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3.3.1抛物线及其标准方程教学设计
课题
3.3.1抛物线及其标准方程
单元
第三单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
在学习了椭圆和双曲线后再学习抛物线，是在学生原有认知的基础上从几何与代数两个角度去认识抛物线.教材在抛物线的定义这个内容的安排上是：先从直观上认识抛物线，再从画法中提炼出抛物线的几何特征，由此抽象概括出抛物线的定义，最后是抛物线定义的简单应用.这样的安排不仅体现出《课程标准》中要求通过丰富的实例展开教学的理念，而且符合学生从具体到抽象的认知规律，有利于学生对概念的学习和理解.
课程目标与核心素养
课程目标1.知道抛物线的定义,能推出抛物线的标准方程；2.能根据条件,求出抛物线的标准方程；3.能利用抛物线方程解决一些相关实际问题.核心素养1.数学抽象：抛物线的定义；2.逻辑推理：抛物线标准方程的推导；
3.数学运算：根据条件求抛物线标准方程
；4.直观想象：抛物线定义的运用.
重点
抛物线的定义及其标准方程.
难点
抛物线定义的灵活运用及解决实际问题的能力.
教学准备
多媒体
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
情境导入一元二次函数图象
篮球的运动轨迹
生活中的抛物线复习引入一个动点M到一个定点F和一条定直线的距离之比为常数k.我们知道,椭圆、双曲线都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数k的点的轨迹.(其中定点不在定直线上)（1）当0椭圆（2）当k＞1时，点的轨迹是
双曲线思考：当k=1时，点的轨迹是什么呢？
学生观看图片.
通过生活中的应用实例，一方面吸引学生的注意力，让学生对抛物线有一个感性上的认识，另一方面让学生意识到研究抛物线的必要性，感受到数学来源于生活，生活离不开数学.
讲授新课
动画演示，得出定义借助于《几何画板》演示“动点轨迹”：点F是定点，l是不过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作l的垂线MH，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M。拖动点H，观察点M的轨迹.
问题：你能发现点M满足的几何条件吗？MF=MH抛物线的定义我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点；定直线l称为抛物线的准线.思考：若直线l过定点F，那么点M
的轨迹是什么？点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线抛物线的标准方程求抛物线方程的基本步骤是怎样的？
探讨建立直角坐标系的方案以及各个方案得出的方程，哪个更简单？通过比较方案（3）的简单.把方程叫做抛物线的标准方程.表示焦点在x轴正半轴上.注意：正常数p的几何意义是：焦点到准线的距离.
焦点坐标：
准线方程为：其余三种抛物线的标准方程一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他的形式.通过比较分析，得出的一般规律问题：抛物线的四种形式的标准方程的相同点和区别是什么？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？方程共同特点:左边都是二次式,系数为1；右边都是一次式。焦点位置的判断方法：在标准形式下，看一次项，（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X（或Y）轴上；（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.思考？你能说明二次函数
的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.典例解析例1：（1）
y2=6x
，求它的焦点坐标和准线方程．
（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.解：（1）因为2p=6，p=3，故抛物线的焦点坐标为，准线方程为：。（2）因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且，故所求抛物线的标准方程为例2：一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.设抛物线的标准方程是，由已知条件可得，点的坐标为，代入方程，得，所以，所求抛物线的标准方程是焦点坐标为：.课堂练习1.根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是；（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是2.解：（1）2.求过点的抛物线的标准方程.解：（1）当抛物线的焦点在y轴的正半轴上时，把代入
；当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，把代入
；所以抛物线的标准方程为：
.
教师引导学生一起讨论.利用动画显示结果
通过几何画板的动态演示，让学生在感性和理性上认识到抛物线的几何性质，从而得出抛物线的定义.抛物线的形成过程用动态性的演示，使他们真正看到了“轨迹”，这样易于理解，记忆深刻，为学习下一节“抛物线的性质”打下了基础.引导学生一起推导出得出焦点在x轴正半轴的情况的标准方程，再类比得到其余三种情况，考虑到学生的实际情况，在此直接给出另外三种情况的标准方程.通过四种情况的观察、对比，引导学生发现抛物线的标准方程与图形之间的内在联系，从而得到一般的规律，在这里充分体现了解析几何中数形结合的思想.引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成.
