2020-2021学年山东省济宁学院附中九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年山东省济宁学院附中九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-11 05:20:30 | ||
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文档简介
2020-2021学年山东省济宁学院附中九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（共10小题）.
1．﹣的倒数为（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．﹣
2．实数﹣，|﹣|，0，中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．|﹣| C．0 D．
3．5G被认为是物联网、自动驾驶汽车、智慧城市的“结缔组织”，是工业互联网的中坚力量．近年来，我国5G发展取得明显成就，根据中国工信部的数据，截至2020年10月底，全国累计建设开通5G基站达69.5万个，将数据69.5万用科学记数法表示为（ ）
A．695×103 B．69.5×104 C．6.95×105 D．0.695×106
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3?a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠6 C．x≠0且x≠6 D．x≠﹣6
6．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（ ）
A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）
7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．一列实数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝＝＝，a3＝，…，an＝，则a1a2a3…a2021的结果为（ ）
A．﹣ B． C．673 D．﹣2021
二、填空题（共5小题）.
11．分解因式：3a2﹣12b2＝ ．
12．把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为 ．
13．已知y＝++1，＝ ．
14．已知m﹣n＝2，则分式÷（2n+）＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为 ．
三、解答题
16．计算（或解方程）：
（1）（）0﹣2sin30°++2﹣1；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
17．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
19．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值．
（2）求出S△AOB的面积．
（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．
20．某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？
（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
21．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数；
例题：证明当x＞0时，函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴当x＞0时函数f（x）＝（x＞0）是减函数
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）判断函数f（x）＝2x﹣1是增函数，还是减函数？并说明理由．
（2）已知函数f（x）＝（x＜0），
f（﹣1）＝＝﹣3，f（﹣2）＝＝﹣
①计算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；
②猜想：函数f（x）＝（x＜0）是 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想．
22．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．﹣的倒数为（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．﹣
解：因为﹣×（﹣6）＝1，
所以﹣的倒数为﹣6．
故选：A．
2．实数﹣，|﹣|，0，中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．|﹣| C．0 D．
解：∵﹣，|﹣|＝，0，＝2，
∴实数﹣，|﹣|，0，中，只有﹣是负数，故最小的数是﹣．
故选：A．
3．5G被认为是物联网、自动驾驶汽车、智慧城市的“结缔组织”，是工业互联网的中坚力量．近年来，我国5G发展取得明显成就，根据中国工信部的数据，截至2020年10月底，全国累计建设开通5G基站达69.5万个，将数据69.5万用科学记数法表示为（ ）
A．695×103 B．69.5×104 C．6.95×105 D．0.695×106
解：69.5万＝695000＝6.95×105．
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3?a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3?a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠6 C．x≠0且x≠6 D．x≠﹣6
解：要使分式有意义，必须x﹣6≠0，
解得，x≠6，
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（ ）
A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）
解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为（4，﹣6）．
故选：A．
7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：依题意，得：．
故选：A．
8．如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b），
∴b＝3+1，
解得b＝4，
∴P（1，4），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
解：当点P在OB上时，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴AC＝2，BO＝DO＝AO＝CO＝，
∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠BEF＝45°，∠BFE＝∠BCA＝45°，∠AOB＝∠EPB＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠BPE＝90°，
∴BP＝EP＝FP＝x，
∴OP＝﹣x，
∴y＝×EF×OP＝×2x×（﹣x）＝﹣x2+x，（0≤x≤）
当点P在DO上时，同理可得：y＝﹣x2+3x﹣4，（＜x≤2），
故选：C．
10．一列实数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝＝＝，a3＝，…，an＝，则a1a2a3…a2021的结果为（ ）
A．﹣ B． C．673 D．﹣2021
解：当a1＝﹣1，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝2，
a4＝＝，
…，
所以每3个数一循环；
2021÷3＝673…2，
第2020个数是﹣1，
第2021个数是，
（﹣1）××2＝﹣1，（﹣1）673＝﹣1；
（﹣1）×（﹣1）×＝．
故选：B．
二、填空题
11．分解因式：3a2﹣12b2＝ 3（a+2b）（a﹣2b） ．
解：3a2﹣12b2＝3（a2﹣4b2）
＝3（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：3（a+2b）（a﹣2b）．
12．把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为 y＝（x﹣3）2+5 ．
解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5．
故答案为y＝（x﹣3）2+5．
13．已知y＝++1，＝ 2 ．
解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x＝2，
则y＝1，
∴5x﹣2y＝5×2﹣2×1＝8，
∵8的立方根是2，
∴＝2，
故答案为：2．
14．已知m﹣n＝2，则分式÷（2n+）＝ ﹣ ．
解：原式＝÷（+）
＝÷
＝?
