8.2一元线性回归模型及其应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案）

8.2一元线性回归模型及其应用
第I卷（选择题）
一、单选题
1．已知变量false与false，且观测数据如下表(其中false，false)，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ）
false
1
2
3
4
5
false
6.5
false
4
false
1
A．false B．false
C．false D．false
2．某同学用收集到的6组数据对false制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线false的方程：false，相关系数为false，相关指数为false：经过残差分析确定点false为“离群点”（对应残差过大的点），把它去掉后，再用剩下的5组数据计算得到回归直线false的方程：false，相关系数为false，相关指数为false．则以下结论中，正确的是（ ）
①false，false；②false，false；③false；④false
A．①② B．①②③ C．②④ D．②③④
3．某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：false）之间的关系如下：
x
false
false
0
1
2
y
5
?
2
2
1
通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程：false；但是现在丢失了一个数据，该数据应为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．六安两防指挥部在汛期对淠河河流连续进行监测，下表是最近几日该河流某段的水位情况.
河流水位表（1）
第x日
第1日
第2日
第3日
第4日
第5日
第6日
第7日
水位y（米）
3.5
3.7
3.8
3.9
4.3
4.4
4.8
而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时，防汛进入紧急状态，防汛部门要按照紧急防汛期的权限，采取各种必要措施，确保堤防等工程的安全，并根据“有限保证、无限负责”的精神，对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.
水位预警分级表（2）
水位
false
false
false
水位分类
设防水位
警戒水位
保证水位
预警颜色
黄色
橙色
红色
现已根据上表得到水位y的回归直线方程为false，据上表估计（ ）
A．第8日将要启动洪水橙色预警 B．第10日将要启动洪水红色预警
C．第11日将要启动洪水红色预警 D．第12日将要启动洪水红色预警
5．某商品的销售量false（件）与销售价格false（元/件）存在线性相关关系，根据一组样本数据false，用最小二乘法建立的回归方程为false，则下列结论正确的是（ ）
A．false与false成正线性相关关系
B．当商品销售价格提高1元时，商品的销售量减少200件
C．当销售价格为10元/件时，销售量为100件
D．当销售价格为10元/件时，销售量为100件左右
6．下列说法：
①设有一个回归方程false，变量false增加一个单位时，false平均增加5个单位；
②线性回归方程false必过false；
③设某地女儿身高false对母亲身高false的一个回归直线方程是false，则方程中的false可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分.
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
false（月份）
1
2
3
4
5
false（万盒）
5
5
6
6
8
若false，false线性相关，线性回归方程为false，则以下判断正确的是（ ）
A．false增加1个单位长度，则false一定增加false个单位长度
B．false减少1个单位长度，则false必减少false个单位长
C．当false时，false的预测值为false万盒
D．线性回归直线false，经过点false
8．近10年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额(单位:亿元)数据如下:
工资总额x/亿元
23.8
27.6
31.6
32.4
33.7
34.9
43.2
52.8
63.8
73.4
社会商品零售总额y/亿元
41.4
51.8
61.7
67.9
68.7
77.5
95.9
137.4
155.0
175.0
建立社会商品零售总额y与职工工资总额x的线性回归方程是(　　)
A．false=2.799 1x-27.248 5 B．false=2.799 1x-23.549 3
C．false=2.699 2x-23.749 3 D．false=2.899 2x-23.749 4
9．具有线性相关关系的变量false、false的回归方程为false，则下列选项正确的是（ ）
A．当false时，false的预测值为false B．若false增加false个单位，则false增加false个单位
C．变量false与false呈正相关关系 D．变量false与false是函数关系
10．某公司过去五个月的广告费支出false与销售额false（单位：万元）之间有下列对应数据：
false
2
4
5
6
8
false
▲
40
60
50
70
工作人员不慎将表格中false的第一个数据丢失，已知false对false呈线性相关关系，且回归方程为false，则下列说法：①销售额false与广告费支出false正相关：②丢失的数据（表中▲处）为30；③该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元；④若该公司下月广告投入8万元，则销售额为69.5万元.其中，正确说法有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②设有一个回归方程false，变量false增加一个单位时，false平均增加5个单位；
③线性回归方程false必过点false；
④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系.
