小学数学北师大版六年级下册第2单元 比例 单元整体备课教案（共6个课时）
文档属性
| 名称 | 小学数学北师大版六年级下册第2单元 比例 单元整体备课教案（共6个课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-11 21:33:57 | ||
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文档简介
第2单元 比 例
本单元教学内容属于“数与代数”和“图形与几何”两个领域,本单元主要通过四个活动引导学生学习:有“数与代数”领域的比例的认识、比例的应用、比例尺和“图形与几何”领域的图形的放大和缩小等内容。
本单元的学习是学生已经掌握了比的意义、比的化简、比的应用等知识的基础上进行学习的,为后面学习变化的量、正比例、反比例奠定基础。本单元《比例》是六年级下册的重点单元,是除法、分数、比、方程等知识的综合与提升。比例的意义和比例的性质是解比例的基础,教材创设了“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,引导学生理解表示两个比相等的式子叫作比例的含义。为了帮助学生进一步体会解比例的实际意义,沟通知识之间的联系,教材创设了“物物交换”的情景,引导学生用多种方法解决问题,体会解决问题方法的多样性。在比例尺的教学安排中,教材设计了讨论“淘气和笑笑画的平面图”的活动,体会比例尺的必要性。最后教材安排了图形的放大和缩小,与理论知识相结合编排,数形结合,有助于学生的理解与掌握,教材设计了“为巨人设计教室”的任务,以具体的任务驱动学生的学习,体会图形的`放大和缩小的实际意义。
1.结合具体情景,理解比例的意义和“比例中内项的积等于外项的积”的规律,认识比例的各部分名称,结合解决问题的过程学习解比例。
2.经历观察、操作与交流等活动,体会比例尺产生的必要性和实际意义,初步理解比例尺的意义,会求比例尺,能按给定的比例尺求相应的图上距离与实际距离。
3.初步理解图形的放大与缩小,能利用方格纸按一定的比例简单地把图形放大或缩小,发展空间观念。
4.运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,体会数学与生活的联系。
在观察、比较、探究的过程中,发现比与比例的区别,体会比与比例的关系。
能根据比例的意义和基本性质解决按比例进行分配的实际问题。
在解决问题过程中,进一步体会比例的意义,提高解决问题的能力,感受比例在生活中的广泛应用。
【重点】 理解比例的意义和基本性质;理解解比例的依据,正确解比例;比例尺的意义,能根据图上距离、实际距离、比例尺中的任意两个量,求第三个量;能把一个图形正确的缩放。
【难点】 判断两个比能否组成比例;正确地解比例;掌握图形缩放的规律,体会图形的相似。
本单元是在学生已经学习了比的知识的基础上进行学习的,主要学习比例、比例尺等相关知识,教学本单元时建议如下:
1.提供充分的观察、操作、交流等活动,促进学生对比例和比例尺的概念的理解。
比例和比例尺是本单元学习的重要内容,帮助学生理解和掌握基本概念是学习其他知识及其相关应用的基础,教材中是设计有利于学生理解概念的情景,引导学生充分经历观察、操作、交流的活动,促进学生理解数学概念。例如,比例的意义的教学,教材呈现了几张图片,让学生根据图片写出长与长的比,宽与宽的比,借助图形的直观变化思考这两个比有什么关系,从而帮助学生初步理解比例的意义。再如,比例尺的教学,教材呈现了淘气和笑笑画的两幅平面示意图,引导学生在讨论交流中体会引入比例尺的必要性,并自然引出比例尺的概念,帮助学生初步认识比例尺,在此基础上,引导学生解读地图上的比例尺,理解和体会比例尺的实际意义。
2.创设有趣情景,以“巨人的教室”等具体任务驱动图形的放大和缩小等知识的学习。
教材注重通过创设有趣的情景用任务驱动的方式让学生体会“图形的放大和缩小”“解比例”等知识学习的价值。如“图形的放大和缩小”教学,教材设计了为巨人设计教室的任务,根据巨人的身高与普通人的身高的比是4∶1,思考如何为巨人设计教室、课桌、三角尺等,以具体的任务驱动学生的学习,体会图形的放大和缩小的实际意义,掌握图形的放大和缩小的基本方法。在“比例的应用”的教学中,教材设计了“物物交换”的活动,驱动学生的学习,这样不仅能使学生在活动中学习数学知识,发展数学思维,而且有利于学生感受数学探索的乐趣,提高学生学习数学的兴趣。
3.重视知识间的沟通与联系,提高学生综合运用知识解决问题的能力。
学习的比例、比例尺等知识与前面已经学习的比、除法、分数、方向与位置等知识都有一定的联系,教材注重知识的综合运用,让学生感受知识的内在联系,提高学生综合运用知识解决问题的能力。例如在“比例的应用”的学习中,教材设计了“物物交换”的情景,引导学生在解决问题中学习解比例的知识。
1 比例的认识
《比例的认识》是第二单元中的第一节,本节主要的知识内容是“比例的意义”和“比例的基本性质”。本节课是在学生已经学习了比的有关知识(如比的意义,化简比,求比值等)的基础上,学习比例的意义及其基本性质。比例的意义及其基本性质是后续学习解比例、比例尺等知识的重要基础。
教材设计了“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,引导学生通过化简比、求比值等不同方式找到相等的比,理解“表示两个比相等的式子叫作比例”的含义,并认识比例的内项、外项等名称。“试一试”的教学中,教材安排了探索“比例中的两个外项的积等于两个内项的积”规律的学习。
1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,找到相等的比,理解比例的意义,认识比例的各部分名称,能通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。
2.通过观察、计算,发现并理解“比例中的两个外项的积等于两个内项的积”,并能根据这一规律判断两个比能否组成比例。
3.经历观察比较、自主探究等活动,提高学生的分析和概括能力。
【重点】 结合具体情景理解和掌握比例的意义和基本性质及比例的各部分名称。
【难点】 根据比例的意义或基本性质判断两个比能否组成比例。
第课时 比例的意义
1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,找到相等的比,理解比例的意义,认识比例的各部分名称。
2.通过观察、计算,理解通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。
3.经历观察比较、自主探究等活动,提高学生的分析和概括能力。
【重点】 掌握比例的意义。
【难点】 理解通过化简比和比例的意义判断两个比能否组成比例。
【教师准备】 PPT课件,大小不同的学生(教师)的图片。
【学生准备】 方格纸。
1.在10∶5里,比的前项是( ),比的后项是( ),化简比后是( )。
2.写出两个量的比。
(1)一辆汽车5小时行驶300千米,写出路程与时间的比,并化简。
(2)小明身高1.2米,小张身高1.4米,写出小明与小张身高的比。
3.求下面各比的比值。
12∶16 13∶25 4.5∶2.7
【参考答案】 1.10 5 2∶1 2.(1)300∶5=60∶1 (2)6∶7 3.34 56 53
方法一
创设情景,引入新课。
师:同学们,我们班级里来了一位新朋友,你们猜猜他是谁?(教师PPT课件出示“淘气”的情景图片)
预设 生:我们的老朋友——淘气。
师:淘气不仅是一个爱自拍的人,而且还是一个敢于创新的人,他把自己的照片进行了艺术加工,变成了……这些图片。(教师声音拉长)
(教师出示教材情景图片)
师:你都知道了哪些信息?
预设 生1:通过观察图片,我知道了图片上一共有A,B,C,D,E五张淘气的照片。
生 2:我还知道图片A的长是6,宽是4。
生 3:虽然五张都是淘气的照片,但是形状不都一样,有的扭曲了。
……
师:上学期学习“比的认识”时,我们讨论过“图片像不像”的问题,请同学们联系比的知识,再想一下,怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像呢?
预设 生1:图片A与图片B像。
生 2:图片A与图片D像。
生 3:图片A,B,D三张像,图片C,E两张不像。
师:那么,你们这样判断的依据是什么?
预设 生1:通过数方格可以知道,图片A,B,D的长与宽的比分别是6∶4=32,3∶2=32,12∶8=32,他们的比值是相等的,所以这三张图片像。图片C,E的长与宽的比值不与它们相等,所以不像。
生 2:我们还可以通过图片的长与长的比,宽与宽的比来判断。图片A与图片B长与长的比是6∶3=2,宽与宽的比是4∶2=2,它们的比值相等。图片A与图片D长与长的比是6∶12=12,宽与宽的比是4∶8=12,比值也相等,所以它们像。
师:这就是我们今天要学习的知识……(板书课题:比例的意义)
[设计意图] 通过淘气照片情景的创设,可以调动学生的学习热情,再通过教师的引导和提问,使学生双向地进行思考,有序地解决问题,自然地引入新知,为新知的教学做好铺垫。
方法二
谈话导入。
教师出示课件,结合画面引入。
师:同学们请看,这是我们祖国各地的风景图片,我们的祖国幅员辽阔,却能在一张小小的地图上清晰可见各地位置。(PPT课件出示)
师:科学家在研究很小很小的生物细胞时,想清楚地看见细胞各部分,就要借助显微镜将细胞按比例放大。这些,都要用到新的知识——比例的知识。我们本单元就来学习有关比例的知识,今天我们先来认识比例。(板书课题:比例的意义)
[设计意图] 借助现代化电教手段,用形象、直观的图片来激发学生的求知欲望,同时也培养了学生爱祖国、爱科学的情感。
方法三
复习旧知,导入新知。
师:请同学们回忆一下上学期我们学过的比的知识,谁能说说什么叫作比?并举例说明什么是比的前项、后项和比值。(教师把学生举的例子板书出来,并注明比的各部分的名称)
预设 生:两个数相除又叫作两个数的比。“∶”叫作比号,比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项,比的前项除以后项所得的商叫作比值。
师:我们知道了比的前、后项相除所得的商叫作比值,你们会求比值吗?(教师板书或PPT课件出示下面几组比,让学生求出它们的比值)
12∶16 4.5∶2.7 10∶6
学生求出各比的比值后,再提问:有什么发现?
预设 生:4.5∶2.7的比值和10∶6的比值相等。
师:因为这两个比的比值相等,所以这两个比也是相等的,我们把它们用等号连起来。(教师PPT课件出示:4.5∶2.7=10∶6)
师:像这样的式子,在数学领域中又叫作什么呢?今天我们就来学习这样的知识。(板书课题:比例的意义)
[设计意图] 在学习比例之前,就强调了两个比的比值相等,为学习新知识提供了“最佳关系”和知识的“固定点”。
一、比例的意义。
师:同学们,通过刚刚的谈话,老师知道了,同学们对淘气照片的变化有一定的感受和体会,现在老师请同学们再观察一下这组“淘气的照片”,并回答老师的问题,同学们来看一看。(出示PPT课件)
1.用PPT课件出示课本情景图。
上学期学习“比的认识”时,我们讨论过“图片像不像”的问题。请同学们联系比的知识,再想一想,怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像呢?
师:观察情景图,说一说情景图中的图片有什么相同之处和不同之处?
预设 生1:图片上虽然都是淘气的照片,但大小完全不同,有的照片长和宽还发生了变化。
生 2:图片A,B,D虽然大小发生了变化,但是看上去好像一样的,图片C,E就不一样了,发生了变形。
师:你们知道这些图片的长和宽是多少吗?(学生观察,通过数格子了解数据)
预设 生:图片A的长是6,宽是4;图片B的长是3,宽是2;图片C的长是8,宽是3;图片D的长是12,宽是8;图片E的长是12,宽是2。
师:你们是怎么知道的?
预设 生:通过数方格,就可以知道每个图片的相关数据了。
师:真聪明!那你们能写出这些图片的长和宽的比,并计算出比值各是多少吗?
(学生动笔计算后汇报成果)
预设 生1:A图片长与宽的比是6∶4,比值是32。
生 2:B图片长与宽的比是3∶2,比值是32。
生 3:C图片长与宽的比是8∶3,比值是83。
生 4:D图片长与宽的比是12∶8,比值是32。
生 5:E图片长与宽的比是12∶2,比值是6。
教师板书:A 6∶4=32
B 3∶2=32
C 8∶3=83
D 12∶8=32
E 12∶2=6
师:同学们,通过计算比值你们有什么发现?怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像?(学生思考后汇报)
预设 生1:A图片长与宽的比是6∶4,B图片长与宽的比是3∶2,D图片长与宽的比是12∶8,它们的比值都是32,所以6∶4=3∶2=12∶8,因此A,B,D三张图片就像。
生 2:老师,经过上面同学的分析,我又写出来不同上面的两个比,用D和A两张图片,写出它们长与长的比12∶6,宽与宽的比8∶4,通过计算,它们的比值也相等,12∶6=8∶4,所以图片D和图片A就像。
生 3:老师,用A和B两张图片,我也写出来两个比,它们长与长的比为6∶3,宽与宽的比为4∶2,通过计算,它们的比值也相等,6∶3=4∶2,所以图片A和图片B就像。
教师板书:12∶6=8∶4,6∶4=3∶2。
2.明确比例的意义。
师:D和A两张图片,长与长、宽与宽的比值相等,A和B两张图片长和宽的比值相等。我们用等号把它们连接起来(教师手指板书说),像12∶6=8∶4,6∶4=3∶2这样的式子叫什么呢?
师:老师告诉同学们,像12∶6=8∶4,6∶4=3∶2这样表示两个比相等的式子叫作比例。你们听明白了吗?你们可以复述吗?
(学生复述,也可以小组内复述,相互纠正)
教师板书:像这样表示两个比相等的式子叫作比例。
[设计意图] 通过学生复述,加深对比例概念的理解和掌握。
师:从比例的意义我们可以知道,比例是由几个比组成的?这两个比必须具备什么条件?
预设 生:比例是由两个比组成的,这两个比是相等的。
(教师在板书上做上重点强调记号:两个比;相等)
师:因此判断两个比能不能组成比例,关键是看什么?如果不能一眼看出两个比是不是相等的,怎么办?
预设 生:在判断两个比能不能组成比例时,关键是看这两个比是不是相等。如果不能一眼看出两个比是不是相等,可以先分别把两个比求出它们的比值或化简以后再看。
二、认识比例的各部分名称。
师:在两个相等的比组成的比例中,它们又有什么样的好听的名字呢?
1.比例的各部分名称。
(教师PPT课件出示:12∶6=8∶4)
师:(教师边进行课件演示,边语言表述)中间的两项叫作比例的内项,两端的两项叫作比例的外项。
教师板书:
师:比可以写成分数形式,比例也可以写成分数形式,你们能独立思考,解决这个问题吗?
(学生在练习本上书写,教师巡视)
师:谁愿意把自己的成果展示给大家看一看?
(指名到展台前板书)
126=84
师:写成分数形式的比例后,你们还能找出比例的外项和内项了吗?
预设 生:能。12和4是比例的外项,6和8是比例的内项。
教师板书:
[设计意图] 在明确各部分名称的同时,让学生独立完成比例的分数形式的书写,可以培养学生知识的联系性,使学生感受到成功的快感,彰显了自身的价值。
2.比较“比”和“比例”两个概念。
师:上学期我们学习了“比”的意义,现在又知道了“比例”的意义,那么“比”和“比例”有什么区别呢?
(学生思考,小组讨论,老师巡视指导)
预设 生1:从意义上理解,比是表示两个数相除,比例是表示两个比相等的式子,意义不同。
生 2:比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
师:同学们对知识掌握得真牢,总结得真好!从意义上来区分,比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
[设计意图] 通过比和比例的区别,可以使学生加强知识间的联系,明白知识间有联系,也有区别,使知识掌握更加透彻。
3.找比例。
师:在图片的尺寸中,你还能找出哪些比可以组成比例?(学生猜想另外两幅图片长、宽的比值,求出图片长、宽的比值,并组成比例)
(教师PPT课件再次出示教材情景图)
(学生找出不同的相等的比,组成比例)
预设 生1:3∶2=12∶8。
生 2:6∶4=12∶8。
……
[设计意图] 通过“找比例”,加强学生对比例意义的理解和运用,再次强化学生的记忆,使知识在学生的头脑里“扎根”。
三、比例的应用。
师:下表是调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况,根据比例的意义,你们能写出比例吗?写一写,与同伴交流。
调制蜂蜜水配比情况表
蜂蜜水A
蜂蜜水B
蜂蜜/杯
2
3
水/杯
10
15
师:什么样的比可以组成比例?
预设 生:看两个比是否相等,如果两个比相等就可以组成比例。
师:你们准备用什么方法判断两个比是否相等呢?
预设 生1:根据比的意义,计算比值,来判断两个比是否相等。
生 2:可以利用比的基本性质,把比化简成最简单的整数比,判断两个比是否相等。
师:把组成的比例写出来。
(学生交流,写出比例)
预设 生1:3∶2=15∶10。
生 2:10∶2=15∶3。
教师板书:3∶2=15∶10,10∶2=15∶3。
师:板书上的两个比例成立吗?说一说你们是怎么写的?一共可以写多少个不同的比例?
预设 生1:从表格中可以知道蜂蜜水A由2杯蜂蜜和10杯水组成,蜂蜜水B由3杯蜂蜜和15杯水组成。我们可以分别写出蜂蜜水B与蜂蜜水A中蜂蜜杯数的比、水的杯数的比,并求出两个比的比值,比值是相等的,可以写出比例。
蜂蜜水B的蜂蜜的杯数∶蜂蜜水A的蜂蜜的杯数=3∶2=1.5。
蜂蜜水B的水的杯数∶蜂蜜水A的水的杯数=15∶10=1.5。
组成比例:3∶2=15∶10。
生 2:蜂蜜水A中水的杯数和蜂蜜的杯数的比,与蜂蜜水B中水的杯数和蜂蜜的杯数的比,经过化简发现两个比也相等,可以组成比例:10∶2=15∶3。
师:同学们,你们同意他们的想法吗?还可以写出其他的比例吗?
(学生思考,交流)
预设 生1:2∶3=10∶15。
生 2:15∶10=3∶2。
师:这两种蜂蜜水一样甜吗?为什么?
(学生根据两个比相等组成比例,判断两个蜂蜜水一样甜)
师:淘气的判断和我们一致吗?
(教师PPT课件出示图片)
预设 生:观点是一样的。
师:他和笑笑是怎样说的?(学生阅读笑笑和淘气的谈话)
师:两个比能否组成比例,关键是判断两个比是否相等,判断两个比是否相等有两种方法,即求比值和化简比。
[设计意图] 通过老师的问题串,引导学生再次体会组成比例的关键是看两个比是否相等,相等,能组成比例,反之,就不能组成比例。
1.填空。
(1)组成比例的四个数叫作比例的( ),中间的两个数叫作比例的( ),两端的两个数叫作比例的( )。
(2)从24的因数中选出四个因数,组成两个比的比值都是14的比例式是( )。
(3)在12,8,16这三个数中添上一个数组成比例,这个数可以是( ),( )或( )。
(4)如果x8=y13,那么x∶y=( )。
2.判断。
18∶30和3∶5可以组成比例。 ( )
3.一个比例的两个外项互为倒数,一个内项是110,写出符合条件的一个比例。
4.一个比例,组成比例的比的比值是14,两个比的前项分别是17和35,写出这个比例。
【参考答案】 1.(1)项 内项 外项 (2)1∶4=2∶8(答案不唯一) (3)6 24 323 (4)8∶13 2.√ 3.2∶110=10∶12(答案不唯一) 4.17∶68=35∶125
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了表示两个比相等的式子叫作比例。
生 2:我知道了比表示两个数相除,有两项,比例是表示两个比相等的式子,是等式,有四项。
生 3:在比例中,中间的两个数叫作比例的内项,两端的两个数叫作比例的外项。
生 4:我知道了,判断两个比能否组成比例的关键是看它们的比值(或化简比),如果两个比相等,我们就说这两个比能够组成比例。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,培养学生的语言表达能力,加强学生的有效记忆。
作业1
教材第17页“练一练”第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)填空。
(1)12∶9的比值是( ),13∶14的比值是( ),把这两个比写成比例为( )。
(2)12的因数有( ),用其中的4个数组成比例:( )∶( )=( )∶( )。
(3)在比例2∶0.3=20∶3中,如果第一项加上0.6,要使比例成立,那么第三项应加上( )。
2.(重点题)求出下面每个比的比值。
0.6∶12=( ) 3.5∶4.5=( )
14∶18=( ) 0.9∶185=( )
18∶12=( ) 14∶15=( )
【提升培优】
3.(难点题)应用比例的意义,判断下面每组中的两个比能否组成比例。
(1)0.9∶1.2和6∶8。
(2)15∶16和6∶5。
4.(易错题)选择题。
(1)下面的式子中,( )是比例。
A.3+6=4+5 B.183=0.60.1
C.27÷9=1×3 D.1∶4=4∶1
(2)能与16∶18组成比例的是( )。
A.6∶8 B.1∶6
C.4∶3 D.3∶4
5.(变式题)在( )里填上适当的数。
(1)3∶( )=( )∶12
(2)24∶9=8∶( )
(3)( )∶12=15∶( )
(4)( )∶3=8∶( )
6.(探究题)一个比例的各项都是整数,这两个比的比值都是0.6,且第一项比第二项小10,第四项是第二项的15,写出这个比例。
【思维创新】
7.(开放题)请你用6,12,15再配上一个数组成比例。
【参考答案】
作业1:1.(1)3∶9 2∶6 能 (2)3∶2 9∶6 能
作业2:1.(1)43 43 12∶9=13∶14 (2)1,2,3,4,6,12 1∶2=3∶6(答案不唯一) (3)6 2.120 79 79 14 14 54 3.(1)因为0.9∶1.2=34,6∶8=34,所以0.9∶1.2和8∶6能组成比例。 (2)因为15∶16=65,6∶5=65,所以15∶16和6∶5能组成比例。 4.(1)B (2)C 5.(1)(答案不唯一)4 9 (2)3 (3)(答案不唯一)30 6 (4)(答案不唯一)4 6 6.15∶25=3∶5 7.6∶12=15∶30(答案不唯一)
比例的意义
A.6∶4=32 B.3∶2=32 C.8∶3=83 D.12∶8=32 E.12∶2=6
像12∶6=8∶4,6∶4=3∶2这样表示两个比相等的式子叫作比例。
在学习各部分名称时,采用了让学生自学教材的方式,因为自学教材也是学生探索问题、解决问题的重要途径。意在突破传统的教学模式,不讲授,让学生借助教材、板书、计算机课件的有机结合,总结出三者之间的联系,实现了自主学习。
在比例的应用教学时,让学生根据所学知识独立思考、解决问题,根据高年级学生的阅读、理解能力,结合教材的具体内容,充分相信学生,组织学生以小组为单位进行研究、探索、讨论、总结,有利于培养学生的创新意识和实践能力,有利于学生的思维发展,有利于培养学生间的合作精神。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:知识讲授过程中学生思考的时间较少。
再设计时,让学生做到充分的预习,对学习的重点和难点要有创新性问题的设计,发展学生的思维能力,快速、高质量地接受新知的能力。
判断10∶12和1∶65能否组成比例。
[名师点拨] 判断两个比能否组成比例,根据比例的意义来判断,计算两个比的比值,若比值相等,则两个比能组成比例,反之则不能。
[解答] 因为10∶12=56,1∶65=56,两个比的比值相等,
所以10∶12和1∶65能组成比例:
10∶12=1∶65。
【知识拓展】 如果四个不同的数可以组成比例,那么这四个数一共能组成8个不同的比例。
一个聪明的小男孩
从前,一个国王经常给身边的大臣出难题来取乐,如果大臣答对了,他将用小恩小惠给点赏赐;如果答不出来,那将受罚,甚至被砍头。
一天,国王指着宫里的一个池塘问:“谁能说出池子里有多少桶水,我就赏他珠宝。如果说不出来,我就要‘赏’你们每人50大鞭。”大臣们被这突如其来的问题难住了。
正在大臣们心慌意乱之际,走过来一个放牛的小男孩。他问清了事情的缘由之后说:“我愿意见见这位国王。”
大臣们把小男孩带到了国王身边。国王见眼前的小男孩又黑又瘦又小,便怀疑说:“这个问题答上来有奖,答不上来可要被砍头的,你知道吗?”在场的人都替这个小男孩捏了一把汗,可小男孩却不慌不忙地回答出国王的问题。国王无奈之下,拿出珠宝奖励给了小男孩。小朋友们,你知道他是怎样回答的吗?
