(共37张PPT)
10.1.1 有限样本空间与随机事件
课标定位
素养阐释
1.结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义.
2.理解随机事件与样本点的关系.
3.会求简单随机试验的样本空间.
4.会用集合表示随机事件,理解样本空间与随机事件的关系.
5.培养数学抽象、直观想象和数据分析等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
一、随机现象与随机试验的含义
【问题思考】
1.观察以下日常生活中的现象:(1)抛掷一枚硬币,观察正反面出现的情况;(2)抛掷一枚骰子,观察朝上的面的点数.你能确定这两个现象出现哪种结果吗?
提示:不能.
2.如果抛掷一枚硬币100次、200次、500次、1
000次,你能计算出现正面的频率吗?这些频率值有什么特点?
提示:能,这些频率值稳定在0.5附近.
3.填空:
(1)随机现象的定义:就一次观测而言,出现哪种结果具有偶然性,但在大量重复观测下,各个结果出现的频率却具有稳定性.这类现象叫做随机现象.
(2)随机试验的定义:我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母
E
表示.
(3)随机试验具有的特点:
①试验可以在相同条件下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
4.做一做:以下试验不是随机试验的是( )
A.练习投篮5次,观察命中的次数
B.买一张福利彩票,观察中奖情况
C.走到一个红绿灯路口时,观察出现的交通指挥灯
D.将一块石头抛向空中,观察是否落地
解析:根据随机试验的特点,A,B,C都符合,选项D,将一块石头抛向空中,结果只有一个:落地,不符合随机试验的特点.
答案:D
二、试验的样本空间和样本点
【问题思考】
1.抛掷一枚骰子,观察落地时朝上的面的点数,这个随机试验共出现多少个可能结果?如何表示这些结果?
提示:一共出现6个可能的结果,这些结果可用集合表示为{1,2,3,4,5,6}.
2.填空:
(1)样本点的定义:我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,用ω表示样本点.
(2)样本空间的定义:全体样本点的集合称为试验E的样本空间,用Ω表示样本空间.
(3)有限样本空间的定义:如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω=
{ω1,ω2,…,ωn}
为有限样本空间.
3.做一做:某射击运动员射击靶一次,观察射中的环数,则试验的样本空间为( )
A.Ω={10}
B.Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
C.Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
D.Ω={7,8,9}
解析:因为射击时靶子有1~10环,还有脱靶的情况,脱靶表示射中0环,所以样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
答案:C
三、随机事件及其表示
【问题思考】
1.在抛掷一枚骰子的试验中,出现“朝上的面的点数为奇数”是随机事件吗?如何用集合的形式表示这一事件?
提示:是,这一事件可用集合表示为{1,3,5}.
2.填空:
(1)随机事件:一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示.
在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
(2)基本事件:把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
(3)必然事件与不可能事件:①Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件.
②空集?不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称?为不可能事件.
3.做一做:抛掷一枚骰子,观察朝上的面的点数,则事件A=“点数不大于4”的集合表示为 .?
解析:朝上的面的点数不大于4,包含的点数是1,2,3,4点,
所以A={1,2,3,4}.
答案:{1,2,3,4}
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)“早晨太阳从东方升起”这一现象是随机现象.(
×
)
(2)随机试验的所有可能结果是不明确的.(
×
)
(3)必然事件不是样本空间Ω的子集.(
×
)
(4)随机试验的样本空间是一个集合.(
√
)
(5)我们一般用列举法表示样本空间和随机事件.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
写出随机试验的样本空间
【例1】
写出下列各随机试验的样本空间:
(1)出生婴儿的性别;
(2)过马路交叉口时,观察遇上的交通指挥灯的颜色;
(3)从含有5件次品的100件产品中任取3件,记录其中的次品数;
(4)从装有大小相同、质地相同,标有a,b,c,d的4个球的袋中,任取1个球;
(5)从装有大小相同、质地相同,标有a,b,c,d的4个球的袋中,任取2个球.
分析:根据试验的可能结果,用集合表示样本空间.
解:(1)因为出生婴儿的性别只有男和女两个可能结果,所以试验的样本空间为Ω={男,女}.
(2)因为交通指挥灯的颜色只有红色、绿色和黄色,所以试验的样本空间为Ω={红,绿,黄}.
(3)因为任取3件,次品数可能有0,1,2,3件,所以试验的样本空间为Ω={0,1,2,3}.
(4)任取1个球,可能的基本结果为a,b,c,d,所以试验的样本空间为Ω={a,b,c,d}.
(5)任取2个球,用样本点(a,b)表示一次试验中取出的球是a和b,则样本空间为{(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}.
不重不漏地写出试验的样本空间的方法:
(1)样本空间只与问题的背景有关,根据问题的背景明确试验的每个可能的基本结果;
(2)根据日常生活经验,按照一定的顺序列举出所有样本点,用集合表示样本空间.也可以借助树状图、列表等方法帮助我们列出试验的所有可能结果.
【变式训练1】
写出下列各随机试验的样本空间:
(1)甲、乙两队进行一场足球比赛,观察比赛结果(可以是平局);
(2)小明练习投篮10次,观察小明投篮命中的次数;
(3)某人射击两次,观察各次射击中靶或脱靶情况.
解:(1)因为比赛一场,结果有3种:甲赢、乙赢、平局,所以试验的样本空间Ω={甲赢、乙赢、平局}.
(2)因为投篮10次,命中的次数可能出现0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10次,所以试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
(3)射击两次,用(中,脱)表示第一次射击中靶,第二次射击脱靶,那么试验的样本空间Ω={(中,中),(中,脱),(脱,中),(脱,脱)}.也可以用1表示射击中靶,用0表示射击脱靶,那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
探究二
用集合表示随机事件
【例2】
在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出一个球.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
A=“从甲盒子中取出3号球”;
B=“取出的两个球上标号为相邻整数”;
C=“取出的两个球上标号之和能被3整除”.
解:(1)分别用x1,x2表示从甲、乙两个盒子中取出的球的标号,则x1,x2=1,2,3,4,那么试验的样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}.
(2)“从甲盒子中取出3号球”等价于x1=3,
所以A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)}.
“取出的两个球上标号为相邻整数”等价于x1,x2为相邻整数,所以B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}.
因为2≤x1+x2≤8,所以“取出的两个球上标号之和能被3整除”等价于x1+x2=3,6,所以C={(1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)}.
1.随机试验的每个随机事件A是试验的样本空间Ω的一个子集,即随机事件A中的元素都是样本空间Ω中的元素.
2.解决此类问题,要注意题设中的取球方式,本题中(1,2)表示从甲盒子中取出1号球,从乙盒子中取出2号球,(2,1)表示从甲盒子中取出2号球,从乙盒子中取出1号球,是两个不同的样本点.如果从一个盒子中一次性取两个球,那么(1,2)与(2,1)都表示取出1号球和2号球,是一个样本点,因此解决此类问题,审清题意很关键,否则容易出错.
【变式训练2】
袋中有红、白色球各一个,每次任取一个,有放回地摸三次.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
①A=“三次颜色恰有两次同色”;
②B=“三次颜色全相同”;
③C=“三次摸到的红球多于白球”.
解:(1)每个样本点表示为(x,y,z),其中x,y,z分别取红、白球,
则样本空间Ω={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),
(红,白,白),(白,红,白),(白,白,红),(白,白,白)}.
(2)①事件A={(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红),(红,白,白),
(白,红,白),(白,白,红)}.
②事件B={(红,红,红),(白,白,白)}.
③事件C={(红,红,红),(红,红,白),(红,白,红),(白,红,红)}.
易
错
辨
析
不能正确理解试验结果致误
【典例】
随机选择一个有两个小孩的家庭,观察两个孩子的性别.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示随机事件A=“一个男孩,一个女孩”.
错解:(1)因为两个孩子的性别共有“两男”,“两女”,“一男一女”三种基本结果,所以样本空间Ω={(男,男),(男,女),(女,女)}.
(2)因为“一个男孩,一个女孩”的结果就一种,所以A={(男,女)}.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:将“一男一女”与“一女一男”两种结果错认为是一种结果,两个孩子出生有先后顺序,先男后女与先女后男不是同一个结果.
正解:(1)因为两个孩子的性别共有“两男”“两女”“男女”“女男”四种基本结果,
所以样本空间Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.
(2)因为“一个男孩,一个女孩”的结果有两种,
所以A={(男,女),(女,男)}.
1.把握随机试验的实质,明确试验的条件.
2.若在题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题,列举样本空间与随机事件时要做到不重不漏.
【变式训练】
从1,2,3,4这4个数字中,不放回地取两次,每次取一个.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示A=“取出的两个数,其中一个数是另一个数的2倍”.
解:(1)用(x,y)表示取出的两个数,x,y=1,2,3,4,且x≠y,
所以样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
(2)因为两个数成2倍关系的有1和2,2和4,
所以A={(1,2),(2,1),(2,4),(4,2)}.
随
堂
练
习
1.从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是( )
A.3件都是正品
B.3件都是次品
C.至少有1件次品
D.至少有1件正品
解析:从含有10件正品、2件次品的12件产品中,任意抽取3件,则必然事件是至少有1件正品.
答案:D
2.某人将一枚硬币连续抛掷了6次,观察正面朝上的次数,则样本空间为( )
A.{3}
B.{1,2,3,4,5,6}
C.{0,1,2,3,4,5,6}
D.{2,3,4}
解析:正面朝上的次数可能有0,1,2,3,4,5,6次,
故样本空间为{0,1,2,3,4,5,6}.
答案:C
3.袋中装有标号分别为1,3,5,7的四个相同的小球,从中一次性取出两个,下列事件不是基本事件的是( )
A.取出的两球标号为3和7
B.取出的两球标号的和为4
C.取出的两球的标号都大于3
D.取出的两球的标号的和为8
解析:基本事件即只含有一个样本点的事件,选项A,B,C都只含有一个样本点,是基本事件,D中包含(1,7)和(3,5)两个样本点,所以D不是基本事件.
答案:D
4.抛掷两颗骰子,记事件A=“向上的点数之和是5”,则事件A的集合表示为
.?
