北师大版数学 四年级下册第5单元 认识方程 单元集体备课教案
文档属性
| 名称 | 北师大版数学 四年级下册第5单元 认识方程 单元集体备课教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 14:47:08 | ||
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文档简介
第5单元 认识方程
《认识方程》是《数学课程标准》数与代数中“式与方程”部分的内容,是在学生学习了一定的算术知识,已经初步接触了一点代数知识的基础上进行学习的。对于小学生来说,现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数,是认识上的一次飞跃。这部分内容是学生从算术学习转向代数学习的重要转折点,是学生第一次认识方程,也是学生由算术思维迈向代数思维的新起点,更是初中代数学习的重要基础。无论是用字母表示数,还是寻找数量间的等量关系,对于小学生而言都是很抽象的。因此,《认识方程》的教学内容在数学知识体系中占有重要的地位和作用。
本单元主要是学习用字母表示数、认识方程、等式性质和解方程的方法,初步学会用方程解决简单的实际问题。如果说根据等量关系列方程,是把现实问题抽象为数学问题(数学模型),是把生活世界引向符号世界,那么等式性质则是符号世界里的一种重要的数学模式。数学模式与数学模型的不同之处,就在于它关心的是数学的内部世界,是解决一类数学问题的重要方法。也可以说,等式的性质是解决方程问题的重要方法。通过方程和解方程的学习,要初步实现掌握与算术方法截然不同的代数方法解决简单问题并发展代数思维的目标。
1.结合具体情境,学会用字母表示数与数量关系,发展抽象概括能力。
2.结合具体情境,体会等量关系,能用方程表示简单情境中的等量关系,了解方程的作用。
3.了解等式的性质,能用等式的性质解简单的方程。
4.会用方程解决简单的实际问题,进一步理解等量关系。
1.倡导“教师为主导,学生为主体”的教学理念,注重学生学习知识的过程,给学生充分的时间和空间,在特定的数学情境中自主探究,小组合作交流,激发学生的学习积极性和主动性。
2.既重视知识本身的建构,又重视课堂结构的建构,充分体现学生从“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的意义上建构的学习过程。
增强学生学习知识的自信心,让学生用眼观察、动脑思考、动手演算、动口表达,真正理解和掌握方程最基本的知识,变特殊为一般,变具体为抽象。
让学生体会到数学与现实生活的密切联系,能够实实在在地从课堂学习中获取新知,建立数学模型、培养能力、发展思维,从而喜欢数学课,热爱数学学科。
【重点】 经历用字母表示数的过程,能用字母表示等量关系,会解简单的方程。
【难点】 进一步体会等量关系,用方程解决实际问题。
1.提供生动、有趣的具体情境,帮助学生体会用字母表示数的必要性和优越性
学生对字母表示数的意义的理解,是在运用字母表示具体数量和数量关系的活动中实现的。教材设计了借青蛙儿歌引入字母表示数的情境,青蛙儿歌本身是一个饶有趣味的现实:一首说不完的青蛙儿歌,引入字母a表示青蛙的只数后,就能够用一句话把儿歌说完。从中体会用字母表示数的好处,即对待未知数和已知数从此可以一视同仁,同样可以对未知数施加运算,因此,可以通过建立未知数与已知数的等量关系来寻求未知数。这将更有效地促进学生代数思维的发展,以及分析和解决问题能力的提高。
2.结合学生的经验,采用多种方式,理解与方程有关的概念,把握方程的本质
认识方程,首先要认识等量关系。“等量关系”一课,结合学生的经验,采用多种方法,如跷跷板、口头语言、画图、写式子等方法,展开形式丰富的表示现实中等量关系的活动,并通过这些方法之间的相互转化,理解等量关系。“方程”一课,则是通过引入字母表示现实生活中的未知数,并用等式表示未知数与已知数之间客观存在的等量关系,建立对方程的初步认识。“猜数游戏”则进一步揭示了方程的本质:方程是通过建立已知数与未知数的关系来求未知数的数学模型。数学模型关心的是现实世界,方程就是解决一类现实问题的重要方法。
3.结合用天平模拟等式变形的过程,抽象等式的性质,理解解方程的过程和方法
“解方程(一)”和“解方程(二)”两课,让学生观察天平两侧都加上或减去相同的质量,天平仍然平衡,从而发现“等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍成立”。用同样的方法,让学生体会“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为零的数),等式仍然成立”,进而让学生利用等式的性质解简单的方程。
1 字母表示数
教材第61页内容。
教材结合具体情境设计了四个问题,意在引导学生体会用字母表示数的作用。
第一个问题中设计的说儿歌的情境,让学生将看似简单的儿歌一直说下去,学生不仅会产生浓厚的兴趣,还会产生对字母表示数的需要,尝试用字母a表示青蛙儿歌,体会到用字母表示数的必要性。
第二个问题是体验用字母表示儿歌的关键是如何表示儿歌中的数量关系,通过学生作品的形式,呈现了用字母表示数时常见的几种情况:第一种是只简单地用字母代替了数,没有关注数量之间的不同及关系;第二种是注意到了数量的不同,但用字母表示数时没有将它们的关系表达出来;第三种是用字母表示出了两个数量之间的倍数关系。教材引发学生对这三种表示方法展开深入讨论的过程,就是启发学生从多角度理解字母表示数的意义的过程。教材这样的设计既关注到学生学习的困难,又突破了学生学习的重点、难点。
第三个问题是完成用字母表示青蛙儿歌的抽象与概括的活动,学生经历了这个探索过程,将再次体会到用字母表示数的必要性。
第四个问题的目的是引导学生将所学的知识应用于生活中,体会数学与生活的联系,并通过举例促进学生的数学理解。教材在呈现交流情境中,借助母子年龄关系的情境,引导学生尝试用字母表示一个数量比另一个数量多几的数量关系(两个数量的差是一个常数),进一步体会用字母表示数简洁明了的特点,同时扩展了学生的思路。
教材第62~63页内容。
本课时进一步认识用字母表示数的作用。共有三个问题,第一个问题是用字母表示正方形的周长公式,这既是对公式本身的回顾,也是借助这一过程帮助学生在运用字母表示公式的过程中,进一步深化对字母表示数的认识。同时,还说明字母和数字相乘的简写形式。第二个问题是感受4a在生活中表示的实际意义,与a表示的具体数量紧密相关。第三个问题是用字母表示已学过的计算公式和运算律。一方面,加强对所学内容的巩固;另一方面,进一步体会字母表示数的意义,并沟通知识间的相互联系。
1.结合具体情境,会用字母表示数和数量关系,能用字母表示运算律和有关图形的计算公式。
2.经历探索用字母表示数的过程,体会用字母表示数的必要性,发展抽象概括能力,渗透函数思想。
【重点】 体会字母表示数的作用,会用字母表示数和数量关系、运算律和有关图形周长及面积的计算公式。
【难点】 用含有字母的式子表示数及常见的数量关系、运算律和有关图形周长及面积的计算公式。
第课时 字母表示数
1.结合具体情境,认识用字母表示数的作用,体会用字母表示数的必要性,感受用字母表示数在生活中的实际意义。
2.发展抽象概括能力。
【重点】 体会字母表示数的作用,会用字母表示数和数量关系。
【难点】 用含有字母的式子表示数及常见的数量关系。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
下面是一个长为3,宽为2的长方形,试求它的周长和面积。
【参考答案】 周长=10 面积=6
方法一
激趣引入,揭示新课。
(播放字母歌)
师:同学们,刚才我们欣赏的是什么歌啊?
预设 生:字母歌。
师:字母,在生活中经常可以作为一些标志。(出示扑克牌)这里有字母吗?
预设 生:A,J,Q,K。
师:知道各代表几吗?
预设 生:1,11,12,13。
师:字母就在我们身边,字母在数学王国还有哪些神奇的作用呢?今天我们就来学习用字母表示数。(板书课题:字母表示数)
[设计意图] 新课前,师生通过交流生活中见到或了解的一些字母及所代表的含义,使原本高度抽象的字母变得具体并富有情趣,再以此迁移,引入数学中的字母,就大大激发了学生学习“用字母表示数”的浓厚兴趣。
方法二
谈话引入。
师:说说英文中有哪些字母?
预设 生:a,b,c,d,e,…,x,y,z。
师:你们学过了哪些数?
预设 生1:1,2,3,4,5……
生2:还有小数呢,也有很多。
生3:还有分数,也有很多很多。
师:同学们真聪明!你们听说过用字母表示数吗?
预设 生(大部分):听说过。
师:关于用字母表示数,你已经知道了什么?
预设 生1:我知道用字母可以表示加法交换律,比如:a+b=b+a。
生2:我知道字母S可以表示图形的面积。
……
师:如果我们今天就来研究用字母表示数,你还想知道些什么?(板书课题:字母表示数)
预设 生1:我想知道什么字母可以表示数。
生2:我想知道字母可以表示哪些数。
生3:我想知道为什么要用字母来表示数。
师(握着该同学的手):麻烦你再把问题说一遍。
预设 生:我想知道为什么要用字母来表示数。
师:刚才几位同学的问题都很好,尤其是这位同学的。是呀!为什么要用字母表示数呢?难道说黑板上那么多具体的数还不够我们用吗?谁能给我们解释一下?
预设 生1:可能是因为方便吧!
生2:可能是因为好算吧!
……
师:同学们的猜测都有一定的道理,究竟是什么原因要用字母表示数呢?下面我们一起来研究、感悟。(板书课题:字母表示数)
[设计意图] 四年级的学生对于用字母表示数多少有一些了解,因此师生交谈并不回避这个问题,让学生自由地、自豪地把知道的说出来,增强学生的成功感。对于不知道的更易生出求知欲望。“你还想知道些什么”引起学生思考,逐渐引导学生会学习,接下来的新课探究水到渠成。
一、初步感受用字母表示数。
1.用a表示淘气的儿歌。
师:同学们见过青蛙吗?1只青蛙有多少张嘴?多少只眼睛和多少条腿?有一首儿歌叫做数青蛙。是这样数的:1只青蛙4条腿;2只青蛙8条腿;3只青蛙12条腿……同学们能接着数到8只青蛙吗?
生齐:1只青蛙4条腿;2只青蛙8条腿;3只青蛙12条腿;4只青蛙16条腿;5只青蛙20条腿;6只青蛙24条腿;7只青蛙28条腿;8只青蛙32条腿。
师:50只青蛙几条腿?100只?1000只呢?8000只呢?(课件出示图片)
师:这样一只一只地数下去太麻烦了,笑笑说得对,永远也说不完。能不能想一个办法,用一句话就概括了所有数青蛙的情况?
学生独立在题卡上写,师巡视,找到有代表的写法,预设学生可能会有用符号或图形表示的,进行集体讨论,教师要给予肯定和表扬。
师:同学们这么多新奇的、有趣的表示方法,各有各的理由和优点,真不知道用哪一个了。智慧爷爷有个好建议:用a表示青蛙的只数,用字母表示淘气的儿歌。请同学们在题卡上试着写一写。
学生再次独立写,师巡视,找到有代表的写法,一会儿集体讨论。
师:同学们,这有几种同学的写法,想一想,你觉得哪种写法合理呢?(课件出示下面3种情况)
①a只青蛙a条腿;②a只青蛙b条腿;③a只青蛙4×a条腿。
预设 生1:我不同意第①种写法。青蛙的腿数不能用a表示,因为青蛙的只数与腿数不一样。
生2:第②种写法我也不同意。青蛙的腿数不能用b表示,因为这样体现不出青蛙腿数是青蛙只数的倍数关系。
生3:我同意第③种写法。用4×a表示腿数就能很好地表示出青蛙的腿数是只数的四倍。
课件出示儿歌:1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿;2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿……
师:如果我们用a表示青蛙的只数,其他几个量同学们会表示吗?怎么用字母表示这个儿歌?
学生集体交流,得出:可以表示为a只青蛙,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
师:大家已经用一个字母把我们想说的数都概括进去了。青蛙只数、嘴的张数、眼睛只数、腿的条数也用a表示得非常清楚。那么这里的a可以是哪些数?
预设 生:应该是任何的自然数。
师:利用字母表示数,可以把数和数量关系一般化地、简明地表示出来。
小结:青蛙只数可以选择任何一个字母。
①a只青蛙,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
②x只青蛙,x张嘴,2×x只眼睛,4×x条腿。
③n只青蛙,n张嘴,2×n只眼睛,4×n条腿。
2.巩固练习
教材第62页“练一练”第1题。
【参考答案】 a朵梅花5×a个瓣;b周有b×7天。
二、初步应用字母表示数。
1.举例用字母表示数及数量关系。
师:同学们说一说生活中还有什么时候可以用到字母表示数。
学生小组内讨论交流后指名说一说。
预设 生1:a只小狗,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
生2:1朵桃花,5个花瓣,y朵桃花,5×y个花瓣。
生3:1只蚂蚁,6条腿,n只蚂蚁,6×n条腿。
……
师:同学们说了这么多,我们看下面一个问题:
淘气的妈妈比淘气大26岁,如果用n表示淘气的年龄,那么妈妈的年龄应该怎么表示?
组织学生根据上面的信息,展开讨论,并在小组中交流,然后全班交流汇报。
教师根据学生汇报板书:①淘气的年龄+26岁=妈妈的年龄。
②(n+26)岁(n表示淘气的年龄)。
师:这里的n可以表示哪些数呢?表示500行不行?
预设 生:不行,因为人不可能活到500岁。
师:看来用含字母的式子表示生活中的数量时,字母所取的数要符合生活实际。
小结:用字母或者含有字母的式子可以表示数,也可以表示数量关系。
2.巩固练习
(课件出示)联系实际,解决问题:百科图画书比格林童话贵20元。
(1)你能用含字母的式子表示这两种书的价钱吗?
(2)算一算:百科图画书58元,格林童话多少元?如果格林童话25元,那么百科图画书多少元呢?
【参考答案】 (1)百科图画书:n元,格林童话:(n-20)元;或者格林童话:a元,百科图画书:(a+20)元。 (2)38元 45元
[设计意图] 通过创造情境、提出问题,让学生带着问题自主学习,独立尝试与小组讨论结合,降低难度,一点点抽象出来,形成字母表示数及数量关系,增强针对性学习,激发学生的学习兴趣。
1.用含有字母的式子填空。
(1)每袋面粉重a千克,每袋大米重b千克,8袋面粉和5袋大米共重( )千克。
(2)大商电器公司在10月1日这一天,某品牌的手机十分畅销,上午卖出75部,下午卖出100部,已知每部手机a元,这一天一共卖了( )元,上午比下午少卖了( )元。
2.教材第62页“练一练”第2题。
学生读题后,先独立完成,教师巡视过程中如果遇到问题,可以举出这道题的正确答案和错误答案对比,让学生自己去发现,这样就会为后续学习扫清很多障碍。最后,再在小组中相互交流。
【参考答案】 1.(1)8×a+5×b (2)(75+100)×a 100×a-75×a 2.5×n 3×a (76+s) (n+1)
师:今天我们研究了用字母表示数,你们有什么收获?
预设 生1:我知道了什么字母可以表示数。
生2:我知道了字母可以表示什么数,字母还可以表示数量关系。
生3:我知道了为什么要用字母表示数。
……
师:同学们真会学习,一节课就明白了这么多道理。关于用字母表示数,我们的教材后面还有1课时的学习,相信同学们学完后一定会有更多的收获。
作业1
教材第63页“练一练”第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)在括号内填上合适的式子。
(1)小敏原有a本故事书,捐献给灾区小朋友5本后,还剩( )本。
(2)一辆公共汽车每小时行c千米,3小时共行( )千米。
(3)一种糖果的单价是每千克a元,买14千克需( )元,买b千克需( )元。
2.(重点题)解决生活中的数学问题。
(1)101路无人售票车上有乘客56人,到中华门车站下车a人,又有b人上车,现在车上有( )人。
(2)书香超市里有n个书架,每个书架放b本书,共有图书( )本。其中故事书有b本,科幻书比故事书的2倍多17本,科幻书有( )本。
(3)双休日,四(3)班的男生修补图书m本,女生修补图书n本,全班平均每天修补图书( )本。
【提升培优】
3.(变式题)说说下面每个式子的含义。
(1)老师家上个月用水a吨,这个月比上个月节约用水b吨,a-b表示什么?
(2)娟娟家平均每月用电a度,12×a表示什么?
(3) 学校买来9个足球,每个a元;又买来b个篮球,每个25元。9×a表示什么? 25×b表示什么? 9×a+25×b表示什么?
4.(难点题)用含有字母的式子表示下面各题的数量关系。
(1)在一个三角形的三个内角∠1,∠2,∠3中,∠1=a,∠2=b,用含有字母的式子表示∠3的度数。
(2)在一个等腰三角形中,底角是a,用含有字母的式子表示顶角的度数。
【思维创新】
5.(探究题)根据下图摆放的餐桌和椅子回答问题。
(1)一张餐桌可以坐4人,两张餐桌可以坐6人,四张餐桌可以坐多少人?
(2)按此规律摆下去,m张餐桌可以坐多少人?20张餐桌一共可以坐多少人?
【参考答案】
作业1:4.(1)5 10 5×n (2)6 2×n
作业2:1.(1)a-5 (2)3×c (3)14×a a×b 2.(1)56-a+b (2)b×n b×2+17 (3)(m+n)÷2 3.(1)这个月用水的吨数 (2)一年用电的度数 (3)买9个足球的钱数 买25个篮球的钱数 买足球和篮球的总钱数 4.(1)∠3=180°-a-b (2)180°-a-a 5.(1)2×4+2=10(人) (2)(2×m+2)人 2×20+2=42(人)
字母表示数
①a只青蛙,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
②x只青蛙,x张嘴,2×x只眼睛,4×x条腿。
③n只青蛙,n张嘴,2×n只眼睛,4×n条腿。
①淘气的年龄+26岁=妈妈的年龄。
②(n+26)岁(n表示淘气的年龄)。
用字母表示数是学习代数知识的重要内容,是小学生们由具体的数过渡到用字母表示数,在认识上的一次飞跃。对我们四年级孩子来说,本课内容较为抽象与枯燥,教学有一定难度。安排了“用字母表示特定的数” “用含有字母的式子表示常见的数量关系”的内容。“用含有字母的式子表示常见的数量关系”是学习的难点。内容安排层层递进,由易到难,使学生逐步感悟,适应用字母代替数。
1.将生活引入课堂增加趣味性。数学《课程标准》强调“人人学习有用的数学”,“把数学作为人们日常生活中交流信息的手段和工具”,“重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学”。教学时首先要为教材内容选择生活背景,让学生体验数学问题来源于生活实际。又通过展示扑克牌,让学生认识到有时字母表示特定的数。这些生活实例使学生初步感知到 “用字母表示数”的好处。在这一环节中,原本比较枯燥的教学内容因为这样的情境创设变得十分生动,学生的学习兴趣充分被调动起来。
2.分层活动体会用字母表示数的好处。青蛙儿歌是学生已经熟悉的了,借以提出儿歌太长,永远也说不完的问题,这时学生自然而然地就会想到要用字母把这些都概括出来。接着举例淘气妈妈的年龄,根据学生的回答,表示出n+26以后,提醒学生想一想这里的n可以表示哪些数。让学生感受到不是所有字母都能表示任意的数,有时候字母表示多少要根据实际情况来确定。多次进行这样的从部分到全体的联想,学生就能体会到字母表示数具有概括性的特征。
1.教学延时。下课铃响时,练习题没有完成。可见我的教学设计存在着一些问题。如学生讨论、做题时耗时过多,本想教学能落到实处让学生真正达到自学的目的,但在实际操作时以及后面的练习中都反映出,这部分的教学有一定问题。
2.教师说得多,学生说得少。为了在规定时间完成教学任务,发现教学时间不多后,我匆忙讲解而忽略学生的感受。
3.有的过渡语和评价语过于简单,给学生思考的时间也不够充分,这需要在今后教学中更好地设计问题,把握教学的时间。
教学是一门不断改进的艺术。需要我们教师不断去改进,反思并吸收,这样才会有进步。要相信学生,放手让他们说,给学生创建空间和平台,充分表达他们自己。
一只老虎4条腿,你能用含有字母的式子表示出若干只老虎的腿的条数吗?
[名师点拨] 1只老虎4条腿,2只老虎就有2个4条腿,列式为4×2。以此类推,n只老虎就有n个4条腿,列式为4×n。如下表:
老虎只数/只
腿的条数/条
1
4×1=4
2
4×2=8
3
4×3=12
…
…
[解答] n只老虎有4×n条腿。
【知识拓展】 用含有字母的式子可以表示某个数或数量关系,同时也能体现出数量之间的变化规律。
用字母表示数是从何时开始的
数字的发展走过了漫长的路程。大约4000年前,地中海东岸的腓尼基人发明了字母表。它在传播的过程中,或多或少地发生了种种变化,例如,古老的希腊字母和希伯来字母就不太一样。但是,古代希腊人和希伯来人都曾用字母表中的字母依次代表数字。后来,人们也曾用英语字母代表过数字,例如依次用A,B,C,D代表l,2,3,4,I,J,K,L代表9,10,20,30等等。
大约2000年前,古罗马人统治着整个地中海周围跨越欧亚非三洲,直达大不列颠岛的辽阔地域。他们创立了一套书写数字的独特方法:用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅴ,Ⅹ分别表示1,2,3,5,10,Ⅳ和Ⅵ分别表示4和6,其中的奥妙是:若较小的数字紧靠在较大数字的左侧,则表示两者相减;若紧靠在较大数字的右侧,则表示两者相加。所以Ⅳ表示Ⅴ(即“5”)减去Ⅰ(即“1”),Ⅵ则是Ⅴ加上Ⅰ。同理,Ⅶ和Ⅷ分别表示Ⅴ加Ⅱ和Ⅴ加Ⅲ,即表示7和8;Ⅸ和Ⅺ则分别表示Ⅹ(即10)减Ⅰ和Ⅹ加Ⅰ,即9和11。代表数字的符号,在书写时顺序非常重要。
在罗马记数法中,还用L代表“50”,C代表“100”,D代表“500”,M代表“1000”。所以,1994用罗马数字书写,就是MCMⅩCⅣ,其中从左到右依次为:M(即“1000”),CM(“1000”减“100”,即“900”),ⅩC(“100” 减“10”,即“90”),以及Ⅳ(即“4”)。要是把这些数字符号重新排列一下,变成MMCⅩCⅥ,那么它就不是表示1994,而是代表2196了。
爱因斯坦关于成功的公式
科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下了一个公式:
A=X+Y+Z,
他解释道:
A代表成功,
X代表艰苦的劳动,
Y代表正确的方法,
Z代表少说空话。
这个著名的爱因斯坦的关于成功的公式里出现的字母是单词的缩写,这个公式引导和激励了很多人在成功的道路上一直努力前行。
第课时 字母表示计算公式和运算律
1.结合具体情境,进一步认识字母表示数的作用,体会用字母表示数的必要性,感受用字母表示数在生活中的实际意义。
2.能用字母表示运算律和有关图形的计算公式,会字母与数字相乘的简写形式。
3.发展抽象概括能力,进一步渗透函数思想。
【重点】 用字母表示运算律和有关图形的计算公式,会字母与数字相乘的简写形式。
【难点】 用字母表示有关图形的计算公式及会字母与数字相乘的简写形式。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
用含有字母的式子表示下面各题的数量关系。
(1)比x的5倍多20的数。( )
(2)比x多20的数是5的多少倍?( )
(3)x与y的积是多少?( )
(4)与a相邻的两个自然数分别是( )和( ),它们的和是 ( )。
学生在题卡上完成后订正。
【参考答案】 (1)x×5+20 (2)(x+20)÷5 (3)x×y (4)a+1 a-1 a+a
方法一
开门见山,谈话导入。
师:同学们,字母或者含有字母的式子不仅可以表示数和数量关系,还可以表示常见的公式和运算律。(板书课题:字母表示计算公式和运算律)
[设计意图] 在复习准备中学生用字母和含有字母的式子表示了数、数量关系,然后教师谈话简洁地引入正题,这样针对性更强,使学生更加明确本节课学习的内容。
方法二
以旧引新。
师:同学们,上节课我们初步学习了字母表示数,像a,x,n等这些字母我们赋予了它们新的意义,那么计算公式和一些运算律是数学中非常重要的知识,它们也能用字母来表示吗?
