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19.2.3
一次函数与方程、不等式
同步练习
一、选择题
1．（2020秋?蜀山区期末）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2021?闽侯县模拟）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是
A．
B．
C．
D．
3．（2020秋?南京期末）在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为
A．
B．
C．
D．
4．（2021?历下区一模）如图，函数经过点，则关于的不等式解集为（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2021春?沙坪坝区校级月考）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是
A．
B．
C．
D．
6．（2021春?雁塔区校级月考）如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而增大；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
二、填空题
7．（2020秋?芝罘区期末）已知关于的一次函数的图象如图，则关于的一次方程的解是
．
8．（2020秋?玄武区期末）已知一次函数、为常数，且，与的图象相交于点，则关于的方程的解为
．
9．（2021春?杨浦区期中）已知一次函数的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是
．
10．（2020秋?高邮市期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为
．
三、解答题
11．（2020秋?庐阳区期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点．
（1）求，，的值；
（2）根据图象，直接写出的解集．
12．（2020秋?包河区期中）根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于的方程的解；
（2）代数式的值；
（3）关于的方程的解．
13．（2020春?番禺区期末）已知直线的图象经过点和点．
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解；
（3）若，、，为直线上两点，且，试比较、的大小．
14．（2021春?会宁县月考）在坐标系中作出函数的图象，利用图象解答下列问题：
（1）求方程的解：
（2）求不等式的解集；
（3）若，求的取值范围．
19.2.3
一次函数与方程、不等式
同步练习
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（2020秋?蜀山区期末）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由方程的解可知：当时，，即当，，
直线的图象一定经过点，
故选：．
2．（2021?闽侯县模拟）若不等式的解集是，则下列各点可能在一次函数图象上的是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：根据不等式的解集是可得一次函数的图象大致为：
可能在一次函数图象上的是．
故选：．
3．（2020秋?南京期末）在平面直角坐标系中，一次函数，均为常数）与正比例函数为常数）的图象如图所示，则关于的方程的解为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：两条直线的交点坐标为，
关于的方程的解为，
故选：．
4．（2021?历下区一模）如图，函数经过点，则关于的不等式解集为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由图中可以看出，当时，，
故选：．
5．（2021春?沙坪坝区校级月考）如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是
A．
B．
C．
D．
【解析】解：把代入，得．
解得．
则．
根据图象可得关于的不等式的解集是．
故选：．
6．（2021春?雁塔区校级月考）如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，随的增大而增大；②函数不经过第四象限；③不等式的解集是；④．其中正确的是
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
【解析】解：由图象可得，
，则，对于函数来说，随的增大而减小，故①错误；
，，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确；
由可得，故不等式的解集是，故③正确；
可以得到，故④正确；
故选：．
二、填空题
7．（2020秋?芝罘区期末）已知关于的一次函数的图象如图，则关于的一次方程的解是 ．
【解析】解：一次函数的图象与轴的交点是，
，
一次函数的解析式是，
当时，得，
解得，
方程的解为，
故答案为：．
8．（2020秋?玄武区期末）已知一次函数、为常数，且，与的图象相交于点，则关于的方程的解为 3 ．
【解析】解：把代入得：，
解得，
，
根据图象信息可得关于的方程的解为3，
关于的方程的解为．
故答案为：3．
9．（2021春?杨浦区期中）已知一次函数的图象如图所示，那么关于的不等式的解集是 ．
【解析】解：当不等式时，一次函数的图象在轴上方，故．
故答案为：．
10．（2020秋?高邮市期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 ．
【解析】解：一次函数的图象过，
，
，
，
函数图象经过第二、三、四象限，
，
，
解得：．
故答案为：．
三、解答题
11．（2020秋?庐阳区期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点．
（1）求，，的值；
（2）根据图象，直接写出的解集．
【解析】解：（1）点在直线上，
，
解得；
点、在直线上，
，
解得：；
（2）由图象可得，不等式组的解集为．
12．（2020秋?包河区期中）根据一次函数的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于的方程的解；
（2）代数式的值；
（3）关于的方程的解．
【解析】解：（1）当时，，
所以方程的解为；
（2）当时，，
所以代数式的值为；
（3）当时，，
所以方程的解为．
13．（2020春?番禺区期末）已知直线的图象经过点和点．
（1）求的值；
（2）求关于的方程的解；
（3）若，、，为直线上两点，且，试比较、的大小．
【解析】解：（1）根据题意得，解得，
即的值为1；
（2）一次函数解析式为，
当时，，解得；
（3），
随的增大而增大，
，
．
14．（2021春?会宁县月考）在坐标系中作出函数的图象，利用图象解答下列问题：
（1）求方程的解：
（2）求不等式的解集；
（3）若，求的取值范围．
【解析】解：如图，
（1）当时，，所以方程的解为；
（2）当时，，所以不等式的解集为；
（3）当时，，所以若，的取值范围是．
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人教版
八年级数学下册
19.2.3
一次函数与方程、不等式
学习目标
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系．（重点、难点）
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.
