8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章立体几何初步
§8.6空间直线、平面的垂直
定义
（1）做法：经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b
（2）结论：我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)
范围：
记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°
特殊情况
当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b
索引2：直线与平面垂直
直线与平面垂直的定义（记法----------l⊥α）
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面
，它们唯一的公共点P叫做垂足
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如下图
索引3：直线与平面所成的角
一条直线1与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.
过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线
PO,过垂足O和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
索引4：直线与平面垂直的性质定理
定义：垂直于同一个平面的两条直线平行
2.符号
?a∥b
3.图形演示
索引5：二面角
定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
2.二面角的度量
(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(2)二面角的平面角的取值范围是
8
精例1
.已知
，
表示两条不同直线，
，
表示两个不同平面．设有四个命题：
：若
，
，则
；
：若
，
，则
；
：若
，
，则
；
：若
，
，则
．则下列复合命题中为真命题的是（??
）
????????????????B.??????????????C.?????????????????D.?
【答案】
C
【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】
：若
，
，则
是假命题，例如
也可能，故
是真命题；
：若
，
，则
，根据线面垂直的性质定理即线面平行的性质定理知是真命题；
：若
，
，则
是假命题，例如可以
；
：若
，
，则
是假命题，
也可能相交.
所以
，
，
是假命题，
是真命题，
故答案为：C
【分析】
：m与n相交、平行或异面；
：由线面垂直的性质定理得m⊥n；
：由线面垂直的性质定理得m⊥n；
：m与n相交、平行或异面．
精例2
已知
，
为不同直线，
，
为不同平面，则下列结论正确的是（???
）
?若
，
，则
????????????????????????????
??B.?若
，
，
，
，则
C.?若
，
，
，则
???????????????
??D.?若
，
，
，则
【答案】
C
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】A选项，若
，
，则
或
，A不符合题意；
B选项，若
，
，
，
，当
时，
与
可能相交，B不符合题意；
C选项，若
，
，根据线面垂直的性质，可得
，又
，根据面面垂直的判定定理，可得
，C符合题意；
D选项，若
，
，
，垂直于交线，并不能推出垂直于另一平面，因此不能得出
，即不能推出
.D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、，面面平行判定定理、面面垂直的判定定理，从而找出正确结论的选项。
精例3
如图，三棱柱
中，
平面
，
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）若
是
上的点，且
平面
，求
的长．
【答案】
解：（Ⅰ）证明：
平面
，
平面平面
，
.
又
，
，
，
，即
.
又
，
平面
，又
平面
，
.
（Ⅱ）过点
作
交
于点
，连
，
由三棱柱
可得
，
即四边形
为平面图形.
又
平面
，
平面
，且平面
平面
，
，
四边形
为平行四边形，
，且
，
又点
为
中点，
，且
，
，且
，
【考点】直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】
（Ⅰ）
首先由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由勾股定理即可计算出线线垂直，结合线面垂直的判定定理以及性质定理即可得证出结论。
（Ⅱ）根据题意作出辅助线结合三棱柱的性质以及线面平行的性质定理即可得出线线平行，再由平行四边形的定义即可得出线线平行，结合中位线的性质以及平行的传递性即可求出结果。
8
练习1.如图，在直三棱柱
中，
，
，
分别是
和
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积与三棱柱
体积的比值．
练习2.如图所示，
为
的直径，C为
上一点，
平面
，
于E，
于F.求证：
平面
.
练习3.已知m，n为两条不同的直线，
和
是两个不同的平面，下列为真命题的是（???
）
???????????????????????????????????????
B.?
C.??????????????????????????????????????
?D.?
练习4.如图所示，平面
平面
与两平面
所成的角分别为45°、30°，过
，
分别作两平面交线的垂线，垂足分别为
，则
（
??）
?2:1??????????????????????B.?3:1?????????????????C.?3:2????????????????????D.?4:3
8.
练习1.【答案】
解：（Ⅰ）取
的中点为
，连结
、
，
平面
，
平面
，
.
，
，
，
平面
，
，
；
四边形
为平行四边形，
，
平面
.
（Ⅱ）由题可得
，
三棱锥
的体积为
乘以底面积乘高，所以
.
直三棱柱的体积为底面积乘以高，所以
.
所以三棱锥
的体积与三棱柱
体积的比值为
.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】
（Ⅰ）
首先作出辅助线再由中点的性质即可得出线线平行，再由平行性质的传递性结合已知条件即可得出结论。
（Ⅱ）
根据题意由三棱锥的体积公式代入数据计算出即可得出结论。
练习2.【答案】
证明：
为⊙O的直径，C为⊙O上点，所以
因为
平面
，
平面
，所以
又
,所以
面
又
平面
，则
又
，
，所以
平面
又
平面
，所以
又因为
，
所以
平面
【考点】直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】运用线面垂直的判定定理和性质定理即可得证。
练习3.【答案】
C
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】A.
，则
也可在平面
内，故答案为：项A不正确.
B.
，则
也可在平面
内，
故答案为：项B不正确.
C.
成立
两平行线
，
平面
，
必垂直于
内的两条相交直线，
则
必定垂直于
内那两条相交直线，故
，
C符合题意.
D.
，则
也可是异面直线的关系.?
故答案为：项D不正确.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合线面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，进而找出真命题的选项。
练习4.【答案】
A
【考点】平面与平面垂直的性质
【解析】【解答】如图，连接
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
故
平面
，
，同理
平面
.
设
，则
.
则在
中，由勾股定理可得
.
故答案为：A.
【分析】如图，连接
，设
，根据面面垂直可得
平面
，结合已知的线面角可得
，同理可得
，最后利用勾股定理可算出
的长，从而得到正确的选项.