其中错误的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知一组样本数据点false，用最小二乘法求得其线性回归方程为false.若false的平均数为1，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
13．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下
x
1
2
3
4
y
false
4
3
false
根据表，利用最小二乘法得到它的回归直线方程为（ ）
A．false B．false
C．false D．false
14．从自贡市某中学高二年级随机选取false名女同学，其身高false和体重false有很好的线性相关关系false，已知false名女同学的平均身高和体重分别为false，false，那么身高为false的女同学体重为（ ）
A．false B．false C．false D．false
15．今年是新中国成立70周年．70年来，在中国共产党的坚强领导下，全国各族人民团结心，迎难而上，开拓进取，奋力前行，创造了一个又一个人类发展史上的伟大奇迹，中华民族迎来了从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．某公司统计了第false年（2013年是第一年）的经济效益为false（千万元），得到如下表格：
false
3
4
5
6
false
2.5
3
4
4.5
若由表中数据得到false关于false的线性回归方程是false，则可预测2020年经济效益大约是（ ）
A．5.95千万元 B．5.25千万元 C．5.2千万元 D．5千万元
16．某药厂为了了解某新药的销售情况，将false年false至false月份的销售额整理如下：
月份
false
false
false
false
false
销售额（万元）
false
false
false
false
false
根据false至false月份的数据可求得每月的销售false关于月份false的线性回归方程false为（ ）
（参考公式及数据：false，false，false，false）
A．false B．false C．false D．false
17．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为false，则回归直线的方程是
A．false B．false
C．false D．false
18．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入false （万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出false （万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程false ，其中false ，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ）
A．11.80万元 B．12.56万元 C．11.04万元 D．12.26万元
19．研究表明某地的山高false与该山的年平均气温false具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程false，则下列说法错误的是
A．年平均气温为false时该山高估计为false
B．该山高为false处的年平均气温估计为false
C．该地的山高false与该山的年平均气温false的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关
D．该地的山高false与该山的年平均气温false成负相关关系
20．已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（5，6），则回归直线方程为
A．false0.15x+1.23 B．false2.38x+1.23
C．false1.23x–2.38 D．false1.23x–0.15
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x（单位：万元/吨）和一天销售量y（单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．
false
false
false
false
false
false
false
0.33
10
3
0.164
100
68
350
表中false，false，false．
（1）根据散点图判断，false与false哪一个更适合作为y关于x的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果，试建立y关于x的回归方程；
（3）若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）
（参考公式：回归方程false，其中false，false）
22．某个体服装店经营的某种服装在某周内所获纯利false（元）与该周每天销售这种服装的件数false（件）之间有一组数据如下表所示.
服装件数false（件）
3
4
5
6
7
8
9
某周内所获纯利false（元）
66
69
73
81
89
90
91
（1）求false，false；
（2）若所获纯利false（元）与每天销售这种服装的件数false（件）之间是线性相关的，求回归直线方程；
（3）若该店每周至少要获利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？（以下数据供选择：false，false，false）（已知回归系数为false，false）
23．我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施.国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如表：
年龄区间
false
false
false
false
false
false
false
false
false
有意愿数
80
81
87
86
84
83
83
70
66
（1）从false这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻.求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率.
（2）设每个年龄区间的中间值为x，有意愿数为y，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数r（结果保留两位小数）.
（参考：false，false，
false，false，false，false，false，false.）
24．2021年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（false）将在云南昆明举行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”.大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分布在湖北、四川、云南等地.某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了50只大绒鼠标本.
