三、导数及其应用 试题
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三、导数及其应用
一、选择题：
1．若则的值为( )．
2．曲线在以点(1，﹣l)为切点的切线方程是( )．
3．若函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为( )．
4．若曲线的一条切线的斜率是4，则切线的方程为( )．
5．如图，在同一坐标系中，函数的图象(实线)和它的导函数的图象(虚线)，其中一定不正确的一组是( )．
6．设函数的导函数是, 若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为( )．
7．设函数的导函数是，且是奇函数．若曲线的一条切线的斜率是则切点的横坐标为( )．
8．设在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为( ) ∪
9．已知过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是( ).
10．定义在上的函数满足 为的导函数，已知函数的图象如右图所示．若两正数a、b满足则的取值范围是( )．
∪
11．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是( )．
12．设是定义域为的奇函数，是定义域为的恒大于零的函数，且当时，有若 不等式的解集是( )．
∪ ∪
∪ ∪
13．过函数图象上的一点的切线的倾斜角是则的取值范围是( )．
∪
14．函数在定义域内可导，若且当时，
设 则( )．
15．如图，曲线上任一点的切线交轴于，过作垂直于轴于，
若的面积为则与的关系满足( )．
16．设函数集合若
, 则实数的取值范围是( )．
二、填空题：
17．已知函数的反函数是 的图象在点处的切线方程是： ，若点的横坐标是，则_______________.
18．设函数若函数是奇函数，则
19．已知函数的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_________________.
20．若以曲线(为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数的取值范围为_____________．
21．过点作曲线的切线，则切线方程为_______________．
22．已知
记则；
23．已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么；函数的值域为____________．
24．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是______________．
三、解答题：
25．已知函数在时有极值．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若函数的图象上有一条切线与直线平行，求该切线方程．
26．已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为．
(I)求的值；
(Ⅱ)求函数的单调区间；
(Ⅲ)求函数在上的最值．
27．已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点.
(I)求函数的解析式；
(Ⅱ)求函数的递增区间；
(Ⅲ)求函数在区间上的最大值和最小值．
28．设是函数的两个极值点．
(Ⅰ)若，求函数的解析式；
(Ⅱ)若 求的最大值；
(Ⅲ)设函数当时，
求证：
29．已知函数在处连续．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求函数的单调减区间；
(Ⅲ)若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
30．已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为 数列的前项和为，点均在函数的图象上．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设 是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
31．已知：函数
(Ⅰ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为求；
(Ⅱ)设的导函数是，在(Ⅰ)的条件下, 若求的最小值；
(Ⅲ)若存在 使，求的取值范围．
32．定义在上的函数， 其中是自然对
数的底数，
(Ⅰ)若函数在点处连续，求的值；
(Ⅱ)若函数为上的单调函数，求实数的取值范围；并判断此时函数在上是否为单调函数；
(Ⅲ)当时，记 试证明：对当时，有
参考答案
1．C．又即∴选C．
2．A．∴切线方程为
即．∴选A．
3．B． 在上有两个极值点，方程有两个不相等实数根，由选B．
4．A．对求导数，得，又切线斜率为4，，即．
∴切线方程为 即选A．
5．A．从选项入手，A图可设为则可知此图不正确；B图正确；后两个图可设，则显然正确．∴选A．
6．A．对求导数，得 为偶函数，
切线方程为选A．
7．D．是奇函数，
令
或(舍去)． 相应的切点的横坐标为选D．
8．C．由在上单调可得：或在上恒成立．利用分离参数即可解得．∴应选C．
9．D．依题意 设切点为，则 整理得，因为过点有三条切线，有三个不等实根；令或时，时，且解得选择D．
10．C．由的图象知，在上单调递减，在上单调递增，均为正数，又