预设 生:能。
师:有哪位同学知道吗?给大家说一说。
预设 生1:我知道加法交换律:a+b=b+a。
生2:我知道乘法交换律:a×b=b×a。
……
师:同学们知道得真多!那么到底怎样用字母表示计算公式和运算律,又有什么规定和要求呢?这节课我们继续学习用字母表示数。(板书课题:字母表示计算公式和运算律)请同学们齐读课题。
生齐:字母表示计算公式和运算律。
[设计意图] 承上启下,过渡自然,直接指出本节课所学的内容,激发学生继续学习的欲望。
1.用字母表示计算公式(课件出示正方形)。
师:看到正方形你们就想到了哪两个公式?
预设 生1:正方形的面积=边长×边长。
生2:正方形的周长=边长×4。
师:正方形的边长通常用字母a表示,周长用大写的字母C表示,面积用大写字母S表示。这里的字母可不能随意替换。你能用字母表示正方形的周长和面积公式吗?
师:谁来说说正方形的周长?
预设 生:C=a×4。
师:那正方形的面积谁来说说?
预设 生:S=a×a。
师:比较一下,你更喜欢哪一种表达方式呢?为什么?
预设 生:字母表达,因为字母表达简洁。
2.简写。
师:我们发现字母可以和具体的数一起运算来表示数量或数量关系。其实字母与字母一起也是可以运算的。但不管是字母与字母还是字母与具体的数,四则运算时加、减、除都没什么特别的,但是碰到乘法时却有一些特殊的规定。在含有字母的乘法式子中,还有更简便的写法呢!想知道吗?
师:请同学们自学课本62页两处智慧爷爷的话。
学生自学后讨论写法。
师:通过自学,你都看懂了什么?
预设 生:我看懂了a×4和4×a简写成4·a或4a。(师立刻追问)
师:这是什么意思?
预设 生:字母和具体的数相乘时,乘号可以简写为一个圆点或者干脆不要。
师:好眼力!仅仅如此吗?
预设 生:省略乘号时,具体的数写在字母前面。
师:棒极了!他说出了数学上的一种规定。当字母和具体的数相乘时,如果省略了乘号,通常把具体的数写在字母前面。
师:不仅如此,1×a和a×1可以简写成a,这又说明什么?
预设 生:1和某个字母相乘,就可直接简写为那个字母。
师:如果是b×1呢?
预设 生:b×1=b。
师:好极了!还有什么发现?
预设 生:我看懂了a×a简写成a·a 或a2,读作“a的平方。”
师:这又是什么意思?
预设 生:同样的两个字母相乘,写法可以更简单。
教师根据学生回答将板书写完整:
C=4a S=a2
师:同学们真聪明!同样的两个字母相乘,不仅乘号可以简写为一个点或者省略不写,还有更简单的写法,只写一个字母,然后在字母的右上角写一个小小的2,就表示两个同样的字母相乘了。读作“a的平方”。不读“a2”,如果你非要读出a和2,请在后面加两个字,读作“a的2次方”,也是可以的。明白了吗?
预设 生:明白了。
师:有问题吗?
预设 生:没有。
师:你们没问题,老师可有问题了。想过没有,在字母运算中,为什么加、减、除的时候,运算符号都不可以简写或省略掉,偏偏碰到乘号时,可以变成一个圆点或干脆不要呢?
(生面面相觑,陷入沉思,稍停一会,有人举手)
预设 生:可能是因为简便吧!
师:这样写的确是方便了,但为什么偏偏要省略乘号呢?如果没有人知道,请看黑板。(师板书:x×x,故意写得x和乘号都差不多)感觉怎么样?
预设 生:感觉有点分不清,到底是3个x、还是3个乘号或者是x乘x。
师:是呀!怎样避免这样的混淆呢?数学家们有办法。
(请三位同学上台,手脚叉开站立,形如“X×X”,然后请中间的一位同学缩起手脚,慢慢蹲下,最后离开,让学生逐步体会简写的过程)
3.巩固练习。
把课前复习准备里的答案能简写的请简写。
【参考答案】 (1)5x+20 (2)(x+20)÷5 (3)xy (4)a+1 a-1 2a
4.用字母表示运算律。
师:如果用字母a,b,c表示三个数,那么谁能用字母表示你学过的运算律?
预设 生:加法交换律:a+b=b+a。
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
乘法交换律:a×b=b×a。
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。
[设计意图] 让学生先回顾正方形周长和面积公式激起学生原有知识储备,再让学生自己写出字母公式,最后将公式的文字和字母表示方法对比。体会用字母表示公式便于表达、易于记忆。简写由学生自学发现,并且肢体语言表演,更加明晰简写的好处。接着巩固练习将讲课前的练习答案进行改写,完整地再现字母表示数,不断地培养学生会学习的能力。
1.根据运算律,在下面的方框内填上数或字母。
(1)13+(17+x)=( + )+
(2)3a+3b=3·( + )
(3)6(x+y)= +
(4)x·y=y· (5)b×m×n=n× ×b
学生独立完成然后指名回答订正。
2.教材第63页“练一练”第3题。
学生读题后,先独立完成,再在小组中相互交流,然后集体订正。
【参考答案】 1.13 17 x (2)a b (3)6x 6y (4)x (5)m 3.(1)140 245 70t (2)2(a+b) 2(a+c) (3)(20-a) (4)80x (5)略
师:通过学习,你们有什么收获?
预设 生1:我知道用字母可以表示几何图形的计算公式。
生2:正方形周长公式是C=4a,正方形面积公式是S=a2。
生3:用字母还可以表示我们学过的运算律,而且很好记,一看就懂。
……
作业1
1.选择题。
(1)在奇数a后面的两个奇数分别是( )。
①a+1,a+2 ②a+1,a+3
③a+2,a+4 ④a-2,a-4
(2)用含有字母的式子表示:a的平方的2倍与b的2倍的平方的和,是( )。
①(2a)2+(2b)2 ②2a+2b
③(2a+2b)2 ④2a2+(2b)2
2.用简便方法表示下列各式。
a×a ( ) a+a ( )
4×a×b ( ) 4+b+b ( )
a×5 ( ) a+a+5×b ( )
a+a+a ( ) a×b×x ( )
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)写出含有字母的式子。
(1)乐乐有12元零花钱,买笔用去x元,还剩下( )元。
(2)四年三班有男生m人,女生n人,四年三班一共有( )人。
(3)一匹马4条腿,a匹马有( )条腿。
(4)一辆汽车t时行驶s千米,这辆汽车的行驶速度是每时( )千米。
2.(基础题)用简便记法表示下面的式子。
6×a=( ) t×8=( )
m×n=( ) a×b×c=( )
0.3×x=( ) 1×c=( )
v×1.62×t=( ) m×m=( )
3.(重点题)用字母表示你学过的运算律。
加法交换律:
加法结合律:
乘法交换律:
乘法结合律:
乘法分配律:
4.(重点题)用含有字母的式子表示下面的数量关系。
(1)3.6与a的和:
(2)7.8与b的差:
(3)m除以6:
(4)1.65的x倍:
(5)比m多5.2的数:
(6)78.2与y的3倍的差:
(7)x与y的和的3倍:
【提升培优】
5.(重点题)根据所给条件,说出下面式子的意义。
中性笔每支x元,钢笔每支的价钱是中性笔的4倍,日记本每本y元。
(1)4x表示( )。
(2)x+y表示( )。
(3)4x+y表示( )。
(4)x+4x+y表示( )。
【思维创新】
6.(探究题)用含有字母的式子表示下图中阴影部分的面积。
【参考答案】
作业1:1.(1)③ (2)④ 2.a2 2a 4ab 4+2b 5a 2a+5b 3a abx
作业2:1.(1)12-x (2)m+n (3)4a (4)s÷t 2.6a 8t mn abc 0.3x c 1.62vt m2 3.a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (a×b)×c=a×(b×c) (a+b)c=ac+bc 4.(1)3.6+a (2)7.8-b (3)m÷6 (4)1.65x (5)m+5.2 (6)78.2-3y (7)3(x+y) 5.(1)钢笔的单价(或4支中性笔的钱数) (2)一支中性笔和一本日记本价格的总和 (3)一支钢笔(或4支中性笔)和一本日记本价格的总和 (4)一支中性笔、一支钢笔和一本日记本价格的总和 6.2ab-b2
字母表示计算公式和运算律
1.紧密联系生活实际。《数学课程标准》明确提出:数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度和价值观等多方面得到了发展。本节课教师始终围绕学生的生活实际,发掘学生身边的数学素材,如:常见的正方形,经常接触的加法、乘法交换律,结合律及练习题中的鸵鸟奔跑等等,以此贯穿,使学生充分经历了知识的发生、形成、发展和应用的全过程,感受到生活中处处有数学,体验到数学的魅力与价值。
2.重视学生学习方法的渗透。课上自主与合作、讨论与交流、自学等学习形式交替出现。学生学习数学既是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程,也是一个经验共享、相互启智的过程。本节课教师放手让学生在自主探究的同时,为学生创设了多次合作、讨论和交流的机会。如:“你能用字母表示吗?”自学简写形式等,以此由学生展开自学讨论,学生在讨论中进行思维的碰撞和整合,在整合的过程中使思维变得更加缜密与深刻。
3.练习设计巧妙,训练扎实。新一轮课程改革,并不意味着对传统的全盘否定,而是要进行合理的扬与弃。本节课中我很好地继承和发扬了我们教学中传统的做法,充分做到了“分层练习有保证、变式练习有体现”。在练习与应用中,精心设计了一系列有层次、有坡度、有新意的习题,并且都是以生活为素材,源于生活、高于生活(提炼过的)、服务于生活,使学生在解决一个个现实问题的同时,得到了进一步的夯实与提高,也为后续学习打下了坚实的基础。
教学中,学生虽然能较快地写出或说出用字母表示的公式和运算律,但是语言表达能力不够,需要教师给予及时地指导和鼓励。而且教师要在开发学生思维上下工夫。
再教时要鼓励学生在小组内大胆交流,思考好,再去汇报,同时要多鼓励学生用自己的方法记忆公式和运用所学知识。
【练一练·62页】
1.a朵梅花5a个瓣,b周有7b天 2.5n 3a 76+s (n+1) 3.(1)140 245 70t (2)2(a+b) 2(a+c) (3)(20-a) (4)80x (5)略 4.(1)5 10 5n (2)6 2n (3)略
长方形的面积公式用字母表示是( ),周长公式是( )。
[名师点拨] 先想想语言表达的公式,再用字母代替文字,写出公式,一般写成简写形式。注意不要只写一半,要把公式写完整。
[解答] S=ab C=2(a+b)或C=(a+b)×2
【知识拓展】 用字母表示常见的数量关系:
(1)用v表示速度,t表示时间,s表示路程,请你写出它们之间的关系式:
s=vt v=s÷t t=s÷v
(2)用a表示商品的单价,x表示数量,c表示总价,请你写出它们之间的关系式:
c=ax a=c÷x x=c÷a
(3)用a表示工作效率,t表示工作时间,c表示工作总量,请你写出它们之间的关系式:
c=at a=c÷t t=c÷a
俄罗斯方块背后的数学故事
1984年的时候,当时还名不见经传的阿列克谢·帕基特诺夫(Alexey Pajitnov)只是苏联科学院计算机中心的一位普通的工程师。他热衷于开发电脑游戏,不过这些游戏卖得都不好。那年夏天,他突然又想到了一个新点子——让不同形状的积木落进一个矩形的玻璃容器里,在容器底部堆叠起来,使之排列成完整的一行或多行。在两位同伴的协助下,他很快编写好了这个游戏。这个无人不知无人不晓的经典游戏后来被命名为——俄罗斯方块。
你对俄罗斯方块了解多少?你知道俄罗斯方块的游戏场地大小吗?你知道每一种方块的名字吗?
俄罗斯方块的游戏场地是一个宽为10,高为20的矩形。游戏里共有7种方块,根据它们的形状分别命名为I, J, L, O, S, T, Z。玩家需要控制不断下落的方块填放到合适的位置,被填满的行将自动消除。视局面的不同,玩家一次可消除1行至4行不等,这在游戏里分别叫做 SINGLE,DOUBLE,TRIPLE和TETRIS。一次性消除的行数越多,得分也就越高。随着被消除的总行数的增加,方块下落的速度也会越来越快。一旦某个方块放置后超出了场地高度,游戏便自动结束。
“S”“Z”“T”型俄罗斯方块背后的数学问题
到如今俄罗斯方块不但让几代玩家为之疯狂,也让不少数学家沉迷于其中。俄罗斯方块引出的第一个数学问题是,如果玩家的技术足够高,游戏是否永远也不会结束?1988年,约翰·布鲁托斯基(John Brzustowski)的一篇论文指出,若“S”型方块和“Z”型方块以适当的间隔交替出现时,游戏区域中将不可避免地出现越来越多无法消去的行,最终导致游戏结束。虽然这种情况发生的概率极低,但毕竟是有可能的,因此理论上俄罗斯方块是不能一直玩下去的。
另一个值得思考的问题是,游戏中用到的7种方块总面积为28,那么是否能用这7个不同形状的方块拼出一个4×7的矩形呢?虽然游戏中的方块似乎都是填补空间的好手,但这个问题的答案却是否定的。原因很简单:如果把这7种方块都放到国际象棋棋盘上,你会发现几乎每一种方块都总是占据着两个黑色格子和两个白色格子,只有“T”型方块所占的黑白格子个数始终不等。因而7个方块所占据的黑白格子总数也是不相等的。但在一个4×7的矩形区域中黑白格子数目是相同的,因此它不可能被这7个方块完全覆盖住。
有趣的是,这7种方块恰好能构成一个平面镶嵌。如果一组几何图形能够既无重叠又无空缺地填满整个平面,我们就把它称作一种平面镶嵌。地砖的形状基本上都是等边三角形、正方形和正六边形,这就是因为单用一种正多边形构造平面镶嵌仅有这三种情况。如果允许使用多种图形,我们还能构造出更多漂亮的平面镶嵌图。一些设计师别出心裁,把墙砖做成了俄罗斯方块的形状,给居家生活带来几分新意。
2 等量关系
教材第64~65页内容。
列方程解决问题的关键是找等量关系。鉴于等量关系的重要作用,教材为等量关系安排了独立的课时进行学习,给出等量关系的名称,并对如何找等量关系进行了讨论,突出了核心知识的作用与价值。教材安排了三个问题,逐步加深对等量关系的了解:第一个问题是通过观察和描述学生熟悉的生活情境——跷跷板两边的平衡现象,了解等量关系。而且这里先出现跷跷板,再在后面的学习中出现天平,也让我们找到了体现等量关系的更多的生活原型。第二个问题是结合具体情境画图或用式子等方式表示等量关系,教材推荐了一些寻找和表达等量关系的方法,并鼓励学生认识到等量关系可以用语言、图形、符号等多种方式来表示,它们之间可以相互翻译。第三个问题是了解用式子表示相同的等量关系,往往可以写成不同的形式。教材采取了“你能看懂吗”的方式呈现了其他形式的等量关系,帮助学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间也是可以相互替代的。
1.结合具体情境,在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系。知道同一等量关系可以用不同的形式表示。
2.初步体会等量关系在日常生活中是广泛存在的,体会数学的应用价值。
【重点】 在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系。
【难点】 知道同一等量关系可以用不同的形式表示。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
火眼金睛辨对错。(观察后口答)
(1)(a+b)·c=a+(b·c)。 ( )
(2)78×101=78×100+78。 ( )
(3)a元可以买20个篮球,篮球的单价是20÷a。 ( )
(4)正方形的边长是a,面积是4a。 ( )
(5)整数加法交换律、结合律对小数同样适应。 ( )
(6)21.32-(6.32+8.3)=21.32-6.32+8.3。 ( )
【参考答案】 (1)? (2)√ (3)? (4)? (5)√ (6)?
方法一
创设情境,导入新课。
师:同学们喜欢玩跷跷板吗?
预设 生:喜欢。
师:如果老师和你们之中的一个同学一起坐会怎么样?
预设 生:老师那边会降下去。
师:那跷跷板怎样才能平衡呢?
预设 生:两边一样重。
师:如果再上来一个同学,跷跷板恰好保持平衡,说明什么问题?今天我们就来研究这个问题。(板书:等量关系)
[设计意图] 从学生喜欢的活动引入课题,一方面激起学生的学习兴趣,另一方面也可以启发学生从生活中发现问题,体会数学与生活的联系。
方法二
复习旧知,以旧引新。
师:同学们,上节课我们学习了用字母表示数。如:1,2,3,4,5,m,7,这里的字母可以表示几?
预设 生:这里的字母可以表示6。
师:是啊,字母可以表示任何数,可以是整数、小数、分数。老师的身高是1.70 m,这里的m表示单位,人们用字母还可以表示计量单位,如kg,km。
今天这节课我们继续研究用字母表示数量关系。(板书:等量关系)
[设计意图] 通过复习,唤起学生对旧知的回忆。明确用字母可以表示一些数,自然产生疑问,还能表示什么呢?有疑才会有所思,有所获,使学生自主去学习下面的环节。
一、探究活动一。
1.(课件出示主题图)说一说什么时候相等。
师:一只大白鹅,小鸭和小鸡也在玩跷跷板游戏。
师:谁说一说三幅图什么意思,并说一说第三幅图平衡说明的是什么。
学生观察,汇报:
预设 生1:观察图1:跷跷板向左倾斜,说明1只鹅的质量大于2只鸭的质量。
生2:观察图2:跷跷板向右倾斜,说明1只鹅的质量小于3只鸭的质量。
生3:观察图3:跷跷板是平衡的,说明 1只鹅的质量和2只鸭与1只鸡的质量和相等。
师:(从图3进一步讲解引导)1只鹅的质量相当于2只鸭和1只鸡的质量,这时跷跷板左右是保持平衡的,这叫等量关系。
师:你能再说说这里的相等关系吗?
预设 生:1只鹅的质量等于2只鸭和1只鸡的质量和。
师:如果用一个算式可以怎么说?
预设 生:1只鹅的质量=2只鸭的质量+1只鸡的质量。
2.巩固练习。
教材第65页“练一练”第1题。(让学生相互之间说一说,要求语言一定要准确)
【参考答案】 第三幅图天平平衡时相等,1个樱桃的质量+100克=1个苹果的质量。
3.小结。
师:你能用自己的语言说说什么是等量关系吗?
学生思考后交流,共同小结:“等量关系”就是表示两个相等关系的量,是数量关系的一种。
[设计意图] 新课探究中结合巩固练习的实例,给学生真实的感受,使知识变得不空洞。
二、探究活动二。
1.师:有一次上课,有同学问老师,你知道姚明有多高吗?(出示PPT图片)哎呀,这么高!
我们和姚明站到一起会怎么样?有同学猜可能到姚明的屁股,有人说到姚明的腰,妹妹和笑笑觉得非常有趣,也想来比一比身高(课件出示问题情境图二)谁能把她们的话读一读?
预设 生:著名篮球运动员姚明身高226厘米,姚明的身高是妹妹的2倍,笑笑比妹妹高20厘米。
师:她们分别说的是谁与谁的关系?现在请大家用画图,或写等量关系的方法,把你的想法写在练习本上,让大家一看就明白。(学生活动,教师巡视指导,学生如有困难,教师示范画出线段图)
师:请画好的同学上台板演,现在请同学们把自己的想法介绍给大家。
预设 生1:因为姚明的身高是妹妹的2倍,所以妹妹身高×2=姚明身高。
生2:因为笑笑比妹妹高20厘米,所以妹妹身高+20厘米=笑笑身高。
师:还能找到其他的等量关系吗?
预设 生1:因为姚明的身高是妹妹的2倍,所以姚明身高÷2=妹妹身高。
生2:因为笑笑比妹妹高20厘米,所以笑笑身高-20厘米=妹妹身高
师:因为这两个等量关系都是表示妹妹的身高的,你能根据两个等量关系,把它合并成一个等量关系吗?