（1）将五个采样地分别记作false，各个采样地所含标本数量占标本数量的百分比如图甲所示.若先五个采样地中随机选择两个来进行研究，求这两个采样地所含标本数量至少达到总标本数量一半的概率；
（2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图.由散点图可看出体长false与纬度false存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出false与false的线性回归方程，并以此估计纬度为30度时，大绒鼠的平均体长.
false
false
false
false
false
false
27
36
972
729
5008.5
3600
参考公式：回归方程false中斜率和截距最小二乘估计公式分别为false.
25．新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延.在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制.然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长.下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数.
日期代码x
1
2
3
4
5
6
7
8
累计确诊人数y .
4
8
16
31
51
71
97
122
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学分别用两个模型：①false，②false对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下(注：残差false)：经过计算得false，false，false，false，其中false，false.
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型?并简要说明理由；
（2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程(系数均保留两位小数)；
（3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布.小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数做出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少?
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
false，false
参考答案
1．C
【分析】
求出false，代入方程检验，然后根据false的变化趋势判false系数的正负可得．
【详解】
由题意false，false，
把false代入各方程，A中，false，同理有B中，false，C中false，D中，false，
又表格中数据随着false的增大，false减小，因此它们负相关，false的系数为负．
故选：C．
【点睛】
在求线性回归方程时，可观察已知数据，呈线性相关的数据，如果随false的增大，false也增大，则false与false是正相关，在回归直线方程中false的系数为正，反之为负．
2．B
【分析】
根据散点图逐项进行判断即可.
【详解】
①：由散点图可知，false之间是正相关关系，所以false，false，故①正确；
②③：由散点图可知，回归直线的斜率是正数，且false的斜率大于false的斜率，所以false，false，false，故②③正确；
④：由散点图可知，去掉“离群点”false后，相关性更强，拟合的效果更好，所以false，故④错误；
故选：B.
3．B
【分析】
求出false，代入回归直线方程可得．
【详解】
设丢失的数据为false，
由题意false，false，
所以false，false．
故选：B．
4．D
【分析】
分别计算false、10、11和12时对应false的值，对照附表即可得出结论．
【详解】
解：计算false时，false，false，所以第8日应启动洪水黄色预警，选项false错误；
计算false时，false，false，所以第10日应启动洪水橙色预警，选项false错误；
计算false时，false，false，所以第11日应启动洪水橙色预警，选项false错误；
计算false时，false．false，所以第12日应启动洪水红色预警，选项false正确．
故选：false．
5．D
【分析】
由线性回归方程为false，对选项进行逐一分析，可得答案.
【详解】
回归方程为false
false与false具有负的线性相关关系，所以A项错误；
当商品销售价格提高1元时，商品的销售量大约减少10件，所以B错误.
当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C错误,D正确.
故选：D
6．C
【分析】
根据回归直线方程的特征，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
设有一个回归方程false，变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故①错；
线性回归方程false必过样本中心点false，故②正确；
设某地女儿身高y对母亲身高x的一个回归直线方程是false，当false时，false，
方程中的false可以解释为女儿身高不受母亲身高变化影响的部分，故③正确.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查回归直线方程的意义，属于基础题型.
7．C
【分析】
通过线性回归方程可以进行预测而不能做出确定的判断，排除A，B选项；线性回归方程一定过样本中心点false，排除D选项；令false，代入方程求false，可得C正确．
【详解】
由false，得false每增（减）一个单位长度，false不一定增加（减少）0.7，而是大约增加（减少）0.7个单位长度，故选项A,B错误；由已知表中的数据，可知false，则回归直线必过点false，故D错误；代入回归直线false，解得false，即false，令false，解得falsefalse万盒，
故选：C
【点睛】
本题考查了线性回归方程的性质，正确掌握线性回归方程的性质是解题的关键．
8．B
【解析】
false代入验证可知false选项正确.
9．A
【分析】
将false代入回归直线方程可判断A选项的正误；利用回归系数可判断B选项的正误；由已知条件结合回归方程可判断C、D选项的正误.
