第6章 平面向量及其应用 知识点总结-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

知识总结
索引1：平面几何中的向量方法
向量方法在平面几何中的应用
证明线段相等、平行，运用于向量加法的三角形法则、平行四边形法则。有时用到向量减法的意义
证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行，（共线）的条件，证明线段的垂直问题，.常运用向量垂直条件
证明线段的垂直问题，作用向量垂直的条件
求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式
向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形正护方形、直角三角形等,建立直角坐标系,把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算
,研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译’"成几何关系，
索引2：坐标表示的方式归纳
1.平面向量数乘运算的坐标表示
已知，即
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2.平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
（2）若=,则=+，或=.
如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么
3.平面向量垂直的坐标表示
设=，=，则
平面向量加、减运算的坐标
两个向量的和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.
作向量,,则
=-
=
=.
因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
索引3：向量的几何表示方法如下
有向线段
：(1)概念:具有方向的线段叫做有向线段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作
,线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作
注意事项：
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度知道了有向线段的起点方向和长度,它的终点就唯一确定了
2.向量的表示
(1)几何表示:用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如向量
（2）.字母表示：向量可以用字母a,b,c…表示.
3.向量的长度的表示：
向量的长度称为向量的大小，（或称模），记作，向量的长度在数值上等于线段AB的长度，因此向量的长度是非负实数，可以比较大小
1.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；
2.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；
3.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
4.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,例如：a与b平行，记作a//b
5.共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一
条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
四棱锥
中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若
，则
等于（???
）
?1??????????????????B.?????????????????????C.????????????????????????D.?2
【答案】
B
【考点】向量的共线定理
【解析】【解答】因为
，
所以
，所以
，所以
，
解得
，所以
，
故答案为：B.
【分析】首先由向量的线性运算整理即可得到再由向量共线定理即可得出x、y、z的取值，由此即可得到答案。
.如图所示，已知在
中，D是边AB上的中点，则
（???
）
A.?
??B.?
??C.?
????D.?
【答案】
B
【考点】向量加减混合运算及其几何意义
【解析】【解答】
.
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的加、减运算法则整理即可得出答案。
练习1.有关向量
和向量
，下列四个说法中：
①若
，则
；②若
，则
或
；③若
，则
；④若
，则
.其中的正确有（???
）
A.?1????????????????????B.?2?????????????????????C.?3???????????????????????????D.?4
练习2.渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头
出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为
，东水流速度的大小为
.设速度
与速度
的夹角为
，北岸的点
在码头
的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（???
）
?在
东侧???????????????????????
?在
西侧???????????????????????
?恰好与
重合?????????????????????
?
?D.?无法确定
练习3.已知
，
是单位向量，
.若
，则
（???
）
A.?3?????????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
练习4在平行四边形
中，
为
的中点，
.
（1）设
用
表示
和
；
（2）求实数
的值，使得
与
共线.
练习1
【答案】
B
【考点】向量的模，零向量，平行向量与共线向量
【解析】【解答】由零向量的定义，可知①④正确；
由向量的模定义，可知②不正确；
由向量共线可知③不正确.
故答案为：B
【分析】由零向量、向量的模以及向量共线的性质对选项逐一判断即可得出答案。
练习2
【答案】
A
【考点】向量在物理中的应用
【解析】【解答】解：建立如图如示的坐标系，
由题意可得
，
所以
，
说明船有
轴正方向的速度，即向东的速度，
所以该游船航行到达北岸的位置应在
东侧，
故答案为：A
【分析】利用实际问题的已知条件建立坐标系，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用三角形法则结合向量的坐标运算，进而求出向量
的坐标，再利用向量的定义，得出船有
轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到达北岸的位置应在
东侧。
练习3
【答案】
C
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为
，
是单位向量，所以
，
因为
且
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
.
故答案为：C
【分析】首先由数量积的运算性质整理即可得到
，
再由向量模的定义计算出结果即可。
练习4
【答案】
（1）解：
（2）解：
，
，
与
共线，
存在
使得
，即
，
又
不共线，
，解得
【考点】向量的加法及其几何意义，向量的共线定理
【解析】【分析】（1）利用向量的加法和数乘运算计算；（2）将
和
都用向量
表示出来，再根据向量共线定理列方程求解.