解析:因为两颗骰子,(1,4)与(4,1)表示不同的样本点,
所以A={(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}.
答案:{(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
5.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字组成一个两位数,则事件A=“这个两位数大于40”的集合表示是 .?
解析:因为这个两位数大于40,所以十位数字为4或5,
所以A={41,42,43,45,51,52,53,54}.
答案:{41,42,43,45,51,52,53,54}(共46张PPT)
10.1.2 事件的关系和运算
课标定位
素养阐释
1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义.
2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
3.学会用集合的关系与运算探究事件的关系与运算.
4.加强数学抽象、直观想象和数据分析等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
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辨
析
随
堂
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习
自主预习·新知导学
事件的关系和运算
【问题思考】
1.某班数学建模课分成5个小组(编号为1,2,3,4,5),采用合作学习的方式进行,课堂上教师会随机选择一个小组的成果进行展示.
(1)请写出这一试验的样本空间.
提示:样本空间Ω={1,2,3,4,5}.
(2)请用集合的形式表示下列事件:C=“选择第1组”,D=“选择第1组或第2组”,E=“选择第1组或第3组”,F=“选择第1组或第2组或第3组”,G=“选择第4组或第5组”.
提示:C={1},D={1,2},E={1,3},F={1,2,3},G={4,5}.
(3)请用集合的关系和运算回答下列问题:①C与D有什么关系?②D∪E与哪个集合相等?③D∩E与哪个集合相等?④E与G有公共元素吗?F与G呢?⑤用集合的形式怎样表示E∩G,F∩G,F∪G?
提示:①C包含于D;②D∪E=F;③D∩E=C;④没有;没有;
⑤E∩G=?,F∩G=?,F∪G=Ω.
2.填表:
3.做一做:(1)同时抛掷两枚硬币,朝上的面都是正面为事件M,朝上的面至少有一枚是正面为事件N,则有( )
A.M?N
B.M?N
C.M=N
D.M(2)抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,设事件P=“向上的点数是1”,Q=“向上的点数是3或4”,M=“向上的点数是1或3”,用集合的形式表示事件P∪Q= ,M∩Q= .?
解析:(1)因为事件M={(正,正)},N={(正,反),(反,正),(正,正)},当事件M发生时,事件N一定发生.所以有M?N.
(2)因为事件P={1},Q={3,4},M={1,3},所以P∪Q={1,3,4},M∩Q={3}.
答案:(1)A (2){1,3,4} {3}
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何一个随机事件都包含于样本空间Ω.(√)
(2)事件A与事件B至少有一个发生用AB表示.(×)
(3)事件A+B发生包含两层意思:A发生B不发生,A不发生B发生.(×)
(4)互斥的事件一定是对立事件.(×)
(5)事件A的对立事件,相当于集合A在全集U中的补集?UA.
(√)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
事件的关系与运算
分析:根据集合间的包含、交、并、补,来判断事件间的关系和运算.
【例1】
掷一枚骰子,观察朝上的面的点数.设事件A=“出现1点”,B=“出现偶数点”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”,E=“点数是3的倍数”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系?
【例1】
掷一枚骰子,观察朝上的面的点数.设事件A=“出现1点”,B=“出现偶数点”,C=“点数小于3”,D=“点数大于2”,E=“点数是3的倍数”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)事件A与C,C与D,D与E之间各有什么关系?
分析:根据集合间的包含、交、并、补,来判断事件间的关系和运算.
解:(1)因为掷一枚骰子,试验的结果为1,2,3,4,5,6,
所以试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={1},B={2,4,6},C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(2)因为A?C,所以事件C包含事件A;
因为C∩D=?,C∪D=Ω,
所以事件C与事件D互为对立事件;
因为D?E,所以事件D包含事件E.
1.事件间的运算:
2.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是写出试验的样本空间及各事件的集合表示,利用集合间的运算判断事件间的运算,必要时可利用Venn图判断.
提醒:在一些比较简单的题目中,可以根据集合间的关系来判断事件之间的关系,但对于比较复杂的题目,就得严格按照事件间的关系的定义来推理.
【变式训练1】
盒子里有6个红球,3个白球,现从中任取三个球,设事件A=“3个球中有1个红球,2个白球”,B=“3个球中有2个红球,1个白球”,C=“3个球中至少有1个红球”,D=“3个球中既有红球又有白球”.
问:(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
解:(1)对于事件D,可能的结果为“1个红球2个白球”或“2个红球1个白球”,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”“3个红球”,故C∩A=A.
探究二
互斥事件与对立事件的判断
【例2】
某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,B=“至少订一种报纸”,C=“至多订一种报纸”,D=“一种报纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判断它们是不是对立事件.
(1)A与C;(2)B与D;(3)B与C;(4)A与D.
分析:要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断;或把事件用集合表示,利用集合的关系来判断.
解:方法一(概念法)
(1)由于事件C=“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B=“至少订一种报纸”与事件D=“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与D是互斥事件;由于事件B发生会导致事件D一定不发生,且事件D发生会导致事件B一定不发生,故B与D是对立事件.
(3)事件B=“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”“只订乙报”
“订甲、乙两种报”.事件C=“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(4)事件A=“只订甲报”与事件D=“一种报纸也不订”不可能同时发生,故A与D是互斥事件.但在一次试验中,事件A与事件D有可能都不发生,故A与D不是对立事件.所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.
方法二(集合法)用x1,x2分别表示甲、乙两种报纸的订阅情况,以1表示订阅报纸,0表示不订阅报纸,则样本空间Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}.
A={(1,0)},B={(1,1),(1,0),(0,1)},
C={(1,0),(0,1),(0,0)},D={(0,0)}.
(1)因为A∩C={(1,0)},所以A与C不是互斥事件.
(2)因为B∩D=?,B∪D=Ω,所以B与D是对立事件.
(3)因为B∩C={(1,0),(0,1)},所以B与C不是互斥事件.
(4)因为A∩D=?,A∪D≠Ω,所以A与D是互斥事件,但不是对立事件.
互斥事件与对立事件的判断方法:
(1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必有一个发生.
(2)利用集合的观点:设事件A,B所包含的样本点组成的集合表示分别是A,B.
①事件A与B互斥,即A∩B=?;
②事件A与B对立,即A∩B=?,且A∪B=Ω(Ω为样本空间),也即A=?ΩB或B=?ΩA.
特别提醒:对立事件是针对两个事件来说的,而互斥事件则可以是多个事件间的关系.
【变式训练2】
一个射击手进行一次射击.
事件A=“命中的环数大于7环”;
事件B=“命中环数为10环”;
事件C=“命中的环数小于6环”;
事件D=“命中的环数为6,7,8,9,10环”.
判断下列各对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)事件A与B;(2)事件A与C;(3)事件C与D.
解:试验的样本空间Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={8,9,10},B={10},C={0,1,2,3,4,5},D={6,7,8,9,10}.
(1)不是互斥事件,理由:A∩B={10}≠?.
(2)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:A∩C=?,但A∪C={0,1,2,3,4,5,8,9,10}≠Ω.
(3)是互斥事件,也是对立事件.理由:C∩D=?,且C∪D=Ω.
探究三
多个事件运算的表示
【例3】
设有A,B,C三个事件,用A,B,C的运算表示以下事件:
(1)A,B,C至少有一个发生;
(2)A,B,C同时发生;
(3)A,B,C都不发生;
(4)仅A发生;
(5)A,B,C仅有一个发生.
分析:按照事件的和、积、对立的定义表示.
解:(1)因为A∪B表示事件A,B至少有一个发生,所以事件A,B,C至少有一个发生,用A∪B∪C(或A+B+C)表示;
(2)因为A∩B表示事件A,B同时发生,所以事件A,B,C同时发生,用A∩B∩C(或ABC)表示;
1.表示多个事件的运算时,要紧扣运算的定义,常用的定义有:
(1)事件A不发生用
表示;(2)并(和)事件表示至少有一个发生;
(3)交(积)事件表示同时发生.
2.出现“至少”“至多”“恰有”等名词,注意分情况讨论.
【变式训练3】
甲、乙、丙三人各投一次篮,分别记事件A=
“甲投中”,B=“乙投中”,C=“丙投中”,试用A,B,C表示下列事件:
(1)甲、乙投中但丙没投中;
(2)甲、乙、丙都投中;
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中;
(4)只有乙投中.
易
错
辨
析
对立事件的概念模糊致误
【典例】
从一批产品中取出三件产品,设事件A=“三件产品全是次品”,则事件A的对立事件
= .?
错解:“三件产品全是正品”或“三件产品全不是次品”.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
正解:从一批产品中取出三件产品,试验的结果有四种:“三件正品”“二件正品一件次品”“一件正品二件次品”“三件次品”,故“三件产品全是次品”的对立事件是“三件产品不全是次品”.
答案:“三件产品不全是次品”或“三件产品中至少有一件正品”
【变式训练】
一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是
.?
解析:连续射击两次有以下四种情况:第一次中靶第二次没中靶,第一次没中靶第二次中靶,两次都中靶,两次都没中靶.故“至少有一次中靶”的对立事件为“两次都没中靶”.
答案:“两次都没中靶”
随
堂
练
习
1.把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得1张,那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
( )
A.对立事件
B.互斥但不对立事件
C.必然事件
D.不可能事件
解析:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生,故它们是互斥事件,又因为甲、乙可能都得不到红牌,即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生.所以它们不是对立事件.
答案:B
2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A=“两次都击中飞机”,B=“两次都没击中飞机”,C=“恰有一枚炮弹击中飞机”,D=“至少有一枚炮弹击中飞机”,下列关系不正确的是( )
A.A?D
B.B∩D=?
C.A∪C=D
D.A∪B=B∪D
解析:“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中,“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况:一种是恰有一枚炮弹击中,一种是两枚炮弹都击中,所以A∪B≠B∪D.
