方法解决实际问题。
第课时 圆柱的表面积的计算方法
1.理解什么是圆柱的表面积,知道怎样计算圆柱的表面积。
2.能够利用学具动手操作、动脑思考推理圆柱的侧面积和表面积的计算公式。
【重点】 会计算圆柱的侧面积和表面积。
【难点】 圆柱侧面积公式的推导。
【教师准备】 长方体模型、PPT课件。
【学生准备】 圆柱形纸盒、剪刀。
还记得圆的面积和周长的计算公式吗?
【参考答案】 圆的面积=πr2 圆的周长=2πr
方法一
创设情景,导入新课。
教师出示长方体模型并提问。
师:长方体的表面积指的是什么?
预设 生:六个面的面积之和。
师:如何计算长方体的表面积?
预设 生:把六个面的面积加在一起就是长方体的表面积。
(PPT课件出示)如图,要做一个圆柱形纸盒,如果接口不计,至少需要用多大面积的纸板?
师:“至少需要用多大面积的纸板?”能说一说你们是怎么想的吗?
预设 生1:就是求圆柱的表面积。
生 2:三个面的面积(圆柱的侧面和两个底面的面积)之和。
生 3:把三个面的面积加在一起,就是需要用的纸板的面积。
师:圆柱的表面积就是它的三个面的面积之和,要计算圆柱的表面积只需把三个面的面积加在一起,这节课我们就来研究圆柱的表面积。(板书课题:圆柱的表面积的计算方法)
[设计意图] 由长方体的表面积导入圆柱的表面积,知识的迁移很自然,学生容易理解圆柱的表面积。
方法二
创设情景,提出问题。
师:同学们把自己课前制作好的圆柱形纸盒展示一下吧!
学生展示自己的作品。
师:谁愿意说一说你是怎么做出来的?
预设 生:我是用两个一样的圆形和一个长方形做出来的。
师:同学们真了不起,用自己的双手和智慧做成了一个个圆柱体,(拿起一个圆柱体)做这样的一个圆柱体,至少需要多大的纸呢?怎么计算呢?
预设 生1:与圆柱的表面积相等。
生 2:圆柱的两个底面积加上一个侧面积。
师:怎样计算圆柱体的表面积呢?这节课我们就来研究这个问题。(板书课题:圆柱体的表面积的计算方法)
[设计意图] 利用学生做的圆柱体进行引入,可以使学生很容易地进入学习状态,对圆柱体的表面积有了一个初步的感知,这样对新课的学习起到了穿针引线的作用。
方法三
回顾旧知,导入新课。
师:上节课我们认识了圆柱的底面和侧面。请大家想一想,圆柱侧面(曲面)的展开图是什么图形?
预设 生1:圆柱侧面的展开图是长方形。
生 2:圆柱的侧面展开图是正方形。
生 3:圆柱的侧面展开图是平行四边形。
出示事先准备的罐头盒,沿着罐头盒的一条高剪开商标纸,再打开,展开贴在黑板上,让学生观察展开的图形。
师:这个展开后的长方形与圆柱有什么关系?
预设 生:这个长方形的长等于圆柱的底面周长,长方形的宽等于圆柱的高。
师:那么,圆柱的表面积应该怎样计算呢?接下来我们就要学习这个问题。(板书课题:圆柱的表面积的计算方法)
[设计意图] 通过回顾旧知引入新课,降低了学习难度,使学生在现有的认知基础上再次升华。
一、圆柱表面积的意义。
(教师出示PPT课件)
师:如图,这个圆柱的底面半径和高是多少厘米?
预设 生:底面半径是10厘米,高是30厘米。
师:要做这样一个圆柱体纸盒,如果接口不计,至少需要用多大面积的纸板?能说一说你们是怎样想的吗?
预设 生1:先求出两个圆形的面积。
生 2:再求出围成圆柱的曲面的面积。
师:这个曲面也就是圆柱的什么呢?
预设 生:圆柱的侧面积。
二、圆柱侧面积的计算方法。
1.圆柱侧面的展开图。
(1)探究圆柱侧面展开图的形状。
师:圆柱体表面积是由两个底面的面积、一个侧面(曲面)的面积组成的。你们能猜想出圆柱的侧面展开图是一个什么图形吗?
(学生猜想)
预设 生1:可能是长方形。
生 2:可能是正方形。
生 3:可能是平行四边形。
师:能想办法验证一下你们的猜想吗?