其实,国王出的是一道条件不足的问题。在正常的思维模式下是无法找出正确答案的。小男孩正好抓住这一关键。他是这样回答的:“这要看桶有多大:如果桶和池塘一样大,就是一桶水;如果桶只有池塘一半大,就是有两桶水;如果桶是池塘的三分之一大,就是三桶水……”
小男孩实际上打破了习惯性的思维模式,对具体的问题进行具体的分析,他的头脑多么聪明、灵活啊!
动物与数学
由于生存的需要,动物肌体的构造为了适应客观环境,常常符合某种数学规律或者具有某种数学本能。许多事实是非常有趣的。
老虎、狮子是夜行动物,到了晚上,光线很弱,但它们仍然能外出活动捕猎。这是什么原因呢?原来动物眼球后面的视网膜是由圆柱形或圆锥形的细胞组成的。圆柱形细胞适于弱光下感觉物体,而圆锥形细胞则适合于强光下感觉物体。在老虎、狮子一类夜行动物的视网膜中,圆柱细胞占绝对优势,到了晚上,它们的眼睛最亮,瞪得最大,直径能达三四厘米。所以,光线虽弱,但视物清晰。
冬天,猫儿睡觉时,总是把自己的身子尽量缩成球状,这是为什么?原来数学中有这样一条原理:在同样体积的物体中,球的表面积最小。猫身体的体积是一定的,为了使冬天睡觉时散失的热量最少,以保持体内的温度尽量少散失,于是猫儿就巧妙地“运用”了这条几何性质。
我们都知道跳蚤是“跳高冠军”。1910年,美国人进行过一次试验,发现一只跳蚤能跳33 cm远,19.69 cm高。这个高度相当于他身体长度的130倍。按照这样的比例,如果一个1.70米高的成年人,能像跳蚤那样跳跃的话,可以跳221米高,相当于70层楼的高度。
蚂蚁是一种勤劳合群的昆虫。英国有个叫亨斯顿的人曾做过一个试验:把一只死蚱蜢切成三块,第二块是第一块的两倍,第三块又是第二块的两倍,蚂蚁在组织劳动力搬运这些食物时,后一组均比前一组多一倍左右,似乎它也懂得等比数列的规律哩!
桦树卷叶象虫能用桦树叶制成圆锥形的“产房”,它是这样咬破桦树叶的:雌象虫开始工作时,先爬到离叶柄不远的地方,用锐利的双颚咬透叶片,向后退去,咬出第一道弧形的裂口。然后爬到树叶的另一侧,咬出弯度小些的曲线。然后又回到开头的地方,把下面的一半叶子卷成很细的锥形圆筒,卷5~7圈。最后把另一半朝相反方向卷成锥形圆筒,这样,结实的“产房”就做成了。
第课时 比例的基本性质
1.通过观察、计算,发现并理解“比例中两个内项的积等于两个外项的积”,能根据这一规律判断两个比能否组成比例。
2.经历观察、比较、自主探究等活动,提高分析和概括能力。
【重点】 理解比例的“两个内项的积等于两个外项的积”的规律。
【难点】 判断两个比能否组成比例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
1.说一说比例的意义。
2.根据比例的意义,判断下面每组中的两个比能否组成比例。
0.6∶0.8和24∶32 7∶9和14∶18
【参考答案】 1.表示两个比相等的式子叫作比例。 2.0.6∶0.8=24∶32 7∶9=14∶18
[设计意图] 通过复习旧知,为学习新知做铺垫,使学生很快进入有目的的探究状态。
方法一
温故知新,导入新知。
师:同学们,在我们这六年的小学生涯中,已经掌握了很多的知识,并能够运用所学知识解决一些简单的实际问题,还记得除法中商不变的性质,分数的基本性质和比的性质吗?
预设 生1:在除法中被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外),商不变,叫作商不变的性质。
生 2:老师,我知道分数的基本性质是“分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变”。
生 3:比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外),比值不变。
师:同学们的记忆力真好!知识记忆得真牢!那么,我们新认识的“比例”也有性质、规律存在,它又是什么呢?今天我们继续学习比例的有关知识——比例的基本性质。(板书课题:比例的基本性质)
[设计意图] 通过对商不变的性质、分数的基本性质和比的性质的复习,自然过渡到比例的基本性质的学习,使学生知道比例也存在“规律”,但不知道是怎样的规律,激发了学生的求知欲望和好奇心,为新知的教学营造良好的学习氛围。
方法二
创设情景,引入新知。
师:同学们,上节课我们学习了比例的意义,你们还记得吗?
预设 生:我知道,表示两个比相等的式子叫作比例。
师:回答得真好!是个爱学习的好孩子。淘气和你们一样也是个爱学习、爱思考的好孩子,在昨天学习之余对学习的比例知识进行温故,你们看……
(教师PPT课件出示情景图)
师:淘气在思索什么?他又发现了什么?你们想知道吗?
预设 生:想知道。
师:我们现在就走进知识宝库去看看淘气发现了什么。(板书课题:比例的基本性质)
[设计意图] 兴趣是最好的老师,通过情景激发学生的学习兴趣和求知欲望,培养学生的探索精神。
一、发现比例的“规律”。
1.复习旧知,引发思考。
师:同学们,上节课通过我们的学习,已经知道了淘气照片的比例关系,现在我们重温一下能组成比例的几组数据,请同学们看大屏幕。
(教师PPT课件出示图片)
写出上节课学习的几个比例,仔细观察,你会有新的发现。
师:同学们,观察大屏幕上的几组比例,你们有什么发现吗?(如果学生能够发现比例的“规律”,教师可以适时进行引导,提出针对性的问题)
师:谁能说一说上面每组比例中的内项和外项分别是多少?
预设 生1:在12∶6=8∶4的比例中,12和4是比例的外项,6和8是比例的内项。
生 2:老师,下面的3个比例,每个比例中的内项和外项我都知道。
师:那你来说一说吧!
预设 生:第二个比例的外项是6和2,内项是4和3;第三个比例的外项是10和3,内项是2和15;第四个比例的外项是3和10,内项是2和15。
师:你真棒!他说得好不好?(鼓掌)你们能尝试写出每个比例中内项的积和外项的积吗?(学生独立思考,解决问题)
学生汇报思考成果,教师板书。
12∶6=8∶4内项的积:6×8=48外项的积:12×4=48
6∶4=3∶2内项的积:4×3=12外项的积:6×2=12
3∶2=15∶10内项的积:2×15=30外项的积:3×10=30
10∶2=15∶3内项的积:2×15=30外项的积:10×3=30
师:还有不同的乘法算式吗?
(学生思考后回答问题)
预设 生1:没有,交换因数的位置结果还是一样的。
生 2:老师,我通过观察第三个比例和第四个比例,发现乘法算式能写一个,比例却写了多个。
师:这些比例一样吗?为什么?
预设 生:不同,因为比值各不相同。
2.引导发现规律。
师:那么,这些比例式中,有没有什么相同的特点或规律呢?仔细观察,你们有什么新的发现?谁愿意把你的发现说给大家听?
预设 生1:内项相乘的积等于外项相乘的积。
生 2:外项相乘的积等于内项相乘的积。
师:谁还想补充?
预设 生:在比例里,两个内项相乘的积等于两个外项相乘的积。
[设计意图] “运用四个比例”,经过老师的引导,让每一个学生的思考都变成有用的教学资源。考虑到直接探究比例的基本性质学生会有困难,教师作了适当的引导,通过乘法算式和比例式的横向联系,让学生在“变”中寻“不变”,从而探究出性质。
二、验证发现,总结规律。
师:是不是任意一个比例都有这样的规律?我们再写几个比例验证一下吧!
(PPT课件出示图片)
师:比例“15∶12=10∶8和1.5∶0.5=3∶1”也存在这个规律吗?
预设 生1:15∶12=10∶8的内项相乘的积是12×10=120,外项相乘的积是15×8=120,内项的积等于外项的积。
生 2:1.5∶0.5=3∶1的内项相乘的积是0.5×3=1.5,外项相乘的积是1.5×1=1.5,内项的积等于外项的积。
师:你们小组内任意写一个比例并且互相验证。
(学生验证规律成立)
教师板书:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
预设 生1:我们学习比例的基本性质有什么用呢?
生 2:我们可以用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。
师:说得真好!我们学习比例的基本性质可以判断两个比能否组成比例,还可以用来解比例,我们在以后的学习中就会知道,它很重要哟!一定掌握好啊!
[设计意图] 给学生提供大量的事例,要求他们多方面验证,从个别推广到一般,让学生学会科学地、实事求是地研究问题。
1.完成教材第17页“练一练”第3题。
2.完成教材第17页“练一练”第4题。
3.完成教材第17页“练一练”第5题。
【参考答案】 1.10∶15=8∶1.2 6∶9=12∶18,第3,4组不能组成比例。 2.第(1)(3)组能组成比例,第(2)(4)组不能组成比例。(1)210∶3=350∶5 (3)0.5∶4=6∶48 3.3401=6802,10203=13604,3401=10203……
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
生 2:我知道了,根据比例的基本性质,也可以判断两个比能否组成比例。
生 3:老师我还知道,比是由两个数组成的,有两项,分别叫作比的前项和比的后项;比例有四项,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面是知识的回顾,另一方面是对学生语言表达能力的培养,更好地为掌握本节知识服务。
作业1
教材第17页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)根据1.2×4=0.6×8,可以写出比例:( )=( )。
(2)12a=13b,则a∶b=( )∶( )。
(3)在比例里,两个内项的积是23,则两个外项的积是( )。
(4)已知A÷10=7÷B(A与B都不为0),则A与B的积是( )。
2.(难点题)按要求判断下面每组中两个比能否组成比例。
(1)2.5∶2和3.5∶2.8(比例的意义)
(2)7∶12和14∶24(比例的基本性质)
【提升培优】
3.(易错题)选择题。
(1)x的34等于y的23,则x∶y等于( )。
A.34∶22 B.23:43
C.8∶9 D.9∶8
(2)ab=cd,组成比例是( )。
A.a∶c=d∶b B.a∶c=b∶d
【思维创新】
4.(开放题)写出两道积是12的乘法算式,再组成比例。
【参考答案】
作业1:2.第1组:15∶18=30∶36 第4组:13∶19=16∶118
作业2:1.(1)1.2∶0.6 8∶4(答案不唯一) (2)2 3 (3)23 (4)70 2.(1)2.5∶2=54 3.5∶2.8=54 能组成比例。 (2)7×24=12×14 能组成比例。 3.(1)C (2)A 4.3×4=12 1×12=12 1∶3=4∶12。(答案不唯一)
比例的基本性质
12∶6=8∶4内项的积:6×8=48外项的积:12×4=48
6∶4=3∶2内项的积:4×3=12外项的积:6×2=12
3∶2=15∶10内项的积:2×15=30外项的积:3×10=30
10∶2=15∶3内项的积:2×15=30外项的积:10×3=30
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。这就是比例的基本性质。
为了便于学生理解,课堂上采用观察发现——验证猜想——得出结论的方法来进行教学。在比例中,两个内项的积等于两个外项的积的规律是比较容易理解的。通过引导学生观察前面几个比例,初步体验比例的规律。再根据教材中的比例,和学生自己组成比例进行验证,最后总结、归纳比例的规律,引导学生用自己的语言进行概述,最后教师进行总结“在比例中两个内项的积等于两个外项的积,这就是比例的基本性质”。
教学中应多给学生一些时间,通过自己验证获得知识,记忆更牢固。
再设计时,尽量提出一些开放性问题,让学生多一些思考的空间和时间,让学生从中体验、感受知识的严谨性。
【练一练·17页】
1.(1)3∶9 2∶6 能 (2)3∶2 9∶6 能 2.第1组:15∶18=30∶36 第4组:13∶19=16∶118 3.10∶15=8∶1.2 6∶9=12∶18,第3,4组不能组成比例。 4.第(1)(3)组能组成比例,第(2)(4)组不能组成比例。(1)210∶3=350∶5 (3)0.5∶4=6∶48 5.3401=6802,10203=13604,3401=10203…… 6.边长之比与周长之比能组成比例:3∶6=12∶24。边长之比3∶6,面积之比9∶36不能组成比例。 7.9∶3=1.2∶0.4,32=ba(答案不唯一)
用2,4,8和16组成不同的比例。
[名师点拨] 先逆用比例的基本性质把这四个数改写成最大数与最小数的积等于其余两个数的积的形式,即2×16=4×8,再根据等积式来写比例。写比例时,如果用等积式左边的两个数作为比例的外项,那么右边的两个数就应作为比例的内项;如果用等积式左边的两个数作为比例的内项,那么右边的两个数就应作为比例的外项。
[解答] 用2和16作外项:
2∶4=8∶16 16∶4=8∶2
2∶8=4∶16 16∶8=4∶2
用4和8作外项:
4∶2=16∶8 8∶2=16∶4
4∶16=2∶8 8∶16=2∶4
【知识拓展】 判断两个比能否组成比例,先按同一对应关系的顺序写出比,再看两个内项的积和外项的积是否相等,若相等,则能组成比例。
国旗中的比例
《中华人民共和国国旗法》规定:国旗的长和宽的比应是3∶2,也就是说比值必须是1.5。制作大小不同的国旗时,应依比例放大或缩小,国旗的样式不得随意改变,这是有法律规定的。
2 比例的应用
《比例的应用》是结合解决问题的过程学习解比例,它是在学生掌握了比例的意义,比例的基本性质的基础上进行学习的。五年级时已经学习过用等式的性质解方程,也是本节课的重要学习基础。本节课的学习既要帮助学生经历“问题情景、建立模型、解释应用”的思维过程,也要引导学生理解“根据比例的意义写出比例”,根据“两个内项的积等于两个外项的积”和等式的性质解方程。
为了帮助学生进一步体会解比例的实际意义,沟通知识间的联系,教材创设了“物物交换”的情景。“物物交换”是人类使用货币的开端。“物物交换”的情景蕴含着按一定的比例交换的数学关系。教材通过“物物交换”的情景,引导学生用多种方法解决问题,体会解决问题的多样性。在解决问题的过程中列出含有未知数的比例,再次呈现学生多样化的思考,并自主探索解比例的方法。在此基础上理解根据“两个内项的积等于两个外项的积”求比例的未知项,会正确解比例。整节课在解决问题的过程中产生新知、学习新知、掌握新知,提高了综合运用知识解决问题的能力。
1.经历用多种方法解决“物物交换”问题的过程,体会解决问题方法的多样性,提高综合运用知识解决问题的能力。
2.在解决问题的过程中列出含有未知数的比例,并自主探索解比例的方法,理解根据“两个内项的积等于两个外项的积”求比例中的未知项,会正确解比例。
【重点】 理解解比例的依据,正确地解比例。
【难点】 理解解比例的依据,正确地解比例,尝试用比例解决问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
下面各组比能组成比例吗?写出组成的比例。
12∶19和9∶2 0.7∶2和14∶4 36∶12和6∶2
【参考答案】 12∶19=9∶2 0.7∶2和14∶4不能组成比例 36∶12=6∶2
方法一
谈话激趣,引入新课。
师:同学们,你们经过多年的学习,一定积累了多方面的知识,那你们对人类的历史了解多少?最早的社会交易是怎样的?(学生能够回答尽量让学生回答,如果不能回答,教师介绍)
介绍“物物交换”的背景知识。
师:在原始社会人们使用“以物易物”的方式交换自己需要的物资,比如用一只羊换一把石斧。今天我们学习的数学知识就从“物物交换”开始。(板书课题:比例的应用)
[设计意图] 通过“物物交换”背景知识的介绍,一方面,可以使学生了解人类发展的历史,体会各学科间的内在联系。另一方面,激发学生的学习兴趣,在学生头脑中产生“物物交换”与数学知识有什么样的联系呢?自然地引入新知,为新知的教学做好铺垫。
方法二
谈话导入。
师:同学们,你们真是幸福呀!你们生活在当今科技迅猛发展的新时代,用的是自动铅笔、多功能文具盒……老师很是羡慕呀!老师上学的年代,由于家庭贫困,没有多余的钱买自己喜欢的玩具和文具,只能在同学间互相交换自己喜欢的物品。
比如:用两块橡皮换一支铅笔……
(老师话题一转,问学生)
师:你们互相间交换过物品吗?
(学生大部分都有这样或那样的交换记忆,此时课堂气氛会非常热烈)
预设 生1:老师,我与其他同学交换过(带锁)日记本。
生 2:老师,我也交换过,我交换过自动削笔刀。
师:啊!你们都有跟老师同样的经历呀!不仅你们有和老师一样的经历,他们也有这样的经历,请同学们看大屏幕。
(教师PPT课件出示教材情景图)
师:今天我们的探索之旅就从这里开始。(板书课题:比例的应用)
[设计意图] 通过老师对儿时上学的回忆,引起学生的共鸣,调动学生的学习积极性,既活跃了课堂的学习气氛,又自然地进入新知的教学,使学生在轻松、愉悦的课堂氛围中轻松学习。
方法三
开门见山,直接导入。
师:同学们,经过上节课的学习,我们已经知道了比例有四项,如果我们已知其中的三项,求另一个未知项,我们应该怎么办呢?会用到哪些知识呢?我们今天就学习有关这样的知识,你们有信心完成本次的学习任务吗?
预设 生:有信心。
师:好,下面我们就登上我们的探索列车,开始我们今天的探索之旅吧!(板书课题:比例的应用)
[设计意图] 开门见山引入新知,明确今天的学习任务,再加上老师的激励性谈话,调动了学生的学习热情,为下文的教学打好基础。
一、尝试解决,体会联系。
1.呈现问题情景,引导学生读懂题意,并尝试提出问题。
师:(PPT课件再次呈现教材情景图)同学们,从画面上你们获得了哪些数学信息?可以提出怎样的问题?
预设 生1:通过画面我们能够知道“4个玩具汽车可以换10本小人书,小明有14个玩具汽车”。
生 2:小明14个玩具汽车可以换多少本小人书?
[设计意图] 通过“从画面上你们获得了哪些数学信息,可以提出怎样的问题”问题的提出,可以使学生充分理解题意,同时也锻炼了学生的自学能力及分析问题、解决问题的能力。
2.唤起学生原有认知,解决问题。
师:针对问题“小明14个玩具汽车可以换多少本小人书?”想一想,你们打算怎么解决这个问题呢?把你们的想法记录在练习本上。
(学生独立思考,用原有认知尝试解决问题)
师:整理一下你们的解决思路,然后说一说你们解决问题的方法。
学生成果展示,可能出现以下几种思考方法。
方法一:14÷4=3.5 3.5×10=35(本)
方法二:10÷2=5(本) 14÷2=7 5×7=35(本)
方法三:4个玩具汽车=10本小人书
14÷4=3……2(个)
2个玩具车=5本小人书,10×3+5=35(本)
方法四:4个玩具汽车=10本小人书,8个玩具汽车=20本小人书,12个玩具汽车=30本小人书,2个玩具汽车=5本小人书。12+2=14(个),30+5=35(本)。
师:同学们,你们想到了这么多的解决问题的方法,老师真是没有想到,但是对你们的解决问题的过程不是很明白,谁能具体说一说你们的思考过程,老师听一听行吗?
