第四章 圆与方程单元测试一
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第四章 圆的方程单元测试一
测试时间：120分钟 测试满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线5x+12y-8 =0和圆（x-l）2+(y+3)2=8的位置关系是( )．
A．相交且直线过圆心 B．相切
C．相交且直线不过圆心 D．相离
2．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为( )．
A.l、-1 B.2、-2 C.l D．-1
3．已知圆及直线:x-y+3=0，当直线被圆C截得的弦长为时，则a等于( )．
4．圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )．
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
5．已知空间两点A(l，3，5)、B（-3，1，3），则线段AB的中点坐标为( )．
A．（-1，2，4） B．(2，1，1)
C．(1，0，4) D．（3，3，-1）
6．直线与y轴的交点为P，点P把圆（x+l）2+y2=25的直径分为两段，这两段长度之比为( )．
或 或
或 或
7．圆上到直线x+y+l =O的距离为的点共有( )．
A.l个 B.2个 C.3个 D.4个
8．已知实数x、y满足则x2+ y2的最小值是( )．
C.5 D.25
9．常数C≠0，则圆与直线2x+2y+C=0的位置关系是( )．
A．相交 B．相离
C．相切 D．随C值变化
10.圆关于直线y=x-l对称，则( )．
A．D+E=2 B.D-E=-1
C.D-E=-2 D.D+E=1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．）
11.经过原点O作圆（x-6）2+y2=4的切线，切线长是 ______．
12．经过点P(2，-3)作圆X2+y2= 20的弦AB，且使|AB|=8，则弦AB所在的直线方程是__ __．
13.直线的交点P与圆的关系是 .
14.圆的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是____ _____．
15.点P(x，y)在圆上，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（12分）求过点(0，6)且与圆C：x2+y2+10x+10y=O切于原点的圆的方程．
17.（12分）如图4-31所示，BC=4，原点0是BC的中点，点A的坐标是点D在平面yOz上，且∠BDC=90,求AD的长度．
18.（12分）已知直线:y=x+b及圆C:x2+y2=1，是否存在实数b，使自A(3，3)发出的光线被直线反射后与圆C相切于点若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
19.（13分）已知点A(a，0)、B(O，b)（其中a、b均大于4），直线AB与圆C:x2+y2-4x -4y+4 =0相切．
(1)求证：（a-4）(6-4)=8；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．
20.（13分）过点P( -2，-3)作圆的两条切线，切点分别为A、B，求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长．
21.（13分）如图4-32所示，1，2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在2上的一段圆弧，点M在点0正北方向，且|MO|=3km，点N到1，2的距离分别为4km和5km.
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在点0正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于求校址距离点0的最近距离．（注：校址视为一个点）
参考答案
一、选择题
1．D 【提示】圆的圆心坐标为（1，-3），它到直线5x+12y-8=0的距离为3，比此圆的半径2大，所以，直线与圆的位置关系为相离．故选D．
2．D 【提示】由于圆x2+y2-2x=0的圆心坐标为(1，0)，半径为1，则由已知有解得a=-1．故 选D．
3．C【提示】弦心距1，所以圆心(a，2)到直线的距离为1．
即解得或舍去）．故选C．
4．C 【提示】计算两圆的圆心距d=而2-1=
∴两圆相交．
5．A 【提示】设AB中点坐标为(x,y,z)，则有即坐标为（-1，2，4）．故选A．
6．A【提示】数形结合法：点P的坐标是圆心坐标为C（-1，0），半径为 5．
因为所以点P在圆内．设P在直径AB上，则
所以分成的两线段之比为3:7或7：3．故选A．
7．C【提示】圆的标准方程是（x+l）2+（y-2）2=8．圆心为C（-1，2），半径圆心C到直线x+y+l =0的距离与直线x+y+l=0平行的直径的两个端点到直线x+y+l =0的距离均为，与直线x+y+l =0垂直的直径的一个端点到它的距离也是（半径所以这样的点共有3个．故选C．
8．A【提示】方法一：数形结合法：x2+y2的意义是圆土的点到原点的距离的平方，即求原点与圆上的点的连线中最短的距离．已知圆的标准方程是原点与圆心（1，-2）的距离圆的半径为5，所以最短距离为所以
方法二：由已知圆的方程得设x2+y2=t，则2x-4y +20=t，即2x - 4y +20-t=0是与直线2x-4y=0平行的一族直线，当2x-4y+20-t=0与圆相切时，t取得最大值和最小值．已知圆的圆心坐标是（1，-2），半径为5，则d=
即所以或所以x2+y2=t的最小值是故选A．
9．B【提示】圆心坐标为（-1，-1），r=因为所以d2-
故选B．
10.C【提示】圆的对称轴是圆的直径所在的直线，这是圆的性质，也是题中的隐含条件，所以圆心在直线y=x-l上，所以故选C．
11．【提示】切线长
12. 5x+12y+26=0，或x=2【提示】如图所示，∵|AB |=8．2．设AB所在的直线方程为y+3 =k（x-2)，即kx -y - 2k -3 =0，圆心O到AB的距离为
解得此时，AB所在的直线方程为5x+12y+ 26=0．当AB所在的直线方程为x=2时，符合题意．所以，所求弦AB所在的直线方程是5x+12y+26=0，或x=2．
13.点在圆上【提示】解方程组得把点(1，2)代入圆C方程的左边，得(1-2)2+(2-4)2=5，所以点(1，2)在圆上.
