北京市密云二中2012届高三12月月考数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．在复平面内，复数对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
2．若全集Ｒ，集合｛｝，｛｝，则
A．｛|或｝ B．｛|或｝
C．｛|或｝ D．｛|或｝
3. “”是“直线与圆相切”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知, ，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，，且，点满足=（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列{}的前项和为，且，，则=（ ）
A． B．
C． D．
11．程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是
A． B．
C． D．
12．设奇函数的定义域为Ｒ，最小正周期，
若，则的取值范围是
A．　 B．
C．　　 D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知则=__ _．
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体
的表面积为 .
11. 在中，已知 ，，则=__；若，则=__ _．
12. 已知函数若方程有解，则实数的取值范围是 __ _．
13. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是 14.设函数的定义域为，其中．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值与最小值的和为__ _．
填空题答题卡
9、 10、 11、 ，
12、 13、 14、
三、解答题：本大题共6小题，共90分
15．（本题满分12分）
已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，
若向量与共线，求的值．
16. （本小题满分13分）
设数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）求数列的前项和.
17．（本题满分12分)
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
18. （本小题满分13分）
已知椭圆经过点，离心率为，动点
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．
19. （本小题满分14分）
设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：.
20．（本小题满分14分）
已知定义在R上的函数和数列，当时，，其中均为非零常数．
（Ⅰ）若数列是等差数列，求的值；
（Ⅱ）令，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．
密云二中高三年级12月考数学试题(理)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．D 3. A 4. B 5. B 6. A 7. D 8．C
三、解答题：本大题共6小题，共90分
15．（本题满分12分）
已知函数．
(Ⅰ) 求函数的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，
若向量与共线，求的值．
15． 解：(Ⅰ)
……………………………………………………3分
∴ 的最小值为，最小正周期为. ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 共线，∴ ．
由正弦定理 ， 得 ①…………………………………9分
∵ ，由余弦定理，得， ②……………………10分
解方程组①②，得． …………………………………………12分
16. （本小题满分13分）
设数列的前项和为，且.
（Ⅰ）求，，；
（Ⅱ）求证：数列是等比数列；
（Ⅲ）求数列的前项和.
（17）（本小题满分13分）
解：（I）由题意，当时，得，解得.
当时，得，解得.
当时，得，解得.
所以，，为所求. ……………3分
(Ⅱ) 因为，所以有成立.
两式相减得：.
所以，即. …………5分
所以数列是以为首项，公比为的等比数列. ……………7分
（Ⅲ）由(Ⅱ) 得：，即.
则. ……………8分
设数列的前项和为,
则，
所以，
所以，
即. ……………11分
所以数列的前项和=，
整理得，. ……………13分
17．（本题满分12分)
已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（Ⅲ）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．
17． 解法一：（Ⅰ）∵ 平面，，，，建立如图所示的空间直角坐标系，则．…………2分
不妨令∵，
∴，
即．…………………………4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，
由，得，令，解得：．
∴． ………………………………………………………6分
设点坐标为，，则，
要使∥平面，只需，即，
得，从而满足的点即为所求．……………………………8分
（Ⅲ）∵，∴是平面的法向量，易得，
…………………………………………………………………………………9分
又∵平面，∴是与平面所成的角，
得，，平面的法向量为 ……10分
∴，
故所求二面角的余弦值为．…………………………………12分
18. （本小题满分13分）
已知椭圆经过点，离心率为，动点
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．
19. （本小题满分14分）
设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）求证：.
（19）（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由已知得：. ……………1分
由为偶函数，得为偶函数，
显然有. …………2分
又，所以，即. …………3分
又因为对一切实数恒成立，
即对一切实数，不等式恒成立. …………4分
显然，当时，不符合题意. …………5分
当时，应满足
注意到 ，解得. …………7分
所以. ……………8分
（Ⅱ）证明：因为，所以.………9分
要证不等式成立,
即证. …………10分
因为, …………12分
所以
.
所以成立. ……………14分
20．（本小题满分14分）
已知定义在R上的函数和数列，当时，，其中均为非零常数．
（Ⅰ）若数列是等差数列，求的值；
（Ⅱ）令，求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．