(学生思考后,汇报思考过程)
预设 生1:我汇报“方法一”的思考过程,因为4个玩具汽车可以换10本小人书,小明有14个玩具汽车,我们就可以看14里面有几个4,就可以换几个10本小人书。14里面有3.5个4,所以就有3.5个10,是35本小人书。
生 2:我汇报“方法二”的思考过程,因为4个玩具汽车可以换10本小人书,所以2个玩具汽车能换5本小人书,小明有14个玩具汽车,我们就可以知道14里面有7个2,就可以换7个5本小人书。5×7=35本小人书。
生 3:我汇报“方法三”的思考过程,因为14=12+2,4个玩具汽车可以换10本小人书,所以可以知道12里面有3个4,12个玩具汽车可以换3×10本小人书,2个玩具汽车能换5本小人书,小明有14个玩具汽车,可以换30+5=35本小人书。
生 4:我汇报“方法四”的思考过程,这个方法与“方法三”的思路有些相似,根据4个玩具汽车可以换10本小人书,可以知道8个玩具汽车可以换20本小人书,12个玩具汽车可以换30本小人书,也就是14个玩具汽车可以换30本小人书,还剩2个玩具汽车,而2个玩具汽车可以换5本小人书,所以14个玩具汽车可以换30+5=35本小人书。
师:老师听了你们的思考过程,现在明白了,虽然我们解决问题的思路不同,但各种方法都有一定的联系,都是围绕玩具汽车的个数与小人书本数之间的比例关系而展开的。你们同意老师的意见吗?
(大家异口同声)同意。
预设 生:老师,还有一种解决这个问题的方法是“数形结合”的方法。
师:那你可以到展台前展示你的思考过程吗?
预设 生:把12个玩具汽车分成4个、4个、4个、2个四份(如下图),也可以求出换得小人书的本数。
师:看起来同学们都是爱思考的好孩子,想到了这么多种解决问题的方法,那么有没有其他方法呢?我们继续学习。
[设计意图] 通过学生运用原有认知解决问题的过程,让学生体会到解决问题的多样性,从而培养学生对解决问题的探索、分析能力,做到学有所用。
二、引进新知,拓展策略。
师:假设14个玩具汽车可以换x本小人书,同学们能否根据题意列出比例呢?如果能组成比例,说一说你是根据哪两句话写出比例的,你是怎么想的?
(学生独立思考,尝试列式,并说说写出比例的根据)
学生汇报:
方法一:4∶10=14∶x。
方法二:10∶4=x∶14。
方法三:4∶14=10∶x。
方法四:14∶4=x∶10。
师:你们可以把上面的比例写成分数的形式吗?
学生汇报:
方法一:410=14x。
方法二:104=x14。
方法三:414=10x。
方法四:144=x10。
教师板书:4∶10=14∶x 10∶4=x∶14 4∶14=10∶x 14∶4=x∶10
410=14x 104=x14 414=10x 144=x10
师:列出比例的主要依据是什么?
预设 生1:主要是依据“4个玩具汽车可以换10本小人书”和“假设14个玩具汽车可以换x本小人书”这两句话列出比例的。
生 2:玩具汽车换小人书是有标准的,就是“2个玩具汽车换5本小人书”,标准是不变的,也就是比值不变,所以可以列出比例。
生 3:前后玩具汽车的个数的倍数关系与前后小人书本数的倍数关系是一致的,也可以组成比例。
生 4:组成比例要有一个“不变的量”,就是比值不变,写成比例的形式就是:玩具汽车∶小人书=玩具汽车∶小人书或者是玩具汽车∶玩具汽车=小人书∶小人书。
[设计意图] 通过学生运用比例知识解决问题,一方面使学生理解解决问题的多样性,另一方面掌握根据比值不变列出比例的依据。
三、解比例。
师:同学们,怎样解比例呢?(学生独立解比例)
学生汇报:
4∶10=14∶x 10∶4=x∶14 4∶14=10∶x
解:4x=140 解:4x=140 解:4x=140
x=35 x=35 x=35
14∶4=x∶10
解:4x=140
x=35
答:14个玩具汽车可以换35本小人书。
师:不管是哪种思路都转化出“4x=140”,这一步你们应用的是什么知识?
预设 生:应用的是比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”,来求比例中的未知项。
师:这样就把解比例转化成什么知识了?
预设 生:把解比例转化成解方程了。
师:我们又用到了数学的“转化”思想,掌握这种方法对我们今后的学习很有帮助哦!
[设计意图] 使学生知道解比例的关键是“两个外项的积等于两个内项的积”,把解比例转化成解方程,再进行计算。
四、专项训练,巩固新知。
师:同学们,你们掌握了解比例的方法了吗?智慧老人想考考同学们,现在我们就到智慧老人家去做客,看看智慧老人出的训练题。
(PPT课件出示教材情景图)
解下面的比例,与同伴交流。
24∶0.3=x∶0.4 x4=3.57
师:看到了智慧老人出的题目,你们一定很高兴,这是我们刚刚学习的比例知识,你们能独立完成这个问题吗?
预设 生:能。
师:观察题目有什么不同?你想用什么知识解决问题?
预设 生1:从题目上看,两个比例有所不同,第一个比例是比的形式的比例,第二个是分数形式的比例。
生 2:我们应用比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”把比例转化成方程,然后根据解方程的方法计算出未知数的值。
师:你能找到分数比例的内项和外项吗?
预设 生:x和7是比例的外项,4和3.5是比例的内项。
师:下面就开始解比例吧。
(学生独立计算,老师指名板书)
学生板书:
24∶0.3=x∶0.4 x4=3.57
解:0.3x=9.6 解:7x=14
x=32 x=2
师:计算的结果是否正确?我们应该怎么办?智慧老人和我们说了什么?请打开教材看一看。(老师可以用PPT课件出示)
预设 生:智慧老人要求我们进行验算。
师:怎么验算?(学生独立完成,然后汇报,集体订正)
(学生汇报,教师板书一个比例的验算过程,另一个由学生口述)
教师板书:
把x=32代入原比例24∶0.3=x∶0.4
左边=80
右边=32∶0.4=80
左边=右边,所以是比例的解。
师:我们还可以怎样验算?
预设 生:根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”进行验算。
(学生汇报)
教师板书:
把x=32代入原比例24∶0.3=x∶0.4
内项的积=0.3×32=9.6
外项的积=24×0.4=9.6
外项的积=内项的积,所以是比例的解。
[设计意图] 通过巩固练习,使学生再次体会解比例的过程与方法,加深对知识的掌握,促进学生对解比例方法的理解,培养学生验算的好习惯。
1.完成教材第20页“练一练”第1题。
2.完成教材第20页“练一练”第2题。
【参考答案】 1.(1)6个‖2面 15个‖5面 (2)6∶2=15∶x,x=5 2.1∶4=x∶84,x=21 4∶10=x∶250,x=100
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了解比例的关键是比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”。
生 2:我知道了,在解比例的过程中应用了数学的“转化”思想,把比例转化成方程,再根据等式的基本性质进行计算。
生 3:为了计算准确,我们要进行验算。
生 4:正确解比例的前提是根据比例的意义正确地列出比例。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面使学生再次体会解比例的方法,另一方面加强学生的有效记忆,为以后学习打好基础。
作业1
教材第20页“练一练”第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)填空。
(1)在一个比例中,两个外项互为倒数,其中一个内项是97,则另一个内项是( )。
(2)在一个比例里,两个内项都是质数,它们的积是21,已知一个外项是311,这个比例可以写成( )。
2.(难点题)下面的“物物交换”,请你算一算,填一填。
3.(重点题)解比例。
0.252=1.25x x∶25=1.2∶75
【提升培优】
4.(易错题)判断。
(1)含有未知项的比例也是方程。 ( )
(2)x∶6=11∶4,求x的值叫作解比例。 ( )
(3)在比例里,两个外项的积与两个内项的积的差是0。 ( )
5.(易错题)根据下面的条件列出比例,并解比例。
(1)2和x的比等于9和8的比。
(2)6与12的比等于x与13和14的和的比。
【思维创新】
6.(竞赛题)解比例(3x+4)∶13+14=367∶12。
【参考答案】
作业1:3.x=1.6 x=6 x=118 4.解:设笑笑收集的邮票有x张。3∶5=36∶x,x=60 5.解:设模型的高度是x m。1∶300=x∶600,x=2
作业2:1.(1)79 (2)311∶3=7∶77(答案不唯一) 2.3枚 1枚 3.x=10 x=0.4 4.(1)√ (2)√ (3)√ 5.(1)2∶x=9∶8,x=169 (2)6∶12=x∶13+14,x=7 6.x=23
比例的应用
解比例更重要的是准确列出比例,前提就是学生能否正确列出比例。之后解决解比例的关键是“两个内项的积等于两个外项的积”的应用,在设计中加强了学生的说理训练,不管是比的形式还是分数的形式,都要说清楚根据什么将含有未知数的比例转化为方程,渗透了数学的转化思想,最后根据智慧老人提出的忠告,加强了对学生代入法验算能力的培养,提高学生计算的正确率。
我认为不足之处是在学生独立思考的过程中时间过少,不能照顾全体学生。
再设计时,要注意合理安排时间,给学生足够的时间独立思考,小组讨论,以及在学生表达自己心里想法时,更要给足学生表达的时间,这样有助于学生身心的发展,建立自信心,更能锻炼学生的语言表达能力。
【练一练·20页】
1.(1)6个‖2面 15个‖5面 (2)6∶2=15∶x,x=5 2.1∶4=x∶84,x=21 4∶10=x∶250,x=100 3.x=1.6 x=6 x=118 4.解:设笑笑收集的邮票有x张。3∶5=36∶x x=60 5.解:设模型的高度是x m。1∶300=x∶600,x=2
法国巴黎的埃菲尔铁塔高320 m。北京的“世界公园”里有一座埃菲尔铁塔的模型,它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型高多少米?
[名师点拨] 根据题意可知“模型的高度∶原塔高度=1∶10”,已知原塔的高度为320 m,如果设模型高x m,那么可以列出比例x∶320=1∶10。解此比例,求出x的值即可。
[解答] 解:设这座模型高x m。
x∶320=1∶10
10x=320
x=32
答:这座模型高32 m。
【知识拓展】 一个总体中各个部分的数量占总体数量的比用于反映总体的构成或者结构。
黄金数和音乐数
黄金数不是用黄金做成的数,而是指身份和黄金一样贵重的数——0.618,科学家把这个其貌不扬的数叫作“黄金数”。
人的身体里有黄金数。以一个正常人为例:
肚脐到脚底的距离头顶到脚底的距离≈0.618
眉毛到脖子的距离头顶到脖子的距离≈0.618
埃及闻名于世的金字塔,金字塔的高底座的边长≈0.618
希腊的奥丁城至今保留着一座2000年前的古庙,古庙的高古庙的宽≈0.618
五角星也有黄金数(如图),ABBD=ACAD=BCAB≈0.618
我国著名数学家华罗庚生前推广使用优选法,取得很大成绩,优选法是一种“多”“快”“好”“省”的使用方法,举个例子:
用一种农药防治害虫,喷洒之前需要兑水稀释,要兑多少水好呢?水兑多了,农药浓度太低,杀不死虫子;水兑少了,浪费农药,同时给作物带来了伤害。农药和水的比例选取多少最合适?要通过试验来确定。
如果预先知道要兑的水是在农药的1000倍与2000倍之间,怎样才能用最少的试验次数,找出最理想的数据呢?我们把稀释倍数1000和2000看成一条线段AB的两个端点,第一次选取1618倍作为试验,其中1618是这样算出来的:
1000+(2000-1000)×0.618=1618。
写成一般公式:
左端点+(右端点-左端点)×0.618。
如果稀释1618倍还不理想,水兑多了,杀虫不理想,可以进行第二次试验,仍用上面的公式。
1000+(1618-1000)×0.618≈1382。
就是说,你用1382倍水进行稀释。用这个公式可以再往下试验,可以较快地找到合理的数据。
使用这种优选法试验,每次都选黄金数0.618,所以这种方法叫0.618法。
毕达哥拉斯学派的创始人毕达哥拉斯是音乐理论的奠基人之一,毕达哥拉斯发现如果乐器三弦的长度之比为3∶4∶6,那么听起来的声音就和谐,有人把3,4,6这3个数叫作“音乐数”。
自然界中“巧合”
斐波那契数列在自然科学的其他分支有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝丫数便构成斐波那契数列。这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21……
其中百合花花瓣数目为3,梅花5瓣,飞燕草8瓣,万寿菊13瓣,向日葵21或34瓣,雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋:具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部。
这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。1992年,两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真试验,证实了在系统保持最低能量的状态下,花朵会以斐波那契数列长出花瓣。
3 比例尺
《比例尺》是第二单元中的第3节,本节主要的内容是学习比例尺的相关知识,是在学生已经学习了比以及比例的有关知识的基础上进行教学的,比例尺这一内容对学生来说比较陌生,它离实际生活较远,不易让学生直观理解,教材设计了讨论“淘气和笑笑画的平面图”的活动,体会比例尺的必要性,并教学比例尺的意义。
教材呈现了淘气和笑笑画的平面图,让学生初步体会只有图上距离和实际距离的比都相等,画的图才比较合理,初步感受比例尺的意义。在“认一认”的教学环节中,教材直接揭示比例尺的意义,呈现了数学关系式,并说明了求比例尺的方法。教材又呈现了线段比例尺是比例尺的另一种表示形式,线段比例尺与数值比例尺的意义是一致的,可以互化的,进一步体会比例尺的意义。
教材在“试一试”的教学环节中,主要是让学生学习利用比例尺求实际距离。教材通过奇思和妙想两个问题的提出及解决,目的是教学求实际距离的方法。求实际距离教材呈现了两种方法,一种是根据比例尺的意义求出实际距离,另一种是列出比例,再解比例,求出实际距离。
1.结合具体情景,体会比例尺产生的必要性,理解比例尺的意义,能看懂线段比例尺,学会求平面图的比例尺和根据比例尺求出图上距离或实际距离。
2.运用比例尺的相关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切关系。
【重点】 理解比例尺的意义,能根据图上距离、实际距离、比例尺中的任意两个量求第三个量。
【难点】 利用比例尺的知识解决实际问题。
第课时 比例尺
1.结合具体情景,认识比例尺,体会比例尺产生的必要性,理解比例尺的意义,学会求平面图的比例尺和根据比例尺求出图上距离或实际距离。
2.认识线段比例尺,能看懂线段比例尺。
3.运用比例尺的相关知识,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切关系。
【重点】 理解比例尺的实际生活意义,根据比例尺三个量中的两个量求第三个量。
【难点】 把线段比例尺改写成数值比例尺。
【教师准备】 PPT课件,刻度尺,地图。
【学生准备】 刻度尺。
1.填一填。
2米=( )厘米 3千米=( )厘米
2.观察方位图,完成任务。
(1)市政府距离广场( )米。
(2)电信大楼距离广场( )米。
(3)工人文化宫距离广场( )米。
【参考答案】 1.200 300000 2.(1)400 (2)300 (3)300
方法一
创设情景,引入新课。
(教师PPT课件直接出示蚂蚁图片)
师:同学们,大屏幕显示的是什么图片?
预设 生:小蚂蚁。
师:这个小蚂蚁可不是一般的小蚂蚁,最近它可出名了,你们不知道吧?
(教师讲述故事情节)
师:同学们,你们去过上海吗?上海到北京可以坐动车,动车美观、舒适,尤其是速度非常快,现在从上海到北京只需要7小时,比以前快了很多。可是这只小蚂蚁更厉害,它只用1分钟就从上海到达了北京,你们知道是为什么吗?
(学生思考,如果不知道,教师明确答案)
预设 生:是蚂蚁在地图上从上海到北京用了1分钟,不是实际的距离。
师:对,真聪明!一提到地图,同学们就会思考一个问题,中国这么大的疆域,是怎样绘制在一张很小的纸上的呢?它是运用了怎样的数学知识呢?通过今天的学习,你们就会知道其中蕴含着怎样的数学知识了,下面我们就踏上“探索列车”开始我们今天的学习之旅。(板书课题:比例尺)
[设计意图] 设计这个问题的目的有二:一是激发兴趣,活跃课堂;二是认识图上距离和实际距离,这里恰好引出了小蚂蚁在地图上爬行的路程便是图上距离,而我们坐动车所走过的路程就是实际距离,非常直观、形象地区分了两个概念,为新课做好铺垫。
方法二
谈话导入。
师:同学们,我们在母校已经生活了6年的时间了,马上面临毕业离开母校了,我们现在画一张母校的平面图,作为我们的留念,好吗?
预设 生:(异口同声)好。
师:我们就画我们学校的操场吧,(教师PPT课件出示操场的长:80米,宽:60米)现在我们就在纸上根据老师的数据开始绘制。
(学生窃窃私语,你看看我,我看看你,迟迟不肯动笔绘画)
师:同学们,怎么了?遇到什么问题了吗?
预设 生1:纸太小了,根本画不下学校的操场。
生 2:画纸只有几十厘米,操场有几十米,老师您是不是有些难为我们,我们根本完成不了这样的任务呀!
生 3:老师,我见过一些图纸,把一些较大的建筑按照一定的比例缩小,再画在纸上,就解决画不下的问题了。
师:同学们的疑虑生3帮助我们解决了,他说的真好,但是我们按照怎样的比例关系进行缩小呢?这节课我们就探究这样的知识——比例尺。(板书课题:比例尺)
[设计意图] 教师通过“绘画学校操场”的情景,引导学生提出问题,解决问题。渗透解决问题要运用到比例的知识,初步感受“比例尺”,体会数学与生活的联系。
方法三
直接揭题,导入新知。
师:在日常生活中人们经常要用到把一些实际的物体按一定的比例缩小(或放大)一定的倍数画在纸上,也就是要根据实际需要,确定图片要按照一定的标准放大和缩小,这就是我们今天要学习的新知识——比例尺。(板书课题:比例尺)
[设计意图] 直接揭题,明确本次的学习任务是比例尺,一方面使学生知道今天学习的内容,另一方面通过谈话让学生感受比例尺与实际生活的联系。
一、绘制平面图,体会比例尺的意义。
师:同学们,淘气和笑笑昨天进行了对学校周边分布情况的调查,获得了一些相关信息,请你们看大屏幕。
(教师PPT课件出示教材情景图)
师:你们能够根据情景图上的信息和相关知识(位置与方向)在纸上画出信息中邮局、书店、超市的位置吗?下面拿出绘图工具,试一试吧,老师相信你们!
(学生思考,动手画图,教师巡视指导)
[设计意图] 通过学生自己动手画图,体验画图的过程,同时在画图时也会遇到这样或那样的问题,在解决问题时,感受画图的合理性,提高学生的思维判断能力,也为下面学习“淘气与笑笑”的画图进行合理评价和判断做好铺垫。
师:经过老师的巡视,已经看到了同学们都完成了绘图任务,我们先不对同学们绘制的平面图进行评价,下面我们再看一幅图片。
(教师PPT课件出示淘气和笑笑画的图,边播放边叙述情景)
淘气和笑笑分别根据右面的信息画了图,他们画得合理吗?与同伴交流。
师:结合你们画的图想一想,认为他们的图画得合理吗?为什么?
预设 生1:老师,我认为淘气画的图是不合理的。因为根据信息可以知道实际距离中,超市在学校正北方向200米,邮局在学校正西方向100米,书店在学校正东方向300米,其中书店到学校的距离最长,邮局到学校的距离最短,而淘气画的图上距离看上去一样长,所以我认为淘气画的图是不合理的。
生 2:我也同意这个意见,我通过测量知道了淘气画的邮局、书店、超市到学校的图上距离都是相同的,图上距离与实际距离的比不相等,所以不合理。
生 3:结合我自己画的图,我也认为淘气画的图是不合理的,因为学校到邮局、书店、超市的范围很大,无法画在纸上,如果要想画在纸上就要按照一定的比例关系进行缩小,虽然我不知道应该怎样缩小,但是我认为实际距离长的,画在纸上的距离也应该长一些;实际距离短的,画在纸上的距离也应该短一些。而淘气画的图,图上距离长的反而短了,所以有些不合理。
生 4:老师,我认为笑笑画的图比较合理。因为笑笑画的图以1厘米的长度为单位,表示实际距离的100米,用2厘米表示实际距离200米,用3厘米表示实际距离300米,图上距离有长短之分,与实际距离相符,所以我认为是合理的。
生 5:笑笑画的邮局到学校的图上距离为1厘米,超市到学校的图上距离为2厘米,书店到学校的图上距离为3厘米,即图上距离∶实际距离=1∶10000,它们的比是相等的,所以笑笑画得合理。
师:通过你们的语言叙述,你们进行判断淘气与笑笑的画图是否合理是根据“图上距离与实际距离的比是不是相等”,老师也同意这种看法,它们又存在怎样的内在联系呢?下面我们继续学习。
[设计意图] 通过判断淘气与笑笑的画图是否合理,使学生初步体会只有图上距离和实际距离的比值都相等,画的图才比较合理,为理解比例尺的意义打好基础,并体会比例尺的实际意义。
二、学习比例尺的意义。
师:通过刚才的学习,知道了图上距离与实际距离的比相等时,画的图才合理。那么,图上距离与实际距离的比又有一个新的数学定义,叫作什么呢?同学们,你们知道吗?
1.明确比例尺的意义。
师:老师来告诉大家,图上距离与实际距离的比我们把它叫作这幅图的比例尺。
教师板书:图上距离与实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
师:同学们,你们能根据比例尺的意义想到比例尺的书写形式吗?你的心里是怎样想的?和同学们讨论一下吧!
(学生思考,小组讨论、交流)
预设 生:比例尺既然是比,就可以写成比的形式,我认为比例尺的书写形式为:图上距离∶实际距离=比例尺。
师:说得真好!比例尺的书写形式是:图上距离∶实际距离=比例尺。
教师板书:图上距离∶实际距离=比例尺。
预设 生1:老师,我认为比例尺既然是比的形式,比又可以写成分数的形式,所以比例尺可以写成分数的形式,即图上距离实际距离=比例尺。
生 2:这两个比例尺的书写形式虽然不同,一个是比的形式,另一个是分数的形式,但是它们表示的意义是相同的。
师:同学们,你们同意以上同学的说法吗?
