6.2排列与组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 6.2排列与组合-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 974.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 09:35:11 | ||
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文档简介
6.2排列与组合
第I卷（选择题）
一、单选题
1．用0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
2．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种．
A．120 B．156 C．188 D．240
4．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ）
A．11位 B．12位 C．13位 D．14位
5．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
6．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
7．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久?风格独特，规模宏大?结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形?五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A．false B．false C．false D．false
8．false年初，突如其来的新冠肺炎在某市各小区快速传播，该市防疫部门经国家批准立即启动false级应急响应，要求居民不能外出，居家隔离.为了做好应急前的宣传工作，现有false名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有false名男生和false名女生，若要选派false名志愿者到false小区做宣传工作，则恰好选派false名男生和false名女生的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图所示的几何体由三棱锥false与三棱柱false组合而成，现用false种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面false不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．false种 B．false种
C．false种 D．false种
10．自然对数是以常数e为底数的对数，记作false，在物理学、生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号e是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler命名的，取的正是Euler的首字母e，false.某教师为帮助同学们了解e，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分2的位置不变，那么可以得到大于2.72的不同数字的种数为（ ）
A．216 B．220 C．340 D．460
11．为了打赢新冠肺炎疫情防控阻击战，某医院呼吸科要从false名男专家，false名女专家中选派false人到湖北的false、false、false三所医院参加疫情防控工作，若所选false人中，至少有false名女专家的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．将false个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，有（ ）种不同的方法.
A．false B．false C．false D．false
13．2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（ ）
A．72 B．36 C．48 D．54
14．对任意正整数false，定义false的双阶乘false如下：当false为偶数时，false；当false为奇数时，false．现有四个命题：①false；②false；③false个位数为false；④false个位数为false．其中正确的个数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为false，向右移动的概率为false，则质点P移动五次后位于点false的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．设集合false，设集合false是集合false的非空子集，false中的最大元素和最小元素之差称为集合false的直径. 那么集合false所有直径为false的子集的元素个数之和为（ ）
A．false B．false C．false D．false
17．我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
18．将包括甲、乙、丙在内的false人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
19．将数字false、false、false、false、false、false、false、false排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．false B．false C．false D．false
20．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如1230，2022），则首位为3的“六合数”共有（ ）
A．18个 B．12个 C．10个 D．7个
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
（1）4只鞋子没有成双的；
（2）4只鞋子恰有两双；
（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
22．某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券.问：此人的一种投资方案是怎样得到的？
23．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问：
（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
24．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩(单位：分)分组如下：第一组false，第二组false，第二组false，第四组false，第五组false，得到频率分布直方图如下图：
(1)求实数false的值；
(2)若从第二组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取9名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从9人中抽取2人作为正、副队长，求“抽取的2人为不同组”的概率.
25．如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第false层的第false个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为false．
（1）求false，false，false的值；
（2）猜想false的表达式（不必证明），并求不等式false的解集．
参考答案
1．C
【分析】
当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】
当个位数为0时，有false个，
当个位数为2或4时，有false个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C
2．C
【分析】
分步，第一步乙只能是中间名次，第二步甲除第一名剩下的3个名次中的一个，第三步，其他3人全排列，由分步计数原理可得．
【详解】
先看乙，在中间有一个名次中的一个，有false种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有false，最后三人名次任意，有false种可能，共的false种情况．
故选：C．
3．A
【分析】
解决问题有类办法：京剧排第一，排在一起的两个算一个与余下三个元素作全排列，京剧排二三之一，排在一起的两个只有三个位置可选，再排余下三个得解.
【详解】
完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有false，越剧、粤剧有前后false，共有：false种；
京剧排二三之一有false，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有false，余下三个有false，共有：false种；
由分类计数原理知，所有演出顺序有：false(种)
故选：A
【点睛】
解决排列、组合综合问题的方法：
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步；
(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
4．B
【分析】
设参赛选手共有false位，则总场次为false，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n值，并判断n值的合理性即可.