预设 生:姚明身高÷2=笑笑身高-20厘米。
师:根据这个等量关系,我们可以求出妹妹的身高和笑笑的身高。
师小结:找等量关系的方法是根据各数量之间的关系列出等式。还有,同一个等量关系可以写成不同的形式,表示等量关系的形式也不是唯一的,可以画图或列式子。
[设计意图] 让学生尝试画线段图,更能让学生把信息之间的关系理清楚,便于找到等量关系。通过比较和整合成一个等量关系的式子,使学生进一步理解用字母表示数的意义。
2.巩固练习。
教材第65页“练一练”第2题。(让学生相互之间说一说,要求语言准确)
【参考答案】 1个苹果的质量+1个梨的质量=300克,1个鸡蛋的质量×2=100克,《数学故事》的价格×3=15.6元。
教材第65页“练一练”第4题。
【参考答案】 4.女儿的年龄=36÷4或36÷女儿的年龄=4或4×女儿的年龄=36岁 1200本-500本=科技书的本数或科技书的本数+500本=1200本
师:这节课你们有什么收获?
预设 生1:我会找等量关系了。
生2:我知道找等量关系的方法是根据各数量之间的关系列出等式。
生3:可以画图表示等量关系。
……
作业1
教材第65页“练一练”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(探究题)填一填。
(1) □ +□+△=16 □+△+△=14
□=( ) △=( )
(2)○+★+★=10 ○+★+○=8
○=( ) ★=( )
2.(重点题)试着说出下图中的等量关系。
【提升培优】
3.(情景题)结合情景写出下面的等量关系。
2元/千克 苹果的单价是西瓜的2倍
4.(重点题)请结合情景写出下面的等量关系。
【思维创新】
5.(难点题)请你表示出下面数量间的等量关系。
6.(开放题)1个菠萝的质量+3个梨的质量+2个桃的质量=4千克,1个菠萝的质量+8个梨的质量+2个桃的质量=5千克,1个梨的质量是多少克?
【参考答案】
作业1:3.(答案不唯一)C=(a+b)×2 (C-2a)÷2=b S=a×b S÷a=b
作业2:1.(1)6 4 (2)2 4 2.一个菠萝的质量等于8个苹果的质量 3.苹果的单价=西瓜的单价×2 4.2500千克-一头猪的质量=2400千克(或2500千克-2400千克=一头猪的质量,或一头猪的质量+2400千克=2500千克) 5.文具盒的单价×3=24.6元 6.1菠+3梨+2桃=4千克 1菠+8梨+2桃=5千克 8-3=5(个) 1千克=1000克 1个梨的质量=1000÷5=200(克)
等量关系
妹妹身高×2=姚明身高 妹妹身高+20厘米=笑笑身高
姚明身高÷2=妹妹身高 笑笑身高-20厘米=妹妹身高
姚明身高÷2=笑笑身高-20厘米
这节课主要是通过跷跷板和天平能够左右平衡的原理来讲解等量关系,让学生能够根据图中意思列出一个用文字表示的等量关系式,在课堂中发现学生对于看天平列等量关系式的题目能够容易写出,可是对于纯文字的题目,要求从里面找出等量关系,学生很多却是无从下手,不知道该怎么去写,说明学生不能很好地对文字题目的意思进行分析,在这一块确实需要再进行强化训练,要让学生多读题,学会找题目中的关键量,然后用题目中给出的数字条件用合适的运算符号把关键量准确地串联起来,列出我们需要的等量关系式,列出其中一个等量关系式后,要善于提问学生,让学生学着自己去列出不一样的等量关系式,这样能够很好地锻炼学生的发散思维。
本节课教学难度不大,学生理应掌握得比较好,但是根据新课标提出的要求,要关注不同的学生并体现一定的层次性,针对不同层次的学生在一节课中得到不同程度的收获,达到不同的目标。但是实际操作中还不能达到这个要求。画图可以帮助学生理顺题中信息,并能根据图意发现各个量之间的关系,易于找到等量关系。本节课对画图的重视不够,指导上还有些欠缺,没有给足够的时间让学生自己画。
再教时,充分以学生为主体,教师从中指导和提示,不仅“授之以鱼”,更要“授之以渔”,特别是依据不同学生的学习和接受能力不同,给予充分关注。要重视画线段图,让学生根据题中信息逐一画图表示出已知信息,教师指导后,学生要修改自己的线段图。
【练一练·65页】
2.(1)1个苹果的质量+1个梨的质量=200 g+100 g (2)2个鸡蛋的质量=100 g (3)3本书的价钱=15.6元 3.(答案不唯一)C=(a+b)×2 (C-2a)÷2=b S=a×b S÷a=b 4.女儿的年龄=36÷4或36÷女儿的年龄=4或4×女儿的年龄=36岁 1200本-500本=科技书的本数或科技书的本数+500本=1200本
正方形的边长、周长分别用a,C表示,你能写出等量关系吗?
[名师点拨] 根据正方形的周长=边长×4,可以写出等量关系C=4a,根据正方形边长=周长÷4,正方形周长÷边长=4,也可以写出相应的等量关系。
[解答] C=4a,a=C÷4,C÷a=4。
等量代换
大家一定都知道“曹冲(曹操的儿子)称象”的故事吧!曹冲称象不是胡乱称的,而是运用了“等量代换”的方法:两个完全相等的量可以互相代换。解决数学题经常会用到这种方法。
请你用“等量代换”的方法来算一算:2头猪可以换4只羊,2只羊可以换6只兔子,那么5头猪可以换多少只兔子?
【参考答案】 30只兔子
小学语文故事中的数学思想
现在我们的小学语文课本中选编了不少千百年来广为传颂的智慧故事,如“曹冲称象”“乌鸦喝水”等,这些题材广泛、妙趣横生的故事能引发学生无穷的遐想,激起学生思维的碰撞。而且每则故事本身还都蕴含着丰富的数学思想。能正确引导学生对每则故事冷静思索,细心体味,就会给学生以很多思想方法的启迪。
如:“曹冲称象”故事中大家想知道大象的体重,但无法直接去称它,怎么办呢?聪明的曹冲就想出一个办法,用石头的重量代替大象的体重。这个故事给我们一个启发:某些数学问题若直接思考有困难,则可以把原有的条件或问题用等价的量去代换,从而找到解题的线索。
“曹冲称象”的故事还蕴含着“着眼整体”“化整为零”的数学思想。聪明的你们发现了吗?
3 方 程
教材第66~67页内容。
为了使学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,激发学生学习方程的兴趣,教材设计了四个问题:第一个问题是用口头语言描述具体情境中的等量关系,教材从三个层次提供等量关系的现实情境:“天平”情境呈现了一个用加法可以表示的等量关系,“种子”情境呈现了一个用乘法可以表示的等量关系,“倒水”情境呈现了需要两步计算表示的等量关系。三个情境引出的问题,由简单到复杂,利于帮助学生对等量关系积累思维经验。第二个和第三个问题是引入字母表示未知数,并用式子表示情境中的等量关系。这里把原来用文字描述的等量关系,转换成用含有字母的等式表达等量关系,这是一个抽象的过程,实际上这样处理降低了学生理解的难度。在此基础上,鼓励学生独立用含有字母的等式表示等量关系。第四个问题是观察上述表示等量关系所用的式子,抽象概括它们的共同特征,认识方程。教材通过学生对话,引导鼓励学生用x,y,z等不同字母去表示数,进一步熟悉列方程。
1.结合具体情境了解方程的意义,会用方程表示简单情境中的等量关系。
2.经历将现实问题抽象成等式与方程的过程,积累将等量关系符号化的活动经验。
3.在丰富的问题情境中感受生活中存在大量的等量关系,体验数学与生活的密切联系。
【重点】 了解方程的意义,会用方程表示简单情境中的等量关系。
【难点】 会用方程表示简单情境中的等量关系。
【教师准备】 PPT课件;曹冲称象动画故事片段
【学生准备】 题卡
当a=5时,求下列各式的值。
a+5= a×6=
20÷a= 18-a=
21+4a= a×8=
a÷5= a-4.1=
【参考答案】 10 30 4 13 41 40 1 0.9
方法一
创设情境,导入新课。
师:同学们知道曹冲称象的故事吗?(课件播放一段曹冲称象的动画)对于这个故事,你有什么想法?
预设 生:曹冲非常聪明,大象的质量和石头的质量是相等的,石头一共多重,大象就有多重。
师:同学们和曹冲一样聪明。如果我们用x表示每次称出的石头的质量,大象的质量为3吨,而称出的石头为6次的话,我们能用一个式子表示大象和石头之间的质量关系吗?
预设 生:6x=3。
师:说一说这个式子里含有什么,分别表示什么含义?
预设 生:这个式子里含有未知数x,还有等号,6x表示石头的质量,3表示大象的质量,它们是相等的。
师:有等号的式子叫等式。这个等式我们称之为方程,今天我们就一起来研究方程。(板书:方程)
[设计意图] 通过曹冲称象的故事引入课题,让学生在熟悉的故事中体会到等量关系,并会列出方程,为下面方程的学习提供素材,做好铺垫。
方法二
复习旧知,以旧引新。
师:生活中经常遇到各种各样的数,对吗?比如说,谁愿意告诉我你今年多大了?
预设 生:我今年10岁。
师:只知道自己的年龄还不行,谁知道妈妈今年多大了?
预设 生:我妈妈今年36岁。
师:自己的年龄,妈妈的年龄对你来说是已知数,那老师的年龄对你来说是——
生齐:未知数。
师:这节课我们要研究的知识中就含有未知数。(板书:方程)
[设计意图] 未知数和等式是方程的两个重要因素,这里通过学生身边的实例,让学生初步了解未知数,为下面理解方程的意义做铺垫。
1.出示教材第66页上方主题图。
师:你们从第一幅图中看到了什么?
预设 生:天平的右边有一个樱桃和一个2 g砝码,左边有一个10 g砝码,天平的指针在中间,说明天平是平衡的。
师追问:你觉得天平平衡说明了什么呢?
预设 生:天平平衡说明天平两边的质量相等。
师:谁能列出一个等式?
预设 生1:10 g=樱桃的质量+2 g。
生2:2 g=10 g-樱桃的质量。
师:如果用未知数x来表示樱桃的质量,那么可以列出一个什么样的等式呢?请同学们尝试写一下。
预设 生1:只要把等量关系中的樱桃质量换成x就可以了,我写的是:10=x+2。
生2:我也用x表示樱桃的质量:x+2=10。
师:一般情况下,我们习惯把x放在等号的左边。(师板书:x+2=10)
师:同学们想得都非常好,这个未知数除了用x表示,还可以用别的字母表示。
2.出示教材第66页主题图第二幅。四盒种子的质量一共是2000克。
师:你们从图中发现了什么?
预设 生:4盒种子的质量=2000克。
师:用y表示一盒种子的质量能根据这个相等关系写出一个等式吗?
预设 生:4y=2000。
师:请你给同学们介绍一下你的等式,先说字母表示什么意思?
预设 生:字母y表示每盒种子的质量,等号左面就是4盒种子的质量,等号右边是它们的总质量2000克。(师板书:4y=2000)
师:下面老师加大难度,敢接受挑战吗?
预设 生:敢!
3.出示第三幅情景图。
师:同学们在家里帮爸爸妈妈倒过开水吗?现在请同学们仔细观察老师倒开水的过程,找一找这里有相等关系吗?(师播放PPT动画实验:一壶水刚好倒满两个开水瓶和一个杯子。学生观察,然后出示教材第66页主题图第三幅)
师:你们找到其中的相等关系了吗?
预设 生:两个热水瓶的盛水量+200毫升=2000毫升。
师:如果用z表示每个热水瓶的盛水量,那么这个关系式可以怎样表示?
预设 生:2z+200=2000(师板书:2z+200=2000)。
4.理解方程的意义。
师:刚才我们通过三幅情景图得出了三个等式:(x+2=10 4y=2000 2z+200=2000)说一说这些等式有什么共同特点?
(1)同桌交流。
(2)全班交流。
师小结:这样含有未知数的等式叫方程。(板书)
师:自己读一读,你认为关键词是什么?
预设 生:含有、未知数、等式。
5.巩固知识。
(1)你会自己写一些方程吗?
学生写,师巡视。
(2)说一说方程必须具备哪几个条件。
【参考答案】 (1)x+25=100,7y=49,5z+100=200。
(2)一是必须是等式,二是必须含有未知数。
[设计意图] 通过知识点的集中练习和学生的合作探究,使学生对知识点有更加深刻的理解,并提高学生的探究和合作交流的能力。
1.完成教材第67页“练一练”第1题。
2.判断,下面式子哪些是方程?哪些不是方程?
x-3=10 x>5 2z-1=x 5b
【参考答案】 1.(1)x+20=70 (2)5x+4=44 (3)4x+6-3=87 (x-5)×4=2x (4)2b+15=100 2.x-3=10,2z-1=x是方程,x>5,5b不是方程。
师:本节课你们有什么收获?
预设 生1:我知道了含有未知数的等式是方程。
生2:我知道判断式子是不是方程要看两点:一是必须是等式,二是必须含有未知数。
生3:找到等量关系后,可以用字母表示未知数,列出方程。
……
师:关于方程还有很多有趣的内容,相信同学们还会以饱满的精神、积极的态度去探究方程的奥妙。
作业1
教材第67页“练一练”第2题,第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断下面的式子,是方程的在括号里画“√”,不是方程的画“?”。
(1)3.6-x=0.8( )
(2)4.5+x>3.4( )
(3)5x-32=46( )
(4)x÷8.2=16.8( )
(5)0.2+8.8=9( )
(6)3x+4=15( )
2.(难点题)看图列方程。
(1)
(2)
3.(重点题)根据题意列方程。
(1)李天一共买了3个汉堡,每个x元,一共花了31.5元。
(2)儿子m岁,爸爸的年龄比儿子的3倍还多5岁,爸爸32岁。
【提升培优】
4.(情景题)根据题意列方程。
(1)
(2)妈妈买来苹果x个,第一天吃了5个,第二天吃了4个,还剩6个。
(3)甲地到乙地的距离是2000千米。一架飞机以每小时x千米的速度从甲地飞往乙地,飞行了2小时后,距乙地还有400千米。
(4)
【思维创新】
5.(探究题)某工厂有女职工x人,男职工316人,男职工人数比女职工人数的3倍还多4人,女职工有多少人?(只列方程)
【参考答案】
作业1:2.(1)x-5+8=15 (2)5x=95 3.(1)y-1 y+1 y-7 y+7 (2)方框中5个数之和是中间数的5倍 (3)23
作业2:1.(1)√ (2)? (3)√ (4)√ (5)? (6)√ 2.(1)3a=36 (2)2.5+6.5+x=12 3.(1)3x=31.5 (2)3m+5=32 4.(1)x+25=168 (2)x-5-4=6 (3)2x+400=2000 (4)x+5=153 5.3x+4=316
方程
含有未知数的等式叫做方程。
樱桃的质量+2 g=10 g x+2=10
每盒种子的质量×4=2000克 4y=2000
每个热水瓶盛水量×2+200毫升=2000毫升 2z+200=2000
《方程》是学生能够结合具体的简单情境中的等量关系的基础上,进行建构的有效的数学模型。有效的数学学习活动是建立在学生已有的生活和学习经验上,其教学内容的呈现应该是现实的、贴近生活的。本节课的教学目标是建立“方程”的概念,列出方程。
要体会方程是一种数学模型。有序地出示三个情境图,着重让学生找出并说出其中的数量关系,然后根据图中的数量关系列出相应的算式。“含有未知数的等式”描述了方程的外部特征,并不是本质特征。方程是用等式表示数量关系,它由已知数和未知数共同组成,表达的相等关系是现象,事件中最主要的是数量关系。
要让学生体会方程的本质特征。在教学过程中,通过观察天平的相等关系,感受方程与日常生活的联系,体会方程用数学符号抽象地表达了等量关系,水壶倒水的实验操作,让对方程的认识也从表面趋向本质。通过学生观察三个式子,发现相同点,学生能够清楚地抓住三个式子中都有字母和等式,注重学生表示等号的意义,加深学生对等式意义的理
解,从而概括出“像上面这样含有未知数的等式叫方程”。
在“看”“说”和“写”中体会式子。当方程的意义建立后,让学生观察一组式子判断它们是不是方程,体会方程与等式的关系,加深对方程意义的理解。再让学生自己写出一些方程,展示自己写的方程。
从课后作业来看,孩子们对于方程的含义有更深的认识,对于后面方程的计算也有所认识。
课件中天平由不平衡变得平衡了,那么课件中如果能做成动态演示的,不断让天平因为物品的变化,趋于平衡,会给学生直观的感受,更易于理解方程的意义,PPT没有“动起来”,这是本课的一个遗憾。
让天平走进课堂中来,通过几个简单的操作,不影响课堂内容的进度与密度,还让学生真正看到平衡与等式的关系,加强对方程意义的理解。课上的PPT课件在天平由不平衡到平衡的过程中,用动画显示,加强直观感受。
【练一练·67页】
1.(1)x+20=70 (2)5x+4=44 (3)4x+6-3=87 (x-5)×4=2x (4)2b+15=100 2.(1)x-5+8=15 (2)5x=95 3.(1)y-1 y+1 y-7 y+7 (2)方框中5个数之和是中间数的5倍 (3)23
看图列方程。
[名师点拨] 由图可知苹果有250千克,橘子有x千克,而且橘子比苹果少50千克,可以写出这样一个关系式:橘子的质量+50千克=苹果的质量。
[解答] x+50=250
方 程
早在三千六百多年前,埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代,大约两千年前的《九章算术》中就有了用一组方程解决问题的史料记载。一直到三百年前,法国数学家笛卡尔第一个提倡用x,y,z等字母表示未知数,才形成了现在的方程。
壶中原有多少酒
李白提壶去打酒,见店加一倍,见花喝一斗,三次遇见店和花,喝尽壶中酒,问:壶中原有多少酒?
【参考答案】 设壶中原有的酒为x斗。
分析:第一次遇见店和花:x+x-1
第二次遇见店和花:x+x-1+x+x-1-1
第三次遇见店和花:(x+x-1)+(x+x-1-1)+x+x-1+x+x-1-1-1
故列方程为:
(x+x-1)+(x+x-1-1)+[(x+x-1)+(x+x-1-1)]-1=0,
(2x-1)+(2x-2)+[(2x-1)+(2x-2)]-1=0,
4x-3+(4x-3)-1=0,
8x-7=0,
x=78。
4 解方程(一)
教材第68~69页内容。
为了帮助学生更好地理解解方程的算理,掌握解方程的方法,教材设计了三个问题:
第一个问题是从天平称重的具体情境中抽象出等式的性质(等式两边都加上或减去同一个数,等式仍然成立),进一步丰富学生抽象、概括的活动经验。为此教材设计了不同类型的天平:有砝码中不含字母的天平,也有砝码中含有字母的天平;有简单的形如“5+2=5+2”的天平,也有较为复杂的形如“x+5-5=15-5”的天平。
第二个问题是用天平类比解方程的过程,了解等式性质的作用。该问题包含三个内容:一是为了帮助学生更好地掌握解方程的方法,教材延续“天平”的方式,通过学生画图的形式,帮助学生理解运用等式性质解方程的算理;二是解方程的规范书写格式;三是培养学生对方程的解进行检验的习惯。
第三个问题是去情境化,直接用等式性质解方程。
1.通过观察天平称重的具体情境,类比等式变形的过程,抽象出等式的性质,即等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立;了解等式性质是解方程的依据。
2.会用等式性质解形如x+5=12的简单方程。
3.培养观察、分析概括的能力。
【重点】 能用等式的性质解简单的方程。
【难点】 推导等式的性质。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
用方程表示下面的等量关系。
(1)五(1)班“小小图书角”的书有324本,借出了x本,还剩178本。
(2)一辆公共汽车到站时有7人下车,4人上车,车上还剩20人。车上原有x人。
(3)一个足球65元,一个篮球比它贵x元,这个篮球72元。
【参考答案】 (1)324-x=178 (2)x-7+4=20 (3)65+x=72
方法一
创设情境,以情激趣。
师:同学们,你们玩过跷跷板吗?请看,(课件演示)两只松鼠在轻松的音乐声中玩着跷跷板。突然,来了一只大灰熊,占了其中一边,结果,跷跷板不动了。
师:你们有什么看法?
预设 生:玩跷跷板应该体重相当的才好玩。
……
师:说得真好!看来,同学们对生活中的事物观察得相当仔细。跷跷板就应该是体重相当或者相等的人才比较合适玩。今天,我们就是在类似于跷跷板的天平上做游戏,看看,我们能否从中发现什么?(板书课题:解方程(一))
[设计意图] 利用情境激发学生学习的兴趣,由生活中的游戏引出课题,让学生初步感悟数学源于生活。
方法二
情境引入。
师:小宇想知道一个苹果和一个梨的质量是不是一样的,你们能告诉他解决办法吗?
预设 生:在秤上称一下就知道了。
师:这个办法可以,仔细想想,还有没有更好的办法?
预设 生:用天平一次就可以称出来。
师:真好!天平在生活中的应用非常广泛,而且还进入了实验室。你们用天平做过实验吗?
预设 生:做过。
师:今天我们就来用天平做一些实验,你们能从实验中发现新的知识。(板书:解方程(一))
[设计意图] 通过天平的操作演示过程,形象地展开情境教学,从而得出结论,有利于学生的直观感受,并渗透数学知识相互联系的思想。
1.探究等式的性质。
(1)课件出示教材68页主题图。
让学生先观图自学,发现内在的奥秘,之后再同桌说一说,加深理解,再小组合作,分组汇报,相互补充,最后汇报交流。
预设 生1:四幅图上的八个天平都是平衡的。
生2:在第一幅图中,第一个天平左右两侧都放了5克砝码,天平平衡;第二个天平两侧都加上2克砝码,天平平衡。
师小结:观察第一幅图,天平的两侧都加上2克砝码,天平是平衡的,也就是等式两侧都加上2后,等式仍然成立。
生3:第二幅图第一个天平的左侧放了一个x克砝码,右侧放了一个10克砝码,天平平衡。
师:同学们能根据这个等量关系列出方程吗?
生4:x=10。
生5:天平两侧都加上5克砝码,天平仍然平衡。
师小结:观察第二幅图,在天平两侧都加上5克砝码,天平仍然平衡,也就是说在等式两边都加上5后,等式仍然成立。因此,我们得出结论:等式两边都加上同一个数,等式仍成立。
生6:观察第三幅图,第一个天平的两侧都放了12克砝码,天平平衡。第二个天平的两侧都拿掉了2克砝码,天平平衡。
师小结:观察第三幅图,在天平两侧都减去2克砝码之后,天平仍然平衡,也就是说等式的两边都减去2,等式仍然成立。
生7:观察第四幅图,我发现第一个天平的左侧放了(x+5)克的砝码,右侧放了(10+5)克的砝码,天平平衡。
生8:列成方程是:x+5=10+5。
生9:天平两侧都拿掉了5克砝码,但仍然平衡。
师小结:观察第四幅图,在天平两侧都减去5克砝码后,天平仍然平衡,也就是说在等式的两边都减去5后,等式仍然成立。因此可以得出结论:天平两侧都减去相同的质量,天平仍平衡,即等式两边都减去同一个数,等式仍然成立。
师:由上面的结论,大家能总结一下等式的性质吗?
