2020-2021学年七年级数学北师大版下册第4章三角形单元综合能力达标测评（word解析版）

2021年度北师大版七年级数学下册《第4章三角形》单元综合能力达标测评2（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，边AC＝8cm，BC＝10cm，点P为BC边上一动点，点P从点C向点B运动，当点P运动到BC中点时，△APC的面积是（　　）cm2．
A．5 B．10 C．20 D．40
2．如图，在△ABC中，AB边上的高是（　　）
A．AD B．BE C．BF D．CF
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则△ABC是（　　）三角形．
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．等腰直角
4．三角形的两边长分别为3和5，其第三条边的长度可能是（　　）
A．1 B．5 C．8 D．10
5．如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）
A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数为（　　）
A．20° B．25° C．35° D．40°
7．如图，已知CD和BE是△ABC的角平分线，∠A＝60°，则∠BOC＝（　　）
A．60° B．100° C．120° D．150°
8．如图，点C，E分别在BD，AC上，AC⊥BD，且AB＝DE，AC＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A．AE＝CE B．∠A＝∠D C．∠EBC＝45° D．AB⊥DE
9．如图，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，若BE＝7，AB＝3，则AD的长为　 　．
10．如图，已知AD和BC相交于点O且AD＝BC，分别连接AC，AB，BD，已知AC＝BD，∠ABC＝20°，则∠AOB的度数为　 　．
11．如图，已知AC＝DC，BC＝EC，要使△ABC≌△DEC，需添加的一个条件是　 　．
12．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB＝　 　．
13．如图，AD是△ABC的中线，ED是△ABD的中线，如S△AED＝5cm2，则S△ABC＝　 　cm2．
14．如图，点E为∠BAD和∠BCD平分线的交点，且∠B＝40°，∠D＝30°，则∠E＝　 　．
15．如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝2∠A，将其折叠，使点B落在AC上的E点处，折痕为CD，则∠EDA＝　 　度．
16．若正六边形ABCDEF与正方形ABGH按图中所示摆放，连接FH，则∠AFH+∠AHF＝　 　．
17．如图，已知△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，则∠DEF＝　 　
18．如图，在△ABC中，BD，BE将∠ABC分成三个相等的角，CD，CE将∠ACB分成三个相等的角．若∠A＝105°，则∠D等于　 　度．
19．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝　 　时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．
20．如图，在△ABC和△DBC中，∠A＝40°，AB＝AC＝2，∠BDC＝140°，BD＝CD，以点D为顶点作∠MDN＝70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为　 　．
21．如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠C＝70°，求∠BED的度数．
22．如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
（1）当AD为边BC上的中线时．若AE＝4，△ABC的面积为24，求CD的长；
（2）当AD为∠BAC的角平分线时．
①若∠C＝65°，∠B＝35°，求∠DAE的度数；
②若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝　 　°．
23．如图，已知AB＝AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED＝AE．求证：BD＝CD．
24．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC．
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数．
25．如图，△ABC的边AB与△EDC的边ED相交于点F，连接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．
（1）求证：AB＝ED；
（2）求证：FC平分∠BFE．
26．已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，点E在BC上，求证：BC＝BD+BE；
（2）如图2，点E在CB的延长线上，（1）的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出成立的式子并证明．
27．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
（1）求证：∠AEB＝∠DEB；
（2）若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
28．如图，线段AB的长为5，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝2，DB＝1，点P为线段AB上的一个动点，连接CP，DP．
（1）若AP＝a，请用含a的代数式表示BP；
（2）当AP＝1时，求△ACP与△BPD的面积之比；
（3）若C，D是同一平面内的两点，连接CD，若点P以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PCD的面积等于3．
参考答案
1．解：∵BC＝10cm，
∴当P运动到BC中点时，CP＝BC＝5cm，
∴△APC的面积＝＝＝20（cm2）
故选：C．
2．解：在△ABC中，AB边上的高是：CF．
故选：D．
3．解：设∠A＝∠B＝∠C＝x°，则∠B＝∠C＝2x°，
根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，∠B＝∠C＝72°，
故该三角形为锐角三角形．
故选：A．
4．解：设第三边长为x，由题意得：
5﹣3＜x＜5+3，
即2＜x＜8，
故第三条边的长度可能是5．
故选：B．
5．解：A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．
故选：B．
6．解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵△CDB′是由△CDB翻折得到，
∴∠CB′D＝∠B，
∵∠CB′D＝∠A+∠ADB′＝∠A+20°，
∴∠A+∠A+20°＝90°，
解得∠A＝35°．
故选：C．
7．解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵CD和BE是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故选：C．
8．解：如图，延长DE交AB于点H，
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°，
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），
∴∠A＝∠D，BC＝CE，
∴∠EBC＝45°，
∵∠A+∠ABC＝90°，
∴∠D+∠ABC＝90°，
∴AB⊥DE，
故选：A．
9．解：∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE＝90°，∠E+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠E，且∠DAC＝∠CBE＝90°，DC＝EC，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴AD＝BC，AC＝BE＝7，
∵AB＝3，
∴BC＝AC﹣AB＝7﹣3＝4＝AD，
故答案为：4．
10．解：在△ABC与△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS），
∴∠ABC＝∠BAD，
∵∠ABC＝20°，