【详解】
设参赛选手共有false位，则总比赛场次为false，即false场，且false，false，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为false分且为偶数，
∴当false，得false；当false，false无整数解；
∴false(位).
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：根据每场得分为2易知总得分为偶数，设参赛人数为n，利用组合数求比赛总场次，列方程求参赛人数.
5．B
【分析】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，列式即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有false种方法，
或是两偶一奇，共有false，共有false种方法.
故选：B
6．D
【分析】
甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【详解】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得false,
故选：D
7．A
【分析】
分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形?五角形相邻，利用捆绑法求解.
【详解】
当圆形排在第一个，因为方形?五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形?五角形内部排列 ，
有false种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有false种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形?五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
8．C
【分析】
根据排列数公式分别求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有false名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有false名男生和false名女生，若要选派false名志愿者，所有的选法共有false种不同的选法，
其中恰好选派false名男生和false名女生包含的基本事件的个数为false种不，
所以恰好选派false名男生和false名女生的概率为false.
故选: C.
9．C
【分析】
三棱锥false三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱false的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.
【详解】
先涂三棱锥false的三个侧面，有false种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有false种情况，共有false种不同的涂法．
故选：C．
10．B
【分析】
分小数点后第一个数字为8和小数点后第一个数字为7两种情况讨论，结合排排列数公式及分类计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，当小数点后第一个数字为8时，共有false种；
当小数点后第一个数字为7时，共有false种，
则可以得到大于2.72的不同数字共有false种.
故选：B.
11．C
【分析】
至少有false女专家包括：false名女专家，false名男专家和false名女专家两种情况，计算出符合题意的选派方法总数，然后根据古典概型概率计算公式求解.
【详解】
若所选false人中，有false名女专家，false名男专家共有false种选派方法；
若所选false人全部是女专家，则共有false种选派方法；
所以，所选false人中，至少有false名女专家的概率为：false.
故选：C.
【点睛】
本题考查组合数及其计算，考查古典概型概率计算，较简单.
12．A
【分析】
采用隔板法求解即可.
【详解】
将false个相同的球放入三个不同的盒中，只需将false个小球排成一列，在中间的false个空中，插入两个隔板，分成三部分，每个盒子中放一部分即可,所有共有false种方法.
故选：A.
【点睛】
本题考查排列与组合的应用，考查隔板法的应用，较简单.
13．B
【分析】
先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两人在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.
【详解】
解：因为将4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，
所以先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两人在三个位置全排列，则共有false种不同的安排方法，
故选：B
【点睛】
此题考查排列组合及简单的计数问题，属于基础题.
14．C
【分析】
利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简false可判断②的正误；由false能被false整除可判断③的正误；由false能被false整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，由双阶乘的定义得false，false，
所以，false，命题①正确；
对于命题②，falsefalse，命题②错误；
对于命题③，false，则false能被false整除，则false的个位数为false，命题③正确；
对于命题④，false能被false整除，则false的个位数为false或false，
由于false为奇数，所以，false的个位数为false，命题④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.
15．D
【分析】
由终点的坐标可分析出，P左移动2次，向右移动3次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
【详解】
解：由题意知，质点P移动五次后位于点false，其中向左移动2次，向右移动3次；
其中向左平移的2次有false种情况，剩下的3次向右平移；
则其概率为false，
故选: D.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动五次的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识．
16．C
【分析】
先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：false只有1种情况；false且false，共有false种情况；false且false，共有种false 情况；以此类推……false，有1（false）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和false，计算可得：false.再思考可以分为false等1949类，问题可得解.
【详解】
当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：
集合只含2个元素：false只有1种情况；
集合含有3个元素：false且false，共有false种情况；
集合含有4个元素：false且false，共有false 种情况；
以此类推……
集合含有72个元素：false，有（false）种情况.
