第6章计数原理综合复习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 第6章计数原理综合复习-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 582.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-05-12 09:38:11 | ||
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文档简介
第六章计数原理综合复习
第I卷（选择题）
一、单选题
1．false，则false的值为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．32
2．若false（false，false为有理数），则false等于（ ）
A．44 B．46 C．34 D．36
3．屠格涅夫是俄罗斯杰出的现实主义作家，其作品《屠格涅夫文集》共六卷，若从中任取3卷，则取出的3卷相连的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．如图，在某城市中，false、false两地之间有整齐的方格形道路网，其中false、false、false、false是道路网中位于一条对角线上的false个交汇处．今在道路网false、false处的甲、乙两人分别要到false、false处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达false、false处为止．则下列说法错误的是（ ）．
A．甲从false到达false处的方法有false种 B．甲从false必须经过false到达false处的方法有false种
C．甲、乙两人在false处相遇的概率为false D．甲、乙两人相遇的概率为false
5．下列问题中属于排列问题的是（ ）．
A．从false个人中选出false人去劳动 B．从false个人中选出2人去参加数学竞赛
C．从班级内false名男生中选出false人组成一个篮球队 D．从数字5、false、false、false中任取2个不同的数做false中的底数与真数
6．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（ ）
A．64 B．72 C．80 D．90
7．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为（ ）
A．8 B．6
C．5 D．3
8．用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（ ）
A．12个 B．10个 C．20个 D．16个
9．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（ ）
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
10．若false的展开式中false的系数为7，则展开式的常数项为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知二项式false的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中false项的系数为（ ）
A．-80 B．80 C．-160 D．-120
12．英国数学家泰勒(B. Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世?由泰勒公式，我们能得到false(其中e为自然对数的底数，false)，其拉格朗日余项是false可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确?若false近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项falsefalse不超过false时，正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．从false名男同学和false名女同学中任选false名同学参加志愿者服务，则选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
14．false、false、false、false、false五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
15．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280 B．180 C．96 D．60
16．false的展开式中的false的系数是（ ）
A．14 B．false C．16 D．false
17．若false展开式中所有项的系数和为64，则展开式中第三项为（ ）
A．135 B．-540 C．540 D．false
18．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A．420 B．960 C．1440 D．1560
19．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点false向结点false传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
20．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如false，在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数的和是奇数的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
22．已知false.
（1）求false；
（2）求false.
23．有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
24．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？
25．在false的展开式中，第false项的二项式系数依次成等差数列．
（1）求证：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
26．从false，false，false，false，false这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数false的系数false，false，false，求：
false可组成多少个不同的二次函数？
false其中对称轴是false轴的抛物线有多少条？
参考答案
1．A
【分析】
先求false展开式中的一次项，二次项，三次项，再跟false中相应的项乘积即可得false展开式中含false的项，进而得答案.
【详解】
false展开式的通项公式为为：false，
所以false展开式中的一次项为false，二次项为false，三次项为false，
由于false，
所以false展开式中含false的项为：false，
故false
故选：A.
2．A
【分析】
根据二项式定理展开，把有理项相加得到a，无理数相加求得b，即可得到答案.
【详解】
false，
由题设知false，false，故false．
故选：A.
3．D.
【详解】
将6卷编号为false，从false中任取三个数的结果有false种，
其中取出的3卷的编号相连的结果有：false，共4种，
所以取出的3卷的编号相连的概率为false.
