2020-2021学年华东师大版八年级数学下册19.1.2矩形的判定（21张ppt）课件

(共21张PPT)
19.1.2
矩形的判定
第19章
矩
形、菱形与正方形
教学目标
教学重点与难点
重点：矩形的判定定理及其应用.
难点：灵活利用矩形的判定定理解题.
1.探索并掌握矩形的判定定理.
2.能灵活运用矩形的判定定理解题.
3.体会数学的推理和转化思想.
在□ABCD中，∠A=90。，
∴
四边形ABCD是矩形.
温故夯基
一.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
二.矩形的性质：
矩形的性质定理1
矩形的四个角都是直角.
A
B
C
D
矩形
几何语言：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
矩形的性质定理2
矩形的对角线相等.
几何语言：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AC=BD.
平行四边形、矩形对比理解
对称性
边
角
对角线
平行四边形的一般性性质
矩形的
特殊性质
对边平行
且相等
邻边
垂直
四个角
都是直角
中心对称
图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
对角相等
邻角互补
对角线
互相平分
对角线
相等
温故夯基
巩固练习
1.判断题:
(1)
有一个角是直角的四边形是矩形.（
）
(2)
矩形的对角线互相平分.
（
）
×
√
2.如图，四边形ABCD是矩形.
(1)若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝
_____㎝
,
OD=____
㎝;
(2)若已知∠CAB=40°，则∠OCB=____
,
∠OBA=____
,∠AOB=_____
,∠AOD=____
;
(3)若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，
则矩形的周长＝____㎝,矩形的面积＝____
㎝2;
(4)
若已知∠DOC=120°,AD＝6㎝,则AC=
___
㎝.
O
D
C
B
A
10
5
50°
40°
100°
80°
28
48
12
3.矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O,AB=5cm，BC=12cm，则△ABO的周长等于
______
.
18cm
4.如图,
在矩形ABCD中，AC与BD交于O点，
BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：BE
=
CF.
证明：∵AC、BD为矩形ABCD的对角线，
∴OB=OC.
∵
BE⊥AC，CF⊥BD,
∴
∠BEO=∠CFO=90°，
∠EOB=∠FOC.
∴Rt△EBO≌Rt△FCO,
∴
BE=CF.
学习新知
矩形的判定：
方法一(定义):有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是平行四边形,∠A=90°,
∴
四边形ABCD是矩形.
方法二(判定定理1):有三个角是直角的四边形是矩形.
∵
∠A=∠B=∠C=90°，
∴
四边形ABCD是矩形.
方法三(判定定理2):对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴
四边形ABCD是矩形.
这一判定方法在日常生活中经常被应用.木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求.
例1
下列各句判定矩形的说法是否正确？
(1)对角线相等的四边形是矩形；
(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
(3)有一个角是直角的四边形是矩形；
(5)有三个角是直角的四边形是矩形；
(6)四个角都相等的四边形是矩形；
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形;
(4)有三个角都相等的四边形是矩形;
×
×
×
×
√
√
√
√
(8)一组对角互补的平行四边形是矩形.
例题精析
例2
如图,
M为□ABCD的AD边的中点,且MB＝MC.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
D
C
M
证明：
∵
四边形ABCD是平行四边形,
AB＝DC.
∵
M是AD的中点,
∴
AM＝DM.
∵
MB＝MC,
∴
△BAM≌△CDM,
∴
∠A＝
∠D,
∴
∠A＋
∠D＝1800,
∴∠A＝
900,
∴
□ABCD是矩形.
(有一个角是直角的平行四边形是矩形)
随堂练习
1.如图,AB、CD是⊙O的两条直径,四边形ABCD
是矩形吗？证明你的结论.
A
B
C
D
O
证明：四边形ABCD是矩形.
∵AB、CD是⊙O的两条直径,
∴
OA＝OB,OC=OD,
∴
四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CD,
∴
四边形ABCD是矩形.
(对角线相等的平行四边形是矩形)
A
B
C
D
O
1
2
2.如图,□ABCD中,
∠1=
∠2中.此时四边形ABCD
是矩形吗?为什么？
解:四边形ABCD是矩形.
