7.2离散型随机变量及其分布列-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案）

7.2离散型随机变量及其分布列
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是（ ）
A．false B．false C．[－3，3] D．[0，1]
2．随机变量false的分布列如下表，其中false，且false，
false
2
4
6
false
false
false
false
则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
4．随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
a
b
c
其中a,b,c成等差数列,则false等于
A．false B．false
C．false D．false
5．下列随机变量中不是离散型随机变量的是.
A．掷5次硬币正面向上的次数M
B．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T
C．从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和Y
D．将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X
6．已知随机变量false满足false，则下列选项正确的是
A．false B．false
C．false D．false
7．已知随机变量false满足false，false，若false，则
A．false ， false
B．false ， false
C．false ， false
D．false ， false
8．一袋中装有false个红球和false个黑球（除颜色外无区别），任取false球，记其中黑球数为false，则false为（ ）
A．false B．false C．false D．false
9．已知false是离散型随机变量，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．已知ξ～Bfalse，η～Bfalse，且E(ξ)＝15，则E(3η＋6)等于（ ）
A．30 B．16
C．36 D．10
11．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有false个红球和false个篮球且false，从乙盒中随机抽取false个球放入甲盒中，放入false个球后，甲盒中含有红球的个数记为false，则下列结论错误的是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
12．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是(　　)
A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和
B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数
C．电视机的使用寿命
D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数
13．小华与另外false名同学进行“手心手背”游戏，规则是：false人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得false分，其余每人得false分.现false人共进行了false次游戏，记小华false次游戏得分之和为false，则false为
A．false B．false C．false D．false
14．已知某false个数的期望为false，方差为false，现又加入一个新数据false，此时这false个数的期望记为false，方差记为false，则
A．false B．false
C．false D．false
15．若随机变量false满足false，false，则下列说法正确的是
A．false B．false
C．false D．false
16．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设false为回答正确的题数，则随机变量false的数学期望false
A．1 B．false C．false D．2
17．false是离散型随机变量，false，那么false和false分别是(　　)
A．false B．false
C．false D．false
18．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
19．已知随机变量false满足false，false，且false，false．若false，则（ ）．
A．false，且false B．false，且false
C．false，且false D．false，且false
20．已知false是离散型随机变量，则下列结论错误的是
A．false B．false
C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．4月23日是“世界读书日”，学校开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高一学生课外阅读情况，从高二某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：
小组
甲
乙
丙
丁
人数
4
3
2
3
（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；
（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列．
22．根据党的十九大规划的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫路径，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2021年寒假某村组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯.根据统计全村少年儿童中，平均每天阅读1小时以下约占19.7%、1-2小时约占30.3%、3-4小时约占27.5%、5小时以上约占22.5%.
（1）将平均每天阅读5小时以上认为是“特别喜欢”阅读，在活动现场随机抽取30名少年儿童进行阅读情况调查，调查发现：
父或母喜欢阅读
父母均不喜欢阅读
总计
少年儿童“特别喜欢”阅读
7
1
8
少年儿童“非特别喜欢”阅读
5
17
22
总计
12
18
30
请根据所给数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的条件下认为“特别喜欢”阅读与父或母喜欢阅读有关？
（2）活动规定，每天平均阅读时长达3个小时的少年儿童，给予两次抽奖机会，否则只有一次抽奖机会，各次抽奖相互独立.中奖情况如下表
抽中奖品
价值100元的图书购书券
价值50元的图书购书券
中奖概率
false
false
从全村少年儿童中随机选择一名少年儿童来抽奖，设该少年儿童共获得元图书购书券，求的分布列和期望.
false
false
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
23．第五代移动通信技术（英语：false或false，简称false或false技术）是最新一代蜂窝移动通信技术，也是继falsefalse、false和false系统之后的延伸.false的性能目标是高数据速率减少延迟、节省能源、降低成本、提高系统容量和大规模设备连接.某大学为了解学生对“false”相关知识的了解程度，随机抽取false名学生参与测试，并将得分绘制成如下频数分布表：
得分
false
false
false
false
false
false
false
男性人数
false
false
false
false
false
false
false
女性人数
false
false
false
false
false
false
false
（1）将学生对“false”的了解程度分为“比较了解”（得分不低于false分）和“不太了解”（得分低于false分）两类，完成false列联表，并判断是否有false的把握认为“学生对“false”的了解程度”与“性别”有关？
不太了解
比较了解
合计
男性
女性
合计
（2）以这false名学生中“比较了解”的频率作为该校学生“比较了解”的概率.现从该校学生中，有放回的抽取false次，每次抽取false名学生，设抽到“比较了解”的学生的人数为false，求false的分布列和数学期望.
附：false（false）.