＝﹣，
当m﹣n＝2时，
原式＝﹣，
故答案为：﹣．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为 （7，） ．
解：BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，），
解方程组得或，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣2，﹣3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+﹣3，
当x＝0时，y＝x+﹣3＝﹣3，
∴D点坐标为（0，﹣3）
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x++3，
当x＝0时，y＝﹣x++3＝+3，
∴P点坐标为（0，+3）
∵S△PBC＝S△PBD+S△CPD，
∴×2×6+×a×6＝30，解得a＝7，
∴C点坐标为（7，）．
故答案为（7，）．
三、解答题
16．计算（或解方程）：
（1）（）0﹣2sin30°++2﹣1；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
解：（1）原式＝1﹣2×+2+
＝1﹣1+2+
＝2；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
移项，得x2﹣2x＝1，
配方，得x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
解得x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
17．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
解：（x+1）2﹣x（x+1）
＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵x1+x2﹣x1x2＝4，
∴m+2﹣2m＝4．
解得m＝﹣2．
19．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值．
（2）求出S△AOB的面积．
（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．
解：（1）∵把A（2，1）代入y＝x+m得：1＝2+m，
∴m＝﹣1，
∵把A（2，1）代入y＝得：1＝，
∴k＝2；
（2）解得：，
∴B的坐标是（﹣1，﹣2），
把x＝0代入y＝x﹣1得y＝﹣1，
∴直线与y轴的交点C为（0，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝；
（3）由图像可知，x+m﹣＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
20．某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？
（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝160．
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160﹣m）件，
依题意得：，
解得：80≤m≤84，
又∵m为整数，
∴m可以为80，81，82，83，84，
∴共有5种进货方案，
方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；
方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；
方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；
方案4：购进83件A型商品，77件B型商品；
方案5：购进84件A型商品，76件B型商品．
（3）方案1可获得的销售利润为（240﹣160）×80+（220﹣150）×80＝12000（元）；
方案2可获得的销售利润为（240﹣160）×81+（220﹣150）×79＝12010（元）；
方案3可获得的销售利润为（240﹣160）×82+（220﹣150）×78＝12020（元）；
方案4可获得的销售利润为（240﹣160）×83+（220﹣150）×77＝12030（元）；
方案5可获得的销售利润为（240﹣160）×84+（220﹣150）×76＝12040（元）．
∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，
∴购进84件A型商品，76件B型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．
21．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数；
例题：证明当x＞0时，函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴当x＞0时函数f（x）＝（x＞0）是减函数
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）判断函数f（x）＝2x﹣1是增函数，还是减函数？并说明理由．
（2）已知函数f（x）＝（x＜0），
f（﹣1）＝＝﹣3，f（﹣2）＝＝﹣
①计算：f（﹣3）＝ ﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣ ；
②猜想：函数f（x）＝（x＜0）是 减 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想．
解：（1）函数f（x）＝2x﹣1是增函数．
证明：设x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝2x1﹣1﹣（2x2﹣1）＝2（x1﹣x2）．
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝2x﹣1是增函数．
（2）①∵f（x）＝（x＜0），
∴f（﹣3）＝＝﹣，f（﹣4）＝＝﹣，
故答案为：﹣，﹣；
②猜想：函数f（x）＝（x＜0）是减函数，
证明：∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3），
∴猜想：函数f（x）＝（x＜0）是减函数，
故答案为减．
22．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴抛物线C的表达式为：y＝x2﹣x﹣；
（2）如图1，作PH⊥直线y＝﹣于点H，作MH′⊥直线y＝﹣于点H′，
∵抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，
∴MQ＝MH′，
∴MP+MQ＝MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M与M′重合时，MP+MQ最小，
∵P（3，4），
∴PH＝4﹣（﹣）＝，
∴MP+MQ的最小值为；
当x＝3时，y＝×32﹣3﹣＝﹣2，
∴M（3，﹣2）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣＝y＝（x﹣2）2﹣；
∴抛物线对称轴为x＝2，
设点坐称为（2，m），
∵A（﹣1，0），P（3，4），D（2，m），
∴AP＝4，AD2＝9+m2，PD2＝1+（m﹣4）2，
∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP＝90°或∠ADP＝90°或∠APD＝90°
①当∠DAP＝90°时，AP2+AD2＝PD2，
∴（4）2+9+m2＝1+（m﹣4）2，
解得：m＝﹣3，
∴D1（2，﹣3）；
②当∠ADP＝90°时，PD2+AD2＝AP2，
∴1+（m﹣4）2+9+m2＝（4）2，
解得：m1＝2+，m2＝2﹣，
∴D2（2，2+）；D3（2，2﹣）；
③当∠APD＝90°时，PD2+AP2＝AD2，
∴1+（m﹣4）2+（4）2＝9+m2，
解得：m＝5，
∴D4（2，5）；
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，5）．
一、选择题（共10小题）.