故选：D
4．D
【分析】
A选项，甲从false到达false处的方法有false种可判断；B选项，甲经过false，可分为两步：第一步，甲从false经过false的方法数，第二步，甲从false到false的方法数从而可判断，从而可判断；C选项，甲经过false的方法数为false种，乙经过false的方法数也为false，可得出甲、乙两人在false处相遇的概率，从而可判断；D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在false、false、false、false处相遇，分别求出其相遇的概率，从而可判断
【详解】
A选项，甲从false到达false处的方法有false种，对，
B选项，甲经过false，可分为两步：第一步，甲从false经过false的方法数为false种，
第二步，甲从false到false的方法数为false种，
∴甲经过false到达false的方法数为false种，对，
C选项，甲经过false的方法数为false种，乙经过false的方法数也为false种，
∴甲、乙两人在false处相遇的方法数为false，
甲、乙两人在false处相遇的概率为false，对，
D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在false、false、false、false处相遇，
他们在false(false、false、false、false)相遇的走法有false种方法，
∴false，
故甲、乙两人相遇的概率false，错，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题考查等可能事件的概率和分类、分步计数原理，解答本题的关键是弄清两人能相遇的位置，即甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在false、false、false、false处相遇，他们在false(false、false、false、false)相遇的走法有false种方法，false，属于中档题.
5．D
【分析】
根据排列的定义判断．
【详解】
A. 从false个人中选出false人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从false个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
C.从班级内false名男生中选出false人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字5、false、false、false中任取2个不同的数做false中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确；
故选：D
6．D
【分析】
由回文数的定义求解.
【详解】
由回文数的定义得：首尾的数一样，则共9种选法，
则三位回文数中间数有10种选法，
所以三位回文数共有false种，
故选：D
7．B
【分析】
用分步计数原理即可.
【详解】
解析：从A处到B处的电路接通可分两步，第1步：前一个并联电路接通有2条线路，第2步：后一个并联电路接通有3条线路；由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为3×2＝6.
故选：B.
【点睛】
计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．
8．B
【分析】
按个位数字是0和2两类分别列式并求解而得.
【详解】
由0，1，2，3组成无重复数字的四位偶数，这四个数字全部取出，有两类办法：
个位数字为0时，有false种；
个位数字为2时，先排最高位有false，再排除2和最高位数字外的余下两个数字有false种，共有false种，
所以成无重复数字的四位偶数有false.
故选：B
9．C
【分析】
由二项式展开式的性质，分别与首末项等距离的两项的二项式系数相等，即可知与第3项二项式系数相同的项
【详解】
由false知：二项展开式共11项，第3项二项式系数为false，
∴根据对称性，与第3项二项式系数相同的项系数为false，即为第9项.
故选：C
10．A
【分析】
根据二项展开式，得出第false项，再求得false，再利用展开式可求得常数项.
【详解】
false的二项展开式中的第false项为false，
令false，解得false，所以false的系数为false7，解得false，
所以false的二项展开式中的第false项为false，
令false，解得false，所以展开式的常数项为false，
故选：A.
【点睛】
易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式：false （false）①它表示的是二项式的展开式的第false项，而不是第false项；②其中false叫二项式展开式第false项的二项式系数，而二项式展开式第false项的系数是字母幂前的常数；③注意false.
11．C
【分析】
依题意可得false，再写成二项式展开式的通项为false，令false，求出false，再代入计算，即可求出展开式中false的系数；
【详解】
解：因为二项式false的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，所以false，所以false的展开式的通项为false，令false，得false，故false，故展开式中false的系数为false
故选：C
12．B
【分析】
由false求得正整数n的最小值.
【详解】
依题意得false，即false，
false，
false，
所以false的最小值是false.
故选：B
13．C
【分析】
这是一个古典概型，先计算从false名男同学和false名女同学中任选false名同学的基本事件数，再计算选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
因为从false名男同学和false名女同学中任选false名同学的基本事件有false种,
选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的基本事件有false种,
所以选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的概率为false,
故选：C
14．D
【分析】
根据分步计数原理，结合限制条件，逐次排列，即可求解.
【详解】
根据分步计数原理，可得：
第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；
第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
所以所有的排法总数为：false种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中注意对限制条件的排列与遵循原则，属于基础题.
15．B
【分析】
按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.
【详解】
按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
【点睛】
本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题.
