江苏省四校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试卷 Word版含答案

江苏省2020/2021学年度高一年级第二学期四校期中联考试卷
数学试题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
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一、单选题(共40分)
1．(本题5分)若false为虚数单位false且false则复数false的模等于
A．false B．false C．false D．false
2．(本题5分)若点false为角false终边上一点，则false的值为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．(本题5分)已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么?的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．(本题5分)在正方体false中false为底面false的中心，false为false的中点， 则异面直线false与false所成角的正弦值为
A．false B．false C．false D．false
5．(本题5分)已知复数false满足false(false为虚数单位)，且false，则正数false的值为
A．false B．false C．false D．false
6．(本题5分)已知false的面积为false，false，false，则false．
A．false B．false C．false D．false
7．(本题5分)设非零向量false的夹角为false，若false，且不等式false对任意false恒成立，则实数false的取值范围为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．(本题5分)古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形false）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设false.则下述四个结论：①以直线false为终边的角的集合可以表示为false；②以点false为圆心、false为半径的圆的弦false所对的弧长为false；③false；④false中，正确结论的个数是（ ）

A．false B．false C．false D．false
二、多选题(共20分)
9．(本题5分)在false中，角false、false、false的对边分别为false、false、false，false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false不可能为锐角三角形
10．(本题5分)已知与为单位向量，且，向量满足，则的可能取值有（）
A．2 B．3
C．4 D．5
11．(本题5分)一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形false为正方形，false、false分别为false、false的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有
2226310-133985直线false与直线false异面
B．直线false与直线false异面
C．直线false平面false
D．直线false平面false
12．已知函数false，有下列四个结论，其中正确的结论为（ ）
A．false在区间false上单调递增 B．false是false的一个周期
C．false的值域为false D．false的图象关于false轴对称
第II卷（非选择题）
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三、填空题(共20分)
13．(本题5分)计算：false____________ .
14．(本题5分)已知false中，角false， false， false所对的边分别为false， false， false，若false，则false__________．
15．(本题5分)16．在中，，，，为线段上一点，则false的最小值为____．
16．(本题5分,第一空2分，第二空3分)在false中，若false，false，则false的最小值为______，false面积的最大值为______
四、解答题(共70分)
17．(本题12分)已知函数false．
（1）若false，求false的值；
（2）设false三内角false所对边分别为false且false，求false在false上的值域．
18．(本题12分）已知复数false同时满足下列两个条件：
①false的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；
②false．
（Ⅰ）求出复数false；
（Ⅱ）求false．
19．(本题12分如图，四棱锥false，false平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，false，false，false，E为PB中点.
（1）求证：false平面PCD；
（2）求证：false.
20.(本题12分)如图，在平面直角坐标系false中，已知四边形false是等腰梯形，false，点false满足false，点false在线段false上运动（包括端点）.
（1）求false的余弦值；
（2）是否存在实数false，使false，若存在，求出满足条件的实数false的取值范围，若不存在，请说明理由.
21．(本题12分)如图，直角false中，点M，N在斜边BC上（M，N异于B，C，且N在M，C之间）.
（1）若AM是角A的平分线，false，且false，求三角形ABC的面积；
（2）已知false，false，false，设false.
①若false，求MN的长；
②求false面积的最小值.
22．已知向量false.
（1）求函数f（x）的单调增区间.
（2）若方程false上有解，求实数m的取值范围.
（3）设false，已知区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中求b﹣a的最小值.
参考答案
一、选择题 5分每题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
D
B
A
D
A
B
AB
ABC
AC
CD
1．C
【详解】
false,则false，所以false，故选C.
2．C
【分析】
由题意，求出false，根据倍角公式求出false，再根据两角差的余弦公式把false展开，即得答案.
【详解】
false点false为角false终边上一点，false，
false，
false.
故选：false.
【点睛】
本题考查三角函数的第二定义、倍角公式、两角差的余弦公式 ，属于基础题.
3．D
【解析】
试题分析：利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值．
解：∵=（3，k+2）
∵共线
∴k+2=3k
解得k=1
∴=（1，1）
∴=1×2+1×2=4
故选D
点评：本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．
4．B
【分析】
取BC中点为M，连接OM，EM找出异面直线夹角为false，在三角形中利用边角关系得到答案.
【详解】
取BC中点为M，连接OM，EM
在正方体false中false为底面false的中心，false为false的中点
易知：false
异面直线false与false所成角为false
设正方体边长为2，在false中：false
false
故答案选B
【点睛】
本题考查了立体几何里异面直线的夹角，通过平行找到对应的角是解题的关键.
5．A
【分析】
由已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简复数false，再利用复数求模公式计算即可得到答案.
【详解】
由false，
得false，
又false，
所以false，解得false.
故选：A
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的乘除运算和复数模的求法，属于基础题.