1．﹣的倒数为（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．﹣
2．实数﹣，|﹣|，0，中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．|﹣| C．0 D．
3．5G被认为是物联网、自动驾驶汽车、智慧城市的“结缔组织”，是工业互联网的中坚力量．近年来，我国5G发展取得明显成就，根据中国工信部的数据，截至2020年10月底，全国累计建设开通5G基站达69.5万个，将数据69.5万用科学记数法表示为（ ）
A．695×103 B．69.5×104 C．6.95×105 D．0.695×106
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3?a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠6 C．x≠0且x≠6 D．x≠﹣6
6．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（ ）
A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）
7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
10．一列实数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝＝＝，a3＝，…，an＝，则a1a2a3…a2021的结果为（ ）
A．﹣ B． C．673 D．﹣2021
二、填空题（共5小题）.
11．分解因式：3a2﹣12b2＝ ．
12．把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为 ．
13．已知y＝++1，＝ ．
14．已知m﹣n＝2，则分式÷（2n+）＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为 ．
三、解答题
16．计算（或解方程）：
（1）（）0﹣2sin30°++2﹣1；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
17．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
19．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值．
（2）求出S△AOB的面积．
（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．
20．某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？
（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
21．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数；
例题：证明当x＞0时，函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴当x＞0时函数f（x）＝（x＞0）是减函数
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）判断函数f（x）＝2x﹣1是增函数，还是减函数？并说明理由．
（2）已知函数f（x）＝（x＜0），
f（﹣1）＝＝﹣3，f（﹣2）＝＝﹣
①计算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ；
②猜想：函数f（x）＝（x＜0）是 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想．
22．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．﹣的倒数为（ ）
A．﹣6 B． C．6 D．﹣
解：因为﹣×（﹣6）＝1，
所以﹣的倒数为﹣6．
故选：A．
2．实数﹣，|﹣|，0，中，最小的数是（ ）
A．﹣ B．|﹣| C．0 D．
解：∵﹣，|﹣|＝，0，＝2，
∴实数﹣，|﹣|，0，中，只有﹣是负数，故最小的数是﹣．
故选：A．
3．5G被认为是物联网、自动驾驶汽车、智慧城市的“结缔组织”，是工业互联网的中坚力量．近年来，我国5G发展取得明显成就，根据中国工信部的数据，截至2020年10月底，全国累计建设开通5G基站达69.5万个，将数据69.5万用科学记数法表示为（ ）
A．695×103 B．69.5×104 C．6.95×105 D．0.695×106
解：69.5万＝695000＝6.95×105．
故选：C．
4．下列运算正确的是（ ）
A．（a3）4＝a12 B．a3?a4＝a12 C．a2+a2＝a4 D．（ab）2＝ab2
解：A、（a3）4＝a12，故原题计算正确；
B、a3?a4＝a7，故原题计算错误；
C、a2+a2＝2a2，故原题计算错误；
D、（ab）2＝a2b2，故原题计算错误；
故选：A．
5．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠6 C．x≠0且x≠6 D．x≠﹣6
解：要使分式有意义，必须x﹣6≠0，
解得，x≠6，
故选：B．
6．在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（ ）
A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）
解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为（4，﹣6）．
故选：A．
7．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒x斛，1个小桶盛酒y斛，下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：依题意，得：．
故选：A．
8．如图，直线l1：y＝3x+1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
