人教版2019必修二立体几何简单几何体的表面积与体积（含解析）

人教版2019必修二立体几何简单几何体的表面积与体积
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为（? ??）
A.?92?????????????????????????????????????????B.?9?????????????????????????????????????????C.?272?????????????????????????????????????????D.?27
2.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（??? ）
A.?3π???????????????????????????????????????B.?8π???????????????????????????????????????C.?12π???????????????????????????????????????D.?14π
3.下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（??? ）
A.?12πa2????????????????????????????????????B.?6πa2????????????????????????????????????C.?3πa2????????????????????????????????????D.?πa2
4.在三棱锥 A?BCD 中， AB⊥ 平面 BCD ， △BCD 是边长为3的正三角形， AB=3 ，则该三棱锥的外接球的表面积为（??? ）
A.?21π??????????????????????????????????????B.?6π??????????????????????????????????????C.?24π??????????????????????????????????????D.?15π
5.经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是（??? ）
A.?42π?????????????????????????????????????B.?4π?????????????????????????????????????C.?22π?????????????????????????????????????D.?2π
6.已知正方体的体积是 8 ，则这个正方体的外接球的体积是（??? ）
A.?23π??????????????????????????????????B.?43π??????????????????????????????????C.?433π??????????????????????????????????D.?83π
7.玉璧是我国传统的玉礼器之一，也是“六瑞”之一，象征着吉祥等寓意.穿孔称作“好”，边缘器体称作“肉”.《尔雅?释器》“肉倍好谓之璧，好倍肉谓之瑷，肉好“若一谓之环”.一般把体形扁平?周边圆形?中心有一上下垂直相透的圆孔的器物称为璧.如图所示，某玉璧通高 2.5cm ，孔径 8cm .外径 18cm ，则该玉璧的体积为（??? ）
A.?158.5πcm3??????????????????????B.?160.5πcm3??????????????????????C.?162.5πcm3??????????????????????D.?164.5πcm3
8.底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是（??? ）
A.?22π3?????????????????????????????????B.?3π3?????????????????????????????????C.?26π?????????????????????????????????D.?6π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 θ ，这个角接近 30° ，若取 θ=30° ，侧棱长为 21 米，则（??? ）
A.?正四棱锥的底面边长为6米??????????????????????????????????B.?正四棱锥的底面边长为3米
C.?正四棱锥的侧面积为 243 平方米?????????????????????D.?正四棱锥的侧面积为 123 平方米
10.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为2， E ， F 分别是 AA1 ， CC1 的中点，过 E ， F 的平面 α 与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面 α 截该正方体得到的截面为底面，以 B1 为顶点的棱锥记为棱锥 Ω ，则（??? ）
A.?正方体 ABCD?A1B1C1D1 的外接球的体积为 43π
B.?正方体 ABCD?A1B1C1D1 的内切球的表面积为 43π
C.?棱锥 Ω 的体积为3
D.?棱锥 Ω 的体积为 32
11.已知球 O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心) A?BCD 的外接球， BC=3 ， AB=23 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD=6BE ，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（??? ）
A.?π?????????????????????????????????????????B.?2π?????????????????????????????????????????C.?3π?????????????????????????????????????????D.?4π
12.已知正三棱锥 P?ABC 的底面边长为1，点 P 到底面 ABC 的距离为 2 ，则（?? ）
A.?该三棱锥的内切球半径为 26?????????????????????????????B.?该三棱锥外接球半径为 7212
C.?该三棱锥体积为 212???????????????????????????????????????????D.?AB 与 PC 所成的角为 π2
三、填空题（共4题；共25分）
13.已知球 O 是三棱锥 P?ABC 的外接球， PA=AB=PB=AC=2 ， CP=22 ，点 D 是 PB 的中点，且 CD=7 ，则球 O 的表面积为________.
14.
15.已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为 12π ，则这个正方体的体积为________.
16.某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1 ），则该几何体的体积为________，其外接球的半径为________.
四、解答题（共6题；共65分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知圆锥的底面半径为1，高为 3 ，求圆锥的表面积.
18.将圆心角为 4π3 ，半径为 1cm 的扇形，卷成圆锥形容器，求：
（1）这个容器的侧面积；
（2）这个容器的容积.
19.如图，正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为1，点 F 在棱 CC1 上，过 B ， D1 ， F 三点的正方体的截面 α 与直线 AA1 交于点 E .
（1）找到点 E 的位置，作出截面 α （保留作图痕迹），并说明理由；
（2）已知 CF=a ，求 α 将正方体分割所成的上半部分的体积 V1 与下半部分的体积 V2 之比.
20.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 、 3 、 6 ，
（1）求这个长方体的对角线长。
（2）求这个长方体的的体积
21.如图是一个空间几何体的三视图，其正视图与侧视图是边长为4cm的正三角形、俯视图中正方形的边长为4cm，
（1）画出这个几何体的直观图（不用写作图步骤）；
（2）请写出这个几何体的名称，并指出它的高是多少；
（3）求出这个几何体的表面积。
22.??????? ???????????????????????????
（1）某圆锥的侧面展开图为圆心角为 120° ，面积为 3π 的扇形，求该圆锥的表面积和体积.
（2）已知直三棱柱 ABC?A1B1C1 的底面是边长为 6 的正三角形，且该三棱柱的外接球的表面积为 12π ，求该三棱柱的体积.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【解析】【解答】由三视图可知，该四棱锥的底面为边长为 3 的正方形，高为 3 ，如图：
?
所以该四棱锥的体积为 13×3×3×3=9 .
故答案为：B