学生思考,组内交流,教师指定小组回答,并进行评价。
师板书:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。
2.探究解方程的方法。
师:能用刚才发现的规律解出我们上一节课中列出的方程吗?(出示:x+2=10)
学生动手计算,教师指定学生上台板演,集体订正后板书:
x+2=10
解:x+2-2=10-2方程两边都减去2
x=8
检验:8+2=10
师:我们再来解一个方程。
课件出示方程,要求独立计算,学生在题卡上做,指名回答后板书:
y-7=12
解:y-7+7=12+7方程两边都加上7
y=19
检验:19-7=12
师:大家练一练。解方程:23+x=45。
学生独立完成,教师巡视指导,然后指名板演订正。
23+x=45
解:x+23-23=45-23
x=22
检验:23+22=45
[设计意图] 利用小组合作学习的形式,放手让学生自己发现、归纳、总结并验证规律,使学生的动手与思维能力得到提高。动手练习进行解题方法和书写格式的训练,巩固所学。
1.教材第69页“练一练”第2题。
学生独立完成,小组内订正。
2.教材第69页“练一练”第3题。
指名学生板演,其余学生独立完成,集体订正。
3.教材第69页“练一练”第4题。
学生独立在题卡中完成,小组内订正。
【参考答案】 2.y+20=80,y=80-20,y=60
3.x=21 x=16.1 4.x+4=19,x=19-4,x=15 x-62=486,x=486+62,x=548 y+60+50=180,y=180-110,y=70
师:你们有什么收获?
预设 生1:我们学习了等式性质:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。
生2:可以利用等式性质解方程。
生3:解方程是有固定格式的,解完要检验对不对。
……
作业1
教材第69页“练一练”第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)含有( )的( )叫方程。
(2)等式两边都( )或( )同一个数,等式仍然成立。
(3)a2表示( )。
(4)要求x-8=19的解,方程两边需要同时( )。
2.(易错题)判断题。(对的打“√”,错的打“?”)
(1)方程都是等式,但等式不一定都是方程。 ( )
(2)方程x+15=26中,x的值是11。 ( )
(3)等式两边都减去一个数,等式仍然成立。 ( )
3.(重点题)求未知数x的值。
x-7.8=12.6
0.9+x=13.4
【提升培优】
4.(辨析题)找出下面各题错误的原因,把序号填在( )里,并改正。
①方程的一边加上一个数,同时另一边减去同一个数。
②方程只有一边减去一个数,另一边没变。
(1)x+19=23
解:x+19-19=23
x=23
( )改正:
(2)x-1.5=2.9
解:x-1.5+1.5=2.9-1.5
x=1.4
( )改正:
【思维创新】
5.(难点题)看图列方程,并求未知数x的值。
(1)
(2)
【参考答案】
作业1:5.(1)150米那一段的长度是(200-x)米 (2)500米那一段的长度是(200+y)米 (3)150+x=200 200+y=500
作业2:1.(1)未知数 等式 (2)加上 减去 (3)两个a相乘 (4)加上8 2.(1)√ (2)√ (3)? 3.x=20.4 x=12.5
4.(1)② x+19=23
解: x+19-19=23-19
x=4
(2)① x-1.5=2.9
解:x-1.5+1.5=2.9+1.5
x=4.4
5.(1)x+36.5=98.5 x=62 (2)68+x=114 x=46
解方程(一)
解方程这部分教学内容与旧教材相比有很大的差异,尤其是在方程的解法上,利用天平平衡的道理,即等式性质解方程,学生在理解和运用上都有一定的困难,而且本部分教学有些枯燥无味,于是创设情境,小组合作学习,力图课堂内容简单化,情境化。
本课开始一段时间重点在于引导学生了解“天平保持平衡的道理”,其实就是为理解“等式的基本性质”而做铺垫。
在练习题的安排上也做了精心的设计,当讲授完利用天平平衡的道理解方程后,“填空练习”式的解方程既升级加强理解算理,又降低难度,做到了为独立解题过渡,解起方程来就较容易了。从课堂的教学和课后的练习看,学生对解方程掌握得还不错。
第一次解方程,就应该注意规范的书写格式,要让学生成为习惯。本节课对格式的强调还需加强,练习中扎实掌握。学生的语言表达能力也要在教学中不断有计划地进行训练,有些同学心中有,却没勇气、没信心用简洁的语言说出来,要增强思维与语言能力的训练。
本节课我没敢尝试讲解解方程的旧方法,因为旧方法写法简单,要是先教学旧方法,再教学新方法,学生肯定是不习惯利用“等式基本性质”解题的,但是用等式基本性质的思路来解方程极易理解,而旧方法适用于所有题型,所以我准备等学生练熟了这个方法之后,可以尝试用四则运算之间的关系,即旧方法解题。
【练一练·69页】
2.y+20=80,y=80-20,y=60 3.x=21 x=16.1 4.x+4=19,x=19-4,x=15 x-62=486,x=486+62,x=548 y+60+50=180,y=180-110,y=70 5.(1)150米那一段的长度是(200-x)米 (2)500米那一段的长度是(200+y)米 (3)150+x=200 200+y=500
求x+0.6=1.2中未知数x的值。
[名师点拨] 根据等式性质,在等式两边同时减去0.6就可以求出未知数x的值。
[解答] x+0.6=1.2
x+0.6-0.6=1.2-0.6
x=0.6
奇怪的算式
怪物史莱克发现了四个奇怪的算式:A+B=A,C×E=C,C-D=E,F÷D=D,它们中间没有一个数字,只是知道A,B,C,D,E,F各代表数字0,1,2,3,4,5中的一个数字,请你帮他算一算,A,B,C,D,E,F各代表哪个数字?
【参考答案】 A=5,B=0,C=3,D=2,E=1,F=4
劳改犯解方程
1969年,中苏在珍宝岛发生的战斗震惊了全世界。战斗初期苏军以先进的T62坦克横行无阻,我军的各种反坦克炮都无法对它构成威胁。必须马上研制出新型穿甲弹、破甲弹,这一任务交给了某军事研究所。但是,新型的穿甲弹、破甲弹缺少有关数据,幸运的是得到了计算有关数据的方程式,当时所里的科研人员谁也解不了这个方程式。
叶剑英元帅得知这一情况后,向研究所推荐了一个叫刘光志的火炮专家,指示可向他讨教。那时的刘光志正在被管制劳动,除了历史问题外,刘光志当年还曾主持过希特勒德国克虏伯兵工厂的火炮设计。对此情况研究所犯了难,因为这道方程式关系到我军的科研动向,是绝密中的绝密。
研究所派出两位科研人员穿便装,找到刘光志,拿出那个方程式说:“我们是搞教育的,碰到一个难题,希望你能帮助解出来。”
刘光志老人看了看那方程式问:“这是干什么用的?”
“当然是教学用的。”
“教学根本用不上这种东西,你们拿走吧。”老人说完重新摸起了锄把。
“你,你怎么这种态度?”
“既然不相信我,还找我干什么?”
几天以后,两位科研人员身着军装,拎着两兜营养品,背着刘光志的监管人员摸进了老人的家门。他们对老人说:“首长批评了我们……”
刘光志拦住说:“别说了,都是我不对,我怕你们不来了,那可要误了国家大事……瞧,我已经算出来了,你们需要的几个数据都在这里。”
“您知道这个方程式是干什么用的?”
“研究破甲弹、穿甲弹用的。”
“简直神了,老先生,没有方程式,您是怎么算出这些数据的?”
“我这手脚不利索,可这儿还灵光。”老人用手敲敲脑袋。
很快,新型的穿甲弹、破甲弹研制出来了,把装有近25厘米厚特种钢板的苏军坦克打瘫了。
5 解方程(二)
教材第70~71页内容。
本节教材让学生再次经历从观察天平两边变化中抽象出等式性质的过程,进一步丰富学生抽象、概括的活动经验。因为有了“解方程(一)”的学习基础,教材在设计上充分尊重和利用学生已有的学习经验,直接提出第一个问题:“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式还成立吗?与同伴交流你的想法。”为学生创造了思考、猜想、验证、交流的机会。第二个问题是利用等式性质解方程。第三个问题是巩固利用等式性质解方程的技能。这三个问题与上节课是同构的。教材增加了一个问题,即第四个问题,针对解方程中常见的错误进行甄别,增进对解方程的过程与方法的理解。
1.通过观察天平称重的具体情境,类比等式变形的过程,抽象出等式的性质,即等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立;进一步了解等式性质是解方程的依据。
2.会用等式性质解形如2x=10的简单方程。
3.引导学生自主探究,培养他们用已有知识解决新问题的能力。
【重点】 探索等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立的规律及解形如2x=10的简单方程。
【难点】 探索等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立的规律。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 每组一个天平,少量砝码;题卡
解方程。
7.8+x=10.6 x-12.8=9.2
x-4.3=2.1 5.6+x=8.9
【参考答案】 x=2.8 x=22 x=6.4 x=3.3
方法一
复习旧知,猜测新知。
师:上节课我们学习了等式的一个性质,你能说出一个等式吗?
预设 生:20+x=78,
师:能不能让等式两边变化一下,但要使等式仍然成立?
预设 生:20+x-20=78-20(等式两边同时加上或减去同一个数)
结合学生的回答,师板书:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。
师:上节课时,大家已经知道等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。请大家猜想,等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式还成立吗?把你的想法和同伴交流。
(板书课题:解方程(二))
[设计意图] 在天平游戏的学习基础上,提出本节课的问题:等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式还能成立吗?让学生思考、猜想,交流各自的想法。
方法二
谈话导入,开门见山。
师:上节课我们学习了“等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立”。今天,我们接着探讨等式的性质。我们要在天平上做游戏,通过游戏你们能发现一些什么规律呢?(板书课题:解方程(二))
[设计意图] 看门见山,直接指出学习的内容,针对性强,易于学生对中心问题的思考和探究。为后面的学习节省了时间,提供了自由学习和展示的空间。
一、互动解疑。
1.推想。
师:等式两边都乘同一个数,等式还成立吗?
预设 生1:成立。
生2:不成立。
2.验证。
师:既然我们有两种不同的答案,那我们来做个实验验证一下好吗?
请以小组为单位拿出天平,想办法做实验验证自己的猜想。
预设小组汇报:
预设 生1:我们小组在左侧放的砝码的质量用x表示,右侧放5克的砝码,天平两边平衡。
生2:用式子表示:x=5。
生3:然后我们在左侧加两个x克砝码,右侧也加两个 5 克砝码,发现天平仍然平衡,用算式表示为:3x=3×5。
师:其他小组有什么补充吗?
生4:我们发现在天平左侧加六个x克砝码,右侧也加六个 5 克砝码,天平还会平衡。
师:通过你们的实验和所列的算式,谁能用一句话概括出规律呢?
预设 生:发现等式两边都乘同一个数,等式仍然成立。
3.拓展。
师:如果左侧放上 2 个x克的砝码,右侧放上 2个10克的砝码,这时天平的指针在中间,说明什么?你们能写出一个等式吗?
预设 生:天平平衡,2x=20。
师:如果左侧拿走一个x克的砝码,右侧拿走一个10克的砝码,这时天平的指针在中间,又说明什么?你们能写出一个等式吗?
预设 生:天平平衡,2x÷2=20÷2。
师:通过上面的游戏你们发现了什么?
预设 生:等式两边都除以同一个数,等式仍然成立。
师:有没有同学想过如果两边同时除以0,行不行?
预设 生1:两边同时除以0,也行。因为等式两边都乘同一个数或者除以同一个数,等式仍然成立。
生2:不对,我们知道0作除数没有意义,不能除以0。
生3:不行,用天平也无法完成这个实验。
师:那我们应该怎样修改呢?
预设 生:等式两边都除以同一个不为 0 的数,等式仍然成立。
4.小结规律。
师:刚才我们通过实验发现两个规律,谁能把这两个规律概括为一句话呢?
预设 生:等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。
[设计意图] 推导等式性质的过程是教学重难点,给学生天平让他们结合指令亲手实践操作,而且还可以反方向操作,用天平实验来验证大家的猜想。
二、实践运用。
1.师:我们知道等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。你能利用这个性质解方程 4y=2000 吗?
师:怎么求出方程中未知数y的值呢?
学生独立思考,然后尝试解方程。
反馈时突出可以根据等式的性质把方程两边都除以 4,使左边只剩下y的方法。
师:(板书)最后要记得验证。
解:4y÷4=2000÷4
y=500
2.解方程:x÷3=9 7y=28
(学生独立练习,集体订正)
解:x÷3×3=9×3 解:7y÷7=28÷7
x=27 y=4
3.巩固练习。
师:这有两道方程,同学们能正确解方程吗?
学生独立做,教师巡视,发现有错题作为案例讨论,学生真实出现的错误,更有说服力。
预设错例:
师:同学们发现第一个方程的解法有什么问题吗?
预设 生:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍成立,但是第一个方程左边加上19,右边却是减去19,这是错误的。应该同时加上19,等式才成立。
师:第二个方程有什么问题吗?
预设 生:首先没有解字和冒号,其次在第二步漏掉了未知数x。
师:那么修改之后应该是怎样的呢?
(指名学生板演,集体交流。)
教材第71页“练一练”第2题,第5题。
【参考答案】 2.7x=35,7x÷7=35÷7,x=5 x-5=8,x-5+5=8+5,x=13 5.解:(1)设这个正方形花坛的边长是x米。4x=24,x=6。 (2)设长为x米,(x+4)×2=24,x+4=24÷2,x+4-4=12-4,x=8。
师:通过这节课的学习,你们掌握了哪些新知识?
预设 生1:我们不仅知道等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立,还知道了等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。
生2:我能根据等式性质来解方程。
生3:解方程时注意格式,比如先写解、冒号,再求未知数x。
作业1
教材第71页“练一练”第3题,第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)解方程。
4x=24 12x=360
x÷12=94 m÷6=1.5
x÷7=14 24n=120
2.(重点题)看图列方程,并求出未知数x的值。
(1)
(2)
3.(易错题)把下面的方程与它的解用线连起来。
8x=0 x=4
x÷4=1 x=5
2x=10 x=0
【提升培优】
4.(难点题)爷爷今年64岁,小乐乐今年x岁,今年爷爷的年龄是小乐乐年龄的8倍,小乐乐今年几岁?(用方程解)
5.(难点题)小明买3本大算草,一本大算草x元,他给了售货员20元,找回11元,每本大算草多少元?(用方程解)
【思维创新】
6.(探究题)根据图a和图b,可以判断图c中的天平( )端下沉(画出相应图形)。
图a
图b
图c
【参考答案】
作业1:3.x=26 x=210 x=94 x=61 x=364 x=0 6.(1)12×2=24(米) 12×4=48(米) 12x米 (2)解:设此处斜坡最高x米。12x=36,12x÷12=36÷12,x=3。
作业2:1.x=6 x=30 x=1128 m=9 x=98 n=5 2.(1)3x=36 x=12 (2)18x=54 x=3 3. 4.8x=64 x=8 小乐乐今年8岁 5.20-11=9 3x=9 x=3 每本大算草3元 6.△
解方程(二)
等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为 0 的数),等式仍然成立。
教材的设计打破了传统的教学方法, 在以前旧版教材中,学习解方程之前首先要求学生掌握加、减、乘、除法各部分之间的关系,然后利用关系来求出方程中的未知数。而北师大版教材则是借用天平游戏使学生首先感悟“等式”,知道“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立”这个规律,这样才能从真正意义上很好地揭示方程的意义,进而学会解方程,还能使之与中学的移项解方程建立起联系。
原来教学由于我个人比较偏好于传统的教学方法,在教学的过程中没有特别强调“等式”与由等式引申出来的规律,从而也就影响了学生没能很好地理解等式的性质,所以大部分的学生在解方程的时候,还是运用了加、减法各部分间的关系来计算,只有极个别的学生懂得运用等式的性质来解决问题。在这次实验教学的过程中,我深入了解新教材的含义——方程是一个等式、是一个数学模型、是抽象的,而天平是一个具体的东西,利用天平这样的事物原形来揭示等式的性质,把抽象的解方程的过程用形象化的方式表现出来,使学生更好地理解解方程的过程是一个等式的恒等变形,并能站在“学生是学习的主人”和“教师是学习的组织者、引导者与合作者”的这一角度上,为学生创设学习此课的情境,提供动手操作、实践以及小组合作、讨论的机会。在教学的整个过程中,重点突出了“等式”与“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立”这个规律,不断对学生进行潜移默化的渗透,促使绝大部分学生都能灵活地运用此规律来解方程。
课上仍然存在着许多不足,比如:在验证猜想时,应从一个具体的等式抽象到未知的等式,学生容易接受,而我是直接用抽象的等式验证的,学生不太容易接受。还有在解方程时,算理讲得不太清楚,学生在解方程时,有部分学困生学起来有困难。
在今后的教学中,一定要吃透教材,认真钻研教材,才能讲出优质课。
【练一练·71页】
2.7x=35,7x÷7=35÷7,x=5 x-5=8,x-5+5=8+5,x=13 3.x=26 x=210 x=94 x=61 x=364 x=0 4.30x=600,x=20 5.解:(1)设这个正方形花坛的边长是x米。4x=24,x=6。 (2)设长为x米。(x+4)×2=24,x+4=24÷2,x+4-4=12-4,x=8。 6.(1)12×2=24(米) 12×4=48(米) 12x米 (2)解:设此处斜坡最高x米。12x=36,12x÷12=36÷12,x=3。
解方程:7x=147。
[名师点拨] 此题可依据等式性质直接求未知数x的值,即在方程两边都除以7。
[解答] 7x=147
7x÷7=147÷7
x=21
【知识拓展】 利用等式性质,解形如“ax=b”或“x÷a=b”(a≠0)这样的方程,步骤如下:
ax=b x÷a=b
解:ax÷a=b÷a 解:x÷a×a=b×a
x=b÷a x=b×a
一个故事成就的数学家
陈景润是一位家喻户晓的数学家,在攻克哥德巴赫猜想方面做出了重大贡献,创立了著名的“陈氏定理”,所以有许多人亲切地称他为“数学王子”。但有谁会想到,他的成就源于一个故事。
勤奋的陈景润考上了福州英华书院,当时正值抗日战争时期,清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧,不想因战事滞留家乡。几所大学得知消息后,都想邀请沈教授前去讲学,但他都一一谢绝了。由于他曾是英华的学生,为了报答母校,他来到了这所中学为同学们讲授数学课。
一天,沈元老师在数学课上给大家讲了一个故事:200年前,有一个德国数学家发现了一个有趣的现象:6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,28=5+23,100=11+89。每个大于4的偶数都可以表示为两个素数之和。因为这个结论并没有得到证明,所以还是一个猜想。大数学家欧拉说过:“虽然我不能证明它,但是我确信这个结论是正确的。它像一个美丽的光环,在我们不远的前方闪耀着炫目的光辉……”陈景润瞪着眼睛,听得入神。
从此,陈景润对这个奇妙的问题产生了浓厚的兴趣。课余时间他最爱到图书馆,不仅读中学辅导书,那些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读,因此获得了“书呆子”的雅号。
兴趣是第一老师,正是这样的数学故事,引发了陈景润的兴趣,从而成就了一位伟大的数学家。
等式与等式的性质
表示相等关系的式子叫等式。
等式性质有三:
性质1:等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。
若a=b,
则有a+c=b+c。
性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍成立。
若a=b,
则有a·c=b·c(c≠0),
或a÷c=b÷c(c≠0)。
性质3:等式两边同时乘方(或开方),等式仍成立。
若a=b>0,
则有ac=bc,或ca=cb。
6 猜数游戏
教材第72~73页内容。
为了激发学生学习兴趣,激活学生已有的认知经验,教材设计了猜数游戏的三个问题。
第一个问题是理解猜数游戏的游戏规则,探索猜数游戏中的数学方法,并体会“相等”的意义。教材设计了三幅连环图,呈现了列方程解决问题的主要步骤。第一幅图是找到等量关系“淘气想的数×2+20=80”,这是列方程解决问题的关键一步;第二幅图将未知数设为x,根据等量关系列出方程“2x+20=80”;第三幅图是呈现列方程与解方程的过程,并介绍了解方程检验的方法,即把未知数的值代入原方程,看等式是否成立,使学生逐步养成检验的习惯。
第二个问题是用列方程和解方程的方法解开猜数游戏之谜,让学生通过玩猜数游戏,形成、发展、巩固列方程和解方程的基本技能。因为问题来自学生,所以学生会获得更多的成功体验,并进一步体会到方程的价值。
第三个问题是与同伴一起玩猜数游戏,进一步体会“相等”的意义。
教学时,教师可以和学生一起做猜数游戏,激发学生的好奇心,引导学生列出方程,并进行解方程的教学,重点是进行用等式性质解方程的指导,要让学生说说怎么解,依据又是什么。这里的检验也是以口头检验为主,关键是让学生逐步形成检验的意识和习惯。
1.通过猜数游戏,会用等式性质解形如“ax±b=c(a≠0)”这样的方程。
2.会用方程解决简单的实际问题,进一步体会方程的思想方法。
3.在解决问题中增强数学的应用意识,激发学习兴趣。
【重点】 利用等式性质解形如“ax±b=c(a≠0)”这样的方程并会简单应用。
【难点】 利用等式的性质解方程。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 练习本
1.口算出下列未知数的值。
x-19=2 16+x=30
3x=27 x÷7=8
2.根据等式的性质可以解方程,请你说一说等式性质。
