8.5空间直线、平面的平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章立体几何初步
§8.5空间直线、平面的平行
索引1：直线、平面平行
1.基本事实：平行于同一条直线的两条直线平行
判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
索引2：平面、平面平行
1.判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
2.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
索引3：常用的面面平行的其他几个性质
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行
索引4：名师点拨
用面面平行的判定定理时，必须具备：
一个平面内有两条直线平行于另一个平面.
（2）这两条直线必须相交.
2.该定理可简述为“若线面平行，则面面平行”.
◆平面与平面平行的四种判定方法
（1）定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法.
（2）利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
8
精例1
如图，在正方体
中，
为棱
的中点，
为底面
内一点，则“
为棱
的中点”是“
平面
”的（???
）
A.?充分不必要条件?????????????
B.?必要不充分条件?????????????
C.?充要条件?????????????
D.?既不充分也不必要条件
【答案】
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：取
的中点
，
为棱
的中点，
，
面
，
面
，所以
面
又
，同理可证
面
，又
，
面
，所以平面
平面
，所以
在线段
上时均能使
平面
所以“
为棱
的中点”是“
平面
”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】由题意结合正方体的几何性质以及中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论，然后由充分必要条件的定义即可得出答案。
精例2
已知
，
表示不同平面，则
的充分条件是（???
）
A.?存在直线
，
，且
，
，
B.?存在直线
，
，且
，
，
，
C.?存在平面
，
，
D.?存在直线
，
【答案】
D
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A中，只有当
与
相交才满足条件，所以A不正确；
对于B中，当
时，此时
不一定平行
，所以B不正确；
对于C中，根据垂直同一平面的两个平面不一定平行，可得若
，则平面
不一定平行
，所以C不正确；
对于D中，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可得若
，则
，所以D符合题意.
故答案为：D.
【分析】
根据题意由平面与平面平行的判定判断A；举例说明B、C错误；由直线与平面垂直的性质判断D，由此得到答案。
8
练习1.如图，在三棱柱
中，
底面
，
为等边三角形，
，
，
，
分别为
，
，
的中点，
是线段
上的一点，则直线
与直线
的位置关系可能是（???
）
①相交????
②垂直???
③异面???
④平行
①②????????????????????????????B.?①②③????????????????????????????????
?C.?①③④????????????????????????D.?②③④
练习2如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
，
分别为
，
的中点，平面
平面
，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
8.
练习1
【答案】
B
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】当
点与
点重合时，直线
与直线
相交，连接
，
，
，
，
由题意，可得
，
，
，
，
，在
中，
，同理
，
，
，所以
，
，所以
.又
，
平面
，所以
平面
，又
平面
，所以
，当
点不与
点重合时，直线
与直线
异面.
故答案为：B.
【分析】利用三棱柱的结构特征，再利用线面垂直推出线线垂直，再利用等边三角形的性质结合中点的性质，从而结合空间两直线的判断方法，从而推出
线
与直线
可能的位置关系。
练习2
【答案】
（1）证明：连接
，则
是
的中点，
为
的中点，
故在
中，
，
且
平面
，
平面
，
∴
平面
.
（2）解：取
的中点
，连接
，
∵
，
∴
，
又平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
，
∴
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由已知条件作出辅助线再由中点的性质结合三角形的性质即可得出线线垂直，结合面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，进而得出平面的高线，结合已知条件由三棱锥的条件公式代入数值计算出结果即可。