答案:D
3.某小组有2名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛.在下列选项中,互斥但不对立的两个事件是( )
A.“至少有1名女生”与“都是女生”
B.“至少有1名女生”与“至多1名女生”
C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”
D.“至少有1名男生”与“都是女生”
解析:A中的两个事件是包含关系,故不符合要求.B中的两个事件之间都有包含1名女生的可能性,故不互斥;C中的两个事件符合要求,它们是互斥但不对立的两个事件;D中的两个事件是对立事件,故不符合要求.
答案:C
4.在30件产品中有28件一级品,2件二级品,从中任取3件,记事件A=“3件都是一级品”,则A的对立事件是 .
答案:“至少有1件是二级品”
5.设A,B,C为三个事件,则事件
表示的意义是 .
答案:A,B,C三个事件中,只有事件B发生(共48张PPT)
10.1.3 古典概型
课标定位
素养阐释
1.结合具体实例,理解古典概型及其两个特征.
2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
3.掌握求解古典概型问题的一般思路.
4.加强数学抽象、数据分析和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
一、古典概型
【问题思考】
1.做两个试验,试验一:抛一枚质地均匀的硬币,观察落地后哪一面朝上.试验二:掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数.回答下列问题:
(1)在这两个试验中,样本空间分别包含几个样本点?
提示:在抛硬币试验中,样本空间包含2个样本点,在掷骰子试验中,样本空间包含6个样本点.
(2)在这两个试验中,每个样本点发生的可能性相等吗?
提示:每个样本点发生的可能性都相等.
2.填空:
古典概型的定义:
具有如下共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.做一做:下列试验中,是古典概型的有( )
A.某人射击中靶或不中靶
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个
C.四名同学用抽签法选一人参加会议
D.运动员投篮,观察是否投中
解析:A中,某人射击中靶与不中靶的概率不相等,所以A不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的点有无数个,所以B不是古典概型;C中,每个人被选中的可能性相等,且共有4种结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,运动员投篮投中与没有投中的概率不等,所以D不是古典概型.
答案:C
二、古典概型的概率公式
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)抛一枚质地均匀的硬币,观察落地后哪一面朝上.记事件A=“正面朝上”,你认为事件A发生的可能性大小是多少?理由是什么?
(2)掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数.记事件B=“出现的点数不超过4”,请写出事件B包含的样本点,你认为事件B发生的可能性大小是多少?理由是什么?
2.填空:
(1)事件的概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
(2)古典概型的概率公式:一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率
.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.做一做:(1)育才中学举行高一广播体操比赛,共10个队参赛,为了确定出场顺序,学校制作了10个出场序号供大家抓阄,则高一(1)班抽到出场序号小于4的概率是( )
(2)按先后顺序抛两枚硬币,观察正反面出现的情况,则恰好出现一个正面的概率是 .?
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.(
×
)
(2)种下一粒种子,试验的样本空间为{发芽,不发芽},所以种子发芽的概率为
.(
×
)
(3)不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样,对应的样本空间相同.(
×
)
(4)同时掷两颗骰子,出现的点数和有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,则点数和为7的概率是
.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
古典概型的判断
【例1】
下列概率模型是否为古典概型?
(1)袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出1个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型?
(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个样本点,是否为古典概型?
(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点,是否为古典概型?
分析:判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满足两个特征:(1)有限性;(2)等可能性.
解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个球被摸到的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型是古典概型.
(2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点,所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型.
(3)由于运动员击中每一环的可能性不同,故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型.
1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.
2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型;
(1)样本空间的样本点个数有限,但非等可能.
(2)样本空间的样本点个数无限,但等可能.
(3)样本空间的样本点个数无限,也不等可能.
【变式训练1】
下列概率模型中,是古典概型的个数为( )
①从区间[1,10]上任取一个数,求取到1的概率;
②从1~10中任意取一个整数,求取到1的概率;
③在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;
④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:第①个概率模型不是古典概型,因为从区间[1,10]上任意取出一个数,有无数个对象可取,所以不满足“有限性”;第②个概率模型是古典概型,因为试验的样本空间有10个样本点,而且每个样本点被抽到的可能性相等,即满足有限性和等可能性;第③个概率模型不是古典概型,因为在一个正方形ABCD内画一点P,有无数个点,所以不满足“有限性”;第④个概率模型也不是古典概型,因为硬币不均匀,因此两面出现的可能性不相等.故选A.
答案:A
探究二
古典概型概率的求法
【例2】
某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;
(2)设M=“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.
分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,代入古典概型的概率公式计算即可.
解:(1)从6名同学中选出2人,对应的样本空间为{(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z)},共有15个样本点.
因为每人被选到的可能性相同,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.
(2)因为M={(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y)},所以n(M)=6,
1.对于古典概型,任何事件A的概率为
,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
2.求古典概型概率的步骤为:
(1)判断是否为古典概型;
(2)算出试验的样本空间包含的样本点个数n;
(3)算出事件A包含的样本点个数k;
(4)算出事件A的概率,即
在运用公式计算时,关键在于求出k,n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.
【变式训练2】
某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m)如下表所示:
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,设事件M=“选到的2人身高都在1.78以下”,求事件M的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,设事件N=“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内”,求事件N的概率.
分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,N,注意这两问试验不同,样本空间也不同.
解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.
身高在1.78以下的有A,B,C三人,即M={(A,B),(A,C),(B,C)},共有3个样本点.
(2)从该小组同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),
(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.
身高在1.70以上且体重指标在区间[18.5,23.9)内的有C,D,E三人,即N={(C,D),(C,E),(D,E)},共3个样本点.
探究三
较复杂的古典概型概率的计算问题
【例3】
袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球.
(1)若从中一次性任意摸出2个球,求恰有1个黑球和1个红球的概率;
(2)若采用不放回简单随机抽样从中任取2个球,1个球给小朋友甲,1个球给小朋友乙,求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有1个黑球的概率;
(3)若采用有放回简单随机抽样从中任取2个球,1个球给小朋友甲,1个球给小朋友乙,求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有1个黑球的概率.
分析:按照古典概型的概率公式计算,注意试验的条件不同,对应的样本空间不同.
解:(1)从中一次性任意摸出2个球,样本空间Ω={(a,b),(a,c),
(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个样本点,设事件A=“恰有1个黑球和1个红球”,
则A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共6个样本点,
(2)采用不放回简单随机抽样从中任取2个球,1个给甲,1个给乙,用(x,y)表示样本点,x表示给甲的小球编号,y表示给乙的小球编号.则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),(b,d),
(b,e),(c,a),(c,b),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),
(e,d)},共有20个样本点,设事件B=“甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有1个黑球”,则B={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),
(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),(e,a),(e,b)},共14个样本点,
(3)采用有放回简单随机抽样从中任取2个球,用(x,y)表示样本点,x表示给甲的小球编号,y表示给乙的小球编号.则样本空间Ω={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e)},共有25个样本点,B={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),
(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),(e,a),(e,b)},共有16个样本点,
求解古典概型问题的一般思路:
(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.
【变式训练3】
从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中任意抽取两件.
(1)分别写出不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样的样本空间;
(2)在两种抽样方式下,分别计算抽到的两件产品中恰有一件次品的概率.
解:(1)根据相应的抽样方法可知,不放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
有放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),
(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.
(2)设事件A=“两件产品中恰有一件次品”,则对于不放回简单随机抽样,A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共4个样本点.
对于有放回简单随机抽样,A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共4个样本点.
易
错
辨
析
对随机试验的结果理解不清致误
【典例】
任意投掷两枚骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率.
错解:任意投掷两枚骰子,点数之和出现的基本结果有2,3,4,5,
6,7,8,9,10,11,12,所以试验的样本空间Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12},共有11个样本点.设事件A=“出现的点数之和为奇数”,则事件A={3,5,7,9,11},共有5个样本点,故P(A)=
,即出现的点数之和为奇数的概率为
.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件,如点数之和为2只出现一次,即(1,1);点数之和为3则出现两次,即(2,1),(1,2).因此以点数之和为样本点不属于古典概型,不能应用古典概型概率公式计算.
正解:任意投掷两枚骰子,可看成等可能事件,其结果即样本点可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…,6).其中两个数i,j分别表示这两枚骰子出现的点数,则有{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),
(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.
设事件A=“出现的点数之和为奇数”,则A={(1,2),(1,4),(1,6),
(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)},共有18个样本点.
1.本题错解在计算随机试验的样本空间时,以点数之和作为样本点,不符合古典概型的等可能性,本题的随机试验是“任意投掷两枚骰子,以两枚骰子出现的点数作为样本点”是古典概型,所以弄清随机试验的条件及要观察的结果是关键,突破这一思维障碍的有效方法是审清题意,找准随机试验的条件及要观察的结果,不要受所求事件的影响.
2.用古典概型求概率时,要选择合适的方式表示样本点及样本空间,以使得各个样本点出现的可能性相等,并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集.
【变式训练】
一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,2,
3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为 .?
解析:样本空间有6×6=36个样本点,若和为5,则一次为2,一次为3,共有12个样本点,则概率
随
堂
练
习
1.下列试验中是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下,种下一粒大豆,观察它是否发芽
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取1个球
C.向一个圆面内随机地投一个点,该点落在圆内任意一点都是等可能的
D.射击运动员向一靶心进行射击,试验结果为命中10环,命中9环,…,命中0环
解析:根据古典概型的特点,A项中,种子发芽与否的概率不相等;B项中,摸到每个球的概率相等,且只有4个球;C项中,点落在圆内的样本点个数是无限的;D项中,射击命中环数的概率不一定相等.故只有B项是古典概型.
答案:B
2.一个家庭中有两个小孩,这两个小孩都为女孩的概率为
( )
解析:两个小孩共有四种情况:{(男,女),(女,男),(女,女),(男,男)},样本点总数为4,故两个小孩都为女孩的概率为
答案:C
3.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
解析:样本空间Ω={(a,b)|a∈{1,2,3,4,5},b∈{1,2,3}},包含的样本点个数为15,事件“b>a”可表示为{(1,2),(1,3),(2,3)},包含的样本点个数为3,所以
答案:D
4.将一枚骰子连续抛掷两次,至少有一次向上的点数为1的概率是 .?