16．A
【分析】
只要求出false中false和false前的系数即可求出答案.
【详解】
false，
所以其展开式中含false项的系数为false.
故选：A.
17．D
【分析】
利用赋值法得到false的值，由二项式定理即可得结果.
【详解】
因为展开式中所有项的系数和为64，令false，可得false，所以false.
因为通项公式为false，所以false.
故选：D.
18．D
【分析】
根据题意，分4步依次分析区域false、false、false、false、false的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】
解：分4步进行分析：
①，对于区域false，有6种颜色可选；
②，对于区域false，与false区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域false，与false、false区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域false、false，若false与false颜色相同，false区域有4种颜色可选，
若false与false颜色不相同，false区域有3种颜色可选，false区域有3种颜色可选，
则区域false、false有false种选择，
则不同的涂色方案有false种；
故选：D
19．D
【分析】
要想求得单位时间内从结点false向结点false传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．
【详解】
解：依题意，首先找出false到false的路线，
①单位时间内从结点false经过上面一个中间节点向结点false传递的最大信息量，从结点false向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点false最大传递分别是4个和3个，此时信息量为false个．
②单位时间内从结点false经过下面一个中间结点向结点false传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点false最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点false，所以此时信息量为false个．
③综合以上结果，单位时间内从结点false向结点false传递的最大信息量是false个．
故选：false．
【点睛】
本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．
20．B
【分析】
先确定不超过20的素数，再确定两个不同的数的和为奇数的取法，最后根据古典概型概率公式求概率．
【详解】
因为不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机选取2个不同的数，其和为奇数，则必有2，所以所求概率false．
故选：B
21．（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个．
【分析】
（1）分情况讨论：α内1点，β内2点确定的平面；α内2点，β内1点确定的平面；α，β本身，有2个，利用组合数即可求解.
（2）分情况讨论：α内1点，β内3点确定的三棱锥；α内2点，β内2点确定的三棱锥；α内3点，β内1点确定的三棱锥，
（3）根据当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等即可求出结果.
【详解】
解：（1）所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有false个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有false个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有false＋false＋2＝98(个)．
（2）所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有false个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有false个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有false个．
故最多可作出的三棱锥有false＋false＋false＝194(个)．
（3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．
所以体积不相同的三棱锥最多有false＋false＋false＝114(个)．
故最多有114个体积不同的三棱锥．
22．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）赋值法，令false即可求得答案；
（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案
【详解】
（1）∵false，
令false，得false.
（2）令false，得false，
所以false
false
false.
【点睛】
方法点睛：对形如false的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令false即可；对形如false的式子求其展开式中各项系数之和，只需令false即可.
23．84(种)种植方法.
【分析】
分类完成：一类是false种植同种作物，另一类是false种植不同种作物，由计数原理计算可得．
【详解】
解：分步完成：
（1）若A，D种植同种作物，则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36(种)种植方法．
（2）若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法．由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48(种)种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84(种)种植方法.
24．6条
【分析】
由分类分步计数原理，即可得出结果.
【详解】
经过AB，有m1=1×2=2条；经过AD，有m2=1×2=2条；经过AA1，有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.
25．（1）证明见解析；（2）false
【分析】
（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，可得：false，整理得，false，即可求得false的值；
（2）当false时，false展开式的第false项的系数最大，则false ，即可求解.
【详解】
（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
falsefalse，
整理得，false，即false，
又falsefalse，false，
falsefalse的值为7.
false，令false，不成立，
所以展开式中没有常数项.
（2）当false时，设false展开式的第false项的系数最大，
则false，解得：false，false，false
则展开式中系数最大的项是false.
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项式定理的通项公式，以及系数最值问题，本题的关键是正确求出false，并且能分清系数和二项式系数，求系数的最大项，列不等式false是关键.
26．false180个；false30条.