【参考答案】 1.x=21 x=14 x=9 x=56 2.(1)等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。(2)等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。
[设计意图] 复习等式性质
《认识方程》是《数学课程标准》数与代数中“式与方程”部分的内容,是在学生学习了一定的算术知识,已经初步接触了一点代数知识的基础上进行学习的。对于小学生来说,现在由具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的、可变的数,是认识上的一次飞跃。这部分内容是学生从算术学习转向代数学习的重要转折点,是学生第一次认识方程,也是学生由算术思维迈向代数思维的新起点,更是初中代数学习的重要基础。无论是用字母表示数,还是寻找数量间的等量关系,对于小学生而言都是很抽象的。因此,《认识方程》的教学内容在数学知识体系中占有重要的地位和作用。
本单元主要是学习用字母表示数、认识方程、等式性质和解方程的方法,初步学会用方程解决简单的实际问题。如果说根据等量关系列方程,是把现实问题抽象为数学问题(数学模型),是把生活世界引向符号世界,那么等式性质则是符号世界里的一种重要的数学模式。数学模式与数学模型的不同之处,就在于它关心的是数学的内部世界,是解决一类数学问题的重要方法。也可以说,等式的性质是解决方程问题的重要方法。通过方程和解方程的学习,要初步实现掌握与算术方法截然不同的代数方法解决简单问题并发展代数思维的目标。
1.结合具体情境,学会用字母表示数与数量关系,发展抽象概括能力。
2.结合具体情境,体会等量关系,能用方程表示简单情境中的等量关系,了解方程的作用。
3.了解等式的性质,能用等式的性质解简单的方程。
4.会用方程解决简单的实际问题,进一步理解等量关系。
1.倡导“教师为主导,学生为主体”的教学理念,注重学生学习知识的过程,给学生充分的时间和空间,在特定的数学情境中自主探究,小组合作交流,激发学生的学习积极性和主动性。
2.既重视知识本身的建构,又重视课堂结构的建构,充分体现学生从“问题情境—建立数学模型—解释、应用与拓展”的意义上建构的学习过程。
增强学生学习知识的自信心,让学生用眼观察、动脑思考、动手演算、动口表达,真正理解和掌握方程最基本的知识,变特殊为一般,变具体为抽象。
让学生体会到数学与现实生活的密切联系,能够实实在在地从课堂学习中获取新知,建立数学模型、培养能力、发展思维,从而喜欢数学课,热爱数学学科。
【重点】 经历用字母表示数的过程,能用字母表示等量关系,会解简单的方程。
【难点】 进一步体会等量关系,用方程解决实际问题。
1.提供生动、有趣的具体情境,帮助学生体会用字母表示数的必要性和优越性
学生对字母表示数的意义的理解,是在运用字母表示具体数量和数量关系的活动中实现的。教材设计了借青蛙儿歌引入字母表示数的情境,青蛙儿歌本身是一个饶有趣味的现实:一首说不完的青蛙儿歌,引入字母a表示青蛙的只数后,就能够用一句话把儿歌说完。从中体会用字母表示数的好处,即对待未知数和已知数从此可以一视同仁,同样可以对未知数施加运算,因此,可以通过建立未知数与已知数的等量关系来寻求未知数。这将更有效地促进学生代数思维的发展,以及分析和解决问题能力的提高。
2.结合学生的经验,采用多种方式,理解与方程有关的概念,把握方程的本质
认识方程,首先要认识等量关系。“等量关系”一课,结合学生的经验,采用多种方法,如跷跷板、口头语言、画图、写式子等方法,展开形式丰富的表示现实中等量关系的活动,并通过这些方法之间的相互转化,理解等量关系。“方程”一课,则是通过引入字母表示现实生活中的未知数,并用等式表示未知数与已知数之间客观存在的等量关系,建立对方程的初步认识。“猜数游戏”则进一步揭示了方程的本质:方程是通过建立已知数与未知数的关系来求未知数的数学模型。数学模型关心的是现实世界,方程就是解决一类现实问题的重要方法。
3.结合用天平模拟等式变形的过程,抽象等式的性质,理解解方程的过程和方法
“解方程(一)”和“解方程(二)”两课,让学生观察天平两侧都加上或减去相同的质量,天平仍然平衡,从而发现“等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍成立”。用同样的方法,让学生体会“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为零的数),等式仍然成立”,进而让学生利用等式的性质解简单的方程。
1 字母表示数
教材第61页内容。
教材结合具体情境设计了四个问题,意在引导学生体会用字母表示数的作用。
第一个问题中设计的说儿歌的情境,让学生将看似简单的儿歌一直说下去,学生不仅会产生浓厚的兴趣,还会产生对字母表示数的需要,尝试用字母a表示青蛙儿歌,体会到用字母表示数的必要性。
第二个问题是体验用字母表示儿歌的关键是如何表示儿歌中的数量关系,通过学生作品的形式,呈现了用字母表示数时常见的几种情况:第一种是只简单地用字母代替了数,没有关注数量之间的不同及关系;第二种是注意到了数量的不同,但用字母表示数时没有将它们的关系表达出来;第三种是用字母表示出了两个数量之间的倍数关系。教材引发学生对这三种表示方法展开深入讨论的过程,就是启发学生从多角度理解字母表示数的意义的过程。教材这样的设计既关注到学生学习的困难,又突破了学生学习的重点、难点。
第三个问题是完成用字母表示青蛙儿歌的抽象与概括的活动,学生经历了这个探索过程,将再次体会到用字母表示数的必要性。
第四个问题的目的是引导学生将所学的知识应用于生活中,体会数学与生活的联系,并通过举例促进学生的数学理解。教材在呈现交流情境中,借助母子年龄关系的情境,引导学生尝试用字母表示一个数量比另一个数量多几的数量关系(两个数量的差是一个常数),进一步体会用字母表示数简洁明了的特点,同时扩展了学生的思路。
教材第62~63页内容。
本课时进一步认识用字母表示数的作用。共有三个问题,第一个问题是用字母表示正方形的周长公式,这既是对公式本身的回顾,也是借助这一过程帮助学生在运用字母表示公式的过程中,进一步深化对字母表示数的认识。同时,还说明字母和数字相乘的简写形式。第二个问题是感受4a在生活中表示的实际意义,与a表示的具体数量紧密相关。第三个问题是用字母表示已学过的计算公式和运算律。一方面,加强对所学内容的巩固;另一方面,进一步体会字母表示数的意义,并沟通知识间的相互联系。
1.结合具体情境,会用字母表示数和数量关系,能用字母表示运算律和有关图形的计算公式。
2.经历探索用字母表示数的过程,体会用字母表示数的必要性,发展抽象概括能力,渗透函数思想。
【重点】 体会字母表示数的作用,会用字母表示数和数量关系、运算律和有关图形周长及面积的计算公式。
【难点】 用含有字母的式子表示数及常见的数量关系、运算律和有关图形周长及面积的计算公式。
第课时 字母表示数
1.结合具体情境,认识用字母表示数的作用,体会用字母表示数的必要性,感受用字母表示数在生活中的实际意义。
2.发展抽象概括能力。
【重点】 体会字母表示数的作用,会用字母表示数和数量关系。
【难点】 用含有字母的式子表示数及常见的数量关系。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
下面是一个长为3,宽为2的长方形,试求它的周长和面积。
【参考答案】 周长=10 面积=6
方法一
激趣引入,揭示新课。
(播放字母歌)
师:同学们,刚才我们欣赏的是什么歌啊?
预设 生:字母歌。
师:字母,在生活中经常可以作为一些标志。(出示扑克牌)这里有字母吗?
预设 生:A,J,Q,K。
师:知道各代表几吗?
预设 生:1,11,12,13。
师:字母就在我们身边,字母在数学王国还有哪些神奇的作用呢?今天我们就来学习用字母表示数。(板书课题:字母表示数)
[设计意图] 新课前,师生通过交流生活中见到或了解的一些字母及所代表的含义,使原本高度抽象的字母变得具体并富有情趣,再以此迁移,引入数学中的字母,就大大激发了学生学习“用字母表示数”的浓厚兴趣。
方法二
谈话引入。
师:说说英文中有哪些字母?
预设 生:a,b,c,d,e,…,x,y,z。
师:你们学过了哪些数?
预设 生1:1,2,3,4,5……
生2:还有小数呢,也有很多。
生3:还有分数,也有很多很多。
师:同学们真聪明!你们听说过用字母表示数吗?
预设 生(大部分):听说过。
师:关于用字母表示数,你已经知道了什么?
预设 生1:我知道用字母可以表示加法交换律,比如:a+b=b+a。
生2:我知道字母S可以表示图形的面积。
……
师:如果我们今天就来研究用字母表示数,你还想知道些什么?(板书课题:字母表示数)
预设 生1:我想知道什么字母可以表示数。
生2:我想知道字母可以表示哪些数。
生3:我想知道为什么要用字母来表示数。
师(握着该同学的手):麻烦你再把问题说一遍。
预设 生:我想知道为什么要用字母来表示数。
师:刚才几位同学的问题都很好,尤其是这位同学的。是呀!为什么要用字母表示数呢?难道说黑板上那么多具体的数还不够我们用吗?谁能给我们解释一下?
预设 生1:可能是因为方便吧!
生2:可能是因为好算吧!
……
师:同学们的猜测都有一定的道理,究竟是什么原因要用字母表示数呢?下面我们一起来研究、感悟。(板书课题:字母表示数)
[设计意图] 四年级的学生对于用字母表示数多少有一些了解,因此师生交谈并不回避这个问题,让学生自由地、自豪地把知道的说出来,增强学生的成功感。对于不知道的更易生出求知欲望。“你还想知道些什么”引起学生思考,逐渐引导学生会学习,接下来的新课探究水到渠成。
一、初步感受用字母表示数。
1.用a表示淘气的儿歌。
师:同学们见过青蛙吗?1只青蛙有多少张嘴?多少只眼睛和多少条腿?有一首儿歌叫做数青蛙。是这样数的:1只青蛙4条腿;2只青蛙8条腿;3只青蛙12条腿……同学们能接着数到8只青蛙吗?
生齐:1只青蛙4条腿;2只青蛙8条腿;3只青蛙12条腿;4只青蛙16条腿;5只青蛙20条腿;6只青蛙24条腿;7只青蛙28条腿;8只青蛙32条腿。
师:50只青蛙几条腿?100只?1000只呢?8000只呢?(课件出示图片)
师:这样一只一只地数下去太麻烦了,笑笑说得对,永远也说不完。能不能想一个办法,用一句话就概括了所有数青蛙的情况?
学生独立在题卡上写,师巡视,找到有代表的写法,预设学生可能会有用符号或图形表示的,进行集体讨论,教师要给予肯定和表扬。
师:同学们这么多新奇的、有趣的表示方法,各有各的理由和优点,真不知道用哪一个了。智慧爷爷有个好建议:用a表示青蛙的只数,用字母表示淘气的儿歌。请同学们在题卡上试着写一写。
学生再次独立写,师巡视,找到有代表的写法,一会儿集体讨论。
师:同学们,这有几种同学的写法,想一想,你觉得哪种写法合理呢?(课件出示下面3种情况)
①a只青蛙a条腿;②a只青蛙b条腿;③a只青蛙4×a条腿。
预设 生1:我不同意第①种写法。青蛙的腿数不能用a表示,因为青蛙的只数与腿数不一样。
生2:第②种写法我也不同意。青蛙的腿数不能用b表示,因为这样体现不出青蛙腿数是青蛙只数的倍数关系。
生3:我同意第③种写法。用4×a表示腿数就能很好地表示出青蛙的腿数是只数的四倍。
课件出示儿歌:1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿;2只青蛙2张嘴,4只眼睛8条腿……
师:如果我们用a表示青蛙的只数,其他几个量同学们会表示吗?怎么用字母表示这个儿歌?
学生集体交流,得出:可以表示为a只青蛙,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
师:大家已经用一个字母把我们想说的数都概括进去了。青蛙只数、嘴的张数、眼睛只数、腿的条数也用a表示得非常清楚。那么这里的a可以是哪些数?
预设 生:应该是任何的自然数。
师:利用字母表示数,可以把数和数量关系一般化地、简明地表示出来。
小结:青蛙只数可以选择任何一个字母。
①a只青蛙,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
②x只青蛙,x张嘴,2×x只眼睛,4×x条腿。
③n只青蛙,n张嘴,2×n只眼睛,4×n条腿。
2.巩固练习
教材第62页“练一练”第1题。
【参考答案】 a朵梅花5×a个瓣;b周有b×7天。
二、初步应用字母表示数。
1.举例用字母表示数及数量关系。
师:同学们说一说生活中还有什么时候可以用到字母表示数。
学生小组内讨论交流后指名说一说。
预设 生1:a只小狗,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
生2:1朵桃花,5个花瓣,y朵桃花,5×y个花瓣。
生3:1只蚂蚁,6条腿,n只蚂蚁,6×n条腿。
……
师:同学们说了这么多,我们看下面一个问题:
淘气的妈妈比淘气大26岁,如果用n表示淘气的年龄,那么妈妈的年龄应该怎么表示?
组织学生根据上面的信息,展开讨论,并在小组中交流,然后全班交流汇报。
教师根据学生汇报板书:①淘气的年龄+26岁=妈妈的年龄。
②(n+26)岁(n表示淘气的年龄)。
师:这里的n可以表示哪些数呢?表示500行不行?
预设 生:不行,因为人不可能活到500岁。
师:看来用含字母的式子表示生活中的数量时,字母所取的数要符合生活实际。
小结:用字母或者含有字母的式子可以表示数,也可以表示数量关系。
2.巩固练习
(课件出示)联系实际,解决问题:百科图画书比格林童话贵20元。
(1)你能用含字母的式子表示这两种书的价钱吗?
(2)算一算:百科图画书58元,格林童话多少元?如果格林童话25元,那么百科图画书多少元呢?
【参考答案】 (1)百科图画书:n元,格林童话:(n-20)元;或者格林童话:a元,百科图画书:(a+20)元。 (2)38元 45元
[设计意图] 通过创造情境、提出问题,让学生带着问题自主学习,独立尝试与小组讨论结合,降低难度,一点点抽象出来,形成字母表示数及数量关系,增强针对性学习,激发学生的学习兴趣。
1.用含有字母的式子填空。
(1)每袋面粉重a千克,每袋大米重b千克,8袋面粉和5袋大米共重( )千克。
(2)大商电器公司在10月1日这一天,某品牌的手机十分畅销,上午卖出75部,下午卖出100部,已知每部手机a元,这一天一共卖了( )元,上午比下午少卖了( )元。
2.教材第62页“练一练”第2题。
学生读题后,先独立完成,教师巡视过程中如果遇到问题,可以举出这道题的正确答案和错误答案对比,让学生自己去发现,这样就会为后续学习扫清很多障碍。最后,再在小组中相互交流。
【参考答案】 1.(1)8×a+5×b (2)(75+100)×a 100×a-75×a 2.5×n 3×a (76+s) (n+1)
师:今天我们研究了用字母表示数,你们有什么收获?
预设 生1:我知道了什么字母可以表示数。
生2:我知道了字母可以表示什么数,字母还可以表示数量关系。
生3:我知道了为什么要用字母表示数。
……
师:同学们真会学习,一节课就明白了这么多道理。关于用字母表示数,我们的教材后面还有1课时的学习,相信同学们学完后一定会有更多的收获。
作业1
教材第63页“练一练”第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)在括号内填上合适的式子。
(1)小敏原有a本故事书,捐献给灾区小朋友5本后,还剩( )本。
(2)一辆公共汽车每小时行c千米,3小时共行( )千米。
(3)一种糖果的单价是每千克a元,买14千克需( )元,买b千克需( )元。
2.(重点题)解决生活中的数学问题。
(1)101路无人售票车上有乘客56人,到中华门车站下车a人,又有b人上车,现在车上有( )人。
(2)书香超市里有n个书架,每个书架放b本书,共有图书( )本。其中故事书有b本,科幻书比故事书的2倍多17本,科幻书有( )本。
(3)双休日,四(3)班的男生修补图书m本,女生修补图书n本,全班平均每天修补图书( )本。
【提升培优】
3.(变式题)说说下面每个式子的含义。
(1)老师家上个月用水a吨,这个月比上个月节约用水b吨,a-b表示什么?
(2)娟娟家平均每月用电a度,12×a表示什么?
(3) 学校买来9个足球,每个a元;又买来b个篮球,每个25元。9×a表示什么? 25×b表示什么? 9×a+25×b表示什么?
4.(难点题)用含有字母的式子表示下面各题的数量关系。
(1)在一个三角形的三个内角∠1,∠2,∠3中,∠1=a,∠2=b,用含有字母的式子表示∠3的度数。
(2)在一个等腰三角形中,底角是a,用含有字母的式子表示顶角的度数。
【思维创新】
5.(探究题)根据下图摆放的餐桌和椅子回答问题。
(1)一张餐桌可以坐4人,两张餐桌可以坐6人,四张餐桌可以坐多少人?
(2)按此规律摆下去,m张餐桌可以坐多少人?20张餐桌一共可以坐多少人?
【参考答案】
作业1:4.(1)5 10 5×n (2)6 2×n
作业2:1.(1)a-5 (2)3×c (3)14×a a×b 2.(1)56-a+b (2)b×n b×2+17 (3)(m+n)÷2 3.(1)这个月用水的吨数 (2)一年用电的度数 (3)买9个足球的钱数 买25个篮球的钱数 买足球和篮球的总钱数 4.(1)∠3=180°-a-b (2)180°-a-a 5.(1)2×4+2=10(人) (2)(2×m+2)人 2×20+2=42(人)
字母表示数
①a只青蛙,a张嘴,2×a只眼睛,4×a条腿。
②x只青蛙,x张嘴,2×x只眼睛,4×x条腿。
③n只青蛙,n张嘴,2×n只眼睛,4×n条腿。
①淘气的年龄+26岁=妈妈的年龄。
②(n+26)岁(n表示淘气的年龄)。
用字母表示数是学习代数知识的重要内容,是小学生们由具体的数过渡到用字母表示数,在认识上的一次飞跃。对我们四年级孩子来说,本课内容较为抽象与枯燥,教学有一定难度。安排了“用字母表示特定的数” “用含有字母的式子表示常见的数量关系”的内容。“用含有字母的式子表示常见的数量关系”是学习的难点。内容安排层层递进,由易到难,使学生逐步感悟,适应用字母代替数。
1.将生活引入课堂增加趣味性。数学《课程标准》强调“人人学习有用的数学”,“把数学作为人们日常生活中交流信息的手段和工具”,“重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学”。教学时首先要为教材内容选择生活背景,让学生体验数学问题来源于生活实际。又通过展示扑克牌,让学生认识到有时字母表示特定的数。这些生活实例使学生初步感知到 “用字母表示数”的好处。在这一环节中,原本比较枯燥的教学内容因为这样的情境创设变得十分生动,学生的学习兴趣充分被调动起来。
2.分层活动体会用字母表示数的好处。青蛙儿歌是学生已经熟悉的了,借以提出儿歌太长,永远也说不完的问题,这时学生自然而然地就会想到要用字母把这些都概括出来。接着举例淘气妈妈的年龄,根据学生的回答,表示出n+26以后,提醒学生想一想这里的n可以表示哪些数。让学生感受到不是所有字母都能表示任意的数,有时候字母表示多少要根据实际情况来确定。多次进行这样的从部分到全体的联想,学生就能体会到字母表示数具有概括性的特征。
1.教学延时。下课铃响时,练习题没有完成。可见我的教学设计存在着一些问题。如学生讨论、做题时耗时过多,本想教学能落到实处让学生真正达到自学的目的,但在实际操作时以及后面的练习中都反映出,这部分的教学有一定问题。
2.教师说得多,学生说得少。为了在规定时间完成教学任务,发现教学时间不多后,我匆忙讲解而忽略学生的感受。
3.有的过渡语和评价语过于简单,给学生思考的时间也不够充分,这需要在今后教学中更好地设计问题,把握教学的时间。
教学是一门不断改进的艺术。需要我们教师不断去改进,反思并吸收,这样才会有进步。要相信学生,放手让他们说,给学生创建空间和平台,充分表达他们自己。
一只老虎4条腿,你能用含有字母的式子表示出若干只老虎的腿的条数吗?
[名师点拨] 1只老虎4条腿,2只老虎就有2个4条腿,列式为4×2。以此类推,n只老虎就有n个4条腿,列式为4×n。如下表:
老虎只数/只
腿的条数/条
1
4×1=4
2
4×2=8
3
4×3=12
…
…
[解答] n只老虎有4×n条腿。
【知识拓展】 用含有字母的式子可以表示某个数或数量关系,同时也能体现出数量之间的变化规律。
用字母表示数是从何时开始的
数字的发展走过了漫长的路程。大约4000年前,地中海东岸的腓尼基人发明了字母表。它在传播的过程中,或多或少地发生了种种变化,例如,古老的希腊字母和希伯来字母就不太一样。但是,古代希腊人和希伯来人都曾用字母表中的字母依次代表数字。后来,人们也曾用英语字母代表过数字,例如依次用A,B,C,D代表l,2,3,4,I,J,K,L代表9,10,20,30等等。
大约2000年前,古罗马人统治着整个地中海周围跨越欧亚非三洲,直达大不列颠岛的辽阔地域。他们创立了一套书写数字的独特方法:用Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅴ,Ⅹ分别表示1,2,3,5,10,Ⅳ和Ⅵ分别表示4和6,其中的奥妙是:若较小的数字紧靠在较大数字的左侧,则表示两者相减;若紧靠在较大数字的右侧,则表示两者相加。所以Ⅳ表示Ⅴ(即“5”)减去Ⅰ(即“1”),Ⅵ则是Ⅴ加上Ⅰ。同理,Ⅶ和Ⅷ分别表示Ⅴ加Ⅱ和Ⅴ加Ⅲ,即表示7和8;Ⅸ和Ⅺ则分别表示Ⅹ(即10)减Ⅰ和Ⅹ加Ⅰ,即9和11。代表数字的符号,在书写时顺序非常重要。
在罗马记数法中,还用L代表“50”,C代表“100”,D代表“500”,M代表“1000”。所以,1994用罗马数字书写,就是MCMⅩCⅣ,其中从左到右依次为:M(即“1000”),CM(“1000”减“100”,即“900”),ⅩC(“100” 减“10”,即“90”),以及Ⅳ(即“4”)。要是把这些数字符号重新排列一下,变成MMCⅩCⅥ,那么它就不是表示1994,而是代表2196了。
爱因斯坦关于成功的公式
科学家爱因斯坦在谈成功的秘诀时,写下了一个公式:
A=X+Y+Z,
他解释道:
A代表成功,
X代表艰苦的劳动,
Y代表正确的方法,
Z代表少说空话。
这个著名的爱因斯坦的关于成功的公式里出现的字母是单词的缩写,这个公式引导和激励了很多人在成功的道路上一直努力前行。
第课时 字母表示计算公式和运算律
1.结合具体情境,进一步认识字母表示数的作用,体会用字母表示数的必要性,感受用字母表示数在生活中的实际意义。
2.能用字母表示运算律和有关图形的计算公式,会字母与数字相乘的简写形式。
3.发展抽象概括能力,进一步渗透函数思想。
【重点】 用字母表示运算律和有关图形的计算公式,会字母与数字相乘的简写形式。
【难点】 用字母表示有关图形的计算公式及会字母与数字相乘的简写形式。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
用含有字母的式子表示下面各题的数量关系。
(1)比x的5倍多20的数。( )
(2)比x多20的数是5的多少倍?( )
(3)x与y的积是多少?( )
(4)与a相邻的两个自然数分别是( )和( ),它们的和是 ( )。
学生在题卡上完成后订正。
【参考答案】 (1)x×5+20 (2)(x+20)÷5 (3)x×y (4)a+1 a-1 a+a
方法一
开门见山,谈话导入。
师:同学们,字母或者含有字母的式子不仅可以表示数和数量关系,还可以表示常见的公式和运算律。(板书课题:字母表示计算公式和运算律)
[设计意图] 在复习准备中学生用字母和含有字母的式子表示了数、数量关系,然后教师谈话简洁地引入正题,这样针对性更强,使学生更加明确本节课学习的内容。
方法二
以旧引新。
师:同学们,上节课我们初步学习了字母表示数,像a,x,n等这些字母我们赋予了它们新的意义,那么计算公式和一些运算律是数学中非常重要的知识,它们也能用字母来表示吗?
