7.1复数的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§7.1.复数的概念
1）概念：形如(a，b∈R)的数叫做复数，其中叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集。复数通常用字母表示，即(a，b∈R)
2）虚数单位的性质
叫做虚数单位，并规定：①可与实数进行四则运算；②；这样方程就有解了，解为或
对于复数的定义要注意以下几点：
①(a，b∈R)被称为复数的代数形式，其中表示与虚数单位相乘
②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式
（2）分类：
满足条件(a，b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数?b＝0
a＋bi为虚数?b≠0
a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0
对于复数【a，b】，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数，当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数.
显然，实数集R,是复数集C的真子集，即.
索引3：复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）
相等的向量表示同一个复数
向量的模叫做复数的模，记作或，表示点到原点的距离，即
，
若，，则表示到的距离，即
精例1
.复数
的虚部为（???
）
A.?????????????????????????????B.??????????????????????C.?-2????????????????????????????D.?2
【答案】
D
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为
，
所以虚部为2。
故答案为：D
【分析】利用复数的乘法运算法则，进而求出复数z，再利用复数的虚部的定义，进而求出复数的虚部。
精例2
已知复数
（
为虚部单位），则
的最大值为（???
）
A.?1???????????????????????B.???????????????????????????C.?2????????????????????D.?4
【答案】
C
【考点】复数求模
【解析】【解答】由题意知：
，
∴当
时，
的最大值为2.
故答案为：C
【分析】
求出z-1，得到其模长，再结合余弦函数的性质即可求解结论．
精例3
.若
(其中
为虚数单位)，则复数
的共轭复数在复平面内对应的点位于（???
）
A.第一象限???????????????????????????
B.?第二象限??????????????????????????
?C.?第三象限???????????????????????????
D.?第四象限
【答案】
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】解析：由
可得
，
所以
的的共轭复数
，根据复数的几何意义可知，
在复平面内对应的点为
，位于第四象限.
故答案为：D
【分析】根据题意由复数的运算性质化简整理再由共轭复数的定义结合复数的几何意义即可得出答案。
练习1已知复数z满足
，则z的虚部是（???
）
?-1????????????????????????B.?1????????????????????????????C.?????????????????????????D.?i
练习2.若复数
对应的点是
，则
（???
）
A.?????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?-1?????????????????????????????D.?1
练习3.设
，
，则
（???
）
A.?6?????????????????????????B.?5??????????????????????????C.?4?????????????????????????????D.?3
练习4
（1）已知
，解关于z的方程
；
（2）已知
是关于x的方程
在复数集内的一个根，求实数a，b的值.
练习5.已知
，复数
.
（1）若
对应的点在第一象限，求
的取值范围；
（2）若
的共轭复数
与复数
相等，求
的值.
练习1
【答案】
A
【考点】复数的基本概念
【解析】【解答】设
，
因为
，可得
，
则
，可得
，所以复数
的虚部是-1.
故答案为：A
【分析】根据题意由共轭复数的定义整理化简再由复数的定义即可得出答案。
练习2
.【答案】
B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【解答】由题得
.
故答案为：B
【分析】首先由复数的几何意义结合点的坐标再由复数的运算性质整理即可得出答案。
练习3
.【答案】
B
【考点】复数相等的充要条件
【解析】【解答】因为
，所以
，解得
，
所以
.
故答案为：B.
【分析】
推导出-x+2xi=y-1-6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=-3，y=4，由此能求出|x-yi|．
练习4
【答案】
（1）解：设
，则
，即
∴
，解得
，或
∴
或
；
（2）解：由题知方程在复数集内另一根为
，故
，
即
.
【考点】相等向量与相反向量，复数的基本概念
【解析】【分析】（1）设
，代入
，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得
的值，由此求得
.（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得
的值.
练习5
【答案】
（1）解：由题意得
，解得
，
所以
的取值范围是
；
（2）解：因为
，所以
，
因为
与复数
相等，所以
，解得
.
【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】（1）利用复数的几何意义求出复数z对应的点的坐标，再结合复数z对应的点所在的象限，进而利用复数
对应的点在第一象限，从而求出
的取值范围。
(2)利用复数与共轭复数的关系结合复数相等的判断方法，进而求出m的值。