14．【提示】如图所示，设AB弦中点为M（x，y），由得(x-2)2+(y+1)2=8为所求的轨迹方程．
15．【提示】将圆的方程化为标准方程为可以看做是点A(-1，0)与圆上一点P(x，y)连线的斜率k，由图知O≤k≤．设AP所在的直线方程为y=k（x+l），即kx-y+k=0．圆心到切线的距离解得k=0，或因此，的最小值为.
16.解：所求圆经过原点和(0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上，根据这三个条件可确定圆的方程，方法一：将圆C的方程化为标准方程得（x+5）2+(y+5)2= 50，则圆心坐标为点（-5，-5），所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为（x-a）2+(y-b)2= r2，由题意得解得于是，所求圆的方程是
方法二：由题意，所求圆经过点(0，0)和点(0，6)，所以圆心一定在直线y=3上．又由方法一，知圆心在直线x-y=0上，所以由得圆心坐标为(3，3).
所以，故所求圆的方程为
17．解：由题意得B（O，-2，0），C(O，2，0)．设D(O，y，z)，在Rt ABDC中，又
18．解：假设存在这样的实数b，点A(3，3)关于的对称点为A′(3 -b，3+b)，反射光线所在的直线方程为(25b+68)x+(25b-51)y-31b-51 =0．∵反射光线是圆的切线，
即b2-8b+16=0．∴6=4．故存在实数b．且b=4.
19．(1)证明：直线AB的方程为1，即bx+ay-ab=0. ∵直线AB与圆C：（x-2）2+(y-2)2=4相切，即(a-4)(b-4)=8.
(2)解：设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，即a=2x，b=2y，
即为 所求的点M的轨迹方程．
20.解：求A、B两点的坐标太复杂，若能发现P、A、B、C四点共圆且以PC为直径，则圆的方程易求．
(1)如下图所示，连接CA、CB.由平面几何知，CA ⊥PA，CB⊥PB.这些点P、A、C、B共圆，且CP为直径，这也是过三点A、B、C的圆.
∵P( -2，-3)，圆心坐标为C(4，2)，∴所求圆的方程为（x+2）（x-4）+(y+3)（y-2）=0，即x2+y2-2x+y-14=0．
(2)直线AB即为这两个圆的公共弦所在直线，由x2+y2-2x+y-14=0与（x-4）2+（y-2）2=9相减，得6x+5y-25=0即为所求．
(3)设AB、PC交于点Q，则| PQ|
在Rt△PCA中，因为AQIPC，由平面几何知．
21.解：(1)以城市开发中心O为原点，分别以2、1为x轴、y轴，建立直角坐标系．根据题意，得M(O，3)、N(4，5)，故MN的中点坐标为(2，4)，∴线段MN的垂直平分线方程为y-4=-2(x-2)．令y=0，得x=4，故圆心A的坐标为(4，0)，
半径. ∴⊙A的方程为（x-4）2+y2-25， ∴的方程为
(2)设校址选在点B(a，0)（a>4），则对0≤x≤4恒成立，整理得(8 -2a)x十a2-17≥0 ①对O≤x≤4恒成立，令f(x)= ∴
8-.∴在[0，4]上为减函数，要使①恒成立，当且仅当时，
即 ∴a≥5,即校址距离点p的最近距离为5km.