∴∠AOB＝180°﹣20°﹣20°＝140°．
故答案为：140°
11．解：添加的条件是AB＝DE，
理由是：∵在△ABC和△DEC中
∴△ABC≌△DEC（SSS），
故答案为：AB＝DE．
12．解：如图，∠ECD＝45°，∠BDC＝60°，
∴∠COB＝∠ECD+∠BDC＝45°+60°＝105°，
故答案为：105°．
13．解：∵AD是△ABC的中线，S△AED＝5cm2，
∴S△BED＝S△AED＝5cm2，
∴S△ABD＝10cm2，
∵ED是△ABD的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝20cm2．
故答案为：20．
14．解：∵∠D+∠DCE＝∠E+∠DAE，
∠E+∠ECB＝∠B+∠EAB，
∴∠D+∠DCE+∠B+∠EAB＝2∠E+∠DAE+∠ECB，
∵EC平分∠ECB，AE平分∠BAD，
∴∠DCE＝∠ECB，∠DAE＝∠BAE，
∴2∠E＝∠B+∠D，
∴∠E＝（∠B+∠D）
∴∠E＝（30°+40°）＝×70°＝35°；
故答案为：35°；
15．解：∵∠B＝60°，∠ACB＝2∠A，
∴∠A＝40°，
∵将其折叠，使点B落在AC上的E点处，
∴∠DEC＝∠B＝60°，
∴∠EDA＝∠DEC﹣∠A＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：20．
16．解：∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠FAH＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠AFH+∠AHF＝180°﹣150°＝30°；
故答案为：30°．
17．证明：∵∠A＝40°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，且BD＝CE，BE＝CF，
∴△BED≌△CFE（SAS）
∴∠EFC＝∠BED，
∵∠BEF＝∠EFC+∠C＝∠BED+∠DEF，
∴∠DEF＝∠C＝70°，
故答案为：70°．
18．解：∵∠A＝105°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣105°＝75°，
∵BD，BE将∠ABC分成三个相等的角，CD，CE将∠ACB分成三个相等的角，
∴∠DBC+∠DCB＝×75°＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝130°，
故答案为130．
19．解：∵AX⊥AC，
∴∠PAQ＝90°，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
分两种情况：
①当AP＝BC＝10时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝20时，
在△ABC和△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；
综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；
故答案为：10或20．
20．解：延长AC至E，使CE＝BM，连接DE．
∵BD＝CD，且∠BDC＝140°，
∴∠DBC＝∠DCB＝20°，
∵∠A＝40°，AB＝AC＝2，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°，
同理可得∠NCD＝90°，
∴∠ECD＝∠NCD＝∠MBD＝90°，
在△BDM和△CDE中，，
∴△BDM≌△CDE（SAS），
∴MD＝ED，∠MDB＝∠EDC，
∴∠MDE＝∠BDC＝140°，
∵∠MDN＝70°，
∴∠EDN＝70°＝∠MDN，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝EN＝CN+CE，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+CN+CE+AN＝AM+AN+CN+BM＝AB+AC＝4；
故答案为：4．
21．解：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠EAD，
又∵∠C＝∠AED，BC＝DE．
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD；
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC＝70°，
∵∠AED＝∠C＝70°，
∴∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
22．解：（1）∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为24，
∴×BC×AE＝24，
∴×BC×4＝24，
∴BC＝12，
∵AD是△ABC的中线，
∴CD＝BC＝6；
（2）①∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣35°﹣65°＝80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝55°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°；
②由①可得：∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B﹣（180°﹣∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）＝10°，
故答案为：10．
23．证明：∵ED∥AC，
∴∠EDA＝∠DAC，
∵ED＝AE，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴∠EAD＝∠DAC，
在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴BD＝CD．
24．证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°．
25．证明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，
∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，
即∠BCA＝∠DCE，
在△ABC与△EDC中
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴AB＝ED；
（2）过点C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分别为G，H，
∵△ABC≌△EDC，
∴∠B＝∠D，
∵CG⊥AB，CH⊥DE，
∴∠BGC＝∠DHC＝90°，
在△BCG与△DCH中
，
∴△BCG≌△DCH（AAS），
∴CG＝CH，
∴FC平分∠BFE．
26．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BE+CE＝BD+BE；
（2）解：（1）的结论不成立，成立的结论是BC＝BD﹣BE．
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠EAB＝∠DAE+∠EAB，
即∠DAB＝∠EAC，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝CE﹣BE＝BD﹣BE．
27．（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE．
在△ABE和△DBE中，
，
∴△ABE≌△DBE（SAS），
∴∠AEB＝∠DEB；
（2）解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵∠A＝100°，∠C＝50°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠ABE＝15°，
∴∠AEB＝180°﹣∠A﹣∠ABE＝180°﹣100°﹣15°＝65°．
28．解：（1）∵线段AB的长为5，
∴若AP＝a，BP＝5﹣a；
（2）∵AB＝5，AP＝1，
∴BP＝4，
∴＝＝；
（3）当C、D在线段AB的同侧时，由图1可知：S△PCD＝S梯形ABDC﹣S△ACP﹣S△BPD＝（2+1）×5﹣t×2﹣（5﹣t）×1
∵△PCD的面积等于＝3，
∴（2+1）×5﹣t×2﹣（5﹣t）×1＝3，
解得t＝4，
∴当t＝4时，△PCD的面积等于3；
当C、D在线段AB的异侧时，由图2可知：S△PCD＝S△ADC﹣S△ACP﹣S△APD＝×2×5﹣t×2﹣t×1
∵△PCD的面积等于＝3，
∴×2×5﹣t×2﹣t×1＝3，
解得t＝，
综上，当t为4或时，△PCD的面积等于3．