6．D
【详解】
因为∵false，false，false的面积为false，
∴解得：false，
∴falsefalse，故选false．
7．A
【分析】
根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为false恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，非零向量false的夹角为false，且false，
则false，
不等式false对任意false恒成立，
所以false，即false，
整理得false恒成立，
因为false，所以false，即false，可得false，
即实数false的取值范围为false.
故选：A.
【点睛】
求平面向量的模的两种方法：
1、利用false及false，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
8．B
【分析】
根据终边相同的角的定义可判断命题①的正误；利用扇形的弧长公式可判断命题②的正误；利用平面向量数量积的定义可判断命题③的正误；利用平面向量的坐标运算可判断命题④的正误.
【详解】
对于命题①，以直线false为终边的角的集合可以表示为false，命题①错误；
对于命题②，false，以点false为圆心、false为半径的圆的弦false所对的弧长为false，命题②正确；
对于命题③，由平面向量数量积的定义可得false，命题③错误；
对于命题④，易知点false，false，所以，false，命题④正确.
故选：B.
【点睛】
本题以数学文化为背景，考查了终边相同的角的集合、扇形的弧长、平面向量数量积的定义以及平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.
AB
【分析】
根据题中条件，先数形结合表示出向量a，b的和，再利用向量c与向量a,b和之差，表示出向量c的终点轨迹，是以（false）为圆心，半径为2的圆，所以向量c的模长范围[false],依据选项选出AB。
10．ABC
【分析】
根据题中条件，先由正弦定理，可判断A正确；根据余弦定理，可判断B正确；根据两角和与差的正弦公式，可判断C正确；根据特殊值可判断D正确.
【详解】
因为false，由正弦定理可得，false，即A正确；
又由false可得false，即false，所以B正确；
由false可得falsefalse，所以false或false（舍），故C正确；
由上推导可知，false，所以false可能为锐角三角形，如：false，false，false，所以D错误；
故选：ABC
【点睛】
本题主要考查正余弦定理的简单应用，涉及两角和与差的正弦公式，属于常考题型.
11．【答案】AC
【分析】
将平面展开图还原几何体后，由异面直线的定义和线面平行，垂直的判定定理对选项逐个进行分析证明即可得到答案.
【详解】
由展开图恢复原几何体如图所示：
选项A,由点A不在平面PCB内，直线BF不经过E，根据异面直线的定义可知：直线AE与直线BF异面，所以正确；
选项B,因为点E,F为中点，根据三角形中位线定理可得EF∥BC，又∵AD∥BC，∴EF∥AD，因此四边形EFDA是梯形，故直线AE与直线DF不是异面直线，所以不正确；
选项C,由B知：EF∥AD，EF?平面PAD，AD?平面PAD，∴直线EF∥平面PAD，故正确；
选项D, 若直线false平面false，则false，点F为中点，则PD=DC=PC，不妨设DC=2，则DF=BF=false,BD=2false,则DF与BF不垂直，所以不正确.
故选AC．
【点睛】
本题考查线面平行与垂直的判定与性质定理和异面直线的定义，考查分析推理能力.
12.【答案】CD
【分析】
代入特殊值检验，可得A错误；求得false的表达式，即可判断B的正误；分段讨论，根据x的范围，求得false的范围，利用二次函数的性质，即可求得false的值域，即可判断C的正误；根据奇偶性的定义，即可判断false的奇偶性，即可判断D的正误，即可得答案.
【详解】
对于A：因为false，所以false，
false，
所以false，所以false在区间false上不是单调递增函数，故A错误；
对于B：false，
所以false不是false的一个周期，故B错误；
对于C：false，所以false的周期为false，
当false时，false，falsefalse；
当false时，false，falsefalse；
当false时，false，falsefalse；
当false时，false，falsefalse；
当false时，false，falsefalse；
综上：false的值域为false，故C正确；
对于D：false，所以false为偶函数，即false的图象关于false轴对称，故D正确，
故选：CD
【点睛】
解题的关键是根据的false解析式，结合函数的奇偶性、周期性求解，考查分类讨论，化简计算的能力，综合性较强，属中档题.
二、填空题 每题5分，16题，前面一空2分，后面一空3分
13．16i
【解析】
由题意可得：
false
14．false.
【解析】
false则由正弦定理得false，整理得false，falsefalse.
故答案为false.
点睛：本题主要是熟练应用正弦定理进行边角转化，利用二倍角公式，切化弦公式进行化简即可得解.
