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4.5
垂线（2）教案
主备人：
审核人：
本章课时序号：8
课
题
垂直的基本事实和垂线段的性质
课型
新授课
教学目标
1.
理解、掌握垂直的基本事实；2.
理解概念：垂线段、点到直线的距离；3.
掌握垂线段最短的性质；4.
了解垂线段在生活中的应用，会求点到直线的距离.
教学重点
1.
理解、记住垂直的基本事实，掌握垂线段最短的性质；2.
会作垂线段，能求点到直线（或线段）的距离。
教学难点
1.
理解、记住基本概念和性质；2.
用面积法求点到直线的距离。
教
学
活
动
一、情景导入说一说：1、
如何比较两条相线段的长短？生：用眼睛看，用直尺量，用圆规截取。师：观察、实验（如画图，测量）、比较，是我们认识图形性质的常用方法。2、
上节课，我们学习了垂线的哪些性质？生1：互相垂直的两条直线相交的四个角都是直角(90°).生2：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.生3：在同一平面内，如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条.3、
垂线还有哪些性质呢？如何得出这些性质？师：我们可以通过观察、画图、测量、比较等方法去发现性质。运用可靠知识去说明性质。
二、教学新知（一）探究垂直的基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。1、
展示问题：用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线.（1）经过直线l上一点P画l的垂线；（2）经过直线l外一点P画l的垂线.2、
学生按照第98页图示的方法画一画。（1）点p在直线l上，（2）点p在直线l外。3、
提问：过一点P画已知直线l的垂线，可以画几条呢？生：可以画一条。师：可以画一条并且只能画一条。师：为什么只能画一条呢？你能说明道理吗？生：假如过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a(或c∥b)，但c与a(或b)有公共点p，不符合平行的基本事实，因此是不可能的。（如学生回答有困难，教师补充说明）4、
归纳（ppt展示）：由此，我们有如下的垂直的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（二）探究垂线段最短的性质
1、
讲解概念：出示图文：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到
直线l的垂线段．经过点P的其他直线交l于A，B，C，D，…，线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段．
2、
探究“垂线段最短”的性质（1）做一做：比较图中的垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，哪条线段最短？学生通过观察发现垂线段PO最短。学生用圆规截取法进行比较，得出垂线段PO最短。3、
归纳结论（ppt展示）：直线外一点与直线上各点连接的所有连线中，垂线段最短.
简单地说成：垂线段最短。（三）合作学习“点到直线的距离”1、
讲述概念：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．2、
做一做：解答点到直线的距离的有关问题。（1）量出课本第100页图4-45中点P到直线AB的距离.教师提示：过点作PD⊥AB于点D，量出PD的长度，即为点P到直线AB的距离。学生画图，量出点P到直线AB的距离，集体订正。（2）第100页“做一做”第2题：如图，某工厂要在河岸l上建一个水泵房引水到处，问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？解：过点D作CD⊥l，D为垂足，因为垂线段最短，所以建在D处最节省水管。
图4-45
图4-463、
教师讲述：从上面的例子可知，我们可以把点到直线的距离转化为点到点的距离．（四）
教学例3例3
如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：(1)点A到直线BC的距离；(2)点B到直线AC的距离．1、
分析：点到直线的距离就是过这一点作这条直线的垂线段的长度。2、
展示解题过程解：(1)因为∠ABC=90°，所以AB⊥BC，B为垂足．所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.因为AB=5，所以点A到直线BC的距离为5．(2)因为BD⊥AC，垂足为D，所以线段BD的长度是点B到直线AC的距离．因为，
（利用面积相等）所以.所以点B到直线AC的距离是.三、课堂练习1、
如图，一艘帆船从西向东航行，灯塔A到帆船经过的4个位置B，C，D，E中，距离最近的是航线上
处位置。依据是
。【答案】C，垂线段最短。2、
如图，已知AD⊥CD于点D，BE⊥AC于点E，点C到直线AB的距离是（
）A、
BC的长度B、
AD的长度C、
CD的长度D、
BE的长度【答案】C3、
如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，求点A到BC的距离，点C到AB的距离.
【提示】过点A作AD⊥BC，用面积相等的方法求出AD的长度，就是点A到BC的距离。点C到AB的距离就是垂线段AC的长度。4、
如图（比例尺：1:5000），公园里有4条纵横交错的人行道，点P是一喷泉，量出P点到4条直线的距离，并求出其实际距离.
【提示】过点p作PA⊥a，垂足为点A，延长AP交直线b与点B，因为a∥b，所以PB⊥b.量出PA、PB的长，换算成实际距离即分别为P点到直线a、b的实际距离。求P点到到直线c、d的实际距离，与上法相同。5、
101页课后练习第3题【参考答案】把跳远同学的落脚后跟处看作一个点，那么这个点到起跳线的垂线段的长度即为这位同学的跳远成绩。6、作图：任意画一个钝角三角形ABC，分别过三个顶点作对边所在直线的垂线段。四、课堂总结1、
垂直是基本事实是什么？
生：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
2、
什么叫做垂线段？什么叫做点到直线的距离？生：过直线外一点作这条直线的垂线，这一点到垂足之间的线段叫做垂线段。这条垂线段的长度叫做这一点到这条直线的距离。3、
垂线段有什么性质？生：直线外一点与直线上各点连接的所有连线中，垂线段最短.简单地说成：垂线段最短.