即为且．作出不等式组表示的可行域如图．因为表示与两点连线的斜率，易知∴选择C．
11．D．的定义域为即 排除B、C两项．
又令 得或(舍去)．由题意
解之，得∴选D．
12．C．由已知，得当时，
设则当时，
在上是减函数．当时，即；
当时，即；
又由是奇函数，则当时，；
当时，所以的解集为
∪ ∴选C．
13．D．依题意得
即∪.∴选D．
14．B．由可得对称轴为，故又
时，可知即在上单调递增．
即选B．
15．D．设则．所在的直线方程为 则它与轴的交点为由已知得三角形的面积是即选D．
16．C．对于，
又且．
．
对于由，得即
, 的解为∴选C．
17．4．依题意，图象上点坐标为(5，3)，过P点的切线斜率关于的对称点在的反函数的图象上，
所以
18．由题意得是奇函数，因此 (其中又所以
19．由得
在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增．
极大值为
极小值为
由①②，得
20．由导函数的几何意义知：切线的斜率
恒成立
21．或．设过点A作曲线的切线，相应的切点坐标是
则相应的切线方程为又点在该切线上，因此有
即或．
所求切线方程是或，即或．
22． 由题意得
函数列是以4为周期重复出现，
且因此
23．．依题意，则解得，所以．由，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
的值域为．
24．
又切点为，
∴切线方程为令，则
∴数列的通项公式故其前n项和公式
25．解：(Ⅰ)依题意有可得
解之，得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知依题意可知，切线的斜率为，令，可得．又 所以切线过点(2，4)，从而切线方程为．
26．解：(Ⅰ)函数的图象过点， ①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
②解由①②组成的方程组，可得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 令，可得或令，可得
∴函数的单调增区间为 单调减区间为
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知在上是减函数，在上是增函数．
∴在上的最小值为又
在上的最大值为．
∴函数在上的最小值为最大值为．
27．解：(Ⅰ)切点为得．
得．
则 由得．
(Ⅱ)由得令
解得或
∴函数的单调递增区间为
（Ⅲ）令得
列出的关系如下：
∴当时，的最大值为，最小值为．
28．解：(Ⅰ)
依题意有解得
(Ⅱ)依题意是方程的两个根，
且
设则
由 由得．
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．
∴当时，有极大值为，在的最大值为．
的最大值为．
(Ⅲ)是方程的两根，
即
即
成立．
29．解：(Ⅰ)由在处连续，可得，故．
(Ⅱ)由(I)，得
当时，令 可得
当时，故．所以函数的单调减区间为
(Ⅲ)设
当时，
令，可得或，即令，可得
为函数的单调增区间，为函数的单调减区间．
当时，故当时，．
为函数的单调减区间．又函数在处连续，
于是函数的单调增区间为单调减区间为
所以函数的最大值为
要使不等式对一切恒成立，即对一切恒成立，
又故的取值范围为
30．解：(Ⅰ)设这个二次函数则
由于得，所以
又因为点均在函数的图象上，所以
当时，，
当时，
故的通项公式
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故
因此，使成立的，必须且仅需满足
即，所以满足要求的最小正整数为．
31．解：(Ⅰ)由题意，即．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知则
的变化情况如下表：
∴对于的最小值为．
的对称轴为且抛物线开口向下，
时，的最小值为与中较小者．
∴当时，的最小值为．∴当时，的最小值为．
的最小值为．
(Ⅲ)
(1)若，当时，在上单调递减．
又，则当时，．∴当时，不存在，使．
(2)若，则当时，，当时，．
从而在上单调递增，在上单调递减．
∴当时，
据题意，即综上，的取值范围是
32．解：(Ⅰ)
又已知在点处连续，
(Ⅱ)当时，
此时，
不可能在上恒小于．
故在上必为增函数．
在上恒成立在(0，1)上恒成立．
设
在上是增函数，．∴当时，在上是增函数．
又当时，在上也是增函数；
当时，
此时，在上不一定是增函数．
(Ⅲ)当时，
当时，欲证
即证
需证
即需证
猜想：其中下面证明之．
构造函数
在上是减函数，而 ，即有
同理，设
在上是增函数，而 ，即有．
故有其中
分别取有
相加，得
即
即
一、选择题：
1．若则的值为( )．
2．曲线在以点(1，﹣l)为切点的切线方程是( )．
3．若函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为( )．
4．若曲线的一条切线的斜率是4，则切线的方程为( )．
5．如图，在同一坐标系中，函数的图象(实线)和它的导函数的图象(虚线)，其中一定不正确的一组是( )．
6．设函数的导函数是, 若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为( )．
7．设函数的导函数是，且是奇函数．若曲线的一条切线的斜率是则切点的横坐标为( )．
8．设在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为( ) ∪
9．已知过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是( ).