15．【答案】
【解析】以为坐标原点，，所在直线为，轴建立直角坐标系，

可得，，，则直线的方程为，
设，则，，，，
则|

，
由，可得的最小值为
16．false false
【分析】
由余弦定理结合基本不等式可得false的最大值，即得三角形面积最大值，利用正弦定理得false的最大值，由切化弦后结合两角和的正弦公式，诱导公式可得false的最小值
【详解】
由余弦定理false，即false，false，当且仅当false时等号成立，∴false最大值为false
∵false，false，∴false，∴false，最大值为false?，
false，
由正弦定理得false，
∴false，
∴false，最小值为false．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理，还考查了基本不等式，两角和的正弦公式，诱导公式，掌握正弦定理和余弦定理是解题关键。
17.（1）false或false；（2） false
【分析】
（1）由false，可得false，利用二倍角公式以及同角三角函数的关系可得false，进而可求false的值；
（2）由false，利用正弦定理可得false化为false，求得false，利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数false化为false，利用正弦函数的单调性，可得到函数false在false上的值域．
【详解】
（1）由false，得false．
∴false． ∴false，
即false false
false， ∴false． ………………………………4分
（漏解的两分）
（2）由正弦定理可得false即false
再由正弦定理得false
化为false
则false即false，……………………………………………………………………………………6分
又false
false＝false …………………………………………8分
由false，则false，故false，即值域是false…………10分
【点睛】
以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
18．（1）false；（2）false．
【解析】
试题分析：（1）设false利用false为实数以及其范围进行求解；（2）先求false，再利用模长公式进行求解．
试题解析：（Ⅰ）设false ，
则false
falsefalse，false，
由（1）知：false．……………………………………………………4分
代入（2）得： false，即false．……………………………………………6分
false，false，false，
false． ………………………………………………………………………………8分
（Ⅱ）由题意：false，
falsefalse． ………………………………………12分
考点：1．复数的概念；2．复数的运算；3．复数的模长．
19．（1）证明见详解；（2）证明见详解
【分析】
（1）取false的中点false，证出false，再利用线面平行的判定定理即可证出.
（2）利用线面垂直的判定定理可证出false平面false，再根据线面垂直的定义即可证出.
【详解】
如图，取false的中点false，连接false，
falseE为PB中点，false，且false，
又falsefalse，false，
false，false,
false为平行四边形，即false，
又false平面PCD，false平面PCD，
所以false平面PCD.……………………………………………………………………6分
（用推出符号false得满分，差条件每条扣两分）
（2）由false平面ABCD，所以false，
又因为false，false，所以false，
false，false平面false，
又false平面false，falsefalse.……………………………………………………12分
（用推出符号false得满分，差条件每条扣两分）
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.
20．（1）false ；（2）false．
【分析】
（1）由题意求得false ，再根据
false ，运算即求得结果；
（2）设false，其中false，由false ，得false ，可得false．再根据false，求得实数λ的取值范围：．
【详解】
（1）由题意可得false，false，
故false；…………………………4分
（2）设false，其中false，
false，
若false ，则false ，
即false，可得false，
若false，则false不存在，…………………………………………………………………8分
若false，则false，…………………………………………10分
故false.…………………………………………………………12分
注：未分类讨论按漏解算，扣2分
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．
21．（1）false；（2）false，false
【分析】
（1）过点false作false交false于false，作false交false于false，利用三角形相似求出线段的长，从而求出三角形的面积；
（2）依题意，表示出false，false，false，再由正弦定理表示出false，false，false，false，①由同角三角函数的基本关系求出false，即可求出false，false从而得解；②由面积公式即三角恒等变换求出面积最小值.
【详解】
解：（1）如图，过点false作false交false于false，作false交false于false，
则false
false
因为false，false平分false且false
false
false，false
false
false
false………………………………………………4分
（2）在false中false，false，所以false，false，false，又false，设false，
false，false，false，
在false和false中由正弦定理可得false，false
即false，false，
false，
false，
①当false时，则false，false
false，false
false………………………………………………8分
②false令false
false
false
false
false
因为false，false，
false
false
所以当false时，false………………………………………………12分
【点睛】
本题考查正弦定理，三角形面积公式及三角恒等变换的应用，属于难题.
22.【答案】（1）false；（2）false；（3）false.
【分析】
（1）根据数量积运算和倍角公式、辅助角公式，求出false.令false，求出false的取值范围，即得函数false的单调递增区间；
（2）由（1）知false.当false时，求得false.令false，则方程false在false上有解，即方程false在false上有解，即求实数false的取值范围；
（3）求出函数false的解析式，令false，得零点false的值，可得零点间隔依次为false和false.若false最小，则false均为零点，结合函数false在false上至少含有100个零点，求得false的最小值.
【详解】
（1）false，
false
false.…………………2分
令false，得false，
false函数false的单调递增区间为false.………………………………3分
（2）由（1）知false.
false，即false.
令false，则false.
false方程false在false上有解，即方程false在false上有解.
又false在false上单调递增，在false上单调递减，
false，即false.
false实数false的取值范围为false.……………………………………………………………7分
（3）false.
令false，得false或false，
false或false.
false函数false的零点间隔依次为false和false.
若false最小，则false均为零点.
false函数false在false上至少含有100个零点，
false.…………………………………………………12分
【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角函数的性质、函数与方程及函数的零点，属于难题