【分析】
false由二次函数的定义，false，则false有false种取法；在剩下的false个数字中取两个作为false和false，有false种，进而可求得结果.
false要求对称轴是false轴，则false，在余下的6个数字中取两个作为false和false，有false种，进而求得结果.
【详解】
解：false由二次函数的定义，false，则false有false种取法；在剩下的false个数字中取两个作为false和false，有false种．所以共有二次函数false（个）；
false要求对称轴是false轴，则false，在余下的6个数字中取两个作为false和false，有false条.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，考查分析能力，属于基础题.
第I卷（选择题）
一、单选题
1．false，则false的值为（ ）
A．10 B．20 C．24 D．32
2．若false（false，false为有理数），则false等于（ ）
A．44 B．46 C．34 D．36
3．屠格涅夫是俄罗斯杰出的现实主义作家，其作品《屠格涅夫文集》共六卷，若从中任取3卷，则取出的3卷相连的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．如图，在某城市中，false、false两地之间有整齐的方格形道路网，其中false、false、false、false是道路网中位于一条对角线上的false个交汇处．今在道路网false、false处的甲、乙两人分别要到false、false处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达false、false处为止．则下列说法错误的是（ ）．
A．甲从false到达false处的方法有false种 B．甲从false必须经过false到达false处的方法有false种
C．甲、乙两人在false处相遇的概率为false D．甲、乙两人相遇的概率为false
5．下列问题中属于排列问题的是（ ）．
A．从false个人中选出false人去劳动 B．从false个人中选出2人去参加数学竞赛
C．从班级内false名男生中选出false人组成一个篮球队 D．从数字5、false、false、false中任取2个不同的数做false中的底数与真数
6．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（ ）
A．64 B．72 C．80 D．90
7．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为（ ）
A．8 B．6
C．5 D．3
8．用数字0，1，2，3可以组成无重复数字的四位偶数（ ）
A．12个 B．10个 C．20个 D．16个
9．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是（ ）
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
10．若false的展开式中false的系数为7，则展开式的常数项为（ ）
A．false B．false C．false D．false
11．已知二项式false的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中false项的系数为（ ）
A．-80 B．80 C．-160 D．-120
12．英国数学家泰勒(B. Taylor，1685-1731)以发现泰勒公式和泰勒级数闻名于世?由泰勒公式，我们能得到false(其中e为自然对数的底数，false)，其拉格朗日余项是false可以看出，右边的项用得越多，计算得到的e的近似值也就越精确?若false近似地表示e的泰勒公式的拉格朗日余项falsefalse不超过false时，正整数n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
13．从false名男同学和false名女同学中任选false名同学参加志愿者服务，则选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的概率为（ ）
A．false B．false C．false D．false
14．false、false、false、false、false五人排一个5天的值日表，每天由一人值日，每人可以值多天或不值，但相邻的两天不能由同一人值，那么值日表的排法种数为（ ）
A．120 B．324 C．720 D．1280
15．如图，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有多少种（ ）
A．280 B．180 C．96 D．60
16．false的展开式中的false的系数是（ ）
A．14 B．false C．16 D．false
17．若false展开式中所有项的系数和为64，则展开式中第三项为（ ）
A．135 B．-540 C．540 D．false
18．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
A．420 B．960 C．1440 D．1560
19．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点false向结点false传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）
A．26 B．24 C．20 D．19
20．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中得到了世界领先的成果.哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如false，在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数的和是奇数的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
第II卷（非选择题）
二、解答题
21．已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点．
（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
（3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积？
22．已知false.
（1）求false；
（2）求false.