10．定义在上的函数满足 为的导函数，已知函数的图象如右图所示．若两正数a、b满足则的取值范围是( )．
∪
11．若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是( )．
12．设是定义域为的奇函数，是定义域为的恒大于零的函数，且当时，有若 不等式的解集是( )．
∪ ∪
∪ ∪
13．过函数图象上的一点的切线的倾斜角是则的取值范围是( )．
∪
14．函数在定义域内可导，若且当时，
设 则( )．
15．如图，曲线上任一点的切线交轴于，过作垂直于轴于，
若的面积为则与的关系满足( )．
16．设函数集合若
, 则实数的取值范围是( )．
二、填空题：
17．已知函数的反函数是 的图象在点处的切线方程是： ，若点的横坐标是，则_______________.
18．设函数若函数是奇函数，则
19．已知函数的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_________________.
20．若以曲线(为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数的取值范围为_____________．
21．过点作曲线的切线，则切线方程为_______________．
22．已知
记则；
23．已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么；函数的值域为____________．
24．对正整数，设曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和的公式是______________．
三、解答题：
25．已知函数在时有极值．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若函数的图象上有一条切线与直线平行，求该切线方程．
26．已知函数的图象过点，且在点处的切线斜率为．
(I)求的值；
(Ⅱ)求函数的单调区间；
(Ⅲ)求函数在上的最值．
27．已知函数的图象是曲线，直线与曲线相切于点.
(I)求函数的解析式；
(Ⅱ)求函数的递增区间；
(Ⅲ)求函数在区间上的最大值和最小值．
28．设是函数的两个极值点．
(Ⅰ)若，求函数的解析式；
(Ⅱ)若 求的最大值；
(Ⅲ)设函数当时，
求证：
29．已知函数在处连续．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求函数的单调减区间；
(Ⅲ)若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
30．已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为 数列的前项和为，点均在函数的图象上．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设 是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
31．已知：函数
(Ⅰ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为求；
(Ⅱ)设的导函数是，在(Ⅰ)的条件下, 若求的最小值；
(Ⅲ)若存在 使，求的取值范围．
32．定义在上的函数， 其中是自然对
数的底数，
(Ⅰ)若函数在点处连续，求的值；
(Ⅱ)若函数为上的单调函数，求实数的取值范围；并判断此时函数在上是否为单调函数；
(Ⅲ)当时，记 试证明：对当时，有
参考答案
1．C．又即∴选C．
2．A．∴切线方程为
即．∴选A．
3．B． 在上有两个极值点，方程有两个不相等实数根，由选B．
4．A．对求导数，得，又切线斜率为4，，即．
∴切线方程为 即选A．
5．A．从选项入手，A图可设为则可知此图不正确；B图正确；后两个图可设，则显然正确．∴选A．
6．A．对求导数，得 为偶函数，
切线方程为选A．
7．D．是奇函数，
令
或(舍去)． 相应的切点的横坐标为选D．
8．C．由在上单调可得：或在上恒成立．利用分离参数即可解得．∴应选C．
9．D．依题意 设切点为，则 整理得，因为过点有三条切线，有三个不等实根；令或时，时，且解得选择D．
10．C．由的图象知，在上单调递减，在上单调递增，均为正数，又
即为且．作出不等式组表示的可行域如图．因为表示与两点连线的斜率，易知∴选择C．
