5.3.2 角平分线的性质及画法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优特训+中考链接）

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北师大版2020﹣2021学年度下学期七年级数学下册第五章生活中的轴对称
5.3
简单的轴对称图形
第三课时
角平分线的性质及画法
【知识清单】
角平分线的性质：
1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴；
2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
【经典例题】
例题1、用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是(　)
A．SAS
B．ASA
C．SSS
D．AAS
【考点】全等三角形的判定；作图—基本作图．
【分析】连接DC，EC，根据SSS证△ODC≌△OEC，即可推出答案．
【解答】连接DC，EC，
在△ODC和△OEC中
∵，
∴△ODC≌△OEC(SSS)，
∴∠AOC=∠BOC，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，培养学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
例题2、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=11，DE=4，求△BCE的面积
【考点】角平分线的性质．?
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质定理
得到FE=DE=4，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】过点E，作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=4，
∴△BCE的面积=BC·EF=×11×4=22．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【夯实基础】
1．已知OP是∠MON的平分线，且点A在OP上，下图中线段AB和AC一定相等的是(
)
2．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB．下确定P点的
方法正确的是(?
)
A．点P为∠A、∠B两角平分线的交点　
B．点P为AC、AB两边上的高的交点
C．点P为∠A的平分线与边AB的垂直平分线的交点
D．点P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，垂足为E，
则下列结论错误的是(
)
A．DE=DC
B．∠ADE=∠ABC
C．BE=BC
D．∠ADE=∠ABD
4．如图，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，交点为P，PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，PD=5，
BC=18.则△PBC
的面积为
(
)
?A．22.5?
B．32.5
?C．35
?D．45
5．如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选择的位置共有_____
个．
6．点P是△ABC三个角的平分线的交点，若AB=30cm，BC=50
cm，AC=60
cm，
则S△PAB︰S△PBC︰S△PAC=
.
7．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，
连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC
两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．
(不写作法，保留作图痕迹)
作图，如图所示：
8．如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于96，AB+BC=48，
求
DE的长．
9．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．
(1)PC和PD有怎样的数量关系是________；
(2)请你证明(1)得出的结论．
【提优特训】
10．如图所示，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是(
)
(将①②③重新排列)①作射线OC；②以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于D、E；③分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C
.
A．①②③
B．③②①
C．②①③
D．②③①
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC，交BC于D，过点D作DE⊥AB于点E，若AB=17，则△DEB的周长为(
)
A．8.5
B．17
C．34
D．51
12．如图所示，△ABC的角平分线AD将BC边分成2︰3两部分.若AC=6cm，则AB=
(
)
A．2
B．3
C．4
D．
13．如图，在△ABC
中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD，CD相交于点D，若∠BDC=25°，则∠CAD的度数是(
)
A．65°
B．60°
C．55°
D．45°
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，若BC=16，点P到BC的距离8，则梯形ABCD的面积为
．
15．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在AC上，且∠CDF=∠EDB，AE=9，BE=6，则AF的长为
．
16．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，EP是AD的垂直平分线，交BC延长线于点P，连接AP，下列结论：①AP=DP；②∠B=∠CAP；③S△ABD:S△ACD=AB:AC；④BD=DC；⑤∠BAP=∠ACP，其中正确的是
(填正确的序号).
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，EF是AC垂直平分线，分别交AC，AD于点F，E，连接EC，若∠B+3∠ACB=260°，求∠DCE的度数.
18．如图，点P为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°．BP平分∠ABC吗？说明理由．
【中考链接】
19．(2020年?怀化)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E.若BD=3，则DE的长为
(
)
A．3
B．
C．2
D．6
20．(2020年?湘潭)
如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为
．
参考答案
1、C
2、C
3、D
4、D
5、4
6、3:5:6
10、D
11、B
12、C
13、A
14、128
15、3
16、①②③⑤
19、A
20、3
7．如图，在△ABC中，点P是AC上一点，
连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC
两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．
(不写作法，保留作图痕迹)
作图，如图所示：
8．如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于96，AB+BC=48，
求
DE的长．
解：∵BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，
∴点D到BC的距离等于DE的长度，
∴S△ABC=S△ABD+S△BCD
=AB·DE+BC·DE
=DE(AB
+
BC)
=×48·DE=24DE，
∵△ABC的面积等于96，
∴24DE=96，
解得DE=4．
9．已知：∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．
(1)PC和PD有怎样的数量关系是________；
(2)请你证明(1)得出的结论．
解：(1)PC=PD．
?
(2)过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∴∠CFP=∠DEP=90°，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF，
∵∠1+∠FPD=90°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠FPE=90°，
∴∠2+∠FPD=90°，
∴∠1=∠2，
在△CFP和△DEP中
?
?∵，
∴△CFP≌△DEP(ASA)，
∴PC=PD．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，EF是AC垂直平分线，分别交AC，AD于点F，E，连接EC，若∠B+3∠ACB=260°，求∠DCE的度数.
解：∵EF是AC垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∴∠ECA=∠BAC=(180°?∠B?∠ACD)，
∴∠DCE=∠ACD?∠ECA
=∠ACD?∠BAC
=∠ACD?(180°?∠B?∠ACD)
=∠B+∠ACD?90°
=，
∵∠B+3∠ACB=260°，
∴∠DCE==40.
18．如图，点P为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且PM=PN，∠BMP+∠BNP=180°．BP平分∠ABC吗？说明理由．
解：如图所示：在BC上截取ND=BM，
∵∠BMP+∠BNP=180°，∠BNP+∠DNP=180°，
∴∠BMP
=∠DNP，
在△BMP与△DNP中，
∵?，
∴△BMP≌△DNP(SAS)，
∴∠MBP=∠NDP，BP=DP，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠MBP
=∠PDB，
∴BP平分∠ABC．
例题2图
第15题图
例题1图
A
B
C
D
第18题图
第14题图
第12题图
第3题图
第4题图
第7题图
第9题图
例题2图
例题1图
第17题图
第13题图
第11题图
第10题图
第19题图
第20题图
第16题图
第5题图
第18题图
第17题图
第9题图
第8题图
第8题图
第7题图
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精品试卷·第
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