解析:将一枚骰子连续抛掷两次,可能出现的样本点共有36个,其中至少有一次向上的点数为1的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),
(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),共11个,所以所求概率
5.从字母a,b,c,d,e中任取两个不同的字母,则取到字母a的概率为 .?
解析:样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),
(c,e),(d,e)},共有10个样本点,含a的有4个,故概率为(共42张PPT)
10.1.4 概率的基本性质
课标定位
素养阐释
1.通过实例,理解概率的性质.
2.掌握随机事件概率的运算法则.
3.会利用概率的运算法则求事件的概率.
4.加强数学抽象、数据分析和数学运算等素养.
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合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
概率的性质
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)概率的定义是什么?根据概率的定义你能得出事件的概率是什么样的数吗?
提示:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,根据概率的定义,我们得到事件的概率都是非负数.
(2)在每次试验中,必然事件是什么?包含多少个样本点?
提示:必然事件是样本空间Ω,包含与样本空间Ω一样多的样本点.
(3)在每次试验中,不可能事件是什么?包含多少个样本点?
提示:不可能事件是空集?,不包含任何样本点.
2.填空:
概率的性质:
性质1 对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2 必然事件的概率为
1
,不可能事件的概率为
0
,即P(Ω)=1,P(?)=0
.
性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=
P(A)+P(B)
.
如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么P(A1∪A2∪…∪Am)=
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)
.
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=
1-P(A)
,
P(A)=
1-P(B)
.
性质5 如果A?B,那么P(A)≤P(B).
性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=
P(A)+P(B)-P(A∩B)
.
(2)抛掷一枚骰子,记事件A=“出现的点数大于4”,事件B=“出现的点数为5”,则P(A)与P(B)的大小关系是 .(用≥或≤填空)?
答案:(1)C (2)P(A)≥P(B)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)存在随机事件A,满足P(A)=1.5.(
×
)
(2)对于任意事件A,0≤P(A)<1.(
×
)
(4)如果P(A)≤P(B),那么A?B.(
×
)
(5)如果P(A∪B)=P(A)+P(B),那么事件A与事件B互斥.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
互斥事件的概率的求法
【例1】
黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是B型血,若他因病需要输血,问:
(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?
(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?
分析:将比例化为概率,根据事件之间的关系,选择概率公式计算.
解:(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们是互斥的.
由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
因为B,O型血的人可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血的人不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A'∪C',且P(A'∪C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
解决此类题的关键是明晰概率加法公式应用的前提是“各事件是互斥事件”,对于较难判断关系的,必要时可利用Venn图或列出试验的样本空间及随机事件进行分析.
【变式训练1】
由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表:
(1)至多有2人排队的概率是多少?
(2)至少有2人排队的概率是多少?
解:设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4及5人以上的事件依次为A0,A1,A2,A3,A4,A5,可知这六个事件彼此互斥.
(1)记事件B=“至多有2人排队”,则B=A0∪A1∪A2,P(B)=P(A0∪A1∪A2)
=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)记事件C=“至少有2人排队”,则C=A2∪A3∪A4∪A5,P(C)=P(A2∪A3∪A4∪A5)
=P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5)=0.3+0.3+0.1+0.04=0.74.
探究二
对立事件的概率的求法
【例2】
袋中有除颜色外其他完全相同的6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出2个球,求下列事件的概率:
(1)A=“取出的2个球都是白球”;
(2)B=“取出的2个球1个白球,1个红球”;
(3)C=“取出的2个球中至少有1个白球”.
分析:按照古典概型的概率公式计算P(A),P(B),根据事件C与事件A,B的关系求P(C)或利用对立事件的概率求P(C).
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球,对应的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),
(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.
(1)A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点.
所以取出的2个球全是白球的概率为
(2)B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共有8个样本点.
所以取出的2个球1个是白球,1个是红球的概率为
1.求复杂的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥事件的并;二是先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率.
2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式,解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥,只有互斥事件才能用概率加法公式:
P(A∪B)=P(A)+P(B);
P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).
探究三
求事件的运算的概率
【例3】
袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为4,5.从这五张卡片中任取两张,如果五张卡片被抽取的机会相等,分别计算下列事件的概率:
(1)事件A=“这两张卡片颜色不同”;
(2)事件B=“这两张卡片标号之和小于7”;
(3)事件C=“这两张卡片颜色不同且标号之和小于7”;
(4)事件D=“这两张卡片颜色不同或标号之和小于7”.
解:从五张卡片中任取两张,对应的样本空间Ω={(1,2),(1,3),
(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共有10个样本点.
求交、并事件的概率的一般方法:
(1)交、并事件也是随机事件,利用交事件、并事件的含义列举对应的样本点,根据随机事件的概率公式计算;
(2)并事件的概率可以根据概率的性质:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)计算,特别地,若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
【变式训练3】
假如某人有5把钥匙,但忘了开门的是哪一把,只好逐把试开,现在我们来研究一下:
(1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大?
(2)此人三次内打开房门的概率是多少?
解:设事件A=“第三次打开房门”,事件Ai=“第i次打开房门”,
i=1,2,3,4,5.
易
错
辨
析
不能区分事件是否互斥而出现错误
【典例】
掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为
,记事件A=“出现奇数”,事件B=“向上的数不超过3”,求P(A∪B).
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:事件A与事件B不是互斥事件,不能应用概率的加法公式.
正解:(方法一)记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1,A2,A3,A4.这四个事件彼此互斥,
(方法二)事件A∪B=“出现奇数或向上的数不超过3”,则A∪B={1,2,3,5},共有4个样本点,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},共有6个样本点,
1.在使用概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)时,注意使用的条件.
2.掌握互斥事件的特点,分清事件是否为互斥事件.
3.若事件A,B不互斥,则应用概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)计算概率.
【变式训练】
在掷骰子的游戏中,向上的数字为5或6的概率为 .?
解析:记事件A=“向上的数字为5”,事件B=“向上的点数为6”,则A与B互斥.
随
堂
练
习
1.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.52,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是( )
A.0.2
B.0.28
C.0.52
D.0.8
解析:设事件M=“摸出红球”,事件N=“摸出白球”,事件E=“摸出黑球”,则P(M)+P(N)+P(E)=1,所以P(E)=1-P(M)-P(N)=1-0.52-0.28=0.2,故选A.
答案:A
2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A.60%
B.30%
C.10%
D.50%
解析:设事件A=“甲获胜”,B=“甲不输”,C=“甲、乙和棋”,
则A,C互斥,且B=A∪C,故P(B)=P(A∪C)=P(A)+P(C),
即P(C)=P(B)-P(A)=50%.
答案:D
3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,
P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽取的不是一等品”的概率为
( )
A.0.7
B.0.65
C.0.35
D.0.3
解析:抽到的不是一等品的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案:C
4.从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛,如果所选3人中至少有1名女生的概率为
,那么所选3人都是男生的概率为 .?
解析:设事件A=“3人中至少有1名女生”,B=“3人都为男生”,则A,B为对立事件,所以P(B)=1-P(A)=
.
5.某战士射击一次,未中靶的概率为0.05,中靶环数大于6的概率为0.7,则事件A=“中靶环数大于0小于等于6”的概率为
.?
解析:“未中靶”与“中靶环数大于6”是互斥事件,“未中靶或中靶环数大于6”的对立事件是“中靶环数大于0小于等于6”,即事件A,所以P(A)=1-(0.05+0.7)=0.25.
答案:0.25(共43张PPT)
10.2 事件的相互独立性
课标定位
素养阐释
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型,利用独立性计算概率.
3.会利用相互独立事件的概率公式计算随机事件的概率.
4.培养数学抽象、数据分析和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
事件相互独立的含义
【问题思考】
1.思考下列三个问题:
(1)积事件AB的含义是什么?怎样用Venn图表示积事件AB?
提示:事件A与事件B同时发生,即积事件AB的样本点既在事件A中,也在事件B中.Venn图表示为
(2)请从Venn图上直观判断出P(AB)与P(A),P(B)的大小关系.
提示:P(AB)≤P(A),P(AB)≤P(B).
(3)五一劳动节学校放假三天,甲、乙两名同学都打算去敬老院,准备在三天内随机选一天,记事件A:“甲选的是第一天”;乙准备在前两天中随机选一天,记事件B:“乙选的是第一天”.
①直觉上,你觉得事件A是否发生会影响事件B发生吗?
②求出P(A),P(B),P(AB)并观察这三个值.
提示:①甲选第一天,对乙选第一天是没有影响的,即事件A是否发生不影响事件B发生.
2.填空:
事件A与事件B相互独立的含义:
(1)对任意两个事件A与B,如果P(AB)=
P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)若事件A与事件B相互独立,则A与
也都
相互独立.
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)必然事件Ω与任意事件都不独立.(
×
)
(2)不可能事件?与必然事件Ω独立.(
√
)
(3)对于任意事件A,B,都有P(AB)=P(A)P(B).(
×
)
(5)如果事件A与事件B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
相互独立事件的判断
【例1】
假定一个家庭中有两个或三个小孩,生男孩和生女孩是等可能的,令A=“一个家庭中既有男孩又有女孩”,B=“一个家庭中最多有一个女孩”.对下述两种情形,判断A与B的独立性:
(1)家庭中有两个小孩;
(2)家庭中有三个小孩.
分析:根据相互独立事件的定义判断,即P(AB)是否等于P(A)P(B).
解:(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形
Ω={(男,男),
(男,女),(女,男),(女,女)},有4个样本点,
由等可能性知概率都为
这时A={(男,女),(女,男)},
B={(男,男),(男,女),(女,男)},
AB={(男,女),(女,男)},
此时P(AB)≠P(A)P(B),
所以事件A与事件B不独立.
(2)有三个小孩的家庭,男孩、女孩的所有可能情形
Ω={(男,男,男),(男,男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),
(女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}.
由等可能性知这8个样本点的概率均为
,这时A中含有6个样本点,B中含有4个样本点,AB中含有3个样本点.
两个事件是否相互独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法:若事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B为相互独立事件.