临界值表：
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
24．为了加强环保知识的宣传，某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取false张，按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则，每正确投放一张卡片得false分，投放错误得false分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得false分，放入其它箱子，得false分.从所有参赛选手中随机抽取false人，将他们的得分按照false、false、false、false、false分组，绘成频率分布直方图如图：
（1）分别求出所抽取的false人中得分落在组false和false内的人数；
（2）从所抽取的false人中得分落在组false的选手中随机选取false名选手，以false表示这false名选手中得分不超过false分的人数，求false的分布列和数学期望.
25．为迎接“五一”节的到来，某单位举行“庆五一，展风采”的活动．现有6人参加其中的一个节目，该节目由false两个环节可供参加者选择，为增加趣味性，该单位用电脑制作了一个选择方案：按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面，若干秒后在屏幕上出现两个点数false和false，并在屏幕的下方计算出false的值．现规定：每个人去按“Enter”键，当显示出来的false小于false时则参加false环节，否则参加false环节．
（1）求这6人中恰有2人参加该节目false环节的概率；
（2）用false分别表示这6个人中去参加该节目false两个环节的人数，记false，求随机变量false的分布列与数学期望．
参考答案
1．B
【分析】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，根据各个变量概率和为1，可求得a值，根据概率大于等于0，即可求得答案.
【详解】
设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，
根据各个变量概率和为1得：(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，解得false，
由false，解得false.
故选：B
2．A
【分析】
由概率的性质可得false，结合已知条件求出false的值，即可求解.
【详解】
由概率的性质可得false，
由false得false
则false，
故选：A
3．B
【分析】
根据随机变量的定义，即可求解.
【详解】
根据离散型随机变量的定义可得选项B是随机变量，其可以一一列出，
其中随机变量X的取值0,1,2.
故选：B.
4．D
【详解】
因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,
又a+b+c=1,所以b=false,
所以P(|X|=1)=a+c=false，故选D.
5．B
【详解】
由随机变量的概念可知. 某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能一一举出，故不是离散型随机变量
点睛：离散型随机变量与连续型随机变量是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定,变量取值只能取离散型的自然数,就是离散型随机变量, 比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上, k是随机变量, k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,因而k是离散型随机变量.如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,
6．B
【分析】
利用期望与方差性质求解即可．
【详解】
false；false．故false，false．
故选false．
7．C
【分析】
根据题目已知条件写出false的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.
【详解】
依题意可知：
false
0
1
false
false
false
false
0
1
false
false
false
由于false，不妨设false.故false,false，故选C.
8．A
【分析】
由题意可知，随机变量false的可能取值有false、false、false、false，计算出随机变量false在不同取值下的概率，进而可求得随机变量false的数学期望值.
【详解】
由题意可知，随机变量false的可能取值有false、false、false、false，
则false，false，false，false.
因此，随机变量false的数学期望为false.
故选：A.
9．B
【分析】
根据题意，由随机变量的分布列的性质可得false则false只有两个变量false，进而可得false，解得false，又由方差公式可得false的值，又由方差的性质计算可得答案.
【详解】
根据题意，false，
则false
则false只有两个变量false，则false，得false，
即false，则false，
则false.
故选：B
10．C
【分析】
利用离散型随机变量的分布列的期望及其性质求解.
【详解】
因为ξ～Bfalse，
所以E(ξ)＝false.又E(ξ)＝15，
所以n＝30，
所以η～Bfalse.
故E(η)＝30×false＝10.∴
E(3η＋6)＝3E(η)＋6＝36.
故选：C
11．D
【分析】
根据题意，求得false的分布列，并根据分布列求得数学期望，即可比较大小；结合已知条件，结合期望的性质即可判断选择.
【详解】
从乙盒中取1个球时，取出的红球个数记为false，
则false的所有可能取值为0，1，
则false，
false，
所以false；
从乙盒中取2个球时，取出的红球数记为false，
则false的可能取值为0，1，2，
则false，
false，
false，
所以false
所以false，故A项正确；
false，
因为false，所以false，所以false，所以false，
所以false，即false，故C项正确；
而false，false，
得false，即false，故D项错误；
false，故B项正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，涉及期望的性质，属综合中档题.
12．C
【详解】
分析： 直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.
详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中false都属于离散型随机变量，而false电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.
点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.
13．B
【分析】
首先确定获胜的概率值，然后结合分布列的特征近似相应的概率值，最后求解数学期望即可.
【详解】
设0表示手背，1表示手心，用5为的二进制数表示所有可能的结果，
其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势，
如下表所示，其中标记颜色的部分为小华获胜的结果.
由古典概型计算公式可知，每次比赛小华获胜的概率为false，
false可能的取值为false，false服从二项分布，
false，false，
false，false，
则数学期望：
falsefalsefalsefalse.
故选：B．
14．B
【详解】
分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得false的值，进而得到正确的选项.
详解：根据题意可知，false，
false，故选B.
15．D
【解析】
分析：由题意结合随机变量的性质整理计算即可求得最终结果.
详解：随机变量false满足false，false，
则：false，
据此可得：false.