所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：
false
false
false
①②两式对应项相加，得：
false
false
同理可得：false所有子集元素个数之和都是false，所以集合false所有直径为false的子集的元素个数之和为false.
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.
17．D
【分析】
基本事件总数false，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数false，由此能求出他们选课至少两科相同的概率．
【详解】
解：由题意知，基本事件总数false，
他们选课至少两科相同包含的基本事件个数false
∴他们选课至少两科相同的概率为：false．
故选:D.
【点睛】
本题考查了古典概型概率求解，考查了组合的思想，考查了分类的思想.本题的关键是结合组合的思想计算事件数量.
18．B
【分析】
分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有false种方法；
②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有false种方法；
③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有false种方法．
所以满足条件的概率为false，
故选：B．
【点睛】
本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．
19．A
【分析】
先考虑第一行四个数的排列，有false种，然后就第一行数字分别为false进行考查，列举出符合条件的第二行数字的排列，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是false、false、false、false的全排列，共false种，现考虑第一行数字的排列为false，
则第二行数字的排列可以是：false、false、false、false、false、false、false、false、false，共false种.
由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有false种.
故选：A.
【点睛】
本题考查数的排列问题，在利用排列组合不方便求解时，也可以采用列举法来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．C
【分析】
首位为3，其余3个数字的和为3，有111，012，003三种，分别计算可得．
【详解】
首位为3，其余3个数字的和为3，则有111，012，003三种，
所以“六合数”个数为false．
故选：C．
【点睛】
本题考查排列的应用，根据题意确定各种可能情形是解题关键．
21．（1）3360(种)；（2）45(种)；（3）1440(种)．
【分析】
（1）首先从10双鞋子中选取4双，再从每双鞋子中各取一只，利用分步乘法计数原理即可求解.
（2）从10双鞋子中选2双即可求解.
（3）先选取一双，再从9双鞋中选取2双，每双鞋只取一只，利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
解：（1）从10双鞋子中选取4双，有false种不同选法，
每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，
根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝false×24＝3360(种)．
（2）从10双鞋子中选2双有false种取法，即有45种不同取法．
（3）先选取一双有false种选法，再从9双鞋中选取2双有false种选法，
每双鞋只取一只各有2种取法，
根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝falsefalse×22＝1440(种)．
22．答案见解析
【分析】
分两步，第一步，从12种股票中选8种，第二步从7种债券中选4种，就得到一种投资方案
【详解】
解：需分两步：
第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，是一个组合问题；
第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，也是一个组合问题.
最后将选中的8种股票与选中的4种债券合在一起就是一种投资方案.
23．（1）576；（2）144
【分析】
（1）先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；
（2）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果.
【详解】
解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数，
（1）五位数中，偶数排在一起的有：false个，
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：false个.
【点睛】
本题考查数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考查利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考查运算能力．
24．（1）false；（2）false
【分析】
（1）根据诸矩形的面积为1可求实数false的值；
（2）9名学生中第二组人数为7人，第五组的人数为2人，利用组合数可计算基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率.
【详解】
（1）根据频率分布直方图可得：false，故false.
（2）根据频率分布直方图可得第2组和第5组的频率之比为false，
故9名学生中第二组人数为7人，第五组的人数为2人，
设“抽取的2人为不同组”为事件false，则从9人抽取2人，不同的取法总数为false，
抽取的2人为不同组，共有false种取法，故false.
【点睛】
本题考查频率分布直方图及其应用，还考查了古典概型的概率计算，注意在直方图中，各矩形的高是false，另外，在计算概率时，如果基本事件的总数较大，那么可以利用排列组合来计数.
25．（1）false，false，false；（2）false，不等式的解集为false.
【分析】
（1）根据题意得出false，false，且false可求出false，false，以及false；
（2）根据false可得出false，然后得出false的表达式，从而得出不等式false的解集.
【详解】
（1）由题意可得false，false，且false.
false，false；
（2）由false可推得false，
不等式false即为false，
false，false，false，false，false.