【详解】
对于A选项，当false时，false，即false的预测值为false，A选项正确；
对于B选项，由回归方程可知，若false增加false个单位，则false减少false个单位，B选项错误；
对于C、D选项，由于具有线性相关关系的变量false、false的回归方程为false，则变量false与false呈正相关关系，而不是函数关系，C、D选项均错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查回归方程有关命题正误的判断，属于基础题.
10．C
【分析】
由线性回归方程是系数与正负相关的关系判断①，求出中心点坐标后代入可得救所缺数据，可判断②，由回归方程的意义判断③④．
【详解】
回归方程为false的系数为false，销售额false与广告费支出false正相关，①正确；
设缺失的数据为false，false，false，
则false，解得false，②正确；
由回归方程知该公司广告费支出每增加1万元，销售额预计增加6.5万元，③错，
false时，false，销售额预计为69.5万元，④错．
因此正确的有两个．
故选：C．
【点睛】
本题考查线性回归直线方程．线性回归直线方程一定过中心点，要注意线性回归直线方程反映的是预计值、估计值，不是确定值．
11．B
【分析】
①由方差的概念判断；②根据x的系数判断； ③根据线性回归分析判断；④根据曲线上的点与该点的坐标之间是一一对应关系判断.
【详解】
①方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故正确；
②有一个回归方程false，当变量false增加一个单位时，false平均减少5个单位，故错误；
③线性回归方程false必过点false，故正确；
④曲线上的点与该点的坐标之间是一一对应的确定关系，故错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查方差的概念，线性回归方程，相关关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12．C
【分析】
利用回归直线过样本中心点false即可求解.
【详解】
false，false，
由回归直线false过样本中心点，
所以false，
解得false.
故选：C
【点睛】
本题考查了回归直线过样本中心点，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
13．D
【分析】
由表中数据求得样本中心false，代入检验可得结论.
【详解】
解：由已知false，false，即中心点为false，
代入检验可得false.
故选：D.
【点睛】
本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一.
14．C
【分析】
由线性回归方程恒过样本点的中心求得false，可得线性回归方程，取false求得false值即可．
【详解】
解：因为false，false，
代入false，得false．
falsefalse．
取false，得false．
故选：false．
【点睛】
本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．
15．A
【分析】
首先求出样本点的中心点坐标，再代入回归方程求出参数false的值，再将false代入求值即可；
【详解】
解：由表格中的数据求得false，false．所以样本点的中心坐标为false，代入false，得false，解得false．∴线性回归方程为false，取false，得false.
故选：false
【点睛】
本题考查根据样本中心点求回归方程中参数的值，以及利用回归方程估计数据，属于基础题.
16．A
【分析】
将数据代入最小二乘法公式，求出false和false的值，即可得出false关于false的回归直线方程.
【详解】
由表格中的数据得false，false，
false，false，
因此，false关于false的回归直线方程为false.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，熟练利用最小二乘法公式计算是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
17．D
【分析】
设回归直线方程为false，利用回归方程过样本中心点，即得解.
【详解】
设回归直线方程为false，∵样本点的中心为false，∴false，解得false，∴回归直线方程为false，故选D.
【点睛】
本题考查了回归直线方程，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
18．B
【分析】
求出false并代入false即可求得false,再代入false即可估算出收入为16万元家庭年支出.
【详解】
由题意：false,故
false,故回归直线方程false,
故估计收入为16万元家庭年支出false.
故选B.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程false经过样本中心点false.