(学生利用课前准备的学具分组活动,教师巡视并参与学生活动。)
(2)展示圆柱侧面展开图。
预设 生1:圆柱的侧面展开后是长方形,我竖直把圆柱的侧面剪开得到一个长方形,如下图。
生 2:圆柱的侧面展开后是平行四边形,我斜着把圆柱的侧面剪开得到一个平行四边形,如下图。
生 3:圆柱的侧面展开后是长方形,因为我用一张长方形的纸卷成了一个圆柱,如下图。
生 4:圆柱的侧面展开后是长方形,因为我把圆柱滚动一周发现圆柱侧面走过的是一个长方形,如下图。
[设计意图] 通过学生动手操作,发现问题,总结规律,从而使学生知道圆柱体侧面展开图出现的可能情况,进一步知道探索的奥秘,激发学生的学习兴趣和求知欲望。
2.圆柱的侧面展开图(长方形)与圆柱的关系。
(1)观察、发现。
师:同学们做的真是太好了,那你们发现圆柱侧面展开图的长和宽与圆柱有什么关系了吗?请同学们观察、讨论一下。
(学生观察、讨论,教师巡视并参与讨论)
(2)汇报质疑。
学生到展台上汇报展示,教师在黑板上画图演示。
预设 生1:我沿着圆柱的高剪开后发现:圆柱底面的周长相当于展开后的长方形的长,圆柱的高相当于展开后的长方形的宽。
生 2:我沿着斜线剪开发现:圆柱的底面周长相当于剪开后的平行四边形的底,圆柱的高相当于剪开后的平行四边形的高。
生 3:我发现把圆柱滚动一周得到的长方形的长正好是圆柱底面一周的长度,长方形的宽正好是圆柱的高。
[设计意图] 运用动手操作和演示的方法,突破和解决了“求圆柱表面积”中的难点问题。
三、圆柱的侧面积公式。
1.圆柱的侧面积计算公式的推导。
师:你能根据长方形或平行四边形的面积计算方法得出圆柱的侧面积的计算方法吗?请同学们再观察、讨论。
(学生观察、讨论,教师巡视并参与讨论)
学生汇报展示,教师板书演示。
预设 生1:因为沿着圆柱的高剪开后的长方形的面积等于长×宽,展开后的长方形的长又相当于圆柱的底面周长,展开后的长方形的宽相当于圆柱的高,所以推出圆柱的侧面积=底面周长×高。
生 2:因为沿着斜线剪开后的平行四边形的面积等于底×高,展开后的平行四边形的底又相当于圆柱的底面周长,展开后的平行四边形的高相当于圆柱的高,所以推出圆柱的侧面积=底面周长×高。
2.圆柱的侧面积计算公式。
师:如果我们用S侧表示圆柱的侧面积,用C表示圆柱的底面周长,h表示圆柱的高,那么圆柱的侧面积计算公式应该是什么?(学生回答,教师板书)
预设 生:S侧=Ch。
[设计意图] 通过学生自己动手操作,明白圆柱侧面积与剪开后的图形的关系的基础上,推导出侧面积计算公式以及算理,这样可以加深学生的理解程度,同时也降低了学生的学习难度。
四、计算圆柱的表面积。
1.计算圆柱的表面积。
师:要做一个圆柱形纸盒,如果接口处不计,至少需要用多大面积的纸板?(PPT课件出示图片)
师:现在同学们能计算这个圆柱的表面积了吗?你打算怎么做?
(学生独立思考,并计算,教师巡视指导,请学生汇报)
预设 生1:我们先计算出圆柱体的侧面积,再计算出两个底面积,最后把它们相加,就是圆柱体的表面积。
生 2:我们并不知道圆柱的侧面积和两个底面积,需要通过已知计算出圆柱体的侧面积和底面积。根据公式得:
S侧=Ch
=2×3.14×10×30
=1884(cm2)
S=πr2
=3.14×102
=314(cm2)
师:你们能够完成下面的图表吗?
(PPT课件出示图片)
(学生汇报,教师板书)
侧面积:2×3.14×10×30=1884(cm2)
底面积:3.14×102=314(cm2)
表面积:1884+314×2=2512(cm2)
2.总结圆柱的表面积计算公式。
师:你能总结圆柱的表面积的计算方法吗?
预设 生:圆柱的表面积=侧面积+底面积×2。
3.巩固练习。
师:你们能运用学到的知识计算下列圆柱的表面积吗?下面三个圆柱有什么不同?
预设 生1:第一个圆柱体的表面积是:3.14×42×2+3.14×2×4×6=251.2(cm2)。
生 2:第二个圆柱体的表面积是:3.14×(6÷2)2×2+3.14×6×10=244.92(dm2)。
生 3:第三个圆柱体的表面积是:3.14×(31.4÷3.14÷2)2×2+31.4×8=408.2(cm2)。
师:这三个圆柱有什么不同吗?