预设 生:我们同意。
教师板书:或图上距离实际距离=比例尺。
2.认识数值比例尺。
师:同学们,再次观察笑笑画的图,你能说一说笑笑画的图的比例尺是多少吗?
(PPT课件出示教材情景图)
预设 生:笑笑画的图图上距离1厘米表示实际距离100米,所以笑笑画图的比例尺是1∶100。
师:同学们,你们同意他的说法吗?
预设 生:老师,既然比例尺是一个比,比是没有单位的,也就是说比的前项和比的后项是相同单位,应该把100米化成10000厘米,再写出比,化简比。即笑笑画图的比例尺是1∶10000。
师:同学们表现得真不错!都是爱动脑思考的好孩子!比例尺与一般的尺不同,它是一个比,不应该有计量单位。写比例尺时,前项、后项的长度单位要化成同级单位。为了计算方便,通常把比例尺的前项写成“1”,如果比例尺写成分数形式,分子也要化简成“1”。
[设计意图] 通过直接揭示比例尺的意义,呈现数学关系式,既精练地表示了比例尺的意义,又说明了求比例尺的方法。同时,对笑笑画的图中的比例尺的介绍,让学生知道怎样求一幅图的比例尺,即需要写出图上距离和实际距离的比。
3.指一指,算一算,画一画。
师:学校的东北方向400 m处有一个社区活动中心,先算一算,再在笑笑的图中标出来。
(教师PPT课件出示笑笑画的图)
(1)理解题意。
师:(指名到展台指一指)你知道这个社区活动中心在什么位置吗?
学生指出社区活动中心的位置(如上图所示)。
师:在笑笑的图中标出来社区活动中心的位置。你们打算怎么解决这个问题?
(学生思考,交流后汇报)
预设 生:在笑笑的图中标出学校东北方向的社区活动中心,就是求出图上距离是多少。
已知笑笑的图中比例尺是1∶10000,实际距离是400 m,根据比例尺和实际距离可以求出图上距离。
(2)探究方法,列式计算。
师:说一说你们解决问题的方法。(学生汇报)
方法一:求图上距离是多少厘米,可以先把400 m转化成40000 cm,即400 m=40000 cm。40000 cm里面有多少个10000,就是几厘米。40000÷10000=4(cm)。
方法二:利用比例的知识解决问题,图上1 cm表示实际距离10000 cm,x cm表示实际距离400 m,即40000 cm。列出比例,解得x=4。
(3)规范解答。
师:同学们,你们可以根据比例尺的意义解决问题吗?
(学生讨论,汇报)
教师板书:
解:设应在学校东北方向x cm处画社区活动中心。
400 m=40000 cm
x40000=110000
x=40000÷10000
x=4
师:根据比例尺和实际距离,求图上距离,可以用实际距离÷图上1个单位长度表示的实际距离来求,也可以根据图上距离实际距离=比例尺列比例来求。
三、认识线段比例尺。
师:比例尺不仅可以写成数值比例尺,还可以用线段来表示一幅图的比例尺,叫作线段比例尺。你能说说图中的比例尺表示什么意思吗?
(教师PPT课件出示情景图)
(学生观察图中的比例尺,感受线段比例尺的直观感觉)
师:同学们,通过观察,你们有什么想说的?
预设 生1:线段比例尺就是在图上附有一条注有数量的线段表示和地面上相对应的实际距离。
生 2:图上的线段比例尺标注的数量是90 km,它表示的是图上1 cm表示实际距离90 km。
生 3:老师,线段比例尺可以转化成数值比例尺吗?
师:生3同学的问题,你们谁能帮助他解决?
预设 生:线段比例尺可以转化成数值比例尺,将90 km转化成9000000 cm,即90 km=9000000 cm,写成数值比例尺为:1∶9000000。
[设计意图] 通过呈现地图,向学生介绍线段比例尺,使学生感受线段比例尺的直观感觉,更好地理解比例尺的意义。
1.说一说下面比例尺的实际意义。
(1)比例尺1∶90000000。
(2)比例尺
2.完成教材第22页“练一练”第3题。
【参考答案】 1.(1)表示图上距离1 cm表示实际距离90000000 cm,也就是900 km。 (2)表示图上距离1 cm表示实际距离50 km,也就是5000000 cm。
2.20∶192000000=1∶9600000
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了一幅图的图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。
生 2:我知道了比例尺的形式:图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺。
生 3:我知道了比例尺可以分为数值比例尺和线段比例尺。
生 4:为了计算方便通常把比例尺的前项写成“1”。
生 5:我知道了,已知比例尺中两个量可以求第三个量。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对比例尺的理解和掌握。
作业1
教材第26页“练习二”第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)1000厘米=( )米
5千米=( )厘米
200千米=( )厘米
4千米=( )米
300000厘米=( )千米
60000000厘米=( )千米
(2)在一幅地图上,甲、乙两地之间的图上距离是3厘米,甲、乙两地之间的实际距离是150千米,这幅地图的比例尺是( )。
2.(易错题)选一选。
(1)在一幅地图上,比例尺是( )。
A.尺子 B.计量单位
C.一个比 D.一个数
(2)图上20厘米的距离表示实际距离5毫米,这幅图的比例尺是( )。
A.4∶1 B.1∶4
C.40∶1 D.1∶40
【提升培优】
3.(重点题)A市到B市的铁路大约长1900千米。在比例尺是1∶40000000的地图上,A市到B市的铁路长约是多少厘米?
【思维创新】
4.(探究题)在比例尺是1∶2500000的地图上,量得甲、乙两城之间的距离是7.2厘米。一辆汽车每小时行驶80千米,如果这辆汽车从甲城到乙城,那么需要多少小时?
5.(创新题)下图是甲、乙、丙三地的公路交通图,王师傅驾车中午12:00由甲地出发沿①号公路开往乙地,每小时行驶50千米,到达乙地时正好是下午1:30。于是他又立即沿②号公路开往丙地,每小时行驶75千米。
(1)先用刻度尺量出甲、乙两地之间的图上距离,再计算这幅图的比例尺是多少。(量取图上距离时保留到整厘米数)
(2)先用刻度尺量出乙、丙两地之间的图上距离,再计算王师傅到达丙地时是几时。
【参考答案】
作业1:6.长4 cm,宽3.2 cm。比例尺1∶2500
作业2:1.(1)10 500000 20000000 4000 3 600 (2)1∶5000000 2.(1)C (2)C 3.1900千米=190000000厘米 190000000×140000000=4.75(厘米) 4.7.2÷12500000=18000000(厘米) 18000000厘米=180千米 180÷80=2.25(小时) 5.(1)甲、乙两地之间的图上距离为2 cm 2∶(5000000×1.5)=1∶3750000 (2)乙、丙两地之间的图上距离为3 cm 3×3750000=11250000(cm) 11250000 cm=112.5 km 112.5÷75=1.5(小时) 下午3:00
比例尺
图上距离与实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺。
解:设应在学校东北方向x cm处画社区活动中心。
400 m=40000 cm
x40000=110000
x=40000÷10000
x=4
比例尺这一知识是在学生已经掌握了化简比以及比例的知识的基础上进行教学的。
我认为成功之处在于我选取了学生们非常喜欢的情景,画出操场平面图,让学生动手操作画一画,问学生是怎么画的,在情景中引出课题。在设计本节课时仔细分析了教材的设计意图,同时又思考如何将这样一节概念教学恰到好处地与实际生活联系起来,于是,我主动、大胆地重组教材,在获得信息后,首先让学生自己操作绘制学校周围主要建筑放入平面图,再让学生观察“淘气和笑笑画的图”,与之对比,判断画图的合理性,初步渗透比例尺的意义。
在学生理解了比例尺的意义和作用后,怎样求比例尺和图上距离这一部分知识较简单。因此我比较注重培养学生的自学能力,大胆地放手让学生自己学习,自己思考,自己与其他学生交流,在交流中学到新的知识。
通过PPT课件的使用,使学生始终处于动手操作、动脑思考的状态,解决了线段比例尺和数值比例尺的转化,让学生从中体会到成功的喜悦。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:本节课的教学内容量大,导致学生的练习时间偏少。
再设计时,多给学生时间和空间,进行交流、讨论、操作,感受比例尺的实际意义,明白比例尺的特性“改变大小,不变形状”。
在比例尺是1∶2000的图纸上,量得一个长方形花园的长是2.4厘米,宽是1.8厘米,这个花园的实际面积是多少平方米?
[名师点拨] 长方形的面积等于长乘宽,题中先告诉了比例尺和图上距离,我们可以直接运用比例尺的关系式来求出长与宽的实际大小,然后计算花园的实际面积。
[解答] 花园的实际长为2.4÷12000=4800(厘米) 4800厘米=48米
花园的实际宽为1.8÷12000=3600(厘米)
3600厘米=36米
花园的实际面积为48×36=1728(平方米)
答:这个花园的实际面积是1728平方米。
【知识拓展】 比例尺为1∶2000,表示图上距离1厘米代表实际距离2000厘米,即表示实际距离是图上距离的2000倍。
尺的由来
传说我国在夏代,禹把自己的身高定为一丈,再划分为10等份,每份定为一尺。据说“丈夫”一词就出典于此。汉代把100粒粟子排列的长度定为一尺,也有用大拇指和中指伸直的长度定为一尺的。随着生产的发展,这些度量方法都不运用了。于是,出现了用木板、骨片、竹片及金属板等制成的固定尺,但这些尺的尺度与我们现在的市尺长度是不相等的。由于科学技术的发展,世界各国交往的频繁,度量的要求也越来越高了。
照片中的比例
借助参照物进行估测是一种重要的策略,结合比和比例的知识就能从一张照片获得一些重要的信息。
20世纪60年代,日本为了确定能否和中国做成炼油设备的交易,从中国公开的报纸和杂志中搜集了大量的有关信息,日本有关部门从1966年的一期《中国画报》上找到了一张大庆炼油塔(如图)的照片,从塔上的扶手栏杆鱼塘宽度的比例,估算出它的直径约五米,于是,日本估算土炼油塔的大小,并推算出我国大庆油田需要更大的炼油设备,日本有关部门迅速设计出适合大庆油田开采用的石油设备,果然没过多久,中国石油工业就开始在全世界范围内购买日产1万吨的炼油设备,而且日本很快满足了中国的需求,做成了交易。
第课时 比例尺的应用
1.结合具体情景,学会求平面图的比例尺和根据比例尺的意义求出图上距离或实际距离。
2.运用比例尺的相关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切关系。
3.提高学生解决实际问题的能力和计算能力。
【重点】 理解和掌握比例尺的意义。
【难点】 利用比例尺的意义解决实际问题的方法。
【教师准备】 PPT课件,长度测量工具。
【学生准备】 长度测量工具(直尺、三角板等)。
1.想一想,填一填。
(1)将改为数值比例尺为( )。
(2)比例尺按表现形式分为( )和( )。
2.( )叫作这幅图的比例尺。
3.( )( )=比例尺。
【参考答案】 1.(1)1∶6000000 (2)数值比例尺 线段比例尺 2.图上距离与实际距离的比 3.图上距离 实际距离
[设计意图] 通过对比例尺知识的复习,更好地掌握比例尺的相关知识,加深对比例尺意义的理解,为本节课比例尺的应用的学习打好基础。
方法一
复习提问,导入新知。
师:对上节课的学习,同学们,你们都学到了哪些知识?
预设 生1:我们掌握了比例尺的意义,比例尺的书写形式。
生 2:比例尺的前项一般化简成“1”。
师:今天我们继续学习比例尺的知识——比例尺的应用。(板书课题:比例尺的应用)
[设计意图] 通过复习谈话,加深对比例尺的理解和掌握,明确今天的学习任务。
方法二
创设情景,引入新知。
师:同学们,请看大屏幕,奇思对一幅地图中北京到上海的距离进行了测量,想计算两地间的实际距离,好像遇到了困难,我们去看看吧。
(教师PPT课件出示教材情景图)
下图为我国地图的一部分。
奇思从这幅地图上量得北京到上海的距离大约是3 cm。两地之间的实际距离约是多少千米?
师:我们能够根据这些信息解决这个问题吗?下面我们来继续学习比例尺的知识。(板书课题:比例尺的应用)
[设计意图] 兴趣是学习最好的老师,同时激发性的问题可以调动学生学习的热情。通过“奇思”的困难充分调动了学生的学习热情和想帮助“奇思”的急切心里,很好地营造了课堂气氛。
一、解决问题一。
师:同学们,奇思想知道“北京到上海的实际距离约是多少千米?”,你们打算怎么帮助他呢?
(教师边说边PPT课件出示情景图)
奇思从这幅地图上量得北京到上海的距离大约是3 cm。两地之间的实际距离约是多少千米?
师:从地图上你们了解了什么数学信息?
预设 生1:从图中可以知道这幅地图的比例尺是1∶34000000。
生 2:从文字信息中,可以知道奇思量得了图上距离是3 cm,要解决的问题是北京到上海的实际距离是多少千米。
[设计意图] 这是个开放性问题,一方面引发学生的思考,积极主动地参与学习。另一方面对学生进行思想教育,做一个乐于助人的人。
(学生独立思考,小组讨论,汇报成果)
预设 生1:根据比例尺的意义,我们可以知道求这幅图的实际距离,首先我们要知道图上距离和这幅地图的比例尺,我们才能解决这个问题。
生 2:比例尺是1∶34000000,奇思量得图上距离约是3厘米,我们根据比例尺的计算公式:图上距离∶实际距离=比例尺,推导出实际距离=图上距离÷比例尺,计算出实际距离。
生 3:我们可以根据比例来解决问题,设实际距离为x cm。列出比例:图上距离实际距离=比例尺,即3x=134000000。解得x的值后,再化成“千米”,就可以了。
师:同学们,现在你们可以帮助奇思解决问题了吗?把你的具体思路写在练习本上吧,然后进行集体订正。
(学生独立解决问题,然后汇报,教师根据汇报进行板书)
方法一:图上距离是1 cm表示实际距离34000000 cm,也就是1 cm表示340 km,3 cm就表示3个340,列式为:340×3=1020(千米)。
方法二:根据比例的知识进行解答,具体列式为……(学生口述计算过程,教师板书)
教师板书:
解:设北京到上海的实际距离为x cm。
3x=134000000
x=34000000×3
x=102000000
102000000 cm=1020 km
答:北京到上海的实际距离约为1020 km。
[设计意图] 通过学生独立解决问题,讨论解决方法,使学生体会解决问题方法的多样性,同时,加深学生对比例尺知识的理解和掌握。
二、解决问题二。
师:同学们,妙想想要从青岛去石家庄,她想让我们根据所学习的比例尺知识帮助她算一算“从青岛去石家庄”有多远。你们愿意帮助妙想吗?
预设 生:(异口同声)愿意。
师:青岛到石家庄的距离的问题,你们想用哪些知识解决?
预设 生1:用比例知识解决问题比较简单。
生 2:求“青岛到石家庄的距离”就是求实际距离,根据图上距离∶实际距离=比例尺,就可以解答问题。
生 3:我们要是根据“比例尺的意义”解决“青岛到石家庄的距离”问题,必须要知道青岛到石家庄的图上距离和这幅地图的比例尺才行。
[设计意图] 通过帮助妙想计算青岛到石家庄的距离的问题情景,不仅激发了学生的学习热情,而且充分调动学生参与学习和努力思考解决问题的积极性,体现了学生的自身价值和学习价值。
师:同学们思考问题真充分。课前妙想和老师取得了联系,让我们根据“奇思的地图”帮助解决问题,我们看一看,有我们需要的信息吗?
(教师PPT课件出示相关信息)
预设 生:从地图上我们只知道地图的比例尺,并不知道图上的距离。
师:你们想怎么解决这个问题?
(学生思考解决图上距离的方法)
预设 生:我们可以打电话咨询一下妙想。
师:现在是上课时间,不方便打电话,有其他想法吗?
预设 生:我们可以利用测量工具,实际测量青岛到石家庄的图上距离。
师:现在我们就动手操作,测量青岛到石家庄的图上距离吧!
(学生利用工具测量,并提出疑问)
预设 生1:老师,测量青岛到石家庄的图上距离,不太好测量,按照地图上的路线测量,路线非常弯曲,测量起来会有很大的误差,测量的数值不会太精确。
生 2:是的,我们也遇到了这样的问题,老师有没有具体的测量办法呀?
师:我们测量青岛到石家庄的路线,测量直线距离就可以了。
(学生再次测量青岛到石家庄的图上距离,教师巡视)
师:你们测量青岛到石家庄的图上距离是多少?
预设 生1:我测量的数据是1.6 cm。
生 2:我测量的数据是1.7 cm。
师:由于实际测量时,会因为测量过程中的多种因素使我们的测量产生一定的误差,我们就以青岛到石家庄的图上距离是1.6 cm的数据为标准来完成这次解决的问题,好吗?
预设 生:好的。
师:现在,我们算一算青岛到石家庄的实际距离大约是多少千米。
(学生独立思考,解决问题)
学生汇报,教师板书。
解:设青岛到石家庄的实际距离为x cm。
1.6x=134000000
x=1.6×34000000
x=54400000
54400000 cm=544 km
答:青岛到石家庄的实际距离为544 km。
师:我们在解决问题时,要注意单位的换算哦!还要注意“智慧老人”的提醒,为了计算准确别忘了验算呀!
[设计意图] 通过学生动手操作“测量青岛到石家庄”的图上距离的过程,培养了学生发现问题、解决问题的能力,同时培养了学生动手的能力。激发了学生的学习积极性,增强了学生解决实际问题时,全面思考问题的习惯。
三、拓展延伸。
师:同学们,经过这两节课的学习,我们知道了比例尺,并能利用比例尺的意义解决生活中的实际问题,知道了为了计算方便通常把比例尺的前项写成“1”。但是,你们知道吗,比例尺的后项也有写成“1”的时候,不信,请同学们看大屏幕。
(教师PPT课件出示)
师:你们读懂了吗?