∵
四边形ABCD是平行四边形,
∴
AO=CO
,DO=BO.
∵
∠1=
∠2,
∴
AO=BO,
∴
AC=BD,
∴
四边形ABCD是矩形.
(对角线相等的平行四边形是矩形)
例3
如图,点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，
E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,
且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴
AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO(矩形的对角线互相平分)，
∵
AE=BF=CG=DH，
∴
OE=OF=OG=OH，
∴
四边形EFGH是平行四边形.
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
例题精析
(对角线相等的平行四边形是矩形)
B
A
C
D
M
N
例4
如图,四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD
和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点.
求证：四边形BMDN是矩形.
(有三个角是直角的四边形是矩形)
例5
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC,垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线,DE//AB,交AG于点E.求证：四边形ADCE是矩形.
B
A
C
E
F
G
D
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠B＝∠ACB，BD＝DC.
又∵AE是△ABC的外角∠FAC的平分线，
∴∠FAE＝∠EAC.
∵∠B＋∠ACB＝∠FAE＋∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，
∴
AE∥CD.
又∵DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD,
AB=DE.
∴AC=DE,
AE=DC.
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是
平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形.
(对角线相等的平行四边形
是矩形)
随堂练习
1.如图,AD、AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF
的平分线,BE⊥AE,DA⊥BC.求证：四边形AEBD是矩形.
证明：∵AD平分∠BAC，
又∵AE平分∠BAF，
∵∠BAC+∠BAF=180°，
即∠DAE=90°.
∴∠BAD+∠BAE
∵
BE⊥AE,DA⊥BC，
∴∠BEA=∠BDA=
90°.
∴四边形AEBD是矩形.
(有三个角是直角的
四边形是矩形)
2.一个四边形满足：它的每个顶点到其他三个顶点的距离
之和相等.试证明该四边形为矩形.
A
B
C
D
证明：
以A点的角度看:S=AB+AD+AC…①，
以B点的角度看:S=BA+BD+BC…②,
以C点的角度看:S=CA+CB+CD…③，
以D点的角度看:S=DA+DB+DC…④，
由②、④得:AD+DC=AB+BC…(1)，
由①、③得:BA+AD=CB+CD…(2)，
由(1)+(2)得:2AD=2BC，
∴
AD=BC，
把这个结论代入(1)得:DC=AB，
∴
四边形ABCD是平行四边形.
同理可得:AC=BD，
∴
四边形ABCD是矩形.
3.如图,将□ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连结AE，
交BC于点F,∠AFC=2∠D,连结AC.
求证：四边形ABEC是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB∥DC，AB=DC，
∠ABC=∠D.
∵CE=DC，
∴AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形.
∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴
FA=FB.
∵AB∥CE,
∴∠ABF=∠ECF，
∠BAF=∠CEF，
∴∠ECF=∠CEF，
∴
FE=FC,
∴
AE=BC,
∴四边形ABEC是矩形.
4.如图,在□ABCD中,AF、BH、CH、DF分别是∠DAB、
∠ABC、∠BCD与∠CDA的平分线,AF与BH交于点E，
CH与DF交于点G.
求证：EG=FH.
A
G
D
E
H
B
C
F
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF、BH分别是∠DAB、∠ABC的平分线，
∴∠BAE+∠ABE
∴∠AEB=90°,
同理可证:∠EFG=∠FGH=90°.
∴∠FEH=90°.
∴四边形EFGH是矩形，
∴
EG=FH.
(有三个角是直角的四边形是矩形)
(矩形的对角线相等)
课堂小结
矩形的判定
方法一(定义):有一个角是直角的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是平行四边形,∠A=90°,
∴
四边形ABCD是矩形.
方法二(判定定理1):有三个角是直角的四边形是矩形.
∵
∠A=∠B=∠C=90°，
∴
四边形ABCD是矩形.
方法三(判定定理2):对角线相等的平行四边形是矩形.
A
B
C
D
∵
四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴
四边形ABCD是矩形.
作业与练习
书面作业：课本P106
习题19.1
2,3,5
练习：学习检测
P65-66
1至11
预习任务
预习课本P110-113
19.2.1
菱形的性质
教学反思
作业存在的主要问题