预设 生:三个圆柱分别给出了底面半径和高,底面直径和高,底面周长和高。
师:同学们说得非常好!在计算圆柱的表面积时,我们要先审好题,根据已知条件选择恰当的方法。
[设计意图] 在推导出圆柱的侧面积的计算方法的基础上,引导学生计算圆柱的表面积,从而总结出圆柱的表面积计算公式及算理。
1.填空。
(1)把圆柱的侧面沿高剪开,展开得到一个( ),这个图形的长等于这个圆柱的( ),宽等于这个圆柱的( )。
(2)一个圆柱的底面半径是5厘米,高是3厘米,它的侧面积是( )。
(3)圆柱的( )面积加上( )面积,就是圆柱的表面积。
2.判断题。
(1)当圆柱的高和底面直径相等时,圆柱的侧面展开图是一个正方形。 ( )
(2)一个圆柱的高不变,底面半径扩大到原来的3倍,它的侧面积就扩大到原来的3倍。 ( )
(3)把一个底面半径是4厘米的圆柱形木材锯成两小段一样的圆柱形木料,则表面积增加了50.24平方厘米。 ( )
【参考答案】 1.(1)长方形或正方形 底面周长 高 (2)94.2平方厘米 (3)两个底面 侧面 2.(1)? (2)√ (3)?
这节课你们学习了什么知识?有什么收获?
预设 生:这节课我们一起学习了圆柱的侧面积公式的推导过程,以及圆柱表面积的计算公式,并运用所学的计算公式解决实际问题。
[设计意图] 师生共同进行总结,谈收获,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第6页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)圆柱的表面积就是圆柱的( )面积与( )面积的和。
(2)计算制作圆柱形饮料罐要用多少铁皮是计算圆柱的( );计算罐体商标贴纸的面积是计算圆柱的( )。
2.(难点题)选一选。
(1)如果一个圆柱的( )和高相等,那么沿着圆柱的一条高把圆柱的侧面剪开,展开可以得到一个正方形。
A.底面直径 B.底面周长
C.底面半径 D.底面面积
(2)若圆柱的高不变,底面直径扩大到原来的3倍,则它的侧面积就扩大到原来的( )。
A.3倍 B.6倍
C.9倍 D.12倍
3.(基础题)求下列圆柱的侧面积。
(1)底面周长是1.57 cm,高是0.8 cm。
(2)底面半径是2 cm,高是4.6 cm。
【提升培优】
4.(重点题)一个圆柱形物体的侧面积是62.8平方米,高是10米,求这个圆柱形物体的底面半径。
【思维创新】
5.(创新题)把一张边长是62.8厘米的正方形铁皮卷成一个圆柱形圆筒(不计接头),并为它制作底和盖,使它们正好盖住圆筒,做好的这个圆柱形圆筒的表面积是多少平方厘米?
【参考答案】
作业1:2.3.14×4×6+3.14×(4÷2)2×2=100.48(cm2) 3.14×(3×2)×10+3.14×32×2=244.92(dm2)
作业2:1.(1)侧 两个底面 (2)表面积 侧面积 2.(1)B (2)A 3.(1)1.57×0.8=1.256(cm2) (2)3.14×2×2×4.6=57.776(cm2) 4.62.8÷(2×3.14×10)=1(米) 5.62.8×62.8+3.14×(62.8÷3.14÷2)2×2=4571.84(平方厘米)
圆柱的表面积的计算方法
圆柱的表面积=两个底面的面积+侧面积
侧面积=圆柱的高×底面周长
S侧=Ch
在教学中大胆采用尝试教学法,利用学生已有经验进行自主探索学习。在教学方法之前给学生探索创造条件,探讨后,学生进行汇报。对于正确的方法给予肯定,而错误的方法给予纠正,并且为找寻正确的思路起到了穿针引线的作用。教学过程中,利用课件的演示出示计算过程,提高了学生的注意力,同时也分散了难点,让学生在充满情趣的氛围中学习,培养学生的动脑和知识迁移的能力。
课后练习,学生计算时由于数字不好算,会有为难思想,计算失误较多,还有的学生列式时容易丢三落四等。
在学生探究得到结果后,更要重视知识的灵活运用,要注意不能让学生重过程轻结果,更要重视培养和发展学生运用所学知识解决实际问题的能力。解决问题时,比较复杂的问题不要列综合算式,以免把本来会做的题弄错,提高正确率。
一瓶圆柱形鱼罐头的底面直径是8 cm,高是12 cm,在其整个侧面围了一张商标,这个商标的面积至少是多少?