【变式训练1】
一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,设A1=“第一次摸得白球”,A2=“第二次摸得白球”,则事件A1与
是( )
A.相互独立事件
B.不相互独立事件
C.互斥事件
D.对立事件
答案:A
探究二
相互独立事件的概率的求法
【例2】
某商场推出二次开奖活动.凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,凭奖券可以分别参加两次抽奖方式相同的抽奖活动,如果两次抽奖活动的中奖概率都是0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:
(1)两次抽奖都中奖;
(2)恰有一次中奖;
(3)至少有一次中奖.
解:设“第一次抽奖中奖”为事件A,“第二次抽奖中奖”为事件B,则“两次抽奖都中奖”就是事件AB.
(1)由于两次抽奖结果互不影响,因此事件A与B相互独立,于是由独立性可得,两次抽奖都中奖的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002
5.
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤是:(1)确定各事件之间是相互独立的;(2)确定这些事件可以同时发生;(3)先求出每个事件的概率,再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件——各个事件是相互独立的,而且它们同时发生.
【变式训练2】
甲、乙两人各掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记A:甲得到的点数为2,B:乙得到的点数为奇数.
(1)求P(A),P(B),P(AB),判断A与B是否相互独立;
解:如果用(i,j)表示甲得到的点数为i,乙得到的点数为j,则样本空间可以记为Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},而且这个样本空间可用右图直观表示.
(1)不难看出,右图中,实线框中的点代表事件A,虚线框中的点代表事件B.
探究三
相互独立事件的综合应用
【例3】
小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
分析:根据题设条件,分析事件间的关系?将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个乘积之和?利用公式计算.
与相互独立事件有关的概率问题的求解策略
(1)明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
(2)一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:
①A,B中至少有一个发生为事件A+B.
②A,B都发生为事件AB.
它们之间的概率关系如表所示.
【变式训练3】
在一个选拔项目中,每个选手都需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;
(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率;
(3)求该选手最终通过考核的概率.
易
错
辨
析
对题意理解不到位致误
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
【变式训练】
设两个相互独立的事件A,B都不发生的概率为
,只有A发生的概率等于只有B发生的概率,则事件A发生的概率P(A)= .?
随
堂
练
习
1.下列事件A,B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次正面朝上”,B表示“第二次反面朝上”
B.袋中有2个白球,2个黑球,不放回地摸球两次,每次摸1个球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚骰子,A表示“出现点数为奇数”,B表示“出现点数为偶数”
D.取一个灯泡进行测试,A表示“该灯泡能用1
000小时”,B表示“该灯泡能用2
000小时”
解析:把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A是相互独立事件;B中是不放回地摸球,显然事件A与事件B不相互独立;对于C,其结果具有唯一性,A,B应为互斥事件;D中事件B受事件A的影响.
答案:A
2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A.0.42
B.0.28
C.0.18
D.0.12
解析:因为甲、乙考试相互独立,
所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为
P=(1-0.6)×(1-0.7)=0.12.
答案:D
3.某人提出一个问题,甲先答,答对的概率为0.4,如果甲答错,那么由乙答,已知乙答对的概率为0.5,且甲、乙是否答对问题互不影响,则问题由乙答对的概率为( )
A.0.2
B.0.8
C.0.4
D.0.3
解析:由相互独立事件同时发生的概率可知,问题由乙答对的概率为P=0.6×0.5=0.3.
答案:D
4.已知P(A)=0.3,P(B)=0.5,当事件A,B相互独立时,P(AB)= ,
P(A∪B)= .?
解析:因为A,B相互独立,
所以P(AB)=0.3×0.5=0.15,
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.15=0.65.
答案:0.15 0.65
5.甲、乙、丙三人独立破译同一份密码.已知甲、乙、丙各自独立破译出密码的概率分别为
,且他们是否破译出密码互不影响,则至少有1人破译出密码的概率是 .?(共41张PPT)
10.3.1 频率的稳定性
课标定位
素养阐释
1.结合实例,会用频率估计概率.
2.理解频率与概率的区别与联系.
3.能用概率的意义解释生活中的事例.
4.培养数学抽象和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
频率的稳定性
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次,正面向上出现了4次,则在这10次试验中,正面向上的频数与频率分别是多少?
(2)如果抛掷100次,1
000次,10
000次,那么正面向上的频率与0.5相比有什么变化?
提示:随着抛掷次数的增加,正面向上的频率逐渐接近0.5,并在0.5附近波动.
2.填空:
频率的稳定性:
(1)在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.
(2)一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
3.做一做:某人将一枚硬币连续抛掷了10次,正面朝上的情形出现了6次,则( )
A.正面朝上的概率为0.6
B.正面朝上的频率为0.6
C.正面朝上的频率为6
D.正面朝上的频率接近于0.6
答案:B
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)试验次数相同,频率就相同.(
×
)
(2)频率是随机的,在试验之前无法确定,大多会随着试验次数的改变而改变.(
√
)
(3)频率就是概率.(
×
)
(4)试验次数多的频率波动幅度一定比次数少的小.(
×
)
(5)昨天没有下雨,而天气预报说昨天降水的概率为90%.这说明天气预报是错误的.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
频率与概率的关系
【例1】
下列说法:
①一个人打靶,打了10发子弹,有7发中靶.因此这个人中靶的概率为0.7;
②随机事件的频率与概率一定不相等;
③在条件不变的情况下,随机事件的概率不变;
④在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的;
⑤任何事件都有概率.
其中正确的是 .(填序号)?
解析:因为试验次数较少,此事件中靶的频率为0.7,不能说是概率,所以①错;②在大量重复试验的情况下,频率稳定在某一常数附近,所以②错;③概率是一个稳定值,不随试验次数的变化而变化,因此,在条件不变的情况下,概率不变,所以③正确;④频率随着试验的次数发生变化,但在一次试验结束后,频率是不变的,所以④错误;⑤事件包括必然事件、不可能事件、随机事件,它们都有概率,所以⑤正确.
答案:③⑤
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
【变式训练1】
给出下列四个命题:
①设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品;
②做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率;
④抛掷骰子100次,得点数是1的结果18次,则出现1点的频率是
其中正确的命题为 .(填序号)?
解析:①错误,次品率是大量产品的估计值,并不是针对200件产品来说的,所以任取200件,不一定有10件是次品.②③混淆了频率与概率的概念.④正确.
答案:④
探究二
用频率估计概率
【例2】
某射击队统计了平日训练中两名运动员击中10环的次数,如下表:
(1)分别计算出甲、乙两名运动员击中10环的频率;
(2)根据(1)中的数据预测两名运动员在奥运会上击中10环的概率.
分析:(1)击中10环的次数m除以射击总次数n就是击中10环的频率;(2)随着射击次数的增加,击中10环的频率就会稳定于某个常数,这个常数就是击中10环的概率.
解:(1)两名运动员击中10环的频率如下表:
(2)由(1)中的数据可知两名运动员击中10环的频率都集中在0.9附近,所以预测两人在奥运会上击中10环的概率均为0.9,也就是说甲、乙两人的实力相当.
用频率估计概率
(1)随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定,但是在大量重复试验的情况下,它的发生呈现出一定的规律性,可以用事件发生的频率去“测量”,因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率.
(2)此类题目的解题方法是:先利用频率的计算公式依次计算出各个频率值,再根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率.
【变式训练2】
某质检员从一大批种子中抽取若干组种子,在同一条件下进行发芽试验,有关数据如下:
(1)计算各组种子的发芽频率,填入上表;
(2)根据频率的稳定值估计种子的发芽率.
解:(1)种子的发芽频率从左到右依次为:
0.96,0.86,0.89,0.91,0.90,0.90.
(2)由(1)知发芽频率逐渐稳定在0.90,
因此可以估计种子的发芽率为0.90.
探究三
概率的应用
【例3】
某校高一年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.
(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么?
分析:游戏规则公平的判断问题,判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
解:该方案是公平的,理由如下:
各种情况如表所示.
在本例中,若把游戏规则改为:自由转动转盘,转盘停止后,两个指针指向的两个数字相乘,如果是偶数,那么(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.游戏规则公平吗?为什么?
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中,如果每个参与者获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说是否公平只要看每个参与者获胜的概率是否相等.例如:在球类体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等;购买彩票的每个人中奖的概率应该是相等的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,只有这样才是公平的.
【变式训练3】
某中学高一年级有12个班,要从中选出2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因,一班必须参加,另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法:掷两枚骰子得到的点数和是几,就选几班,你认为这种方法公平吗?
解:不公平.掷两枚骰子这一试验的样本空间包含36个样本点,得到的所有点数和如下表:
易
错
辨
析
【典例】
已知某厂的产品合格率为90%,现抽出10件产品检查,则下列说法正确的是( )
A.合格产品少于9件
B.合格产品多于9件
C.合格产品正好是9件
D.合格产品可能是9件
错解:产品的合格率是90%,是指产品中有90%的产品是合格的,故抽出的10件产品中,合格产品正好为9件,故应选C.
答案:C
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:因不理解概率的意义而错选C.
正解:合格产品可能为90%×10=9(件),故选D.
答案:D
1.一个事件的概率是通过大量的重复试验得到的,其反映了该随机事件发生的可能性大小,因此在本题中“抽出10件产品”相当于做了10次试验,而每次试验结果可能是正品,也可能是次品.故只有D正确.
2.注意从三个方面理解概率的意义:
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件A的本质属性,随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值.
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映.
(3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件.
【变式训练】
下列说法正确的是( )
A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一男一女
B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖
C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1
解析:一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确;D正确.
答案:D
随
堂
练
习
1.下列说法正确的是( )
A.任何事件的概率总在(0,1)内
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.概率是随机的,在试验前不能确定
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
解析:A中,任何事件的概率总在[0,1]内,B中,概率是客观存在的,与试验次数无关,C中,频率是随机的,在试验前不能确定,故A,B,C都不正确,D说法正确.
答案:D
2.一个保险推销员对人们说:“人有可能得病,也有可能不得病,因此,得病与不得病的概率各占50%.”他的说法( )
A.正确
B.不正确
C.有时正确,有时不正确
D.应由气候条件确定
解析:在大多数时候,人是不得病的.得病与不得病的概率不相等,故选B.
