5
数学广角——鸽巢问题
第1课时
鸽巢问题（1）
教学内容：教材第68页例1、第69页例2及练习十三相关题目。
教学目标：
1.了解“鸽巢原理”的特点，理解“鸽巢原理”的含义,能用“鸽巢原理”解释相关的现象。
2.经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步理解“鸽巢原理”的含义。
教学难点：掌握运用“鸽巢原理”解决简单的实际问题的方法。
教学准备：多媒体课件。
教学过程
学生活动
（二次备课）
一、情境引入
老师组织学生做“抢椅子”游戏（请3名同学上来，摆开2把椅子），并宣布游戏规则。
师：像这样的现象中隐藏着什么数学奥秘呢？这节课我们就一起来研究这个问题。
出示课题“鸽巢问题”。
二、预习反馈
点名让学生汇报预习情况。（重点让学生说说通过预习本节课要学习的内容，学到了哪些知识，还有哪些不明白的地方，有什么问题）
三、探索新知
1.探究简单的鸽巢原理。
出示例1，思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，可以怎么放？有几种情况？
组织学生操作，发现规律。
放法一:4、0、0；放法二:3、1、0；放法三:2、2、0；放法四:2、1、1。
讨论这四种放法的共同点：总有1个笔筒里至少有2支铅笔。
理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。
2.认识“鸽巢问题”。
像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，3个笔筒就相当于3个“鸽巢”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子里，总有1个笼子里至少有2只鸽子。
这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有放法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。
小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。
3.总结:“鸽巢原理”（一）。
如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了2个物体。
4.教学例2。
课件出示例2。
引导学生观察，获取数学信息。然后小组合作，用自己喜欢的方法解决问题。
方法一：用数的分解法证明。
把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：
7、0、0；6、1、0；5、2、0；5、1、1；4、3、0；4、2、1；3、3、1；3、2、2。由此可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种放法中最大的数中“最小”的数是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。
方法二：用假设法证明。
把7本书平均分成3份，7÷3＝2（本）……1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。
得出结论：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。
归纳总结：
综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3＝b（本）……1（本）或a÷3＝b（本）……2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b＋1）本书。
5.总结“鸽巢原理”（二）。
把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非零自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k＋1）个物体。
四、巩固练习
1.完成教材第68页“做一做”。
2.完成教材第69页“做一做”。
五、拓展提升
1.六（1）班有50名同学，所以六（1）班至少有5名同学的生日在同一个月。为什么？
50÷12＝4（人）……2（人）至少有5名同学的生日在同一个月
2.把36个玩具最多分给几个小朋友，才能保证至少有一个小朋友有2个玩具？
35个
六、课堂总结
通过本节课的学习，你有哪些新的收获？你还有哪些问题？
七、作业布置
教材练习十三第1、2题。
教师根据学生预习的情况，有侧重点地调整教学方案。
动手操作，在小组内汇总后再汇报。
交流，感悟“鸽巢原理”（一）。
尝试用自己喜欢的方法解决问题。