板书设计
4.5垂线（2）1、
垂直的基本事实；2、
垂线段的概念和性质；3、
点到直线的距离。
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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4.5
垂
线（2）
湘教版
七年级下
教学目标
1.
理解、掌握垂直的基本事实；
2.
理解概念：垂线段、点到直线的距离；
3.
掌握垂线段最短的性质；
4.
了解垂线段的应用，会求点到直线的距离.
新知导入
如何比较两条相线段的长短？
用眼睛看，用直尺量，用圆规截取。
观察、实验（如画图，测量）、比较，是我们认识图形性质的常用方法。
新知导入
上节课，我们学习了垂线的哪些性质？
互相垂直的两条直线相交的四个角都是直角(90°).
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
在同一平面内，如果一条直线垂直于两平行线中的
一条，那么这条直线垂直于另一条.
新知导入
垂线还有哪些性质呢？如何得出这些性质？
我们可以通过观察、画图、测量、比较等方法
去发现性质。运用可靠知识去说明性质。
合作探究
用三角尺或量角器过一点P画已知直线l的垂线.
（1）经过直线l上一点P画l的垂线；
（2）经过直线l外一点P画l的垂线.
l
P
l
P
a
b
合作探究
过一点P画已知直线l的垂线，可以画几条呢？你能说明道理吗？
假如过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a(或c∥b)，但c与a(或b)有公共点p，不符合平行的基本事实，因此是不可能的。
l
P
a
l
P
b
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直.
合作探究
由此，我们有如下的垂直的基本事实：
合作探究
如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段．经过点P的其他直线交l于A，B，C，D，…，线段PA，PB，PC，PD，…都不是垂线段，称为斜线段．
新概念
比较图中的垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，哪条线段最短？
合作探究
我用圆规截取比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，发现线段PO最短。
合作探究
合作探究
由此得出：
直线外一点与直线上各点连接的所有连线中，
垂线段最短.
简单地说成：垂线段最短。
合作探究
概念
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
例如，右图的垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离。
合作探究
1.
量出课本第100页图4-45中点P到直线AB的距离.
D
A
B
P
提示：过点作PD⊥AB于点D，量出PD的长度，即为点P到直线AB的距离。
合作探究
2.
如图，某工厂要在河岸l上建一个水泵房引水到处，
问建在哪个位置上才最节省水管？为什么？
解：如图，过点D作CD⊥l，D为垂足，因为垂线段最短，所以建在D处最节省水管。
D
合作探究
感悟：
从上面的例子可知，我们可以把点到直线的距离转化为点到点(垂足)的距离．
例题讲解
例3
如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：
(1)点A到直线BC的距离；
(2)点B到直线AC的距离．
分析：点到直线的距离就是过这一点作这条直线的垂线段的长度。
例题讲解
解：(1)因为∠ABC=90°，
所以AB⊥BC，B为垂足．
所以线段AB即为点A到直线BC的垂线段.
例3
如图，在三角形ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：
(1)点A到直线BC的距离；
(2)点B到直线AC的距离．
因为AB=5，所以点A到直线BC的距离为5．
例题讲解
(2)因为BD⊥AC，垂足为D，所以线段BD的长度是点B到直线AC的距离．
因为
所以
所以点B到直线AC的距离为
面积相等法.
巩固练习
1.
如图，一艘帆船从西向东航行，灯塔A到帆船经过的4个位置B，C，D，E中，距离最近的是航线上
处位置。依据是
。
C
垂线段最短
巩固练习
2.
如图，已知AD⊥CD于点D，BE⊥AC于点E，点C到直线AB的距离是（
）
A、
BC的长度
B、
AD的长度
C、
CD的长度
D、
BE的长度
C
A
E
C
D
B
巩固练习
3.
如图，在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，求点A到BC的距离，点C到AB的距离.
提示：过点A作AD⊥BC，用面积相等的方法求出AD的长度，就是点A到BC的距离。点C到AB的距离就是垂线段AC的长度。
巩固练习
4.
如图（比例尺：1:5000），公园里有4条纵横交错的人行道，点P是一喷泉，量出P点到4条直线的距离，并求出其实际距离.
提示：过点p作PA⊥a，垂足为点A，延长AP交直线b与点B，因为a∥b，所以PB⊥b.量出PA、PB的长，换算成实际距离即分别为P点到直线a、b的实际距离。
求P点到到直线c、d的实际距离，与上法相同。
A
B
巩固练习
5.
如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？
答：把跳远同学的落脚后跟处看作一个点，那么这个点到起跳线的垂线段的长度即为这位同学的跳远成绩。
巩固练习
6.
作图：任意画一个钝角三角形ABC，分别过三个顶点作对边所在直线的垂线段。
A
B
C
课堂总结
1.
垂直是基本事实是什么？
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直.
2.
什么叫做垂线段？什么叫做点到直线的距离？
过直线外一点作这条直线的垂线，这一点到垂
足之间的线段叫做垂线段。这条垂线段的长度
叫做这一点到这条直线的距离。
课堂总结
3.
垂线段有什么性质？
直线外一点与直线上各点连接的所有连线中，
垂线段最短.
简单地说成：垂线段最短。
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