【分析】 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．
2.【答案】 B
【解析】【解答】由三视图可知几何体原图是一个底面半径为1高为3的圆柱，
所以几何体的表面积为 π×12×2+2π×1×3=8π .
故答案为：B

【分析】 由三视图可知，该几何体为圆柱，从而求表面积．
3.【答案】 C
【解析】【解答】根据三视图可知，该几何体为如图正方体中的三棱锥 A?BCD ，
正方体的棱长等于a，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
所以外接球的直径 2R=3a ，
因此外接球的表面积为 S=4πR2=3πa2 ，
故答案为：C．

【分析】 画出几何体的直观图，求解外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．
4.【答案】 D
【解析】【解答】设 △BCD 的外接圆圆心为 O1 ，半径为 r ，该三棱锥的外接球的球心为 O ，半径为 R
∵ 3sin60°=2r ， ∴r=3 ， ∵OO1=32 ，∴ R2=OO12+r2=34+3=154
∴ S表=4πR2=4π×154=15π
故答案为：D
【分析】结合已知条件由正弦定理代入数值计算出外接圆的半径，再由勾股定理计算出球的半径再由球的表面积公式计算出结果即可。
5.【答案】 C
【解析】【解答】设圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则 l=2r ，
由题可知 12×(2r)2=2 ，
∴ r=2,l=2 ，
侧面积为 πrl=22π ，
故答案为：C.

【分析】根据题意由圆心角公式即可得出l与r的关系，结合已知条件即可求出半径与母线的值，再把数值代入到侧面积公式计算出结果即可。
6.【答案】 B
【解析】【解答】正方体的体积为 a3=8 ，则正方体棱长 a=2 ，正方体的外接球半径为体对角线的一半，
即 R=a2+a2+a22=122=3 ，故 V=43πR3=43π?33=43π ，
故答案为：B.

【分析】利用正方体的体积公式求出正方体的棱长，再利用正方体的体对角线等于正方体外接球的直径，进而利用勾股定理求出球的半径，再利用球的体积公式，从而求出这个正方体的外接球的体积。
7.【答案】 C
【解析】【解答】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为 9cm ，高为 2.5cm 的圆柱的体积减去底面半径为 4cm ，高为 2.5cm 的圆柱的体积，即 π×92×2.5?π×42×2.5=162.5πcm3 .
故答案为：C.