[名师点拨] 求商标的面积就是求圆柱的侧面积,可根据S=πdh来计算。
[解答] 3.14×8×12=301.44(cm2)
答:这个商标的面积至少是301.44 cm2。
【知识拓展】 1.已知圆柱底面周长和高,求侧面积,利用公式:S侧=Ch。
2.已知圆柱底面直径和高,求侧面积,利用公式:S侧=πdh。
3.已知圆柱底面半径和高,求侧面积,利用公式:S侧=2πrh。
圆柱的截面
把圆柱沿底面直径分成两个同样的部分,每一个部分叫半圆柱。圆柱的轴截面是长方形(或正方形),横截面是与底面相同的圆。
水桶为什么要做成圆柱形的
星期天,有几位同学在小明家玩,小明要浇花,拿了一个水桶去提水,大家纷纷帮小明打水,不知谁说了一句,“为什么水桶要做成圆柱形的?”一石激起千层浪,大家七嘴八舌地说开了,各说各的理,谁也不让谁。
小红说:“水桶做成圆柱形的提起来方便。”
小亮说:“水桶做成圆柱形,盖封住,把它放倒可以滚动,装卸方便。”
小明的爷爷见到这个情况,马上说:“我给大家出几个题目,大家解决这几个问题后一定会明白的。”
小明爷爷的题目是:
(1)做一个长和宽都是3分米,高是4.78分米的长方体盒子(有盖)需要多少铁皮?容积是多少?
(2)做一个直径是4分米,高4分米的圆柱形盒子(有盖),需要多少铁皮?容积是多少?
说干就干,大家都拿出纸和笔,通过计算,发现长方体和圆柱体的表面积相等时,体积是圆柱的体积大。
通过计算得知:用同样大面积的铁皮做成容器,圆柱形的容积最大,由此大家都明白了水桶、油桶做成圆柱体原来是这个原因。小明的爷爷笑着说:“水桶做成圆柱体,好处多着呢!”
第课时 圆柱表面积计算的应用
能根据具体情景,灵活运用圆柱表面积的计算方法解决生活中一些简单的问题,感受到数学与生活的密切联系。
【重点】 能解决具体情景中的圆柱表面积问题。
【难点】 灵活运用圆柱表面积公式解决具体问题。
【教师准备】 生活中一些常见的圆柱体PPT课件。
【学生准备】 圆柱形纸盒、剪刀。
说一说圆柱体表面积和侧面积的计算公式。
【参考答案】 圆柱体表面积=侧面积+2×底面积;侧面积=底面周长×高;底面积=πr2。
方法一
创设情景,引起兴趣。
教师出示PPT课件中的圆柱体茶叶桶并提问。
师:谁能说说圆柱是由哪几部分组成的?
预设 生:圆柱是由两个底面和一个侧面组成的。
师:如果茶叶桶没有盖,你们能求出它的表面积吗?
师:这节课我们就来学习圆柱表面积计算的应用。(板书课题:圆柱表面积计算的应用)
[设计意图] 利用PPT课件,可以激发学生的学习兴趣,同时利用茶叶桶的圆柱体模型引入新课,为新课的学习做了良好的铺垫。
方法二
温习旧知,导入新课。
(教师用PPT课件出示图片)
师:通过上节课的学习,同学们一定还记得圆柱体表面积计算公式的推导过程吧?想一想,圆柱的表面积是怎样推导的?
预设 生1:圆柱的侧面展开图的长等于圆柱底面周长。
生 2:宽等于圆柱的高。
生 3:圆柱的侧面积=底面周长×高。
生 4:圆柱的两个底面面积是πr2×2。
师:像刚才这样的圆柱体我们都能求出圆柱的表面积,那么,生活中的装有液体的圆柱表面积你们会求吗?今天我们就来学习圆柱表面积的实际应用。(板书课题:圆柱表面积计算的应用)
[设计意图] 通过温习刚学过的圆柱的表面积计算公式导入新课,使学生在利用公式进行实际应用解决问题时能够运用自如。
方法三
激发情趣,情景导入。
教师可以直接手拎着圆柱体水桶走入课堂(如图),开门见山提出问题,给学生来一个“措手不及”。
师:指着水桶问“你们知道这个水桶制作时用了多少铁皮吗?”。
(摇头,表示不知道)
师:我们已经掌握了圆柱的表面积计算公式,能求出一个圆柱体的表面积。那么,像这样的圆柱体,怎样求出它的表面积呢?