预设 生:我们把比例尺前项写成“1”时,是图形缩小了;把比例尺的后项写成“1”时,是图形放大了。
[设计意图] 通过“你知道吗”,使学生知道数值比例尺有不同的情况,在利用比例尺解决问题时,更好地应用比例尺,有助于拓宽学生的知识面,提高学生解决问题的能力。
1.完成教材第22页“练一练”第4题。
2.完成教材第22页“练一练”第5题。
【参考答案】 1.3×2000=6000(cm) 6000 cm=60 m 3×500=1500(cm) 1500 cm=15 m 2.(1)4 250 1∶25000 (2)7 1750 (3)略 (4)超市到街心花园的图上距离是5 cm,实际距离是多少米?5×250=1250(m)
[设计意图] 通过训练,加强学生对比例尺意义的理解,以及解决问题的能力。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我知道了,根据比例尺和图上距离求实际距离,可以用图上一个单位长度表示的距离×几个单位长度,这就是几个图上单位长度表示的实际距离。
生 2:我知道了,比例尺前项写成“1”时,是图形缩小了;把比例尺的后项写成“1”时,是图形放大了。
生 3:通过比例尺计算实际距离时,要注意单位间的换算。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面加强学生对知识的理解,另一方面是体会比例尺在实际生活中的价值和意义。
作业1
教材第26页“练习二”第7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)( )和( )的比叫作比例尺。比例尺=( )∶( ),比例尺实际上是一个( )。
(2)在一幅地图上,用3厘米长的线段表示实际距离51千米,这幅地图的比例尺是( )。
(3)一个零件长5毫米,画在图纸上长25厘米,这张图纸的比例尺是( )。
(4)在一幅比例尺是12500000的地图上,量得天津到北京的距离是4.8厘米,天津到北京的实际距离大约是( )千米。
【提升培优】
2.(难点题)在一幅地图上,测得甲、乙两地的图上距离是13厘米,已知甲、乙两地的实际距离是780千米。
(1)求这幅地图的比例尺;
(2)在这幅地图上量得A,B两城的图上距离是5厘米,求A,B两城的实际距离。
【思维创新】
3.(操作题)放暑假时,你打算到哪去旅游?找一张地图,标出你家乡的大致位置,算一算两地之间的实际距离大约是多少千米。
【参考答案】
作业1:7.(1)图上1 cm表示实际5000000 cm(50 km) (2)450 km (3)60×9=540(km),能到达B城 8.(1)2.5 1∶8000 (2)8.5 680 13.6
(3)1.5+3=4.5(cm) 4.5×8000=36000(cm) 36000 cm=360 m (4)略
作业2:1.(1)图上距离 实际距离 图上距离 实际距离 比 (2)1∶1700000 (3)50∶1 (4)120
2.(1)1∶6000000。 (2)300千米。 3.略。
比例尺的应用
解:设北京到上海的实际距离为x cm。
3x=134000000
x=34000000×3
x=102000000
102000000 cm=1020 km
答:北京到上海的实际距离约为1020 km。
解:设青岛到石家庄的实际距离为x cm。
1.6x=134000000
x=1.6×34000000
x=54400000
54400000 cm=544 km
答:青岛到石家庄的实际距离为544 km。
为了
本单元教学内容属于“数与代数”和“图形与几何”两个领域,本单元主要通过四个活动引导学生学习:有“数与代数”领域的比例的认识、比例的应用、比例尺和“图形与几何”领域的图形的放大和缩小等内容。
本单元的学习是学生已经掌握了比的意义、比的化简、比的应用等知识的基础上进行学习的,为后面学习变化的量、正比例、反比例奠定基础。本单元《比例》是六年级下册的重点单元,是除法、分数、比、方程等知识的综合与提升。比例的意义和比例的性质是解比例的基础,教材创设了“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,引导学生理解表示两个比相等的式子叫作比例的含义。为了帮助学生进一步体会解比例的实际意义,沟通知识之间的联系,教材创设了“物物交换”的情景,引导学生用多种方法解决问题,体会解决问题方法的多样性。在比例尺的教学安排中,教材设计了讨论“淘气和笑笑画的平面图”的活动,体会比例尺的必要性。最后教材安排了图形的放大和缩小,与理论知识相结合编排,数形结合,有助于学生的理解与掌握,教材设计了“为巨人设计教室”的任务,以具体的任务驱动学生的学习,体会图形的`放大和缩小的实际意义。
1.结合具体情景,理解比例的意义和“比例中内项的积等于外项的积”的规律,认识比例的各部分名称,结合解决问题的过程学习解比例。
2.经历观察、操作与交流等活动,体会比例尺产生的必要性和实际意义,初步理解比例尺的意义,会求比例尺,能按给定的比例尺求相应的图上距离与实际距离。
3.初步理解图形的放大与缩小,能利用方格纸按一定的比例简单地把图形放大或缩小,发展空间观念。
4.运用比例尺的有关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,体会数学与生活的联系。
在观察、比较、探究的过程中,发现比与比例的区别,体会比与比例的关系。
能根据比例的意义和基本性质解决按比例进行分配的实际问题。
在解决问题过程中,进一步体会比例的意义,提高解决问题的能力,感受比例在生活中的广泛应用。
【重点】 理解比例的意义和基本性质;理解解比例的依据,正确解比例;比例尺的意义,能根据图上距离、实际距离、比例尺中的任意两个量,求第三个量;能把一个图形正确的缩放。
【难点】 判断两个比能否组成比例;正确地解比例;掌握图形缩放的规律,体会图形的相似。
本单元是在学生已经学习了比的知识的基础上进行学习的,主要学习比例、比例尺等相关知识,教学本单元时建议如下:
1.提供充分的观察、操作、交流等活动,促进学生对比例和比例尺的概念的理解。
比例和比例尺是本单元学习的重要内容,帮助学生理解和掌握基本概念是学习其他知识及其相关应用的基础,教材中是设计有利于学生理解概念的情景,引导学生充分经历观察、操作、交流的活动,促进学生理解数学概念。例如,比例的意义的教学,教材呈现了几张图片,让学生根据图片写出长与长的比,宽与宽的比,借助图形的直观变化思考这两个比有什么关系,从而帮助学生初步理解比例的意义。再如,比例尺的教学,教材呈现了淘气和笑笑画的两幅平面示意图,引导学生在讨论交流中体会引入比例尺的必要性,并自然引出比例尺的概念,帮助学生初步认识比例尺,在此基础上,引导学生解读地图上的比例尺,理解和体会比例尺的实际意义。
2.创设有趣情景,以“巨人的教室”等具体任务驱动图形的放大和缩小等知识的学习。
教材注重通过创设有趣的情景用任务驱动的方式让学生体会“图形的放大和缩小”“解比例”等知识学习的价值。如“图形的放大和缩小”教学,教材设计了为巨人设计教室的任务,根据巨人的身高与普通人的身高的比是4∶1,思考如何为巨人设计教室、课桌、三角尺等,以具体的任务驱动学生的学习,体会图形的放大和缩小的实际意义,掌握图形的放大和缩小的基本方法。在“比例的应用”的教学中,教材设计了“物物交换”的活动,驱动学生的学习,这样不仅能使学生在活动中学习数学知识,发展数学思维,而且有利于学生感受数学探索的乐趣,提高学生学习数学的兴趣。
3.重视知识间的沟通与联系,提高学生综合运用知识解决问题的能力。
学习的比例、比例尺等知识与前面已经学习的比、除法、分数、方向与位置等知识都有一定的联系,教材注重知识的综合运用,让学生感受知识的内在联系,提高学生综合运用知识解决问题的能力。例如在“比例的应用”的学习中,教材设计了“物物交换”的情景,引导学生在解决问题中学习解比例的知识。
1 比例的认识
《比例的认识》是第二单元中的第一节,本节主要的知识内容是“比例的意义”和“比例的基本性质”。本节课是在学生已经学习了比的有关知识(如比的意义,化简比,求比值等)的基础上,学习比例的意义及其基本性质。比例的意义及其基本性质是后续学习解比例、比例尺等知识的重要基础。
教材设计了“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,引导学生通过化简比、求比值等不同方式找到相等的比,理解“表示两个比相等的式子叫作比例”的含义,并认识比例的内项、外项等名称。“试一试”的教学中,教材安排了探索“比例中的两个外项的积等于两个内项的积”规律的学习。
1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,找到相等的比,理解比例的意义,认识比例的各部分名称,能通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。
2.通过观察、计算,发现并理解“比例中的两个外项的积等于两个内项的积”,并能根据这一规律判断两个比能否组成比例。
3.经历观察比较、自主探究等活动,提高学生的分析和概括能力。
【重点】 结合具体情景理解和掌握比例的意义和基本性质及比例的各部分名称。
【难点】 根据比例的意义或基本性质判断两个比能否组成比例。
第课时 比例的意义
1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”两个不同的情景,找到相等的比,理解比例的意义,认识比例的各部分名称。
2.通过观察、计算,理解通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。
3.经历观察比较、自主探究等活动,提高学生的分析和概括能力。
【重点】 掌握比例的意义。
【难点】 理解通过化简比和比例的意义判断两个比能否组成比例。
【教师准备】 PPT课件,大小不同的学生(教师)的图片。
【学生准备】 方格纸。
1.在10∶5里,比的前项是( ),比的后项是( ),化简比后是( )。
2.写出两个量的比。
(1)一辆汽车5小时行驶300千米,写出路程与时间的比,并化简。
(2)小明身高1.2米,小张身高1.4米,写出小明与小张身高的比。
3.求下面各比的比值。
12∶16 13∶25 4.5∶2.7
【参考答案】 1.10 5 2∶1 2.(1)300∶5=60∶1 (2)6∶7 3.34 56 53
方法一
创设情景,引入新课。
师:同学们,我们班级里来了一位新朋友,你们猜猜他是谁?(教师PPT课件出示“淘气”的情景图片)
预设 生:我们的老朋友——淘气。
师:淘气不仅是一个爱自拍的人,而且还是一个敢于创新的人,他把自己的照片进行了艺术加工,变成了……这些图片。(教师声音拉长)
(教师出示教材情景图片)
师:你都知道了哪些信息?
预设 生1:通过观察图片,我知道了图片上一共有A,B,C,D,E五张淘气的照片。
生 2:我还知道图片A的长是6,宽是4。
生 3:虽然五张都是淘气的照片,但是形状不都一样,有的扭曲了。
……
师:上学期学习“比的认识”时,我们讨论过“图片像不像”的问题,请同学们联系比的知识,再想一下,怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像呢?
预设 生1:图片A与图片B像。
生 2:图片A与图片D像。
生 3:图片A,B,D三张像,图片C,E两张不像。
师:那么,你们这样判断的依据是什么?
预设 生1:通过数方格可以知道,图片A,B,D的长与宽的比分别是6∶4=32,3∶2=32,12∶8=32,他们的比值是相等的,所以这三张图片像。图片C,E的长与宽的比值不与它们相等,所以不像。
生 2:我们还可以通过图片的长与长的比,宽与宽的比来判断。图片A与图片B长与长的比是6∶3=2,宽与宽的比是4∶2=2,它们的比值相等。图片A与图片D长与长的比是6∶12=12,宽与宽的比是4∶8=12,比值也相等,所以它们像。
师:这就是我们今天要学习的知识……(板书课题:比例的意义)
[设计意图] 通过淘气照片情景的创设,可以调动学生的学习热情,再通过教师的引导和提问,使学生双向地进行思考,有序地解决问题,自然地引入新知,为新知的教学做好铺垫。
方法二
谈话导入。
教师出示课件,结合画面引入。
师:同学们请看,这是我们祖国各地的风景图片,我们的祖国幅员辽阔,却能在一张小小的地图上清晰可见各地位置。(PPT课件出示)
师:科学家在研究很小很小的生物细胞时,想清楚地看见细胞各部分,就要借助显微镜将细胞按比例放大。这些,都要用到新的知识——比例的知识。我们本单元就来学习有关比例的知识,今天我们先来认识比例。(板书课题:比例的意义)
[设计意图] 借助现代化电教手段,用形象、直观的图片来激发学生的求知欲望,同时也培养了学生爱祖国、爱科学的情感。
方法三
复习旧知,导入新知。
师:请同学们回忆一下上学期我们学过的比的知识,谁能说说什么叫作比?并举例说明什么是比的前项、后项和比值。(教师把学生举的例子板书出来,并注明比的各部分的名称)
预设 生:两个数相除又叫作两个数的比。“∶”叫作比号,比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项,比的前项除以后项所得的商叫作比值。
师:我们知道了比的前、后项相除所得的商叫作比值,你们会求比值吗?(教师板书或PPT课件出示下面几组比,让学生求出它们的比值)
12∶16 4.5∶2.7 10∶6
学生求出各比的比值后,再提问:有什么发现?
预设 生:4.5∶2.7的比值和10∶6的比值相等。
师:因为这两个比的比值相等,所以这两个比也是相等的,我们把它们用等号连起来。(教师PPT课件出示:4.5∶2.7=10∶6)
师:像这样的式子,在数学领域中又叫作什么呢?今天我们就来学习这样的知识。(板书课题:比例的意义)
[设计意图] 在学习比例之前,就强调了两个比的比值相等,为学习新知识提供了“最佳关系”和知识的“固定点”。
一、比例的意义。
师:同学们,通过刚刚的谈话,老师知道了,同学们对淘气照片的变化有一定的感受和体会,现在老师请同学们再观察一下这组“淘气的照片”,并回答老师的问题,同学们来看一看。(出示PPT课件)
1.用PPT课件出示课本情景图。
上学期学习“比的认识”时,我们讨论过“图片像不像”的问题。请同学们联系比的知识,再想一想,怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像呢?
师:观察情景图,说一说情景图中的图片有什么相同之处和不同之处?
预设 生1:图片上虽然都是淘气的照片,但大小完全不同,有的照片长和宽还发生了变化。
生 2:图片A,B,D虽然大小发生了变化,但是看上去好像一样的,图片C,E就不一样了,发生了变形。
师:你们知道这些图片的长和宽是多少吗?(学生观察,通过数格子了解数据)
预设 生:图片A的长是6,宽是4;图片B的长是3,宽是2;图片C的长是8,宽是3;图片D的长是12,宽是8;图片E的长是12,宽是2。
师:你们是怎么知道的?
预设 生:通过数方格,就可以知道每个图片的相关数据了。
师:真聪明!那你们能写出这些图片的长和宽的比,并计算出比值各是多少吗?
(学生动笔计算后汇报成果)
预设 生1:A图片长与宽的比是6∶4,比值是32。
生 2:B图片长与宽的比是3∶2,比值是32。
生 3:C图片长与宽的比是8∶3,比值是83。
生 4:D图片长与宽的比是12∶8,比值是32。
生 5:E图片长与宽的比是12∶2,比值是6。
教师板书:A 6∶4=32
B 3∶2=32
C 8∶3=83
D 12∶8=32
E 12∶2=6
师:同学们,通过计算比值你们有什么发现?怎样的两张图片像?怎样的两张图片不像?(学生思考后汇报)
预设 生1:A图片长与宽的比是6∶4,B图片长与宽的比是3∶2,D图片长与宽的比是12∶8,它们的比值都是32,所以6∶4=3∶2=12∶8,因此A,B,D三张图片就像。
生 2:老师,经过上面同学的分析,我又写出来不同上面的两个比,用D和A两张图片,写出它们长与长的比12∶6,宽与宽的比8∶4,通过计算,它们的比值也相等,12∶6=8∶4,所以图片D和图片A就像。
生 3:老师,用A和B两张图片,我也写出来两个比,它们长与长的比为6∶3,宽与宽的比为4∶2,通过计算,它们的比值也相等,6∶3=4∶2,所以图片A和图片B就像。
教师板书:12∶6=8∶4,6∶4=3∶2。
2.明确比例的意义。
师:D和A两张图片,长与长、宽与宽的比值相等,A和B两张图片长和宽的比值相等。我们用等号把它们连接起来(教师手指板书说),像12∶6=8∶4,6∶4=3∶2这样的式子叫什么呢?
师:老师告诉同学们,像12∶6=8∶4,6∶4=3∶2这样表示两个比相等的式子叫作比例。你们听明白了吗?你们可以复述吗?
(学生复述,也可以小组内复述,相互纠正)
教师板书:像这样表示两个比相等的式子叫作比例。
[设计意图] 通过学生复述,加深对比例概念的理解和掌握。
师:从比例的意义我们可以知道,比例是由几个比组成的?这两个比必须具备什么条件?
预设 生:比例是由两个比组成的,这两个比是相等的。
(教师在板书上做上重点强调记号:两个比;相等)
师:因此判断两个比能不能组成比例,关键是看什么?如果不能一眼看出两个比是不是相等的,怎么办?
预设 生:在判断两个比能不能组成比例时,关键是看这两个比是不是相等。如果不能一眼看出两个比是不是相等,可以先分别把两个比求出它们的比值或化简以后再看。
二、认识比例的各部分名称。
师:在两个相等的比组成的比例中,它们又有什么样的好听的名字呢?
1.比例的各部分名称。
(教师PPT课件出示:12∶6=8∶4)
师:(教师边进行课件演示,边语言表述)中间的两项叫作比例的内项,两端的两项叫作比例的外项。
教师板书:
师:比可以写成分数形式,比例也可以写成分数形式,你们能独立思考,解决这个问题吗?
(学生在练习本上书写,教师巡视)
师:谁愿意把自己的成果展示给大家看一看?
(指名到展台前板书)
126=84
师:写成分数形式的比例后,你们还能找出比例的外项和内项了吗?
预设 生:能。12和4是比例的外项,6和8是比例的内项。
教师板书:
[设计意图] 在明确各部分名称的同时,让学生独立完成比例的分数形式的书写,可以培养学生知识的联系性,使学生感受到成功的快感,彰显了自身的价值。
2.比较“比”和“比例”两个概念。
师:上学期我们学习了“比”的意义,现在又知道了“比例”的意义,那么“比”和“比例”有什么区别呢?
(学生思考,小组讨论,老师巡视指导)
预设 生1:从意义上理解,比是表示两个数相除,比例是表示两个比相等的式子,意义不同。
生 2:比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
师:同学们对知识掌握得真牢,总结得真好!从意义上来区分,比是表示两个数相除,有两项;比例是一个等式,表示两个比相等,有四项。
[设计意图] 通过比和比例的区别,可以使学生加强知识间的联系,明白知识间有联系,也有区别,使知识掌握更加透彻。
3.找比例。
师:在图片的尺寸中,你还能找出哪些比可以组成比例?(学生猜想另外两幅图片长、宽的比值,求出图片长、宽的比值,并组成比例)
(教师PPT课件再次出示教材情景图)
(学生找出不同的相等的比,组成比例)
预设 生1:3∶2=12∶8。
生 2:6∶4=12∶8。
……
[设计意图] 通过“找比例”,加强学生对比例意义的理解和运用,再次强化学生的记忆,使知识在学生的头脑里“扎根”。
三、比例的应用。
师:下表是调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况,根据比例的意义,你们能写出比例吗?写一写,与同伴交流。
调制蜂蜜水配比情况表
蜂蜜水A
蜂蜜水B
蜂蜜/杯
2
3
水/杯
10
15
师:什么样的比可以组成比例?
预设 生:看两个比是否相等,如果两个比相等就可以组成比例。
师:你们准备用什么方法判断两个比是否相等呢?
预设 生1:根据比的意义,计算比值,来判断两个比是否相等。
生 2:可以利用比的基本性质,把比化简成最简单的整数比,判断两个比是否相等。
师:把组成的比例写出来。
(学生交流,写出比例)
预设 生1:3∶2=15∶10。
生 2:10∶2=15∶3。
教师板书:3∶2=15∶10,10∶2=15∶3。
师:板书上的两个比例成立吗?说一说你们是怎么写的?一共可以写多少个不同的比例?
预设 生1:从表格中可以知道蜂蜜水A由2杯蜂蜜和10杯水组成,蜂蜜水B由3杯蜂蜜和15杯水组成。我们可以分别写出蜂蜜水B与蜂蜜水A中蜂蜜杯数的比、水的杯数的比,并求出两个比的比值,比值是相等的,可以写出比例。
蜂蜜水B的蜂蜜的杯数∶蜂蜜水A的蜂蜜的杯数=3∶2=1.5。
蜂蜜水B的水的杯数∶蜂蜜水A的水的杯数=15∶10=1.5。
组成比例:3∶2=15∶10。
生 2:蜂蜜水A中水的杯数和蜂蜜的杯数的比,与蜂蜜水B中水的杯数和蜂蜜的杯数的比,经过化简发现两个比也相等,可以组成比例:10∶2=15∶3。
师:同学们,你们同意他们的想法吗?还可以写出其他的比例吗?
(学生思考,交流)
预设 生1:2∶3=10∶15。
生 2:15∶10=3∶2。
师:这两种蜂蜜水一样甜吗?为什么?
(学生根据两个比相等组成比例,判断两个蜂蜜水一样甜)
师:淘气的判断和我们一致吗?
(教师PPT课件出示图片)
预设 生:观点是一样的。
师:他和笑笑是怎样说的?(学生阅读笑笑和淘气的谈话)
师:两个比能否组成比例,关键是判断两个比是否相等,判断两个比是否相等有两种方法,即求比值和化简比。
[设计意图] 通过老师的问题串,引导学生再次体会组成比例的关键是看两个比是否相等,相等,能组成比例,反之,就不能组成比例。
1.填空。
(1)组成比例的四个数叫作比例的( ),中间的两个数叫作比例的( ),两端的两个数叫作比例的( )。
(2)从24的因数中选出四个因数,组成两个比的比值都是14的比例式是( )。
(3)在12,8,16这三个数中添上一个数组成比例,这个数可以是( ),( )或( )。
(4)如果x8=y13,那么x∶y=( )。
2.判断。
18∶30和3∶5可以组成比例。 ( )
3.一个比例的两个外项互为倒数,一个内项是110,写出符合条件的一个比例。
4.一个比例,组成比例的比的比值是14,两个比的前项分别是17和35,写出这个比例。
【参考答案】 1.(1)项 内项 外项 (2)1∶4=2∶8(答案不唯一) (3)6 24 323 (4)8∶13 2.√ 3.2∶110=10∶12(答案不唯一) 4.17∶68=35∶125
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了表示两个比相等的式子叫作比例。
生 2:我知道了比表示两个数相除,有两项,比例是表示两个比相等的式子,是等式,有四项。
生 3:在比例中,中间的两个数叫作比例的内项,两端的两个数叫作比例的外项。
生 4:我知道了,判断两个比能否组成比例的关键是看它们的比值(或化简比),如果两个比相等,我们就说这两个比能够组成比例。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,培养学生的语言表达能力,加强学生的有效记忆。
作业1
教材第17页“练一练”第1题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)填空。
(1)12∶9的比值是( ),13∶14的比值是( ),把这两个比写成比例为( )。
(2)12的因数有( ),用其中的4个数组成比例:( )∶( )=( )∶( )。
(3)在比例2∶0.3=20∶3中,如果第一项加上0.6,要使比例成立,那么第三项应加上( )。
2.(重点题)求出下面每个比的比值。
0.6∶12=( ) 3.5∶4.5=( )
14∶18=( ) 0.9∶185=( )
18∶12=( ) 14∶15=( )
【提升培优】
3.(难点题)应用比例的意义,判断下面每组中的两个比能否组成比例。
(1)0.9∶1.2和6∶8。
(2)15∶16和6∶5。
4.(易错题)选择题。
(1)下面的式子中,( )是比例。
A.3+6=4+5 B.183=0.60.1
C.27÷9=1×3 D.1∶4=4∶1
(2)能与16∶18组成比例的是( )。
A.6∶8 B.1∶6
C.4∶3 D.3∶4
5.(变式题)在( )里填上适当的数。
(1)3∶( )=( )∶12
(2)24∶9=8∶( )
(3)( )∶12=15∶( )
(4)( )∶3=8∶( )
6.(探究题)一个比例的各项都是整数,这两个比的比值都是0.6,且第一项比第二项小10,第四项是第二项的15,写出这个比例。
【思维创新】
7.(开放题)请你用6,12,15再配上一个数组成比例。
【参考答案】
作业1:1.(1)3∶9 2∶6 能 (2)3∶2 9∶6 能
作业2:1.(1)43 43 12∶9=13∶14 (2)1,2,3,4,6,12 1∶2=3∶6(答案不唯一) (3)6 2.120 79 79 14 14 54 3.(1)因为0.9∶1.2=34,6∶8=34,所以0.9∶1.2和8∶6能组成比例。 (2)因为15∶16=65,6∶5=65,所以15∶16和6∶5能组成比例。 4.(1)B (2)C 5.(1)(答案不唯一)4 9 (2)3 (3)(答案不唯一)30 6 (4)(答案不唯一)4 6 6.15∶25=3∶5 7.6∶12=15∶30(答案不唯一)
比例的意义
A.6∶4=32 B.3∶2=32 C.8∶3=83 D.12∶8=32 E.12∶2=6
像12∶6=8∶4,6∶4=3∶2这样表示两个比相等的式子叫作比例。
在学习各部分名称时,采用了让学生自学教材的方式,因为自学教材也是学生探索问题、解决问题的重要途径。意在突破传统的教学模式,不讲授,让学生借助教材、板书、计算机课件的有机结合,总结出三者之间的联系,实现了自主学习。
在比例的应用教学时,让学生根据所学知识独立思考、解决问题,根据高年级学生的阅读、理解能力,结合教材的具体内容,充分相信学生,组织学生以小组为单位进行研究、探索、讨论、总结,有利于培养学生的创新意识和实践能力,有利于学生的思维发展,有利于培养学生间的合作精神。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:知识讲授过程中学生思考的时间较少。
再设计时,让学生做到充分的预习,对学习的重点和难点要有创新性问题的设计,发展学生的思维能力,快速、高质量地接受新知的能力。
判断10∶12和1∶65能否组成比例。
[名师点拨] 判断两个比能否组成比例,根据比例的意义来判断,计算两个比的比值,若比值相等,则两个比能组成比例,反之则不能。
[解答] 因为10∶12=56,1∶65=56,两个比的比值相等,
所以10∶12和1∶65能组成比例:
10∶12=1∶65。
【知识拓展】 如果四个不同的数可以组成比例,那么这四个数一共能组成8个不同的比例。
一个聪明的小男孩
从前,一个国王经常给身边的大臣出难题来取乐,如果大臣答对了,他将用小恩小惠给点赏赐;如果答不出来,那将受罚,甚至被砍头。
一天,国王指着宫里的一个池塘问:“谁能说出池子里有多少桶水,我就赏他珠宝。如果说不出来,我就要‘赏’你们每人50大鞭。”大臣们被这突如其来的问题难住了。
正在大臣们心慌意乱之际,走过来一个放牛的小男孩。他问清了事情的缘由之后说:“我愿意见见这位国王。”
大臣们把小男孩带到了国王身边。国王见眼前的小男孩又黑又瘦又小,便怀疑说:“这个问题答上来有奖,答不上来可要被砍头的,你知道吗?”在场的人都替这个小男孩捏了一把汗,可小男孩却不慌不忙地回答出国王的问题。国王无奈之下,拿出珠宝奖励给了小男孩。小朋友们,你知道他是怎样回答的吗?