11．D．的定义域为即 排除B、C两项．
又令 得或(舍去)．由题意
解之，得∴选D．
12．C．由已知，得当时，
设则当时，
在上是减函数．当时，即；
当时，即；
又由是奇函数，则当时，；
当时，所以的解集为
∪ ∴选C．
13．D．依题意得
即∪.∴选D．
14．B．由可得对称轴为，故又
时，可知即在上单调递增．
即选B．
15．D．设则．所在的直线方程为 则它与轴的交点为由已知得三角形的面积是即选D．
16．C．对于，
又且．
．
对于由，得即
, 的解为∴选C．
17．4．依题意，图象上点坐标为(5，3)，过P点的切线斜率关于的对称点在的反函数的图象上，
所以
18．由题意得是奇函数，因此 (其中又所以
19．由得
在区间内递增，在区间内递减，在区间内递增．
极大值为
极小值为
由①②，得
20．由导函数的几何意义知：切线的斜率
恒成立
21．或．设过点A作曲线的切线，相应的切点坐标是
则相应的切线方程为又点在该切线上，因此有
即或．
所求切线方程是或，即或．
22． 由题意得
函数列是以4为周期重复出现，
且因此
23．．依题意，则解得，所以．由，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
的值域为．
24．
又切点为，
∴切线方程为令，则
∴数列的通项公式故其前n项和公式
25．解：(Ⅰ)依题意有可得
解之，得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知依题意可知，切线的斜率为，令，可得．又 所以切线过点(2，4)，从而切线方程为．
26．解：(Ⅰ)函数的图象过点， ①
又函数图象在点P处的切线斜率为8，
②解由①②组成的方程组，可得
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 令，可得或令，可得
∴函数的单调增区间为 单调减区间为
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知在上是减函数，在上是增函数．
∴在上的最小值为又
在上的最大值为．
∴函数在上的最小值为最大值为．
27．解：(Ⅰ)切点为得．
得．
则 由得．
(Ⅱ)由得令
解得或
∴函数的单调递增区间为
（Ⅲ）令得
列出的关系如下：
∴当时，的最大值为，最小值为．
28．解：(Ⅰ)
依题意有解得
(Ⅱ)依题意是方程的两个根，
且
设则
由 由得．
所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．
∴当时，有极大值为，在的最大值为．
的最大值为．
(Ⅲ)是方程的两根，
即
即
成立．
29．解：(Ⅰ)由在处连续，可得，故．
(Ⅱ)由(I)，得
当时，令 可得
当时，故．所以函数的单调减区间为
(Ⅲ)设
当时，
令，可得或，即令，可得
为函数的单调增区间，为函数的单调减区间．
当时，故当时，．
为函数的单调减区间．又函数在处连续，
于是函数的单调增区间为单调减区间为
所以函数的最大值为
要使不等式对一切恒成立，即对一切恒成立，
又故的取值范围为
30．解：(Ⅰ)设这个二次函数则
由于得，所以
又因为点均在函数的图象上，所以
当时，，
当时，
故的通项公式
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
故
因此，使成立的，必须且仅需满足
即，所以满足要求的最小正整数为．
31．解：(Ⅰ)由题意，即．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知则
的变化情况如下表：
∴对于的最小值为．
的对称轴为且抛物线开口向下，
时，的最小值为与中较小者．
∴当时，的最小值为．∴当时，的最小值为．
的最小值为．
(Ⅲ)
(1)若，当时，在上单调递减．
又，则当时，．∴当时，不存在，使．
(2)若，则当时，，当时，．
从而在上单调递增，在上单调递减．
∴当时，
据题意，即综上，的取值范围是
32．解：(Ⅰ)
又已知在点处连续，
(Ⅱ)当时，
此时，
不可能在上恒小于．
故在上必为增函数．
在上恒成立在(0，1)上恒成立．
设
在上是增函数，．∴当时，在上是增函数．
又当时，在上也是增函数；
当时，
此时，在上不一定是增函数．
(Ⅲ)当时，
当时，欲证
即证
需证
即需证
猜想：其中下面证明之．
构造函数
在上是减函数，而 ，即有
同理，设
在上是增函数，而 ，即有．
故有其中
分别取有
相加，得
即
即