预设 生:能。
师:有哪位同学知道吗?给大家说一说。
预设 生1:我知道加法交换律:a+b=b+a。
生2:我知道乘法交换律:a×b=b×a。
……
师:同学们知道得真多!那么到底怎样用字母表示计算公式和运算律,又有什么规定和要求呢?这节课我们继续学习用字母表示数。(板书课题:字母表示计算公式和运算律)请同学们齐读课题。
生齐:字母表示计算公式和运算律。
[设计意图] 承上启下,过渡自然,直接指出本节课所学的内容,激发学生继续学习的欲望。
1.用字母表示计算公式(课件出示正方形)。
师:看到正方形你们就想到了哪两个公式?
预设 生1:正方形的面积=边长×边长。
生2:正方形的周长=边长×4。
师:正方形的边长通常用字母a表示,周长用大写的字母C表示,面积用大写字母S表示。这里的字母可不能随意替换。你能用字母表示正方形的周长和面积公式吗?
师:谁来说说正方形的周长?
预设 生:C=a×4。
师:那正方形的面积谁来说说?
预设 生:S=a×a。
师:比较一下,你更喜欢哪一种表达方式呢?为什么?
预设 生:字母表达,因为字母表达简洁。
2.简写。
师:我们发现字母可以和具体的数一起运算来表示数量或数量关系。其实字母与字母一起也是可以运算的。但不管是字母与字母还是字母与具体的数,四则运算时加、减、除都没什么特别的,但是碰到乘法时却有一些特殊的规定。在含有字母的乘法式子中,还有更简便的写法呢!想知道吗?
师:请同学们自学课本62页两处智慧爷爷的话。
学生自学后讨论写法。
师:通过自学,你都看懂了什么?
预设 生:我看懂了a×4和4×a简写成4·a或4a。(师立刻追问)
师:这是什么意思?
预设 生:字母和具体的数相乘时,乘号可以简写为一个圆点或者干脆不要。
师:好眼力!仅仅如此吗?
预设 生:省略乘号时,具体的数写在字母前面。
师:棒极了!他说出了数学上的一种规定。当字母和具体的数相乘时,如果省略了乘号,通常把具体的数写在字母前面。
师:不仅如此,1×a和a×1可以简写成a,这又说明什么?
预设 生:1和某个字母相乘,就可直接简写为那个字母。
师:如果是b×1呢?
预设 生:b×1=b。
师:好极了!还有什么发现?
预设 生:我看懂了a×a简写成a·a 或a2,读作“a的平方。”
师:这又是什么意思?
预设 生:同样的两个字母相乘,写法可以更简单。
教师根据学生回答将板书写完整:
C=4a S=a2
师:同学们真聪明!同样的两个字母相乘,不仅乘号可以简写为一个点或者省略不写,还有更简单的写法,只写一个字母,然后在字母的右上角写一个小小的2,就表示两个同样的字母相乘了。读作“a的平方”。不读“a2”,如果你非要读出a和2,请在后面加两个字,读作“a的2次方”,也是可以的。明白了吗?
预设 生:明白了。
师:有问题吗?
预设 生:没有。
师:你们没问题,老师可有问题了。想过没有,在字母运算中,为什么加、减、除的时候,运算符号都不可以简写或省略掉,偏偏碰到乘号时,可以变成一个圆点或干脆不要呢?
(生面面相觑,陷入沉思,稍停一会,有人举手)
预设 生:可能是因为简便吧!
师:这样写的确是方便了,但为什么偏偏要省略乘号呢?如果没有人知道,请看黑板。(师板书:x×x,故意写得x和乘号都差不多)感觉怎么样?
预设 生:感觉有点分不清,到底是3个x、还是3个乘号或者是x乘x。
师:是呀!怎样避免这样的混淆呢?数学家们有办法。
(请三位同学上台,手脚叉开站立,形如“X×X”,然后请中间的一位同学缩起手脚,慢慢蹲下,最后离开,让学生逐步体会简写的过程)
3.巩固练习。
把课前复习准备里的答案能简写的请简写。
【参考答案】 (1)5x+20 (2)(x+20)÷5 (3)xy (4)a+1 a-1 2a
4.用字母表示运算律。
师:如果用字母a,b,c表示三个数,那么谁能用字母表示你学过的运算律?
预设 生:加法交换律:a+b=b+a。
加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
乘法交换律:a×b=b×a。
乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c)。
乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。
[设计意图] 让学生先回顾正方形周长和面积公式激起学生原有知识储备,再让学生自己写出字母公式,最后将公式的文字和字母表示方法对比。体会用字母表示公式便于表达、易于记忆。简写由学生自学发现,并且肢体语言表演,更加明晰简写的好处。接着巩固练习将讲课前的练习答案进行改写,完整地再现字母表示数,不断地培养学生会学习的能力。
1.根据运算律,在下面的方框内填上数或字母。
(1)13+(17+x)=( + )+
(2)3a+3b=3·( + )
(3)6(x+y)= +
(4)x·y=y· (5)b×m×n=n× ×b
学生独立完成然后指名回答订正。
2.教材第63页“练一练”第3题。
学生读题后,先独立完成,再在小组中相互交流,然后集体订正。
【参考答案】 1.13 17 x (2)a b (3)6x 6y (4)x (5)m 3.(1)140 245 70t (2)2(a+b) 2(a+c) (3)(20-a) (4)80x (5)略
师:通过学习,你们有什么收获?
预设 生1:我知道用字母可以表示几何图形的计算公式。
生2:正方形周长公式是C=4a,正方形面积公式是S=a2。
生3:用字母还可以表示我们学过的运算律,而且很好记,一看就懂。
……
作业1
1.选择题。
(1)在奇数a后面的两个奇数分别是( )。
①a+1,a+2 ②a+1,a+3
③a+2,a+4 ④a-2,a-4
(2)用含有字母的式子表示:a的平方的2倍与b的2倍的平方的和,是( )。
①(2a)2+(2b)2 ②2a+2b
③(2a+2b)2 ④2a2+(2b)2
2.用简便方法表示下列各式。
a×a ( ) a+a ( )
4×a×b ( ) 4+b+b ( )
a×5 ( ) a+a+5×b ( )
a+a+a ( ) a×b×x ( )
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)写出含有字母的式子。
(1)乐乐有12元零花钱,买笔用去x元,还剩下( )元。
(2)四年三班有男生m人,女生n人,四年三班一共有( )人。
(3)一匹马4条腿,a匹马有( )条腿。
(4)一辆汽车t时行驶s千米,这辆汽车的行驶速度是每时( )千米。
2.(基础题)用简便记法表示下面的式子。
6×a=( ) t×8=( )
m×n=( ) a×b×c=( )
0.3×x=( ) 1×c=( )
v×1.62×t=( ) m×m=( )
3.(重点题)用字母表示你学过的运算律。
加法交换律:
加法结合律:
乘法交换律:
乘法结合律:
乘法分配律:
4.(重点题)用含有字母的式子表示下面的数量关系。
(1)3.6与a的和:
(2)7.8与b的差:
(3)m除以6:
(4)1.65的x倍:
(5)比m多5.2的数:
(6)78.2与y的3倍的差:
(7)x与y的和的3倍:
【提升培优】
5.(重点题)根据所给条件,说出下面式子的意义。
中性笔每支x元,钢笔每支的价钱是中性笔的4倍,日记本每本y元。
(1)4x表示( )。
(2)x+y表示( )。
(3)4x+y表示( )。
(4)x+4x+y表示( )。
【思维创新】
6.(探究题)用含有字母的式子表示下图中阴影部分的面积。
【参考答案】
作业1:1.(1)③ (2)④ 2.a2 2a 4ab 4+2b 5a 2a+5b 3a abx
作业2:1.(1)12-x (2)m+n (3)4a (4)s÷t 2.6a 8t mn abc 0.3x c 1.62vt m2 3.a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) ab=ba (a×b)×c=a×(b×c) (a+b)c=ac+bc 4.(1)3.6+a (2)7.8-b (3)m÷6 (4)1.65x (5)m+5.2 (6)78.2-3y (7)3(x+y) 5.(1)钢笔的单价(或4支中性笔的钱数) (2)一支中性笔和一本日记本价格的总和 (3)一支钢笔(或4支中性笔)和一本日记本价格的总和 (4)一支中性笔、一支钢笔和一本日记本价格的总和 6.2ab-b2
字母表示计算公式和运算律
1.紧密联系生活实际。《数学课程标准》明确提出:数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上。强调从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度和价值观等多方面得到了发展。本节课教师始终围绕学生的生活实际,发掘学生身边的数学素材,如:常见的正方形,经常接触的加法、乘法交换律,结合律及练习题中的鸵鸟奔跑等等,以此贯穿,使学生充分经历了知识的发生、形成、发展和应用的全过程,感受到生活中处处有数学,体验到数学的魅力与价值。
2.重视学生学习方法的渗透。课上自主与合作、讨论与交流、自学等学习形式交替出现。学生学习数学既是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程,也是一个经验共享、相互启智的过程。本节课教师放手让学生在自主探究的同时,为学生创设了多次合作、讨论和交流的机会。如:“你能用字母表示吗?”自学简写形式等,以此由学生展开自学讨论,学生在讨论中进行思维的碰撞和整合,在整合的过程中使思维变得更加缜密与深刻。
3.练习设计巧妙,训练扎实。新一轮课程改革,并不意味着对传统的全盘否定,而是要进行合理的扬与弃。本节课中我很好地继承和发扬了我们教学中传统的做法,充分做到了“分层练习有保证、变式练习有体现”。在练习与应用中,精心设计了一系列有层次、有坡度、有新意的习题,并且都是以生活为素材,源于生活、高于生活(提炼过的)、服务于生活,使学生在解决一个个现实问题的同时,得到了进一步的夯实与提高,也为后续学习打下了坚实的基础。
教学中,学生虽然能较快地写出或说出用字母表示的公式和运算律,但是语言表达能力不够,需要教师给予及时地指导和鼓励。而且教师要在开发学生思维上下工夫。
再教时要鼓励学生在小组内大胆交流,思考好,再去汇报,同时要多鼓励学生用自己的方法记忆公式和运用所学知识。
【练一练·62页】
1.a朵梅花5a个瓣,b周有7b天 2.5n 3a 76+s (n+1) 3.(1)140 245 70t (2)2(a+b) 2(a+c) (3)(20-a) (4)80x (5)略 4.(1)5 10 5n (2)6 2n (3)略
长方形的面积公式用字母表示是( ),周长公式是( )。
[名师点拨] 先想想语言表达的公式,再用字母代替文字,写出公式,一般写成简写形式。注意不要只写一半,要把公式写完整。
[解答] S=ab C=2(a+b)或C=(a+b)×2
【知识拓展】 用字母表示常见的数量关系:
(1)用v表示速度,t表示时间,s表示路程,请你写出它们之间的关系式:
s=vt v=s÷t t=s÷v
(2)用a表示商品的单价,x表示数量,c表示总价,请你写出它们之间的关系式:
c=ax a=c÷x x=c÷a
(3)用a表示工作效率,t表示工作时间,c表示工作总量,请你写出它们之间的关系式:
c=at a=c÷t t=c÷a
俄罗斯方块背后的数学故事
1984年的时候,当时还名不见经传的阿列克谢·帕基特诺夫(Alexey Pajitnov)只是苏联科学院计算机中心的一位普通的工程师。他热衷于开发电脑游戏,不过这些游戏卖得都不好。那年夏天,他突然又想到了一个新点子——让不同形状的积木落进一个矩形的玻璃容器里,在容器底部堆叠起来,使之排列成完整的一行或多行。在两位同伴的协助下,他很快编写好了这个游戏。这个无人不知无人不晓的经典游戏后来被命名为——俄罗斯方块。
你对俄罗斯方块了解多少?你知道俄罗斯方块的游戏场地大小吗?你知道每一种方块的名字吗?
俄罗斯方块的游戏场地是一个宽为10,高为20的矩形。游戏里共有7种方块,根据它们的形状分别命名为I, J, L, O, S, T, Z。玩家需要控制不断下落的方块填放到合适的位置,被填满的行将自动消除。视局面的不同,玩家一次可消除1行至4行不等,这在游戏里分别叫做 SINGLE,DOUBLE,TRIPLE和TETRIS。一次性消除的行数越多,得分也就越高。随着被消除的总行数的增加,方块下落的速度也会越来越快。一旦某个方块放置后超出了场地高度,游戏便自动结束。
“S”“Z”“T”型俄罗斯方块背后的数学问题
到如今俄罗斯方块不但让几代玩家为之疯狂,也让不少数学家沉迷于其中。俄罗斯方块引出的第一个数学问题是,如果玩家的技术足够高,游戏是否永远也不会结束?1988年,约翰·布鲁托斯基(John Brzustowski)的一篇论文指出,若“S”型方块和“Z”型方块以适当的间隔交替出现时,游戏区域中将不可避免地出现越来越多无法消去的行,最终导致游戏结束。虽然这种情况发生的概率极低,但毕竟是有可能的,因此理论上俄罗斯方块是不能一直玩下去的。
另一个值得思考的问题是,游戏中用到的7种方块总面积为28,那么是否能用这7个不同形状的方块拼出一个4×7的矩形呢?虽然游戏中的方块似乎都是填补空间的好手,但这个问题的答案却是否定的。原因很简单:如果把这7种方块都放到国际象棋棋盘上,你会发现几乎每一种方块都总是占据着两个黑色格子和两个白色格子,只有“T”型方块所占的黑白格子个数始终不等。因而7个方块所占据的黑白格子总数也是不相等的。但在一个4×7的矩形区域中黑白格子数目是相同的,因此它不可能被这7个方块完全覆盖住。
有趣的是,这7种方块恰好能构成一个平面镶嵌。如果一组几何图形能够既无重叠又无空缺地填满整个平面,我们就把它称作一种平面镶嵌。地砖的形状基本上都是等边三角形、正方形和正六边形,这就是因为单用一种正多边形构造平面镶嵌仅有这三种情况。如果允许使用多种图形,我们还能构造出更多漂亮的平面镶嵌图。一些设计师别出心裁,把墙砖做成了俄罗斯方块的形状,给居家生活带来几分新意。
2 等量关系
教材第64~65页内容。
列方程解决问题的关键是找等量关系。鉴于等量关系的重要作用,教材为等量关系安排了独立的课时进行学习,给出等量关系的名称,并对如何找等量关系进行了讨论,突出了核心知识的作用与价值。教材安排了三个问题,逐步加深对等量关系的了解:第一个问题是通过观察和描述学生熟悉的生活情境——跷跷板两边的平衡现象,了解等量关系。而且这里先出现跷跷板,再在后面的学习中出现天平,也让我们找到了体现等量关系的更多的生活原型。第二个问题是结合具体情境画图或用式子等方式表示等量关系,教材推荐了一些寻找和表达等量关系的方法,并鼓励学生认识到等量关系可以用语言、图形、符号等多种方式来表示,它们之间可以相互翻译。第三个问题是了解用式子表示相同的等量关系,往往可以写成不同的形式。教材采取了“你能看懂吗”的方式呈现了其他形式的等量关系,帮助学生认识到同一个等量关系可以用不同的形式表达,它们之间也是可以相互替代的。
1.结合具体情境,在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系。知道同一等量关系可以用不同的形式表示。
2.初步体会等量关系在日常生活中是广泛存在的,体会数学的应用价值。
【重点】 在用多种方法表示等量关系的活动中了解等量关系。
【难点】 知道同一等量关系可以用不同的形式表示。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
火眼金睛辨对错。(观察后口答)
(1)(a+b)·c=a+(b·c)。 ( )
(2)78×101=78×100+78。 ( )
(3)a元可以买20个篮球,篮球的单价是20÷a。 ( )
(4)正方形的边长是a,面积是4a。 ( )
(5)整数加法交换律、结合律对小数同样适应。 ( )
(6)21.32-(6.32+8.3)=21.32-6.32+8.3。 ( )
【参考答案】 (1)? (2)√ (3)? (4)? (5)√ (6)?
方法一
创设情境,导入新课。
师:同学们喜欢玩跷跷板吗?
预设 生:喜欢。
师:如果老师和你们之中的一个同学一起坐会怎么样?
预设 生:老师那边会降下去。
师:那跷跷板怎样才能平衡呢?
预设 生:两边一样重。
师:如果再上来一个同学,跷跷板恰好保持平衡,说明什么问题?今天我们就来研究这个问题。(板书:等量关系)
[设计意图] 从学生喜欢的活动引入课题,一方面激起学生的学习兴趣,另一方面也可以启发学生从生活中发现问题,体会数学与生活的联系。
方法二
复习旧知,以旧引新。
师:同学们,上节课我们学习了用字母表示数。如:1,2,3,4,5,m,7,这里的字母可以表示几?
预设 生:这里的字母可以表示6。
师:是啊,字母可以表示任何数,可以是整数、小数、分数。老师的身高是1.70 m,这里的m表示单位,人们用字母还可以表示计量单位,如kg,km。
今天这节课我们继续研究用字母表示数量关系。(板书:等量关系)
[设计意图] 通过复习,唤起学生对旧知的回忆。明确用字母可以表示一些数,自然产生疑问,还能表示什么呢?有疑才会有所思,有所获,使学生自主去学习下面的环节。
一、探究活动一。
1.(课件出示主题图)说一说什么时候相等。
师:一只大白鹅,小鸭和小鸡也在玩跷跷板游戏。
师:谁说一说三幅图什么意思,并说一说第三幅图平衡说明的是什么。
学生观察,汇报:
预设 生1:观察图1:跷跷板向左倾斜,说明1只鹅的质量大于2只鸭的质量。
生2:观察图2:跷跷板向右倾斜,说明1只鹅的质量小于3只鸭的质量。
生3:观察图3:跷跷板是平衡的,说明 1只鹅的质量和2只鸭与1只鸡的质量和相等。
师:(从图3进一步讲解引导)1只鹅的质量相当于2只鸭和1只鸡的质量,这时跷跷板左右是保持平衡的,这叫等量关系。
师:你能再说说这里的相等关系吗?
预设 生:1只鹅的质量等于2只鸭和1只鸡的质量和。
师:如果用一个算式可以怎么说?
预设 生:1只鹅的质量=2只鸭的质量+1只鸡的质量。
2.巩固练习。
教材第65页“练一练”第1题。(让学生相互之间说一说,要求语言一定要准确)
【参考答案】 第三幅图天平平衡时相等,1个樱桃的质量+100克=1个苹果的质量。
3.小结。
师:你能用自己的语言说说什么是等量关系吗?
学生思考后交流,共同小结:“等量关系”就是表示两个相等关系的量,是数量关系的一种。
[设计意图] 新课探究中结合巩固练习的实例,给学生真实的感受,使知识变得不空洞。
二、探究活动二。
1.师:有一次上课,有同学问老师,你知道姚明有多高吗?(出示PPT图片)哎呀,这么高!
我们和姚明站到一起会怎么样?有同学猜可能到姚明的屁股,有人说到姚明的腰,妹妹和笑笑觉得非常有趣,也想来比一比身高(课件出示问题情境图二)谁能把她们的话读一读?
预设 生:著名篮球运动员姚明身高226厘米,姚明的身高是妹妹的2倍,笑笑比妹妹高20厘米。
师:她们分别说的是谁与谁的关系?现在请大家用画图,或写等量关系的方法,把你的想法写在练习本上,让大家一看就明白。(学生活动,教师巡视指导,学生如有困难,教师示范画出线段图)
师:请画好的同学上台板演,现在请同学们把自己的想法介绍给大家。
预设 生1:因为姚明的身高是妹妹的2倍,所以妹妹身高×2=姚明身高。
生2:因为笑笑比妹妹高20厘米,所以妹妹身高+20厘米=笑笑身高。
师:还能找到其他的等量关系吗?
预设 生1:因为姚明的身高是妹妹的2倍,所以姚明身高÷2=妹妹身高。
生2:因为笑笑比妹妹高20厘米,所以笑笑身高-20厘米=妹妹身高
师:因为这两个等量关系都是表示妹妹的身高的,你能根据两个等量关系,把它合并成一个等量关系吗?
预设 生:姚明身高÷2=笑笑身高-20厘米。
师:根据这个等量关系,我们可以求出妹妹的身高和笑笑的身高。
师小结:找等量关系的方法是根据各数量之间的关系列出等式。还有,同一个等量关系可以写成不同的形式,表示等量关系的形式也不是唯一的,可以画图或列式子。
[设计意图] 让学生尝试画线段图,更能让学生把信息之间的关系理清楚,便于找到等量关系。通过比较和整合成一个等量关系的式子,使学生进一步理解用字母表示数的意义。
2.巩固练习。
教材第65页“练一练”第2题。(让学生相互之间说一说,要求语言准确)
【参考答案】 1个苹果的质量+1个梨的质量=300克,1个鸡蛋的质量×2=100克,《数学故事》的价格×3=15.6元。
教材第65页“练一练”第4题。
【参考答案】 4.女儿的年龄=36÷4或36÷女儿的年龄=4或4×女儿的年龄=36岁 1200本-500本=科技书的本数或科技书的本数+500本=1200本
师:这节课你们有什么收获?
