7.3离散型随机变量的数字特征-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案）

7.3离散型随机变量的数字特征
第I卷（选择题）
一、单选题
1．设false，随机变量X的分布列如表所示（ ）
X
0
2a
1
P
a
false
b
A．E(X)增大D(X)增大 B．E(X)增大D(X)减小
C．E(X)为定值，D(X)先增大后减小 D．E(X)为定值，D(X)先减小后增大
2．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：
甲得分：
X1
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
乙得分：
X2
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
则甲、乙两人的射击技术相比（ ）
A．甲更好 B．乙更好
C．甲、乙一样好 D．不可比较
3．若随机变量X的分布列是：
false
false
false
false
false
false
false
false
则当实数a在false内增大时，（ ）
A．false增大 B．false减小
C．false先增大后减小 D．false先减小后增大
4．2020年6月9日，安徽省教育厅宣布，为应对7月高考、中考期间高温天气，给学生创造舒适考场环境，全部地市将在中考、高考考场安装空调．某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每台空调器仅获利润200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得表：
周需求量n
18
19
20
21
22
频数
1
2
3
3
1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元）．则当周的平均利润为（ ）
A．10000元 B．9400元
C．8800元 D．9860元
5．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量false是取出球的编号，数学期望为false，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量false是取出球的编号，数学期望为false，则（ ）
A．false且false B．false且false
C．false且false D．false且false
6．设false，false且false，则false是false的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知随机变量false满足false，false，false，false若false，false则
A．false，false， B．false，false，
C．false，false， D．false，false，
8．若一组数据false，false，false，…，false的平均数为2，方差为3，则false，false，false，…，false的平均数和方差分别是（ ）
A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17
9．设0＜afalse，随机变量X的分布列为：
X
﹣2
﹣1
1
2
P
false
a
falsea
false
则当a在false增大时，（ ）
A．D（X）增大 B．D（X）减小
C．D（X）先增大后减小 D．D（X）先减小后增大
10．已知箱中装有2个白球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）2个球，规定：
（a）取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，取出2球所得分数之和记随机变量false；
（b）取出一个白球得1分，取出一个黑球得2分，取出2球所得分数之和记随机变量false．
则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
11．已知随机变量false满足false，若false，则
A．false有最大值，有最小值；false有最大值，有最小值
B．false有最大值，无最小值；false有最大值，无最小值
C．false无最大值，有最小值；false无最大值，有最小值
D．false无最大值，无最小值；false无最大值，无最小值
12．已知随机变量false，false满足false，若false，false，则false，false分别为
A．false，false B．false，false
C．false，false D．false，false
13．设false，随机变量false的分布列是
false
false
false
false
false
false
false
false
则当false在false内增大时（ ）
A．false减小，false减小 B．false减小，false增大
C．false增大，false减小 D．false增大，false增大
14．条件false将1，2，3，4四个数字随机填入如图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用.记方格false中的数字为false，方格false中的数字为false；命题1若false，则false，且false；命题2若false，则false，且false
A．命题1是真命题，命题2是假命题 B．命题1和命题2都是假命题
C．命题1是假命题，命题2是真命题 D．命题1和命题2都是真命题
15．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）
①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；
③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；
④已知随机变量false服从正态分布false，且false，则false.
A．1 B．2 C．3 D．4
16．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有false个红球，乙盒子里有false个红球和false个黑球，现从乙盒子里随机取出false个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为false个，则随着false的增加，下列说法正确的是（ ）
A．false增加，false增加 B．false增加，false减小
C．false减小，false增加 D．false减小，false减小
17．已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字false的数学期望是2，则false的方差是
A．false B．false C．false D．false
18．设随机变量X~B(n,p),且EX=1.6,DX=1.28,则(　　)
A．n=4,p=0.4 B．n=8,p=0.2
C．n=5,p=0.32 D．n=7,p=0.45
19．下列叙述中正确的个数是（ ）
①将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变；
②命题false，false，命题false，false，则false为真命题；
③“false”是“false的必要而不充分条件；
④将函数false的图象向左平移false个单位长度得到函数false的图象．
A．1 B．2 C．3 D．4
20．若随机变量false的分布列为：
已知随机变量falsefalse，且false，则false与false的值为
A．false B．false C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小组中有男?女生共10人(其中女生人数多于男生人数)，若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为false.
（1）求该小组中女生的人数；
（2）若该小组中每个女生通过测试的概率均为false，每个男生通过测试的概率均为false.现对该小组中女生甲?女生乙和男生丙3人进行测试.记这3人中通过测试的人数为随机变量false，求false的分布列和数学期望.