【分析】由题意知，该玉璧的体积为底面半径为 9cm ，高为 2.5cm 的圆柱的体积减去底面半径为 4cm ，高为 2.5cm 的圆柱的体积，根据圆柱体积公式计算即可。
8.【答案】 A
【解析】【解答】因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，
所以圆锥的高 h=32?12=22 ，
所以圆锥的体积为 V=13S底?h=13(π×12)×22=22π3 .
故答案为：A.
【分析】由圆锥的底面半径为1，母线长为3，可知圆锥的高 h=32?12 ，进而结合圆锥的体积 V=13S底?h ，计算即可.
二、多选题
9.【答案】 A,C
【解析】【解答】如图，在正四棱锥 S?ABCD 中，
O为正方形 ABCD 的中心， H 为 AB 的中点，
则 SH⊥AB ，
设底面边长为 2a ．
因为 ∠SHO=30° ，
所以 OH=AH=a,OS=33a,SH=233a ．
在 Rt△SAH 中， a2+(233a)2=21 ，
所以 a=3 ，底面边长为6米，
S=12×6×23×4=243 平方米．
故答案为：AC.

【分析】根据题意作出直观图，结合已知条件求解棱锥的底面边长，侧面积，判断选项的正误即可．
10.【答案】 A,C
【解析】【解答】因为正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为2，
所以正方体 ABCD?A1B1C1D1 的外接球的直径为 4+4+4=23 ，
内切球的半径为1，
所以正方体 ABCD?A1B1C1D1 的外接球的体积为 43π×(3)3=43π ，
内切球的表面积为 4π×12=4π ，A符合题意，B不符合题意.
如图， M,N,S,T 分别是棱 AB,BC,C1D1,A1D1 的中点.
因为 EMNFST 在同一个平面内，
并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，
所以平面 α 被此正方体所截得的截面图形为正六边形 EMNFST ，
边长为 2 ，因为正六边形 EMNFST 的面积 S=12×2×2sinπ3×6=33 ，
B1 到平面 α 的距离为 4+4+42=3 ，
所以棱锥 Ω 的体积为 13×33 ×3=3 ，故 C 符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.

【分析】利用正方体与内切球与外接球的位置关系，从而结合勾股定理求正方体体对角线或正方体棱长求出外接球和内切球的半径，进而利用球的表面积公式或体积公式求出 方体 ABCD?A1B1C1D1 的外接球的体积和正方体 ABCD?A1B1C1D1 的外接球的表面积，再利用M,N,S,T 分别是棱 AB,BC,C1D1,A1D1 的中点，因为 EMNFST 在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，所以平面 α 被此正方体所截得的截面图形为正六边形 EMNFST ，边长为 2 ，再利用正六边形的面积公式求出正六边形 EMNFST 的面积，再利用点到平面的距离求解方法求出点B1 到平面 α 的距离，再利用棱锥的体积公式求出棱锥 Ω 的体积。
11.【答案】 B,C,D
【解析】【解答】解：如下图所示，
其中 O 是球心， O′ 是等边三角形 BCD 的中心，可得 O′B=O′D=33BC=3 ， AO′=AB2?O′B2=3 ，设球的半径为 R ，在三角形 ODO′ 中，由 OO′2+DO′2=OD2 ，即 (3?R)2+(3)2=R2 ，解得 R=2 ，故最大的截面面积为 πR2=4π
在三角形 BEO′ 中， BE=16BD=12 ， ∠EBO′=π6
由余弦定理得 O′E=3+14?2×3×12cosπ6=72
在三角形 OO′E 中， OE=OO′2+O′E2=112 ，设过 E 且垂直 OE 的截面圆的半径为 r ， r2=R2?OE2=4?114=54
故最小的截面面积为 πr2=5π4
所以过点 E 作球 O 的截面，所以截面圆面积的取值范围是 [5π4,4π]
故答案为：BCD．

【分析】根据题意首先求出外接圆的半径从而即可求出截面圆的面积最大值，设过点E且垂直于OE的截面圆的半径为r，由此可求出截面圆的面积最小值，由此得出其取值范围即可。
12.【答案】 A,B,D
【解析】【解答】如图，
PM是棱锥的高，则 M 是 △ABC 的中心， D 是 AB 中点，
S△ABC=34×12=34 ， VP?ABC=13S△ABC?PM=13×34×2=612 ，C不符合题意；
DM=13×32×1=36 ， PD=(2)2+(36)2=536 ， CM=33 ．
S△PBC=12×BC×PD =12×1×536=5312 ，
所以 S=3S△PBC+S△ABC=3×5312+34=332 ，
设内切球半径为 r ，则 13Sr=VP?ABC ， r=3×612332=26 ，A符合题意；
易知外接球球心在高 PM 上，球心为 O ，设外接球半径为 R ，
则 (2?R)2+(33)2=R2 ，解得 R=7212 ，B符合题意；
由 PM⊥ 平面 ABC ， AB? 平面 ABC 得 PM⊥AB ，又 CD⊥AB ， CD∩PM=M ，
所以 AB⊥ 平面 PCD ， PC? 平面 PCD ，所以 AB⊥PC ，所以 AB 与 PC 所成的角为 π2 ，D符合题意．
故答案为：ABD．