答案:B
3.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
则取到号码为奇数的频率是( )
A.0.53
B.0.5
C.0.47
D.0.37
答案:A
4.从某自动包装机包装的袋装白糖中,随机抽取20袋,测得各袋的质量(单位:g)如下:
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据用样本的频率分布估计总体分布的原理,该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5~501.5
g之间的概率约为 .
解析:样本中白糖质量在497.5~501.5
g之间的有5袋,所以该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5~501.5
g之间的频率为
,则概率约为0.25.
答案:0.25
5.对某厂生产的某种产品进行抽样检查,数据如下:
根据上表提供的数据,若要从该厂生产的此种产品中抽取950件合格产品,大约需要抽取多少件产品?
解:5次抽查的合格频率分别为0.94,0.92,0.96,0.95,0.953,根据频率的稳定性,合格概率估计为0.95.
设若要抽到950件合格品,大约需抽n件产品,(共34张PPT)
10.3.2 随机模拟
课标定位
素养阐释
1.了解随机数的意义.
2.会用随机模拟方法估计概率.
3.理解用随机模拟方法估计概率的实质.
4.培养数学建模、数据分析和数学运算等素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
随机模拟的有关概念
【问题思考】
1.思考下列两个问题:
(1)在简单随机抽样中,我们可以用什么方法产生随机数?
提示:信息技术,如计算器或计算机软件.
(2)为了得到某一随机事件发生的概率,我们要做大量的重复试验,有的同学可能觉得这样做试验花费的时间太多了,那么有没有其他方法可以替代试验呢?
提示:可以用数字代表试验结果,通过随机模拟产生随机数代替试验.
2.填空:
(1)随机数:要产生1~n(n∈N
)之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把n个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.
(2)伪随机数
计算器或计算机产生的随机数是依照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
(3)随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
3.做一做:用随机模拟方法得到的频率( )
A.大于概率
B.小于概率
C.等于概率
D.是概率的近似值
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)用计算器或计算机软件产生的伪随机数来做模拟试验,得到的频率值不准确.(
×
)
(2)用简单随机抽样的方法产生的随机数都是等可能的.(
√
)
(3)用随机模拟方法估计概率时,产生的随机数越多,估计的结果越准确.(
√
)
(4)产生整数随机数的方法只能用计算器或计算机.(
×
)
(5)利用随机模拟得到的计算结果就是概率.(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究一
用随机模拟估计概率
【例1】
某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投篮投中的概率是60%,利用计算器或计算机模拟试验,估计他在连续三次投篮中,三次都投中的概率是多少.
分析:设计模拟试验?产生随机数?估算所求概率
解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题,利用计算机或计算器可以产生0到9之间的取整数值的随机数.
我们用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%.因为是投篮三次,所以每3个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:
812 932 569 683 271
989 730 537 925 834
907 113 966 191 432
256 393 027 556 755
相当于做了20次重复试验,其中若3个数均在1,2,3,4,5,6中,则表示三次都投中,它们分别是113,432,256,556,即共有4组数,因此我们得到三次投篮都投中的概率近似为
用整数随机数模拟试验估计概率时,首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.我们可以从以下三个方面考虑:
(1)当试验的基本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个基本事件.
(2)研究等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字的个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把这n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数能否重复.
【变式训练1】
一个小组有6名同学,选1名小组长,用随机模拟方法估计甲被选中的概率,给出下列步骤:
①统计甲的编号出现的个数m;
②将六名学生编号1,2,3,4,5,6;
③利用计算器或计算机产生1到6之间的整数随机数,统计个数为n;
④则甲被选中的概率近似为
该试验的正确步骤是 .(只需写出步骤的序号即可)
解析:由随机模拟方法的步骤易知,该试验的正确步骤是②③①④.
答案:②③①④
探究二
用随机模拟估计比较复杂事件的概率
【例2】
种植某种树苗,成活率为0.9,请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率.写出模拟试验的过程,并求出所求概率.
分析:用随机模拟估计比较复杂事件的概率时,先合理设计随机数的产生,再根据频率公式计算.
解:先由计算机或计算器的随机函数产生0到9之间取整数值的随机数,指定1到9的数字代表成活,0代表不成活,表示这种树苗的成活率为0.9.以每5个随机数为一组代表种植5棵的结果.经随机模拟产生随机数,例如,产生如下30组随机数:
69801 66097 77124 22961 74235 31516
29747 24945 57558 65258 74130 23224
37445 44344 33315 27120 21782 58555
61017 45241 44134 92201 70362 83005
94976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次重复试验.在这些数组中,若恰有一个0,则表示恰有4棵成活.共有9组这样的数,于是我们得到种植5棵这种树苗恰有4棵成活的概率近似为
在本例中若树苗成活率为0.8,则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少?
解:利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数,我们用0和1代表不成活,2到9的数字代表成活,这样可以体现成活率是0.8.因为是种植5棵,所以每5个随机数作为一组.例如,产生20组随机数:
23065 37052 89021 34435 77321
33674 01456 12346 22789 02458
99274 22654 18435 90378 39202
17437 63021 67310 20165 12328
这就相当于做了20次重复试验,在这些数组中,若至多有一个是0或1的数组,则表示至少有4棵成活.共有15组,于是我们得到种植5棵这种树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20=0.75.
较复杂模拟试验的设计及产生随机数的方法
(1)较复杂模拟试验的设计
①全面理解题意,根据题目本身的特点来设计试验,应把设计试验的重点放在确定哪个或哪些数字代表哪些试验结果上,并确保符合题意与题目要求.
②在试验方案正确的前提下,要使模拟试验所得的估计概率值与实际概率值更接近,则需使试验次数尽可能地多,随机数的产生更切合实际.
(2)用计算器或计算机产生随机数的方法
①利用带有PRB功能的计算器产生随机数;
②利用计算机软件产生随机数,例如用Excel软件产生随机数.
提醒:对于上述两种方法,需严格按照其操作步骤与顺序来进行.
【变式训练2】
已知甲、乙两支篮球队进行比赛时,甲获胜的概率为0.6,现采用三局两胜制举行一次比赛,采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率.
利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数,用0,1,2,3,4,5表示甲获胜;6,7,8,9表示乙获胜,这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制,所以每3个随机数作为一组.例如,产生30组随机数:
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162
332 616 804 560 111 410 959 774 246 762
428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率为 .?
解析:产生30组随机数就相当于做了30次重复试验.6,7,8,9中恰有2个或3个数出现,就表示乙获胜,它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707,共11个.
所以采用三局两胜制,乙获胜的概率约为
易
错
辨
析
审题不清或对随机数理解不到位致误
【典例】
天气预报说,在今后的三天中每一天下雨的概率均为30%,用随机模拟的方法进行试验,由1,2,3表示下雨,由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨,利用计算器产生0~9之间的20组数据如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上数据可知三天都不下雨的概率近似为( )
A.0.05
B.0.35
C.0.4
D.0.7
错解:选A或选C或选D.
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:由于审题不清,误认为求三天下雨的概率,或将随机数代表的含义弄错导致选A或D;由于符合条件的随机数个数确定不准可能导致选C.
正解:由题意知利用计算器模拟求三天都不下雨的概率,产生的20组随机模拟数据中代表三天都不下雨的随机数,应该由4,5,6,7,8,9,0中的三个组成,这样的随机数有:907,966,458,569,
556,488,989,共7组随机数,所以所求概率为
,故选B.
答案:B
1.认真审题:解决此类问题首先要正确理解所求概率的含义,弄清其包含的基本事件.
2.恰当设计:恰当设计随机数,弄清随机数代表的事件及代表所求事件的随机数组.如本题由1,2,3表示下雨,由4,5,6,7,8,9,0表示不下雨.
3.准确计算:要正确计算代表所求事件的随机数组的个数和总的随机数组的个数.正确利用概率公式计算出所求概率.如本题找出代表三天都不下雨的随机数个数,即可求出概率.
【变式训练】
假定某运动员每次投掷飞镖命中靶心的概率为50%.现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4,5表示命中靶心,6,7,8,9,0表示未命中靶心.再以每两个随机数为一组,代表两次投掷飞镖的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计,该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率为( )
A.0.50
B.0.45
C.0.40
D.0.35
解析:20组随机数中代表事件“运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心”的数组有93,28,85,73,93,02,75,56,48,30,共10组,所以所求事件的概率约为
答案:A
随
堂
练
习
1.随机函数RANDBETWEEN(0,7)不可能产生的随机数是
( )
A.0
B.2
C.3
D.9
解析:由随机函数RANDBETWEEN(a,b)的含义知,选D.
答案:D
2.掷两枚质地均匀的正方体骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率,在产生的整数随机数中,每几个数为一组
( )
A.1
B.2
C.3
D.10
解析:要考察两枚质地均匀的正方体骰子出现的点数之和,在产生的整数随机数中,应每两个数字一组.
答案:B
3.通过随机模拟试验产生了20组随机数:
6830 3013 7055 7430 7740 4422 7884 2604 3346 0952 6807 9706 5774 5725 6576 5929 9768 6071 9138 6754
若恰有三个数在1,2,3,4,5,6中,则表示恰有三次击中目标.四次射击中恰有三次击中目标的概率约为 .?
解析:表示恰有三次击中目标的数组分别是:3013,2604,5725,
6576,6754,共有5个组.总共20组随机数,所以所求的概率近似为
答案:0.25
4.在用随机(整数)模拟求“盒中仅有4个白球和5个黑球(这些球除颜色外,其他完全相同),从中取4个,取出2个白球2个黑球”的概率时,可由计算机产生1~9之间的随机整数,并用1~4代表白球,5~9代表黑球.因为是摸出4个球,所以每4个随机数作为一组.若得到的一组随机数为“4678”,则它代表的含义是
.?
解析:分析题意,易知数字代表的含义.