测试时间：120分钟 测试满分：150分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．直线5x+12y-8 =0和圆（x-l）2+(y+3)2=8的位置关系是( )．
A．相交且直线过圆心 B．相切
C．相交且直线不过圆心 D．相离
2．若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切，则a的值为( )．
A.l、-1 B.2、-2 C.l D．-1
3．已知圆及直线:x-y+3=0，当直线被圆C截得的弦长为时，则a等于( )．
4．圆x2+y2-2x=0和圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )．
A．相离 B．外切 C．相交 D．内切
5．已知空间两点A(l，3，5)、B（-3，1，3），则线段AB的中点坐标为( )．
A．（-1，2，4） B．(2，1，1)
C．(1，0，4) D．（3，3，-1）
6．直线与y轴的交点为P，点P把圆（x+l）2+y2=25的直径分为两段，这两段长度之比为( )．
或 或
或 或
7．圆上到直线x+y+l =O的距离为的点共有( )．
A.l个 B.2个 C.3个 D.4个
8．已知实数x、y满足则x2+ y2的最小值是( )．
C.5 D.25
9．常数C≠0，则圆与直线2x+2y+C=0的位置关系是( )．
A．相交 B．相离
C．相切 D．随C值变化
10.圆关于直线y=x-l对称，则( )．
A．D+E=2 B.D-E=-1
C.D-E=-2 D.D+E=1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上．）
11.经过原点O作圆（x-6）2+y2=4的切线，切线长是 ______．
12．经过点P(2，-3)作圆X2+y2= 20的弦AB，且使|AB|=8，则弦AB所在的直线方程是__ __．
13.直线的交点P与圆的关系是 .
14.圆的弦长为2，则弦的中点的轨迹方程是____ _____．
15.点P(x，y)在圆上，则的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.（12分）求过点(0，6)且与圆C：x2+y2+10x+10y=O切于原点的圆的方程．
17.（12分）如图4-31所示，BC=4，原点0是BC的中点，点A的坐标是点D在平面yOz上，且∠BDC=90,求AD的长度．
18.（12分）已知直线:y=x+b及圆C:x2+y2=1，是否存在实数b，使自A(3，3)发出的光线被直线反射后与圆C相切于点若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．
19.（13分）已知点A(a，0)、B(O，b)（其中a、b均大于4），直线AB与圆C:x2+y2-4x -4y+4 =0相切．
(1)求证：（a-4）(6-4)=8；
(2)求线段AB的中点M的轨迹方程．
20.（13分）过点P( -2，-3)作圆的两条切线，切点分别为A、B，求：
(1)经过圆心C，切点A、B这三点的圆的方程；
(2)直线AB的方程；
(3)线段AB的长．
21.（13分）如图4-32所示，1，2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在2上的一段圆弧，点M在点0正北方向，且|MO|=3km，点N到1，2的距离分别为4km和5km.
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在点0正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于求校址距离点0的最近距离．（注：校址视为一个点）
参考答案
一、选择题
1．D 【提示】圆的圆心坐标为（1，-3），它到直线5x+12y-8=0的距离为3，比此圆的半径2大，所以，直线与圆的位置关系为相离．故选D．
2．D 【提示】由于圆x2+y2-2x=0的圆心坐标为(1，0)，半径为1，则由已知有解得a=-1．故 选D．
3．C【提示】弦心距1，所以圆心(a，2)到直线的距离为1．
即解得或舍去）．故选C．
4．C 【提示】计算两圆的圆心距d=而2-1=
∴两圆相交．
5．A 【提示】设AB中点坐标为(x,y,z)，则有即坐标为（-1，2，4）．故选A．
6．A【提示】数形结合法：点P的坐标是圆心坐标为C（-1，0），半径为 5．
因为所以点P在圆内．设P在直径AB上，则
所以分成的两线段之比为3:7或7：3．故选A．
7．C【提示】圆的标准方程是（x+l）2+（y-2）2=8．圆心为C（-1，2），半径圆心C到直线x+y+l =0的距离与直线x+y+l=0平行的直径的两个端点到直线x+y+l =0的距离均为，与直线x+y+l =0垂直的直径的一个端点到它的距离也是（半径所以这样的点共有3个．故选C．
8．A【提示】方法一：数形结合法：x2+y2的意义是圆土的点到原点的距离的平方，即求原点与圆上的点的连线中最短的距离．已知圆的标准方程是原点与圆心（1，-2）的距离圆的半径为5，所以最短距离为所以
方法二：由已知圆的方程得设x2+y2=t，则2x-4y +20=t，即2x - 4y +20-t=0是与直线2x-4y=0平行的一族直线，当2x-4y+20-t=0与圆相切时，t取得最大值和最小值．已知圆的圆心坐标是（1，-2），半径为5，则d=
即所以或所以x2+y2=t的最小值是故选A．
9．B【提示】圆心坐标为（-1，-1），r=因为所以d2-
故选B．
10.C【提示】圆的对称轴是圆的直径所在的直线，这是圆的性质，也是题中的隐含条件，所以圆心在直线y=x-l上，所以故选C．
11．【提示】切线长
12. 5x+12y+26=0，或x=2【提示】如图所示，∵|AB |=8．2．设AB所在的直线方程为y+3 =k（x-2)，即kx -y - 2k -3 =0，圆心O到AB的距离为
解得此时，AB所在的直线方程为5x+12y+ 26=0．当AB所在的直线方程为x=2时，符合题意．所以，所求弦AB所在的直线方程是5x+12y+26=0，或x=2．
13.点在圆上【提示】解方程组得把点(1，2)代入圆C方程的左边，得(1-2)2+(2-4)2=5，所以点(1，2)在圆上.