预设 生1:我会找等量关系了。
生2:我知道找等量关系的方法是根据各数量之间的关系列出等式。
生3:可以画图表示等量关系。
……
作业1
教材第65页“练一练”第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(探究题)填一填。
(1) □ +□+△=16 □+△+△=14
□=( ) △=( )
(2)○+★+★=10 ○+★+○=8
○=( ) ★=( )
2.(重点题)试着说出下图中的等量关系。
【提升培优】
3.(情景题)结合情景写出下面的等量关系。
2元/千克 苹果的单价是西瓜的2倍
4.(重点题)请结合情景写出下面的等量关系。
【思维创新】
5.(难点题)请你表示出下面数量间的等量关系。
6.(开放题)1个菠萝的质量+3个梨的质量+2个桃的质量=4千克,1个菠萝的质量+8个梨的质量+2个桃的质量=5千克,1个梨的质量是多少克?
【参考答案】
作业1:3.(答案不唯一)C=(a+b)×2 (C-2a)÷2=b S=a×b S÷a=b
作业2:1.(1)6 4 (2)2 4 2.一个菠萝的质量等于8个苹果的质量 3.苹果的单价=西瓜的单价×2 4.2500千克-一头猪的质量=2400千克(或2500千克-2400千克=一头猪的质量,或一头猪的质量+2400千克=2500千克) 5.文具盒的单价×3=24.6元 6.1菠+3梨+2桃=4千克 1菠+8梨+2桃=5千克 8-3=5(个) 1千克=1000克 1个梨的质量=1000÷5=200(克)
等量关系
妹妹身高×2=姚明身高 妹妹身高+20厘米=笑笑身高
姚明身高÷2=妹妹身高 笑笑身高-20厘米=妹妹身高
姚明身高÷2=笑笑身高-20厘米
这节课主要是通过跷跷板和天平能够左右平衡的原理来讲解等量关系,让学生能够根据图中意思列出一个用文字表示的等量关系式,在课堂中发现学生对于看天平列等量关系式的题目能够容易写出,可是对于纯文字的题目,要求从里面找出等量关系,学生很多却是无从下手,不知道该怎么去写,说明学生不能很好地对文字题目的意思进行分析,在这一块确实需要再进行强化训练,要让学生多读题,学会找题目中的关键量,然后用题目中给出的数字条件用合适的运算符号把关键量准确地串联起来,列出我们需要的等量关系式,列出其中一个等量关系式后,要善于提问学生,让学生学着自己去列出不一样的等量关系式,这样能够很好地锻炼学生的发散思维。
本节课教学难度不大,学生理应掌握得比较好,但是根据新课标提出的要求,要关注不同的学生并体现一定的层次性,针对不同层次的学生在一节课中得到不同程度的收获,达到不同的目标。但是实际操作中还不能达到这个要求。画图可以帮助学生理顺题中信息,并能根据图意发现各个量之间的关系,易于找到等量关系。本节课对画图的重视不够,指导上还有些欠缺,没有给足够的时间让学生自己画。
再教时,充分以学生为主体,教师从中指导和提示,不仅“授之以鱼”,更要“授之以渔”,特别是依据不同学生的学习和接受能力不同,给予充分关注。要重视画线段图,让学生根据题中信息逐一画图表示出已知信息,教师指导后,学生要修改自己的线段图。
【练一练·65页】
2.(1)1个苹果的质量+1个梨的质量=200 g+100 g (2)2个鸡蛋的质量=100 g (3)3本书的价钱=15.6元 3.(答案不唯一)C=(a+b)×2 (C-2a)÷2=b S=a×b S÷a=b 4.女儿的年龄=36÷4或36÷女儿的年龄=4或4×女儿的年龄=36岁 1200本-500本=科技书的本数或科技书的本数+500本=1200本
正方形的边长、周长分别用a,C表示,你能写出等量关系吗?
[名师点拨] 根据正方形的周长=边长×4,可以写出等量关系C=4a,根据正方形边长=周长÷4,正方形周长÷边长=4,也可以写出相应的等量关系。
[解答] C=4a,a=C÷4,C÷a=4。
等量代换
大家一定都知道“曹冲(曹操的儿子)称象”的故事吧!曹冲称象不是胡乱称的,而是运用了“等量代换”的方法:两个完全相等的量可以互相代换。解决数学题经常会用到这种方法。
请你用“等量代换”的方法来算一算:2头猪可以换4只羊,2只羊可以换6只兔子,那么5头猪可以换多少只兔子?
【参考答案】 30只兔子
小学语文故事中的数学思想
现在我们的小学语文课本中选编了不少千百年来广为传颂的智慧故事,如“曹冲称象”“乌鸦喝水”等,这些题材广泛、妙趣横生的故事能引发学生无穷的遐想,激起学生思维的碰撞。而且每则故事本身还都蕴含着丰富的数学思想。能正确引导学生对每则故事冷静思索,细心体味,就会给学生以很多思想方法的启迪。
如:“曹冲称象”故事中大家想知道大象的体重,但无法直接去称它,怎么办呢?聪明的曹冲就想出一个办法,用石头的重量代替大象的体重。这个故事给我们一个启发:某些数学问题若直接思考有困难,则可以把原有的条件或问题用等价的量去代换,从而找到解题的线索。
“曹冲称象”的故事还蕴含着“着眼整体”“化整为零”的数学思想。聪明的你们发现了吗?
3 方 程
教材第66~67页内容。
为了使学生体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型,激发学生学习方程的兴趣,教材设计了四个问题:第一个问题是用口头语言描述具体情境中的等量关系,教材从三个层次提供等量关系的现实情境:“天平”情境呈现了一个用加法可以表示的等量关系,“种子”情境呈现了一个用乘法可以表示的等量关系,“倒水”情境呈现了需要两步计算表示的等量关系。三个情境引出的问题,由简单到复杂,利于帮助学生对等量关系积累思维经验。第二个和第三个问题是引入字母表示未知数,并用式子表示情境中的等量关系。这里把原来用文字描述的等量关系,转换成用含有字母的等式表达等量关系,这是一个抽象的过程,实际上这样处理降低了学生理解的难度。在此基础上,鼓励学生独立用含有字母的等式表示等量关系。第四个问题是观察上述表示等量关系所用的式子,抽象概括它们的共同特征,认识方程。教材通过学生对话,引导鼓励学生用x,y,z等不同字母去表示数,进一步熟悉列方程。
1.结合具体情境了解方程的意义,会用方程表示简单情境中的等量关系。
2.经历将现实问题抽象成等式与方程的过程,积累将等量关系符号化的活动经验。
3.在丰富的问题情境中感受生活中存在大量的等量关系,体验数学与生活的密切联系。
【重点】 了解方程的意义,会用方程表示简单情境中的等量关系。
【难点】 会用方程表示简单情境中的等量关系。
【教师准备】 PPT课件;曹冲称象动画故事片段
【学生准备】 题卡
当a=5时,求下列各式的值。
a+5= a×6=
20÷a= 18-a=
21+4a= a×8=
a÷5= a-4.1=
【参考答案】 10 30 4 13 41 40 1 0.9
方法一
创设情境,导入新课。
师:同学们知道曹冲称象的故事吗?(课件播放一段曹冲称象的动画)对于这个故事,你有什么想法?
预设 生:曹冲非常聪明,大象的质量和石头的质量是相等的,石头一共多重,大象就有多重。
师:同学们和曹冲一样聪明。如果我们用x表示每次称出的石头的质量,大象的质量为3吨,而称出的石头为6次的话,我们能用一个式子表示大象和石头之间的质量关系吗?
预设 生:6x=3。
师:说一说这个式子里含有什么,分别表示什么含义?
预设 生:这个式子里含有未知数x,还有等号,6x表示石头的质量,3表示大象的质量,它们是相等的。
师:有等号的式子叫等式。这个等式我们称之为方程,今天我们就一起来研究方程。(板书:方程)
[设计意图] 通过曹冲称象的故事引入课题,让学生在熟悉的故事中体会到等量关系,并会列出方程,为下面方程的学习提供素材,做好铺垫。
方法二
复习旧知,以旧引新。
师:生活中经常遇到各种各样的数,对吗?比如说,谁愿意告诉我你今年多大了?
预设 生:我今年10岁。
师:只知道自己的年龄还不行,谁知道妈妈今年多大了?
预设 生:我妈妈今年36岁。
师:自己的年龄,妈妈的年龄对你来说是已知数,那老师的年龄对你来说是——
生齐:未知数。
师:这节课我们要研究的知识中就含有未知数。(板书:方程)
[设计意图] 未知数和等式是方程的两个重要因素,这里通过学生身边的实例,让学生初步了解未知数,为下面理解方程的意义做铺垫。
1.出示教材第66页上方主题图。
师:你们从第一幅图中看到了什么?
预设 生:天平的右边有一个樱桃和一个2 g砝码,左边有一个10 g砝码,天平的指针在中间,说明天平是平衡的。
师追问:你觉得天平平衡说明了什么呢?
预设 生:天平平衡说明天平两边的质量相等。
师:谁能列出一个等式?
预设 生1:10 g=樱桃的质量+2 g。
生2:2 g=10 g-樱桃的质量。
师:如果用未知数x来表示樱桃的质量,那么可以列出一个什么样的等式呢?请同学们尝试写一下。
预设 生1:只要把等量关系中的樱桃质量换成x就可以了,我写的是:10=x+2。
生2:我也用x表示樱桃的质量:x+2=10。
师:一般情况下,我们习惯把x放在等号的左边。(师板书:x+2=10)
师:同学们想得都非常好,这个未知数除了用x表示,还可以用别的字母表示。
2.出示教材第66页主题图第二幅。四盒种子的质量一共是2000克。
师:你们从图中发现了什么?
预设 生:4盒种子的质量=2000克。
师:用y表示一盒种子的质量能根据这个相等关系写出一个等式吗?
预设 生:4y=2000。
师:请你给同学们介绍一下你的等式,先说字母表示什么意思?
预设 生:字母y表示每盒种子的质量,等号左面就是4盒种子的质量,等号右边是它们的总质量2000克。(师板书:4y=2000)
师:下面老师加大难度,敢接受挑战吗?
预设 生:敢!
3.出示第三幅情景图。
师:同学们在家里帮爸爸妈妈倒过开水吗?现在请同学们仔细观察老师倒开水的过程,找一找这里有相等关系吗?(师播放PPT动画实验:一壶水刚好倒满两个开水瓶和一个杯子。学生观察,然后出示教材第66页主题图第三幅)
师:你们找到其中的相等关系了吗?
预设 生:两个热水瓶的盛水量+200毫升=2000毫升。
师:如果用z表示每个热水瓶的盛水量,那么这个关系式可以怎样表示?
预设 生:2z+200=2000(师板书:2z+200=2000)。
4.理解方程的意义。
师:刚才我们通过三幅情景图得出了三个等式:(x+2=10 4y=2000 2z+200=2000)说一说这些等式有什么共同特点?
(1)同桌交流。
(2)全班交流。
师小结:这样含有未知数的等式叫方程。(板书)
师:自己读一读,你认为关键词是什么?
预设 生:含有、未知数、等式。
5.巩固知识。
(1)你会自己写一些方程吗?
学生写,师巡视。
(2)说一说方程必须具备哪几个条件。
【参考答案】 (1)x+25=100,7y=49,5z+100=200。
(2)一是必须是等式,二是必须含有未知数。
[设计意图] 通过知识点的集中练习和学生的合作探究,使学生对知识点有更加深刻的理解,并提高学生的探究和合作交流的能力。
1.完成教材第67页“练一练”第1题。
2.判断,下面式子哪些是方程?哪些不是方程?
x-3=10 x>5 2z-1=x 5b
【参考答案】 1.(1)x+20=70 (2)5x+4=44 (3)4x+6-3=87 (x-5)×4=2x (4)2b+15=100 2.x-3=10,2z-1=x是方程,x>5,5b不是方程。
师:本节课你们有什么收获?
预设 生1:我知道了含有未知数的等式是方程。
生2:我知道判断式子是不是方程要看两点:一是必须是等式,二是必须含有未知数。
生3:找到等量关系后,可以用字母表示未知数,列出方程。
……
师:关于方程还有很多有趣的内容,相信同学们还会以饱满的精神、积极的态度去探究方程的奥妙。
作业1
教材第67页“练一练”第2题,第3题。
作业2
【基础巩固】
1.(易错题)判断下面的式子,是方程的在括号里画“√”,不是方程的画“?”。
(1)3.6-x=0.8( )
(2)4.5+x>3.4( )
(3)5x-32=46( )
(4)x÷8.2=16.8( )
(5)0.2+8.8=9( )
(6)3x+4=15( )
2.(难点题)看图列方程。
(1)
(2)
3.(重点题)根据题意列方程。
(1)李天一共买了3个汉堡,每个x元,一共花了31.5元。
(2)儿子m岁,爸爸的年龄比儿子的3倍还多5岁,爸爸32岁。
【提升培优】
4.(情景题)根据题意列方程。
(1)
(2)妈妈买来苹果x个,第一天吃了5个,第二天吃了4个,还剩6个。
(3)甲地到乙地的距离是2000千米。一架飞机以每小时x千米的速度从甲地飞往乙地,飞行了2小时后,距乙地还有400千米。
(4)
【思维创新】
5.(探究题)某工厂有女职工x人,男职工316人,男职工人数比女职工人数的3倍还多4人,女职工有多少人?(只列方程)
【参考答案】
作业1:2.(1)x-5+8=15 (2)5x=95 3.(1)y-1 y+1 y-7 y+7 (2)方框中5个数之和是中间数的5倍 (3)23
作业2:1.(1)√ (2)? (3)√ (4)√ (5)? (6)√ 2.(1)3a=36 (2)2.5+6.5+x=12 3.(1)3x=31.5 (2)3m+5=32 4.(1)x+25=168 (2)x-5-4=6 (3)2x+400=2000 (4)x+5=153 5.3x+4=316
方程
含有未知数的等式叫做方程。
樱桃的质量+2 g=10 g x+2=10
每盒种子的质量×4=2000克 4y=2000
每个热水瓶盛水量×2+200毫升=2000毫升 2z+200=2000
《方程》是学生能够结合具体的简单情境中的等量关系的基础上,进行建构的有效的数学模型。有效的数学学习活动是建立在学生已有的生活和学习经验上,其教学内容的呈现应该是现实的、贴近生活的。本节课的教学目标是建立“方程”的概念,列出方程。
要体会方程是一种数学模型。有序地出示三个情境图,着重让学生找出并说出其中的数量关系,然后根据图中的数量关系列出相应的算式。“含有未知数的等式”描述了方程的外部特征,并不是本质特征。方程是用等式表示数量关系,它由已知数和未知数共同组成,表达的相等关系是现象,事件中最主要的是数量关系。
要让学生体会方程的本质特征。在教学过程中,通过观察天平的相等关系,感受方程与日常生活的联系,体会方程用数学符号抽象地表达了等量关系,水壶倒水的实验操作,让对方程的认识也从表面趋向本质。通过学生观察三个式子,发现相同点,学生能够清楚地抓住三个式子中都有字母和等式,注重学生表示等号的意义,加深学生对等式意义的理
解,从而概括出“像上面这样含有未知数的等式叫方程”。
在“看”“说”和“写”中体会式子。当方程的意义建立后,让学生观察一组式子判断它们是不是方程,体会方程与等式的关系,加深对方程意义的理解。再让学生自己写出一些方程,展示自己写的方程。
从课后作业来看,孩子们对于方程的含义有更深的认识,对于后面方程的计算也有所认识。
课件中天平由不平衡变得平衡了,那么课件中如果能做成动态演示的,不断让天平因为物品的变化,趋于平衡,会给学生直观的感受,更易于理解方程的意义,PPT没有“动起来”,这是本课的一个遗憾。
让天平走进课堂中来,通过几个简单的操作,不影响课堂内容的进度与密度,还让学生真正看到平衡与等式的关系,加强对方程意义的理解。课上的PPT课件在天平由不平衡到平衡的过程中,用动画显示,加强直观感受。
【练一练·67页】
1.(1)x+20=70 (2)5x+4=44 (3)4x+6-3=87 (x-5)×4=2x (4)2b+15=100 2.(1)x-5+8=15 (2)5x=95 3.(1)y-1 y+1 y-7 y+7 (2)方框中5个数之和是中间数的5倍 (3)23
看图列方程。
[名师点拨] 由图可知苹果有250千克,橘子有x千克,而且橘子比苹果少50千克,可以写出这样一个关系式:橘子的质量+50千克=苹果的质量。
[解答] x+50=250
方 程
早在三千六百多年前,埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代,大约两千年前的《九章算术》中就有了用一组方程解决问题的史料记载。一直到三百年前,法国数学家笛卡尔第一个提倡用x,y,z等字母表示未知数,才形成了现在的方程。
壶中原有多少酒
李白提壶去打酒,见店加一倍,见花喝一斗,三次遇见店和花,喝尽壶中酒,问:壶中原有多少酒?
【参考答案】 设壶中原有的酒为x斗。
分析:第一次遇见店和花:x+x-1
第二次遇见店和花:x+x-1+x+x-1-1
第三次遇见店和花:(x+x-1)+(x+x-1-1)+x+x-1+x+x-1-1-1
故列方程为:
(x+x-1)+(x+x-1-1)+[(x+x-1)+(x+x-1-1)]-1=0,
(2x-1)+(2x-2)+[(2x-1)+(2x-2)]-1=0,
4x-3+(4x-3)-1=0,
8x-7=0,
x=78。
4 解方程(一)
教材第68~69页内容。
为了帮助学生更好地理解解方程的算理,掌握解方程的方法,教材设计了三个问题:
第一个问题是从天平称重的具体情境中抽象出等式的性质(等式两边都加上或减去同一个数,等式仍然成立),进一步丰富学生抽象、概括的活动经验。为此教材设计了不同类型的天平:有砝码中不含字母的天平,也有砝码中含有字母的天平;有简单的形如“5+2=5+2”的天平,也有较为复杂的形如“x+5-5=15-5”的天平。
第二个问题是用天平类比解方程的过程,了解等式性质的作用。该问题包含三个内容:一是为了帮助学生更好地掌握解方程的方法,教材延续“天平”的方式,通过学生画图的形式,帮助学生理解运用等式性质解方程的算理;二是解方程的规范书写格式;三是培养学生对方程的解进行检验的习惯。
第三个问题是去情境化,直接用等式性质解方程。
1.通过观察天平称重的具体情境,类比等式变形的过程,抽象出等式的性质,即等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立;了解等式性质是解方程的依据。
2.会用等式性质解形如x+5=12的简单方程。
3.培养观察、分析概括的能力。
【重点】 能用等式的性质解简单的方程。
【难点】 推导等式的性质。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 题卡
用方程表示下面的等量关系。
(1)五(1)班“小小图书角”的书有324本,借出了x本,还剩178本。
(2)一辆公共汽车到站时有7人下车,4人上车,车上还剩20人。车上原有x人。
(3)一个足球65元,一个篮球比它贵x元,这个篮球72元。
【参考答案】 (1)324-x=178 (2)x-7+4=20 (3)65+x=72
方法一
创设情境,以情激趣。
师:同学们,你们玩过跷跷板吗?请看,(课件演示)两只松鼠在轻松的音乐声中玩着跷跷板。突然,来了一只大灰熊,占了其中一边,结果,跷跷板不动了。
师:你们有什么看法?
预设 生:玩跷跷板应该体重相当的才好玩。
……
师:说得真好!看来,同学们对生活中的事物观察得相当仔细。跷跷板就应该是体重相当或者相等的人才比较合适玩。今天,我们就是在类似于跷跷板的天平上做游戏,看看,我们能否从中发现什么?(板书课题:解方程(一))
[设计意图] 利用情境激发学生学习的兴趣,由生活中的游戏引出课题,让学生初步感悟数学源于生活。
方法二
情境引入。
师:小宇想知道一个苹果和一个梨的质量是不是一样的,你们能告诉他解决办法吗?
预设 生:在秤上称一下就知道了。
师:这个办法可以,仔细想想,还有没有更好的办法?
预设 生:用天平一次就可以称出来。
师:真好!天平在生活中的应用非常广泛,而且还进入了实验室。你们用天平做过实验吗?
预设 生:做过。
师:今天我们就来用天平做一些实验,你们能从实验中发现新的知识。(板书:解方程(一))
[设计意图] 通过天平的操作演示过程,形象地展开情境教学,从而得出结论,有利于学生的直观感受,并渗透数学知识相互联系的思想。
1.探究等式的性质。
(1)课件出示教材68页主题图。
让学生先观图自学,发现内在的奥秘,之后再同桌说一说,加深理解,再小组合作,分组汇报,相互补充,最后汇报交流。
预设 生1:四幅图上的八个天平都是平衡的。
生2:在第一幅图中,第一个天平左右两侧都放了5克砝码,天平平衡;第二个天平两侧都加上2克砝码,天平平衡。
师小结:观察第一幅图,天平的两侧都加上2克砝码,天平是平衡的,也就是等式两侧都加上2后,等式仍然成立。
生3:第二幅图第一个天平的左侧放了一个x克砝码,右侧放了一个10克砝码,天平平衡。
师:同学们能根据这个等量关系列出方程吗?
生4:x=10。
生5:天平两侧都加上5克砝码,天平仍然平衡。
师小结:观察第二幅图,在天平两侧都加上5克砝码,天平仍然平衡,也就是说在等式两边都加上5后,等式仍然成立。因此,我们得出结论:等式两边都加上同一个数,等式仍成立。
生6:观察第三幅图,第一个天平的两侧都放了12克砝码,天平平衡。第二个天平的两侧都拿掉了2克砝码,天平平衡。
师小结:观察第三幅图,在天平两侧都减去2克砝码之后,天平仍然平衡,也就是说等式的两边都减去2,等式仍然成立。
生7:观察第四幅图,我发现第一个天平的左侧放了(x+5)克的砝码,右侧放了(10+5)克的砝码,天平平衡。
生8:列成方程是:x+5=10+5。
生9:天平两侧都拿掉了5克砝码,但仍然平衡。
师小结:观察第四幅图,在天平两侧都减去5克砝码后,天平仍然平衡,也就是说在等式的两边都减去5后,等式仍然成立。因此可以得出结论:天平两侧都减去相同的质量,天平仍平衡,即等式两边都减去同一个数,等式仍然成立。
师:由上面的结论,大家能总结一下等式的性质吗?