22．品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出false（false且false）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这false瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序.这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现分别以false、false、false、false、false表示第一次排序时被排在false、false、false、false、false的false种酒在第二次排序时的序号，并令false，则false是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（1）证明：无论false取何值，false的可能取值都为非负偶数；
（2）取false，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，false、false、false、false等可能地为false、false、false、false的各种排列，且各轮测试相互独立.
①求false的分布列和数学期望；
②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有false，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能.求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性.
23．2020年全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值false(false)为衡量标准，质量指标的等级划分如下表：
质量指标值false
false
false
false
false
产品等级
false
false
false
false
为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图.设false，当false(false，false)时，满足false.
（1）试估计样本质量指标值false的平均值false及方差false；
（2）从样本质量指标值小于90的产品中采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取2件产品，求至少有1件false级品的概率.
24．已知6只小白鼠中有且仅有2只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的小白鼠．血液化验呈阳性即为患病，阴性为不患病，现将6只小白鼠随机排序并化验血液，每次测1只，且得到前一只小白鼠的血液化验结果之后才化验下一只小白鼠的血液，直到能确定哪两只小白鼠患病为止，并用X表示化验总次数．
（1）在第一只小白鼠验血结果为阳性的条件下，求false的概率；
（2）求X的分布列与数学期望．
25．垃圾分类指的是按照一定规定或者标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称我国的垃圾分类大致分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四类，而正确的掌握垃圾分类也是中学生的必修课之一．某学校从甲、乙两个班级中各随机抽取了8名学生参加垃圾分类知识的检测，并将检测后的成绩统计如表所示：
甲
73
64
74
78
65
72
87
85
乙
74
85
76
74
false
false
77
86
其中false，false，false，false．
（1）求false，false的值；
（2）现从乙班同学中随机抽取4人，记80分以上的人数为false，求false的分布列以及数学期望．
参考答案
1．D
【分析】
利用定义分别得出期望和方差的表达式，利用二次函数的性质，判断单调性即可．
【详解】
由题意可得false，所以false，
false　故 E(X)为定值．
false，
因为false，所以当false时，false单调递减，
当false时，false单调递增，
故选：D.
2．B
【分析】
分别求两个随机变量的数学期望，再比较.
【详解】
因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射击技术更好.
故选：B
3．D
【分析】
先计算随机变量false的数学期望，然后利用计算出方差false的表达式，分析false在false上的单调性.
【详解】
∵false
∴falsefalse
由二次函数的性质可知，false在false上递减，在false上递增.
故选：D.
【点睛】
本题考查随机变量的分布列及数学期望、方差的计算，准确运用公式是关键.数学期望false；方差false.
4．D
【分析】
根据题意可知false的可能取值为8800，9400，10000，10200，10400，求出false取不同时的概率，即可求出平均值.
【详解】
当false时，false，
当false时，false，
则可知false的可能取值为8800，9400，10000，10200，10400，
false，false，false，false，false，
false（元）．
故选：D.
【点睛】
本题考查用频率估计概率，考查利用分布列求期望值，属于基础题.
5．C
【分析】
求出false，false，即得解.
【详解】
由题false，false，
false，
false.
故选：C
【点睛】
本题主要考查概率的计算和随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
6．D
【分析】
根据二项分布的期望和方差公式，可知false，false，那么false等价于false，即false，并且false，false，则false等价于false，即false，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得.
【详解】
由题得，false，false，
false,false，即false，
又false，false，
充分性，若false，则false，
false，false，
false，false ，即false，则充分性不成立；
必要性，若false，则false ，
false，false，即false，
false，false，即false，则必要性不成立，
所以false是false的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】
本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.
7．C
【分析】
不妨令false，然后先计算出false，false，false，false，即可算出false，比较大小即可.
【详解】
不妨令false，
则false，false，false，false，false，false，
false，false，
false，false，false，
false，
false，
false，
false.
故选：C.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的均值和方差的求法，属于基础题.
8．C
【分析】
根据false，利用平均数和方差的性质求false.
【详解】
由题false，则false，false.
故选：C
【点睛】
本题考查了平均数和方差的性质，属于基础题.
9．C
【分析】
根据公式D（X）＝E（X2）﹣（EX）2求出方差，结合二次函数的单调性即可得出结论.
【详解】
由题意可得，随机变量X的数学期望false，
随机变量X2的数学期望false3，
∴随机变量X的方差D（X）＝E（X2）﹣（EX）2false，
∴当a在false增大时，D（X）先增大后减小，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的期望和方差以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
10．A
【分析】
求得随机变量false的取值，求得相应的概率，分别计算得到false，即可求解.