课堂小结
抛物线的定义2.抛物线的标准方程：（四种形式）3.求抛物线标准方程。（1）定义法
（2）待定系数法
学生回顾本节课知识点，教师补充.
让学生掌握本节课知识点，并能够灵活运用.
板书
§3.3.1
抛物线及其标准方程抛物线的定义抛物线的标准方程
四、课堂小结
五、作业布置典型例题
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
3.3.1
抛物线及其标准方程
人教A版（2019）
选择性必修第一册
情境导入
O
x
y
y=ax2
(a>0)
y=ax2+bx+c
(a>0)
一元二次函数图象
篮球的运动轨迹
情境导入
生活中的抛物线
复习引入
例6
动点
到定点
的距离和
到定直线
的距离的比是常数
，求动点
的轨迹.
常数小于1
常数大于1
复习引入
一个动点M
到一个定点F
和一条定直线l
的距离之比
为常数
k
:
F
l
M1
M
当
0时是椭圆
当
k>1
时是双曲线
当
k=1
是？
新知讲解
动画演示，得出定义
点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是直线l上任意一点，过点H作l的垂线MH，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M.拖动点H，观察点M的轨迹.
问题：你能发现点M应该满足什么条件吗？
MF=MH
新知讲解
抛物线定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点F叫做抛物线的焦点，
定直线l叫做抛物线的准线.
M
·
F
l
·
k=1
焦点
d
d
准线
思考：若直线l过定点F，那么点M的轨迹是什么？
点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
新知讲解
抛物线的标准方程
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
代入
化简
设点
建系
列式（限）
如何建立直角坐标系？
F
M
N
·
·
合作探究
?
探讨建立平面直角坐标系的方案以及各个方案得出的方程，哪个更简单？
方案(1)
方案(2)
方案(3)
设定点与定直线之间的距离为p(p>0)
新知讲解
把方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.表示焦点在x轴正半轴上.
正常数p的几何意义是：焦点到准线的距离.
焦点坐标:
准线方程:
x
y
o
d
p
F
l
M
新知讲解
一般地，我们把顶点在原点、焦点F
在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程.
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他形式.
新知讲解
准线方程
焦点坐标
标准方程
焦点位置
图形
x轴的
正半轴上
x轴的
负半轴上
y轴的
正半轴上
y轴的
负半轴上
y2=2px(p>0)
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
y2=-2px(p>0)
x2=-2py(p>0)
x2=2py(p>0)
一次变量定焦点
开口方向看正负
新知讲解
问题：抛物线的四种形式的标准方程的相同点和区别是什么？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？
方程共同特点:左边都是二次式,系数为1；右边都是一次式.
焦点位置的判断方法：
在标准形式下，看一次项，
（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X（或Y）轴上；
（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.
即：一次变量定焦点；
开口方向看正负.
新知讲解
思考？
二次函数
的图象为什么是抛物线？
指出它的焦点坐标和准线方程.
新知讲解
典型例题
例1：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.
解:(1)因为2p=6,p=3，故抛物线的焦点坐标为
，
准线方程为
(2)因为抛物线的焦点在y轴负半轴上,且 故所求抛物线的标准方程为x2=-8y.
新知讲解
典型例题
例2：一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
新知讲解
典型例题
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是
，由已知条件
可得，点A的坐标是(1,2.4)
，
代入方程，得
即
所以,所求抛物线的标准方程是
，焦点的坐标是
.
课堂练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是
；
（2）准线方程是
；
（3）焦点到准线的距离是2.
或
先定位，后定量
小结：已知抛物线的标准方程
求其焦点坐标和准线方程.
课堂练习
2.
求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
．
A
O
y
x
解:(1)当抛物线的焦点在
y
轴的正半轴上时，把A(-3,2)代入x2
=2py，得p=
(2)当焦点在
x
轴的负半轴上时，把A(-3,2)
代入y2
=
-2px，得p=
∴抛物线的标准方程为x2
=
y
或y2
=
x
.
课堂总结
1、抛物线的定义：
2、抛物线的标准方程.（四种形式）
3、求抛物线标准方程：
（1）用定义；（2）用待定系数法.
板书设计
1.抛物线的定义
2.抛物线标准方程
例1、2
四、作业布置
三、课堂小结
二、探索新知
一、情境导入
3.3.1
抛物线及其标准方程
作业布置
课本133页练习题1，2，3
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