8.2立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§8.2立体图形的直观图
知识索引
索引1：直观图
1.直观图
表示空间几何图形的平面图形，叫做空间图形的直观图
直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，直观图通常是在平行投影下得到的平面图形
索引2：斜二侧面法
（1）在已知图形中取互相垂直的X轴Y轴，两轴相交于O，画直观图时，把他们画成对应的X'轴与Y'轴，两轴交于O'。且使∠X'O'Y'=45°（或135°）。他们确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于X轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X'轴或y'轴的线段。
（3）已知图形中平行于X轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于Y轴的线段，在直观图中长度为原来一半。
例如上图
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画出他们的直观图。如图
A'B'C'D'就是利用斜二测画出的水平放置的正方形ABCD的直观图。其中横向线段A'B'=AB，C'D'=CD；纵向线段A'D'=1/2AD，B'C'=1/2BC；∠D'A'B'=45°，
这与我们的直观观察是一致的。
索引3：画空间几何体直观图的步骤
（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使∠xoy=450，∠xoz=900，把xoy所在平面视为水平面，xoz平面和yoz平面都是竖直面；
（2）画底面：在xoy平面上用斜二测画法作出几何体的下底面；
（3）画侧棱：过下底面多变的顶点分别作z轴的平行线段，长度与几何体中的相应线段长度一样；
（4）成图：连接侧棱的上端点，去掉辅助线和坐标系，并把遮挡的部分改为虚线。
8
精例1
如图，正方形
的边长为
，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（???
）
A.??????????????B.????????????C.???????????????D.?6
【答案】
A
【考点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】由正方形
的边长为
，所以
，又正方形
是水平放置的一个平面图形的直观图，所以它对应的原图为平行四边形高为
，底边长为1，
所以原图形的面积为
.
故答案为：A
【分析】
由题意求出直观图中O′B′的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．
精例2
.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20
m、5
m、10
m，四棱锥的高为8
m，若按比例1：5000画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为
(
??)
A.?4
cm,1
cm,
2
cm,1.6
cm????????????????????????????????
B.?4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C.?4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm?????????????????????????????????
?D.?2
cm,0.5
cm,1
cm,0.8
cm
【答案】
C
【考点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4cm,1cm,2cm和1.6cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4cm,0.5cm,2cm,1.6cm.
故答案为：C.
【分析】直观图的画法要求，平行于衡州的长度不变，平行于纵轴的长度减半，平行于竖轴的不变
长方体的长、宽、高分别为20
m、5
m、10
m，四棱锥的高为8
m，直观图中长方体的长、宽、高分别为20000cm、2500cm、10000cm，四棱锥的高为8000cm，若按比例1：500画，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm.
8
练习1如图，
是水平放置的
的直观图，
，
，则
的面积是（???
）
?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????
D.?5
练习2用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
8.
练习1
【答案】
C
【考点】空间几何体的直观图
【解析】【解答】由斜二测画法可知，
的实物图如下图所示：
可知
，
，且
，因此，
的面积为
.
故答案为：C.
【分析】作出
的实物图，即可计算出
的面积.
练习2
【答案】
【解答】解：在原图形中作BF⊥x轴，EG⊥x轴，垂足分别为F、G，
1、作坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°，
2、在x′轴上取点C′，D′，F′，G′使O′C′=OC，O′D′=OD，O′F′=OF，O′G′=OG；
3、在y′轴上取点A′，使O′A′=OA，作F′B′∥y′，使F′B′=FB，作G′E′∥y′，使G′E′=GE；
4、连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′，得五边形ABCDE的直观图．
（正五边形的直观图的形状如下图所示）
【考点】斜二测法画直观图
【解析】【分析】在原图形中建立平面直角坐标系，作BF⊥x轴于F，EG⊥y轴于G，利用斜二测画法画出直观图．