解：∵直线y＝3x+1经过点P（1，b），
∴b＝3+1，
解得b＝4，
∴P（1，4），
∴关于x，y的方程组的解为，
故选：C．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
解：当点P在OB上时，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴AC＝2，BO＝DO＝AO＝CO＝，
∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠BEF＝45°，∠BFE＝∠BCA＝45°，∠AOB＝∠EPB＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠BPE＝90°，
∴BP＝EP＝FP＝x，
∴OP＝﹣x，
∴y＝×EF×OP＝×2x×（﹣x）＝﹣x2+x，（0≤x≤）
当点P在DO上时，同理可得：y＝﹣x2+3x﹣4，（＜x≤2），
故选：C．
10．一列实数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝﹣1，a2＝＝＝，a3＝，…，an＝，则a1a2a3…a2021的结果为（ ）
A．﹣ B． C．673 D．﹣2021
解：当a1＝﹣1，
a2＝＝＝，
a3＝＝＝2，
a4＝＝，
…，
所以每3个数一循环；
2021÷3＝673…2，
第2020个数是﹣1，
第2021个数是，
（﹣1）××2＝﹣1，（﹣1）673＝﹣1；
（﹣1）×（﹣1）×＝．
故选：B．
二、填空题
11．分解因式：3a2﹣12b2＝ 3（a+2b）（a﹣2b） ．
解：3a2﹣12b2＝3（a2﹣4b2）
＝3（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：3（a+2b）（a﹣2b）．
12．把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为 y＝（x﹣3）2+5 ．
解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴把抛物线y＝x2﹣2x+3沿x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线解析式为：y＝（x﹣1﹣2）2+2+3，即y＝（x﹣3）2+5．
故答案为y＝（x﹣3）2+5．
13．已知y＝++1，＝ 2 ．
解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，
解得，x＝2，
则y＝1，
∴5x﹣2y＝5×2﹣2×1＝8，
∵8的立方根是2，
∴＝2，
故答案为：2．
14．已知m﹣n＝2，则分式÷（2n+）＝ ﹣ ．
解：原式＝÷（+）
＝÷
＝?
＝﹣，
当m﹣n＝2时，
原式＝﹣，
故答案为：﹣．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为 （7，） ．
解：BC交y轴于D，如图，设C点坐标为（a，），
解方程组得或，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（﹣2，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣2，﹣3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+﹣3，
当x＝0时，y＝x+﹣3＝﹣3，
∴D点坐标为（0，﹣3）
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
把A（2，3）、C（a，）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x++3，
当x＝0时，y＝﹣x++3＝+3，
∴P点坐标为（0，+3）
∵S△PBC＝S△PBD+S△CPD，
∴×2×6+×a×6＝30，解得a＝7，
∴C点坐标为（7，）．
故答案为（7，）．
三、解答题
16．计算（或解方程）：
（1）（）0﹣2sin30°++2﹣1；
（2）解方程：x2﹣2x﹣1＝0．
解：（1）原式＝1﹣2×+2+
＝1﹣1+2+
＝2；
（2）x2﹣2x﹣1＝0，
移项，得x2﹣2x＝1，
配方，得x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，
解得x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
17．先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x＝2．
解：（x+1）2﹣x（x+1）
＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1，
当x＝2时，原式＝2+1＝3．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根．
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1+x2﹣x1x2＝4，求m的值．
【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：x1+x2＝m+2，x1x2＝2m，
∵x1+x2﹣x1x2＝4，
∴m+2﹣2m＝4．
解得m＝﹣2．
19．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A（2，1）、B两点．
（1）求m及k的值．
（2）求出S△AOB的面积．
（3）直接写出x+m﹣＞0时x的取值范围．
解：（1）∵把A（2，1）代入y＝x+m得：1＝2+m，
∴m＝﹣1，
∵把A（2，1）代入y＝得：1＝，
∴k＝2；
（2）解得：，
∴B的坐标是（﹣1，﹣2），
把x＝0代入y＝x﹣1得y＝﹣1，
∴直线与y轴的交点C为（0，﹣1），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝；