解不等式false，可得false的可能取值有false、false、false、false、false、false.
所以，不等式false的解集为false.
【点睛】
本题考查杨辉三角性质的应用，考查组合数的应用以及组合不等式的求解，解题的关键就是要找出递推公式，逐项计算即可，考查运算求解能力，属于中等题.
第I卷（选择题）
一、单选题
1．用0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．24 B．48 C．60 D．72
2．甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”，则该5人可能的排名情况种数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种．
A．120 B．156 C．188 D．240
4．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（ ）
A．11位 B．12位 C．13位 D．14位
5．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（ ）
A．30 B．40 C．44 D．70
6．有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（ ）
A．120种 B．216种 C．384种 D．504种
7．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.2008年7月，成功列人世界遗产名录.它历史悠久?风格独特，规模宏大?结构精巧.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一个，方形?五角形相邻，则共有（ ）种不同的排法.
A．false B．false C．false D．false
8．false年初，突如其来的新冠肺炎在某市各小区快速传播，该市防疫部门经国家批准立即启动false级应急响应，要求居民不能外出，居家隔离.为了做好应急前的宣传工作，现有false名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有false名男生和false名女生，若要选派false名志愿者到false小区做宣传工作，则恰好选派false名男生和false名女生的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．如图所示的几何体由三棱锥false与三棱柱false组合而成，现用false种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面false不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．false种 B．false种
C．false种 D．false种
10．自然对数是以常数e为底数的对数，记作false，在物理学、生物学等自然科学中有着重要的意义.这个表示自然对数的底数的符号e是由瑞士数学和物理学家Leonhard Euler命名的，取的正是Euler的首字母e，false.某教师为帮助同学们了解e，让同学们把小数点后的7位数字进行随机排列，整数部分2的位置不变，那么可以得到大于2.72的不同数字的种数为（ ）
A．216 B．220 C．340 D．460
11．为了打赢新冠肺炎疫情防控阻击战，某医院呼吸科要从false名男专家，false名女专家中选派false人到湖北的false、false、false三所医院参加疫情防控工作，若所选false人中，至少有false名女专家的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．将false个相同的球放入三个不同的盒中，每盒至少一个球，有（ ）种不同的方法.
A．false B．false C．false D．false
13．2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线，为了保证中国登山队珠峰高程测量的顺利直播，现从海拔5300米、5800米和6500米的三个大本营中抽出了4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，则不同的安排方法共有（ ）
A．72 B．36 C．48 D．54
14．对任意正整数false，定义false的双阶乘false如下：当false为偶数时，false；当false为奇数时，false．现有四个命题：①false；②false；③false个位数为false；④false个位数为false．其中正确的个数为（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为false，向右移动的概率为false，则质点P移动五次后位于点false的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
16．设集合false，设集合false是集合false的非空子集，false中的最大元素和最小元素之差称为集合false的直径. 那么集合false所有直径为false的子集的元素个数之和为（ ）
A．false B．false C．false D．false
17．我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
18．将包括甲、乙、丙在内的false人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
19．将数字false、false、false、false、false、false、false、false排成四行两列，要求每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A．false B．false C．false D．false
20．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如1230，2022），则首位为3的“六合数”共有（ ）
A．18个 B．12个 C．10个 D．7个
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现下列结果：
（1）4只鞋子没有成双的；
（2）4只鞋子恰有两双；
（3）4只鞋子有2只成双，另2只不成双．
22．某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券.问：此人的一种投资方案是怎样得到的？
23．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数.试问：
（1）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）
24．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩(单位：分)分组如下：第一组false，第二组false，第二组false，第四组false，第五组false，得到频率分布直方图如下图：
(1)求实数false的值；
(2)若从第二组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取9名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从9人中抽取2人作为正、副队长，求“抽取的2人为不同组”的概率.