答案:摸出的4个球中,只有1个白球(共80张PPT)
第5课时 概率
知识梳理·构建体系
专题归纳·核心突破
知识梳理·构建体系
知识网络
要点梳理
知识网络
要点梳理
1.随机现象、随机试验、样本点、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的含义及符号表示是什么?请完成下表:
2.事件的关系和运算与对应的概率性质
3.古典概型的两个特征是什么?对应的概率公式是什么?
(1)古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率公式:
.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
4.频率与概率的区别与联系有哪些?
(1)频率随着试验次数的变化而变化;概率却是一个常数,是客观存在的,与试验次数无关.
(2)在实际应用中,只要试验的次数足够多,所得的频率就可以近似地当作随机事件的概率.
(3)概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值.
(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小.概率越接近于1,此事件发生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,此事件发生的可能性就越小.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)随机试验的结果有多种,不止一个.(
√
)
(2)“水能载舟,亦能覆舟”是一个随机现象.(
×
)
(3)对立事件一定是互斥事件.(
√
)
(4)积事件与并事件类似于集合的交与并.(
√
)
(5)A1∪A2∪A3表示三个事件A1,A2,A3至少有两个发生.(
×
)
(6)对于任意事件A,B,都有P(A+B)=P(A)+P(B).(
×
)
(7)抛掷一枚骰子,记事件A=“出现的点数为2”,B=“出现的点数小于4”,则P(A∪B)=P(A)+P(B).(
×
)
(8)如果三个事件A,B,C两两独立,那么P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
(
×
)
(9)概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.
(
√
)
(10)用随机模拟方法只能估计古典概型的概率.(
×
)
专题归纳·核心突破
专题整合
高考体验
专题一 互斥事件与对立事件的概率
【例1】
甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同的题目.其中,选择题3个,判断题2个,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少?
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
分析:用列举法把所有可能的基本结果列举出来,或考虑互斥及对立事件的概率公式.
解:把3个选择题记为x1,x2,x3,2个判断题记为p1,p2.则试验的样本空间包含的样本点数为5×4=20个.
(1)设事件A=“甲抽到选择题,乙抽到判断题”,B=“甲抽到判断题,乙抽到选择题”,M=“甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题”,则M=A∪B.
因为A={(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2)},
共有6个样本点,
B={(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3)},
共有6个样本点,
1.互斥事件与对立事件的概率计算
(1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=
P(A1)+P(A2)+…+P(An);
2.求复杂事件的概率常用的两种方法
(1)直接法:将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;
(2)间接法:先求其对立事件的概率,然后再应用公式
求解.
【变式训练1】
某服务电话,打进的电话响第1声时被接的概率是0.1;响第2声时被接的概率是0.2;响第3声时被接的概率是0.3;响第4声时被接的概率是0.35.
(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少?
(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?
解:(1)设事件Ak(k∈N
)=“电话响第k声时被接”,那么事件Ak彼此互斥,设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A,根据互斥事件概率加法公式,得P(A)=P(A1∪A2∪A3∪A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)
=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.
(2)设事件B=“打进的电话响4声而不被接”,事件A“打进的电话在响5声之前被接”,则事件A与事件B互为对立事件.根据对立事件的概率公式,得P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.
专题二 古典概型
【例2】
有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.
?
(1)用画树状图法(或列表法)表示试验的样本空间(纸牌用A,B,C,D表示);
(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.
解:(1)树状图如图所示.
列表如下:
分析:本题旨在考查对古典概型的理解及运用.
(2)在A,B,C,D四张纸牌中,牌面图形是中心对称图形的是B,C,所以事件“摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌”包含4个样本点,即(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率是
1.求解古典概型概率“四步”法
2.在应用古典概型的概率公式
时,关键是分清事件A和样本空间Ω包含的样本点个数n(A)和n(Ω),有时需用列举法把样本点一一列举出来,但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏.
【变式训练2】
甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)记事件A=“和为6”,求P(A);
(2)现连玩三次,记事件B=“甲至少赢一次”,事件C=“乙至少赢两次”,试问B与C是否为互斥事件,为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
解:(1)试验的样本空间Ω={(x,y)|x,y=1,2,3,4,5},包含的样本点有5×5=25个.
事件A={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)},共有5个样本点,
(2)B与C不是互斥事件.因为B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次时,B,C同时发生.
(3)这种游戏规则不公平.由(1)知和为偶数的样本点有13个:
(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),
所以这种游戏规则不公平.
专题三 独立事件的概率
【例3】
甲、乙2人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为
和
,求:
(1)2人都译出密码的概率;
(2)2人都译不出密码的概率;
(3)至多1人译出密码的概率.
分析:分析事件的独立性→利用相互独立事件的概率公式直接或间接求解.
解:记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A与B为相互独立事件,
(3)“至多1人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,
所以至多1人译出密码的概率为
相互独立事件概率的求解方法
(1)应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤:
①确定各事件是相互独立的;
②确定各事件会同时发生;
③先求每个事件发生的概率,再求其积.
(2)解决这类问题的关键是将事件看作若干事件相互独立的情形,还要注意互斥事件的拆分,以及对立事件概率的求法,即三个公式的联用:P(A∪B)=P(A)+P(B)(A,B互斥),P(B)=1-P(A)
(A,B对立),P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互独立).
【变式训练3】
某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:
A地区 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.
解:记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;
CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;
CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;
CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”;
则CA1与CB1相互独立,CA2与CB2相互独立,CB1与CB2互斥,
C=CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)
=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)
=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2),
专题四 用频率估计概率
【例4】
某射击运动员为2016年里约奥运会做准备,在相同条件下进行射击训练,结果如下:
(1)该射击运动员射击1次,击中靶心的概率大约是多少?
(2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少?
(3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗?
(4)假如该射击运动员射击了10次,前9次中有8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗?
分析:弄清频率与概率的含义及它们之间的关系是解题的关键.
解:(1)由题意知,随着射击次数的增加,击中靶心的频率在0.9附近波动,故概率约为0.9.
(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次).
(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心.
(4)不一定.
概率是一个理论值,当做大量的重复试验时,试验次数越多,频率的值越接近概率值.
【变式训练4】
下表是某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果表,请完成表格并回答问题.
(1)完成上面表格;
(2)估计该油菜籽发芽的概率是多少?
解:(1)从左到右依次填入:
1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.897,0.898,0.897,0.896.
(2)由于随着每批粒数的增加,每批种子发芽的频率稳定在0.897附近,所以估计该油菜籽发芽的概率为0.897.
专题五 概率与统计的综合应用
【例5】
某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到下表和各年龄段人数的频率分布直方图:
(1)补全频率分布直方图并求n,a,p的值;
(2)从年龄在[40,50)内的“低碳族”中采用样本量按比例分配的分层随机抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)内的概率.
解:(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,
(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60∶30=2∶1,
所以采用样本量按比例分配的分层随机抽样法抽取6人,
[40,45)岁中抽4人,[45,50)岁中抽2人.
设[40,45)岁中抽取的4人为a,b,c,d,[45,50)岁中抽取的2人为m,n,则选取2人作为领队对应的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),
(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),
(m,n)},共有15个样本点;其中恰有1人年龄在[40,45)内的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),共有8个样本点.
所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)内的概率为
概率与统计的综合应用的关注点
概率与统计相结合,所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率往往是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.在解决问题时,要求对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.
【变式训练5】
为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养,促进教育教学改革,市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某中学举行了选拔赛,共有150名学生参加,为了了解成绩情况,从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,请你根据尚未完成的频率分布表,解答下列问题:
(1)完成频率分布表(直接写出结果),并作出频率分布直方图;
(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖,试估计全校获一等奖的人数,现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛,某班共有2名同学荣获一等奖,求该班同学恰有1人参加竞赛的概率.
解:(1)频率分布表如下:
频率分布直方图如图:
(2)获一等奖的概率约为0.04,所以获一等奖的人数估计为150×0.04=6(人).
记这6人为A1,A2,B,C,D,E,其中,A1,A2为该班获一等奖的同学.
从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛,对应的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,B),(A1,C),(A1,D),
(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),
(C,E),(D,E)},共有15个样本点.
事件“该班同学中恰有1人参加竞赛”包含8个样本点:(A1,B),
(A1,C),(A1,D),(A1,E),(A2,B),(A2,C),(A2,D),(A2,E).
所以该班同学中恰有1人参加竞赛的概率
考点一 互斥事件与对立事件的概率
1.(2018·全国Ⅲ高考)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3
B.0.4
C.0.6
D.0.7
解析:设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.
答案:B
2.(2019·江苏高考)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .?
解析:已知男女同学共5名.
从5名学生中任选2名,共有10种选法.
若选出的2人中恰有1名女生,有6种选法.
若选出的2人都是女生,有1种选法.
所以所求的概率为
考点二 古典概型
3.(2019·全国Ⅱ高考)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
解析:设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),
(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),(b,c,B),(c,A,B),(b,A,B)共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),
(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B)共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为
,故选B.
答案:B
4.(2019·全国Ⅲ高考)两名男同学和两名女同学随机排成一列,则两名女同学相邻的概率是( )
解析:两名男同学和两名女同学排成一列,共有24种排法.两名女同学相邻的排法有12种,故两名女同学相邻的概率是
.故选D.
答案:D
5.(2018·全国Ⅱ高考)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6
B.0.5
C.0.4
D.0.3
解析:设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)
(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)10种,其中选中两人都为女同学共有(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)3种,故
答案:D
6.(2018·全国Ⅱ高考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )
解析:不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.随机选取两个不同的数,此事件包含9+8+…+2+1=45个样本点,其中和为30的情形有7+23,11+19,13+17共3种,故
答案:C
考点三 独立事件的概率
7.(2019·全国Ⅰ高考)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .?
解析:前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108;
前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072.
综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18.
答案:0.18
8.(2019·全国Ⅱ高考)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分.当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两名同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解:(1)X=2就是10∶10平后,两人又打了两个球该局比赛结束,则这两个球均由甲得分,或者均由乙得分.
因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
考点四 频率估计概率与概率的意义
9.(2019·全国Ⅰ高考节选)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:
分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率.
10.(2019·北京高考)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1
000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2
000元的概率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2
000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2
000元的人数有变化?说明理由.
解:(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2
000元”,
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2
000元”.