学生思考,组内交流,教师指定小组回答,并进行评价。
师板书:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。
2.探究解方程的方法。
师:能用刚才发现的规律解出我们上一节课中列出的方程吗?(出示:x+2=10)
学生动手计算,教师指定学生上台板演,集体订正后板书:
x+2=10
解:x+2-2=10-2方程两边都减去2
x=8
检验:8+2=10
师:我们再来解一个方程。
课件出示方程,要求独立计算,学生在题卡上做,指名回答后板书:
y-7=12
解:y-7+7=12+7方程两边都加上7
y=19
检验:19-7=12
师:大家练一练。解方程:23+x=45。
学生独立完成,教师巡视指导,然后指名板演订正。
23+x=45
解:x+23-23=45-23
x=22
检验:23+22=45
[设计意图] 利用小组合作学习的形式,放手让学生自己发现、归纳、总结并验证规律,使学生的动手与思维能力得到提高。动手练习进行解题方法和书写格式的训练,巩固所学。
1.教材第69页“练一练”第2题。
学生独立完成,小组内订正。
2.教材第69页“练一练”第3题。
指名学生板演,其余学生独立完成,集体订正。
3.教材第69页“练一练”第4题。
学生独立在题卡中完成,小组内订正。
【参考答案】 2.y+20=80,y=80-20,y=60
3.x=21 x=16.1 4.x+4=19,x=19-4,x=15 x-62=486,x=486+62,x=548 y+60+50=180,y=180-110,y=70
师:你们有什么收获?
预设 生1:我们学习了等式性质:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。
生2:可以利用等式性质解方程。
生3:解方程是有固定格式的,解完要检验对不对。
……
作业1
教材第69页“练一练”第5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)含有( )的( )叫方程。
(2)等式两边都( )或( )同一个数,等式仍然成立。
(3)a2表示( )。
(4)要求x-8=19的解,方程两边需要同时( )。
2.(易错题)判断题。(对的打“√”,错的打“?”)
(1)方程都是等式,但等式不一定都是方程。 ( )
(2)方程x+15=26中,x的值是11。 ( )
(3)等式两边都减去一个数,等式仍然成立。 ( )
3.(重点题)求未知数x的值。
x-7.8=12.6
0.9+x=13.4
【提升培优】
4.(辨析题)找出下面各题错误的原因,把序号填在( )里,并改正。
①方程的一边加上一个数,同时另一边减去同一个数。
②方程只有一边减去一个数,另一边没变。
(1)x+19=23
解:x+19-19=23
x=23
( )改正:
(2)x-1.5=2.9
解:x-1.5+1.5=2.9-1.5
x=1.4
( )改正:
【思维创新】
5.(难点题)看图列方程,并求未知数x的值。
(1)
(2)
【参考答案】
作业1:5.(1)150米那一段的长度是(200-x)米 (2)500米那一段的长度是(200+y)米 (3)150+x=200 200+y=500
作业2:1.(1)未知数 等式 (2)加上 减去 (3)两个a相乘 (4)加上8 2.(1)√ (2)√ (3)? 3.x=20.4 x=12.5
4.(1)② x+19=23
解: x+19-19=23-19
x=4
(2)① x-1.5=2.9
解:x-1.5+1.5=2.9+1.5
x=4.4
5.(1)x+36.5=98.5 x=62 (2)68+x=114 x=46
解方程(一)
解方程这部分教学内容与旧教材相比有很大的差异,尤其是在方程的解法上,利用天平平衡的道理,即等式性质解方程,学生在理解和运用上都有一定的困难,而且本部分教学有些枯燥无味,于是创设情境,小组合作学习,力图课堂内容简单化,情境化。
本课开始一段时间重点在于引导学生了解“天平保持平衡的道理”,其实就是为理解“等式的基本性质”而做铺垫。
在练习题的安排上也做了精心的设计,当讲授完利用天平平衡的道理解方程后,“填空练习”式的解方程既升级加强理解算理,又降低难度,做到了为独立解题过渡,解起方程来就较容易了。从课堂的教学和课后的练习看,学生对解方程掌握得还不错。
第一次解方程,就应该注意规范的书写格式,要让学生成为习惯。本节课对格式的强调还需加强,练习中扎实掌握。学生的语言表达能力也要在教学中不断有计划地进行训练,有些同学心中有,却没勇气、没信心用简洁的语言说出来,要增强思维与语言能力的训练。
本节课我没敢尝试讲解解方程的旧方法,因为旧方法写法简单,要是先教学旧方法,再教学新方法,学生肯定是不习惯利用“等式基本性质”解题的,但是用等式基本性质的思路来解方程极易理解,而旧方法适用于所有题型,所以我准备等学生练熟了这个方法之后,可以尝试用四则运算之间的关系,即旧方法解题。
【练一练·69页】
2.y+20=80,y=80-20,y=60 3.x=21 x=16.1 4.x+4=19,x=19-4,x=15 x-62=486,x=486+62,x=548 y+60+50=180,y=180-110,y=70 5.(1)150米那一段的长度是(200-x)米 (2)500米那一段的长度是(200+y)米 (3)150+x=200 200+y=500
求x+0.6=1.2中未知数x的值。
[名师点拨] 根据等式性质,在等式两边同时减去0.6就可以求出未知数x的值。
[解答] x+0.6=1.2
x+0.6-0.6=1.2-0.6
x=0.6
奇怪的算式
怪物史莱克发现了四个奇怪的算式:A+B=A,C×E=C,C-D=E,F÷D=D,它们中间没有一个数字,只是知道A,B,C,D,E,F各代表数字0,1,2,3,4,5中的一个数字,请你帮他算一算,A,B,C,D,E,F各代表哪个数字?
【参考答案】 A=5,B=0,C=3,D=2,E=1,F=4
劳改犯解方程
1969年,中苏在珍宝岛发生的战斗震惊了全世界。战斗初期苏军以先进的T62坦克横行无阻,我军的各种反坦克炮都无法对它构成威胁。必须马上研制出新型穿甲弹、破甲弹,这一任务交给了某军事研究所。但是,新型的穿甲弹、破甲弹缺少有关数据,幸运的是得到了计算有关数据的方程式,当时所里的科研人员谁也解不了这个方程式。
叶剑英元帅得知这一情况后,向研究所推荐了一个叫刘光志的火炮专家,指示可向他讨教。那时的刘光志正在被管制劳动,除了历史问题外,刘光志当年还曾主持过希特勒德国克虏伯兵工厂的火炮设计。对此情况研究所犯了难,因为这道方程式关系到我军的科研动向,是绝密中的绝密。
研究所派出两位科研人员穿便装,找到刘光志,拿出那个方程式说:“我们是搞教育的,碰到一个难题,希望你能帮助解出来。”
刘光志老人看了看那方程式问:“这是干什么用的?”
“当然是教学用的。”
“教学根本用不上这种东西,你们拿走吧。”老人说完重新摸起了锄把。
“你,你怎么这种态度?”
“既然不相信我,还找我干什么?”
几天以后,两位科研人员身着军装,拎着两兜营养品,背着刘光志的监管人员摸进了老人的家门。他们对老人说:“首长批评了我们……”
刘光志拦住说:“别说了,都是我不对,我怕你们不来了,那可要误了国家大事……瞧,我已经算出来了,你们需要的几个数据都在这里。”
“您知道这个方程式是干什么用的?”
“研究破甲弹、穿甲弹用的。”
“简直神了,老先生,没有方程式,您是怎么算出这些数据的?”
“我这手脚不利索,可这儿还灵光。”老人用手敲敲脑袋。
很快,新型的穿甲弹、破甲弹研制出来了,把装有近25厘米厚特种钢板的苏军坦克打瘫了。
5 解方程(二)
教材第70~71页内容。
本节教材让学生再次经历从观察天平两边变化中抽象出等式性质的过程,进一步丰富学生抽象、概括的活动经验。因为有了“解方程(一)”的学习基础,教材在设计上充分尊重和利用学生已有的学习经验,直接提出第一个问题:“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式还成立吗?与同伴交流你的想法。”为学生创造了思考、猜想、验证、交流的机会。第二个问题是利用等式性质解方程。第三个问题是巩固利用等式性质解方程的技能。这三个问题与上节课是同构的。教材增加了一个问题,即第四个问题,针对解方程中常见的错误进行甄别,增进对解方程的过程与方法的理解。
1.通过观察天平称重的具体情境,类比等式变形的过程,抽象出等式的性质,即等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立;进一步了解等式性质是解方程的依据。
2.会用等式性质解形如2x=10的简单方程。
3.引导学生自主探究,培养他们用已有知识解决新问题的能力。
【重点】 探索等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立的规律及解形如2x=10的简单方程。
【难点】 探索等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立的规律。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 每组一个天平,少量砝码;题卡
解方程。
7.8+x=10.6 x-12.8=9.2
x-4.3=2.1 5.6+x=8.9
【参考答案】 x=2.8 x=22 x=6.4 x=3.3
方法一
复习旧知,猜测新知。
师:上节课我们学习了等式的一个性质,你能说出一个等式吗?
预设 生:20+x=78,
师:能不能让等式两边变化一下,但要使等式仍然成立?
预设 生:20+x-20=78-20(等式两边同时加上或减去同一个数)
结合学生的回答,师板书:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。
师:上节课时,大家已经知道等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。请大家猜想,等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式还成立吗?把你的想法和同伴交流。
(板书课题:解方程(二))
[设计意图] 在天平游戏的学习基础上,提出本节课的问题:等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式还能成立吗?让学生思考、猜想,交流各自的想法。
方法二
谈话导入,开门见山。
师:上节课我们学习了“等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立”。今天,我们接着探讨等式的性质。我们要在天平上做游戏,通过游戏你们能发现一些什么规律呢?(板书课题:解方程(二))
[设计意图] 看门见山,直接指出学习的内容,针对性强,易于学生对中心问题的思考和探究。为后面的学习节省了时间,提供了自由学习和展示的空间。
一、互动解疑。
1.推想。
师:等式两边都乘同一个数,等式还成立吗?
预设 生1:成立。
生2:不成立。
2.验证。
师:既然我们有两种不同的答案,那我们来做个实验验证一下好吗?
请以小组为单位拿出天平,想办法做实验验证自己的猜想。
预设小组汇报:
预设 生1:我们小组在左侧放的砝码的质量用x表示,右侧放5克的砝码,天平两边平衡。
生2:用式子表示:x=5。
生3:然后我们在左侧加两个x克砝码,右侧也加两个 5 克砝码,发现天平仍然平衡,用算式表示为:3x=3×5。
师:其他小组有什么补充吗?
生4:我们发现在天平左侧加六个x克砝码,右侧也加六个 5 克砝码,天平还会平衡。
师:通过你们的实验和所列的算式,谁能用一句话概括出规律呢?
预设 生:发现等式两边都乘同一个数,等式仍然成立。
3.拓展。
师:如果左侧放上 2 个x克的砝码,右侧放上 2个10克的砝码,这时天平的指针在中间,说明什么?你们能写出一个等式吗?
预设 生:天平平衡,2x=20。
师:如果左侧拿走一个x克的砝码,右侧拿走一个10克的砝码,这时天平的指针在中间,又说明什么?你们能写出一个等式吗?
预设 生:天平平衡,2x÷2=20÷2。
师:通过上面的游戏你们发现了什么?
预设 生:等式两边都除以同一个数,等式仍然成立。
师:有没有同学想过如果两边同时除以0,行不行?
预设 生1:两边同时除以0,也行。因为等式两边都乘同一个数或者除以同一个数,等式仍然成立。
生2:不对,我们知道0作除数没有意义,不能除以0。
生3:不行,用天平也无法完成这个实验。
师:那我们应该怎样修改呢?
预设 生:等式两边都除以同一个不为 0 的数,等式仍然成立。
4.小结规律。
师:刚才我们通过实验发现两个规律,谁能把这两个规律概括为一句话呢?
预设 生:等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。
[设计意图] 推导等式性质的过程是教学重难点,给学生天平让他们结合指令亲手实践操作,而且还可以反方向操作,用天平实验来验证大家的猜想。
二、实践运用。
1.师:我们知道等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。你能利用这个性质解方程 4y=2000 吗?
师:怎么求出方程中未知数y的值呢?
学生独立思考,然后尝试解方程。
反馈时突出可以根据等式的性质把方程两边都除以 4,使左边只剩下y的方法。
师:(板书)最后要记得验证。
解:4y÷4=2000÷4
y=500
2.解方程:x÷3=9 7y=28
(学生独立练习,集体订正)
解:x÷3×3=9×3 解:7y÷7=28÷7
x=27 y=4
3.巩固练习。
师:这有两道方程,同学们能正确解方程吗?
学生独立做,教师巡视,发现有错题作为案例讨论,学生真实出现的错误,更有说服力。
预设错例:
师:同学们发现第一个方程的解法有什么问题吗?
预设 生:等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍成立,但是第一个方程左边加上19,右边却是减去19,这是错误的。应该同时加上19,等式才成立。
师:第二个方程有什么问题吗?
预设 生:首先没有解字和冒号,其次在第二步漏掉了未知数x。
师:那么修改之后应该是怎样的呢?
(指名学生板演,集体交流。)
教材第71页“练一练”第2题,第5题。
【参考答案】 2.7x=35,7x÷7=35÷7,x=5 x-5=8,x-5+5=8+5,x=13 5.解:(1)设这个正方形花坛的边长是x米。4x=24,x=6。 (2)设长为x米,(x+4)×2=24,x+4=24÷2,x+4-4=12-4,x=8。
师:通过这节课的学习,你们掌握了哪些新知识?
预设 生1:我们不仅知道等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立,还知道了等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。
生2:我能根据等式性质来解方程。
生3:解方程时注意格式,比如先写解、冒号,再求未知数x。
作业1
教材第71页“练一练”第3题,第6题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)解方程。
4x=24 12x=360
x÷12=94 m÷6=1.5
x÷7=14 24n=120
2.(重点题)看图列方程,并求出未知数x的值。
(1)
(2)
3.(易错题)把下面的方程与它的解用线连起来。
8x=0 x=4
x÷4=1 x=5
2x=10 x=0
【提升培优】
4.(难点题)爷爷今年64岁,小乐乐今年x岁,今年爷爷的年龄是小乐乐年龄的8倍,小乐乐今年几岁?(用方程解)
5.(难点题)小明买3本大算草,一本大算草x元,他给了售货员20元,找回11元,每本大算草多少元?(用方程解)
【思维创新】
6.(探究题)根据图a和图b,可以判断图c中的天平( )端下沉(画出相应图形)。
图a
图b
图c
【参考答案】
作业1:3.x=26 x=210 x=94 x=61 x=364 x=0 6.(1)12×2=24(米) 12×4=48(米) 12x米 (2)解:设此处斜坡最高x米。12x=36,12x÷12=36÷12,x=3。
作业2:1.x=6 x=30 x=1128 m=9 x=98 n=5 2.(1)3x=36 x=12 (2)18x=54 x=3 3. 4.8x=64 x=8 小乐乐今年8岁 5.20-11=9 3x=9 x=3 每本大算草3元 6.△
解方程(二)
等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为 0 的数),等式仍然成立。
教材的设计打破了传统的教学方法, 在以前旧版教材中,学习解方程之前首先要求学生掌握加、减、乘、除法各部分之间的关系,然后利用关系来求出方程中的未知数。而北师大版教材则是借用天平游戏使学生首先感悟“等式”,知道“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立”这个规律,这样才能从真正意义上很好地揭示方程的意义,进而学会解方程,还能使之与中学的移项解方程建立起联系。
原来教学由于我个人比较偏好于传统的教学方法,在教学的过程中没有特别强调“等式”与由等式引申出来的规律,从而也就影响了学生没能很好地理解等式的性质,所以大部分的学生在解方程的时候,还是运用了加、减法各部分间的关系来计算,只有极个别的学生懂得运用等式的性质来解决问题。在这次实验教学的过程中,我深入了解新教材的含义——方程是一个等式、是一个数学模型、是抽象的,而天平是一个具体的东西,利用天平这样的事物原形来揭示等式的性质,把抽象的解方程的过程用形象化的方式表现出来,使学生更好地理解解方程的过程是一个等式的恒等变形,并能站在“学生是学习的主人”和“教师是学习的组织者、引导者与合作者”的这一角度上,为学生创设学习此课的情境,提供动手操作、实践以及小组合作、讨论的机会。在教学的整个过程中,重点突出了“等式”与“等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立”这个规律,不断对学生进行潜移默化的渗透,促使绝大部分学生都能灵活地运用此规律来解方程。
课上仍然存在着许多不足,比如:在验证猜想时,应从一个具体的等式抽象到未知的等式,学生容易接受,而我是直接用抽象的等式验证的,学生不太容易接受。还有在解方程时,算理讲得不太清楚,学生在解方程时,有部分学困生学起来有困难。
在今后的教学中,一定要吃透教材,认真钻研教材,才能讲出优质课。
【练一练·71页】
2.7x=35,7x÷7=35÷7,x=5 x-5=8,x-5+5=8+5,x=13 3.x=26 x=210 x=94 x=61 x=364 x=0 4.30x=600,x=20 5.解:(1)设这个正方形花坛的边长是x米。4x=24,x=6。 (2)设长为x米。(x+4)×2=24,x+4=24÷2,x+4-4=12-4,x=8。 6.(1)12×2=24(米) 12×4=48(米) 12x米 (2)解:设此处斜坡最高x米。12x=36,12x÷12=36÷12,x=3。
解方程:7x=147。
[名师点拨] 此题可依据等式性质直接求未知数x的值,即在方程两边都除以7。
[解答] 7x=147
7x÷7=147÷7
x=21
【知识拓展】 利用等式性质,解形如“ax=b”或“x÷a=b”(a≠0)这样的方程,步骤如下:
ax=b x÷a=b
解:ax÷a=b÷a 解:x÷a×a=b×a
x=b÷a x=b×a
一个故事成就的数学家
陈景润是一位家喻户晓的数学家,在攻克哥德巴赫猜想方面做出了重大贡献,创立了著名的“陈氏定理”,所以有许多人亲切地称他为“数学王子”。但有谁会想到,他的成就源于一个故事。
勤奋的陈景润考上了福州英华书院,当时正值抗日战争时期,清华大学航空工程系主任留英博士沈元教授回福建奔丧,不想因战事滞留家乡。几所大学得知消息后,都想邀请沈教授前去讲学,但他都一一谢绝了。由于他曾是英华的学生,为了报答母校,他来到了这所中学为同学们讲授数学课。
一天,沈元老师在数学课上给大家讲了一个故事:200年前,有一个德国数学家发现了一个有趣的现象:6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,28=5+23,100=11+89。每个大于4的偶数都可以表示为两个素数之和。因为这个结论并没有得到证明,所以还是一个猜想。大数学家欧拉说过:“虽然我不能证明它,但是我确信这个结论是正确的。它像一个美丽的光环,在我们不远的前方闪耀着炫目的光辉……”陈景润瞪着眼睛,听得入神。
从此,陈景润对这个奇妙的问题产生了浓厚的兴趣。课余时间他最爱到图书馆,不仅读中学辅导书,那些大学的数理化课程教材他也如饥似渴地阅读,因此获得了“书呆子”的雅号。
兴趣是第一老师,正是这样的数学故事,引发了陈景润的兴趣,从而成就了一位伟大的数学家。
等式与等式的性质
表示相等关系的式子叫等式。
等式性质有三:
性质1:等式两边同时加上或减去同一个数,等式仍然成立。
若a=b,
则有a+c=b+c。
性质2:等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍成立。
若a=b,
则有a·c=b·c(c≠0),
或a÷c=b÷c(c≠0)。
性质3:等式两边同时乘方(或开方),等式仍成立。
若a=b>0,
则有ac=bc,或ca=cb。
6 猜数游戏
教材第72~73页内容。
为了激发学生学习兴趣,激活学生已有的认知经验,教材设计了猜数游戏的三个问题。
第一个问题是理解猜数游戏的游戏规则,探索猜数游戏中的数学方法,并体会“相等”的意义。教材设计了三幅连环图,呈现了列方程解决问题的主要步骤。第一幅图是找到等量关系“淘气想的数×2+20=80”,这是列方程解决问题的关键一步;第二幅图将未知数设为x,根据等量关系列出方程“2x+20=80”;第三幅图是呈现列方程与解方程的过程,并介绍了解方程检验的方法,即把未知数的值代入原方程,看等式是否成立,使学生逐步养成检验的习惯。
第二个问题是用列方程和解方程的方法解开猜数游戏之谜,让学生通过玩猜数游戏,形成、发展、巩固列方程和解方程的基本技能。因为问题来自学生,所以学生会获得更多的成功体验,并进一步体会到方程的价值。
第三个问题是与同伴一起玩猜数游戏,进一步体会“相等”的意义。
教学时,教师可以和学生一起做猜数游戏,激发学生的好奇心,引导学生列出方程,并进行解方程的教学,重点是进行用等式性质解方程的指导,要让学生说说怎么解,依据又是什么。这里的检验也是以口头检验为主,关键是让学生逐步形成检验的意识和习惯。
1.通过猜数游戏,会用等式性质解形如“ax±b=c(a≠0)”这样的方程。
2.会用方程解决简单的实际问题,进一步体会方程的思想方法。
3.在解决问题中增强数学的应用意识,激发学习兴趣。
【重点】 利用等式性质解形如“ax±b=c(a≠0)”这样的方程并会简单应用。
【难点】 利用等式的性质解方程。
【教师准备】 PPT课件
【学生准备】 练习本
1.口算出下列未知数的值。
x-19=2 16+x=30
3x=27 x÷7=8
2.根据等式的性质可以解方程,请你说一说等式性质。
【参考答案】 1.x=21 x=14 x=9 x=56 2.(1)等式两边都加上(或减去)同一个数,等式仍然成立。(2)等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),等式仍然成立。
[设计意图] 复习等式性质