7.2复数的四则运算-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§7.2复数的四则运算
（1）运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R
①
②
③
（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
加法法则：
设=，=是任意两个复数，
那么他们的和（）+（）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
减法法则：
设=a+bi，=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则-=（）-（）=（a-c）+（b-d）i.
索引3：复数的乘、除法则
乘法法则：
设=，=，(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（）（）=ac+bci+adi+bd=（）+（）
除法法则：
（）÷（）=+i（a,b,c,d∈R，且c+di≠0）
索引3：复数加法运算律
加法运算律
对任意，，∈C,有
（1）交换律：+=+
（2）结合律：（+）+=+（+）
思维升华　
复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.
(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.
(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.
.已知
，
为虚数，且满足
，
．
（1）若
是纯虚数，求
；
（2）求证：
为纯虚数．
【答案】
（1）解：设
，
则
，
因为
，
是纯虚数，
所以
，解得
或
，
因此
或
；
（2）解：若
，则
是纯虚数；
若
，则
也是纯虚数；
综上，
为纯虚数.
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用复数的乘法运算法则求出复数
，
再利用纯虚数的判断方法结合复数的模求解公式和已知条件，进而求出复数
。
（2）利用复数的乘除法运算法则求出复数
，
再利用纯虚数的判断方法，进而证出复数
为纯虚数。
已知复数
（
，
是虚数单位）．
（1）若
是纯虚数，求实数
的值；
（2）设
是
的共轭复数，复数
在复平面上对应的点位于第二象限，求实数
的取值范围．
【答案】
（1）解：
，
因为
为纯虚数，所以
，解得
．
（2）解：因为
是
的共轭复数，所以
，
所以
．
因为复数
在复平面上对应的点位于第二象限，所以
，解得
．
【考点】虚数单位i及其性质，复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】
（1）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解；
（2）化简
??,再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
若
，则
的实部为（???
）
A.?2????????????B.?-2???????????????C.?1???????????D.?-1
【答案】
C
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】由
，得
，所以
的实部为1.
故答案为：C．
【分析】首先由复数的运算性质整理化简原式再由复数的定义即可得出答案。
练习1.若复数
，复数
在复平面对应的点为
，则向量
(
为原点)的模
（???
）
A.?2??????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????D.?
练习2.设复数
，那么在复平面内复数
对应的点位于（???
）
A.?第一象限?????????????????????B.?第二象限????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
练习3.在复平面内，复数
对应的点位于（???
）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
练习4.若复数z满足
，则z的虚部是（
???）
A.????????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?1?????????????????????????????????????????D.?6
练习5复数Z=
(i为虚数单位)，则Z的共轭复数是(
???)
A.?-2-i?????????????????????????
?B.?-2+i?????????????????????????C.?2-i??????????????????????????????????????D.?2+i
?
?
练习1
【答案】
C
【考点】复数代数形式的混合运算，复数求模
【解析】【解答】由题意，复数
，
又由
.
故答案为：C.
【分析】根据题意由复数的运算性质整理化简再由复数的几何意义求出点的坐标，由此得到向量的坐标以及向量模的大小。
练习2
【答案】
C
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】
，
，
因此，复数
在复平面内对应的点位于第三象限。
故答案为：C.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数z，再利用复数的乘法运算法则求出复数
，再利用复数的几何意义求出其对应点的坐标，再利用点的坐标所在的象限，进而确定出在复平面内复数
对应的点位于的象限。
练习3
【答案】
D
【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由复数的运算法则，可得
，
对应的点
位于第四象限。
故答案为：D.
【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数，再利用复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限，进而判断出复数
对应的点所在的象限。
练习4
【答案】
D
【考点】复数的基本概念，复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】
，则z的虚部是
。
故答案为：D。
【分析】利用向量的加减法运算法则，从而求出复数z，进而求出复数z的虚部。
练习5
.【答案】
D
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意得，Z=
=
=
=2-i，
=2+i，
故答案为：D
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得到答案。