其实,国王出的是一道条件不足的问题。在正常的思维模式下是无法找出正确答案的。小男孩正好抓住这一关键。他是这样回答的:“这要看桶有多大:如果桶和池塘一样大,就是一桶水;如果桶只有池塘一半大,就是有两桶水;如果桶是池塘的三分之一大,就是三桶水……”
小男孩实际上打破了习惯性的思维模式,对具体的问题进行具体的分析,他的头脑多么聪明、灵活啊!
动物与数学
由于生存的需要,动物肌体的构造为了适应客观环境,常常符合某种数学规律或者具有某种数学本能。许多事实是非常有趣的。
老虎、狮子是夜行动物,到了晚上,光线很弱,但它们仍然能外出活动捕猎。这是什么原因呢?原来动物眼球后面的视网膜是由圆柱形或圆锥形的细胞组成的。圆柱形细胞适于弱光下感觉物体,而圆锥形细胞则适合于强光下感觉物体。在老虎、狮子一类夜行动物的视网膜中,圆柱细胞占绝对优势,到了晚上,它们的眼睛最亮,瞪得最大,直径能达三四厘米。所以,光线虽弱,但视物清晰。
冬天,猫儿睡觉时,总是把自己的身子尽量缩成球状,这是为什么?原来数学中有这样一条原理:在同样体积的物体中,球的表面积最小。猫身体的体积是一定的,为了使冬天睡觉时散失的热量最少,以保持体内的温度尽量少散失,于是猫儿就巧妙地“运用”了这条几何性质。
我们都知道跳蚤是“跳高冠军”。1910年,美国人进行过一次试验,发现一只跳蚤能跳33 cm远,19.69 cm高。这个高度相当于他身体长度的130倍。按照这样的比例,如果一个1.70米高的成年人,能像跳蚤那样跳跃的话,可以跳221米高,相当于70层楼的高度。
蚂蚁是一种勤劳合群的昆虫。英国有个叫亨斯顿的人曾做过一个试验:把一只死蚱蜢切成三块,第二块是第一块的两倍,第三块又是第二块的两倍,蚂蚁在组织劳动力搬运这些食物时,后一组均比前一组多一倍左右,似乎它也懂得等比数列的规律哩!
桦树卷叶象虫能用桦树叶制成圆锥形的“产房”,它是这样咬破桦树叶的:雌象虫开始工作时,先爬到离叶柄不远的地方,用锐利的双颚咬透叶片,向后退去,咬出第一道弧形的裂口。然后爬到树叶的另一侧,咬出弯度小些的曲线。然后又回到开头的地方,把下面的一半叶子卷成很细的锥形圆筒,卷5~7圈。最后把另一半朝相反方向卷成锥形圆筒,这样,结实的“产房”就做成了。
第课时 比例的基本性质
1.通过观察、计算,发现并理解“比例中两个内项的积等于两个外项的积”,能根据这一规律判断两个比能否组成比例。
2.经历观察、比较、自主探究等活动,提高分析和概括能力。
【重点】 理解比例的“两个内项的积等于两个外项的积”的规律。
【难点】 判断两个比能否组成比例。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
1.说一说比例的意义。
2.根据比例的意义,判断下面每组中的两个比能否组成比例。
0.6∶0.8和24∶32 7∶9和14∶18
【参考答案】 1.表示两个比相等的式子叫作比例。 2.0.6∶0.8=24∶32 7∶9=14∶18
[设计意图] 通过复习旧知,为学习新知做铺垫,使学生很快进入有目的的探究状态。
方法一
温故知新,导入新知。
师:同学们,在我们这六年的小学生涯中,已经掌握了很多的知识,并能够运用所学知识解决一些简单的实际问题,还记得除法中商不变的性质,分数的基本性质和比的性质吗?
预设 生1:在除法中被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外),商不变,叫作商不变的性质。
生 2:老师,我知道分数的基本性质是“分子和分母同时乘或除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变”。
生 3:比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外),比值不变。
师:同学们的记忆力真好!知识记忆得真牢!那么,我们新认识的“比例”也有性质、规律存在,它又是什么呢?今天我们继续学习比例的有关知识——比例的基本性质。(板书课题:比例的基本性质)
[设计意图] 通过对商不变的性质、分数的基本性质和比的性质的复习,自然过渡到比例的基本性质的学习,使学生知道比例也存在“规律”,但不知道是怎样的规律,激发了学生的求知欲望和好奇心,为新知的教学营造良好的学习氛围。
方法二
创设情景,引入新知。
师:同学们,上节课我们学习了比例的意义,你们还记得吗?
预设 生:我知道,表示两个比相等的式子叫作比例。
师:回答得真好!是个爱学习的好孩子。淘气和你们一样也是个爱学习、爱思考的好孩子,在昨天学习之余对学习的比例知识进行温故,你们看……
(教师PPT课件出示情景图)
师:淘气在思索什么?他又发现了什么?你们想知道吗?
预设 生:想知道。
师:我们现在就走进知识宝库去看看淘气发现了什么。(板书课题:比例的基本性质)
[设计意图] 兴趣是最好的老师,通过情景激发学生的学习兴趣和求知欲望,培养学生的探索精神。
一、发现比例的“规律”。
1.复习旧知,引发思考。
师:同学们,上节课通过我们的学习,已经知道了淘气照片的比例关系,现在我们重温一下能组成比例的几组数据,请同学们看大屏幕。
(教师PPT课件出示图片)
写出上节课学习的几个比例,仔细观察,你会有新的发现。
师:同学们,观察大屏幕上的几组比例,你们有什么发现吗?(如果学生能够发现比例的“规律”,教师可以适时进行引导,提出针对性的问题)
师:谁能说一说上面每组比例中的内项和外项分别是多少?
预设 生1:在12∶6=8∶4的比例中,12和4是比例的外项,6和8是比例的内项。
生 2:老师,下面的3个比例,每个比例中的内项和外项我都知道。
师:那你来说一说吧!
预设 生:第二个比例的外项是6和2,内项是4和3;第三个比例的外项是10和3,内项是2和15;第四个比例的外项是3和10,内项是2和15。
师:你真棒!他说得好不好?(鼓掌)你们能尝试写出每个比例中内项的积和外项的积吗?(学生独立思考,解决问题)
学生汇报思考成果,教师板书。
12∶6=8∶4内项的积:6×8=48外项的积:12×4=48
6∶4=3∶2内项的积:4×3=12外项的积:6×2=12
3∶2=15∶10内项的积:2×15=30外项的积:3×10=30
10∶2=15∶3内项的积:2×15=30外项的积:10×3=30
师:还有不同的乘法算式吗?
(学生思考后回答问题)
预设 生1:没有,交换因数的位置结果还是一样的。
生 2:老师,我通过观察第三个比例和第四个比例,发现乘法算式能写一个,比例却写了多个。
师:这些比例一样吗?为什么?
预设 生:不同,因为比值各不相同。
2.引导发现规律。
师:那么,这些比例式中,有没有什么相同的特点或规律呢?仔细观察,你们有什么新的发现?谁愿意把你的发现说给大家听?
预设 生1:内项相乘的积等于外项相乘的积。
生 2:外项相乘的积等于内项相乘的积。
师:谁还想补充?
预设 生:在比例里,两个内项相乘的积等于两个外项相乘的积。
[设计意图] “运用四个比例”,经过老师的引导,让每一个学生的思考都变成有用的教学资源。考虑到直接探究比例的基本性质学生会有困难,教师作了适当的引导,通过乘法算式和比例式的横向联系,让学生在“变”中寻“不变”,从而探究出性质。
二、验证发现,总结规律。
师:是不是任意一个比例都有这样的规律?我们再写几个比例验证一下吧!
(PPT课件出示图片)
师:比例“15∶12=10∶8和1.5∶0.5=3∶1”也存在这个规律吗?
预设 生1:15∶12=10∶8的内项相乘的积是12×10=120,外项相乘的积是15×8=120,内项的积等于外项的积。
生 2:1.5∶0.5=3∶1的内项相乘的积是0.5×3=1.5,外项相乘的积是1.5×1=1.5,内项的积等于外项的积。
师:你们小组内任意写一个比例并且互相验证。
(学生验证规律成立)
教师板书:在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
预设 生1:我们学习比例的基本性质有什么用呢?
生 2:我们可以用比例的基本性质判断两个比能否组成比例。
师:说得真好!我们学习比例的基本性质可以判断两个比能否组成比例,还可以用来解比例,我们在以后的学习中就会知道,它很重要哟!一定掌握好啊!
[设计意图] 给学生提供大量的事例,要求他们多方面验证,从个别推广到一般,让学生学会科学地、实事求是地研究问题。
1.完成教材第17页“练一练”第3题。
2.完成教材第17页“练一练”第4题。
3.完成教材第17页“练一练”第5题。
【参考答案】 1.10∶15=8∶1.2 6∶9=12∶18,第3,4组不能组成比例。 2.第(1)(3)组能组成比例,第(2)(4)组不能组成比例。(1)210∶3=350∶5 (3)0.5∶4=6∶48 3.3401=6802,10203=13604,3401=10203……
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了在比例中,两个外项的积等于两个内项的积。
生 2:我知道了,根据比例的基本性质,也可以判断两个比能否组成比例。
生 3:老师我还知道,比是由两个数组成的,有两项,分别叫作比的前项和比的后项;比例有四项,两端的两项叫作比例的外项,中间的两项叫作比例的内项。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面是知识的回顾,另一方面是对学生语言表达能力的培养,更好地为掌握本节知识服务。
作业1
教材第17页“练一练”第2题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)根据1.2×4=0.6×8,可以写出比例:( )=( )。
(2)12a=13b,则a∶b=( )∶( )。
(3)在比例里,两个内项的积是23,则两个外项的积是( )。
(4)已知A÷10=7÷B(A与B都不为0),则A与B的积是( )。
2.(难点题)按要求判断下面每组中两个比能否组成比例。
(1)2.5∶2和3.5∶2.8(比例的意义)
(2)7∶12和14∶24(比例的基本性质)
【提升培优】
3.(易错题)选择题。
(1)x的34等于y的23,则x∶y等于( )。
A.34∶22 B.23:43
C.8∶9 D.9∶8
(2)ab=cd,组成比例是( )。
A.a∶c=d∶b B.a∶c=b∶d
【思维创新】
4.(开放题)写出两道积是12的乘法算式,再组成比例。
【参考答案】
作业1:2.第1组:15∶18=30∶36 第4组:13∶19=16∶118
作业2:1.(1)1.2∶0.6 8∶4(答案不唯一) (2)2 3 (3)23 (4)70 2.(1)2.5∶2=54 3.5∶2.8=54 能组成比例。 (2)7×24=12×14 能组成比例。 3.(1)C (2)A 4.3×4=12 1×12=12 1∶3=4∶12。(答案不唯一)
比例的基本性质
12∶6=8∶4内项的积:6×8=48外项的积:12×4=48
6∶4=3∶2内项的积:4×3=12外项的积:6×2=12
3∶2=15∶10内项的积:2×15=30外项的积:3×10=30
10∶2=15∶3内项的积:2×15=30外项的积:10×3=30
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。这就是比例的基本性质。
为了便于学生理解,课堂上采用观察发现——验证猜想——得出结论的方法来进行教学。在比例中,两个内项的积等于两个外项的积的规律是比较容易理解的。通过引导学生观察前面几个比例,初步体验比例的规律。再根据教材中的比例,和学生自己组成比例进行验证,最后总结、归纳比例的规律,引导学生用自己的语言进行概述,最后教师进行总结“在比例中两个内项的积等于两个外项的积,这就是比例的基本性质”。
教学中应多给学生一些时间,通过自己验证获得知识,记忆更牢固。
再设计时,尽量提出一些开放性问题,让学生多一些思考的空间和时间,让学生从中体验、感受知识的严谨性。
【练一练·17页】
1.(1)3∶9 2∶6 能 (2)3∶2 9∶6 能 2.第1组:15∶18=30∶36 第4组:13∶19=16∶118 3.10∶15=8∶1.2 6∶9=12∶18,第3,4组不能组成比例。 4.第(1)(3)组能组成比例,第(2)(4)组不能组成比例。(1)210∶3=350∶5 (3)0.5∶4=6∶48 5.3401=6802,10203=13604,3401=10203…… 6.边长之比与周长之比能组成比例:3∶6=12∶24。边长之比3∶6,面积之比9∶36不能组成比例。 7.9∶3=1.2∶0.4,32=ba(答案不唯一)
用2,4,8和16组成不同的比例。
[名师点拨] 先逆用比例的基本性质把这四个数改写成最大数与最小数的积等于其余两个数的积的形式,即2×16=4×8,再根据等积式来写比例。写比例时,如果用等积式左边的两个数作为比例的外项,那么右边的两个数就应作为比例的内项;如果用等积式左边的两个数作为比例的内项,那么右边的两个数就应作为比例的外项。
[解答] 用2和16作外项:
2∶4=8∶16 16∶4=8∶2
2∶8=4∶16 16∶8=4∶2
用4和8作外项:
4∶2=16∶8 8∶2=16∶4
4∶16=2∶8 8∶16=2∶4
【知识拓展】 判断两个比能否组成比例,先按同一对应关系的顺序写出比,再看两个内项的积和外项的积是否相等,若相等,则能组成比例。
国旗中的比例
《中华人民共和国国旗法》规定:国旗的长和宽的比应是3∶2,也就是说比值必须是1.5。制作大小不同的国旗时,应依比例放大或缩小,国旗的样式不得随意改变,这是有法律规定的。
2 比例的应用
《比例的应用》是结合解决问题的过程学习解比例,它是在学生掌握了比例的意义,比例的基本性质的基础上进行学习的。五年级时已经学习过用等式的性质解方程,也是本节课的重要学习基础。本节课的学习既要帮助学生经历“问题情景、建立模型、解释应用”的思维过程,也要引导学生理解“根据比例的意义写出比例”,根据“两个内项的积等于两个外项的积”和等式的性质解方程。
为了帮助学生进一步体会解比例的实际意义,沟通知识间的联系,教材创设了“物物交换”的情景。“物物交换”是人类使用货币的开端。“物物交换”的情景蕴含着按一定的比例交换的数学关系。教材通过“物物交换”的情景,引导学生用多种方法解决问题,体会解决问题的多样性。在解决问题的过程中列出含有未知数的比例,再次呈现学生多样化的思考,并自主探索解比例的方法。在此基础上理解根据“两个内项的积等于两个外项的积”求比例的未知项,会正确解比例。整节课在解决问题的过程中产生新知、学习新知、掌握新知,提高了综合运用知识解决问题的能力。
1.经历用多种方法解决“物物交换”问题的过程,体会解决问题方法的多样性,提高综合运用知识解决问题的能力。
2.在解决问题的过程中列出含有未知数的比例,并自主探索解比例的方法,理解根据“两个内项的积等于两个外项的积”求比例中的未知项,会正确解比例。
【重点】 理解解比例的依据,正确地解比例。
【难点】 理解解比例的依据,正确地解比例,尝试用比例解决问题。
【教师准备】 PPT课件。
【学生准备】 练习本。
下面各组比能组成比例吗?写出组成的比例。
12∶19和9∶2 0.7∶2和14∶4 36∶12和6∶2
【参考答案】 12∶19=9∶2 0.7∶2和14∶4不能组成比例 36∶12=6∶2
方法一
谈话激趣,引入新课。
师:同学们,你们经过多年的学习,一定积累了多方面的知识,那你们对人类的历史了解多少?最早的社会交易是怎样的?(学生能够回答尽量让学生回答,如果不能回答,教师介绍)
介绍“物物交换”的背景知识。
师:在原始社会人们使用“以物易物”的方式交换自己需要的物资,比如用一只羊换一把石斧。今天我们学习的数学知识就从“物物交换”开始。(板书课题:比例的应用)
[设计意图] 通过“物物交换”背景知识的介绍,一方面,可以使学生了解人类发展的历史,体会各学科间的内在联系。另一方面,激发学生的学习兴趣,在学生头脑中产生“物物交换”与数学知识有什么样的联系呢?自然地引入新知,为新知的教学做好铺垫。
方法二
谈话导入。
师:同学们,你们真是幸福呀!你们生活在当今科技迅猛发展的新时代,用的是自动铅笔、多功能文具盒……老师很是羡慕呀!老师上学的年代,由于家庭贫困,没有多余的钱买自己喜欢的玩具和文具,只能在同学间互相交换自己喜欢的物品。
比如:用两块橡皮换一支铅笔……
(老师话题一转,问学生)
师:你们互相间交换过物品吗?
(学生大部分都有这样或那样的交换记忆,此时课堂气氛会非常热烈)
预设 生1:老师,我与其他同学交换过(带锁)日记本。
生 2:老师,我也交换过,我交换过自动削笔刀。
师:啊!你们都有跟老师同样的经历呀!不仅你们有和老师一样的经历,他们也有这样的经历,请同学们看大屏幕。
(教师PPT课件出示教材情景图)
师:今天我们的探索之旅就从这里开始。(板书课题:比例的应用)
[设计意图] 通过老师对儿时上学的回忆,引起学生的共鸣,调动学生的学习积极性,既活跃了课堂的学习气氛,又自然地进入新知的教学,使学生在轻松、愉悦的课堂氛围中轻松学习。
方法三
开门见山,直接导入。
师:同学们,经过上节课的学习,我们已经知道了比例有四项,如果我们已知其中的三项,求另一个未知项,我们应该怎么办呢?会用到哪些知识呢?我们今天就学习有关这样的知识,你们有信心完成本次的学习任务吗?
预设 生:有信心。
师:好,下面我们就登上我们的探索列车,开始我们今天的探索之旅吧!(板书课题:比例的应用)
[设计意图] 开门见山引入新知,明确今天的学习任务,再加上老师的激励性谈话,调动了学生的学习热情,为下文的教学打好基础。
一、尝试解决,体会联系。
1.呈现问题情景,引导学生读懂题意,并尝试提出问题。
师:(PPT课件再次呈现教材情景图)同学们,从画面上你们获得了哪些数学信息?可以提出怎样的问题?
预设 生1:通过画面我们能够知道“4个玩具汽车可以换10本小人书,小明有14个玩具汽车”。
生 2:小明14个玩具汽车可以换多少本小人书?
[设计意图] 通过“从画面上你们获得了哪些数学信息,可以提出怎样的问题”问题的提出,可以使学生充分理解题意,同时也锻炼了学生的自学能力及分析问题、解决问题的能力。
2.唤起学生原有认知,解决问题。
师:针对问题“小明14个玩具汽车可以换多少本小人书?”想一想,你们打算怎么解决这个问题呢?把你们的想法记录在练习本上。
(学生独立思考,用原有认知尝试解决问题)
师:整理一下你们的解决思路,然后说一说你们解决问题的方法。
学生成果展示,可能出现以下几种思考方法。
方法一:14÷4=3.5 3.5×10=35(本)
方法二:10÷2=5(本) 14÷2=7 5×7=35(本)
方法三:4个玩具汽车=10本小人书
14÷4=3……2(个)
2个玩具车=5本小人书,10×3+5=35(本)
方法四:4个玩具汽车=10本小人书,8个玩具汽车=20本小人书,12个玩具汽车=30本小人书,2个玩具汽车=5本小人书。12+2=14(个),30+5=35(本)。
师:同学们,你们想到了这么多的解决问题的方法,老师真是没有想到,但是对你们的解决问题的过程不是很明白,谁能具体说一说你们的思考过程,老师听一听行吗?