19．B
【分析】
由已知线性回归直线方程false，可估计平均气温为false时该地的山高，即可得到答案．
【详解】
线性回归直线方程为false，当false 时false即年平均气温为false时该山高估计为false，故false正确；当false时解得false即山高为false处的年平均气温估计为false，故false错误；该地的山高false与该山的年平均气温false的正负相关性与回归直线的斜率的估计值有关，故false正确；
由false，该地的山高false与该山的年平均气温false成负相关关系，故false正确．故选B
【点睛】
本题考查线性回归直线方程的应用，考查相关的意义，判断能力，属于基础题．
20．D
【分析】
设出回归直线方程，将样本点的中心代入，即可求得回归直线方程．
【详解】
解：设回归直线方程为false＝1.23x+a，
∵样本点的中心为（5，6），
∴6＝1.23×5+a，
∴a＝﹣0.15，
∴回归直线方程为false＝1.23x﹣0.15．
故选D．
【点睛】
本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
21．（1）false；（2）false；（2）预计定价为0.45万元/吨吋，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．
【分析】
（1）根据散点图作出判断；
（2）根据（1）的判断结果，令false，则false，计算系数即可得到方程；
（3）建立利润函数，利用均值不等式求最值即可.
【详解】
解：（1）根据散点图知false更适合作为y关于x的回归方程．
（2）令false，则false，
则false，
false，false，false关于x的回归方程为false．
（3）一天利润为false．
（当且仅当false即false时取等号）
false每月的利润为false（万元）
false预计定价为0.45万元/吨吋，该产品一天的利润最大，此时的月利润为45.00万元．
【点睛】
方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算false的值；③计算回归系数false；④写出回归直线方程为false； 回归直线过样本点中心false是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
22．（1）6；79.86；（2）false；（3）32件.
【分析】
（1）根据所给数据直接求解即可；
（2）利用最小二乘法求出回归方程；
（3）当false代人回归方程，解得false，即可得解；
【详解】
解：（1）false，
false；
（2）∵false，
false，
∴纯利与每天销售件数false之间的回归直线方程为false；
（3）当false时，false，所以false.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件.
23．（1）false；（2）false，false.
【分析】
（1）记5对夫妻中，愿意生二孩的为A，B，C，不愿意生二孩的为1，2，列举出所有可能组合，并确定恰有一对不愿意生二孩的夫妻组合，即可求概率.
（2）由已知参考信息，结合表格数据求false，进而求false，写出回归方程，再求false，false，结合公式计算相关系数r.
【详解】
（1）由题意，在false这三个年龄段中，超过半数的夫妻有生育二孩的意愿，在false，false这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的意愿，
∴若记5对夫妻中，愿意生二孩的为A，B，C，不愿意生二孩的为1，2.
从5对中选出两队则所有可能的基本事件为：false共10种，其中恰有一对不愿意生二孩的夫妻有：false共6种.
∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率false.
（2）由题意，false，false，false，false，
∴false，又false，false，
∴false，false.
∴false， 故线性回归方程为false，
相关系数false.
24．（1）false；（2）false；26.1厘米.
【分析】
（1）列出从A，B，C，D，E中选择2个采样地的所有选择方式，找出可满足标本数量至少达到总标本数量的一半的选择分式可得答案；
（2）利用表中数据代入公式即可求解.
【详解】
（1）从A，B，C，D，E中选择2个采样地，
所有选择方式为AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE（共10种），
其中BC，CD可满足标本数量至少达到总标本数量的一半.
令P为两个采样地所含标本数量至少达到总标本数量一半的概率，则false．
（2）由表格数据可得，false，
∴false，
∴y与x的线性回归方程是false，
∴当false时，false，即纬度为30度时，大绒鼠的平均体长为26.1厘米．
25．（1）选择模型①，理由见解析；（2）false；（3）157人.
【分析】
（1）根据残差图，估计值和真实值越接近，拟合效果越好，即可得解；
（2）令false，分别计算false的平均数，根据公式求得false，即可求出模型①对应点回归方程；
（3）将false代入回归方程，即可得解.
【详解】
（1）选择模型①.理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好
（2）由（1），知y关于x的回归方程为false，令false，则false.
由所给数据得：false，
false
false.
false，
∴y关于x的回归方程为false
（3）将false代入上式，得false(人)
所以预测该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为157人.