师:这节课我们就应用所学习过的圆柱体的表面积计算公式来解决实际问题。(板书课题:圆柱表面积计算的应用)
[设计意图] 利用前面学过的圆柱的表面积计算公式引入,既回顾了前面学习过的知识,又很好地为新课的学习做了良好的铺垫。
一、求无盖圆柱形铁皮水桶的表面积。
师:我们怎样才能求出一个圆柱形水桶的表面积呢?请同学们看大屏幕(教师PPT课件出示图片)
如图,做一个无盖的圆柱形铁皮水桶,底面直径为4 dm,高为5 dm,至少需要多大面积的铁皮?
师:要想求出这个圆柱形铁皮水桶至少需要多大面积的铁皮,要算哪几个面的面积呢?
预设 生:要算出圆柱一个底面和侧面的面积。
师:请同学们小组内完成解题过程,汇报结果。
(学生小组合作学习完成,教师巡视)
预设 生1:我是先求出这个圆柱的底面积,再求出这个圆柱的侧面积,算出这个圆柱形铁皮水桶的表面积是:3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=12.56+62.8=75.36(dm2).
生 2:我是根据圆柱的表面积计算公式:圆柱的表面积=底面积×2+侧面积,因为这个圆柱形铁皮水桶没有上盖,所以用一个底面面积+侧面积就可以了。用3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=12.56+62.8=75.36(dm2)。
教师板书:3.14×(4÷2)2+3.14×4×5=12.56+62.8=75.36(dm2)。
师:根据上面的计算过程也就可以得出:圆柱形铁皮水桶的表面积等于什么?
预设 生:圆柱形铁皮水桶的表面积=一个底面面积+侧面积。
教师板书:圆柱形铁皮水桶的表面积=一个底面面积+侧面积。
[设计意图] 利用学过的圆柱的表面积公式,引导学生理解圆柱形铁皮水桶的表面积与圆柱形的表面积的区别是少了一个圆形底面的面积,从而引导学生在解决实际问题时,要灵活应用所学知识解决实际问题。
二、利用公式解决实际问题。
师:我们运用圆柱的表面积计算公式能计算出没有盖的铁皮水桶的表面积,那么我们还能解决哪些问题呢?
(教师用PPT课件出示教材图片)
如图,把一个圆柱形薯片盒的商标纸展开,是一个长18.84 cm,宽10 cm的长方形。这个薯片盒的侧面积是多少?表面积呢?
1.动手画一画。
师:这个薯片盒的侧面积怎样求?
预设 生:底面周长×高。
师:薯片盒的表面积怎样求?
预设 生:圆柱的底面积×2+侧面积。
师:那么,你们能画出这个图形的侧面和底面吗?请同学们动手画一画。
(学生画完后,教师指名学生到前边展示自己画的图形)
师:看来同学们都能根据题中的条件画出这个薯片盒的侧面和底面。(教师边说边用PPT课件出示图片)
2.求薯片盒的侧面积和表面积。
(1)求薯片盒的侧面积。
师:题中的长和宽指的是什么?
预设 生:题中所给的长相当于圆柱的底面周长,宽相当于圆柱的高。
师:底面周长和高都有了,你们能求出这个薯片盒的侧面积吗?
预设 生:能。
师:该怎么求呢?
预设 生:用长×宽就能求出侧面积。
师:请同学们独立计算出这个薯片盒的侧面积。
预设 生:这个薯片盒的侧面积是:18.84×10=188.4(cm2)。
教师板书:薯片盒的侧面积是:18.84×10=188.4(cm2)。
(2)求薯片盒的表面积。
师:薯片盒的表面积该怎么求呢?(学生独立解决,教师巡视)
小组商议后汇报。
预设 生:因为圆的周长=πd,所以用圆的周长除以π,再除以2就能求出半径r,即用18.84÷3.14÷2=3(cm)。
师:半径有了,我们自然就能求出圆柱的底面积了,下面请同学们在练习本上计算出薯片盒的表面积。
(学生做题,教师巡视,然后学生汇报结果)
预设 生:薯片盒的表面积是:3.14×32×2+18.84×10=244.92(cm2)。
教师板书:薯片盒的表面积是:3.14×32×2+18.84×10=244.92(cm2)。
[设计意图] 主要引导学生在解决实际问题中明确,要想求出所求的问题,必须要知道哪些已知条件,并且要知道各个条件之间的关系。
师:下面我们就来应用所学的圆柱表面积计算公式解决实际问题。
一、填空题
1.把一个底面积是15.7平方厘米的圆柱,切成两个同样大小的圆柱,表面积增加了( )平方厘米。
2.一个圆柱体,底面周长是94.2厘米,高是25厘米,它的侧面积是( )平方厘米。
3.一个圆柱体,底面半径是2厘米,高是6厘米,它的侧面积是( )平方厘米.