【分析】设内切球半径为 r ，则 13Sr=VP?ABC ， r=3×612332=26 ，可判断A的正误；设外接球半径为 R ，则 (2?R)2+(33)2=R2 ， 可判断B的正误；S△ABC=34×12=34 ， VP?ABC=13S△ABC?PM=13×34×2=612 ，可判断C的正误；再由异面直线所成角的性质，可判断D的正误。
三、填空题
13.【答案】 28π3
【解析】【解答】由 PA=AC=2 ， CP=22 ，可得 CP2=PA2+AC2 ，所以 PA⊥AC ，
由点 D 是 PB 的中点，且 PA=AB=PB=2 ，可求得 AD=3 ，
又由 CD=7,AC=2 ，可得 CD2=AD2+AC2 ，所以 AD⊥AC ，
又 AD∩AP=A 且 AD,AB? 平面 PAB ，所以 AC⊥ 平面 PAB ，
以 △PAB 为底面， AC 为侧棱补成一个直三棱柱，如图所示，
则三棱锥 P?ABC 的外接球即为该三棱柱的外接球，
球心 O 到底面 △PAB 的距离为 d=12AC=1 ,
由正弦定理，可得 △PAB 的外接圆的半径为 r=12×PAsin60?=23 ，
所以球 O 的半径为 R=d2+r2=12+(23)2=73 ，
所以球 O 的表面积为 S=4πR2=4π×(73)2=28π3 .
故答案为： 28π3 .

【分析】根据题意由线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面PAB，结合勾股定理求出三角形PAB外接圆的半径，再由点到面的距离公式求出球的半径，把数值代入到球的表面积公式计算出结果即可。
14.【答案】
【解析】【解答】 ，又因为 ，
，
， ， ，即 ，
， 。
故答案为： 。

【分析】利用已知条件结合圆的面积公式和勾股定理，从而求出 的值 。
15.【答案】 8
【解析】【解答】设球的半径为 R ，因为球的表面积为 12π ，所以 4πR2=12π ，所以球的半径 R=3 ，
因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为 2R=23 ，
设正方体的棱长为 a ，则 a2+a2+a2=3a=23 ，所以 a=2 ，
所以正方体的体积为 a3=23=8 。
故答案为：8。

【分析】利用已知条件结合球的表面积公式，进而求出球的半径，因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为球的直径，进而求出正方体的体对角线，再利用勾股定理求出正方体的棱长，再利用正方体的体积公式，进而求出正方体的体积。
16.【答案】 20；522
【解析】【解答】根据三视图可得如图直观图，
?
由 PD⊥ 底面 ABCD ，且底面为长方形，
所以四棱锥 P?ABCD 的体积 V=13×5×4×3=20 ，
由图可补全为长方体 ABCD?EFGP ，
所以体对角线 PB 为外接球直径， PB=42+52+33=52 ，
?
故四棱锥 P?ABCD 的外接球半径为 522 .
故答案为：20； 522 .