【详解】
由题意，随机变量false的所有可能取值分别为2，3，4，
则false，
所以falsefalse，
所以false．
随机变量false的所有可能取值分别为2，3，4，
则false，false，
所以falsefalse，
所以false．
所以false.
故选：A．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列及其期望、方差及其应用，其中解答中认真审题，求得随机变量false的取值，求得相应的概率，分别计算得到false的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．
11．D
【分析】
先根据离散型随机变量的期望和方差的计算公式求出false，再分别根据一次函数、二次函数的图象和性质判断false在false上是否有最大、最小值．
【详解】
由题意可得，false，
可以判断得出false在false上单调递减，
所以当false时，false无最大值，无最小值．
false，
可以判断得出false在false上单调递减，
所以当false时，false无最大值，无最小值，
故选：D．
【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望和方差、一次（二次）函数的最值，考查的核心素养是数学运算．
12．C
【分析】
利用false，false，及false可得选项.
【详解】
因为false，所以false，false，
又false，false，所以false，false.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查随机变量期望和方差的求解，利用公式false是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
13．B
【分析】
根据题意计算随机变量false的分布列和方差，再判断false在false内增大时，false、false的单调性即可．
【详解】
解：设false，随机变量false的分布列是
false，
方差是false
false
false，
当false在false内增大时，false减小，false增大．
故选：B．
【点睛】
本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．
14．D
【分析】
方格false中的数字为false，方格false中的数字为false；由题意可知：所填入的数字false与false相互独立．再利用数学期望的性质及其方差的性质即可得出．
【详解】
方格false中的数字为false，方格false中的数字为false；由题意可知：所填入的数字false与false相互独立.
命题1若false，则由数学期望的性质可得：false，且false；
命题2若false，则由方差的性质可得：false，且false.
因此命题1，2都正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查数学期望的性质及其方差的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
15．B
【分析】
①④说法正确，将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望发生改变，调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法；
【详解】
根据利用残差进行回归分析可得①说法正确；
将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差均没有变化，期望发生改变，所以②说法错误；
调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查，没有明显层次，不是分层抽样法，所以③错误；
已知随机变量false服从正态分布false，且false，根据正态分布密度曲线特征则false，所以④正确.
故选：B
【点睛】
此题考查回归分析，抽样方法，期望方差的性质，正态分布的特点，需要熟练掌握，统计相关概念及结论辨析和基本计算.
16．C
【分析】
由题意可知，从乙盒子里随机取出false个球，含有红球个数false服从超几何分布，即false，可得出false，再从甲盒子里随机取一球，则false服从两点分布，所以false，false，从而可判断出false和false的增减性.
【详解】
由题意可知，从乙盒子里随机取出false个球，含有红球个数false服从超几何分布，即false，其中false，其中false，false且false，false.
故从甲盒中取球，相当于从含有false个红球的false个球中取一球，取到红球个数为false.
故false，
随机变量false服从两点分布，所以false，随着false的增大，false减小；
false，随着false的增大，false增大.
故选：C.
【点睛】
本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
17．B
【分析】
根据题意可假设标有数字1，2，3的小球各有1个，再根据方差定义求结果.
【详解】
因为取出小球上的数字false的数学期望是2，且个数依次成等差数列，所以不妨设标有数字1，2，3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球概率皆为false，方差为false，选B.
【点睛】
本题考查数学期望与方差，考查基本分析与求解能力，属中档题.
18．B
【分析】
由随机变量服从二项分布可得方程组false,解方程组即可得出结果.
【详解】
因为随机变量false，false，所以有false，解之得false.
【点睛】
本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，因为本题中随机变量服从二项分布，因此由公式即可得出结果，属于基础题型.
19．B
【解析】
分析：①利用一组数据的方程的定义和公式可以判断得出结果；
②结合函数的性质以及复合命题的真值表可知结果；
③利用余弦函数的性质，结合条件的充分性和必要性得到结论；
④利用图像的平移变换规律以及诱导公式得到结果.
详解：对于①，因为有结论将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，所以①正确；
对于②，结合指数函数的性质，可知p是真命题，根据二次函数的性质，可知false很成立，所以q是假命题，所以false是假命题，所以②错误；
对于③，因为当false时，一定有false，但是当false，false时，有false，所以false不一定成立，所以应该是充分不必要条件，所以③错误；
对于④，将函数false的图象向左平移false个单位长度得到函数解析式为falsefalse，故④正确，
所以正确命题的个数为2，故选B.
点睛：该题考查的是有关真命题的个数问题，在解题的过程中，需要对命题逐一分析，得到结果，在判断的过程中，用到方差的性质、复合命题真值表、余弦函数的性质、图像的平移变换以及诱导公式，需要认真审题.