25．如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇．若有一条竖直线段的为第一层，第二条竖直线段的为第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层的通道向下运动，在通道的交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入第false层的第false个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为false．
（1）求false，false，false的值；
（2）猜想false的表达式（不必证明），并求不等式false的解集．
参考答案
1．C
【分析】
当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】
当个位数为0时，有false个，
当个位数为2或4时，有false个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C
2．C
【分析】
分步，第一步乙只能是中间名次，第二步甲除第一名剩下的3个名次中的一个，第三步，其他3人全排列，由分步计数原理可得．
【详解】
先看乙，在中间有一个名次中的一个，有false种可能，然后是甲除第一名外剩下的3个名次中的一个，有false，最后三人名次任意，有false种可能，共的false种情况．
故选：C．
3．A
【分析】
解决问题有类办法：京剧排第一，排在一起的两个算一个与余下三个元素作全排列，京剧排二三之一，排在一起的两个只有三个位置可选，再排余下三个得解.
【详解】
完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有false，越剧、粤剧有前后false，共有：false种；
京剧排二三之一有false，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有false，余下三个有false，共有：false种；
由分类计数原理知，所有演出顺序有：false(种)
故选：A
【点睛】
解决排列、组合综合问题的方法：
(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步；
(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
4．B
【分析】
设参赛选手共有false位，则总场次为false，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n值，并判断n值的合理性即可.
【详解】
设参赛选手共有false位，则总比赛场次为false，即false场，且false，false，
由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为false分且为偶数，
∴当false，得false；当false，false无整数解；
∴false(位).
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：根据每场得分为2易知总得分为偶数，设参赛人数为n，利用组合数求比赛总场次，列方程求参赛人数.
5．B
【分析】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9，由条件可知3个数都为奇数，或是两偶一奇，列式即得答案.
【详解】
由题意可知，阴数为2，4，6，8，阳数为1，3，5，7，9.
若选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有false种方法，
或是两偶一奇，共有false，共有false种方法.
故选：B
6．D
【分析】
甲的位置固定，问题转化为排头排尾有限制的排列问题，利用间接法求解.
【详解】
因为甲的成绩是中间一名，
所以只需安排其余6人位次，
因为乙不排第一名，丙不排最后一名，
所以由间接法可得false,
故选：D
7．A
【分析】
分圆形排在第一个圆形和排在最后一个两类，根据方形?五角形相邻，利用捆绑法求解.
【详解】
当圆形排在第一个，因为方形?五角形相邻，
所以捆在一起与其他图形全排列，且方形?五角形内部排列 ，
有false种不同的排法.,
同理当圆形排在最后一个有false种不同的排法.
综上：圆形要排在第一个或最后一个，方形?五角形相邻，则共有480种不同的排法.
故选：A
8．C
【分析】
根据排列数公式分别求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有false名志愿者参加抗疫宣传活动，其中有false名男生和false名女生，若要选派false名志愿者，所有的选法共有false种不同的选法，
其中恰好选派false名男生和false名女生包含的基本事件的个数为false种不，
所以恰好选派false名男生和false名女生的概率为false.
故选: C.
9．C
【分析】
三棱锥false三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱false的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.
【详解】
先涂三棱锥false的三个侧面，有false种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有false种情况，共有false种不同的涂法．
故选：C．
10．B
【分析】
分小数点后第一个数字为8和小数点后第一个数字为7两种情况讨论，结合排排列数公式及分类计数原理，即可求解.
【详解】
由题意，当小数点后第一个数字为8时，共有false种；
当小数点后第一个数字为7时，共有false种，
则可以得到大于2.72的不同数字共有false种.
故选：B.
11．C
【分析】
至少有false女专家包括：false名女专家，false名男专家和false名女专家两种情况，计算出符合题意的选派方法总数，然后根据古典概型概率计算公式求解.
【详解】
若所选false人中，有false名女专家，false名男专家共有false种选派方法；
若所选false人全部是女专家，则共有false种选派方法；
所以，所选false人中，至少有false名女专家的概率为：false.
故选：C.