交流，感悟“鸽巢原理”（二）。
独立完成后，集体交流，说出计算过程。
板书设计
鸽巢问题（1）
例1
4＝4＋0＋0
4＝3＋1＋0
4＝2＋2＋0
4＝2＋1＋1
4÷3＝1……1
1＋1＝2
例2
7÷3＝2……1
2＋1＝3
8÷3＝2……2
2＋1＝3
10÷3＝3……1
3＋1＝4
物体数÷鸽巢数＝商……余数
至少数＝商＋1
教学反思
成功之处：在教学设计中引导学生从简单的情况开始研究，渗透“建模”思想。通过学生动手操作、小组交流、汇报展示，使学生相互学习解决问题的不同方法。通过说理，沟通比较不同的方法，让学生理解：为什么只研究一种方法（平均分的思路）就能断定一定有“至少2支笔放进同一个笔筒中”。这个过程主要解决对“至少”“总有”和“平均分”这些词的理解。再通过摆或假设法继续发现规律，在这个过程中抽象出算式，并在观察比较中全面概括、总结抽屉原理，建立起此类问题的模型。
不足之处：这部分内容属于思维训练的内容，课堂上未能让学生多说理，让学生在说理的过程中真正理解体会“鸽巢问题”中的“总有”和“至少”的真正含义，并能灵活运用所学知识解答一些变式练习，教师讲的内容有些多。
教学建议：这节课教学要注重学生的自主探索精神,让学生在学习中经历猜想、验证、推理、应用的过程，适当设计形式多样化的练习,可以引起并保持学生的学习兴趣。第2课时
鸽巢问题（2）
教学内容：教材第70页例3及练习十三相关题目。
教学目标：
1.在理解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决简单的实际问题。
2.经历把实际问题转化为鸽巢问题的过程，了解用“鸽巢原理”解题的一般步骤，恰当运用“鸽巢原理”解决问题。
3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。
教学重点：能运用“鸽巢原理”解决实际问题。
教学难点：能根据题意设计“鸽巢”。
教学准备：多媒体课件。
教学过程
学生活动
（二次备课）
一、复习导入
1.课件出示下列问题。
（1）把5只鸽子放进4个笼子里，总有一个笼子里至少放进（
）只鸽子。
（2）把7本书放进4个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进（
）本书。
（3）体育课上，10个小朋友进行投篮练习，他们共投进51个球。有一个小朋友至少投进几个球？
2.导入新课：上节课我们了解了“鸽巢原理”，这节课我们就用“鸽巢原理”解决问题。
二、预习反馈
点名让学生汇报预习情况。（重点让学生说说通过预习本节课要学习的内容，学到了哪些知识，还有哪些不明白的地方，有什么问题）
三、探索新知
1.课件出示例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
学生提出猜想。
分组讨论：如何把这道题转化为“鸽巢问题”？
这道题其实就是把摸出的球（鸽子）放在两种颜色的“鸽巢”中，结论就是有一个颜色“鸽巢”中至少有2个。
根据“鸽巢原理”（一），只要摸出的球的个数比它们的颜色种数多1，就能保证一定有2个球是同色的，所以答案是至少要摸出3个球。
有两种颜色，只要摸出的球比它们的颜色至少多1，就能保证有两个球同色。
2.引导学生总结用“鸽巢原理”解决问题的一般步骤。
（1）确定什么是鸽巢及有几个鸽巢。
（2）确定分放的物体。
（3）用倒推的方法找到答案。
四、巩固练习
1.完成教材第70页“做一做”第2题。
2.完成教材练习十三第3、4题。
五、拓展提升
一副扑克牌（不包括大、小王）有4种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。
（1）最少要抽（
13
）张牌，才能保证一定有4张牌是同一种花色的。
（2）最少要抽（
14
）张牌，才能保证一定有2张牌是不同种花色的。
（3）最少要抽（
14
）张牌，才能保证一定有2张牌是数字相同的。
六、课堂总结
今天我们通过学习进一步理解了“鸽巢原理”，并运用它解决实际问题。
七、作业布置
教材练习十三第5、6题。
独立回答问题。
教师根据学生预习的情况，有侧重点地调整教学方案。
独立思考后，在小组内讨论怎样用“鸽巢原理”解决这些问题。
板书设计
鸽巢问题（2）
基本步骤：
（1）确定什么是鸽巢及有几个鸽巢。
（2）确定分放的物体。
（3）用倒推的方法找到答案。
教学反思
成功之处：本节课的设计重视已有知识经验的迁移，使新知的学习有充足的知识储备，并密切联系学生的实际生活，充分借助学生已有的生活经验。
不足之处：设计中没有提到“最不利”情况的假设法使用，在摸球的简单问题中用这种方法比较简单快速。
教学建议：实际教学时可以在分析用“鸽巢原理”解决问题后，再采用“最不利”假设法。