二、选择题
1.做一个无盖的圆柱体的水桶,需要的铁皮的面积是( )。
A.侧面积+一个底面积
B.侧面积+两个底面积
C.(侧面积+底面积)×2
2.已知圆柱的底面半径为r,高为h,求这个圆柱表面积的式子是( )。
A.2πrh B.2πr2+rh
C.πr2+2πrh D.2πr2+2πrh
三、应用题
1.一个圆柱形蓄水池,直径10米,深2米。这个蓄水池的占地面积是多少?在池的一周及池底抹上水泥,抹水泥的面积是多少?
2.做十节长2米,直径8厘米的圆柱形铁皮烟囱,需要铁皮多少平方米?
【参考答案】 一、1.31.4 2.2355 3.75.36 二、1.A 2.D 三、1.10÷2=5(米),3.14×52=78.5(平方米),3.14×10×2+3.14×52=141.3(平方米)。 2.8厘米=0.08米,3.14×0.08×2×10=5.024(平方米)。
[设计意图] 通过不同程度、有梯度的练习,使学生能更灵活地应用和掌握圆柱的表面积计算公式。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:这节课我们一起学习了利用圆柱的侧面积公式和圆柱表面积的计算公式解决实际问题。
生 2:在利用圆柱体表面积计算公式计算表面积时,要注意与实际生活相联系。例如:在求(无盖)水桶表面积时,只需计算一个底面积加上侧面积,而不是两个底面积加上侧面积。
生 3:我还知道了在计算圆柱体物体的商标时,圆柱体的侧面积就是商标的面积,不用计算两个底面面积。在我们的生活中,通风管也是这个道理。
[设计意图] 通过学生对本节课知识点进行总结,谈收获,再与生活实际相结合,感受圆柱体在实际生活中的应用,使学生体会了数学与生活的内在联系,不仅给学生提供表现自我的机会,也较好地巩固新知识。
作业1
教材第6页“练一练”第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)一个圆柱体的侧面积是12.56平方厘米,底面半径是2厘米,它的高是( )厘米。
(2)把一张长8分米,宽5分米的白纸围成一个圆柱形纸筒,这个纸筒的侧面积是( )平方分米。
(3)把一张边长为5.5厘米的正方形白纸,围成一个圆柱形纸筒,这个纸筒的侧面积是( )平方厘米。
(4)一台压路机的前轮是圆柱形,轮宽1.3米,直径1.2米,前轮转动一周,压路的面积是( )平方米。
2.(易错题)判断。
(1)圆柱体的表面积=底面积×2+底面积×高。 ( )
(2)圆柱体的表面积一定比它的侧面积大。 ( )
(3)圆柱体的高越长,它的侧面积就越大。 ( )
【提升培优】
3.(重点题)一个圆柱的侧面积是25.12平方厘米,底面半径是2厘米,它的表面积是多少?
4.(难点题)压路机的滚筒是圆柱体,它的长是2米,滚筒横截面的半径是0.6米。如果每分转动5周,每分可以压多大面积的路面?
5.(难点题)大厅里有10根支撑圆柱体,圆柱底面直径1米,高8米。在这些圆柱的表面涂油漆,平均每平方米用油漆0.8千克,共需油漆多少千克?
【思维创新】
6.(创新题)把两个底面直径都是4分米、长都是3分米的圆柱形钢材焊接成一个大的圆柱形钢材,焊接成的圆柱形钢材的表面积比原来两个小圆柱形钢材的表面积之和减少了多少?