假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2
000
元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2
000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.
考点五 概率与统计的综合问题
11.(2019·天津高考)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用比例分配的分层随机抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率.
解:(1)由题意知,老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取25名员工,因此应从老、中、青员工中分别抽取6人,9人,10人.
(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为(A,B),
(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),
(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.
②由表格知,符合题意的所有可能结果为(A,B),(A,D),(A,E),
(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,F),(E,F),共11种.
所以,事件M发生的概率
12.(2018·天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解:(1)已知甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),
(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),(D,F),(D,G),(E,F),
(E,G),(F,G),共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},
{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.
所以,事件M发生的概率(共46张PPT)
习题课——随机事件的概率
课标定位
素养阐释
1.理解样本点、有限样本空间及随机事件的相关概念,会用集合表示样本空间与事件.
2.会判断事件间的关系,能够进行事件间的运算.
3.能计算古典概型中简单随机事件的概率.
4.掌握概率的性质,会用概率的运算法则计算随机事件的概率.
5.积累数学抽象和直观想象的经验,提升数据分析与数学运算素养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思
想
方
法
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
一、有限样本空间与随机事件的含义
1.填表:
2.做一做:从含有3件次品的100件产品中任取5件,观察其中的次品数,则样本空间为( )
A.{3}
B.{1,2,3}
C.{0,1,2,3,4,5}
D.{0,1,2,3}
解析:因为共有3件次品,所以抽取的次品数可能为0,1,2,3次.
答案:D
二、事件的关系和运算与对应的概率性质
1.填空:
2.做一做:记事件A,B的对立事件分别为
则事件A或B发生表示为 ;?
事件A,B同时发生表示为 ;?
事件A发生,但事件B没有发生表示为 ;?
事件B发生,但事件A没有发生表示为 ;?
事件A,B都没有发生表示为 .?
解析:根据并事件与积事件的定义判断.
三、古典概型及概率公式
1.填空:
(1)古典概型的特征:有限性和等可能性.
(2)古典概型的概率公式:
.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
2.做一做:(1)某国际科研合作项目由两个美国人、一个法国人和一个中国人共同开发完成,现从中随机选出两人作为成果发布人,则随机选出的两人中有中国人的概率为( )
(2)某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别是0.3,0.3,0.2,那么他射击一次不够8环的概率是 .?
解析:(1)记两个美国人为a,b,法国人为c,中国人为d,从中随机选两人共有{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},6种不同的情形,其中两人中有中国人的情形共有3种,故所求事件的概率
(2)设击中10环、9环、8环的事件分别为A,B,C,不够8环的事件为D,则事件A,B,C两两互斥,
所以P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-P(A)-P(B)-P(C)
=1-0.3-0.3-0.2=0.2.
答案:(1)C (2)0.2
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)随机事件是样本空间Ω的子集.(
√
)
(2)若事件A包含事件B,则事件A中的样本点都是事件B的样本点.(
×
)
(3)若A∩B=?,则事件A与事件B互为对立事件.(
×
)
(4)对立事件一定是互斥事件.(
√
)
(5)向一个圆面内随机地投射一个点,这个试验是古典概型.
(
×
)
合作探究·释疑解惑
探究一
探究二
探究三
探究一
样本空间与随机事件的集合表示
【例1】
口袋中有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,甲、乙两个人依次不放回地从中摸出1个球.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
A=“甲、乙两人摸到的球颜色相同”;
B=“甲摸到黑球”.
解:(1)将2个白球编号为1,2,2个黑球编号为3,4.用(x,y)表示样本点,其中x表示甲摸到的球,y表示乙摸到的球.则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),
(4,2),(4,3)}.
(2)甲、乙两人摸到的球颜色相同,即都摸到白球或都摸到黑球.所以A={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)};
甲摸到黑球,即x=3或4,
所以B={(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}.
1.样本空间和随机事件用集合表示时,简单的试验一般用列举法表示,有时也用描述法,复杂的试验有时用列表法或树形图表示.
2.在表示样本空间时,注意试验的条件,条件不同,样本空间就不同.如本题是不放回取球,所以样本点(x,y)中的x≠y,甲、乙两人分别取球,即(1,2)与(2,1)表示两个不同的样本点.
【变式训练1】
先后抛掷两枚大小相同的骰子,观察朝上的面的点数:
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合表示事件A=“出现的点数之和为7”;
(3)用集合表示事件B=“出现的点数之和能被3整除”.
解:(1)用(i,j)表示样本点,其中i表示第一枚骰子朝上的点数,j表示第二枚骰子朝上的点数,i,j分别取1,2,3,4,5,6,则试验的样本空间Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6}.
(2)点数之和为7,有1+6=7,2+5=7,3+4=7,
所以A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)}.
(3)点数之和能被3整除,即点数之和为3,6,9,12.
所以B={(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),
(5,4),(6,6)}.
探究二
事件间的运算与概率性质
【例2】
(1)抛掷一枚骰子,观察落地时向上的点数,记事件A=“向上的点数是奇数”,事件B=“向上的点数是偶数”,事件C=“向上的点数是3的倍数”,事件D=“向上的点数是6或4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A.A与B
B.B与C
C.A与D
D.C与D
解析:A与B互斥且对立;B与C有可能同时发生,即出现点数6,从而不互斥;A与D不会同时发生,从而A与D互斥,又因为还可能出现2,所以A与D不对立;C与D有可能同时发生,从而不互斥.
答案:C
(2)玻璃盒子中装有各色球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,这些球除颜色外其他完全相同.从中任取1球.设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”.求:
①P(A),P(B),P(C),P(D);
②“取出1球为红球或黑球”的概率;
③“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
(2)玻璃盒子中装有各色球12个,其中5红、4黑、2白、1绿,这些球除颜色外其他完全相同.从中任取1球.设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”.求:
①P(A),P(B),P(C),P(D);
②“取出1球为红球或黑球”的概率;
③“取出1球为红球或黑球或白球”的概率.
求复杂事件的概率通常有两种方法:
(1)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件;
(2)将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件,需要分类较多,而其对立面的分类较少时,可考虑利用对立事件的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率.
【变式训练2】
某商场进行有奖销售,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1
000张奖券为一个开奖单位,每个开奖单位设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
探究三
古典概型的概率计算
【例3】
一个袋中装有四个大小、质地完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机摸出两个球,求摸出的两个球的编号之和不大于4的概率;
(2)先从袋中随机摸出一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,再从袋中随机摸出一个球,该球的编号为n,求n解:(1)从袋中随机摸出两个球,其样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点.
设事件A=“摸出的两个球的编号之和不大于4”,
则A={(1,2),(1,3)},共有2个样本点.
因此
(2)先从袋中随机摸出一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机摸出一个球,记下编号为n,其样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共有16个样本点.
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a,b),(b,a)不是同一个样本点.
【变式训练3】
从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
解:记三件正品为1,2,3,一件次品为4,对应的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共有6个样本点.
设事件A=“取出的两件产品中恰有一件次品”,
则A={(1,4),(2,4),(3,4)},共有3个样本点.
思
想
方
法
数形结合思想巧解古典概型概率
【典例】
先后掷两枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记A=“点数之和为7”,B=“至少出现一个3点”,求
解:用数对(x,y)来表示抛掷结果,
则样本空间可记为
Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},
而且样本空间可用右图直观表示.
样本空间中,共包含36个样本点.
1.随机试验的样本空间,常用集合的列举法表示,有时也用集合的描述法表示,或用坐标系表示,或用列表法或树形图表示.如本题用描述法和坐标系两种方法来表示.
2.数形结合思想是解决古典概型问题的常用思想,如本题用坐标系表示样本空间,直观清晰,而且从图中很容易找出事件A,B,AB包含的样本点.
3.注重培养直观想象和数据分析素养.
【变式训练】
甲、乙两人玩锤子、剪刀、布的猜拳游戏,假设两人都随机出拳,求:
(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)甲不输的概率.
解:因为甲有3种不同的出拳方法,乙同样也有3种不同的出拳方法,因此一次出拳共有3×3=9种不同的可能.?
因为都是随机出拳,所以可以看成古典概型,而且样本空间中包含9个样本点,样本空间可以用右图直观表示.
因为锤子赢剪刀,剪刀赢布,布赢锤子,
因此若记事件A为“平局”,B为“甲赢”.则:
随
堂
练
习
1.现有100个乒乓球,其中5个有奖,95个没有奖,从中任取3个,观察其中有奖的个数,则试验的样本空间为( )
A.{0,1,2,3,4,5}
B.{1,2,3,4,5}
C.{0,1,2,3}
D.{1,2,3}
解析:从中任取3个,观察有奖的个数,
所以试验的样本空间Ω={0,1,2,3}.
答案:C
2.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是( )
A.①
B.②④
C.③
D.①③
解析:根据题意,从1,2,3,…,9中任取两数,其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况.依次分析所给的4个事件可得:
①恰有一个偶数和恰有一个奇数都是“一个奇数与一个偶数”一种情况,不是对立事件;
②至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,与两个都是奇数不是对立事件;
③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,和“两个都是偶数”是对立事件;
④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况,不是对立事件.
答案:C
3.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .?
解析:设数学书为A,B,语文书为C,则样本空间Ω={(A,B,C),
(A,C,B),(B,A,C),(B,C,A),(C,A,B),(C,B,A)},共有6个样本点,其中2本数学书相邻的情况为{(A,B,C),(B,A,C),(C,A,B),(C,B,A)},共包含4个样本点,故所求概率为
4.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示:
则年降水量在区间[200,300](mm)范围内的概率是 .
解析:设年降水量在区间[200,300],[200,250),[250,300]的事件分别为A,B,C,则A=B∪C,且B,C为互斥事件,所以P(A)=P(B)+P(C)=0.13+0.12=0.25.
答案:0.25
5.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为
的概率是 .?
解析:若使两点间的距离为
,即对角线的一半,
则选择的点必含中心.设中心为G,四个顶点为A,B,C,D,
则试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,G),(B,C),(B,D),
(B,G),(C,D),(C,G),(D,G)},