23．有4种不同的作物可供选择种植在如图所示的4块试验田中，每块种植一种作物，相邻的试验田(有公共边)不能种植同一种作物，共有多少种不同的种植方法？
24．如图，一只蚂蚁沿着长方体的棱，从顶点A爬到相对顶点C1，求其中经过3条棱的路线共有多少条？
25．在false的展开式中，第false项的二项式系数依次成等差数列．
（1）求证：展开式中没有常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
26．从false，false，false，false，false这七个数字中任取三个不同的数字，分别作为函数false的系数false，false，false，求：
false可组成多少个不同的二次函数？
false其中对称轴是false轴的抛物线有多少条？
参考答案
1．A
【分析】
先求false展开式中的一次项，二次项，三次项，再跟false中相应的项乘积即可得false展开式中含false的项，进而得答案.
【详解】
false展开式的通项公式为为：false，
所以false展开式中的一次项为false，二次项为false，三次项为false，
由于false，
所以false展开式中含false的项为：false，
故false
故选：A.
2．A
【分析】
根据二项式定理展开，把有理项相加得到a，无理数相加求得b，即可得到答案.
【详解】
false，
由题设知false，false，故false．
故选：A.
3．D.
【详解】
将6卷编号为false，从false中任取三个数的结果有false种，
其中取出的3卷的编号相连的结果有：false，共4种，
所以取出的3卷的编号相连的概率为false.
故选：D
4．D
【分析】
A选项，甲从false到达false处的方法有false种可判断；B选项，甲经过false，可分为两步：第一步，甲从false经过false的方法数，第二步，甲从false到false的方法数从而可判断，从而可判断；C选项，甲经过false的方法数为false种，乙经过false的方法数也为false，可得出甲、乙两人在false处相遇的概率，从而可判断；D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在false、false、false、false处相遇，分别求出其相遇的概率，从而可判断
【详解】
A选项，甲从false到达false处的方法有false种，对，
B选项，甲经过false，可分为两步：第一步，甲从false经过false的方法数为false种，
第二步，甲从false到false的方法数为false种，
∴甲经过false到达false的方法数为false种，对，
C选项，甲经过false的方法数为false种，乙经过false的方法数也为false种，
∴甲、乙两人在false处相遇的方法数为false，
甲、乙两人在false处相遇的概率为false，对，
D选项，甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在false、false、false、false处相遇，
他们在false(false、false、false、false)相遇的走法有false种方法，
∴false，
故甲、乙两人相遇的概率false，错，
故选：D．
【点睛】
关键点睛：本题考查等可能事件的概率和分类、分步计数原理，解答本题的关键是弄清两人能相遇的位置，即甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在false、false、false、false处相遇，他们在false(false、false、false、false)相遇的走法有false种方法，false，属于中档题.
5．D
【分析】
根据排列的定义判断．
【详解】
A. 从false个人中选出false人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从false个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
C.从班级内false名男生中选出false人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字5、false、false、false中任取2个不同的数做false中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确；
故选：D
6．D
【分析】
由回文数的定义求解.
【详解】
由回文数的定义得：首尾的数一样，则共9种选法，
则三位回文数中间数有10种选法，
所以三位回文数共有false种，
故选：D
7．B
【分析】
用分步计数原理即可.
【详解】
解析：从A处到B处的电路接通可分两步，第1步：前一个并联电路接通有2条线路，第2步：后一个并联电路接通有3条线路；由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为3×2＝6.
故选：B.
【点睛】
计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合．
8．B
【分析】
按个位数字是0和2两类分别列式并求解而得.
【详解】
由0，1，2，3组成无重复数字的四位偶数，这四个数字全部取出，有两类办法：
个位数字为0时，有false种；
个位数字为2时，先排最高位有false，再排除2和最高位数字外的余下两个数字有false种，共有false种，
所以成无重复数字的四位偶数有false.
故选：B
9．C
【分析】
由二项式展开式的性质，分别与首末项等距离的两项的二项式系数相等，即可知与第3项二项式系数相同的项
【详解】
由false知：二项展开式共11项，第3项二项式系数为false，
∴根据对称性，与第3项二项式系数相同的项系数为false，即为第9项.
故选：C
10．A
【分析】
根据二项展开式，得出第false项，再求得false，再利用展开式可求得常数项.