【参考答案】
作业1:3.3.14×20×50=3140(cm2) 4.3.14×1.6×2=10.048(m2) 5.25.12×1.2+3.14×(25.12÷3.14÷2)2=80.384(m2)
作业2:1.(1)1 (2)40 (3)30.25 (4)4.8984 2.(1)? (2)√ (3)? 3.25.12+3.14×22×2=50.24(平方厘米) 4.2×3.14×0.6×2×5=37.68(平方米) 5.3.14×1×8×10×0.8=200.96(千克) 6.3.14×(4÷2)2×2=25.12(平方分米)
圆柱表面积计算的应用
圆柱形铁皮水桶的表面积=一个底面积+侧面积
3.14×(4÷2)2+3.14×4×5
=12.56+62.8
=75.36(dm2)
薯片盒的侧面积是:18.84×10=188.4(cm2)。
薯片盒的表面积是:3.14×32×2+18.84×10=244.92(cm2)。
在复习引入环节,通过复习圆柱体表面积计算公式,为圆柱体表面积实际应用做好铺垫。在利用圆柱表面积计算公式解决问题环节中,首先让学生把知识与生活实际相结合,从生活实际出发,活学活用。例如:水桶是无盖的;薯片盒的商标面积是侧面积。在这一环节中,渗透了数学为生活服务的思想,同时也培养了学生的合作意识。在练习题的设计中,遵循了从易到难的原则,在形式、难度、灵活性上都有体现。判断题有利于学生对知识的理解;动手测量并计算圆柱体实物表面积的题目,锻炼了学生对知识的实际应用能力,使学生感受到数学与现实生活的联系。
学生在计算圆柱的侧面积和表面积时显得费时费力,部分学生对生活问题中的圆柱表面积(不是三个面的)理解上有欠缺。
注重学生对生活中事物的观察和理解,做到知识活学活用,更好地服务生活。例如通过PPT课件多展示一些实际情景不同于一般表面积计算的特殊圆柱体。
【练一练·6页】
2.3.14×4×6+3.14×(4÷2)2×2=100.48(cm2) 3.14×(3×2)×10+3.14×32×2=244.92(dm2)
3.3.14×20×50=3140(cm2) 4.3.14×1.6×2=10.048(m2) 5.25.12×1.2+3.14×(25.12÷3.14÷2)2=80.384(m2) 6.一个油桶的表面积为3.14×0.6×1+3.14×(0.6÷2)2×2=2.4492(m2),故刷一个油桶需要的防锈油漆为2.4492×0.2≈0.49(kg)。 8.以18.84 cm为高最少:3.14×(12.56÷3.14÷2)2=12.56(cm2)
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形。如果高增加2厘米,那么表面积增加12.56平方厘米。原来这个圆柱的侧面积是多少平方厘米?
[名师点拨] 根据题意“圆柱体的高增加了2厘米,表面积增加了12.56平方厘米”可知,原来的圆柱体上、下底面积并没有变化,增加的表面积12.56平方厘米是圆柱体的侧面积增加了,所以根据增加的侧面积和高可以求出底面圆的周长。原来的圆柱体展开图是一个正方形,因此,原来的圆柱体的底面周长和高是相等的,所以,求出了底面圆的周长就知道了原来圆柱体的高,然后根据所求的两个量求出原来圆柱体的侧面积。
[解答] 12.56÷2=6.28(厘米) 6.28×6.28=39.4384(平方厘米)
【知识拓展】 1.圆柱体的侧面是一个曲面,圆柱体的侧面展开图是一个长方形、正方形或平行四边形(斜着切)。
2.圆柱的轴截面是长方形,横截面是与底面相同的圆。
为什么生活中很多东西是圆柱体
这与圆柱体的特点有关,它的上、下底面是圆形的,对称且受力均匀,作为支柱就很合理,不会上下受力不均。侧面展开就是矩形,矩形围起来变成桶,制作原理很简单,制作盛放东西的容器就很容易。圆是很完美的图形,所以圆柱体也有其美观性。
妙算圆柱体的表面积
计算圆柱的表面积,有没有比教材上更好的办法呢?
当然有。这里向同学们介绍另一种计算圆柱体表面积的方法。
我们都知道:圆柱的表面积=底面积×2+侧面积。
我们把两个底面分别剪成8个相等的扇形(剪成的扇形越多越精确),取其中一个扇形再平均分成两个小扇形,把这些扇形贴紧,拼成一个近似的长方形,与原来侧面展开的长方形拼成一个大长方形。
这个大长方形的面积就是圆柱体的表面积,它的长是圆柱体的底面周长,它的宽是圆柱的高与底面半径的和,这样就可以得到一种新的计算圆柱体表面积的公式,即:
圆柱体的表面积=圆柱体的底面周长×(高+底面半径)。
3 圆柱的体积
这部分内容是在学生已经初步理解了体积和容积的含义,掌握了长方体和正方体的体积计算方法的基础上学习的。长方体和正方体的体积计算方法“底面积×高”对探索圆柱的体积计算方法有迁移作用。本节课的重点是引导学生经历“猜想与验证”的探索过程,在探索中理解、掌握圆柱体积的计算方法,体会“类比”“把未知问题转化为已知”等思想方法,并积累研究图形的经验。教材采用了“提出问题——类比猜想——验证归纳——实际应用”的呈现方式。
教材先创设了两个简单情景,第一幅图指向圆柱形柱子的体积。第二幅图指向圆柱形杯子的容积。结合情景体会圆柱的体积或容积的实际意义,感受学习求圆柱体积计算方法的必要性,并提出“怎样计算圆柱的体积”的问题。
教材中还呈现了两种学生可能用的方法,启发学生从多个角度进行探索,两种方法分别是利用“直观感知”和“等积变形”,体会这样计算的合理性。
1.通过具体情景观察、实物感知等活动,感受物体体积的大小,发展空间观念。
2.通过圆柱与长方体的“类比”,经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程,体会“类比”的数学思想方法。
3.掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积,能运用圆柱体积计算方法解决简单的实际问题。
【重点】 掌握圆柱体积的计算公式,会求圆柱的体积。
【难点】 理解圆柱的体积公式的推导过程。
第课时 圆柱体积的计算方法
1.通过具体情景观察,实物感知等活动,感受物体体积的大小,发展空间观念。
2.通过圆柱与长方体的“类比”,经历“猜想与验证”探索圆柱体积计算方法的过程,体会“类比”的数学思想方法。
3.掌握圆柱体积的计算方法,能正确计算圆柱的体积。
【重点】 掌握圆柱体积的计算公式,会求圆柱的体积。
【难点】 理解圆柱的体积公式的推导过程。
【教师准备】 圆柱转化长方体学具、圆柱体水杯、圆柱体、多媒体课件。
【学生准备】 硬币。
1.用字母表示下面的公式。
S圆= ,V长方体= ,V正方体= 。?
