北师大版七下 1.6 完全平方公式 课件（26张）

完全平方公式
（x ＋ 3)( x＋3）
=x2
＋3x
＋3X
＋9
=x2
＋6x
多项式与多项式是如何相乘的？
＋9
(a+b)(m+n)
=am
+an
+bm
+bn
回顾旧知———平方差公式
( a + b )( a – b )=a2 - b2
那么(a+b)(a+b)和(a-b)(a-b)是否
也能用一个公式来表示呢？
(2x2+y)(-2x2+y)
探究：计算下列各式,你能发现什么规律?
(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______
(m+2) 2 = _________;
(n+3)2= _________;
(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________;
(m-2)2 = __________.
(n-3)2 = __________.
P2+2p+1
m2+4m+4
P2-2p+1
m2-4m+4
猜想 (a+b)2=
(a -b)2=
a2+2ab+b2
a2 - 2ab+b2
n2+6n+9
n2-6n+9
你能证明你的猜想吗？
动手算一算
(a+b)2=

(a -b)2=
a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
a2-ab-ab+b2
=a2 -2ab+b2
你的猜想正确吗？
真棒！
下面就让我们一起来给这个公式起个名字！
一般地,我们有
即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
公式特点：
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式；
2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
间的符号相同。
首平方，尾平方，积的2倍在中央
做一做:用两数和的完全平方公式计算(填空):
(a+1)2=( )2+2( )( )+( )2
=( )
(2)(2a+3b)2=( )2+2( )( )+( )2
=( )
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
a
a
1
1
2a
2a
3b
3b
做一做:用两数差的完全平方公式计算(填空):
(a-1)2=( )2+2( )( )+( )2
=( )
(2) (2a-5b)2=( )2+2( )( )+( )2
=( )
a
a
-1
-1
2a
2a
-5b
-5b
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2
例1.运用完全平方公计算⑴(x+2y)2,⑵(x-2y)2
解: ⑴ (x+2y)2=
( a+ b)2=a2+2 a b+ b2
=x2+4xy+4y2
⑵(x - 2y )2=
(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2
x2 - 2· x· 2y +( 2y )2
x2+ 2·x·2y + (2y)2
=x2 - 4xy+4y2
尝试应用
1.运用完全平方公式计算:
(1) (4m+n)2; (2) (y- )2.
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2?(4m)?n+n2
= 16m2+8mn +n2;
(2) (y - )2 = y2 - 2?y? + ( )2

= y2-y +
2. 运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ; (2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2
= 1002 +2Χ100Χ2 + 22
= 10 000 +400 +4
= 10 404 .
(2) 992 = (100 -1)2
= 1002 -2Χ100Χ1+12
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
1.下列各式中与(x+1)?相等的是( )
A.x?+1 B.x?+2x+1 C.x?-2x+1 D.x?-1
2.下列各式中是完全平方式的是（ ）
A.x?+xy+y?B.y?+2y+2 C.x?+xy+y? D.m?-2m+1
3.下列计算中正确的是（ ）
A. (x+2)?=x?+2x+4
B. (2x-y)?=4x?-2xy+y?
C. ( ? x-y)?= ? x?-xy+y?
D. (a+b)?=a?+b?
验收成果
B
D
C
4.计算：
(1).(y-6)? (2).(-1+?y)?
(3).101? (4).(x+3)(x-3)(x?-9)
4题答案：
(1) (y-6)?=y?-2y×6+6?=y?-12y+36
(2) (-1+?y) ?=(-1) ?+2×(-1)(?y)+ (?y) ?
=1-y+?y ?
(3) 101 ?=(100+1)?=100?+2×100×1+1?
=10000+200+1=10201
(4) (x+3)(x-3)(x?-9)
=(x?-9) (x?-9)
= (x?-9) ?
=x4-2x?×9+9?
=x4-18x?+81
a
已知a+b=5,ab=4,求a2+b2的值，提示[利用公式(a+b)2=a2+2ab+b2]
又∵a+b=5,ab=4,∴(a+b)2=25；2ab=8
解 ∵(a+b)2=a2+2ab+b2
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
∴a2+b2=(a+b)2-2ab
=25-8
=17
灵活应用完全平方公式
完 全 平 方 公 式
一块边长为a米的正方形实验田，
做一做
图1—6
a
因需要将其边长增加 b 米。
形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).
用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
a
b
b
法一
直
接
求
总面积=
(a+b) ；
2
法二
间
接
求
总面积=
a2+
ab+
ab+
b2.
(a+b)2=
a2+
ab
+
b2.
你发现了什么?
探索:
2
公式:
乘法公式：
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(a+b)(a-b)=a2-b2
——平方差公式
1.当a=-b时
2.当a=b时
(a+b) 2=a2+2ab+b2
(a-b) 2=a2 - 2ab+b2
——完全平方公式
本节课你的收获是什么？
小结
本节课你学到了什么?
注意完全平方公式和平方差公式不同：
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果 是三项，
即 (a ?b)2＝a2 ?2ab+b2;
平方差公式的结果 是两项，
即 (a+b)(a?b)＝a2?b2.
有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式
的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号, 是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键
b
b
a
a
(a+b)?
a?
b?
ab
ab
+
+
完全平方和公式：
完全平方公式 的图形理解
a
a
b
b
(a-b)?
a?
ab
ab
b?
b
b
完全平方差公式：
完全平方公式 的图形理解
ab
a
a
b
b
(a-b)?
a?
ab
ab
b?
b
b
完全平方差公式：
完全平方公式 的图形理解
a
b
a
b
完全平方公式（二）

有一位老人非
常喜欢孩子，
每当有孩子到
他家做客时，
老人都要拿出
糖果招待他们，
来一个孩子，
老人就给这个
孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……
（1） 第一天有a个男孩去了老人家，老人一共 给了这些孩子多少块糖？
（2） 第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3） 第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
a2块
b2块
(a+b)2块
(a+b)2- a2- b2=2ab
第3天多
（2） 第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3） 第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
例2. 利用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）1972
解： （1）1022=（ 100+2 ）2
= 1002+2×100×2+22
（2）1972=（200-3）2
=2002-2×200×3+32
100+2
100+2
200-3
200-3
今天我们学到了什么?大家一起来说说吧!