【点睛】
本题考查组合数及其计算，考查古典概型概率计算，较简单.
12．A
【分析】
采用隔板法求解即可.
【详解】
将false个相同的球放入三个不同的盒中，只需将false个小球排成一列，在中间的false个空中，插入两个隔板，分成三部分，每个盒子中放一部分即可,所有共有false种方法.
故选：A.
【点睛】
本题考查排列与组合的应用，考查隔板法的应用，较简单.
13．B
【分析】
先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两人在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.
【详解】
解：因为将4名技术人员，派往北坡登山路线中的3个崎岖路段进行信号检测，每个路段至少安排1名技术人员，
所以先从这4人中选出2人作为一个元素看成整体，再把它同另外两人在三个位置全排列，则共有false种不同的安排方法，
故选：B
【点睛】
此题考查排列组合及简单的计数问题，属于基础题.
14．C
【分析】
利用双阶乘的定义以及阶乘的定义可判断①的正误；化简false可判断②的正误；由false能被false整除可判断③的正误；由false能被false整除且为奇数可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于命题①，由双阶乘的定义得false，false，
所以，false，命题①正确；
对于命题②，falsefalse，命题②错误；
对于命题③，false，则false能被false整除，则false的个位数为false，命题③正确；
对于命题④，false能被false整除，则false的个位数为false或false，
由于false为奇数，所以，false的个位数为false，命题④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查双阶乘的新定义，考查计算能力，属于中等题.
15．D
【分析】
由终点的坐标可分析出，P左移动2次，向右移动3次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
【详解】
解：由题意知，质点P移动五次后位于点false，其中向左移动2次，向右移动3次；
其中向左平移的2次有false种情况，剩下的3次向右平移；
则其概率为false，
故选: D.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动五次的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识．
16．C
【分析】
先考虑最小元素为1，最大元素为72的情况：false只有1种情况；false且false，共有false种情况；false且false，共有种false 情况；以此类推……false，有1（false）种情况.所以，此类满足要求的子集元素个数之和false，计算可得：false.再思考可以分为false等1949类，问题可得解.
【详解】
当最小元素为1，最大元素为72时，集合有如下情况：
集合只含2个元素：false只有1种情况；
集合含有3个元素：false且false，共有false种情况；
集合含有4个元素：false且false，共有false 种情况；
以此类推……
集合含有72个元素：false，有（false）种情况.
所以，此类满足要求的子集元素个数之和M为：
false
false
false
①②两式对应项相加，得：
false
false
同理可得：false所有子集元素个数之和都是false，所以集合false所有直径为false的子集的元素个数之和为false.
故选：C
【点睛】
本题考查了集合的子集个数和组合数及其计算，考查了分类讨论思想，属于难题.
17．D
【分析】
基本事件总数false，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数false，由此能求出他们选课至少两科相同的概率．
【详解】
解：由题意知，基本事件总数false，
他们选课至少两科相同包含的基本事件个数false
∴他们选课至少两科相同的概率为：false．
故选:D.
【点睛】
本题考查了古典概型概率求解，考查了组合的思想，考查了分类的思想.本题的关键是结合组合的思想计算事件数量.
18．B
【分析】
分三种情况讨论：①甲指挥交通，乙不指挥交通；②乙指挥交通，甲不指挥交通；③甲、乙都指挥交通.利用分步计数原理求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的排法种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
①甲指挥交通，乙不指挥交通，则丙不能指挥交通，故有false种方法；
②乙指挥交通，甲不指挥交通，则丙必须指挥交通，故有false种方法；
③甲、乙都指挥交通，则丙不能指挥交通，故有false种方法．
所以满足条件的概率为false，
故选：B．
【点睛】
本题考查古典概型以及排列组合的基础知识，属中等题．
19．A
【分析】
先考虑第一行四个数的排列，有false种，然后就第一行数字分别为false进行考查，列举出符合条件的第二行数字的排列，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.