2.求正方体和长方体的体积,可以用一个统一的计算公式来表示,这个计算公式是什么?
【参考答案】 1.πr2 abh a3 2.V=Sh
方法一
温故知新,导入新课。
师:同学们,老师知道你们都是“记忆小超人”,今天,老师来考考你们。我们在前面的学习中已经知道了世间的一切物体都是以“体”存在的,它们都有体积,你们想一想,什么叫作体积?常用的体积单位有哪些呢?
预设 生:物体所占空间的大小就叫作物体的体积。
师:表达得真准确,时间都过去这么久了,还记得这么牢固,你的记忆力真让老师佩服,那第二个问题谁来补充一下?
预设 生:常用的体积单位有:立方厘米、立方分米、立方米,我们还学习过容积单位:升和毫升。
师:真棒,你的记忆力也不错,不仅记得常用的体积单位,还知道容积单位。老师再考考你们,已知长方体的底面积S和高h,怎样计算长方体的体积?
教师板书:长方体的体积=底面积×高。
师:同学们,在“数学王国”中的“几何部落”里有很多成员,除了长方体和正方体以外,我们刚刚又认识了两位新朋友,它们是……(教师语速放慢,声音拉长)
预设 生:(学生抢答)圆柱和圆锥。
师:对,是圆柱和圆锥。它们和长方体、正方体一样都是立体图形,它们都有体积,你们会计算它们的体积吗?
预设 生:(学生摇头,表示不会)不会。
师:今天,我们就来学习圆柱体积的计算方法,学习之后你们就知道了,你们一定要努力、加油哦!(板书课题:圆柱体体积的计算方法)
[设计意图] 通过复习长方体和正方体,引出体积的概念,结合教师的语言叙述,使学生知道长方体、正方体、圆柱和圆锥都有体积,从而导入今天学习的内容,使学生初步感受圆柱体积与长方体体积的联系,再通过老师童话般的语言叙述,激发学生的学习兴趣,感受学习的快乐,使学生能更好地参与到学习中来。
方法二
课件导入,揭示课题。
师:前几节课我们已经认识了圆柱体,学会了计算圆柱的侧面积、底面积和表面积,今天这节课我们继续来研究圆柱的体积。同学们回忆一下,什么叫体积?
(指名回答)
预设 生:物体所占空间的大小叫作体积。
师:我们都学过计算哪些立体图形的体积呢?(指名学生回答,根据学生的回答,教师PPT课件出示图片)
预设 生1:长方体和正方体的体积我们会算。
生 2:长方体体积=长×宽×高。
生 3:正方体体积=棱长3。
生 4:长方体和正方体的体积有一个统一的公式是:长(正)方体的体积=底面积×高。
教师板书:长(正)方体的体积=底面积×高。
师:请同学们看大屏幕,看老师为你们准备了什么?
(PPT课件呈现长方体、正方体和圆柱的直观图)
师:老师为大家准备了长方体、正方体、圆柱,其中我们学过了长方体和正方体的体积计算方法。大家想不想知道圆柱体的体积计算方法?(想)今天我们一起来探索圆柱体积的计算方法。(板书课题:圆柱体体积的计算方法)
[设计意图] 利用课件进行引入,可以使学生很容易地进入学习状态,对圆柱体的体积有了一个初步的感知,初步感受长方体、正方体的体积与圆柱体积的联系,这样对新课的学习起到了穿针引线的作用。
方法三
直观演示,导入新课。
教师可以在上课前在讲桌摆上满满的一盆水,上课铃响后,教师拿着一个圆柱体走入教室,教师不经意或者是随便把圆柱体放入盆中,让学生