2020-2021初中数学北师版七年级下册同步课件1.5 平方差公式（第1课时 23张）

1.5 平方差公式（第1课时）
北师大版 数学 七年级 下册
王敏同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王敏就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你好像是个神童，怎么算得这么快？”
王敏同学说：“过奖了，我利用了在数学上刚学过的一个公式.”
你知道王敏同学用的是一个什么样的公式吗？
导入新知
1. 了解平方差公式的推导过程，掌握平方差公式.
2. 能利用平方差公式进行计算.
素养目标
3. 培养学生观察能力和符号意识.
计算下列各题：
（1）( x+2 ) ( x-2 )； （2）( 1+ 3a ) (1- 3a )；
（3）( x+5y) ( x-5y )；（4）( 2y+z ) (2y- z )．
（1）x2 -4 ；
探究新知
知识点
平方差公式
思考：1、观察算式结构，你发现了什么规律？
2、计算结果后，你又发现了什么规律？
（2）1- 9a2；
（3）x2-25y 2；
（4）4y2 - z2 ．
(a+b)(a?b)=
a2?b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
公式变形:
1.（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.（b + a )( -b + a ) = a2 - b2
平方差公式
探究新知
平方差公式
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相同为a
相反为b，-b
适当交换
合理加括号
探究新知
右边是相同项的平方减去相反项的平方.
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：

a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
探究新知
练一练：口答下列各题：
(1)(-a+b)(a+b)=_________.
(2)(a-b)(b+a)= __________.
(3)(-a-b)(-a+b)= ________.
(4)(a-b)(-a-b)= _________.
a2-b2
a2-b2
b2-a2
b2-a2
探究新知
探究新知
利用平方差公式计算：（1）( 5+ 6x) ( 5-6x)；
（2）( x-2y) ( x+2y)； （3）(- m+n) (-m-n)
例1
解：（1）( 5 + 6 x) ( 5- 6 x) = 52 - ( 6 x )2
（2）( x - 2y ) ( x + 2 y ) = x2 - ( 2 y )2
（3）( -m+n ) ( -m-n ) = ( - m )2 - n2
素养考点 1
利用平方差公式进行运算
= 25- 36x2；
= x2 - 4y2；
= m2 -n2．
方法总结
探究新知
应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
利用平方差公式计算：
(1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)；
(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．
解：(1)原式=(3x)2-52=9x2-25；
(2)原式=(-2a)2-b2=4a2-b2；
(3)原式=(-7m)2-(8n)2=49m2-64n2；
巩固练习
变式训练
探究新知
利用平方差公式计算：
（1） ；
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )．
例2
解：
（1）
（2）( ab + 8 ) ( ab - 8 )= (ab)2- 64
= a2b2- 64 ．
(2)(a+3)(a2+9)(a-3).
计算：
巩固练习
变式训练
(2)原式=(a+3)(a-3)(a2+9)
=(a2-9)(a2+9)
=(a2)2-92
=a4-81.
解：(1)
例3 先化简，再求值：(2x-y)(y+2x)-(2y+x)(2y-x)，其中x=1，y=2.
解：原式＝4x2-y2-(4y2-x2)
原式＝5×12－5×22＝－15.
＝4x2-y2-4y2+x2
＝5x2-5y2.
当x=1，y=2时，
探究新知
利用平方差公式进行化简求值
素养考点 2
先化简,再求值:(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1),其中x=2.
巩固练习
解：(3-x)(3+x)+2(x+1)(x-1)
=9-x2+2(x2-1)
=9-x2+2x2-2
=7+x2
当x=2时，
原式=7+22
=7+4
=11
变式训练
1.（2020?杭州）（1+y）（1﹣y）＝（　　）
A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2
2.（2020?临沂）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝ ．
C
-1
连接中考
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
C
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（　　）
A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+1
A
3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．
10
基础巩固题
课堂检测
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2-9；
=4x4－y2.
解：原式=(2a+3)(2a-3)
=a2-9b2 ；
=(2a)2-32
解：原式=(-2x2 )2－y2
解：原式=(a)2-(3b)2
（2）(3+2a)(-3+2a)；
（3）(-2x2-y)(-2x2+y).
4.利用平方差公式计算：
基础巩固题
课堂检测
先化简，再求值：(x+1)(x-1)＋x2(1-x)+x3，其中x＝2.
解：原式=x2-1+x2-x3+x3
=2x2-1.
将x＝2代入上式，
原式=2×22-1=7.
能力提升题
课堂检测
已知x≠1，计算：(1+x)(1-x)＝1-x2，(1-x)(1+x+x2)＝1-x3，(1-x)(1+x+x2+x3)＝1-x4
(1)观察以上各式并猜想：(1-x)(1+x+x2+…+xn)＝________；(n为正整数)
(2)根据你的猜想计算：
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)＝________；
②2+22+23+…+2n＝________(n为正整数)；
③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)＝________；
1-xn+1
-63
2n+1-2　
x100-1　
课堂检测
拓广探索题
(3)通过以上规律请你进行下面的探索：
①(a-b)(a+b)＝________；
②(a-b)(a2+ab+b2)＝________；
③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)＝________．
a2-b2　
a3-b3　
a4-b4　
课堂检测
平方差公式
内容
注意
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习