【详解】
false的二项展开式中的第false项为false，
令false，解得false，所以false的系数为false7，解得false，
所以false的二项展开式中的第false项为false，
令false，解得false，所以展开式的常数项为false，
故选：A.
【点睛】
易错点点睛：(1)本题主要考查二项式展开式的通项和指定项的求法，考查指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 二项式通项公式：false （false）①它表示的是二项式的展开式的第false项，而不是第false项；②其中false叫二项式展开式第false项的二项式系数，而二项式展开式第false项的系数是字母幂前的常数；③注意false.
11．C
【分析】
依题意可得false，再写成二项式展开式的通项为false，令false，求出false，再代入计算，即可求出展开式中false的系数；
【详解】
解：因为二项式false的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，所以false，所以false的展开式的通项为false，令false，得false，故false，故展开式中false的系数为false
故选：C
12．B
【分析】
由false求得正整数n的最小值.
【详解】
依题意得false，即false，
false，
false，
所以false的最小值是false.
故选：B
13．C
【分析】
这是一个古典概型，先计算从false名男同学和false名女同学中任选false名同学的基本事件数，再计算选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
因为从false名男同学和false名女同学中任选false名同学的基本事件有false种,
选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的基本事件有false种,
所以选出的false名同学中恰有false名男同学和false名女同学的概率为false,
故选：C
14．D
【分析】
根据分步计数原理，结合限制条件，逐次排列，即可求解.
【详解】
根据分步计数原理，可得：
第一天可以是5个人中的任意一个，共有5种情形；
第二天除了第一天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第三天除了第二天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第四天除了第三天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
第五天除了第四天的那个人，另外4个人任意一个都可以，共有4种情形；
所以所有的排法总数为：false种.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分步计数原理的应用，其中解答中注意对限制条件的排列与遵循原则，属于基础题.
15．B
【分析】
按区域分四步，由分步乘法计数原理，即可求得结论.
【详解】
按区域分四步：第1步，A区域有5种颜色可选；
第2步，B区域有4种颜色可选；
第3步，C区域有3种颜色可选；
第4步，D区域也有3种颜色可选.
由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案.
选选：B.
【点睛】
本题主要考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确分步是关键，属于基础题.
16．A
【分析】
只要求出false中false和false前的系数即可求出答案.
【详解】
false，
所以其展开式中含false项的系数为false.
故选：A.
17．D
【分析】
利用赋值法得到false的值，由二项式定理即可得结果.
【详解】
因为展开式中所有项的系数和为64，令false，可得false，所以false.
因为通项公式为false，所以false.
故选：D.
18．D
【分析】
根据题意，分4步依次分析区域false、false、false、false、false的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】
解：分4步进行分析：
①，对于区域false，有6种颜色可选；
②，对于区域false，与false区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域false，与false、false区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域false、false，若false与false颜色相同，false区域有4种颜色可选，
若false与false颜色不相同，false区域有3种颜色可选，false区域有3种颜色可选，
则区域false、false有false种选择，
则不同的涂色方案有false种；
故选：D
19．D
【分析】
要想求得单位时间内从结点false向结点false传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息量．
【详解】
解：依题意，首先找出false到false的路线，
①单位时间内从结点false经过上面一个中间节点向结点false传递的最大信息量，从结点false向中间的结点传出12个信息量，在该结点处分流为6个和5个，此时信息量为11；再传到结点false最大传递分别是4个和3个，此时信息量为false个．
②单位时间内从结点false经过下面一个中间结点向结点false传递的最大信息量是12个信息量，在中间结点分流为6个和8个，但此时总信息量为12（因为总共只有12个信息量）；再往下到结点false最大传递7个但此时前一结点最多只有6个，另一条路线到最大只能传输6个结点false，所以此时信息量为false个．
③综合以上结果，单位时间内从结点false向结点false传递的最大信息量是false个．
故选：false．
【点睛】
本题考查分类计数的加法原理，对于此类问题，首先应分清是用分步计数还是分类计数．
20．B
【分析】
先确定不超过20的素数，再确定两个不同的数的和为奇数的取法，最后根据古典概型概率公式求概率．
【详解】
因为不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，随机选取2个不同的数，其和为奇数，则必有2，所以所求概率false．
故选：B
21．（1）98(个)；（2）194(个)；（3）114个．
【分析】
（1）分情况讨论：α内1点，β内2点确定的平面；α内2点，β内1点确定的平面；α，β本身，有2个，利用组合数即可求解.