【分析】先把三视图转化为几何体的直观图，然后求出几何体的体积和球的半径。
四、解答题
17.【答案】 解：设圆锥的母线长为 l ，则 l=3+1=2 ，所以圆锥的表面积为 S=π×1×(1+2)=3π
【解析】【分析】先求圆锥的侧面积，再求底面积，即可得答案；
18.【答案】 （1）解：由题意可知，这个圆锥形容器的侧面积为 S=12×4π3×1=2π3(cm2) ；
（2）解：圆锥形容器的底面半径为 rcm ，则 2πr=4π3×1 ，可得 r=23 ，
所以，圆锥形容器的高为 h=12?r2=12?(23)2=53(cm) ，
因此，这个容器的容积为 V=13πr2h=13π×(23)2×53=4581π(cm3) .
【解析】【分析】(1)根据题意由扇形的面积代入数值计算出结果即可。
(2)首先由圆锥底面圆的半径即可计算出圆锥的高，再由圆锥体积公式代入数值计算出答案即可。
19.【答案】 （1）解：在正方形 CDD1C1 中，过 F 作 FG//DC ，且交棱 DD1 于点 G ，
连接 AG ，在正方形 ADD1A1 内过 D1 作 D1E//AG ，且交棱 AA1 于点 E ，
连接 EB ， ED1 ，则四边形 BED1F 就是要作的截面 α .
理由：由题意，平面 α∩ 平面 AD1=D1E ，
α∩ 平面 BC1=BF ，平面 AD1// 平面 BC1 ，
应有 D1E//BF ，
同理， BE//FD1 ，所以四边形 BED1F 应是平行四边形，
由作图过程， FG//DC ， FG=DC ，又 AB//DC ， AB=DC ，
所以 AB//FG ， AB=FG ，所以四边形 ABFG 是平行四边形，
所以 AG//BF ， AG=BF ，
由作图过程， D1E//AG .又 EA//D1G ，
所以四边形 EAGD1 是平行四边形，所以 D1E//AG ， D1E=AG ，
又 AG//BF ， AG=BF ，所以 D1E//BF ，且 D1E=BF ，
所以 BED1F 是平行四边形，四边形 BED1F 就是要作的截面
（2）解：由题意， CF=a(0由（1）的证明过程，可得 A1E=a ，
连接 D1B1 ，则平面 α 将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥 D1?A1EBB1 与四棱锥 D1?B1BFC1 的组合体，
V1=VD1?A1EBB1+VD1?B1BFC1 =13×(a+1)×12×1+13×[(1?a)+1]×12×1 =12 ，
而该正方体的体积 V=1 ， V2=V?V1=1?12=12 .所以 V1:V2=1
【解析】【分析】?（1）在正方形?ADD1A1?内过?D1?作?D1E//AG?，且交棱?AA1?于点?E?，连接?EB?，?ED1?，则四边形?BED1F?就是要作的截面?α?，由平面与平面平行的性质证明；
（2）求出两个四棱锥 ?D1?A1EBB1?与四棱锥?D1?B1BFC1?的组合体，作和可得 ?V1 ，由正方体的体积减去 ?V1 可得 ?V2 ，作比得答案.
20.【答案】 （1）解：设此长方体的棱长分别为a，b，c，则 ab=2，bc=3，ac=6 ，可得 abc=6 ，解得 c=3 ，a= 2 ，b=1
这个长方体的对角线长l= (2)2+(3)2+12 = 6
（2）解：由（1）可知：V=abc= 6
【解析】【分析】（1）计算出abc,ab,bc,ac的值，即可得出a,b,c的大小，即可得出答案。（2）结合体积V=abc，即可得出答案。
21.【答案】 （1）解：如图：
（2）解：正四棱锥
高为 23
（3）解：表面积为48cm2
【解析】【分析】（1）结合三视图，还原原图，即可得出答案。（2）建立直角三角形，利用勾股定理，即可得出高，即可得出答案。（3）结合三棱锥表面积计算公式，即可得出答案。
22.【答案】 （1）解：设圆锥的底面半径、母线长分别为 r,l ，
则 12×23πr2=3π,12?l?2πr=3π ，解得 r=1,l=3
所以圆锥的高为 22 ，得表面积是 3π+π=4π ，体积是 13?π?12?22=223π
（2）解：设球半径为R，上，下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN的中点，
设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝ 3 ，又易得AM＝ 2 ，
由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，
所以该三棱柱的体积为 34×(6)2×2=33
【解析】【分析】（1）分别计算出母线和半径的长， 利用勾股定理，得出高，计算表面积和体积，即可得出答案。（2）结合勾股定理，构造三角形，计算高h，利用体积计算公式，即可得出答案。