8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

§8.3简单几何体的表面积与体积
知识索引
索引1：几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是面面积之和
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形
、扇形
、
扇环形
；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和
索引2：表面积、全面积和侧面积
表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加
）
全面积：是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和
侧面积：指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）
索引3：体积
1.概念几何体占有空间部分的大小叫做它的体积
公理：长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
例图
推论1
、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。
例图：
推论2
、正方体的体积等于它的棱长a
的立方。
例图：
索引4：柱、锥、台的体积
(1)长方体的体积
V长方体＝abc＝Sh
.
(其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高)
(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积
V柱体＝Sh.
其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．
(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积
V锥体＝Sh.
其中V圆锥＝1∕3πr2h,
r为底面半径．
(4)台体的体积公式
V台＝h(S＋＋S′)．
其中V圆台＝
1∕3πR3
注：h为台体的高，S′和S分别为上下两个底面的面积．
索引5：球的体积
一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等
索引6：规律总结
1．直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．
2．斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长与侧棱长的乘积．
3．如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝ch.
4．应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用．
5．如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加．
6．求球的体积和表面积的关键是求出球的半径．反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小．
7．计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题．
8．计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
8
精例1
.在直三棱柱
中，
，
，若该直三棱柱的外接球表面积为
，则此直三棱柱的高为（?
??）．
A.?4???????????????????B.?3?????????????????C.??????????????????????????D.?
【答案】
D
【考点】棱柱的结构特征，球的体积和表面积
【解析】【解答】解：因为
，所以将直三棱柱
补成长方体
，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，
设球的半径为
，则
，解得
，
设直三棱柱的高为
，则
，即
，
解得
，所以直三棱柱的高为
，
故答案为：D
【分析】因为
，所以将直三棱柱
补成长方体
，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，再利用勾股定理求出长方体的体对角线的长，进而求出外接球的直径，从而求出外接球的半径长，再利用勾股定理求出直三棱柱的高。
精例1
.如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面
中，
，
，
，侧棱
，若侧面
水平放置时，水面恰好过
的中点，那么当底面
水平放置时，水面高为（???
）
A.?2??????????????????????????????????B.?????????????????????????????C.?3?????????????????????????D.?
【答案】
B
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】设四棱柱的底面梯形的高为
，
的中点分别为
，
所求的水面高为h，
则水的体积
，
所以
，
故答案为：B。
【分析】设四棱柱的底面梯形的高为
，
的中点分别为
，所求的水面高为h，再利用四棱柱的体积公式，进而求出水的体积，再结合已知条件，进而求出水面的高
8
练习1牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高.明代曹昭在《格古要论·珍奇·鬼工毬》中写道：“尝有象牙圆毬儿一箇，中直通一窍，内车数重，皆可转动，故谓之鬼工毬”.现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为
和
的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点
，在内球表面上有一点
，连接线段
.若线段
不穿过小球内部，则线段
长度的最大值是（???
）
?cm????????????????????????B.?9cm????????????????????????C.?3cm?????????????????????????D.?2cm
练习2.高二A班计划在学校即将举办的夏季游园会上为同学们提供单球冰激凌的销售服务.已知购买一圆柱形桶装冰激凌需要1300元，此桶装冰激凌桶内底面直径为25厘米，冰激凌净高20厘米.单球冰激凌的平均直径约为5厘米，一副一次性杯勺的成本约1元(其他成本忽略不计).根据前期调查，冰激凌球能全部售完.高二A班打算将每个单球冰激凌定价为15元，你认为这样的定价是否合理？请作出必要的计算，结合计算结果阐述你的理由.
8.
练习1
【答案】
C
【考点】函数的最值及其几何意义，球的体积和表面积
【解析】【解答】因为外球的表面积为
，内球的表面积为
，
所以外球的半径为
，内球的半径为
，
如图，以外球表面上一点
、内球表面上有一点
以及球心
作截面，
因为线段
不穿过小球内部，所以当线段
与内球相切时线段
的长度最大，
则线段
最长为
，
故答案为：C.
【分析】根据题意由球的表面积公式求出半径的值，结合题意所以当线段
与内球相切时线段
的长度最大，结合勾股定理计算出答案。
练习2
【答案】
解：
，
，
每个单球冰激凌的成本价为
(元)，
定价为15元，利润率约为55%，较为合理
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积
【解析】【分析】根据条件先求圆柱和单球冰激凌的体积，再计算每个单球冰激凌的成本，最后比较.