（2）分情况讨论：α内1点，β内3点确定的三棱锥；α内2点，β内2点确定的三棱锥；α内3点，β内1点确定的三棱锥，
（3）根据当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等即可求出结果.
【详解】
解：（1）所作出的平面有三类．
①α内1点，β内2点确定的平面，最多有false个．
②α内2点，β内1点确定的平面，最多有false个．
③α，β本身，有2个．
故所作的平面最多有false＋false＋2＝98(个)．
（2）所作的三棱锥有三类．
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有false个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有false个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有false个．
故最多可作出的三棱锥有false＋false＋false＝194(个)．
（3）当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等．
所以体积不相同的三棱锥最多有false＋false＋false＝114(个)．
故最多有114个体积不同的三棱锥．
22．（1）false；（2）false.
【分析】
（1）赋值法，令false即可求得答案；
（2）利用平方差公式和（1）的结论即可得出答案
【详解】
（1）∵false，
令false，得false.
（2）令false，得false，
所以false
false
false.
【点睛】
方法点睛：对形如false的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令false即可；对形如false的式子求其展开式中各项系数之和，只需令false即可.
23．84(种)种植方法.
【分析】
分类完成：一类是false种植同种作物，另一类是false种植不同种作物，由计数原理计算可得．
【详解】
解：分步完成：
（1）若A，D种植同种作物，则A，D有4种不同的种法，B有3种种植方法，C也有3种种植方法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3＝36(种)种植方法．
（2）若A，D种植不同作物，则A有4种种植方法，D有3种种植方法，B有2种种植方法，C有2种种植方法．由分步乘法计数原理，共有4×3×2×2＝48(种)种植方法．
综上所述，由分类加法计数原理，共有N＝36＋48＝84(种)种植方法.
24．6条
【分析】
由分类分步计数原理，即可得出结果.
【详解】
经过AB，有m1=1×2=2条；经过AD，有m2=1×2=2条；经过AA1，有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理，从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.
25．（1）证明见解析；（2）false
【分析】
（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，可得：false，整理得，false，即可求得false的值；
（2）当false时，false展开式的第false项的系数最大，则false ，即可求解.
【详解】
（1）因为展开式中第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
falsefalse，
整理得，false，即false，
又falsefalse，false，
falsefalse的值为7.
false，令false，不成立，
所以展开式中没有常数项.
（2）当false时，设false展开式的第false项的系数最大，
则false，解得：false，false，false
则展开式中系数最大的项是false.
【点睛】
关键点点睛：本题考查二项式定理的通项公式，以及系数最值问题，本题的关键是正确求出false，并且能分清系数和二项式系数，求系数的最大项，列不等式false是关键.
26．false180个；false30条.
【分析】
false由二次函数的定义，false，则false有false种取法；在剩下的false个数字中取两个作为false和false，有false种，进而可求得结果.
false要求对称轴是false轴，则false，在余下的6个数字中取两个作为false和false，有false种，进而求得结果.
【详解】
解：false由二次函数的定义，false，则false有false种取法；在剩下的false个数字中取两个作为false和false，有false种．所以共有二次函数false（个）；
false要求对称轴是false轴，则false，在余下的6个数字中取两个作为false和false，有false条.
【点睛】
本题考查排列组合的综合问题，考查分析能力，属于基础题.