14．【提示】如图所示，设AB弦中点为M（x，y），由得(x-2)2+(y+1)2=8为所求的轨迹方程．
15．【提示】将圆的方程化为标准方程为可以看做是点A(-1，0)与圆上一点P(x，y)连线的斜率k，由图知O≤k≤．设AP所在的直线方程为y=k（x+l），即kx-y+k=0．圆心到切线的距离解得k=0，或因此，的最小值为.
16.解：所求圆经过原点和(0，6)，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上，根据这三个条件可确定圆的方程，方法一：将圆C的方程化为标准方程得（x+5）2+(y+5)2= 50，则圆心坐标为点（-5，-5），所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为（x-a）2+(y-b)2= r2，由题意得解得于是，所求圆的方程是
方法二：由题意，所求圆经过点(0，0)和点(0，6)，所以圆心一定在直线y=3上．又由方法一，知圆心在直线x-y=0上，所以由得圆心坐标为(3，3).
所以，故所求圆的方程为
17．解：由题意得B（O，-2，0），C(O，2，0)．设D(O，y，z)，在Rt ABDC中，又
18．解：假设存在这样的实数b，点A(3，3)关于的对称点为A′(3 -b，3+b)，反射光线所在的直线方程为(25b+68)x+(25b-51)y-31b-51 =0．∵反射光线是圆的切线，
即b2-8b+16=0．∴6=4．故存在实数b．且b=4.
19．(1)证明：直线AB的方程为1，即bx+ay-ab=0. ∵直线AB与圆C：（x-2）2+(y-2)2=4相切，即(a-4)(b-4)=8.
(2)解：设线段AB的中点M的坐标为(x，y)，即a=2x，b=2y，
即为 所求的点M的轨迹方程．
20.解：求A、B两点的坐标太复杂，若能发现P、A、B、C四点共圆且以PC为直径，则圆的方程易求．
(1)如下图所示，连接CA、CB.由平面几何知，CA ⊥PA，CB⊥PB.这些点P、A、C、B共圆，且CP为直径，这也是过三点A、B、C的圆.
∵P( -2，-3)，圆心坐标为C(4，2)，∴所求圆的方程为（x+2）（x-4）+(y+3)（y-2）=0，即x2+y2-2x+y-14=0．
(2)直线AB即为这两个圆的公共弦所在直线，由x2+y2-2x+y-14=0与（x-4）2+（y-2）2=9相减，得6x+5y-25=0即为所求．
(3)设AB、PC交于点Q，则| PQ|
在Rt△PCA中，因为AQIPC，由平面几何知．
21.解：(1)以城市开发中心O为原点，分别以2、1为x轴、y轴，建立直角坐标系．根据题意，得M(O，3)、N(4，5)，故MN的中点坐标为(2，4)，∴线段MN的垂直平分线方程为y-4=-2(x-2)．令y=0，得x=4，故圆心A的坐标为(4，0)，
半径. ∴⊙A的方程为（x-4）2+y2-25， ∴的方程为
(2)设校址选在点B(a，0)（a>4），则对0≤x≤4恒成立，整理得(8 -2a)x十a2-17≥0 ①对O≤x≤4恒成立，令f(x)= ∴
8-.∴在[0，4]上为减函数，要使①恒成立，当且仅当时，
即 ∴a≥5,即校址距离点p的最近距离为5km.