(学生思考后,汇报思考过程)
预设 生1:我汇报“方法一”的思考过程,因为4个玩具汽车可以换10本小人书,小明有14个玩具汽车,我们就可以看14里面有几个4,就可以换几个10本小人书。14里面有3.5个4,所以就有3.5个10,是35本小人书。
生 2:我汇报“方法二”的思考过程,因为4个玩具汽车可以换10本小人书,所以2个玩具汽车能换5本小人书,小明有14个玩具汽车,我们就可以知道14里面有7个2,就可以换7个5本小人书。5×7=35本小人书。
生 3:我汇报“方法三”的思考过程,因为14=12+2,4个玩具汽车可以换10本小人书,所以可以知道12里面有3个4,12个玩具汽车可以换3×10本小人书,2个玩具汽车能换5本小人书,小明有14个玩具汽车,可以换30+5=35本小人书。
生 4:我汇报“方法四”的思考过程,这个方法与“方法三”的思路有些相似,根据4个玩具汽车可以换10本小人书,可以知道8个玩具汽车可以换20本小人书,12个玩具汽车可以换30本小人书,也就是14个玩具汽车可以换30本小人书,还剩2个玩具汽车,而2个玩具汽车可以换5本小人书,所以14个玩具汽车可以换30+5=35本小人书。
师:老师听了你们的思考过程,现在明白了,虽然我们解决问题的思路不同,但各种方法都有一定的联系,都是围绕玩具汽车的个数与小人书本数之间的比例关系而展开的。你们同意老师的意见吗?
(大家异口同声)同意。
预设 生:老师,还有一种解决这个问题的方法是“数形结合”的方法。
师:那你可以到展台前展示你的思考过程吗?
预设 生:把12个玩具汽车分成4个、4个、4个、2个四份(如下图),也可以求出换得小人书的本数。
师:看起来同学们都是爱思考的好孩子,想到了这么多种解决问题的方法,那么有没有其他方法呢?我们继续学习。
[设计意图] 通过学生运用原有认知解决问题的过程,让学生体会到解决问题的多样性,从而培养学生对解决问题的探索、分析能力,做到学有所用。
二、引进新知,拓展策略。
师:假设14个玩具汽车可以换x本小人书,同学们能否根据题意列出比例呢?如果能组成比例,说一说你是根据哪两句话写出比例的,你是怎么想的?
(学生独立思考,尝试列式,并说说写出比例的根据)
学生汇报:
方法一:4∶10=14∶x。
方法二:10∶4=x∶14。
方法三:4∶14=10∶x。
方法四:14∶4=x∶10。
师:你们可以把上面的比例写成分数的形式吗?
学生汇报:
方法一:410=14x。
方法二:104=x14。
方法三:414=10x。
方法四:144=x10。
教师板书:4∶10=14∶x 10∶4=x∶14 4∶14=10∶x 14∶4=x∶10
410=14x 104=x14 414=10x 144=x10
师:列出比例的主要依据是什么?
预设 生1:主要是依据“4个玩具汽车可以换10本小人书”和“假设14个玩具汽车可以换x本小人书”这两句话列出比例的。
生 2:玩具汽车换小人书是有标准的,就是“2个玩具汽车换5本小人书”,标准是不变的,也就是比值不变,所以可以列出比例。
生 3:前后玩具汽车的个数的倍数关系与前后小人书本数的倍数关系是一致的,也可以组成比例。
生 4:组成比例要有一个“不变的量”,就是比值不变,写成比例的形式就是:玩具汽车∶小人书=玩具汽车∶小人书或者是玩具汽车∶玩具汽车=小人书∶小人书。
[设计意图] 通过学生运用比例知识解决问题,一方面使学生理解解决问题的多样性,另一方面掌握根据比值不变列出比例的依据。
三、解比例。
师:同学们,怎样解比例呢?(学生独立解比例)
学生汇报:
4∶10=14∶x 10∶4=x∶14 4∶14=10∶x
解:4x=140 解:4x=140 解:4x=140
x=35 x=35 x=35
14∶4=x∶10
解:4x=140
x=35
答:14个玩具汽车可以换35本小人书。
师:不管是哪种思路都转化出“4x=140”,这一步你们应用的是什么知识?
预设 生:应用的是比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”,来求比例中的未知项。
师:这样就把解比例转化成什么知识了?
预设 生:把解比例转化成解方程了。
师:我们又用到了数学的“转化”思想,掌握这种方法对我们今后的学习很有帮助哦!
[设计意图] 使学生知道解比例的关键是“两个外项的积等于两个内项的积”,把解比例转化成解方程,再进行计算。
四、专项训练,巩固新知。
师:同学们,你们掌握了解比例的方法了吗?智慧老人想考考同学们,现在我们就到智慧老人家去做客,看看智慧老人出的训练题。
(PPT课件出示教材情景图)
解下面的比例,与同伴交流。
24∶0.3=x∶0.4 x4=3.57
师:看到了智慧老人出的题目,你们一定很高兴,这是我们刚刚学习的比例知识,你们能独立完成这个问题吗?
预设 生:能。
师:观察题目有什么不同?你想用什么知识解决问题?
预设 生1:从题目上看,两个比例有所不同,第一个比例是比的形式的比例,第二个是分数形式的比例。
生 2:我们应用比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”把比例转化成方程,然后根据解方程的方法计算出未知数的值。
师:你能找到分数比例的内项和外项吗?
预设 生:x和7是比例的外项,4和3.5是比例的内项。
师:下面就开始解比例吧。
(学生独立计算,老师指名板书)
学生板书:
24∶0.3=x∶0.4 x4=3.57
解:0.3x=9.6 解:7x=14
x=32 x=2
师:计算的结果是否正确?我们应该怎么办?智慧老人和我们说了什么?请打开教材看一看。(老师可以用PPT课件出示)
预设 生:智慧老人要求我们进行验算。
师:怎么验算?(学生独立完成,然后汇报,集体订正)
(学生汇报,教师板书一个比例的验算过程,另一个由学生口述)
教师板书:
把x=32代入原比例24∶0.3=x∶0.4
左边=80
右边=32∶0.4=80
左边=右边,所以是比例的解。
师:我们还可以怎样验算?
预设 生:根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”进行验算。
(学生汇报)
教师板书:
把x=32代入原比例24∶0.3=x∶0.4
内项的积=0.3×32=9.6
外项的积=24×0.4=9.6
外项的积=内项的积,所以是比例的解。
[设计意图] 通过巩固练习,使学生再次体会解比例的过程与方法,加深对知识的掌握,促进学生对解比例方法的理解,培养学生验算的好习惯。
1.完成教材第20页“练一练”第1题。
2.完成教材第20页“练一练”第2题。
【参考答案】 1.(1)6个‖2面 15个‖5面 (2)6∶2=15∶x,x=5 2.1∶4=x∶84,x=21 4∶10=x∶250,x=100
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了解比例的关键是比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”。
生 2:我知道了,在解比例的过程中应用了数学的“转化”思想,把比例转化成方程,再根据等式的基本性质进行计算。
生 3:为了计算准确,我们要进行验算。
生 4:正确解比例的前提是根据比例的意义正确地列出比例。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面使学生再次体会解比例的方法,另一方面加强学生的有效记忆,为以后学习打好基础。
作业1
教材第20页“练一练”第3,4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)填空。
(1)在一个比例中,两个外项互为倒数,其中一个内项是97,则另一个内项是( )。
(2)在一个比例里,两个内项都是质数,它们的积是21,已知一个外项是311,这个比例可以写成( )。
2.(难点题)下面的“物物交换”,请你算一算,填一填。
3.(重点题)解比例。
0.252=1.25x x∶25=1.2∶75
【提升培优】
4.(易错题)判断。
(1)含有未知项的比例也是方程。 ( )
(2)x∶6=11∶4,求x的值叫作解比例。 ( )
(3)在比例里,两个外项的积与两个内项的积的差是0。 ( )
5.(易错题)根据下面的条件列出比例,并解比例。
(1)2和x的比等于9和8的比。
(2)6与12的比等于x与13和14的和的比。
【思维创新】
6.(竞赛题)解比例(3x+4)∶13+14=367∶12。
【参考答案】
作业1:3.x=1.6 x=6 x=118 4.解:设笑笑收集的邮票有x张。3∶5=36∶x,x=60 5.解:设模型的高度是x m。1∶300=x∶600,x=2
作业2:1.(1)79 (2)311∶3=7∶77(答案不唯一) 2.3枚 1枚 3.x=10 x=0.4 4.(1)√ (2)√ (3)√ 5.(1)2∶x=9∶8,x=169 (2)6∶12=x∶13+14,x=7 6.x=23
比例的应用
解比例更重要的是准确列出比例,前提就是学生能否正确列出比例。之后解决解比例的关键是“两个内项的积等于两个外项的积”的应用,在设计中加强了学生的说理训练,不管是比的形式还是分数的形式,都要说清楚根据什么将含有未知数的比例转化为方程,渗透了数学的转化思想,最后根据智慧老人提出的忠告,加强了对学生代入法验算能力的培养,提高学生计算的正确率。
我认为不足之处是在学生独立思考的过程中时间过少,不能照顾全体学生。
再设计时,要注意合理安排时间,给学生足够的时间独立思考,小组讨论,以及在学生表达自己心里想法时,更要给足学生表达的时间,这样有助于学生身心的发展,建立自信心,更能锻炼学生的语言表达能力。
【练一练·20页】
1.(1)6个‖2面 15个‖5面 (2)6∶2=15∶x,x=5 2.1∶4=x∶84,x=21 4∶10=x∶250,x=100 3.x=1.6 x=6 x=118 4.解:设笑笑收集的邮票有x张。3∶5=36∶x x=60 5.解:设模型的高度是x m。1∶300=x∶600,x=2
法国巴黎的埃菲尔铁塔高320 m。北京的“世界公园”里有一座埃菲尔铁塔的模型,它的高度与原塔高度的比是1∶10。这座模型高多少米?
[名师点拨] 根据题意可知“模型的高度∶原塔高度=1∶10”,已知原塔的高度为320 m,如果设模型高x m,那么可以列出比例x∶320=1∶10。解此比例,求出x的值即可。
[解答] 解:设这座模型高x m。
x∶320=1∶10
10x=320
x=32
答:这座模型高32 m。
【知识拓展】 一个总体中各个部分的数量占总体数量的比用于反映总体的构成或者结构。
黄金数和音乐数
黄金数不是用黄金做成的数,而是指身份和黄金一样贵重的数——0.618,科学家把这个其貌不扬的数叫作“黄金数”。
人的身体里有黄金数。以一个正常人为例:
肚脐到脚底的距离头顶到脚底的距离≈0.618
眉毛到脖子的距离头顶到脖子的距离≈0.618
埃及闻名于世的金字塔,金字塔的高底座的边长≈0.618
希腊的奥丁城至今保留着一座2000年前的古庙,古庙的高古庙的宽≈0.618
五角星也有黄金数(如图),ABBD=ACAD=BCAB≈0.618
我国著名数学家华罗庚生前推广使用优选法,取得很大成绩,优选法是一种“多”“快”“好”“省”的使用方法,举个例子:
用一种农药防治害虫,喷洒之前需要兑水稀释,要兑多少水好呢?水兑多了,农药浓度太低,杀不死虫子;水兑少了,浪费农药,同时给作物带来了伤害。农药和水的比例选取多少最合适?要通过试验来确定。
如果预先知道要兑的水是在农药的1000倍与2000倍之间,怎样才能用最少的试验次数,找出最理想的数据呢?我们把稀释倍数1000和2000看成一条线段AB的两个端点,第一次选取1618倍作为试验,其中1618是这样算出来的:
1000+(2000-1000)×0.618=1618。
写成一般公式:
左端点+(右端点-左端点)×0.618。
如果稀释1618倍还不理想,水兑多了,杀虫不理想,可以进行第二次试验,仍用上面的公式。
1000+(1618-1000)×0.618≈1382。
就是说,你用1382倍水进行稀释。用这个公式可以再往下试验,可以较快地找到合理的数据。
使用这种优选法试验,每次都选黄金数0.618,所以这种方法叫0.618法。
毕达哥拉斯学派的创始人毕达哥拉斯是音乐理论的奠基人之一,毕达哥拉斯发现如果乐器三弦的长度之比为3∶4∶6,那么听起来的声音就和谐,有人把3,4,6这3个数叫作“音乐数”。
自然界中“巧合”
斐波那契数列在自然科学的其他分支有许多应用。例如,树木的生长,由于新生的枝条,往往需要一段“休息”时间,供自身生长,而后才能萌发新枝。所以,一株树苗在一段间隔,例如一年,以后长出一条新枝;第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发;此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则次年“休息”。这样,一株树木各个年份的枝丫数便构成斐波那契数列。这个规律就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。
另外,观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣,可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数:3,5,8,13,21……
其中百合花花瓣数目为3,梅花5瓣,飞燕草8瓣,万寿菊13瓣,向日葵21或34瓣,雏菊有34,55和89三个数目的花瓣。
斐波那契螺旋:具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部。
这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89,甚至144条。1992年,两位法国科学家通过对花瓣形成过程的计算机仿真试验,证实了在系统保持最低能量的状态下,花朵会以斐波那契数列长出花瓣。
3 比例尺
《比例尺》是第二单元中的第3节,本节主要的内容是学习比例尺的相关知识,是在学生已经学习了比以及比例的有关知识的基础上进行教学的,比例尺这一内容对学生来说比较陌生,它离实际生活较远,不易让学生直观理解,教材设计了讨论“淘气和笑笑画的平面图”的活动,体会比例尺的必要性,并教学比例尺的意义。
教材呈现了淘气和笑笑画的平面图,让学生初步体会只有图上距离和实际距离的比都相等,画的图才比较合理,初步感受比例尺的意义。在“认一认”的教学环节中,教材直接揭示比例尺的意义,呈现了数学关系式,并说明了求比例尺的方法。教材又呈现了线段比例尺是比例尺的另一种表示形式,线段比例尺与数值比例尺的意义是一致的,可以互化的,进一步体会比例尺的意义。
教材在“试一试”的教学环节中,主要是让学生学习利用比例尺求实际距离。教材通过奇思和妙想两个问题的提出及解决,目的是教学求实际距离的方法。求实际距离教材呈现了两种方法,一种是根据比例尺的意义求出实际距离,另一种是列出比例,再解比例,求出实际距离。
1.结合具体情景,体会比例尺产生的必要性,理解比例尺的意义,能看懂线段比例尺,学会求平面图的比例尺和根据比例尺求出图上距离或实际距离。
2.运用比例尺的相关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切关系。
【重点】 理解比例尺的意义,能根据图上距离、实际距离、比例尺中的任意两个量求第三个量。
【难点】 利用比例尺的知识解决实际问题。
第课时 比例尺
1.结合具体情景,认识比例尺,体会比例尺产生的必要性,理解比例尺的意义,学会求平面图的比例尺和根据比例尺求出图上距离或实际距离。
2.认识线段比例尺,能看懂线段比例尺。
3.运用比例尺的相关知识,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切关系。
【重点】 理解比例尺的实际生活意义,根据比例尺三个量中的两个量求第三个量。
【难点】 把线段比例尺改写成数值比例尺。
【教师准备】 PPT课件,刻度尺,地图。
【学生准备】 刻度尺。
1.填一填。
2米=( )厘米 3千米=( )厘米
2.观察方位图,完成任务。
(1)市政府距离广场( )米。
(2)电信大楼距离广场( )米。
(3)工人文化宫距离广场( )米。
【参考答案】 1.200 300000 2.(1)400 (2)300 (3)300
方法一
创设情景,引入新课。
(教师PPT课件直接出示蚂蚁图片)
师:同学们,大屏幕显示的是什么图片?
预设 生:小蚂蚁。
师:这个小蚂蚁可不是一般的小蚂蚁,最近它可出名了,你们不知道吧?
(教师讲述故事情节)
师:同学们,你们去过上海吗?上海到北京可以坐动车,动车美观、舒适,尤其是速度非常快,现在从上海到北京只需要7小时,比以前快了很多。可是这只小蚂蚁更厉害,它只用1分钟就从上海到达了北京,你们知道是为什么吗?
(学生思考,如果不知道,教师明确答案)
预设 生:是蚂蚁在地图上从上海到北京用了1分钟,不是实际的距离。
师:对,真聪明!一提到地图,同学们就会思考一个问题,中国这么大的疆域,是怎样绘制在一张很小的纸上的呢?它是运用了怎样的数学知识呢?通过今天的学习,你们就会知道其中蕴含着怎样的数学知识了,下面我们就踏上“探索列车”开始我们今天的学习之旅。(板书课题:比例尺)
[设计意图] 设计这个问题的目的有二:一是激发兴趣,活跃课堂;二是认识图上距离和实际距离,这里恰好引出了小蚂蚁在地图上爬行的路程便是图上距离,而我们坐动车所走过的路程就是实际距离,非常直观、形象地区分了两个概念,为新课做好铺垫。
方法二
谈话导入。
师:同学们,我们在母校已经生活了6年的时间了,马上面临毕业离开母校了,我们现在画一张母校的平面图,作为我们的留念,好吗?
预设 生:(异口同声)好。
师:我们就画我们学校的操场吧,(教师PPT课件出示操场的长:80米,宽:60米)现在我们就在纸上根据老师的数据开始绘制。
(学生窃窃私语,你看看我,我看看你,迟迟不肯动笔绘画)
师:同学们,怎么了?遇到什么问题了吗?
预设 生1:纸太小了,根本画不下学校的操场。
生 2:画纸只有几十厘米,操场有几十米,老师您是不是有些难为我们,我们根本完成不了这样的任务呀!
生 3:老师,我见过一些图纸,把一些较大的建筑按照一定的比例缩小,再画在纸上,就解决画不下的问题了。
师:同学们的疑虑生3帮助我们解决了,他说的真好,但是我们按照怎样的比例关系进行缩小呢?这节课我们就探究这样的知识——比例尺。(板书课题:比例尺)
[设计意图] 教师通过“绘画学校操场”的情景,引导学生提出问题,解决问题。渗透解决问题要运用到比例的知识,初步感受“比例尺”,体会数学与生活的联系。
方法三
直接揭题,导入新知。
师:在日常生活中人们经常要用到把一些实际的物体按一定的比例缩小(或放大)一定的倍数画在纸上,也就是要根据实际需要,确定图片要按照一定的标准放大和缩小,这就是我们今天要学习的新知识——比例尺。(板书课题:比例尺)
[设计意图] 直接揭题,明确本次的学习任务是比例尺,一方面使学生知道今天学习的内容,另一方面通过谈话让学生感受比例尺与实际生活的联系。
一、绘制平面图,体会比例尺的意义。
师:同学们,淘气和笑笑昨天进行了对学校周边分布情况的调查,获得了一些相关信息,请你们看大屏幕。
(教师PPT课件出示教材情景图)
师:你们能够根据情景图上的信息和相关知识(位置与方向)在纸上画出信息中邮局、书店、超市的位置吗?下面拿出绘图工具,试一试吧,老师相信你们!
(学生思考,动手画图,教师巡视指导)
[设计意图] 通过学生自己动手画图,体验画图的过程,同时在画图时也会遇到这样或那样的问题,在解决问题时,感受画图的合理性,提高学生的思维判断能力,也为下面学习“淘气与笑笑”的画图进行合理评价和判断做好铺垫。
师:经过老师的巡视,已经看到了同学们都完成了绘图任务,我们先不对同学们绘制的平面图进行评价,下面我们再看一幅图片。
(教师PPT课件出示淘气和笑笑画的图,边播放边叙述情景)
淘气和笑笑分别根据右面的信息画了图,他们画得合理吗?与同伴交流。
师:结合你们画的图想一想,认为他们的图画得合理吗?为什么?
预设 生1:老师,我认为淘气画的图是不合理的。因为根据信息可以知道实际距离中,超市在学校正北方向200米,邮局在学校正西方向100米,书店在学校正东方向300米,其中书店到学校的距离最长,邮局到学校的距离最短,而淘气画的图上距离看上去一样长,所以我认为淘气画的图是不合理的。
生 2:我也同意这个意见,我通过测量知道了淘气画的邮局、书店、超市到学校的图上距离都是相同的,图上距离与实际距离的比不相等,所以不合理。
生 3:结合我自己画的图,我也认为淘气画的图是不合理的,因为学校到邮局、书店、超市的范围很大,无法画在纸上,如果要想画在纸上就要按照一定的比例关系进行缩小,虽然我不知道应该怎样缩小,但是我认为实际距离长的,画在纸上的距离也应该长一些;实际距离短的,画在纸上的距离也应该短一些。而淘气画的图,图上距离长的反而短了,所以有些不合理。
生 4:老师,我认为笑笑画的图比较合理。因为笑笑画的图以1厘米的长度为单位,表示实际距离的100米,用2厘米表示实际距离200米,用3厘米表示实际距离300米,图上距离有长短之分,与实际距离相符,所以我认为是合理的。
生 5:笑笑画的邮局到学校的图上距离为1厘米,超市到学校的图上距离为2厘米,书店到学校的图上距离为3厘米,即图上距离∶实际距离=1∶10000,它们的比是相等的,所以笑笑画得合理。
师:通过你们的语言叙述,你们进行判断淘气与笑笑的画图是否合理是根据“图上距离与实际距离的比是不是相等”,老师也同意这种看法,它们又存在怎样的内在联系呢?下面我们继续学习。
[设计意图] 通过判断淘气与笑笑的画图是否合理,使学生初步体会只有图上距离和实际距离的比值都相等,画的图才比较合理,为理解比例尺的意义打好基础,并体会比例尺的实际意义。
二、学习比例尺的意义。
师:通过刚才的学习,知道了图上距离与实际距离的比相等时,画的图才合理。那么,图上距离与实际距离的比又有一个新的数学定义,叫作什么呢?同学们,你们知道吗?
1.明确比例尺的意义。
师:老师来告诉大家,图上距离与实际距离的比我们把它叫作这幅图的比例尺。
教师板书:图上距离与实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
师:同学们,你们能根据比例尺的意义想到比例尺的书写形式吗?你的心里是怎样想的?和同学们讨论一下吧!