（3）由图像可知，x+m﹣＞0时x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞2．
20．某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A、B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A、B型商品共160件进行试销，其中A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？
（3）已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
∴x+10＝160．
答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．
（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160﹣m）件，
依题意得：，
解得：80≤m≤84，
又∵m为整数，
∴m可以为80，81，82，83，84，
∴共有5种进货方案，
方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；
方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；
方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；
方案4：购进83件A型商品，77件B型商品；
方案5：购进84件A型商品，76件B型商品．
（3）方案1可获得的销售利润为（240﹣160）×80+（220﹣150）×80＝12000（元）；
方案2可获得的销售利润为（240﹣160）×81+（220﹣150）×79＝12010（元）；
方案3可获得的销售利润为（240﹣160）×82+（220﹣150）×78＝12020（元）；
方案4可获得的销售利润为（240﹣160）×83+（220﹣150）×77＝12030（元）；
方案5可获得的销售利润为（240﹣160）×84+（220﹣150）×76＝12040（元）．
∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，
∴购进84件A型商品，76件B型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．
21．阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数；
例题：证明当x＞0时，函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0
∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴当x＞0时函数f（x）＝（x＞0）是减函数
根据以上材料，解答下面的问题：
（1）判断函数f（x）＝2x﹣1是增函数，还是减函数？并说明理由．
（2）已知函数f（x）＝（x＜0），
f（﹣1）＝＝﹣3，f（﹣2）＝＝﹣
①计算：f（﹣3）＝ ﹣ ，f（﹣4）＝ ﹣ ；
②猜想：函数f（x）＝（x＜0）是 减 函数（填“增”或“减”）；并仿照例题证明你的猜想．
解：（1）函数f（x）＝2x﹣1是增函数．
证明：设x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝2x1﹣1﹣（2x2﹣1）＝2（x1﹣x2）．
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0．
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
∴f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝2x﹣1是增函数．
（2）①∵f（x）＝（x＜0），
∴f（﹣3）＝＝﹣，f（﹣4）＝＝﹣，
故答案为：﹣，﹣；
②猜想：函数f（x）＝（x＜0）是减函数，
证明：∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＞f（﹣3），
∴猜想：函数f（x）＝（x＜0）是减函数，
故答案为减．
22．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣），
∴，
解得：，
∴抛物线C的表达式为：y＝x2﹣x﹣；
（2）如图1，作PH⊥直线y＝﹣于点H，作MH′⊥直线y＝﹣于点H′，
∵抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，
∴MQ＝MH′，
∴MP+MQ＝MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M与M′重合时，MP+MQ最小，
∵P（3，4），
∴PH＝4﹣（﹣）＝，
∴MP+MQ的最小值为；
当x＝3时，y＝×32﹣3﹣＝﹣2，
∴M（3，﹣2）；
（3）∵y＝x2﹣x﹣＝y＝（x﹣2）2﹣；
∴抛物线对称轴为x＝2，
设点坐称为（2，m），
∵A（﹣1，0），P（3，4），D（2，m），
∴AP＝4，AD2＝9+m2，PD2＝1+（m﹣4）2，
∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP＝90°或∠ADP＝90°或∠APD＝90°
①当∠DAP＝90°时，AP2+AD2＝PD2，
∴（4）2+9+m2＝1+（m﹣4）2，
解得：m＝﹣3，
∴D1（2，﹣3）；
②当∠ADP＝90°时，PD2+AD2＝AP2，
∴1+（m﹣4）2+9+m2＝（4）2，
解得：m1＝2+，m2＝2﹣，
∴D2（2，2+）；D3（2，2﹣）；
③当∠APD＝90°时，PD2+AP2＝AD2，
∴1+（m﹣4）2+（4）2＝9+m2，
解得：m＝5，
∴D4（2，5）；
综上所述，点D的坐标为（2，﹣3）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，5）．
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