20．C
【详解】
分析:
详解：由随机变量false的分布列可知，false，
∴false，false，
∴false
∴false
∴false
故选C
点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（1）6个女生；（2）分布列答案见解析，数学期望：false.
【分析】
（1）设该小组中有false个女生，由false求解；
（2）由题意得到false的可能值为0，1，2，3，然后分别求得其概率，列出分布列，再求期望.
【详解】
（1）设该小组中有false个女生，根据题意，得false，
化简得到false，
∴该小组中有6个女生.
（2）由题意知，false的可能值为0，1，2，3.
false；
false；
false；
false.
∴随机变量false的分布列为
false
1
2
3
4
false
false
false
false
false
false.
【点睛】
方法点睛：(1)求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
22．（1）证明见解析；（2）①分布列答案见解析，数学期望为false；②概率为false，解释答案见解析.
【分析】
（1）分析出false且false与false的奇偶性一致，右由此可得出结论；
（2）①由题意可知，随机变量false的可能取值有false、false、false、false、false，分别计算出随机变量false在不同取值下的概率，可得出随机变量false的分布列，并由此计算出false的值；
②记“在相继进行的三轮测试中都有false”为事件false，计算出false的值，由此可得出结论.
【详解】
（1）首先有false，
去绝对值不影响数的奇偶性，故false
与false的奇偶性一致，而
false为偶数，故false的可能取值都为非负偶数；
（2）①由（1）知当false时，false的可能取值为false、false、false、false、false，
false，false，false，
false，false，
所以false的分布列为
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
从而false的数学期望false；
②记“在相继进行的三轮测试中都有false”为事件false，“在某轮测试中有false”
为事件false，则false，
又各轮测试相互独立，false，
因为false表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，
而false，该可能性非常小，所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，而不是靠随机猜测，故这种测试方法合理.
【点睛】
思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；
（2）求出每一个随机变量取值的概率；
（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.
23．（1）false，false；（2）false.
【分析】
（1）计算出各产品等级的频率，然后利用公式可求得false、false的值；
（2）计算得出false件产品中false级品共1件，分别记为false，false级品共2件，分别记为false、false，false级品的数量为4，分别记为false?false?false?false.列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的false件产品中至少有false件false级品”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】
（1）当false时，false，false，频率为false；
当false时，false，false，频率为false；
当false时，false，false，频率为false.
各产品等级的频率如下表所示：
质量指标值false
false
false
false
false
产品等级
false
false
false
false
频率
0.3
0.4
0.2
0.1
false，
false.
（2）所抽取的7件产品中，false级品的数量为false，记为false，
false级品的数量为false，分别记为false?false，
false级品的数量为4，分别记为false?false?false?false.
从这7件产品中任取2件产品，所有的基本事件有：false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false?false，共21个基本事件，其中，事件“所抽取的2件产品中至少有1件false级品”包含6个基本事件.
因此，所求事件的概率为false.
【点睛】
方法点睛：求解古典概型概率的方法如下：
（1）列举法；
（2）列表法；
（3）数状图法；
（4）排列组合数的应用.
24．（1）false；（2）分布列见解析，期望false.
【分析】
（1）false“第i次验血结果呈阳性”，false，表示false的对立事件，根据条件概率的计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得到随机变量X的可能取值，结合独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望.
【详解】
（1）false“第i次验血结果呈阳性”，false，表示false的对立事件．
若false发生，则需从2只患病小白鼠中选择1只排在第一位，其他位置可随意排，
故符合条件的排列顺序共有false种,
若false与false同时发生，则2只患病小白鼠一定排在第一、第三两个位置，
其他位置可随意排不患病的小白鼠，对应的排列顺序共有false种．
所以概率为false．
（2）随机变量X的可能取值为false，
可得false，
false，
false，
故false
故X的分布列是
X
2
3
4
5
P
false
false
false
false
数学期望false．
【点睛】
求随机变量false的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量false的意义，写出false可能的全部值；
2、求false取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望false；
4、若随机变量false的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
25．（1）false，false；（2）分布列见解析；期望为false．
【分析】
（1）设false，false的个位数分别为false，false，利用false，false，将表中数据代入公式求解.
（2）根据题意得到false的可能取值为0，1，2，3，然后分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.
【详解】
（1）记false，false的个位数分别为false，false．
false，
故false，①
而false，
故false，②
联立①②解得，false，false，
则false，false．
（2）依题意，false的可能取值为0，1，2，3，
则false，false，
false，false，
故false的分布列为，
false
0
1
2
3
false
false
false
false
false
故false．
【点睛】
方法点睛：求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．