北师大版七下 1.6 完全平方公式 课件（21张）

第一章 整式的运算
1.6.1 完全平方公式
回顾与思考
公式的结构特征:
左边是
a2 ? b2
平方差公式
回顾 & 思考
(a+b)(a?b)=
两数和与这两数差的积.
右边是
这两数的平方差.
导
练习：
(x + 2y)(x – 2y) =__________________
(–x + y)(–x – y)= __________________
3.(mn – 3)(mn + 3)= __________________
4.(–2x+y)(2x+y)= __________________
x2 –4y2
x2 –y2
m2n2 –9
y2 –4x2
学
一块边长为a米的正方形实验田，
因需要将其边长增加b米。形成四块实验
田，以种植不同的新品种(如图）.
a
a
b
b
你能用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较吗？
交流合作，探索发现

a

a
b
b
法一
直
接
求
总面积
(a+b)2
间
接
求
法二
总面积
a2+
ab+
ab+
b2.
(a+b)2=
a2+
ab
+
b2.
你发现了什么?
探索:
2
等式:
a2
ab
ab
b2
完全平方公式
(1) 你能用多项式的乘法法则来 说明它成立吗?
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2；
(a+b)2 =
推证
(a+b)
(a+b)
=a2+ab+
ab+b2
=a2+2ab+ b2
?
(a?b)2=
?
动脑筋
利用两数和的
平方
(a?b)2=
[a+(?b)]2
= 2 + + 2
a
2a
=
a2
2ab
?
b2.
(2)
某同学写出了如下的算式:
(a?b)2=
[a+(?b)]2
他是怎么想的?
推证
(?b)
(?b)
+
完全平方公式
想一想
(a+b)2=a2+2ab+b2；
a2 ?2ab+b2.
?
(a?b)2=
?
动脑筋
结构特征:
左边是
的平方;
右边是
两数和
(差)
两数的平方和
加上
(减去)
这两数乘积的两倍.
用自己的语言叙述上面的公式
语言表述:
两数和 的平方
等于这两数的平方和
加上 这两数乘积的两倍.
(差)
(减去)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a?b)2=
a2 ?2ab+b2
(a?b)2=
a2 ?2ab+b2
口诀
首平方，尾平方，
两倍乘积放中央，
同加异减看前方。
(a+b)2=
a2 +2ab+b2
注意：
1.完全平方公式和平方差公式的区别！
2. (a + b )2≠a2 + b2
(a – b )2 ≠a2 - b2
3.完全平方公式的几何意义？
a
a
b
b
a2
ab
ab
b2
(a+b)2 =
a?b
a?b
a
a
ab
b(a?b)
b
b
(a?b)2
a2+2ab+b2
即 (a?b)2 = a2?2ab+b2
(a?b)2 = a 2? a b ? b(a ?b)
例题解析(1)
例题
学一学
?
例1利用完全平方公式计算（1）(2x?3)2
注意
?
先明确用哪个完全平方公式
再把计算的式子与完全平方公式对照, 明确哪个是 a , 哪个是 b.
=4x2
=( 2x )2 ? 2 ? 2x ? 3 +32
?
12x
+
9 ;
解：(1) (2x?3)2

( a ? b )2= a2 ?2 a b + b2
( 2 x ?3 )2
=
(2x)2
?2·2x· 3
+ 32
第一数
2x
4x2
2x
的平方,
( )2
?
减去
2x
第一数
与第二数
?
2x
3
?
乘积
的2倍,
?
2
加上
+
第二数
3
的平方.
2
=
?
12x
+
9 ;
解：(1) (2x ?3)2
做题时要边念边写：
=
3
（2）（4x + 5y )2
= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2
=16x2+40xy+25y2
(3) (mn?a )2
= (mn)2?2·mn·a+a2
= m2n2 ? 2mna+a2
练一练（一）
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.
解:
1）(2a?1)2 =(2a)2?2?2a?1+1=4a2 ?4a+1;
2）(2a+1)2 =(2a)2+2?2a?1 +1= 4a2 +4a+1;
3）(?a?1)2 =(?a)2?2?(?a)?1+12 =a2+2a+1;
(二)
练一练 二
一. 填空:
( 2x + y)2 = 4x2 + ( _____ ) + y2
(x ? _____)2 = x2 – (_____) + 25y2
(___? b )2 = 9 a2 ?(___ ) + (___)2
4 x y
5 y
10 x y
3 a
b
6 a b
x2 + x +(___) = ( x +____)2
5. (a ? b )2 = a2 + ( ) + (___)
?ab
b2
(1) ( x + 2y)2
（2）( n – 3m)2
（3） (2xy – Z)2
（4）（?3x2+2y )2
2、计算：
本节课你的收获是什么？
本节课你学到了什么?
注意完全平方公式和平方差公式不同：
完全平方公式的结果 是三项，
即 (a + b)2＝a2 + 2ab + b2;
(a ? b)2＝a2 ? 2ab + b2
平方差公式的结果 是两项，
即 (a+b)(a?b)＝a2?b2.
形式不同．
结果不同：
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；首项、末项被平方时要注意添括号,是运用完全平方公式的关键.
纠 错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a?1)2＝2a2?2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
(3) (?a?1)2＝?a2?2a?1.
解: (1)
第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ;
应改为: (2a?1)2＝ (2a)2?2?2a?1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项);
应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2?2a?1 +1;
(3) 第一数平方未添括号,
第一数与第二数乘积的2倍 错了符号;
第二数的平方 这一项错了符号;
应改为: (?a?1)2＝(?a)2?2?(?a )?1+12;
拓 展 练 习
下列等式是否成立? 说明理由．
(1) (?4a+1)2=(1?4a)2；
(2) (?4a?1)2=(4a+1)2；
(3) (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)(4a?1)＝(4a?1)2；
(4) (4a?1)(?1?4a)＝(4a?1)(4a+1).
(1) 由加法交换律 ?4a+l＝l?4a。
成立
理由:
(2) ∵ ?4a?1＝?(4a+1)，
成立
∴(?4a?1)2＝[?(4a+1)]2＝(4a+1)2.
(3) ∵ (1?4a)＝?(?1+4a)
不成立．
即 (1?4a)＝?(4a?1)
＝?(4a?1)，
∴ (4a?1)(1?4a)＝(4a?1)·[?(4a?1)]
＝?(4a?1)(4a?1)＝?(4a?1)2。
不成立．
(4) 右边应为:
?(4a?1)(4a+1)。