8.4空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章立体几何初步
§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8知识索引
索引1：平面
概念：平面是向四周无限延展的，一个平面可以将空间分成两部分
2.三个基本事实
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（不共线的三点确定一个平面）
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
（3）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
索引2：空间中直线与直线的位置关系
空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
索引3：空间中平面、直线的位置关系
1.直线与平面
(1)直线在平面内，有无数个公共点，如图
直线与平面相交，有且只有一个公共点如，如图
直线与平面平行，没有共同点，如图
2.平面与平面的位置关系
①两个平面平行——没有公共点如图
②两个平面相交——有一条公共直线．如图
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精例1
在空间中，设
，
为两条不同直线，
，
为两个不同平面，则下列命题正确的是（??
）
A.?若
且
，则
????????????????????
?B.?若
，
，
，则
C.?若
且
，则
????????????????
?
D.?若
不垂直于
，且
，则
必不垂直于
【答案】
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：
在A中，若m∥α且α∥β，则m∥β或m?β，A不符合题意；
在B中，若α⊥β，m?α，n?β，则m与n相交、平行或异面，B不符合题意；
在C中，若m⊥α且α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，C符合题意；
在D中，若m不垂直于α，且n?α，则m有可能垂直于n，D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由已知条件结合题意
在A中，m//β或m?β；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，由线面垂直的判定定理得m⊥β；在D中，m有可能垂直于n
．
精例2
.“YouBike微笑自行车”是一项惠民、利民、亲民的社会公共服务项目，当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（???
）
A.?三点确定一平面?????????????????????????????????B.?两条相交直线确定一平面
C.?不共线三点确定一平面?????????????????????D.?两条平行直线确定一平面
【答案】
C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】【解答】自行车两个车轮与地面的切点，以及撑脚与地面的交点，组成不共线的三点，不共线的三点确定一平面.
故答案为：C.
【分析】根据欧氏几何公理2及其推论，结合实际问题的场景，选出正确选项.
8
练习1下列命题不正确的是（???
）
?若
，且
，则
B.?若
，且
，则
C.?若直线
直线
，则直线
与直线
确定一个平面
D.?三点
确定一个平面.
练习2.如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，E为棱PC上不与点C重合的点．
（1）求证：平面
平而PAC；
（2）若
，且二面角
的平面角为45°，求三棱锥
的体积．
8.
练习1
【答案】
D
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】解：对于A：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A中，平面
与平面
有一个交点
，则有一条交线，且
在交线上.所以A符合题意.
对于B：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B真确.
对于C：由两条相交直线确定一个平面可知，C符合题意.
对于D：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知，
三点共线时不能确定一个平面，所以D不符合题意.
故答案为：D
【分析】A.
由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A符合题意；B.
由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.可判断B符合题意；C.
由两条相交直线确定一个平面可知，C符合题意.
D.
三点共线时不能确定一个平面，所以D不符合题意.
练习2
【答案】
（1）证明：
又
，
，
,
（2）解：AC与BD交于点O，连接EO，
过E作
垂足为F，则
即为
的平面角，
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明线面平行，即可得到面面垂直；
（2）根据二面角的平面角，求出线段的长度，即可得到相应三棱锥的体积.