本题选择D选项.
点睛：本题主要考查期望的数学性质，方差的数学性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
16．B
【详解】
由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=false
P（ξ=1）=false
P（ξ=2）=false
P（ξ=3）=false
∴E（ξ）=false
故选B
17．D
【分析】
由期望和方差的运算性质求解即可
【详解】
由期望和方差的运算性质知E(X1)= E(2X－5)=2 E(X)-5=7
D(X1)= D(2X－5)=false D(X)＝2
故选D
18．C
【分析】
根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由false求解.
【详解】
因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，
所以false，
解得false.
故选：C
19．B
【分析】
根据已知写出对应的两点分布的分布列,根据公式求出期望,由false可得false,根据方差公式构造二次函数,借助函数的单调性即可得出结果.
【详解】
由题知变量false，false的分布列均为两点分布．变量false，false的分布列如下：
false
0
1
false
0
1
false
false
false
false
false
false
则false，false，false，false，
由falsefalse，因为false，false，
函数false在false上单调递增，所以false.
故选:B．
20．D
【分析】
利用概率、数学期望、方差的性质直接求解．
【详解】
在A中，false，故A正确；
在B中，由数学期望的性质得false，故B正确；
在C中，由方差的性质得false，故C正确；
在D中，false，故D错误．
故选D.
21．（1）false；（2）分布列见解析．
【分析】
（1）根据2人来自的级别分类讨论可求得方法数，计算出总的方法数，由概率公式得概率；
（2）false的取值为false，分别计算概率后得分布列．
【详解】
（1）由题意从12人中任抽取2人的方法为false，
由题设知，甲、乙、丙、丁四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3
2人来自同一组的方法数为false，
所以所求概率为false；
（2）随机变量false的取值依次为false，
false，false，false，
分布列为
false
0
1
2
false
false
false
false
22．（1）能；（2）分布列见解析，100.
【分析】
（1）根据列联表计算卡方，根据卡方的取值进行判断即可；
（2）根据相互独立事件同时发生计算概率，列出分布列并计算数学期望.
【详解】
（1）∵false，
故能在犯错误的概率不超过0.005的条件下认为“特别喜欢”阅读与父或母喜欢阅读有关.
（2）根据题意：false可取50，100，150，200，
false；
false；
false；
false，
则false的分布列如下：
false
50
100
150
200
false
false
false
false
false
false的期望为false.
23．（1）表格见解析，有false的把握；（2）分布列见解析，false.
【分析】
（1）根据题意补全false列联表，然后根据公式可计算false，因为false，
最后作出判断即可；
（2）由题意抽取的false名学生中“比较了解”的频率为false，故抽取该校false名学生对“false”技术“比较了解”的概率为false，属于典型的二项分布，随机变量满false，然后根据二项分布概率计算公式列出分布列并计算数学期望即可.
【详解】
（1）由题意得列联表如下：
不太了解
比较了解
合计
男性
false
false
false
女性
false
false
false
合计
false
false
false
false.
因为false，
所以有false的把握认为学生对“false”的了解程度与性别有关；
（2）由题意抽取的false名学生中“比较了解”的频率为false，
故抽取该校false名学生对“false”技术“比较了解”的概率为false，
false，false，false，1，2，3，
即false的分布列如下
false
false
false
false
false
false
false
false
false
false
所以false.
24．（1）所抽取的false人中得分落在组false和false内的人数分别为false人、false人；（2）分布列见解析，false.
【分析】
（1）将false分别乘以区间false、false对应的矩形面积可得出结果；
（2）由题可知，随机变量false的可能取值为false、false、false，利用超几何分布概率公式计算出随机变量false在不同取值下的概率，可得出随机变量false的分布列，并由此计算出随机变量false的数学期望值.
【详解】
（1）由题意知，所抽取的false人中得分落在组false的人数有false（人），得分落在组false的人数有false（人）.
因此，所抽取的false人中得分落在组false的人数有false人，得分落在组false的人数有false人；
（2）由题意可知，随机变量false的所有可能取值为false、false、false，
false，false，false，
所以，随机变量false的分布列为：
false
false
false
false
false
false
false
false
所以，随机变量false的期望为false.
25．（1）false（2）见解析
【分析】
（1）利用古典概型概率公式得出选择参加false环节的概率false，选择参加false环节的概率false，再利用独立重复实验概率公式，即可得出答案；
（2）得出false的可能取值以及对应概率，即可得出分布列以及期望.
【详解】
（1）依题意得，由屏幕出现的点数false和false形成的有序数对false，一共有false种等可能的基本事件
符合false的有false，false共24种
所以选择参加false环节的概率为false，选择参加false环节的概率为false
所以这6人中恰有2人参加该节目false环节的概率false
（2）依题意得false的可能取值为false
false
false
false
false
所以false的分布列为
false
0
2
4
6
false
false
false
false
false
数学期望false