【详解】
由于每行的数字互不相同，每列的数字也互不相同，则第一行数字是false、false、false、false的全排列，共false种，现考虑第一行数字的排列为false，
则第二行数字的排列可以是：false、false、false、false、false、false、false、false、false，共false种.
由分步乘法计数原理可知，不同的排列方法共有false种.
故选：A.
【点睛】
本题考查数的排列问题，在利用排列组合不方便求解时，也可以采用列举法来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．C
【分析】
首位为3，其余3个数字的和为3，有111，012，003三种，分别计算可得．
【详解】
首位为3，其余3个数字的和为3，则有111，012，003三种，
所以“六合数”个数为false．
故选：C．
【点睛】
本题考查排列的应用，根据题意确定各种可能情形是解题关键．
21．（1）3360(种)；（2）45(种)；（3）1440(种)．
【分析】
（1）首先从10双鞋子中选取4双，再从每双鞋子中各取一只，利用分步乘法计数原理即可求解.
（2）从10双鞋子中选2双即可求解.
（3）先选取一双，再从9双鞋中选取2双，每双鞋只取一只，利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
解：（1）从10双鞋子中选取4双，有false种不同选法，
每双鞋子中各取一只，分别有2种取法，
根据分步乘法计数原理，选取种数为N＝false×24＝3360(种)．
（2）从10双鞋子中选2双有false种取法，即有45种不同取法．
（3）先选取一双有false种选法，再从9双鞋中选取2双有false种选法，
每双鞋只取一只各有2种取法，
根据分步乘法计数原理，不同取法为N＝falsefalse×22＝1440(种)．
22．答案见解析
【分析】
分两步，第一步，从12种股票中选8种，第二步从7种债券中选4种，就得到一种投资方案
【详解】
解：需分两步：
第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，是一个组合问题；
第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，也是一个组合问题.
最后将选中的8种股票与选中的4种债券合在一起就是一种投资方案.
23．（1）576；（2）144
【分析】
（1）先从3个偶数抽取2个偶数和从4个奇数中抽取3个奇数，利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；
（2）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，即可得出结果.
【详解】
解：可知从1到7的7个数字中，有3个偶数，4个奇数，
（1）五位数中，偶数排在一起的有：false个，
（2）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有：false个.
【点睛】
本题考查数字的排列问题，涉及排列和组合的实际应用以及排列数和组合数的运算公式，考查利用捆绑法解决相邻问题，利用插空法解决不相邻问题，考查运算能力．
24．（1）false；（2）false
【分析】
（1）根据诸矩形的面积为1可求实数false的值；
（2）9名学生中第二组人数为7人，第五组的人数为2人，利用组合数可计算基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可求概率.
【详解】
（1）根据频率分布直方图可得：false，故false.
（2）根据频率分布直方图可得第2组和第5组的频率之比为false，
故9名学生中第二组人数为7人，第五组的人数为2人，
设“抽取的2人为不同组”为事件false，则从9人抽取2人，不同的取法总数为false，
抽取的2人为不同组，共有false种取法，故false.
【点睛】
本题考查频率分布直方图及其应用，还考查了古典概型的概率计算，注意在直方图中，各矩形的高是false，另外，在计算概率时，如果基本事件的总数较大，那么可以利用排列组合来计数.
25．（1）false，false，false；（2）false，不等式的解集为false.
【分析】
（1）根据题意得出false，false，且false可求出false，false，以及false；
（2）根据false可得出false，然后得出false的表达式，从而得出不等式false的解集.
【详解】
（1）由题意可得false，false，且false.
false，false；
（2）由false可推得false，
不等式false即为false，
false，false，false，false，false.
解不等式false，可得false的可能取值有false、false、false、false、false、false.
所以，不等式false的解集为false.
【点睛】
本题考查杨辉三角性质的应用，考查组合数的应用以及组合不等式的求解，解题的关键就是要找出递推公式，逐项计算即可，考查运算求解能力，属于中等题.