(学生思考,小组讨论、交流)
预设 生:比例尺既然是比,就可以写成比的形式,我认为比例尺的书写形式为:图上距离∶实际距离=比例尺。
师:说得真好!比例尺的书写形式是:图上距离∶实际距离=比例尺。
教师板书:图上距离∶实际距离=比例尺。
预设 生1:老师,我认为比例尺既然是比的形式,比又可以写成分数的形式,所以比例尺可以写成分数的形式,即图上距离实际距离=比例尺。
生 2:这两个比例尺的书写形式虽然不同,一个是比的形式,另一个是分数的形式,但是它们表示的意义是相同的。
师:同学们,你们同意以上同学的说法吗?
预设 生:我们同意。
教师板书:或图上距离实际距离=比例尺。
2.认识数值比例尺。
师:同学们,再次观察笑笑画的图,你能说一说笑笑画的图的比例尺是多少吗?
(PPT课件出示教材情景图)
预设 生:笑笑画的图图上距离1厘米表示实际距离100米,所以笑笑画图的比例尺是1∶100。
师:同学们,你们同意他的说法吗?
预设 生:老师,既然比例尺是一个比,比是没有单位的,也就是说比的前项和比的后项是相同单位,应该把100米化成10000厘米,再写出比,化简比。即笑笑画图的比例尺是1∶10000。
师:同学们表现得真不错!都是爱动脑思考的好孩子!比例尺与一般的尺不同,它是一个比,不应该有计量单位。写比例尺时,前项、后项的长度单位要化成同级单位。为了计算方便,通常把比例尺的前项写成“1”,如果比例尺写成分数形式,分子也要化简成“1”。
[设计意图] 通过直接揭示比例尺的意义,呈现数学关系式,既精练地表示了比例尺的意义,又说明了求比例尺的方法。同时,对笑笑画的图中的比例尺的介绍,让学生知道怎样求一幅图的比例尺,即需要写出图上距离和实际距离的比。
3.指一指,算一算,画一画。
师:学校的东北方向400 m处有一个社区活动中心,先算一算,再在笑笑的图中标出来。
(教师PPT课件出示笑笑画的图)
(1)理解题意。
师:(指名到展台指一指)你知道这个社区活动中心在什么位置吗?
学生指出社区活动中心的位置(如上图所示)。
师:在笑笑的图中标出来社区活动中心的位置。你们打算怎么解决这个问题?
(学生思考,交流后汇报)
预设 生:在笑笑的图中标出学校东北方向的社区活动中心,就是求出图上距离是多少。
已知笑笑的图中比例尺是1∶10000,实际距离是400 m,根据比例尺和实际距离可以求出图上距离。
(2)探究方法,列式计算。
师:说一说你们解决问题的方法。(学生汇报)
方法一:求图上距离是多少厘米,可以先把400 m转化成40000 cm,即400 m=40000 cm。40000 cm里面有多少个10000,就是几厘米。40000÷10000=4(cm)。
方法二:利用比例的知识解决问题,图上1 cm表示实际距离10000 cm,x cm表示实际距离400 m,即40000 cm。列出比例,解得x=4。
(3)规范解答。
师:同学们,你们可以根据比例尺的意义解决问题吗?
(学生讨论,汇报)
教师板书:
解:设应在学校东北方向x cm处画社区活动中心。
400 m=40000 cm
x40000=110000
x=40000÷10000
x=4
师:根据比例尺和实际距离,求图上距离,可以用实际距离÷图上1个单位长度表示的实际距离来求,也可以根据图上距离实际距离=比例尺列比例来求。
三、认识线段比例尺。
师:比例尺不仅可以写成数值比例尺,还可以用线段来表示一幅图的比例尺,叫作线段比例尺。你能说说图中的比例尺表示什么意思吗?
(教师PPT课件出示情景图)
(学生观察图中的比例尺,感受线段比例尺的直观感觉)
师:同学们,通过观察,你们有什么想说的?
预设 生1:线段比例尺就是在图上附有一条注有数量的线段表示和地面上相对应的实际距离。
生 2:图上的线段比例尺标注的数量是90 km,它表示的是图上1 cm表示实际距离90 km。
生 3:老师,线段比例尺可以转化成数值比例尺吗?
师:生3同学的问题,你们谁能帮助他解决?
预设 生:线段比例尺可以转化成数值比例尺,将90 km转化成9000000 cm,即90 km=9000000 cm,写成数值比例尺为:1∶9000000。
[设计意图] 通过呈现地图,向学生介绍线段比例尺,使学生感受线段比例尺的直观感觉,更好地理解比例尺的意义。
1.说一说下面比例尺的实际意义。
(1)比例尺1∶90000000。
(2)比例尺
2.完成教材第22页“练一练”第3题。
【参考答案】 1.(1)表示图上距离1 cm表示实际距离90000000 cm,也就是900 km。 (2)表示图上距离1 cm表示实际距离50 km,也就是5000000 cm。
2.20∶192000000=1∶9600000
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:通过这节课的学习,我们知道了一幅图的图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。
生 2:我知道了比例尺的形式:图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺。
生 3:我知道了比例尺可以分为数值比例尺和线段比例尺。
生 4:为了计算方便通常把比例尺的前项写成“1”。
生 5:我知道了,已知比例尺中两个量可以求第三个量。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,加强学生对比例尺的理解和掌握。
作业1
教材第26页“练习二”第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)1000厘米=( )米
5千米=( )厘米
200千米=( )厘米
4千米=( )米
300000厘米=( )千米
60000000厘米=( )千米
(2)在一幅地图上,甲、乙两地之间的图上距离是3厘米,甲、乙两地之间的实际距离是150千米,这幅地图的比例尺是( )。
2.(易错题)选一选。
(1)在一幅地图上,比例尺是( )。
A.尺子 B.计量单位
C.一个比 D.一个数
(2)图上20厘米的距离表示实际距离5毫米,这幅图的比例尺是( )。
A.4∶1 B.1∶4
C.40∶1 D.1∶40
【提升培优】
3.(重点题)A市到B市的铁路大约长1900千米。在比例尺是1∶40000000的地图上,A市到B市的铁路长约是多少厘米?
【思维创新】
4.(探究题)在比例尺是1∶2500000的地图上,量得甲、乙两城之间的距离是7.2厘米。一辆汽车每小时行驶80千米,如果这辆汽车从甲城到乙城,那么需要多少小时?
5.(创新题)下图是甲、乙、丙三地的公路交通图,王师傅驾车中午12:00由甲地出发沿①号公路开往乙地,每小时行驶50千米,到达乙地时正好是下午1:30。于是他又立即沿②号公路开往丙地,每小时行驶75千米。
(1)先用刻度尺量出甲、乙两地之间的图上距离,再计算这幅图的比例尺是多少。(量取图上距离时保留到整厘米数)
(2)先用刻度尺量出乙、丙两地之间的图上距离,再计算王师傅到达丙地时是几时。
【参考答案】
作业1:6.长4 cm,宽3.2 cm。比例尺1∶2500
作业2:1.(1)10 500000 20000000 4000 3 600 (2)1∶5000000 2.(1)C (2)C 3.1900千米=190000000厘米 190000000×140000000=4.75(厘米) 4.7.2÷12500000=18000000(厘米) 18000000厘米=180千米 180÷80=2.25(小时) 5.(1)甲、乙两地之间的图上距离为2 cm 2∶(5000000×1.5)=1∶3750000 (2)乙、丙两地之间的图上距离为3 cm 3×3750000=11250000(cm) 11250000 cm=112.5 km 112.5÷75=1.5(小时) 下午3:00
比例尺
图上距离与实际距离的比,叫作这幅图的比例尺。
图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺。
解:设应在学校东北方向x cm处画社区活动中心。
400 m=40000 cm
x40000=110000
x=40000÷10000
x=4
比例尺这一知识是在学生已经掌握了化简比以及比例的知识的基础上进行教学的。
我认为成功之处在于我选取了学生们非常喜欢的情景,画出操场平面图,让学生动手操作画一画,问学生是怎么画的,在情景中引出课题。在设计本节课时仔细分析了教材的设计意图,同时又思考如何将这样一节概念教学恰到好处地与实际生活联系起来,于是,我主动、大胆地重组教材,在获得信息后,首先让学生自己操作绘制学校周围主要建筑放入平面图,再让学生观察“淘气和笑笑画的图”,与之对比,判断画图的合理性,初步渗透比例尺的意义。
在学生理解了比例尺的意义和作用后,怎样求比例尺和图上距离这一部分知识较简单。因此我比较注重培养学生的自学能力,大胆地放手让学生自己学习,自己思考,自己与其他学生交流,在交流中学到新的知识。
通过PPT课件的使用,使学生始终处于动手操作、动脑思考的状态,解决了线段比例尺和数值比例尺的转化,让学生从中体会到成功的喜悦。
看到以上这些值得高兴之处的同时,也有一点点遗憾:本节课的教学内容量大,导致学生的练习时间偏少。
再设计时,多给学生时间和空间,进行交流、讨论、操作,感受比例尺的实际意义,明白比例尺的特性“改变大小,不变形状”。
在比例尺是1∶2000的图纸上,量得一个长方形花园的长是2.4厘米,宽是1.8厘米,这个花园的实际面积是多少平方米?
[名师点拨] 长方形的面积等于长乘宽,题中先告诉了比例尺和图上距离,我们可以直接运用比例尺的关系式来求出长与宽的实际大小,然后计算花园的实际面积。
[解答] 花园的实际长为2.4÷12000=4800(厘米) 4800厘米=48米
花园的实际宽为1.8÷12000=3600(厘米)
3600厘米=36米
花园的实际面积为48×36=1728(平方米)
答:这个花园的实际面积是1728平方米。
【知识拓展】 比例尺为1∶2000,表示图上距离1厘米代表实际距离2000厘米,即表示实际距离是图上距离的2000倍。
尺的由来
传说我国在夏代,禹把自己的身高定为一丈,再划分为10等份,每份定为一尺。据说“丈夫”一词就出典于此。汉代把100粒粟子排列的长度定为一尺,也有用大拇指和中指伸直的长度定为一尺的。随着生产的发展,这些度量方法都不运用了。于是,出现了用木板、骨片、竹片及金属板等制成的固定尺,但这些尺的尺度与我们现在的市尺长度是不相等的。由于科学技术的发展,世界各国交往的频繁,度量的要求也越来越高了。
照片中的比例
借助参照物进行估测是一种重要的策略,结合比和比例的知识就能从一张照片获得一些重要的信息。
20世纪60年代,日本为了确定能否和中国做成炼油设备的交易,从中国公开的报纸和杂志中搜集了大量的有关信息,日本有关部门从1966年的一期《中国画报》上找到了一张大庆炼油塔(如图)的照片,从塔上的扶手栏杆鱼塘宽度的比例,估算出它的直径约五米,于是,日本估算土炼油塔的大小,并推算出我国大庆油田需要更大的炼油设备,日本有关部门迅速设计出适合大庆油田开采用的石油设备,果然没过多久,中国石油工业就开始在全世界范围内购买日产1万吨的炼油设备,而且日本很快满足了中国的需求,做成了交易。
第课时 比例尺的应用
1.结合具体情景,学会求平面图的比例尺和根据比例尺的意义求出图上距离或实际距离。
2.运用比例尺的相关知识,通过测量、绘图、估算、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,进一步体会数学与日常生活的密切关系。
3.提高学生解决实际问题的能力和计算能力。
【重点】 理解和掌握比例尺的意义。
【难点】 利用比例尺的意义解决实际问题的方法。
【教师准备】 PPT课件,长度测量工具。
【学生准备】 长度测量工具(直尺、三角板等)。
1.想一想,填一填。
(1)将改为数值比例尺为( )。
(2)比例尺按表现形式分为( )和( )。
2.( )叫作这幅图的比例尺。
3.( )( )=比例尺。
【参考答案】 1.(1)1∶6000000 (2)数值比例尺 线段比例尺 2.图上距离与实际距离的比 3.图上距离 实际距离
[设计意图] 通过对比例尺知识的复习,更好地掌握比例尺的相关知识,加深对比例尺意义的理解,为本节课比例尺的应用的学习打好基础。
方法一
复习提问,导入新知。
师:对上节课的学习,同学们,你们都学到了哪些知识?
预设 生1:我们掌握了比例尺的意义,比例尺的书写形式。
生 2:比例尺的前项一般化简成“1”。
师:今天我们继续学习比例尺的知识——比例尺的应用。(板书课题:比例尺的应用)
[设计意图] 通过复习谈话,加深对比例尺的理解和掌握,明确今天的学习任务。
方法二
创设情景,引入新知。
师:同学们,请看大屏幕,奇思对一幅地图中北京到上海的距离进行了测量,想计算两地间的实际距离,好像遇到了困难,我们去看看吧。
(教师PPT课件出示教材情景图)
下图为我国地图的一部分。
奇思从这幅地图上量得北京到上海的距离大约是3 cm。两地之间的实际距离约是多少千米?
师:我们能够根据这些信息解决这个问题吗?下面我们来继续学习比例尺的知识。(板书课题:比例尺的应用)
[设计意图] 兴趣是学习最好的老师,同时激发性的问题可以调动学生学习的热情。通过“奇思”的困难充分调动了学生的学习热情和想帮助“奇思”的急切心里,很好地营造了课堂气氛。
一、解决问题一。
师:同学们,奇思想知道“北京到上海的实际距离约是多少千米?”,你们打算怎么帮助他呢?
(教师边说边PPT课件出示情景图)
奇思从这幅地图上量得北京到上海的距离大约是3 cm。两地之间的实际距离约是多少千米?
师:从地图上你们了解了什么数学信息?
预设 生1:从图中可以知道这幅地图的比例尺是1∶34000000。
生 2:从文字信息中,可以知道奇思量得了图上距离是3 cm,要解决的问题是北京到上海的实际距离是多少千米。
[设计意图] 这是个开放性问题,一方面引发学生的思考,积极主动地参与学习。另一方面对学生进行思想教育,做一个乐于助人的人。
(学生独立思考,小组讨论,汇报成果)
预设 生1:根据比例尺的意义,我们可以知道求这幅图的实际距离,首先我们要知道图上距离和这幅地图的比例尺,我们才能解决这个问题。
生 2:比例尺是1∶34000000,奇思量得图上距离约是3厘米,我们根据比例尺的计算公式:图上距离∶实际距离=比例尺,推导出实际距离=图上距离÷比例尺,计算出实际距离。
生 3:我们可以根据比例来解决问题,设实际距离为x cm。列出比例:图上距离实际距离=比例尺,即3x=134000000。解得x的值后,再化成“千米”,就可以了。
师:同学们,现在你们可以帮助奇思解决问题了吗?把你的具体思路写在练习本上吧,然后进行集体订正。
(学生独立解决问题,然后汇报,教师根据汇报进行板书)
方法一:图上距离是1 cm表示实际距离34000000 cm,也就是1 cm表示340 km,3 cm就表示3个340,列式为:340×3=1020(千米)。
方法二:根据比例的知识进行解答,具体列式为……(学生口述计算过程,教师板书)
教师板书:
解:设北京到上海的实际距离为x cm。
3x=134000000
x=34000000×3
x=102000000
102000000 cm=1020 km
答:北京到上海的实际距离约为1020 km。
[设计意图] 通过学生独立解决问题,讨论解决方法,使学生体会解决问题方法的多样性,同时,加深学生对比例尺知识的理解和掌握。
二、解决问题二。
师:同学们,妙想想要从青岛去石家庄,她想让我们根据所学习的比例尺知识帮助她算一算“从青岛去石家庄”有多远。你们愿意帮助妙想吗?
预设 生:(异口同声)愿意。
师:青岛到石家庄的距离的问题,你们想用哪些知识解决?
预设 生1:用比例知识解决问题比较简单。
生 2:求“青岛到石家庄的距离”就是求实际距离,根据图上距离∶实际距离=比例尺,就可以解答问题。
生 3:我们要是根据“比例尺的意义”解决“青岛到石家庄的距离”问题,必须要知道青岛到石家庄的图上距离和这幅地图的比例尺才行。
[设计意图] 通过帮助妙想计算青岛到石家庄的距离的问题情景,不仅激发了学生的学习热情,而且充分调动学生参与学习和努力思考解决问题的积极性,体现了学生的自身价值和学习价值。
师:同学们思考问题真充分。课前妙想和老师取得了联系,让我们根据“奇思的地图”帮助解决问题,我们看一看,有我们需要的信息吗?
(教师PPT课件出示相关信息)
预设 生:从地图上我们只知道地图的比例尺,并不知道图上的距离。
师:你们想怎么解决这个问题?
(学生思考解决图上距离的方法)
预设 生:我们可以打电话咨询一下妙想。
师:现在是上课时间,不方便打电话,有其他想法吗?
预设 生:我们可以利用测量工具,实际测量青岛到石家庄的图上距离。
师:现在我们就动手操作,测量青岛到石家庄的图上距离吧!
(学生利用工具测量,并提出疑问)
预设 生1:老师,测量青岛到石家庄的图上距离,不太好测量,按照地图上的路线测量,路线非常弯曲,测量起来会有很大的误差,测量的数值不会太精确。
生 2:是的,我们也遇到了这样的问题,老师有没有具体的测量办法呀?
师:我们测量青岛到石家庄的路线,测量直线距离就可以了。
(学生再次测量青岛到石家庄的图上距离,教师巡视)
师:你们测量青岛到石家庄的图上距离是多少?
预设 生1:我测量的数据是1.6 cm。
生 2:我测量的数据是1.7 cm。
师:由于实际测量时,会因为测量过程中的多种因素使我们的测量产生一定的误差,我们就以青岛到石家庄的图上距离是1.6 cm的数据为标准来完成这次解决的问题,好吗?
预设 生:好的。
师:现在,我们算一算青岛到石家庄的实际距离大约是多少千米。
(学生独立思考,解决问题)
学生汇报,教师板书。
解:设青岛到石家庄的实际距离为x cm。
1.6x=134000000
x=1.6×34000000
x=54400000
54400000 cm=544 km
答:青岛到石家庄的实际距离为544 km。
师:我们在解决问题时,要注意单位的换算哦!还要注意“智慧老人”的提醒,为了计算准确别忘了验算呀!
[设计意图] 通过学生动手操作“测量青岛到石家庄”的图上距离的过程,培养了学生发现问题、解决问题的能力,同时培养了学生动手的能力。激发了学生的学习积极性,增强了学生解决实际问题时,全面思考问题的习惯。
三、拓展延伸。
师:同学们,经过这两节课的学习,我们知道了比例尺,并能利用比例尺的意义解决生活中的实际问题,知道了为了计算方便通常把比例尺的前项写成“1”。但是,你们知道吗,比例尺的后项也有写成“1”的时候,不信,请同学们看大屏幕。
(教师PPT课件出示)
师:你们读懂了吗?
预设 生:我们把比例尺前项写成“1”时,是图形缩小了;把比例尺的后项写成“1”时,是图形放大了。
[设计意图] 通过“你知道吗”,使学生知道数值比例尺有不同的情况,在利用比例尺解决问题时,更好地应用比例尺,有助于拓宽学生的知识面,提高学生解决问题的能力。
1.完成教材第22页“练一练”第4题。
2.完成教材第22页“练一练”第5题。
【参考答案】 1.3×2000=6000(cm) 6000 cm=60 m 3×500=1500(cm) 1500 cm=15 m 2.(1)4 250 1∶25000 (2)7 1750 (3)略 (4)超市到街心花园的图上距离是5 cm,实际距离是多少米?5×250=1250(m)
[设计意图] 通过训练,加强学生对比例尺意义的理解,以及解决问题的能力。
这节课你们学了什么知识?有什么收获?
预设 生1:我知道了,根据比例尺和图上距离求实际距离,可以用图上一个单位长度表示的距离×几个单位长度,这就是几个图上单位长度表示的实际距离。
生 2:我知道了,比例尺前项写成“1”时,是图形缩小了;把比例尺的后项写成“1”时,是图形放大了。
生 3:通过比例尺计算实际距离时,要注意单位间的换算。
[设计意图] 通过学生对所学知识进行总结,一方面加强学生对知识的理解,另一方面是体会比例尺在实际生活中的价值和意义。
作业1
教材第26页“练习二”第7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)( )和( )的比叫作比例尺。比例尺=( )∶( ),比例尺实际上是一个( )。
(2)在一幅地图上,用3厘米长的线段表示实际距离51千米,这幅地图的比例尺是( )。
(3)一个零件长5毫米,画在图纸上长25厘米,这张图纸的比例尺是( )。
(4)在一幅比例尺是12500000的地图上,量得天津到北京的距离是4.8厘米,天津到北京的实际距离大约是( )千米。
【提升培优】
2.(难点题)在一幅地图上,测得甲、乙两地的图上距离是13厘米,已知甲、乙两地的实际距离是780千米。
(1)求这幅地图的比例尺;
(2)在这幅地图上量得A,B两城的图上距离是5厘米,求A,B两城的实际距离。
【思维创新】
3.(操作题)放暑假时,你打算到哪去旅游?找一张地图,标出你家乡的大致位置,算一算两地之间的实际距离大约是多少千米。
【参考答案】
作业1:7.(1)图上1 cm表示实际5000000 cm(50 km) (2)450 km (3)60×9=540(km),能到达B城 8.(1)2.5 1∶8000 (2)8.5 680 13.6
(3)1.5+3=4.5(cm) 4.5×8000=36000(cm) 36000 cm=360 m (4)略
作业2:1.(1)图上距离 实际距离 图上距离 实际距离 比 (2)1∶1700000 (3)50∶1 (4)120
2.(1)1∶6000000。 (2)300千米。 3.略。
比例尺的应用
解:设北京到上海的实际距离为x cm。
3x=134000000
x=34000000×3
x=102000000
102000000 cm=1020 km
答:北京到上海的实际距离约为1020 km。
解:设青岛到石家庄的实际距离为x cm。
1.6x=134000000
x=1.6×34000000
x=54400000
54400000 cm=544 km
答:青岛到石家庄的实际距离为544 km。
为了