一次函数与一元一次方程
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
问题1
下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax
+b
=k
就是求当函
数（y=ax
+b）值为k
时对应的自变量的值．
2x
+1=3
的解
y
=2x+1
2x
+1=0
的解
2x
+1=-1
的解
用函数的观点看：
在函数图像上观察，直线y=ax
+b
上取纵坐标的点，看它的横坐标为多少．
新知探究
1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=____.
-10
0
-10
2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,____）.
5
0
练一练
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=
kx+b
中，y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y=
kx+b
与
x
轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
例1
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17
解得
x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
典例精析
例1
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x
（单位：秒）的函数，y=2x+5
由2x+5=17
得
2x－12=0
解得x=6.
典例精析
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x
（单位：秒）的函数，y=2x+5
由右图可以看出当y
=17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
不等式ax+b＞c的解集就是使函数y
=ax+b
的函数值大于c的对应的自变量取值范围；
不等式ax+b＜c的解集就是使函数y
=ax+b
的函数值小于c的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y
=3x+2
y
=2
y
=0
y
=-1
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
?
例2
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0
和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与y轴交于A(0，6)与x轴交于点B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
典例精析
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（2）由图象可知，当x>1时，y<3.
（1）不等式-3x+6>0
和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
解：（1）由图象可知，不等式
-3x+6>0
的解集是图象位于
x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式
-3x+6<0的解集是图象位于
x轴下方的x的取值范围，即x>2；
如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(-
4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（
）
A.x>-4
B.
x>0
C.
x<-4
D.
x<0
C
做一做
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
一次函数与二元一次方程组
问题3
1号探测气球从海拔5
m
处出发，以1
m/min
的速度上升．与此同时，2
号探测气球从海拔15
m
处出发，以0.5
m/min
的速度上升．两个气球都上升了1
h．
(1)请用解析式分别表示两个气
球所在位置的海拔
y(m)与气球
上升时间
x(min)的函数关系
h1
h2
气球1
海拔高度：y
=x+5；
气球2
海拔高度：y
=0.5x+15．
（此处独立解答，可暂停三分钟）
?
思考1：一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y
=0.5x+15
二元一次方程
y
-0.5x
=15
二元一次方程
y
=0.5x+15
用方程观点看
用函数观点看
从式子（数）角度看：
由函数图象的定义可知：
直线y
=0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y
=0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.
思考2：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
15
10
5
-5
5
10
O
x
y
y
=0.5x+15
从数的角度看：
就是求自变量为何值时，两个一次函数
y
=x+5，y
=0.5x+15
的函数值相等，并求出函数值．
解方程组
y
=x+5
y
=0.5x+15
h1
h2
(2)什么时刻，1
号气球的高度赶上2
号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
气球1
海拔高度：y
=x+5
气球2
海拔高度：y
=0.5x+15
即
x-y
=-5
0.5x-y=-15
解得：
x
=20
y=25
?
二元一次方程
组的解就是相应的
两个一次函数图象
的交点坐标．
A（20，25）
30
25
20
15
10
5
10
20
y
=x+5
y
=0.5x+15
15
5
O
x
y
从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
方程组的解
对应两条直线交点的坐标.
归纳总结
观察函数图象，直接回答下列问题：
（1）在什么时候，1
号气球比2
号气球高？
（2）在什么时候，2
号气球比1
号气球高？
气球1
海拔高度：y
=x+5
气球2
海拔高度：y
=0.5x+15
（1）20min后，1号气球比2号气球高。
（2）0~20min时，2号气球比1号气球高。
O
y
x
例3
如图，求直线l1与l2
的交点坐标.
分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.
典例精析
解方程组
y
=2x+2，
y
=-x+3，
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2)
，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y
=2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y
=-x+3.
得
x=
y=
即直线l1与l2
的交点坐标为
O
y
x
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组
的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
P
y=ax+b
y=cx+d
练一练
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程
对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式
对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围
.
解二元一次方程组
求对应两条直线交点的坐标
.
课堂小结
2．一次函数y=kx+3的图象如图所示，则方程kx+3=0的解为
.
?3
y=kx+3
O
y
x
3
3．若方程组
的解为
则一次函数y=2x+1与y=3x-1的图象交点坐标为______.
1.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如图所示,则4x+5>3x+10的解集是（
）
A.x<5
B.x>5
C.x>-5
D.x>25
课后作业
4.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象
l1、l2如图
，那么他解的这个方程组是什么？
课后作业
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